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第1章 二次函数 单元测试
（考试时间：120分钟；满分：120分）
一．选择题（每小题3分，共10小题，共30分）
1．（3分）（2023秋 定边县期末）下列函数中，是二次函数的是（ ）
A．y＝x B．y＝x2﹣2x+1 C． D．y＝x﹣2
【分析】根据形如y＝ax2+bx+c（a≠0），这样的函数叫做二次函数，进行判断即可．
【解答】解：A、是正比例函数，不符合题意；
B、是二次函数，符合题意；
C、是反比例函数，不符合题意；
D、是是一次函数，不符合题意；
故选：B．
2．（3分）（2023秋 曲靖期末）将二次函数y＝x2﹣1的图象向左平移2个单位长度，再向下平移5个单位长度得到的二次函数解析式是（ ）
A．y＝（x﹣2）2﹣6 B．y＝（x﹣2）2+4
C．y＝（x+2）2+4 D．y＝（x+2）2﹣6
【分析】根据函数图象平移的法则解答即可．
【解答】解：将二次函数y＝x2﹣1的图象向左平移2个单位长度，再向下平移5个单位长度得到的二次函数解析式是：y＝（x+2）2﹣1﹣5，
即y＝（x+2）2﹣6．
故选：D．
3．（3分）（2024 宁波模拟）已知抛物线y＝ax2+bx+c开口向下，顶点坐标（3，﹣5），那么该抛物线有（ ）
A．最小值﹣5 B．最大值﹣5 C．最小值3 D．最大值3
【分析】由抛物线的开口向下和其顶点坐标为（3，﹣5），根据抛物线的性质可直接做出判断．
【解答】解：因为抛物线开口向下和其顶点坐标为（3，﹣5），
所以该抛物线有最大值﹣5；
故选：B．
4．（3分）（2023秋 鹿城区校级月考）把二次函数y＝2x2﹣8x+3用配方法化成y＝a（x﹣h）2+k的形式应为（ ）
A．y＝2（x﹣2）2+5 B．y＝2（x﹣2）2﹣1
C．y＝2（x﹣2）2﹣5 D．y＝（x﹣2）2+7
【分析】利用配方法把二次函数一般式化为顶点式．
【解答】解：y＝2x2﹣8x+3
＝2x2﹣8x+8﹣8+3
＝2（x2﹣4x+4）﹣5
＝2（x﹣2）2﹣5，
故选：C．
5．（3分）（2024 深圳三模）在同一平面直角坐标系中，一次函数y＝ax+b与二次函数y＝ax2+bx的图象可能是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】本题可先由一次函数y＝ax+b图象得到字母系数的正负，再与二次函数y＝ax2+bx的图象相比是否一致．
【解答】解：A、由抛物线可知，a＞0，x＝﹣＞0，得b＜0，由直线可知，a＜0，b＞0，故本选项不符合题意；
B、由抛物线可知，a＞0，x＝﹣＜0，得b＞0，由直线可知，a＞0，b＞0，故本选项符合题意；
C、由抛物线可知，a＜0，x＝﹣＜0，得b＜0，由直线可知，a＜0，b＞0，故本选项不符合题意；
D、由抛物线可知，a＜0，x＝﹣＜0，得b＜0，由直线可知，a＞0，b＞0，故本选项不符合题意．
故选：B．
6．（3分）（2024 衢州一模）已知二次函数y＝x2﹣2x﹣3，当m≤x≤m+2时，函数y的最小值是﹣4，则m的取值范围是（ ）
A．m≥1 B．m≤1 C．﹣1≤m≤1 D．0≤m≤2
【分析】依据题意，由y＝x2﹣2x﹣3＝（x﹣1）2﹣4，从而当x＝1时，y取最小值为﹣4．，再分三种情形①m+2＜1②m≤1，m+2≥1③m＞1，分别进行分析可以判断得解．
【解答】解：由题意，∵y＝x2﹣2x﹣3＝（x﹣1）2﹣4，
∴当x＝1时，y取最小值为﹣4．
①当m+2＜1时，即m＜﹣1时，
有（m+2）2﹣2（m+2）﹣3＝﹣4．
∴m＝﹣1，不合题意．
②当m≤1，m+2≥1时，即﹣1≤m≤1．
此时当x＝1时，y取最小值为﹣4，符合题意．
③当m＞1时，
有m2﹣2m﹣3＝﹣4．
∴m＝1，不合题意．
总上，﹣1≤m≤1．
故选C．
7．（3分）二次函数y＝a（x﹣t）2+3，当x＞1时，y随x的增大而减小，则实数a和t满足（ ）
A．a＞0，t≤1 B．a＜0，t≤1 C．a＞0，t≥1 D．a＜0，t≥1
【分析】由二次函数的性质可确定出a的范围．
【解答】解：∵y＝a（x﹣t）2+3，当x＞1时，y随x的增大而减小，
∴抛物线开口向下，对称轴为x＝t，
∴a＜0，
∵当x＞1时，y随x的增大而减小，
∴t≤1，
∴a＜0，t≤1．
故选：B．
8．（3分）（2024 龙湾区二模）已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，则下列选项中错误的是（ ）
