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【冲击重高（压轴题）】浙教版2024-2025学年九年级上数学
第4章相似三角形
考试时间：120分钟 满分：120分
一、选择题（本大题有10小题，每小题3分，共30分）
下面每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的.
1．如图，已知AB=AC，∠B＜30°，BC上一点D满足∠BAD=120°，=，则的值为（ ）
A． B． C． D．
（第1题） （第2题） （第3题） （第4题）
2．如图所示，是等边三角形ABC的边AB上一点，且.现将折叠，使点与点重合，折痕为EF，点E，F分别在AC和BC上，则CE：CF等于（ ）.
A． B． C． D．
3．如图，在矩形中，，点分别在边上，且与关于直线对称.点在边上，分别与交于两点.若，，则（ ）
A． B． C． D．
4．如图， 点P是平行四边形内部一点， 过P分别作和的平行线交平行四边 形的四边于. 连结分别交于M和N. 若四边形四边形，且四边形的面积是四边形的3倍. 下列选项正确的是（ ）
A． B． C． D．
5．如图，点，，分别在的边上，，，，点是的中点，连接并延长交于点，的值是（ ）.
A． B． C． D．
（第5题） （第6题） （第7题） （第8题）
6．如图，中，，在上，且，连接，作分别交于，于，为的中点，连接交于.现有以下结论：①；②；③；④.其中正确结论有（ ）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
7．由四个全等的直角三角形和一个小正方形组成的大正方形ABCD如图所示，过点作GD的垂线交AB于点，若，则的值为（ ）
A． B． C． D．
8．如图，菱形ABCD的边长为4，E、F分别是AB、AD上的点，AC与EF相交于点G，若 ， ，则FG的长为（ ）
A． B．2 C．3 D．4
9．如图，已知直线l1∥l2，l1、l2之间的距离AE为 ，在△ABC中，BC＝2，AB＝ ，将△ABC绕点C在平面内顺时针旋转得到△A′B′C，若旋转角为60°，A′C交直线l2于点D，则CD的长度为（ ）
A． B． C． D． ﹣
10．如图，⊙O的直径AB＝5，弦AC＝3，点D是劣弧BC上的动点，CE⊥DC交AD于点E，则OE的最小值是（ ）
A． B． C．2－ D． －1
（第9题） （第10题） （第11题） （第12题）
二、填空题（本大题有6小题，每小题3分，共18分）
要注意认真看清题目的条件和要填写的内容，尽量完整地填写答案.
11．在中，，，连接，若，，的面积为7.5，则 ．
12．如图，在中，，，点P在边AC上运动（可与点A，C重合），将线段BP绕点P逆时针旋转120°，得到线段DP，连接BD，CD，则CD长的最小值为 .
13．如图，半径为6cm的⊙O中，C，D为直径AB的三等分点，点E，F分别在AB两侧的半圆上，∠BCE=∠BDF=60°，连结AE，BF，则图中两个阴影部分的面积为 cm2
（第13题） （第14题） （第15题） （第16题）
14．如图，正方形ABCD的边长为12，⊙B的半径为6，点P是⊙B上一个动点，则的最小值为 .
15．如图，在正方形ABCD中，点E在边AD上，把△ABE沿直线BE翻折得到△FBE，连接CF并延长交BE的延长线于点P.若AB=5，AE=1.则∠P= ，PC= .
16．如图，在Rt△ABC中，，，，D，E，F分别是边AB，BC，AC上的点，，△BED与△FED关于DE对称，则DE的长为 .
三、解答题（本题有8小题，每题9分，共72分）
解答应写出文字说明，证明过程或推演步骤.
17．如图，在△ABC中，AD是BC边上的中线，且AD=AC，DE⊥BC，DE与AB相交于点E，EC与AD相交于点F.
（1）求证：△ABC∽△FCD；
（2）过点A作AM⊥BC于点M，求DE：AM的值；
（3）若S△FCD=5，BC=10，求DE的长.
