第一章 三角形的初步知识 单元培优测试卷 （含答案）2024-2025学年 八年级上册数学

初中三角形初步知识单元培优卷
一、选择题（每题3分，共30分）
1．下列命题是假命题的是（　　）
A．有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形
B．等边三角形有3条对称轴
C．有两边和一角对应相等的两个三角形全等
D．线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等
2．已知△ABC的三边长为a，b，c，化简|a＋b－c|－|b－a－c|的结果是（　　）
A．2b－2c B．－2b C．2a＋2b D．2a
3．如图，在△ABC中，AC = 10，AB的垂直平分线交AB于点M，交AC于点D，△BDC的周长为18，则BC的长为（　　）
第3题图 第4题图
A．4 B．6 C．8 D．10
4．如图，已知线段AB，以点A，B为圆心，5为半径作弧相交于点C，D.连结CD，点E在CD上，连结CA，CB，EA，EB.若与的周长之差为4，则AE的长为（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
5．如图，点P是∠BAC平分线AD上的一点，AC＝9，AB＝5，PB＝3，则PC的长不可能是（　　）
第5题图 第6题图 第7题图
A．4 B．5 C．6 D．7
6．如图，在和中，B，E，C，F在同一条直线上．下面给出5个论断：①，②，③，④，⑤．选其中3个作为条件，不能判定的是（　　）．
A．①②③ B．②③④ C．③④⑤ D．①②④
7．如图，的面积为平分于点P，连结，则的面积为（　　）
A． B． C． D．
8．如图，中，，D是的中点，的垂直平分线分别交、、于点E、O、F，则图中全等的三角形的对数是（　　）
第8题图 第9题图 第10题图
A．2对 B．3对 C．4对 D．5对
9．如图，△为直角三角形，，AD为∠CAB的平分线，与∠ABC的平分线BE交于点E，BG是△ABC的外角平分线，AD与BG相交于点G，则∠ADC与∠GBF的和为（　　）
A．120° B．135° C．150° D．160°
10．如图，等腰直角△ABC中，AC=BC，BE平分∠ABC，AD⊥BE的延长线于点D，若AD=2，则△ABE的面积为（　　）．
A．4 B．6 C．2 D．2
二、填空题（每题4分，共24分）
11．如图所示，△ABC中，AB=AC=2，P是BC上任意一点，PE⊥AB于点E，PF⊥AC于点F，若S△ABC=1，则PE+PF=　 　.
第11题图 第12题图 第13题图
12．如图，在 中， ， 分别以 两点为圆心， 大于 的长为半径画圆弧，两弧相交于点M，N，连接MN与AC相交于点D，则的周长为　 　．
13．如图，中，，AD平分交BC于点D，E为线段AC上一点，连接DE，且.若，，则AE的长为　 　.
14．如图，在中，，按以下步骤作图：①以为圆心，以任意长为半径作弧，分别交，于点，；②分别以，为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧在内交于点；③作射线，交于点若，，则线段的长为　 　．
第14题图 第15题图
15．如图，直线MN分别与直线AB，CD相交于点E，F，EG平分，交直线CD于点G，若，射线于点G，则　 　.
16．已知中，边上的高所在的直线交于H，则　 　度．
三、作图题（每题6分，共6分）
17．图①、图②、图③均是的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，且的顶点均在格点上．在图①、图②、图③给定的网格中，只用无刻度的直尺，按要求画图，保留作图痕迹，不要求写出画法．
（1）在边上取一点，连接，使平分．
（2）在边上取一点，连接，使．
（3）在边上取一点，连接，使．
四、综合题（18题6分，19-21每题8分，22题10分，共40分）
18．两个大小不同的等腰直角三角板如图所示放置，右图是由它抽象出的几何图形，B，C，E在同一条直线上，连接DC．
（1）求证：△ABE≌△ACD；
（2）若图2中的BE＝3CE，CD＝6，求 △DCE的面积．
19．已知直线 与直线 、 分别交于 、 两点， 和 的角平分线交于点 ，且 .
（1）求证： ；
（2）如图， 和 的角平分线交于点 ，求 的度数；
（3）如图，若 ，延长线段 得射线 ，延长线段 得射线 ，射线 绕点 以每秒15°的速度逆时针旋转360°后停止，射线 绕点 以每秒3°的速度顺时针旋转180°以后停止.设它们同时旋转 秒，问 为多少时，射线 ，直接写出 的值 　 　秒.
