浙教版数学九年级上册1.3 二次函数的性质 精品同步练习（含解析）

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浙教版九年级上册数学 1.3 二次函数的性质 同步练习
(考试时间：60分钟 满分：100分）
选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分。下列各题的备选答案中，只有一项是最符合题意的，请选出。）
1.坐标平面上，若移动二次函数 y=(x －2018x －2020-2 的图象，使其与x轴交于两点，且此两点的距离为2个单位，则移动方式可为( )
A．向上平移 2 个单位 B．向下平移 2 个单位
C．向上平移 1 个单位 D．向下平移 1 个单位
2.如图所示，已知二次函数y＝ax2+bx+c的图象与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，OA＝OC，对称轴为直线x＝1，则下列结论：①abc＜0；②a+b+c＞0；③ac+b+1＝0；④2+c是关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0的一个根．其中正确的有（　　 ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
3.若是抛物线上的三个点，则、、的大小关系是（ ）
A． B． C． D．
4.如果二次函数的图像如图所示，那么下列判断正确的是（ ）
A．，， B．，，
C．，， D．，，
5.将抛物线向上平移2个单位长度，再向右平移3个单位长度后，得到的抛物线的解析式为（ ）
A． B． C． D．
6.二次函数（）的图象如图所示，下列结论：①；②；③；④．其中正确结论的是有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
7.已知点，，在图数的图象上，则，，的大小关系是（ ）
A． B．
C． D．
8.二次函数的图象如图所示，则下列说法：①；②；③；④当时，y随x的增大而减小，其中正确的结论是（ ）
A．①② B．②③ C．③④ D．②④
9.已知二次函数的图象的顶点在第四象限，且过点，当为整数时，的值为( )
A．或1 B．或1 C．或 D．或
10.次函数y=-x2+mx的图象如图，对称轴为直线x=2，若关于x的一元二次方程-x2+mx-t=0（t为实数）在1＜x＜5的范围内有解，求t的取值范围( )
A． B． C． D．
二、填空题（本大题共5小题，每小题4分，共20分。）
11.如图，二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象经过点（1，2）且与x轴交点的横坐标分别为x1，x2，其中﹣1＜x1＜0，1＜x2＜2，下列结论：①4a+2b+c＜0，②2a+b＜0，③b2+8a＞4ac，④a＜﹣1，其中结论正确的有________．
12.如图，抛物线y＝﹣x2+2x+m+1（m为常数）交y轴于点A，与x轴的一个交点在2和3之间，顶点为B．
①抛物线y＝﹣x2+2x+m+1与直线y＝m+2有且只有一个交点；
②若点M（﹣2，y1）、点N（，y2）、点P（2，y3）在该函数图象上，则y1＜y2＜y3；
③将该抛物线向左平移2个单位，再向下平移2个单位，所得抛物线解析式为y＝﹣（x+1）2+m；
④点A关于直线x＝1的对称点为C，点D、E分别在x轴和y轴上，当m＝1时，四边形BCDE周长的最小值为．
其中正确判断的序号是_____．
13.二次函数的部分图象如图所示，对称轴为直线，则关于的方程的解为_______．
14.若抛物线与轴交于点、，与轴交于点则称为“抛物三角形”．特别地，当时，称为“正抛物线三角形”；当时，称为“倒抛物三角形”．那么当为“倒抛物三角形”时，、应分别满足条件__________．
15.如果二次函数的图像经过点，那么__________．
三、解答题（本大题共5小题，每小题10分，共50分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）
16.已知二次函数图象与轴只有一个交点．
（1）求的值；
