第二章 特殊三角形 单元培优测试卷 （含答案）2024-2025学年 八年级上册数学

特殊三角形单元培优卷
一、选择题（每题3分，共30分）
1．若等腰三角形的两边长分别为2和5，则它的周长为（　　）
A．9 B．7 C．12 D．9或12
2．如图，等边的边长为，点是边的中点，且，则的长为（　　）
第2题图 第4题图 第5题图
A． B． C． D．
3．在中，，边长为4，边的长度可以，1、2、3、4、5中取值，满足这些条件的互不全等的三角形的个数是（　　）.
A．3个 B．4个 C．5个 D．6个
4．如图，的面积为6，，平分．若E，F分别是，上的动点，则的最小值（　　）
A． B． C． D．3
5．如图，等边 中，D为AC中点，点P、Q分别为AB、AD上的点， ， ，在BD上有一动点E，则 的最小值为（　　）
A．7 B．8 C．10 D．12
6．如图：点在上，、均是等边三角形，、分别与、交于点，，则下列结论，，为等边三角形，正确的有个．（　　）
第6题图 第7题图 第8题图
A．个 B．个 C．个 D．个
7．如图，中，，分别以、、为边在的同侧作正方形、、，四块阴影部分的面积分别为、、、.若已知，则的值为（　　）
A．18 B．24 C．25 D．36
如图，点 是 的中点，平分 ，下列结论：①；②；③；④，
四个结论中成立的是（　　）
A．①②④ B．①②③ C．③④ D．①③
9．如图，已知，点是的平分线上的一上定点，点，分别在射线和射线上，且.下列结论：①是等边三角形；②四边形的面积是一个定值；①当时，的周长最小；④当时，也平行于. 其中正确的个数是（　　）
第9题图 第10题图
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
10．如图，任意画一个的△ABC，再分别作△ABC的两条角平分线BE和CD，BE和CD相交于点P，连接AP，以下结论：
①；②AP平分∠BAC；③；④；⑤， 正确的有（　　）
A．5个 B．4个 C．3个 D．2个
二、填空题（每题4分，共24分）
11．如图，阴影部分是两个正方形，其他三个图形是一个正方形和两个直角三角形，则阴影部分的面积之和为　 　.
第11题图 第13题图 第14题图
12．等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为52°，则该三角形的底角的度数为　 　.
13．如图，在中，，以为圆心，CD为半径画弧，交斜边AD于点，则下列说法正确的是　 　.(填序号)
①是等边三角形，②，③，④
14．如图，在四边形中，，，M，N分别是边，上的动点，当的周长最小时，　 　°．
15．如图，在中，是高，，，在边上取点，连接，，若，，则　 　．
第15题图 第16题图
16．如图，有一直角三角形纸片，，，，于点．，分别是线段，上的点，，Ⅰ分别是线段，上的点，沿，折叠，使点，恰好都落在线段上的点处．当时，的长是　 　．
三、综合题（17-19每题6分，20-21题每题8分，22题12分，共46分）
17．如图，在△ABC中，AD⊥BC，AD＝12，BD＝16，CD＝5，求：
（1）△ABC的周长；
（2）△ABC是否是直角三角形？为什么？
18．在中，，，F为延长线上一点，点E在上，且.
（1）求证：；
（2）若，求度数.
19．如图，四边形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，AB＝AC，点E是BD上一点，且∠ABD＝∠ACD，∠EAD＝∠BAC.
（1）求证：AE＝AD；
（2）若∠ACB＝65°，求∠BDC的度数.
20．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于点D，AC=8，BC=6，E，F分别是直线AC，AB上的动点，连结EF.
（1）求CD的长.
（2）若点E在边AC上，且3AE=2CE，EF⊥AC，求证：CF平分∠ACD.
（3）是否存在点E，F，使得以C，E，F为顶点的三角形与△CDF全等 若不存在，请说明理由；若存在，求出所有符合条件的DF的长.