18．阅读下面材料：小吴遇到这样一个问题：如图1，在中，是边上的中线，点在边上，与相交于点，求的值．
小吴发现，过点作，交的延长线于点，通过构造，经过推理和计算能够使问题得到解决（如图2）．
（1）请回答：的值为 ．
（2） 如图3，在中，点在的延长线上，，点在上，且．求的值；
（3）如图4，在中，点在的延长线上，，点在上，且，直接写出的值为 ．
19． 已知矩形，点E、F分别在、边上运动，连接、，记、交于点P．
-
（1）如图1，若，，，求线段的长度；
（2）如图2，若，，求；
（3）如图3，连接，若，，，求的长度．
20．在中，，，为边上一动点，且为正整数，在直线上方作，使得∽．
（1）如图，在点运动过程中，与始终保持相似关系，请说明理由；
（2）如图，若，为中点，当点在射线上时，求的长；
（3）如图，设的中点为，求点从点运动到点的过程中，点运动的路径长用含的代数式表示．
21．如图，在菱形中，，点在射线上，连接，绕点顺时针旋转，旋转后得到的线段与对角线交于点，旋转角．射线与射线交于点．
（1）如图1，当点在线段上时，求证：．
（2）如图2，点在线段的延长线上，当时，求线段的长．
（3）如图3，连接，当时，求线段的长．
22．如图1，已知为的直径，弦于点，是上一点，连结，，．
（1）求证：；
（2）如图2，延长相交于点，连结．
①已知，求的长；
②记与的交点为，若，当时，求的值．
23．如图，已知二次函数的图象与轴交于和两点，与轴交于，对称轴为直线，连接，在线段上有一动点，过点作轴的平行线交二次函数的图象于点，交轴于点．
（1）求抛物线与直线的函数解析式；
（2）设点的坐标为，求面积的最大值；
（3）若点在线段上运动，则是否存在这样的点，使得与相似，若存在，请直接写出点的坐标，若不存在，请写出理由．
24．如图：
（1）【问题初探】
如图1，中，，，点D是上一点，连接，以为一边作，使，，连接，与的数量关系 ，位置关系 ．
（2）【类比再探】
如图2，中，，，点M是上一点，点D是上一点，连接，以为一边作，使，，连接，求的度数．
（3）【方法迁移】
如图3，中，，，，点M是中点，点D是上一点且，连接，以为一边作，使，，连接，求的长．
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【冲击重高（压轴题）】浙教版2024-2025学年九年级上数学
第4章相似三角形
解析版
一、选择题（本大题有10小题，每小题3分，共30分）
下面每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的.
1．如图，已知AB=AC，∠B＜30°，BC上一点D满足∠BAD=120°，=，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】如图，作BE∥AC交AD于E，作BH⊥AE于H，
∵AB=AC，
∴∠ABC=∠C，
∵BE∥AC，
∴∠DBE=∠C，
∴∠ABC=∠DBE，
∵∠DBE=∠C，∠ADC=∠EDB，
∴△ADC∽△EDB，
∴，
设AB=AC=6a，
∴BE=14a，
∵∠BAD=120°，BH⊥AE，
∴∠ABH=30°，
∴，，
∴，
在Rt△BEH中，根据勾股定理，得
∵EH2=BE2-BH2，
∴
∴，
即，
解得AD=3a，
则；
故答案为：A.
2．如图所示，是等边三角形ABC的边AB上一点，且.现将折叠，使点与点重合，折痕为EF，点E，F分别在AC和BC上，则CE：CF等于（ ）.
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】∵AD∶DB=1∶2，
∴设AD=a，则BD=2a，AB=3a，
∵△ABC是等边三角形，
∴AC=AB=BC=3a，∠A=∠B=∠C=60°，
由折叠得CE=DE，CF=DF，∠C=∠EDF=60°，
∵∠A+∠AED=∠EDF+∠FDB，即60°+∠AED=60°+∠FDB，
∴∠AED=∠FDB，
∴△ADE∽△BFD，
∴，
设CE=x，则ED=x，AE=3a-x，
设CF=y，则DF=y，FB=3a-y，
∴，
∴，
∴，即.