（2）当时，求的取值范围（要求画出示意图，并结合图象回答）．
17.如图，在平面直角坐标系中，二次函数图像与轴交于，两点，与轴交于点，对称轴与轴交于点，已知点的横坐标为．
（1）则线段______；______．（用的代数式表示）
（2）移动线段，当点与点重合时，点移动后的点恰好落在抛物线上，求二次函数的解析式．
18.在平面直角坐标系中，已知抛物线，．
（1）当时，①求抛物线G与x轴的交点坐标；
②若抛物线G与线段只有一个交点，求n的取值范围；
（2）若存在实数a，使得抛物线G与线段有两个交点，结合图象，直接写出n的取值范围．
19.在平面直角坐标系中，二次函数图象的表达式为，其中．
（1）若此函数图象经过点，求这个二次函数的表达式．
（2）若，为此二次函数图象上两个不同点．
①若，则，试求a的值．
②当，对任意的，都有，试求a的取值范围．
20.已知抛物线y＝a（x+4）2经过点M（﹣3，2），请解答下列问题：
（1）求抛物线的函数表达式，并说明此抛物线是由哪条抛物线经过平移得到的；
（2）求抛物线的开口方向，顶点坐标和对称轴；
（3）写出y随x的变化规律；
（4）求出函数的最大值或最小值．
浙教版九年级上册数学 1.3 二次函数的性质 同步练习（解析版）
考试时间：60分钟 满分：100分）
选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分。下列各题的备选答案中，只有一项是最符合题意的，请选出。）
1.坐标平面上，若移动二次函数 y=(x －2018x －2020-2 的图象，使其与x轴交于两点，且此两点的距离为2个单位，则移动方式可为( )
A．向上平移 2 个单位 B．向下平移 2 个单位
C．向上平移 1 个单位 D．向下平移 1 个单位
【答案】A
【分析】
从抛物线 分析可得，当 时，；所以抛物线与直线相交于(2018，-2)，(2020，-2) 两点，现只需把抛物线 向上平移2个单位得到；而与x轴的交点坐标为，此时此两点的距离为，即此两点的距离正好为2个单位．
【详解】
解：当 时，，
解得 ，
则抛物线与直线相交于(2018，-2)，(2020，-2) 两点，
那么把抛物线 向上平移2个单位得到
，
则与x轴的交点坐标为
此时此两点的距离为，即此两点的距离为2个单位；
故选A．
2.如图所示，已知二次函数y＝ax2+bx+c的图象与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，OA＝OC，对称轴为直线x＝1，则下列结论：①abc＜0；②a+b+c＞0；③ac+b+1＝0；④2+c是关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0的一个根．其中正确的有（　　 ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【分析】
根据抛物线开口，对称轴，与y轴交点判断a、b、c符号，即可判断①正确；根据对称轴，得到a、b关系，结合c即可判断②正确；用c表示A坐标，代入化简即可判断③错误；根据A坐标和对称轴，求出B坐标，即可判断④正确．
【详解】
解：∵抛物线开口向下，
∴a＜0，
∵抛物线的对称轴为直线x＝＝1，
∴b＝﹣2a＞0，
∵抛物线与y轴的交点在x轴上方，
∴c＞0，
∴abc＜0，所以①正确；
∵b＝﹣2a，
∴a+b＝a﹣a＝0，
∵c＞0，
∴a+b+c＞0，所以②正确；
∵C（0，c），OA＝OC，
∴A（﹣c，0），
把A（﹣c，0）代入y＝ax2+bx+c得ac2﹣bc+c＝0，
∴ac﹣b+1＝0，所以③错误；
∵A（﹣c，0），对称轴为直线x＝1，
∴B（2+c，0），
∴2+c是关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0的一个根，所以④正确．
故选：C．
3.若是抛物线上的三个点，则、、的大小关系是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】
分别计算出、、的值，即可得到答案．
【详解】
解：将分别代入，
得
∵
∴
故选：A．
4.如果二次函数的图像如图所示，那么下列判断正确的是（ ）