A．b＝﹣2a
B．ax2+bx+c＝0的解为x1＝﹣1，x2＝3
C．
D．点A（a，b+c）在第三象限
【分析】A、根据﹣＝1，得到b＝﹣2a；
B、抛物线与x轴的交点为（﹣1，0），（3，0），得到ax2+bx+c＝0的解为x1＝﹣1，x2＝3；
C、把交点式化成一般式，根据1＜c＜2，即可得到1＜﹣3a＜2，解得﹣；
D、利用图象求得a＜0，b+c＞0，则点A（a，b+c）在第二象限．
【解答】解：根据函数图象可知﹣＝1，
∴b＝﹣2a，故A正确，不合题意；
∵图象与x轴的一个交点为（﹣1，0），
∴图象与x轴的另一个交点为（3，0），
∴ax2+bx+c＝0的解为x1＝﹣1，x2＝3，故B正确，不合题意；
由题意可知y＝a（x+1）（x﹣3）＝ax2﹣2ax﹣3a，
∴c＝﹣3a，
∵1＜c＜2，
∴1＜﹣3a＜2，
∴﹣，故C正确，不合题意；
∵a＜0，
∴b＝﹣2a＞0，
∵c＞0，
∴b+c＞0，
∴点A（a，b+c）在第二象限，故D错误，符合题意．
故选：D．
9．（3分）（2024 钱塘区二模）已知点A（n，y1），B（n+3，y2）在函数y＝a（x﹣m）（x﹣m﹣2）（a≠0，m为常数）的图象上，则下列判断正确的是（ ）
A．当a＞0时，若y1＜0，则y2＜0
B．当a＞0时，若y1＞0，则y2＞0
C．当a＜0时，若y1＜0，则y2＜0
D．当a＜0时，若y1＞0，则y2＜0
【分析】依据题意，由点A（n，y1），B（n+3，y2）在函数y＝a（x﹣m）（x﹣m﹣2）（a≠0，m为常数）的图象上，从而y1＝a（n﹣m）（n﹣m﹣2），y2＝a（n﹣m+3）n﹣m+1），进而根据a＞0和a＜0分别进行分析即可得解．
【解答】解：由题意，∵点A（n，y1），B（n+3，y2）在函数y＝a（x﹣m）（x﹣m﹣2）（a≠0，m为常数）的图象上，
∴y1＝a（n﹣m）（n﹣m﹣2），y2＝a（n﹣m+3）n﹣m+1）．
当a＞0时，
①若y1＜0，
∴a（n﹣m）（n﹣m﹣2）＜0．
∴（n﹣m）（n﹣m﹣2）＜0．
∴0＜n﹣m＜2．
∴（n﹣m+3）n﹣m+1）＞0．
∴y2＝a（n﹣m+3）n﹣m+1）＞0，故A错误，不合题意．
②若y1＞0，
∴a（n﹣m）（n﹣m﹣2）＞0．
∴（n﹣m）（n﹣m﹣2）＞0．
∴n﹣m＜0或n﹣m＞2．
∴（n﹣m+3）n﹣m+1）的符号不确定．
故B错误，不合题意．
当a＜0时，
①若y1＜0，
∴a（n﹣m）（n﹣m﹣2）＜0．
∴（n﹣m）（n﹣m﹣2）＞0．
∴n﹣m＜0或n﹣m＞2．
∴（n﹣m+3）n﹣m+1）的符号不确定．
故C错误，不合题意．
②若y1＞0，
∴a（n﹣m）（n﹣m﹣2）＞0．
∴（n﹣m）（n﹣m﹣2）＜0．
∴0＜n﹣m＜2．
∴（n﹣m+3）（n﹣m+1）＞0．
∴y2＝a（n﹣m+3）n﹣m+1）＜0，故D正确，符合题意．
故选：D．
10．（3分）（2022 富阳区二模）约定：若函数图象上至少存在不同的两点关于原点对称，则把该函数称为“黄金函数”，其图象上关于原点对称的两点叫做一对“黄金点”．若点A（1，m），B（n，﹣4）是关于x的“黄金函数”y＝ax2+bx+c（a≠0）上的一对“黄金点”，且该函数的对称轴始终位于直线x＝2的右侧，有结论①a+c＝0；②b＝4；③a+b+c＜0；④﹣1＜a＜0．则下列结论正确的是（ ）
A．①②③ B．①③④ C．①②④ D．②③④
【分析】先根据题意求出m，n的取值，代入y＝ax2+bx+c得到a，b，c的关系，再根据对称轴在x＝2的右侧即可求解．
【解答】解：∵点A（1，m），B（n，﹣4）是关于x的“黄金函数”y＝ax2+bx+c（a≠0）上的一对“黄金点”，
∴A，B关于原点对称，
∴m＝4，n＝﹣1，
∴A（1，4），B（﹣1，﹣4），
代入y＝ax2+bx+c（a≠0）
得，
∴，
∴①②正确，
∵该函数的对称轴始终位于直线x＝2的右侧，
∴﹣＞2，
∴﹣＞2，
∴﹣1＜a＜0，④正确，
∵a+c＝0，
∴0＜c＜1，c＝﹣a，
当x＝时，y＝ax2+bx+c＝a+b+c＝a+2﹣a＝2﹣a，
∵﹣1＜a＜0，
∴﹣a＞0，
∴a+b+c＝2﹣a＞0，③错误．
综上所述，结论正确的是①②④．
故选：C．
二．填空题（共6小题，每题3分，共18分）
11．（3分）（2024 浙江一模）已知点A（﹣2，y1），B（﹣1，y2），C（1，y3）均在二次函数y＝3（x+1）2﹣7的图象上，则y1，y2，y3的大小关系是 y3＞y1＞y2 .（用“＞”连接）