故答案为：B.
3．如图，在矩形中，，点分别在边上，且与关于直线对称.点在边上，分别与交于两点.若，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】连接，
四边形是矩形，
，，，
，
设，，
与关于直线对称，
，，，
，
，
，
，四边形是菱形，
，
，
，
设，，
，
，
，
，
，
，
，
，
，，
，
，
，
，
故答案为：D.
4．如图， 点P是平行四边形内部一点， 过P分别作和的平行线交平行四边 形的四边于. 连结分别交于M和N. 若四边形四边形，且四边形的面积是四边形的3倍. 下列选项正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】∵点P是平行四边形ABCD内部一点， 过P分别作AB和BC的平行线交平行四边形ABCD的四边于E、F、G、H.
四边形四边形，
∴四边形都是平行四边形，且相似，
设，
∵，
∴，即，
∴，
∴
∴，
∵四边形的面积是四边形的3倍.设EP=x，PH=y，BF=kx，BG=ky，
∴，
∴，
∴、、都不成立，
成立，
故答案为：D.
5．如图，点，，分别在的边上，，，，点是的中点，连接并延长交于点，的值是（ ）.
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】过点F作FG//CN交AB于点G，如图所示：
∵点M是DF的中点，∴点N是DG的中点，
∴MN是△DGF的中位线，∴GF=2MN，
∵GF//CN，EF//AB，∴四边形GFHN是平行四边形，
∴NH=GF=2MN，
设MH=MN=m，则GF=2m，
∵DE//BC，，∴△ADE∽△ABC，
∴，∴BC=4DE，
∵EF//AB，DE//BC，∴四边形DEFB是平行四边形，
∴DE=BF，
∵FG//CN，
∴，
∵，∴，
∴CN=4GF=8m，
∴CH=CN-NH=8m-2m=6m，
∴CM=CH+MH=6m+m=7m，
∴，
故答案为：D.
6．如图，中，，在上，且，连接，作分别交于，于，为的中点，连接交于.现有以下结论：①；②；③；④.其中正确结论有（ ）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
【答案】B
【解析】如图，取中点，连接，过点C作交延长线于点N，过点D作，交于点P，
，
，故①正确；
点G，H，分别是的中点，
，
，
，
，
，
，即，
，故②正确；
，
，
，
，
，
和，和不一定相等，
和不一定相等，故③错误；
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，故正确；
故答案为：B．
7．由四个全等的直角三角形和一个小正方形组成的大正方形ABCD如图所示，过点作GD的垂线交AB于点，若，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】过点I作IM⊥BG于点M，
∵由四个全等的直角三角形和一个小正方形组成的大正方形ABCD，
∴设AF=BG=CH=DE=a，BF=CG=DH=AE=b，
∴EH=HG=DE-DH=a-b，
∵DG⊥IG，
∴∠HGD+∠HGI=90°，
∵∠HGI+∠IGM=90°，
∴∠IGM=∠HGD，
∵∠IMG=∠DHG=90°，
∴△IMG∽△DHG，
∴
∵
∴，
∴，
∵IM∥AF，
∴△BMI∽△BFA，
∴即
解之：a=2b；
∴AB2=AD2=AF2+BF2=a2+b2=4b2+b2=5b2，
∴，
EH=a-b=2b-b=b
∴.