A．，， B．，，
C．，， D．，，
【答案】D
【分析】
根据抛物线的开口方向确定a的符号，由对称轴的位置确定b的符号，由抛物线与y轴交点的位置确定c的符号，选择作出答案．
【详解】
解：抛物线开口向下，因此a＜0，对称轴在y轴的右侧，a、b异号，所以b＞0，抛物线与y轴交在正半轴，因此c＞0，
故选：D．
5.将抛物线向上平移2个单位长度，再向右平移3个单位长度后，得到的抛物线的解析式为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】
根据二次函数平移法则“左加右减，上加下减”，计算选出正确答案．
【详解】
将抛物线向上平移2个单位长度，再向右平移3个单位长度后，
根据二次函数平移法则可以表示为：，
整理得：
故选：C．
6.二次函数（）的图象如图所示，下列结论：①；②；③；④．其中正确结论的是有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【分析】
①根据抛物线与x轴有两个交点进行判断即可；②根据当x=-2时，y＞0判断即可；③根据x=-1时，y＞0可知a-b+c＞0，判断即可；④根据x=-1时，y有最大值a-b+c判断即可；
【详解】
∵抛物线与x轴有两个交点，
∴ ＞0，
故①正确；
由图象可知，当x=-2时，y＞0，
即4a-2b+c＞0，
∴4a+c＞2b，
故②正确；
∵ x=-1时，y＞0，
∴a-b+c＞0，
∴ a+c＞b，
∵a+b+c＜0，∴a+c＜-b，
∴ ＜ ，
故③错误；
∵x=-1时，y有最大值a-b+c，
∴ ，
∴ ，
故④正确；
故选：C．
7.已知点，，在图数的图象上，则，，的大小关系是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】
先求出抛物线的对称抽，然后由二次函数的性质，再进行判断，即可得到答案．
【详解】
解：∵由函数y=x2+2x+1+m可知则抛物线的对称轴为直线x=1，开口向上，
而点A（1，y1）在对称轴上，（3，y2）、（，y3）在对称轴的右侧，
∵，
∴y2＞y3＞y1．
故选：C．
8.二次函数的图象如图所示，则下列说法：①；②；③；④当时，y随x的增大而减小，其中正确的结论是（ ）
A．①② B．②③ C．③④ D．②④
【答案】D
【分析】
①由抛物线的开口方向向下，与y轴交点在负半轴，对称轴在y轴右侧，确定出a，b及c的正负，即可对于abc的正负作出判断；
②根据对称轴为：x=-=1判断即可；
③根据抛物线与x轴的交点即可求得抛物线的对称轴，然后把x=3代入方程即可求得相应的y的符号；
④由图象得到当x＜0时，y随x的变化而变化的趋势．
【详解】
解：①根据图示知，抛物线开口方向向上，抛物线与y轴交与负半轴，
∴a＞0，c＜0，
∵->0，
∴b＜0，
所以abc＞0．故①错误；
②根据图象得对称轴x=1，即-=1，所以b=-2a，即2a+b=0，故②正确；
③当x=3时，y=0，即9a+3b+c=0．故③错误；
④根据图示知，当x＜0时，y随x的增大而减小，故④正确；
故选：D．
9.已知二次函数的图象的顶点在第四象限，且过点，当为整数时，的值为( )
A．或1 B．或1 C．或 D．或
【答案】A
【分析】
由题意易得，且，则有当x=1时，y<0，即，进而可得，然后由为整数，则有或0或-1，最后求解即可．
【详解】
解：∵二次函数的图象的顶点在第四象限，且过点，
∴，且，当x=1时，y<0，即，
∴，且，
∴，
∴，
∵为整数，
∴或0或-1，
若时，则有，从而；
若时，则有，从而；
若时，则有，从而；
故选A．
10.二次函数y=-x2+mx的图象如图，对称轴为直线x=2，若关于x的一元二次方程-x2+mx-t=0（t为实数）在1＜x＜5的范围内有解，求t的取值范围( )
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】
如图，关于x的一元二次方程-x2+mx-t=0的解就是抛物线y=-x2+mx与直线y=t的交点的横坐标，利用图象法即可解决问题．
【详解】
解：如图，
∵二次函数y=-x2+mx的对称轴为x=2，
∴=2，解得m=4，
∴二次函数解析式为y=-x2+4x，
