浙教版数学九年级上册1.4 二次函数的应用 精品同步练习（含解析）

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浙教版九年级上册数学 1.4二次函数的应用 同步练习
考试时间：60分钟 满分：100分）
选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分。下列各题的备选答案中，只有一项是最符合题意的，请选出。）
1.烟花厂某种礼炮的升空高度h(m)与飞行时间t(s)的关系式是，若这种礼炮在点火升空到最高点处引爆，则从点火升空到引爆需要的时间为( )
A． B． C． D．
2.如图是抛物线型拱桥，当拱顶离水面时，水面宽．若水面再下降，水面宽度为（ ）．
A． B． C． D．
3.如图，二次函数的图象经过点，且与x轴交点的横坐标分别为、，其中，，下列结论：（1）；（2）；（3）；（4）． 其中正确的个数是（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
4.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，，CD⊥AB于点D，点P从点A出发，沿A-D-C的路径运动，运动到点C停止，过点P作PE⊥AC于点E，作PF⊥BC于点F，设点P的运动路程为x，四边形CEPF的面积为y，则能反映y与x之间函数关系的图象是（ ）
A．B．C．D
5.据省统计局公布的数据，安徽省年第二季度总值约为千亿元人民币，若我省第四季度总 值为千亿元人民币，平均每个季度增长的百分率为，则关于的函数表达式是（ ）
A． B．
C． D．
6.在西宁市中考体考前，某初三学生对自己某次实心球训练的录像进行分析，发现实心球飞行高度y（米）与水平距离x（米）之间满足函数解析式yx2x，由此可知该生此次实心球训练的成绩为（　　　）
A．6米 B．8米 C．10米 D．12米
7.有一拱桥洞呈抛物线形，这个桥洞的最大高度是16m，跨度为40m，现把它的示意图（如图）放在坐标系中，则抛物线的解析式为（　　）
A． B．
C． D．
8.如图，开口向下的抛物线交y轴正半轴于点A，对称轴为直线x=1．下列结论：①；②若抛物线经过点（ -1，0），则；③； 若（，），（， ）是抛物线上两点，且，则． 其中正确的结论是( )
A．①④ B．①② C．③④ D．②③
9.某农场拟建两间矩形饲养室，一面靠足够长的墙体，中间用一道围栏隔开，并在如图所示的两处各留1m宽的门，所有围栏的总长（不含门）为22m，若要使得建成的饲养室面积最大，则利用墙体的长度为（　　　）
A．13 B．12 C．8 D．6
10.已知是实数，且满足，则相应的函数的值为（ ）
A．13 或3 B．7 或3 C．3 D．13或7或3
填空题（本大题共5小题，每小题4分，共20分。）
11.如图，是一座拱形桥的竖直截面图，水面与截面交于AB两点，拱顶C到AB的距离为4m，AB=12m，DE为拱桥底部的两点，且DE∥AB，点E到AB的距离为5cm，则DE的长度为______________ ．
12.某种洒杯的轴截面是一条抛物线段，在酒杯中加酒，当酒水深为lcm时，液面宽为2cm，将酒杯装满酒后，再倾斜至与水平面成30°，此时酒杯中余下酒深度为2cm，这个酒杯的杯口直径为______cm．
13.如图，抛物线的对称轴是过点且平行于轴的直线，若点在该抛物线上，则的值为____．
14.如图，抛物线与直线交于，两点，将抛物线沿射线方向平移个单位．在整个平移过程中，抛物线与直线交于点，则点经过的路程为______．
15.对于抛物线，当时，关于x的一元二次方程有解，则t的取值范围是 ______．
三、解答题（本大题共5小题，每小题10分，共50分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）
16.如图，抛物线交轴于点，与轴交于点，顶点坐标为．