故答案为：C
8．如图，菱形ABCD的边长为4，E、F分别是AB、AD上的点，AC与EF相交于点G，若 ， ，则FG的长为（ ）
A． B．2 C．3 D．4
【答案】A
【解析】过点E作EM∥BC交AC于M，EN⊥BC于N，如图所示：
∵菱形ABCD的边长为4，∠BAD＝120°，
∴AB＝BC＝4，∠BAC＝∠FAC＝
∠BAD＝60°，AD∥BC，
∴△ABC是等边三角形，
∴∠B＝∠ACB＝60°，BC＝AC，
∵EM∥BC，
∴EM∥AD，∠AEM＝∠B＝60°＝∠BAC，
∴△AEM是等边三角形，
∴AM＝AE＝AB﹣BE＝4﹣1＝3，
∵EM∥AD，
∴△AGF∽△MGE，
∴ ＝
＝
，
∴FG＝
EF，
在△BCE和△ACF中， ，
∴△BCE≌△ACF（SAS），
∴CE＝CF，∠BCE＝∠ACF，
∴∠ACF+∠ACE＝∠ACF+∠ACE＝∠ACB＝60°，
∴△CEF是等边三角形，
∴EF＝CE，
∵EN⊥BC，∠B＝60°，
∴∠BEN＝30°，
∴BN＝
BE＝
，
∴EN＝
BN＝
，CN＝BC﹣BN＝4﹣
＝
，
∴EF＝CE＝
＝ ＝ ，
∴FG＝
EF＝
.
故答案为：A.
9．如图，已知直线l1∥l2，l1、l2之间的距离AE为 ，在△ABC中，BC＝2，AB＝ ，将△ABC绕点C在平面内顺时针旋转得到△A′B′C，若旋转角为60°，A′C交直线l2于点D，则CD的长度为（ ）
A． B． C． D． ﹣
【答案】C
【解析】∵AE⊥l2，
∴∠AEB＝90°，
∵AE＝ ，AB＝ ，
∴BE＝ ＝2，
∵BC＝2，
∴CE＝4，
∴AC＝ ＝ ＝ ，
过D作DH⊥AC于H，
∴∠DHC＝∠AHD＝90°，
∵将△ABC绕点C在平面内顺时针旋转得到△A′B′C，若旋转角为60°，
∴∠DCH＝60°，
设CH＝x，则DH＝ x，
∴AH＝AC﹣CH＝ ﹣x，
∵直线l1∥l2，
∴∠DAB＝∠ACE，
∵∠AEB＝∠AHD＝90°，
∴△ACE∽△DAH，
∴ ＝ ，
∴ ＝ ，
∴x＝ ，
∴CH＝ ，
∴CD＝2CH＝ .
故答案为：C.
10．如图，⊙O的直径AB＝5，弦AC＝3，点D是劣弧BC上的动点，CE⊥DC交AD于点E，则OE的最小值是（ ）
A． B． C．2－ D． －1
【答案】A
【解析】∵AB为⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°，
∵AB＝5，AC＝3，∴ ，
∴ △ABC 的大小和形状是唯一的，
设∠B＝α，
∵∠D与∠B都是弧AC所对的圆周角，∴∠D＝∠B＝α，
∵CE⊥DC，∴∠DCE＝90°，
∴∠AEC＝∠DCE＋∠D＝90°＋α，
∴∠AEC的度数为定值90°＋α，
∴如图，点E在 的外接圆（以P为圆心，AP为半径）上，
如图，连接OP，OC，当点E在OP与⊙P的交点处时，OE取得最小值，
如图，在优弧AC上取一点Q，连接OC，AQ，CQ，
∵∠AEC＝90°＋α，
∴∠Q＝180°－∠AEC＝90°－α，
∴∠APC＝2∠Q＝180°－2α，
∵PA＝PC，
∴∠PAC＝∠PCA＝ ＝α，
∵∠ACB＝90°，∠B＝α，
∴∠BAC＝90°－∠B＝90°－α，
∴∠OAP＝∠BAC＋∠PAC＝90°，
∵PA＝PC，OA＝OC，
∴OP垂直平分AC，
∴OP⊥AC，
又∵BC⊥AC，
∴ ，
∴∠AOP＝∠B，
∵∠AOP＝∠B，∠OAP＝∠ACB，
∴ ，
∴ ，
∵直径AB＝5，
∴半径OA＝ ，
∴ ，
解得： ， ，
∴ ，
∴ ，
∴OE的最小值为 ，
故答案为：A.
二、填空题（本大题有6小题，每小题3分，共18分）
要注意认真看清题目的条件和要填写的内容，尽量完整地填写答案.