∴当x=1时，y=-1+4=3，
当x=5时，y=-25+20=-5．
由图象可知关于x的一元二次方程-x2+mx-t=0（t为实数）在1＜x＜5的范围内有解，直线y=t在直线y=-5和直线y=4之间，包括直线y=4，所以-5＜t≤4．
故选：D
填空题（本大题共5小题，每小题4分，共20分。）
11.如图，二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象经过点（1，2）且与x轴交点的横坐标分别为x1，x2，其中﹣1＜x1＜0，1＜x2＜2，下列结论：①4a+2b+c＜0，②2a+b＜0，③b2+8a＞4ac，④a＜﹣1，其中结论正确的有________．
【答案】①②③④
【分析】
由抛物线的开口方向判断a的符号，由抛物线与y轴的交点判断c的符号，然后根据对称轴及抛物线与x轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断．
【详解】
解：由抛物线的开口向下知a＜0，
与y轴的交点为在y轴的正半轴上，得c＞0，
对称轴为x=＜1，
∵a＜0，
∴2a+b＜0，
而抛物线与x轴有两个交点，∴b2-4ac＞0，
当x=2时，y=4a+2b+c＜0，
当x=1时，a+b+c=2．
∵＞2，
∴4ac-b2＜8a，
∴b2+8a＞4ac，
∵①a+b+c=2，则2a+2b+2c=4，
②4a+2b+c＜0，
③a-b+c＜0．
由①，③得到2a+2c＜2，
由①，②得到2a-c＜-4，4a-2c＜-8，
上面两个相加得到6a＜-6，
∴a＜-1．
故答案为：①②③④．
12.如图，抛物线y＝﹣x2+2x+m+1（m为常数）交y轴于点A，与x轴的一个交点在2和3之间，顶点为B．
①抛物线y＝﹣x2+2x+m+1与直线y＝m+2有且只有一个交点；
②若点M（﹣2，y1）、点N（，y2）、点P（2，y3）在该函数图象上，则y1＜y2＜y3；
③将该抛物线向左平移2个单位，再向下平移2个单位，所得抛物线解析式为y＝﹣（x+1）2+m；
④点A关于直线x＝1的对称点为C，点D、E分别在x轴和y轴上，当m＝1时，四边形BCDE周长的最小值为．
其中正确判断的序号是_____．
【答案】①③④
【分析】
联立两个函数解析式，消去，可得，由方程有两个相等的实数根，从而可判断①，由抛物线的对称轴为：，可得：点P（2，y3）关于x＝1的对称点为，再利用抛物线的开口向下，当x＜1时，y随x增大而增大，从而可判断②，由抛物线的平移规律：左加右减，上加下减，可判断③，当m＝1时，抛物线的解析式为：y＝﹣x2+2x+2，作点B关于y轴的对称点，作C点关于x轴的对称点，从而可得四边形BCDE周长的最小值为，由此即可得答案．
【详解】
解：①把y＝m+2代入y＝﹣x2+2x+m+1中，得x2﹣2x+1＝0，
∵△＝4﹣4＝0，
∴此方程两个相等的实数根，
则抛物线y＝﹣x2+2x+m+1与直线y＝m+2有且只有一个交点，故①正确；
②∵抛物线的对称轴为x＝1，
∴点P（2，y3）关于x＝1的对称点为，
∵a＝﹣1＜0，
∴当x＜1时，y随x增大而增大，
又∵﹣2＜0，且点M（﹣2，y1）、点N（，y2）、点在该函数图象上，
∴y2＞y3＞y1，故②错误；
③将该抛物线向左平移2个单位，再向下平移2个单位所得抛物线的解析式为：，
即y＝﹣（x+1）2+m，故③正确；
④当m＝1时，抛物线的解析式为y＝﹣x2+2x+2，
∴A（0，2），C（2，2），B（1，3），
作点B关于y轴的对称点，
作C点关于x轴的对称点，
连接，与x轴、y轴分别交于D、E点，相交于，如图所示：
则，
根据两点之间线段最短，知最短，而BC的长度一定，
∴此时，四边形BCDE周长的最小值为，
即，
故④正确；
故答案为：①③④．
13.二次函数的部分图象如图所示，对称轴为直线，则关于的方程的解为_______．
【答案】，
【分析】
观察函数图像可直接写出方程的一个解，二次函数对称轴为直线，根据函数图像与x轴的两个交点到对称轴的距离相等，得出方程另一个解的值．
【详解】
解：由二次函数图像可得，
抛物线与x轴的一个交点为，对称轴是直线，
则抛物线与x轴的另一个交点为，
当时，关于x的方程的两个解为：，．
故答案为：，．