（1）求直线与这个二次函数的解析式：
（2）在直线上方的抛物线上有一动点，当与直线的距离最大时，求点的坐标，并求最大距离是多少？
17.某农场要建一个饲养场（矩形）两面靠现有墙（位置的墙最大可用长度为21米，位置的墙最大可用长度为15米），另两边用木栏围成，中间也用木栏隔开，分成两个场地及一处通道，并在如图所示的三处各留1米宽的门（不用木栏）．建成后木栏总长45米，设饲养场（矩形）的一边长为米．
（1）饲养场另一边__________米（用含的代数式表示）；
（2）若饲养场的面积为180平方米，求的值；
（3）饲养场的面积能围成面积比更大的吗？如果能，请求出最大面积，并说明围法；如果不能，请说明理由．
18.新华书店为满足广大九年级学生的需求，订购《走进数学》若干本，每本进价为16元. 根据以往经验：当销售单价是20元时，每天的销售量是200本，销售单价每上涨1元，每天的销售量就减少10本，书店要求每本书的利润不低于25%且不高于50%．
(1)请直接写出书店销售《走进数学》每天的销售量y(本)与销售单价x(元)之间的函数关系式及自变量的取值范围；
(2)当销售单价定为多少元时，每天的利润最大，最大利润是多少？
19.如图，在平面直角坐标系中，边长为2的正方形的顶点与原点重合，顶点在轴的正半轴上，点在轴的正半轴上．抛物线经过点与点．
（1）求这个二次函数的表达式；
（2）将正方形向左平移个单位（），边与分别与（1）中的二次函数图像交于、，若点纵坐标是点纵坐标的2倍，求的值．
20.自2020年3月开始，我国生猪、猪肉价格持续上涨，某大型菜场在销售过程中发现，从2020年10月1日起到11月9日的40天内，猪肉的每千克售价与上市时间的关系用图1的一条折线表示：猪肉的进价与上市时间的关系用图2的一段抛物线表示．
（1）________；
（2）求图1表示的售价与时间的函数关系式；
（3）问从10月1日起到11月9日的40天内第几天每千克猪肉利润最低，最低利润为多少？
浙教版九年级上册数学 1.4 二次函数的应用 同步练习
(考试时间：60分钟 满分：100分）
选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分。下列各题的备选答案中，只有一项是最符合题意的，请选出。）
1.烟花厂某种礼炮的升空高度h(m)与飞行时间t(s)的关系式是，若这种礼炮在点火升空到最高点处引爆，则从点火升空到引爆需要的时间为( )
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】
把化成顶点式，进而问题可求解．
【详解】
解：由题意得：
，
∴当t=5s时，礼炮达到最高点；
故选B．
2.如图是抛物线型拱桥，当拱顶离水面时，水面宽．若水面再下降，水面宽度为（ ）．
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】
以AB所在直线为x轴，以过拱顶C且垂直于AB的直线为y轴，建立平面直角坐标系，由待定系数法求得二次函数的解析式，然后由题意得关于x的一元二次方程，解得x的值，用较大的x值减去较小的x值即可得出答案．
【详解】
解：如图，以AB所在直线为x轴，以过拱顶C且垂直于AB的直线为y轴，建立平面直角坐标系，
则由题意可知A（-2，0），B（2，0），C（0，2），
设该抛物线的解析式为y=ax2+2，将B（2，0）代入得：
0=a×4+2，
解得：a=-．
∴抛物线的解析式为y=-x2+2，
∴若水面再下降1.5m，则有-1.5=-x2+2，
解得：x=±．
∵-（-）=2，
∴水面宽度为2m．
故选：D．
3.如图，二次函数的图象经过点，且与x轴交点的横坐标分别为、，其中，，下列结论：（1）；（2）；（3）；（4）． 其中正确的个数是（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】D
【分析】