11．在中，，，连接，若，，的面积为7.5，则 ．
【答案】
【解析】
∵AB=AC，
∴∠1=∠2，
∵BD∥AC，
∴∠3=∠2=∠1，
又∵，
∴2∠3+∠5=90°，
过点C作CF⊥BD交BD的延长线于点F，
∴∠3+∠4+∠5=90°，
∴∠3=∠4，
又∵∠F=∠F，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵∠1=∠3，∠AEB=∠CFB=90°，
∴，
∴，
设AE=5x，则CE=BE=6x，
，
解得x2=，
∴AB=，
故答案是：
12．如图，在中，，，点P在边AC上运动（可与点A，C重合），将线段BP绕点P逆时针旋转120°，得到线段DP，连接BD，CD，则CD长的最小值为 .
【答案】
【解析】如图所示，以BC为底边向上作等腰△BQC，使∠BQC=120°，连接PQ.
由题意可得和均为顶角为的等腰三角形，
可得，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴当PQ⊥AC时，有PQ最小，即此时CD最小，
如图所示，设QP'⊥AC，延长AQ与BC交K，此时QP'为QP的最小值，
可得AK⊥BC，
∵，
∴，
∴QK，
∵， ，
∴
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴.
故答案为： .
13．如图，半径为6cm的⊙O中，C，D为直径AB的三等分点，点E，F分别在AB两侧的半圆上，∠BCE=∠BDF=60°，连结AE，BF，则图中两个阴影部分的面积为 cm2
【答案】
【解析】如图作△DBF的轴对称图形△CAG，作AM⊥CG，ON⊥CE，
∵△DBF的轴对称图形△CAG，
由于C、D为直径AB的三等分点，则H与点C重合
∴△ACG≌△BDF，
∴∠ACG=∠BDF=60°，
∵∠ECB=60°，
∴G、C、E三点共线，
∵AM⊥CG，ON⊥CE，
∴AM∥ON，
∴，
在Rt△ONC中，∠OCN=60°，
∴ON=sin∠OCN OC= OC，
∵OC=OA-AC=6-12÷3=2，
∴ON=，
同理：AM=，
∵ON⊥GE，
∴NE=GN=GE，
连接OE，
在Rt△ONE中，NE=，
∴GE=2NE=，
∴S△AGE=GE AM=，
∴图中两个阴影部分的面积和为.
故答案为：.
14．如图，正方形ABCD的边长为12，⊙B的半径为6，点P是⊙B上一个动点，则的最小值为 .
【答案】15
【解析】如图，在BC上截取BE＝3，连接BP，PE，
∵正方形ABCD的边长为12，⊙B的半径为6，
∴BC＝12＝CD，BP＝6，EC＝9，
∵ ，且∠PBE＝∠PBC，
∴△PBE∽△CBP，
∴ ，
∴PE＝PC，
∴PD+PC＝PD+PE，
∴当点D，点P，点E三点共线时，PD+PE有最小值，即PD+PC有最小值，
∴PD+PC最小值为DE＝＝15，
故答案为：15.
15．如图，在正方形ABCD中，点E在边AD上，把△ABE沿直线BE翻折得到△FBE，连接CF并延长交BE的延长线于点P.若AB=5，AE=1.则∠P= ，PC= .
【答案】；
【解析】过B作CP的垂线，垂足为N，过C作CM⊥BP，垂足为M，
∵△ABE沿直线BE翻折得到△FBE，
∴，
∴，，
∵四边形ABCD为正方形，
∴，
∴，
∴为等腰三角形，
又∵，
∴平分，
∴，
在中，，，
∴，
∴△CMP为等腰直角三角形，
∴，
∵，，
∴∠ABP=∠MCB，
∴，
∴，
在中，，
∴，，
∴在中，，
∴.
故答案为：；.
16．如图，在Rt△ABC中，，，，D，E，F分别是边AB，BC，AC上的点，，△BED与△FED关于DE对称，则DE的长为 .
