浙教版数学九年级上册1.2 二次函数的图像 精品同步练习（含解析）

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浙教版九年级上册数学 1.2 二次函数的图像 同步练习
(考试时间：60分钟 满分：100分）
选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分。下列各题的备选答案中，只有一项是最符合题意的，请选出。）
1.关于二次函数的下列结论，不正确的是（ ）
A．图象的开口向上 B．当时，随的增大而减小
C．图象经过点 D．图象的对称轴是直线
2.关于二次函数，下列说法正确的是( )
A．图像开口向下 B．图像经过点 C．图像的对称轴是直线 D．最小值是
3.已知，是抛物线上两点，则正数（ ）
A．2 B．4 C．8 D．16
4.．已知函数经过A（m，）、B（m 1，），若．则m的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
5.抛物线y＝2x2， y＝－2x2， y＝x2的共同性质是（ ）
A．开口向上 B．对称轴是y轴 C．都有最高点 D．y随x的增大而增大
6.抛物线的顶点坐标是（ ）
A．（，1） B．（5，1） C．（，） D．（1，）
7.已知的图象如图所示，则点在（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
8.已知抛物线与二次函数y=-5x2的图象相同，开口方向相同，且顶点坐标为（-1，2020），它对应的函数表达式为（ ）
A．y=-5(x-1) 2+2020 B．y=5(x-1) 2+2020 C．y=5(x+1) 2+2020 D．y=-5(x+1)2+2020
9.有下列四个函数：①；②；③；④．其中图象经过如图所示阴影部分（包括边界）的函数有（ ）
A．①② B．①③ C．②③ D．②③④
10.如图，菱形对角线，相交于点，点，分别在线段，上，且．以为边作一个菱形，使得它的两条对角线分别在线段，上，设，新作菱形的面积为，则反映与之间函数关系的图象大致是（ ）
A．B．C．D．
填空题（本大题共5小题，每小题4分，共20分。）
11.二次函数y＝﹣x2﹣2x+2的对称轴是x＝__________．
12.若二次函数y＝2x2﹣3的图象上有两个点A（﹣3，m）、B（2，n），则m_____n（填“＜”或“＝”或“＞”）．
13.若抛物线的顶点在第一象限，则m的取值范围为______．
14.一抛物线的形状，开口方向与相同，顶点在(－2，3)，则此抛物线的解析式为_______．
15.二次函数y＝x2﹣4x+m的最小值是2，则m＝_____．
三、解答题（本大题共5小题，每小题10分，共50分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）
16.已知点A（t，1）为函数y＝ax2+bx+4（a，b为常数，且a≠0）与y＝x图象的交点．
（1）求t；
（2）若函数y＝ax2+bx+4的图象与x轴只有一个交点，求a，b；
（3）若1≤a≤2，设当≤x≤2时，函数y＝ax2+bx+4的最大值为m，最小值为n，求m﹣n的最小值．
17.如图，直线y=kx+b(b>0)与抛物线y=x2相交于点A（x1,y1),B(x2,y2)两点，与x轴正半轴相交于点D，于y轴相交于点C，设 OCD的面积为S，且kS+8=0.
（1）求b的值.
（2）求证：点（y1,y2)在反比例函数y=的图像上.
18.一条抛物线的顶点和形状都与抛物线相同，但开口方向相反，求此抛物线解析式，并画出它的图像.
19.二次函数图象上部分点的横坐标x，纵坐标y的对应值如下表：
x … -4 -3 -2 -1 0 1 …
… 5 0 -3 -4 -3 m …
（1）m= ；
（2）在图中画出这个二次函数的图象；
（3）当时，x的取值范围是 ；
（4）当时，y的取值范围是 .
20.如图，在平面直角坐标系中，为原点，四边形是矩形，点、的坐标分别是和，点为对角线上一动点（不与、重合），连结，作，交轴于点，以线段、为邻边作矩形.
（1）填空：点的坐标为______；
（2）当是等腰三角形时，试求出的长；
（3）设，矩形的面积为，求关于的函数关系式，并求出的最小值.