14.若抛物线与轴交于点、，与轴交于点则称为“抛物三角形”．特别地，当时，称为“正抛物线三角形”；当时，称为“倒抛物三角形”．那么当为“倒抛物三角形”时，、应分别满足条件__________．
【答案】，．
【分析】
首先根据抛物线的性质，确定mn<0，根据题意得出c<0；图像与x轴有两个交点，即 >0确定a>0即可．
【详解】
解：由题意得，的对称轴为：x=0，所以m、n分别在y轴两侧，
即：mn<0
若
则：c<0；
∵抛物线与x轴有两个交点，
即：-4ac>0
∴a>0
故：答案为，．
15.如果二次函数的图像经过点，那么__________．
【答案】
【分析】
把代入解析式即可得到关于的一个方程，同时为了保证该函数是二次函数即二次项系数不为零可得关于的不等式，综合两个式子即可求得答案．
【详解】
解：∵二次函数的图像经过点
∴
∴．
故答案是：
三、解答题（本大题共5小题，每小题10分，共50分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）
16.已知二次函数图象与轴只有一个交点．
（1）求的值；
（2）当时，求的取值范围（要求画出示意图，并结合图象回答）．
【答案】（1）2；（2）0≤y≤16．
【分析】
（1）利用判别式的意义得到△=（-b）2-4（b-1）=0，然后解方程即可；
（2）先配方得到抛物线的顶点坐标为（-1，0），再分别计算出自变量为-2和3对应的函数值，然后根据二次函数的性质求解．
【详解】
解：（1）根据题意得△=b2-4（b-1）=0，
解得b1=b2=2，
即b的值为2；
（2）∵抛物线解析式为y=x2+2x+1=（x+1）2，
∴抛物线的顶点坐标为（-1，0），
当x=-2时，y=1；当x=-1时，y=0；
当x=3时，y=9+6+1=16，
∴当-2≤x≤3时，y的取值范围为0≤y≤16．
17.如图，在平面直角坐标系中，二次函数图像与轴交于，两点，与轴交于点，对称轴与轴交于点，已知点的横坐标为．
（1）则线段______；______．（用的代数式表示）
（2）移动线段，当点与点重合时，点移动后的点恰好落在抛物线上，求二次函数的解析式．
【答案】（1）；（2）
【分析】
（1）将A点横坐标代入抛物线得，线段OC的距离为C的纵坐标的绝对值，AD= OA+OD，由此解答即可．
（2）根据自变量与函数值的对应关系，可得b，c点坐标，根据待定系数法，可得函数解析式．
【详解】
解：∵A点横坐标为-1，且在轴，
∴A点横坐标为（-1,0），将A点横坐标代入抛物线得
0=
=c
线段OC的距离为C的纵坐标的绝对值
将x=0代入得y=c=
对称轴为，
，且对称轴在y轴的右侧，
∴b>0,即
AD= OA+OD=b-（-1）=b+1
（2）过O点做OB＇平行x轴，OB＇即为移动后的BD
又∵DA=OD+OA=b+1
∴B＇点的横坐标为b+1, 纵坐标为 ，将B＇点的坐标 代入二次函数得
=b+
化简得
解得b=1或b=-1
又∵b>0，∴b=1，c= ，
∴二次函数的解析式为．
18.在平面直角坐标系中，已知抛物线，．
（1）当时，①求抛物线G与x轴的交点坐标；
②若抛物线G与线段只有一个交点，求n的取值范围；
（2）若存在实数a，使得抛物线G与线段有两个交点，结合图象，直接写出n的取值范围．
【答案】(1) ①（2，0）、（0，0），②0≤n＜2；(2) n≤-3或n≥1
【分析】
（1）①把a=1代入二次函数表达式得：y=4x2-8x，令y=0，即可求解；
②抛物线G与线段AN只有一个交点，则x=-1时，y≥0（已经成立），x=n时，y＜0，且n＞-1，即可求解；
（2）由②知，抛物线G与线段AN有两个交点，则x=-1时，y≥0，x=n时，y≥0，即可求解．
【详解】
解：（1）①把a=1代入二次函数表达式得：y=4x2-8x，
令y=0，即4x2-8x=0，解得：x=0或2，
即抛物线G与x轴的交点坐标为：（2，0）、（0，0）；
②抛物线G与线段AN只有一个交点，
由图知，当n=0时，抛物线G与线段AN有一个交点，
当n=2时，抛物线G与线段AN有两个交点，
∴0≤n＜2；
（2）当y=0时，，
∴=a－1，，
∴ 与x轴的交点坐标为（a－1，0），（a+1，0）
∵a－1＜a+1.