根据二次函数图象和性质进行注意判断即可．
【详解】
解：（1）将x=-2代入，可以结合图象得出，正确；
（2）∵，，
∴，即b>2a，
整理得，正确；
（3）已知抛物线经过（-1，2），即a-b+c=2①，
由图可知：当x=1时，y＜0，即a+b+c＜0②，
+②得：2a+2c＜2，即a+c＜1，正确；
（4）由于抛物线的对称轴大于-1，可知抛物线的顶点纵坐标应该大于2，即，由于a＜0，所以4ac-b2＜8a，即b2+8a＞4ac，正确．
故选：D．
4.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，，CD⊥AB于点D，点P从点A出发，沿A-D-C的路径运动，运动到点C停止，过点P作PE⊥AC于点E，作PF⊥BC于点F，设点P的运动路程为x，四边形CEPF的面积为y，则能反映y与x之间函数关系的图象是（ ）
A．B．C．D
【答案】A
【分析】
根据Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC=2，可得AB=4，根据CD⊥AB于点D．可得AD=BD=2，CD平分角ACB，点P从点A出发，沿A→D→C的路径运动，运动到点C停止，分两种情况讨论：根据PE⊥AC，PF⊥BC，可得四边形CEPF是矩形和正方形，设点P运动的路程为x，四边形CEPF的面积为y，进而可得能反映y与x之间函数关系式，从而可以得函数的图象．
【详解】
解：∵在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC=2，
∴AB=4，∠A=45°，
∵CD⊥AB于点D，
∴AD=BD=2，
∵PE⊥AC，PF⊥BC，
∴四边形CEPF是矩形，
∴CE=PF，PE=CF，
∵点P运动的路程为x，
∴当点P从点A出发，沿A→D路径运动时，
即0＜x＜2时，
AP=x，
则AE=PE=x sin45°=
∴CE=AC-AE=
∵四边形CEPF的面积为y，
y=PE CE
=
∴当0＜x＜2时，抛物线开口向下；
当点P沿D→C路径运动时，
即2≤x＜4时，
∵CD是∠ACB的平分线，
∴PE=PF，
∴四边形CEPF是正方形，
∵AD=2，PD=x-2，
∴CP=4-x，
∴当2≤x＜4时，抛物线开口向上，
综上所述：能反映y与x之间函数关系的图象是：A．
故选：A．
5.据省统计局公布的数据，安徽省年第二季度总值约为千亿元人民币，若我省第四季度总 值为千亿元人民币，平均每个季度增长的百分率为，则关于的函数表达式是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】
根据平均每个季度GDP增长的百分率为x，第三季度季度GDP总值约为7.9（1+x）元，第四季度GDP总值为7.9（1+x）2元，则函数解析式即可求得．
【详解】
解：设平均每个季度GDP增长的百分率为x，则y关于x的函数表达式是：y=7.9（1+x）2．
故选：C．
6.在西宁市中考体考前，某初三学生对自己某次实心球训练的录像进行分析，发现实心球飞行高度y（米）与水平距离x（米）之间满足函数解析式yx2x，由此可知该生此次实心球训练的成绩为（　　　）
A．6米 B．8米 C．10米 D．12米
【答案】C
【分析】
根据铅球落地时，高度y=0，把实际问题可理解为当y=0时，求x的值即可．
【详解】
解：当y=0时，即yx2x0，
解得：x=﹣2（舍去），x=10．
∴该生此次实心球训练的成绩为10米．
故选：C．
7.有一拱桥洞呈抛物线形，这个桥洞的最大高度是16m，跨度为40m，现把它的示意图（如图）放在坐标系中，则抛物线的解析式为（　　）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】
根据题意设出顶点式，将原点代入即可解题．
【详解】
由图可知该抛物线开口向下，对称轴为x＝20，
最高点坐标为（20，16），且经过原点，
由此可设该抛物线解析式为，