浙教版九年级上册数学 1.2二次函数的图像 同步练习（解析版）
考试时间：60分钟 满分：100分）
选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分。下列各题的备选答案中，只有一项是最符合题意的，请选出。）
1.关于二次函数的下列结论，不正确的是（ ）
A．图象的开口向上 B．当时，随的增大而减小
C．图象经过点 D．图象的对称轴是直线
【答案】D
【分析】
根据二次函数图象性质解题．
【详解】
二次函数，，二次函数开口向上，故A正确；
顶点坐标为，对称轴为，故D错误；
当时，随的增大而减小，故B正确；
当时，，经过点，故C正确，
故选：D．
2.关于二次函数，下列说法正确的是( )
A．图像开口向下 B．图像经过点 C．图像的对称轴是直线 D．最小值是
【答案】D
【分析】
根据二次函数的解析式得到它的图象和性质，选出正确选项．
【详解】
A选项错误，二次项系数大于0，开口向上；
B选项错误，把点代入函数解析式不成立；
C选项错误，对称轴是直线；
D选项正确．
故选：D．
3.已知，是抛物线上两点，则正数（ ）
A．2 B．4 C．8 D．16
【答案】C
【分析】
根据二次函数的对称性可得，代入二次函数解析式即可求解．
【详解】
解：∵，是抛物线上两点，
∴，
∴且n为正数，
解得，
故选：C．
4.已知函数经过A（m，）、B（m 1，），若．则m的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】
由图像开口向下，对称轴为y=0知，要使，需使A点更靠近对称轴y轴，由此列出关于m的不等式解之即可 ．
【详解】
解：∵图像开口向下，对称轴为y=0且
∴，下面解此不等式．
第一种情况，当m＜0时，得，解得m＜0；
第二种情况，当时，得，解得；
第三种情况，当时，得，解得，无解；
综上所述得．
故选：B．
5.抛物线y＝2x2， y＝－2x2， y＝x2的共同性质是（ ）
A．开口向上 B．对称轴是y轴 C．都有最高点 D．y随x的增大而增大
【答案】B
【分析】
根据二次函数的图象与性质解题．
【详解】
抛物线y＝2x2， y＝x2 开口向上，对称轴是对称轴是y轴，有最低点，在y轴的右侧，y随x的增大而增大，y＝－2x2，开口向下，对称轴是对称轴是y轴，有最高点，在y轴的左侧，y随x的增大而增大，
故抛物线y＝2x2， y＝－2x2， y＝x2的共同性质是对称轴是y轴，
故选：B．
6.．抛物线的顶点坐标是（ ）
A．（，1） B．（5，1） C．（，） D．（1，）
【答案】B
【分析】
根据二次函数的顶点求解即可．
【详解】
解：抛物线y=-（x-5）2+1的顶点坐标是（5，1），
故选：B．
7.已知的图象如图所示，则点在（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】C
【分析】
根据图像判断二次函数的系数a、b、c的正负性，即可求得．
【详解】
∵二次函数图像开口向下
∴a＜0
又∵二次函数图形与y轴交点在y正半轴上
∴c＞0
∵对称轴在y轴左侧
∴
∴b＜0
∴ac＜0，bc＜0
∴点在第三象限
故选C
8.已知抛物线与二次函数y=-5x2的图象相同，开口方向相同，且顶点坐标为（-1，2020），它对应的函数表达式为（ ）
A．y=-5(x-1) 2+2020 B．y=5(x-1) 2+2020 C．y=5(x+1) 2+2020 D．y=-5(x+1)2+2020
【答案】D
【分析】
根据题意及二次函数的图像与性质可直接进行排除选项．
【详解】
由已知抛物线与二次函数y=-5x2的图象相同，开口方向相同，且顶点坐标为（-1，2020），则有该抛物线解析式为：y=-5(x+1)2+2020；
故选D．
9.有下列四个函数：①；②；③；④．其中图象经过如图所示阴影部分（包括边界）的函数有（ ）
A．①② B．①③ C．②③ D．②③④
【答案】D
【分析】
根据阴影部分顶点坐标，结合函数图像，作出判断即可．
【详解】
解：①；图像经过（0，0）、（1，2）两点，如图1
②；图像经过（0，4）、（3，2）两点，如图2
③；图像经过（1，4）、（4，1）两点，如图3
④；图像开口向下，顶点为，经过点，，如图4．
∴图象经过如图所示阴影部分（包括边界）的函数有②③④