【分析】先确定抛物线的开口向上和对称轴x＝﹣1，再根据距离对称轴越大函数值就越大比较即可．
【解答】解：二次函数y＝3（x+1）2﹣7的图象开口向上，对称轴是直线x＝﹣1，
点B（﹣1，y2）在对称轴上，
∴y2最小，
点A（﹣2，y1）距离对称轴有﹣1﹣（﹣2）＝1个单位，
C（1，y3）距离对称轴有1﹣（﹣1）＝2个单位，
∴y3＞y1＞y2．
故答案为：y3＞y1＞y2．
12．（3分）一座抛物线型拱桥如图所示，桥下水面宽度是4m时，拱顶距离水面是2m．当水面下降1m后，水面宽度是 2 m．（结果保留根号）
【分析】根据题意，建立合适的平面直角坐标系，然后求出抛物线的解析式，再将y＝﹣3代入函数解析式，求出x的值，然后即可求得水面下降1m后，水面宽度．
【解答】解：建立平面直角坐标系，如图所示，
设该抛物线的解析式为y＝ax2，
由题意可知：点（2，﹣2）在该函数图象上，
∴﹣2＝a×22，
解得a＝﹣，
∴该抛物线的解析式为y＝﹣x2，
当y＝﹣3时，﹣3＝﹣x2，
解得x1＝﹣，x2＝，
∴当水面下降1m后，水面宽度是：﹣（﹣）＝+＝2（m），
故答案为：2．
13．（3分）已知二次函数y＝（m﹣2）x2﹣4x+2m﹣8的图象经过原点，它可以由抛物线y＝ax2（a≠0）平移得到，则a的值是 2 ．
【分析】把原点坐标代入二次函数解析式求出m的值，然后根据抛物线平移不改变二次项的系数的值，即可求得a＝2．
【解答】解：∵二次函数y＝（m﹣2）x2﹣4x+2m﹣8的图象经过原点，
∴2m﹣8＝0，
解得m＝4，
∴m﹣2＝2，
∵二次函数y＝（m﹣2）x2﹣4x+2m﹣8的图象由抛物线y＝ax2（a≠0）平移得到，
∴a＝m﹣2＝2，
故答案为：2．
14．（3分）（2024 宁海县校级自主招生）二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，则不等式a（x﹣2）2+b（x﹣2）+c＜0的解集为 x＜3或x＞5 ．
【分析】直接利用函数图象即可得出结论．
【解答】解：∵由函数图象可知，当x＝1，3时，y＝0，
令t＝x﹣2，
∴a（x﹣2）2+b（x﹣2）+c＝at2+bt+c＝0的解为：
t＝1或3，
解得x＝3或5，
∴不等式a（x﹣2）2+b（x﹣2）+c＜0的解集为x＜3或x＞5．
故答案为：x＜3或x＞5．
15．（3分）（2024 滨江区二模）如图，一建筑物外墙上嵌有一排一模一样的垂直于墙壁的钢管，这些钢管的下面有一个一边靠墙的长方体水池，水从钢管流出的水都成抛物线，若以钢管的出水口点O为坐标原点，建立如图所示的平面直角坐标系，且抛物线的函数表达式都为．若露在墙壁外面的钢管的长度OA＝0.2米（钢管的直径长度忽略不计），钢管离水池水面的高度AB＝1米．要使钢管中流出的水都落在水池里，那水池宽至少是 2.2 米．
【分析】依据题意，令y＝﹣1，则y＝﹣x2＝﹣1，求出x后即可判断得解．
【解答】解：由题意，∵令y＝﹣1，则y＝﹣x2＝﹣1，
∴x2＝4．
∴x＝﹣2或x＝2（舍去）．
∴水池宽至少是2+0.2＝2.2（米）．
故答案为：2.2．
16．（3分）（2024春 开化县期中）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝10cm，AC＝8cm，O是AB的中点，点P从点C出发沿CB边向点B以1cm/s的速度移动，点Q从点A出发沿AC边向点C以2cm/s的速度移动．点P，Q同时出发，当其中一点到达终点时，另一点也同时停止运动．
（1）出发2秒后，点P，Q之间的距离是 2 cm．
（2）当△OPQ的面积最小时，点P，Q之间的距离是 cm．
【分析】（1）求得PC、CQ的长度，由勾股定理定理可得解；
（2）设点P、Q同时出发，x秒钟后，△OPQ的面积最小，此时AQ＝2x cm，PC＝x cm，CQ＝（8﹣2x）cm，BP＝（6﹣x）cm，O到AC的距离为cm，O到BC的距离为＝4cm，此时S△OPQ＝S△ABC﹣S△AOQ﹣S△BOP﹣S△PCQ＝﹣ 2x 3﹣﹣＝（x﹣）2+，由二次函数的性质得出当x＝时，△OPQ的面积最小，求出此时CQ＝8﹣2x＝3，CP＝，由勾股定理定理可得解．
【解答】解：（1）在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝10cm，AC＝8cm，
∴BC＝＝6cm，
由题意可知CQ＝8﹣2＝6（cm），CP＝2cm，
∴PQ＝＝＝2（cm）．
∴点P，Q之间的距离是2cm；
故答案为：2；