将原点坐标代入可得，
解得：a＝，
故该抛物线解析式为y＝ ＝
故选：B．
8.如图，开口向下的抛物线交y轴正半轴于点A，对称轴为直线x=1．下列结论：①；②若抛物线经过点（ -1，0），则；③； 若（，），（， ）是抛物线上两点，且，则． 其中正确的结论是( )
A．①④ B．①② C．③④ D．②③
【答案】B
【分析】
由抛物线的开口方向判断的符号，由抛物线与轴的交点判断的符号，然后根据对称轴及抛物线与轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断．
【详解】
解：对称轴是直线，
，即，故①符合题意；
抛物线经过点，对称轴是直线，
抛物线与轴的另一个交点为，
当时，，故②符合题意；
观察图象可知，开口方下，对称轴在轴的右侧，与轴交于正半轴，
，故③不符合题意；
当，则，
当，则，
当，无法判断，故④不符合题意;
综上所述，正确的有：①②
故选：．
9.某农场拟建两间矩形饲养室，一面靠足够长的墙体，中间用一道围栏隔开，并在如图所示的两处各留1m宽的门，所有围栏的总长（不含门）为22m，若要使得建成的饲养室面积最大，则利用墙体的长度为（　　　）
A．13 B．12 C．8 D．6
【答案】B
【分析】
设垂直于墙体的围栏长为x，则平行于墙体的围栏长为，饲养室的长为，可得饲养室的面积可表示为，可得当时，饲养室的面积最大，因此可以得到墙体的长度．
【详解】
设垂直于墙体的围栏长为x，则平行于墙体的围栏长为．
饲养室长和宽各留了一处1m的门，
饲养室的长为．
饲养室的面积可表示为：．
∵当时，饲养室的面积最大，
∴墙体的长度为，
故选：B．
10.已知是实数，且满足，则相应的函数的值为（ ）
A．13 或3 B．7 或3 C．3 D．13或7或3
【答案】C
【分析】
根据二次根式有意义的条件，解得，再运用因式分解法解，筛选符合条件的x的值，即，代入二次函数，求值即可解题．
【详解】
根据二次根式的有意义的条件，得
或或
解得（舍去）或（舍去）或
当时，
故选：C．
填空题（本大题共5小题，每小题4分，共20分。）
11.如图，是一座拱形桥的竖直截面图，水面与截面交于AB两点，拱顶C到AB的距离为4m，AB=12m，DE为拱桥底部的两点，且DE∥AB，点E到AB的距离为5cm，则DE的长度为______________ ．
【答案】18
【分析】
先建立平面直角坐标系，以直线DE为x轴，y轴为经过点C且垂直于AB的直线，设AB与y轴交于H，求出OC的长，然后设该抛物线的解析式为：，根据条件求出解析式，再令y=0，求出x的值，即可得到DE的长度．
【详解】
解：如图所示，建立平面直角坐标系，以直线DE为x轴，y轴为经过点C且垂直于AB的直线，
设AB与y轴交于点H，
∵AB=12，
∴AH=BH=6，
由题可知：
OH=5，CH=4，
∴OC=5+4=9，
∴B（6，5），C（0，9）
设该抛物线的解析式为：，
∵顶点C（0，9），
∴抛物线，
代入B（6，5）
得5=36a+9，解得，
∴抛物线解析式为，
当y=0时，，
解得x=±9，
∴E（9，0），D（-9，0），
∴OE=OD=9，
∴DE=OD+OE=9+9=18，
故答案为：18．
12.某种洒杯的轴截面是一条抛物线段，在酒杯中加酒，当酒水深为lcm时，液面宽为2cm，将酒杯装满酒后，再倾斜至与水平面成30°，此时酒杯中余下酒深度为2cm，这个酒杯的杯口直径为______cm．
【答案】
【分析】
建立如下图所示的平面直角坐标系，相当于抛物线经过点(0,0)，(1,1)求得解析式为y=x ，设杯口直径为2d，设倒满酒时酒的高度为m，相当于抛物线经过(d,m)，再由倾斜30°时杯中酒深度为2cm时将m用d代数式表示，再代入解析式中求出d即可．
【详解】
解：如下图所示以酒杯内最低点为原点建立直角坐标系，
故抛物线的顶点坐标为原点，设抛物线解析式为y=ax ，
当酒水深为lcm时，液面宽为2cm，相当于抛物线且经过点(1,1)，代入解析式中，a=1，