21．在中，，，为边延长线上一点，连接．
（1）如图1，当时，求证：；
（2）如图2，当时，求证：；、
（3）如图3，当时，求证：．
22．概念学习
规定：如果一个三角形的三个角分别等于另一个三角形的三个角，那么称这两个三角形互为“等角三角形”.
从三角形不是等腰三角形一个顶点引出一条射线与对边相交，顶点与交点之间的线段把这个三角形分割成两个小三角形，如果分得的两个小三角形中一个为等腰三角形，另一个与原来三角形是“等角三角形”，我们把这条线段叫做这个三角形的“等角分割线”.
（1）理解概念
如图1，在中，，，请写出图中两对“等角三角形”
（2）概念应用
如图2，在中，为角平分线，，.
求证：为的等角分割线.
在中，，是的等角分割线，直接写出的度数.
答案解析部分
1-5．【答案】CDCBC
6-10．【答案】DAACB
11．【答案】64
12．【答案】71°或19°
13．【答案】①③
14．【答案】70
15．【答案】
16．【答案】
17．【答案】（1）解：∵AD⊥BC，AD＝12，BD＝16
∴AB=
同理：AC=
∴△ABC的周长为AC+BC+AB=AC+BD+DC+AB=13+16+5+20=54；
（2）解：∵BC2=（BD+DC）2=212=441， AB2=202=400，AC2=132=169
∴BC2≠AB2+ AC2
∴△ABC不是直角三角形．
18．【答案】（1）证明：∵，
∴，
在和中，
∴，
∴.
（2）解：∵，，
∴，
又∵，
由（1）知：，
∴，
∴.
19．【答案】（1）证明：∵∠BAC＝∠EAD
∴∠BAC﹣∠EAC＝∠EAD﹣∠EAC
即：∠BAE＝∠CAD
在△ABE和△ACD中
，
∴△ABE≌△ACD（ASA），
∴AE＝AD；
（2）解：∵∠ACB＝65°，AB＝AC，
∴∠ABC＝∠ACB＝65°，
∴∠BAC＝180°﹣∠ABC﹣∠ACB＝180°﹣65°﹣65°＝50°，
∵∠ABD＝∠ACD，∠AOB＝∠COD，
∴∠BDC＝∠BAC＝50°.
20．【答案】（1）解：∵∠ACB=90°，AC=8，BC=6，
∴.
∵CD⊥AB于点D，
∴，
∴ 10CD=6×8，即.
（2）解：如图1，∵3AE=2CE，AC=8，，
∴，即CE=CD.
∵CD⊥AB，EF⊥AC，
∴∠CDF=∠CEF=90°.
∵CF=CF，
∴△CEF≌△CDF(HL)，
∴∠ECF=∠DCF，
∴CF平分∠ACD.
（3）解：存在点E，F，使得以C，E，F为顶点的三角形与△CDF全等.
由题意，以C，E，F为顶点的三角形与△CDF全等，
CF是公共边，有四种情形：
①如图2，若点E，F在线段AC，AD上.
当CE=CD，∠CDF=∠CEF=90°时，
∵CF=CF，∴△CEF≌△CDF，
∴，.
∵EF=FD，EF2+AE2=AF2，
②如图3，若点E，F在射线AC，AB上.
同①可得△CEF≌△CDF，
③如图4，若点E在线段AC上，点在线段BD上.
当时，
，
，
④如图5，若点E在射线CA上，点在射线BA上.
当时，
，此时，
综上，所有符合条件的DF的长是.
21．【答案】（1）证明：∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴；
（2）证明：如图所示，在上截取一点E使得，连接，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵
∴；
（3）证明：如图所示，在射线上取一点H，使得，连接，
∴
由（1）同理可证明，
又∵，
∴，
∴点H和点D重合，
∴．
22．【答案】（1）解： 与 ， 与 ， 与 是“等角三角形”；
（2）证明： 在 中， ，
为角平分线，
，
， ，
，
在 中， ， ，
，
，
， ， ，
，
为 的等角分割线；
（3）解： 的度数为 或 或 或 .