（2）设经过xs时，△OPQ的面积最小，
在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝10cm，AC＝8cm，BC＝6cm，
∵O是AB的中点，
∴O到AC的距离为cm，O到BC的距离为＝4cm，
∵S△OPQ＝S△ABC﹣S△AOQ﹣S△BOP﹣S△PCQ
＝﹣ 2x 3﹣﹣
＝24﹣3x﹣12+2x﹣4x+x2
＝x2﹣5x+12
＝（x﹣）2+，
∴当x＝时，△OPQ的面积最小，此时CQ＝8﹣2x＝3cm，CP＝cm，
∴PQ＝＝（cm）．
∴当△OPQ的面积最小时，点P，Q之间的距离是cm．
故答案为：．
三．解答题（共8小题，共72分）
17．（6分）（2023秋 嘉兴期末）已知二次函数y＝﹣x2+bx+3的图象经过点A（1，4）．
（1）求b的值；
（2）判断P（2，3）是否在该函数的图象上，并说明理由．
【分析】（1）把点A（1，4）的坐标代入解析式即可求出b的值；
（2）把P（2，3）的坐标代入解析式，看看两边是否相等即可．
【解答】解：（1）二次函数y＝﹣x2+bx+3的图象经过点A（1，4），
∴4＝﹣1+b+3，
∴b＝2；
（2）P（2，3）在该函数的图象上，
理由：∵b＝2，
∴二次函数的解析式为y＝﹣x2+2x+3，
把P（2，3）代入y＝﹣x2+2x+3得：
左边＝3，右边＝﹣4+4+3＝3，
即左边＝右边，
所以点P在该函数的图象上．
18．（6分）（2024春 拱墅区期末）把一个足球垂直地面向上踢，t（秒）后该足球的高度h（米）适用公式h＝20t﹣5t2．
（1）经多少秒后足球回到地面？
（2）经多少秒时球的高度为15米？
【分析】（1）令h＝0得关于t的一元二次方程，解得t的值并根据问题的实际意义作出取舍即可；
（2）令h＝15得关于t的一元二次方程，解得t的值即可．
【解答】解：（1）令h＝0得：20t﹣5t2＝0，
解得：t1＝0（舍去），t2＝4．
答：经4秒后足球回到地面．
（2）令h＝15得：20t﹣5t2＝15，
解得：t1＝1，t2＝3．
答：经1秒或3秒时球的高度为15米．
19．（8分）（2023 舟山开学）已知二次函数y＝a（x+3）（x﹣1）（a≠0）的图象过不同的三点A（n，y1），B（1﹣n，y2），C（﹣1，y3）．
（1）若二次函数的最大值为4，求a的值．
（2）若y1＞y2＞y3，求n的取值范围．
【分析】（1）将解析式y＝a（x2+2x﹣3）＝a[（x+1）2﹣4]，根据条件函数有最大值4，则a＜0，当x＝﹣1时，ymax＝﹣4a＝4，则a＝﹣1；
（2）将解析式转化为y＝ax2+2ax﹣3a（a≠0），先判断a＜0不满足y1＞y2＞y3再分析a＞0时的情况，当a＞0时，顶点（﹣1，y3），即C（﹣1，﹣4a）为顶点，
则y3为最小值，再分析A、B两个点所在不同位置时的情况，最后得到n的取值范围即可．
【解答】解：（1）据题得y＝a（x2+2x﹣3）＝a[（x+1）2﹣4]，
∵函数有最大值4，则a＜0，
当x＝﹣1时，ymax＝﹣4a＝4，
∴a＝﹣1，
（2）y＝ax2+2ax﹣3a（a≠0），
①当a＜0时，顶点（﹣1，﹣4a），则C（﹣1，y3）为顶点，
∴y3为最大值，不满足y1＞y2＞y3，
②当a＞0时，顶点（﹣1，y3），即C（﹣1，﹣4a）为顶点，
∴y3为最小值，
又∵y1＞y2，
当A、B都在对称轴右侧，则，
当A、B都在对称轴左侧，则﹣1＞1﹣n＞n 无解，
当A、B在异侧时，A左B右，则，
解得n；
当A在B左侧时，则n＞﹣1，1﹣n＜﹣1 无解，
综上所述n．
20．（8分）（2024 桐乡市一模）已知二次函数y＝ax2+bx+3（a≠0）的函数值y和自变量x的部分对应值如下表所示：
x … ﹣1 0 1 2 3 4 5 …
y … y1 3 y2 y3 y4 3 y5 …
（1）若y1＝8，
①求二次函数的表达式．
②求不等式ax2+bx+3＜0的解．
（2）若在y3，y4，y5中只有一个为负数，求a的取值范围．
【分析】（1）①依据题意，根据表格数据可得对称轴是直线x＝2，设二次函数的表达式为y＝a（x﹣2）2+k，又过（﹣1，8），（0，3），求出a，k的值，进而可以得解；
②依据题意，由①令y＝0，从而（x﹣2）2﹣1＝0，进而可得抛物线与x轴交于（1，0），（3，0），又抛物线开口向上，从而不等式ax2+bx+3＜0的解就是函数y＝ax2+bx+3的图象在y轴下方对应的自变量取值范围，进而可以判断得解；