故抛物线解析式为：y=x ，
设杯口直径为2d，设倒满酒时酒的高度为m，相当于抛物线经过(d,m)，
由“倾斜至与水平面成30°，此时酒杯中余下酒深度为2cm”，如下图所示：
此时FH=EC=2，∠DEF=30°，DF=d，
在Rt△EDF中，EF=2DF=2d，ED=，
在Rt△OEC中，OE=2EC=4，
∴OD=OE+ED=，
∴m=OD=,
∴将点()，代入y=x ，
即：，解得：(负值舍去)，
故杯口的直径为：．
13.如图，抛物线的对称轴是过点且平行于轴的直线，若点在该抛物线上，则的值为____．
【答案】0
【分析】
根据对称性确定抛物线与x轴的另一个交点为，代入解析式求解即可；
【详解】
如解图，设抛物线与轴的另一个交点是，
∵抛物线的对称轴是过点(1，0)的直线，与轴的一个交点是，
∴与轴的另一个交点，
把(，0)代入解析式得：，
．
故答案为：0
14.如图，抛物线与直线交于，两点，将抛物线沿射线方向平移个单位．在整个平移过程中，抛物线与直线交于点，则点经过的路程为______．
【答案】
【分析】
根据函数图象平移的知识点判断即可；
【详解】
由题意可知将图形沿进行平移，
不妨设，
由题意可得：，
∵讨论时的运动路程，
∴将代入则有，
即讨论时，y值的变化，
当时，的最小值为，
∴当时，y随x增大而减小，时，，
∴y从9运动至，路程为，
当时，y随x的增大而增大，时，，
y从运动至4，路程为，
∴总路程为；
故答案是：．
15.对于抛物线，当时，关于x的一元二次方程有解，则t的取值范围是 ______．
【答案】﹣1≤t＜8
【分析】
结合直角坐标系，将一元二次方程转化成二次函数与一次函数图象相交的问题，确定二次函数 在上的取值范围即可求解．
【详解】
解：当时，关于x的一元二次方程有解，
∴
即在图象上和在相交，
∵
当x=2时， 有最小值﹣1
当x＝﹣1是， 有最大值8
即当是，﹣1≤y1＜8
∴﹣1≤t＜8
故答案为：﹣1≤t＜8
三、解答题（本大题共5小题，每小题10分，共50分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）
16.如图，抛物线交轴于点，与轴交于点，顶点坐标为．
（1）求直线与这个二次函数的解析式：
（2）在直线上方的抛物线上有一动点，当与直线的距离最大时，求点的坐标，并求最大距离是多少？
【答案】（1），；（2），DE的最大值为
【分析】
（1）首先根据抛物线的顶点坐标设出抛物线的解析式，然后将点A代入即可求解抛物线的解析式，然后根据抛物线的解析式求出点B的坐标，最后利用待定系数法即可求直线AB的解析式；
（2）将DE的最大值转化成，然后设出点D的坐标，利用和二次函数的性质求出的最大值，从而可确定点D的坐标及DE的最大值．
【详解】
（1）∵抛物线顶点坐标为，
设抛物线的解析式为，
∵抛物线交轴于点，
，
解得，
，
当时，，
∴，
设直线AB的解析式为
将点代入解析式中得
解得
∴直线AB的解析式为；
（2）过点D作y轴的垂线，垂足为C，再过点A作，垂足为G，连接BD，AD，
∵AB为定值，
∴当DE的值越大时，的面积越大．
设 ，
∴，
即
，
∴当时，的最大值为，
将代入中，得到，
即，
又，且，
，
，
∴DE的最大值为．
17.某农场要建一个饲养场（矩形）两面靠现有墙（位置的墙最大可用长度为21米，位置的墙最大可用长度为15米），另两边用木栏围成，中间也用木栏隔开，分成两个场地及一处通道，并在如图所示的三处各留1米宽的门（不用木栏）．建成后木栏总长45米，设饲养场（矩形）的一边长为米．
（1）饲养场另一边__________米（用含的代数式表示）；
（2）若饲养场的面积为180平方米，求的值；
（3）饲养场的面积能围成面积比更大的吗？如果能，请求出最大面积，并说明围法；如果不能，请说明理由．
【答案】（1）（48-3x）；（2） x=10；（3）当x=9时，S有最大值189m2.