∴点（a－1，0）在（a+1,0）左侧，
又，
①当点N在点A的右侧时，
∵抛物线G与线段有两个交点，
∴
∴n≥1
②当N在A的左侧时，由抛物线G与线段有两个交点得
∴n≤﹣3
综上n的取值范围为：n≤-3或n≥1．
19.在平面直角坐标系中，二次函数图象的表达式为，其中．
（1）若此函数图象经过点，求这个二次函数的表达式．
（2）若，为此二次函数图象上两个不同点．
①若，则，试求a的值．
②当，对任意的，都有，试求a的取值范围．
【答案】（1）；（2）①a＝；②．
【分析】
（1）直接将点代入即可；
（2）①利用等式的性质，求解a；
②由已知当x1＞x2≥2，对任意的x1，x2都有，则在x1＞x2≥2时，二次函数是递减的，结合图象即可求解；
【详解】
（1）∵函数图象过点，
∴将点代入y＝ax2+(a+1)x，
解得：a＝﹣2，
；
（2）①∵(x1，y1)，(x2，y2)为此二次函数图象上两个不同点
∴x1≠x2，
∵y1＝y2，
∴ax12+(a+1)x1＝ax22+(a+1)x2，
∴a(x1+x2)(x1﹣x2)＝(a+1)(x2﹣x1)，
a(x1+x2)＝﹣(a+1)，
∵x1+x2＝4，
∴a＝；
②函数y＝ax2+（a+1）x的对称轴是，
∵x1＞x2≥2，对任意的x1，x2都有，
当a＞0时，无法满足条件；
当a＜0时，，，
∴．
20.已知抛物线y＝a（x+4）2经过点M（﹣3，2），请解答下列问题：
（1）求抛物线的函数表达式，并说明此抛物线是由哪条抛物线经过平移得到的；
（2）求抛物线的开口方向，顶点坐标和对称轴；
（3）写出y随x的变化规律；
（4）求出函数的最大值或最小值．
【答案】（1）抛物线解析式为y＝2（x+4）2，是由抛物线y＝2x2向左平移4个单位得到；（2）抛物线开口方向向上，顶点坐标为（﹣4，0），对称轴为直线x＝﹣4；（3）x＜﹣4时，y随x的增大而减小，x＞﹣4时，y随x的增大而增大；（4）当x＝﹣4时，函数有最小值0．
【分析】
（1）把代入函数解析式，求解的值，再根据抛物线的平移规律：左加右减，上加下减，即可得到答案；
（2）由的符号可确定抛物线的开口方向，再根据顶点式直接得到抛物线的顶点坐标，对称轴方程；
（3）由抛物线的开口方向及对称轴方程，确定抛物线的增减性，从而可得答案；
（4）由抛物线的开口方向及顶点的纵坐标，可得函数的最值，从而可得答案．
【详解】
解：（1）∵抛物线y＝a（x+4）2经过点M（﹣3，2），
∴a（﹣3+4）2＝2，解得a＝2，
∴抛物线解析式为y＝2（x+4）2，
是由抛物线y＝2x2向左平移4个单位得到；
（2）∵a＝2＞0，
∴抛物线开口方向向上，顶点坐标为（﹣4，0），对称轴为直线x＝﹣4；
（3）x＜﹣4时，y随x的增大而减小，
x＞﹣4时，y随x的增大而增大；
（4） 抛物线的顶点坐标为，
当时，函数有最小值0．
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