（2）依据题意，由对称轴是直线x＝2，故可分①当a＞0时②当a＜0时分别进行分析即可得解．
【解答】解：（1）根据表格数据可得对称轴是直线x＝＝2．
①由题意，设二次函数的表达式为y＝a（x﹣2）2+k，
又过（﹣1，8），（0，3），
∴．
∴a＝1，k＝﹣1．
∴二次函数的表达式为y＝（x﹣2）2﹣1．
②由①令y＝0，
∴（x﹣2）2﹣1＝0．
∴x＝3或x＝1．
∴抛物线与x轴交于（1，0），（3，0）．
又抛物线开口向上，
∴不等式ax2+bx+3＜0的解就是函数y＝ax2+bx+3的图象在y轴下方对应的自变量取值范围．
∴不等式ax2+bx+3＜0的解是1＜x＜3．
（2）由题意，∵对称轴是直线x＝2，
∴①当a＞0时，当x≥2时，y随x的增大而增大．
又2＜3＜5，
∴y3＜y4＜y5．
∵y3，y4，y5中只有一个为负数，
∴y3＜0，且y4≥0．
∴4a+2b+3＜0，且9a+3b+3≥0．
又对称轴是直线x＝﹣＝2，即b＝﹣4a，
∴4a﹣8a+3＜0，且9a﹣12a+3≥0．
∴＜a≤1．
②当a＜0时，当x≥2时，y随x的增大而减小．
又2＜3＜5，
∴y3＞y4＞y5．
∵y3，y4，y5中只有一个为负数，
∴y5＜0，且y4≥0．
∴25a+5b+3＜0，且9a﹣12a+3≥0．
又对称轴是直线x＝﹣＝2，即b＝﹣4a，
∴25a﹣20a+3＜0，且9a﹣12a+3≥0．
∴a＜﹣．
综上，a＜﹣或＜a≤1．
21．（10分）（2024 南通模拟）某款旅游纪念品很受游客喜爱，每个纪念品进价40元，规定销售单价不低于44元，且不高于52元．某商户在销售期间发现，当销售单价定为44元时，每天可售出300个，销售单价每上涨1元，每天销量减少10个．现商家决定提价销售，设每天销售量为y个，销售单价为x元．
（1）直接写出y与x之间的函数关系式和自变量x的取值范围；
（2）将纪念品的销售单价定为多少元时，商家每天销售纪念品获得的利润w元最大？最大利润是多少元？
（3）该商户从每天的利润中捐出200元做慈善，为了保证捐款后每天剩余利润不低于2200元，求销售单价x的范围．
【分析】（1）根据题意直接写出y与x之间的函数关系式和自变量的取值范围；
（2）根据销售利润＝销售量×（售价﹣进价），列出平均每天的销售利润w（元）与销售价x（元/箱）之间的函数关系式，再依据函数的增减性求得最大利润；
（3）根据题意得剩余利润为w﹣200，利用函数性质求出w﹣200≥2200时的x的取值范围即可．
【解答】解：（1）根据题意得：y＝300﹣10（x﹣44）＝﹣10x+740，
∴y与x之间的函数关系式为y＝﹣10x+740（44≤x≤52）；
（2）根据题意得：w＝（﹣10x+740）（x﹣40）＝﹣10x2+1140x﹣29600＝﹣10（x﹣57）2+2890，
∵﹣10＜0，
∴当x＜57时，w随x的增大而增大，
∵44≤x≤52，
∴当x＝52时，w有最大值，最大值为﹣10×（52﹣57）2+2890＝2640，
∴将纪念品的销售单价定为52元时，商家每天销售纪念品获得的利润w元最大，最大利润是2640元；
（3）依题意剩余利润为（w﹣200）元，
∵捐款后每天剩余利润不低于2200元，
∴w﹣200≥2200，即﹣10（x﹣57）2+2890﹣200≥2200，
由﹣10（x﹣57）2+2890﹣200＝2200得x＝50或x＝64，
∵﹣10＜0，44≤x≤52，
∴捐款后每天剩余利润不低于2200元，50≤x≤52，
答：捐款后每天剩余利润不低于2200元，销售单价x的范围是50≤x≤52．
22．（10分）将小球（看作一点）从距离地面3m高的点A处向右发射，建立如图所示的平面直角坐标系，小球沿抛物线y＝﹣x2+bx+c运动．
（1）若当小球运动的水平距离为1m时，小球达到最大高度．
①求小球达到的最大高度；
②当小球前方无障碍物时，求小球落地时的水平距离．
（2）若小球的正前方4m（OC＝4m）处有一个截面为长方形的球筐CDEF，其中长CD为2m，宽DE为1m，若要使小球落入筐中，求b的取值范围．
【分析】（1）①根据题意得A（0，3），解方程组即可得到结论；②根据题意解方程即可得到结论；
（2）当抛物线过点F（4，1）时，当抛物线过点E（6，1）时，解方程即可得到结论．
【解答】解：（1）①根据题意得A（0，3），
∵当小球运动的水平距离为1m时，小球达到最大高度，
∴，
解得，
∴y＝﹣x2+x+3，
当x＝1时，y＝﹣+3＝，
答：小球达到的最大高度为．
②当y＝0时，即﹣x2+x+3＝0，
解得x1＝1+，x2＝1﹣（不合题意舍去），