【分析】
（1）用45米加上三个1米，再减去3x即可；
（2）根据矩形面积等于长乘以宽，列出关于x的一元二次方程并求解，然后根据问题的实际意义作出取舍；
（3）设饲养场ABCD的面积为S，根据题意得出关于x的二次函数并根据二次函数的性质得出答案．
【详解】
解：（1）BC的长为：45+1+1+1-3x=（48-3x）米
故答案为：（48-3x）；
（2）由题意得：x（48-3x）=180
解得：x1=6，x2=10，
∵1＜48-3x≤21，1＜x≤15，
∴9≤x≤15，
∴x=10．
（3）设饲养场ABCD的面积为S，则有：
S=x（48-3x）
=-3x2+48x
=-3（x-8）2+192，
∵由（2）可知9≤x≤15，
∴由二次函数的性质可知，当x=9时，S有最大值189m2，
∴饲养场ABCD的面积能围成面积比180m2更大的，其最大面积为189m2．
18.新华书店为满足广大九年级学生的需求，订购《走进数学》若干本，每本进价为16元. 根据以往经验：当销售单价是20元时，每天的销售量是200本，销售单价每上涨1元，每天的销售量就减少10本，书店要求每本书的利润不低于25%且不高于50%．
(1)请直接写出书店销售《走进数学》每天的销售量y(本)与销售单价x(元)之间的函数关系式及自变量的取值范围；
(2)当销售单价定为多少元时，每天的利润最大，最大利润是多少？
【答案】（1）；（2）当销售单价定为24元时，利润最大，为1280元．
【分析】
（1）根据题意易得每天减少的销量为本，然后问题可求解；
（2）设每天的利润为w元，根据题意可得，然后根据二次函数的性质可进行求解．
【详解】
解：（1）由题意得：
，
∵书店要求每本书的利润不低于25%且不高于50%，
∴，
解得：，
∴每天的销售量y(本)与销售单价x(元)之间的函数关系式为；
（2）设每天的利润为w元，根据题意得：
，
∵，开口向下，对称轴为直线，
∴当时，y随x的增大而增大，
∴当x=24时，利润最大，最大值为：（元）；
答：当销售单价定为24元时，每天的利润最大，最大利润是1280元．
19.如图，在平面直角坐标系中，边长为2的正方形的顶点与原点重合，顶点在轴的正半轴上，点在轴的正半轴上．抛物线经过点与点．
（1）求这个二次函数的表达式；
（2）将正方形向左平移个单位（），边与分别与（1）中的二次函数图像交于、，若点纵坐标是点纵坐标的2倍，求的值．
【答案】（1）；（2）
【分析】
（1）由题意可知点B、D的坐标分别为（2，0），（0，2），利用待定系数法即可求得二次函数关系式；
（2）先分别表示出点P、Q的横坐标，进而可表示出它们的纵坐标，再根据题意列出方程求解即可．
【详解】
解：（1）由题意可知点B、D的坐标分别为（2，0），（0，2），
将（2，0），（0，2）代入，得
解得
∴二次函数的表达式为；
（2）∵正方形向左平移个单位（），边与分别与（1）中的二次函数图像交于、，
∴点P的横坐标为-m，点Q的横坐标为2-m，
当x=-m时，，
当x=2-m时，
∵点纵坐标是点纵坐标的2倍，
∴
解得，（舍去）
∴m的值为．
20.自2020年3月开始，我国生猪、猪肉价格持续上涨，某大型菜场在销售过程中发现，从2020年10月1日起到11月9日的40天内，猪肉的每千克售价与上市时间的关系用图1的一条折线表示：猪肉的进价与上市时间的关系用图2的一段抛物线表示．
（1）________；
（2）求图1表示的售价与时间的函数关系式；
（3）问从10月1日起到11月9日的40天内第几天每千克猪肉利润最低，最低利润为多少？
【答案】（1）；（2）；（3）当20天或40天，最小利润为10元千克
【分析】
（1）把代入可得结论；
（2）当时，设，把，代入；当时，设，把，代入，分别求解即可；
（3）设利润为，分两种情形：当时、当时，利用二次函数的性质分别求解即可．
【详解】
解：（1）把代入，得到，
故答案为：．
（2）当时，设，
把，代入得到，
解得，
．
当时，设，
把，代入得到，
解得，
．
综上所述，．
（3）设利润为．
当时，，
当时，有最小值，最小值为10（元千克）．
当时，
，
当时，最小利润（元千克），
综上所述，当20天或40天，最小利润为10元千克．
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