故选：D．
10.如图，菱形对角线，相交于点，点，分别在线段，上，且．以为边作一个菱形，使得它的两条对角线分别在线段，上，设，新作菱形的面积为，则反映与之间函数关系的图象大致是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】
，即可求解．
【详解】
解：设OB=a，则OP=a-x，
则OQ=OPtan∠QPO=（a-x）tan∠QPO，
故
∵2tan∠QPO为大于0的常数，
故上述函数为开口向上的抛物线，且x=a时，y取得最大值0，
故选：C．
填空题（本大题共5小题，每小题4分，共20分。）
11.二次函数y＝﹣x2﹣2x+2的对称轴是x＝__________．
【答案】-1
【分析】
利用抛物线配方变为顶点式来解即可．
【详解】
解：∵二次函数y＝﹣x2﹣2x+2＝﹣（x+1）2+3，
∴该函数的对称轴是直线x＝﹣1，
故答案为：﹣1．
12.若二次函数y＝2x2﹣3的图象上有两个点A（﹣3，m）、B（2，n），则m_____n（填“＜”或“＝”或“＞”）．
【答案】＞
【分析】
易得抛物线y＝2x2﹣3的对称轴是y轴，然后即可确定点A（﹣3，m）关于y对称的点的坐标是（3，m），再根据抛物线的性质解答即可．
【详解】
解：∵抛物线y＝2x2﹣3的对称轴是y轴，
∴点A（﹣3，m）关于y对称的点的坐标是（3，m），
∵当x＞0时，y随着x的增大而增大，2＜3，
∴m＞n．
故答案为：＞．
13.若抛物线的顶点在第一象限，则m的取值范围为______．
【答案】
【分析】
直接利用抛物线的顶点形式得出抛物线的顶点坐标，结合第一象限点的坐标特点列出不等式组解答即可．
【详解】
抛物线，
顶点坐标为，
顶点在第一象限，
且，
的取值范围为，
故答案为．
14.一抛物线的形状，开口方向与相同，顶点在(－2，3)，则此抛物线的解析式为_______．
【答案】
【分析】
根据二次函数的图象与性质即可得．
【详解】
抛物线的顶点为
可设此抛物线的解析式为
又此抛物线的形状，开口方向与相同
则此抛物线的解析式为
故答案为：．
15.二次函数y＝x2﹣4x+m的最小值是2，则m＝_____．
【答案】6
【分析】
先把y＝x2﹣4x+m配成顶点式得到y＝（x﹣2）2+m﹣4，根据二次函数的性质得到当x＝2时，y有最小值为m﹣4，根据题意得m﹣4＝2，然后解方程即可．
【详解】
解：y＝x2﹣4x+m＝（x﹣2）2+m﹣4，
∵a＝1＞0，
∴当x＝2时，y有最小值为m﹣4，
∴m﹣4＝2，
∴m＝6．
故答案为：6．
三、解答题（本大题共5小题，每小题10分，共50分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）
16.已知点A（t，1）为函数y＝ax2+bx+4（a，b为常数，且a≠0）与y＝x图象的交点．
（1）求t；
（2）若函数y＝ax2+bx+4的图象与x轴只有一个交点，求a，b；
（3）若1≤a≤2，设当≤x≤2时，函数y＝ax2+bx+4的最大值为m，最小值为n，求m﹣n的最小值．
【答案】（1）t＝1；（2）或；（3）m﹣n的最小值
【分析】
（1）把A（t，1）代入y＝x即可得到结论；
（2）根据题意得方程组，解方程组即可得到结论；
（3）把A（1，1）代入y＝ax2＋bx＋4得，b＝ 3 a，得到y＝ax2 （a＋3）x＋4的对称轴为直线x＝，根据1≤a≤2，得到对称轴的取值范围≤x≤2，当x＝时，得到m＝ ，当x＝2时，得到n＝ ，即可得到结论．
【详解】
解：（1）把A（t，1）代入y＝x得t＝1；
（2）∵y＝ax2+bx+4的图象与x轴只有一个交点，
∴，
∴或；
（3）把A（1，1）代入y＝ax2+bx+4得，b＝﹣3﹣a，
∴y＝ax2﹣（a+3）x+4＝a（x﹣）2﹣，
∴对称轴为直线x＝，
∵1≤a≤2，
∴≤x＝≤2，
∵≤x≤2，
∴当x＝时，y＝ax2+bx+4的最大值为m＝﹣，
当x＝2时，n＝﹣，
∴m﹣n＝，
∵1≤a≤2，
∴当a＝2时，m﹣n的值最小，
即m﹣n的最小值．
17.如图，直线y=kx+b(b>0)与抛物线y=x2相交于点A（x1,y1),B(x2,y2)两点，与x轴正半轴相交于点D，于y轴相交于点C，设 OCD的面积为S，且kS+8=0.