答：小球落地时的水平距离为（1+）米；
（2）根据题意知：F（4，1），E（6，1），
∵c＝3．
∴y＝﹣x2+bx+3．
∴当抛物线过点F（4，1）时，有：1＝﹣×42+4b+3，
解得b＝；
当抛物线过点E（6，1）时，有：1＝﹣×62+6b+3，
解得b＝，
∴要使小球落入筐中，b的取值范围是．
23．（12分）（2024 滨江区二模）如图1是一个含有两个斜坡截面的轴对称图形，两个斜坡材质等各方面都一样．一个黑球从左斜坡顶端由静止滚下后沿水平木板AB直线运动，其中AB＝118cm．从黑球运动到A点处开始，用频闪照相机、测速仪测量并记录黑球在木板上的运动时间t（单位：s）、运动速度v（单位：cm/s）、滑行距离y（单位：cm）的数据．记录的数据如表：
运动时间t/s 0 2 4 6 8 10 …
运动速度v/（cm/s） 12 10 8 6 4 2 …
运动距离y/cm 0 22 40 54 64 70 …
（1）根据表格中的数值分别在图2、图3的平面直角坐标系中画出v关于t，y关于t的函数图象，并分别求出v关于t，y关于t的函数表达式．
（2）①求黑球在水平木板AB上滚动的最大距离．
②黑球从左斜坡顶端由静止滚下到A点开始计时，运动到2秒的同时，有一个除颜色外其余与黑球完全相同的白球，从右斜坡顶端由静止滚下到点B处，两球会在水平木板AB的某个位置相遇吗？若能相遇，请求出相遇点P到A点的距离；若不能相遇，请说明理由．
【分析】（1）描点，连线得到相关图形；猜测v是t的一次函数，y是t的二次函数，用待定系数法设出函数解析式后，把表格中的点代入可得所求的函数解析式，任意再选其他数值代入，可得所求的函数解析式符合题意；
（2）①由图2判断出t的取值范围，进而根据y与t的函数解析式，判断出y的最大值；
②假设两球能相遇，白球的运动路程也符合（1）得到的函数解析式，进而根据两球在AB上的运动路程的和为118列出方程即可求得相应的时间，代入（1）中得到的函数解析式可得相遇点P到A点的距离．
【解答】解：（1）描点，连线．
由图象猜测v是t的一次函数．
设v＝kt+b（k≠0）．
∵经过点（0，12），（2，10），
∴．
解得：．
∴v＝﹣t+12；
猜测y是t的二次函数．
设y＝at2+bt（a≠0）．
∵经过点（2，22），（4，40），
∴．
解得：．
∴y＝﹣t2+12t．
∵把其他的点代入上述两个函数解析式也适合，
∴v＝﹣t+12，y＝﹣t2+12t；
（2）①由图2得：∵v≥0，
∴0≤t≤12．
∵y＝﹣t2+12t，
∴二次函数开口向下，t＝﹣＝12时，y有最大值．
∴y最大＝﹣×122+12×12＝72．
答：黑球在水平木板AB上滚动的最大距离为72cm；
②设黑球运动t秒时，两球相遇．
﹣t2+12t+[﹣（t﹣2）2+12（t﹣2）]＝118．
整理得：t2﹣26t+144＝0．
解得：t1＝8，t2＝18（不合题意，舍去）．
当t＝8时，y＝﹣×82+12×8＝64．
答：两球会在水平木板AB的某个位置相遇，相遇点P到A点的距离为64cm．
24．（12分）（2024 同心县模拟）如图，在平面直角坐标系中，二次函数y＝﹣x2+bx+c的图象与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C（0，3），点A在原点的左侧，点B的坐标为（3，0），点P是抛物线上一个动点，且在直线BC的上方．
（1）求这个二次函数的解析式；
（2）当点P运动到什么位置时，△BPC的面积最大？请求出点P的坐标和△BPC面积的最大值．
（3）连接PO，PC，并把△POC沿CO翻折，得到四边形POP'C，那么是否存在点P，使四边形POP'C为菱形？若存在，请求出此时点P的坐标；若不存在，请说明理由．
【分析】（1）利用待定系数法即可求解．
（2）设出点P的坐标，作辅助线，表示出三角形PCQ和三角形PBQ的面积，即可求解．
（3）设出点P的坐标，求出P′的坐标，利用菱形的性质即可求解．
【解答】解：（1）将B（3，0），C（0，3）代入y＝﹣x2+bx+c，
得，
解得，
∴二次函数的解析式为y＝﹣x2+2x+3．
答：二次函数的解析式为y＝﹣x2+2x+3．
（2）如图，过点P作y轴的平行线与BC交于点Q，
设P（x，﹣x2+2x+3），直线BC的解析式为y＝mx+n，
则，
解得，
∴直线BC的解析式为y＝﹣x+3，
则Q（x，﹣x+3），
∴＝，
当x＝时，△CPB的面积最大，
此时，点P的坐标为（），△CPB的面积的最大值为．
（3）存在．