图（1） 图（2） 图（3）
20．已知，，点O为上方一点，为上两点，连接，分别交于两点，。
（1）如图1，求证：；
（2）如图2，点为上一点，连接，作垂足为，，求证：；
（3）如图3，在（2）的条件下，连接并延长到点，连接，若，，求的度数。
21．△ABC中，AD是∠BAC的角平分线，AE是△ABC的高．
（1）如图1，若∠B＝40°，∠C＝60°．求∠DAE的度数．
（2）如图2（∠B＜∠C），试说明∠DAE与∠B、∠C的数量关系．
（3）拓展：如图3，四边形ABDC中，AE是∠BAC的角平分线，DA是∠BDC的角平分线，猜想：∠DAE与∠B、∠C的数量关系是否改变，说明理由．
22． 已知：直线分别与直线相交于点，并且．
（1）如图1，求证：；
（2）如图2，点在直线之间，连接，求证：；
（3）如图3，在（2）的条件下，射线是．的平分线，在的延长线上取点，连接，若，求的度数．
答案解析部分
1-5．【答案】CACCD
6-10．【答案】DBCBA
11．【答案】1
12．【答案】8
13．【答案】4
14．【答案】4
15．【答案】或
16．【答案】或．
17．【答案】（1）解：
（2）解：
（3）解：
18．【答案】（1）证明：∵ 和 均为等腰直角三角形，
∴ ， ，
∴∠BAC+∠CAE= ∠EAD+∠CAE，
∴∠BAE=∠CAD．
在 和 中， ，
∴ ．
（2）由（1）中 知： ．
∵ 和 均为等腰直角三角形，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
又∵ ，即 ，
∴CE=2，
∴ ．
19．【答案】（1）证明：∵ 、 分别平分 和
∴ ，
∵
∴
∴
（2）解：设∠PEQ=α，
∵PE平分∠AEF，
∴∠AEP=2α，
∵EQ平分∠PEF，
∴∠QEF=∠PEQ=α，
∵∠EPF=90°，
∴∠PFE=90°-2α，
∴∠PFM=180°-（90°-2α）=90°+2α，
∵FQ平分∠PFM，
∴∠PFQ=45°+α，
∴∠Q=180°-∠QEF-∠EFQ=180°-α-（90°-2α）-（45°+α）=45°
（3）5或15
20．【答案】（1）证明：过点O作OQ∥AB，
∴∠QOM=∠OMN，
∵AB∥CD，
∴OQ∥CD，
∴∠QOF=∠OFD，
∴∠OFD-∠OMN=∠QOF-∠QOM=∠EOF，
∵OE⊥OF，
∴∠EOF=90°，
∴∠OFD-∠OMN=90°.
（2）证明：∵NH⊥MG，
∴∠NHM=90°，
∵AB∥CD，
∴∠NMH=∠MGE，
∵∠NMH=∠NFG，
∴∠MGE=∠NFG，
∴MG∥NF，
∴∠EMG=∠EOF=90°，
∴∠EMG=∠NHM，
∴OM∥NH.
（3）解：∵∠NGF：∠MGF=3：5，
∴∠NGF=∠MGF，
∵∠OEP：∠OEG=2：5，
∴∠PEG=∠OEG，
∵AB∥CD，
∴∠AMG=∠MGF，∠AME=∠MEG，
∴∠AMG-∠AME=90°，
∴∠MGF-∠OEG=90° ，
作GK∥EP，
∴∠P=∠PGK，∠PEG=∠KGF，
∴∠P=∠PGF-∠PEG=∠MGF-∠OEG=（∠MGF-∠OEG）=54°
21．【答案】（1）解：∵∠B＝40°，∠C＝60°，∠BAC+∠B+∠C＝180°，
∴∠BAC＝80°，
∵AD是∠BAC的角平分线，
∴∠CAD＝∠BAD ∠BAC＝40°，
∵AE是△ABC的高，
∴∠AEC＝90°，
∵∠C＝60°，
∴∠CAE＝90°﹣60°＝30°，
∴∠DAE＝∠CAD﹣∠CAE＝10°；
（2）解：∵∠BAC+∠B+∠C＝180°，
∴∠BAC＝180°﹣∠B﹣∠C，
∵AD是∠BAC的角平分线，
∴∠CAD＝∠BAD ∠BAC，
∵AE是△ABC的高，
∴∠AEC＝90°，
∴∠CAE＝90°﹣∠C，
∴∠DAE＝∠CAD﹣∠CAE ∠BAC﹣（90°﹣∠C） （180°﹣∠B﹣∠C）﹣90°+∠C ∠C ∠B，
即∠DAE ∠C ∠B；
（3）解：不变，
理由：连接BC交AD于F，
过点A作AM⊥BC于M，过点D作DN⊥BC于N，
∵AE是∠BAC的角平分线，AM是高，
∴∠EAM （∠ACB﹣∠ABC），
同理，∠ADN （∠BCD﹣∠CBD），
∵∠AFM＝∠DFN，∠AMF＝∠DNF＝90°，
∴∠MAD＝∠ADN，
∴∠DAE＝∠EAM+∠MAD＝∠EAM+∠ADN （∠ACB﹣∠ABC） （∠BCD﹣∠CBD） （∠ACD﹣∠ABD）．
22．【答案】（1）解：证明：如图1，∵∠AGE+∠DHE＝180°，∠AGE＝∠BGF．
∴∠BGF+∠DHE＝180°，
∴AB∥CD；
（2）解：如图2，过点M作MR∥AB，
又∵AB∥CD，
∴AB∥CD∥MR．
∴∠GMR＝∠AGM，∠HMR＝∠CHM．
∴∠GMH＝∠GMR+∠RMH＝∠AGM+∠CHM．
（3）解：如图3，令∠AGM＝2α，∠CHM＝β，则∠N＝2α，∠M＝2α+β，
∵射线GH是∠BGM的平分线，
，
∴∠AGH＝∠AGM+∠FGM＝2α+90°﹣α＝90°+α，
，
∴∠FGN＝2β，
过点H作HT∥GN，
则∠MHT＝∠N＝2α，∠GHT＝∠FGN＝2β，
∴∠GHM＝∠MHT+∠GHT＝2α+2β，
∠CHG＝∠CHM+∠MHT+∠GHT＝β+2α+2β＝2α+3β，
∵AB∥CD，
∴∠AGH+∠CHG＝180°，
∴90°+α+2α+3β＝180°，
∴α+β＝30°，
∴∠GHM＝2（α+β）＝60°．