（1）求b的值.
（2）求证：点（y1,y2)在反比例函数y=的图像上.
【答案】（1）b=4(b>0) ；（2）见解析
【分析】
（1）根据直线解析式求OC和OD长，依据面积公式代入即可得；
（2）联立方程，根据根与系数的关系即可证明.
【详解】
（1）∵D(0,b),C(-,0)
∴由题意得OD=b,OC= -
∴S=
∴k ()+8=0 ∴b=4(b>0)
（2）∵
∴
∴
∴
∴点（y1,y2)在反比例函数y=的图像上
18.一条抛物线的顶点和形状都与抛物线相同，但开口方向相反，求此抛物线解析式，并画出它的图像.
【答案】，图见解析.
【分析】
根据二次函数的图像性质直接求解即可.
【详解】
解：所求抛物线的顶点和形状与抛物线相同，但开口方向相反，
∴为的相反数，
解析式为
19.如图，在平面直角坐标系中，为原点，四边形是矩形，点、的坐标分别是和，点为对角线上一动点（不与、重合），连结，作，交轴于点，以线段、为邻边作矩形.
（1）填空：点的坐标为______；
（2）当是等腰三角形时，试求出的长；
（3）设，矩形的面积为，求关于的函数关系式，并求出的最小值.
【答案】（1）；（2）满足条件的的长为2或；（3），有最小值.
【解析】
【分析】
（1）求出AB、BC的长即可解决问题；
（2）存在．连接BE，取BE的中点K，连接DK、KC．首先证明B、D、E、C四点共圆，可得∠DBC=∠DCE，∠EDC=∠EBC，由tan∠ACO=∠ACO=，推出∠ACO=30°，∠ACD=60°由△DEC是等腰三角形，观察图象可知，只有ED=EC，推出∠DBC=∠DCE=∠EDC=∠EBC=30°，推出∠DBC=∠BCD=60°，可得△DBC是等边三角形，推出DC=BC=2，由此即可解决问题；
（3）①由（2）可知，B、D、E、C四点共圆，推出∠DBC=∠DCE=30°，由此即可解决问题；
②作DH⊥AB于H．想办法用x表示BD、DE的长，构建二次函数即可解决问题；
解答
【详解】
（1）∵四边形是矩形，∴，，，∴.
（2）如图1，在中，.∵是等腰三角形，故有如下三种情况：
①若，则.
②若，过作于，则.在中，由，得，∵，∴.在中，，∴.
③若，则，∴，这与矛盾，∴.
综上所述，满足条件的的长为2或.
（3）如图2，连结，取的中点，连结、.
∵，∴，以为圆心，为直径作圆，则、、、四点在同一圆上，∴，∴.则.
如图3，作于.
在中，∵，，
∴，，
∴.
在中，，
∴，
∴矩形的面积，
即.
∵，∴时，有最小值.
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