如图，设点P（x，﹣x2+2x+3），PP′交CO于点E，
若四边形POP′C是菱形，则OP＝PC，
连接PP′，则PE⊥OC，OE＝CE＝，
∴，
解得，（不合题意，舍去），
∴P（）．中小学教育资源及组卷应用平台
第1章 二次函数 单元测试
（考试时间：120分钟；满分：120分）
一．选择题（每小题3分，共10小题，共30分）
1．（3分）（2023秋 定边县期末）下列函数中，是二次函数的是（ ）
A．y＝x B．y＝x2﹣2x+1 C． D．y＝x﹣2
2．（3分）（2023秋 曲靖期末）将二次函数y＝x2﹣1的图象向左平移2个单位长度，再向下平移5个单位长度得到的二次函数解析式是（ ）
A．y＝（x﹣2）2﹣6 B．y＝（x﹣2）2+4
C．y＝（x+2）2+4 D．y＝（x+2）2﹣6
3．（3分）（2024 宁波模拟）已知抛物线y＝ax2+bx+c开口向下，顶点坐标（3，﹣5），那么该抛物线有（ ）
A．最小值﹣5 B．最大值﹣5 C．最小值3 D．最大值3
4．（3分）（2023秋 鹿城区校级月考）把二次函数y＝2x2﹣8x+3用配方法化成y＝a（x﹣h）2+k的形式应为（ ）
A．y＝2（x﹣2）2+5 B．y＝2（x﹣2）2﹣1
C．y＝2（x﹣2）2﹣5 D．y＝（x﹣2）2+7
5．（3分）（2024 深圳三模）在同一平面直角坐标系中，一次函数y＝ax+b与二次函数y＝ax2+bx的图象可能是（ ）
A． B．
C． D．
6．（3分）（2024 衢州一模）已知二次函数y＝x2﹣2x﹣3，当m≤x≤m+2时，函数y的最小值是﹣4，则m的取值范围是（ ）
A．m≥1 B．m≤1 C．﹣1≤m≤1 D．0≤m≤2
7．（3分）二次函数y＝a（x﹣t）2+3，当x＞1时，y随x的增大而减小，则实数a和t满足（ ）
A．a＞0，t≤1 B．a＜0，t≤1 C．a＞0，t≥1 D．a＜0，t≥1
8．（3分）（2024 龙湾区二模）已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，则下列选项中错误的是（ ）
A．b＝﹣2a
B．ax2+bx+c＝0的解为x1＝﹣1，x2＝3
C．
D．点A（a，b+c）在第三象限
9．（3分）（2024 钱塘区二模）已知点A（n，y1），B（n+3，y2）在函数y＝a（x﹣m）（x﹣m﹣2）（a≠0，m为常数）的图象上，则下列判断正确的是（ ）
A．当a＞0时，若y1＜0，则y2＜0
B．当a＞0时，若y1＞0，则y2＞0
C．当a＜0时，若y1＜0，则y2＜0
D．当a＜0时，若y1＞0，则y2＜0
10．（3分）（2022 富阳区二模）约定：若函数图象上至少存在不同的两点关于原点对称，则把该函数称为“黄金函数”，其图象上关于原点对称的两点叫做一对“黄金点”．若点A（1，m），B（n，﹣4）是关于x的“黄金函数”y＝ax2+bx+c（a≠0）上的一对“黄金点”，且该函数的对称轴始终位于直线x＝2的右侧，有结论①a+c＝0；②b＝4；③a+b+c＜0；④﹣1＜a＜0．则下列结论正确的是（ ）
A．①②③ B．①③④ C．①②④ D．②③④
二．填空题（共6小题，每题3分，共18分）
11．（3分）（2024 浙江一模）已知点A（﹣2，y1），B（﹣1，y2），C（1，y3）均在二次函数y＝3（x+1）2﹣7的图象上，则y1，y2，y3的大小关系是 .（用“＞”连接）
12．（3分）一座抛物线型拱桥如图所示，桥下水面宽度是4m时，拱顶距离水面是2m．当水面下降1m后，水面宽度是 m．（结果保留根号）
13．（3分）已知二次函数y＝（m﹣2）x2﹣4x+2m﹣8的图象经过原点，它可以由抛物线y＝ax2（a≠0）平移得到，则a的值是 ．
14．（3分）（2024 宁海县校级自主招生）二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，则不等式a（x﹣2）2+b（x﹣2）+c＜0的解集为 ．
15．（3分）（2024 滨江区二模）如图，一建筑物外墙上嵌有一排一模一样的垂直于墙壁的钢管，这些钢管的下面有一个一边靠墙的长方体水池，水从钢管流出的水都成抛物线，若以钢管的出水口点O为坐标原点，建立如图所示的平面直角坐标系，且抛物线的函数表达式都为．若露在墙壁外面的钢管的长度OA＝0.2米（钢管的直径长度忽略不计），钢管离水池水面的高度AB＝1米．要使钢管中流出的水都落在水池里，那水池宽至少是 米．
16．（3分）（2024春 开化县期中）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝10cm，AC＝8cm，O是AB的中点，点P从点C出发沿CB边向点B以1cm/s的速度移动，点Q从点A出发沿AC边向点C以2cm/s的速度移动．点P，Q同时出发，当其中一点到达终点时，另一点也同时停止运动．
（1）出发2秒后，点P，Q之间的距离是 cm．
（2）当△OPQ的面积最小时，点P，Q之间的距离是 cm．
三．解答题（共8小题，共72分）
17．（6分）（2023秋 嘉兴期末）已知二次函数y＝﹣x2+bx+3的图象经过点A（1，4）．
（1）求b的值；
（2）判断P（2，3）是否在该函数的图象上，并说明理由．
18．（6分）（2024春 拱墅区期末）把一个足球垂直地面向上踢，t（秒）后该足球的高度h（米）适用公式h＝20t﹣5t2．
（1）经多少秒后足球回到地面？
（2）经多少秒时球的高度为15米？
19．（8分）（2023 舟山开学）已知二次函数y＝a（x+3）（x﹣1）（a≠0）的图象过不同的三点A（n，y1），B（1﹣n，y2），C（﹣1，y3）．
（1）若二次函数的最大值为4，求a的值．
（2）若y1＞y2＞y3，求n的取值范围．
20．（8分）（2024 桐乡市一模）已知二次函数y＝ax2+bx+3（a≠0）的函数值y和自变量x的部分对应值如下表所示：
x … ﹣1 0 1 2 3 4 5 …
y … y1 3 y2 y3 y4 3 y5 …
（1）若y1＝8，
①求二次函数的表达式．
②求不等式ax2+bx+3＜0的解．
（2）若在y3，y4，y5中只有一个为负数，求a的取值范围．
21．（10分）（2024 南通模拟）某款旅游纪念品很受游客喜爱，每个纪念品进价40元，规定销售单价不低于44元，且不高于52元．某商户在销售期间发现，当销售单价定为44元时，每天可售出300个，销售单价每上涨1元，每天销量减少10个．现商家决定提价销售，设每天销售量为y个，销售单价为x元．
（1）直接写出y与x之间的函数关系式和自变量x的取值范围；
（2）将纪念品的销售单价定为多少元时，商家每天销售纪念品获得的利润w元最大？最大利润是多少元？
（3）该商户从每天的利润中捐出200元做慈善，为了保证捐款后每天剩余利润不低于2200元，求销售单价x的范围．
22．（10分）将小球（看作一点）从距离地面3m高的点A处向右发射，建立如图所示的平面直角坐标系，小球沿抛物线y＝﹣x2+bx+c运动．
（1）若当小球运动的水平距离为1m时，小球达到最大高度．
①求小球达到的最大高度；
②当小球前方无障碍物时，求小球落地时的水平距离．
（2）若小球的正前方4m（OC＝4m）处有一个截面为长方形的球筐CDEF，其中长CD为2m，宽DE为1m，若要使小球落入筐中，求b的取值范围．
23．（12分）（2024 滨江区二模）如图1是一个含有两个斜坡截面的轴对称图形，两个斜坡材质等各方面都一样．一个黑球从左斜坡顶端由静止滚下后沿水平木板AB直线运动，其中AB＝118cm．从黑球运动到A点处开始，用频闪照相机、测速仪测量并记录黑球在木板上的运动时间t（单位：s）、运动速度v（单位：cm/s）、滑行距离y（单位：cm）的数据．记录的数据如表：
运动时间t/s 0 2 4 6 8 10 …
运动速度v/（cm/s） 12 10 8 6 4 2 …
运动距离y/cm 0 22 40 54 64 70 …
（1）根据表格中的数值分别在图2、图3的平面直角坐标系中画出v关于t，y关于t的函数图象，并分别求出v关于t，y关于t的函数表达式．
（2）①求黑球在水平木板AB上滚动的最大距离．
②黑球从左斜坡顶端由静止滚下到A点开始计时，运动到2秒的同时，有一个除颜色外其余与黑球完全相同的白球，从右斜坡顶端由静止滚下到点B处，两球会在水平木板AB的某个位置相遇吗？若能相遇，请求出相遇点P到A点的距离；若不能相遇，请说明理由．
24．（12分）（2024 同心县模拟）如图，在平面直角坐标系中，二次函数y＝﹣x2+bx+c的图象与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C（0，3），点A在原点的左侧，点B的坐标为（3，0），点P是抛物线上一个动点，且在直线BC的上方．
（1）求这个二次函数的解析式；
（2）当点P运动到什么位置时，△BPC的面积最大？请求出点P的坐标和△BPC面积的最大值．
（3）连接PO，PC，并把△POC沿CO翻折，得到四边形POP'C，那么是否存在点P，使四边形POP'C为菱形？若存在，请求出此时点P的坐标；若不存在，请说明理由．