【答案】
【解析】过点F作FN⊥AB，垂足为N，过点E作EM⊥NF，交NF的延长线于点M，
∴∠FND=∠FME=90°，
∵∠B=90°，∴四边形NBEM是矩形，
∴NB=ME，
∵∠BED+∠C=90°，∠C+∠A=90°，∴∠BED=∠A，
∵∠B=∠B，∴△BED∽△BAC，
∴，
∵△BED与△FED关于DE对称，
∴△BED≌△FED，
∴∠DFE=∠B=90°，DF=BD，EF=BE，
∴，
∵∠FME=90°，
∴∠MEF+∠MFE=90°，
∵∠MFE+∠NFD=90°，
∴∠MEF=∠NFD，
∴△NDF∽△MFE，
∴，
∴设NF=3x，ME=4x，
∵∠ANF=∠B=90°，∠A=∠A，
∴△ANF∽△ABC，
∴，
∴，
∴x=1，
∴NF=3，ME=NB=4，
设BD=DF=y，
则ND=NB-BD=4-y，
在Rt△NDF中，NF2+ND2=DF2，
∴32+（4-y）2=y2，
∴y=，
∴BD=，
∵∠B=90°，AB=8，BC=6，
∴AC=
∵△BED∽△BAC，
∴，
∴，
∴DE=.
故答案为：.
三、解答题（本题有8小题，每题9分，共72分）
解答应写出文字说明，证明过程或推演步骤.
17．如图，在△ABC中，AD是BC边上的中线，且AD=AC，DE⊥BC，DE与AB相交于点E，EC与AD相交于点F.
（1）求证：△ABC∽△FCD；
（2）过点A作AM⊥BC于点M，求DE：AM的值；
（3）若S△FCD=5，BC=10，求DE的长.
【答案】（1）证明：∵D是BC边上的中点，DE⊥BC，
∴BD=DC，∠EDB=∠EDC=90°，
∵DE=DE，
∴△BDE≌△EDC（SAS），
∴∠B=∠DCE，
∵AD=AC，
∴∠ADC=∠ACB，
∴△ABC∽△FCD；
（2）解：∵AD=AC，AM⊥DC， ∴DM= DC，
∵BD=DC，∴ ，
∵DE⊥BC，AM⊥BC，∴DE∥AM，
∴ .
（3）解：过点A作AM⊥BC，垂足是M，
∵△ABC∽△FCD，BC=2CD，∴ ，
∵S△FCD=5，∴S△ABC=20，
又∵BC=10，∴AM=4.
∵DE∥AM，∴
∴ ，
∴DE= .
18．阅读下面材料：小吴遇到这样一个问题：如图1，在中，是边上的中线，点在边上，与相交于点，求的值．
小吴发现，过点作，交的延长线于点，通过构造，经过推理和计算能够使问题得到解决（如图2）．
（1）请回答：的值为 ．
（2） 如图3，在中，点在的延长线上，，点在上，且．求的值；
（3）如图4，在中，点在的延长线上，，点在上，且，直接写出的值为 ．
【答案】（1）
（2）解：如图3，过A作，交延长线于点F，
∴，∴，
∵，∴，
设，
∵，∴，
，
∵，
，
；
（3）
【解析】（1） 解：如图2，过点C作CF∥AD，交BE的延长线于点F，
∴∠F=∠APF，∠FCE=∠EAP，
∵BE为AC边的中线，
∴AE=CE，
∴△AEP≌△CEF（AAS），
∴AP=FC，
∵PD∥FC，
∴△BPD∽△BFC，
∴，
∴.
（2）如图4，过点C作交PB于点F，
设又∵
，∴∵∴设DC=x，则DB=3x，∴又∵则故又∵∴则故
故答案为：.
19． 已知矩形，点E、F分别在、边上运动，连接、，记、交于点P．
-
（1）如图1，若，，，求线段的长度；
（2）如图2，若，，求；
（3）如图3，连接，若，，，求的长度．
【答案】（1）解：∵四边形为矩形，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∵，
∴；
（2）解：∵四边形为矩形，
∴，
∴，，
∵，
∴，
又∵，
∴，
∴，则，
∴，整理得：，
∴，
解得：．
（3）解：过点A作于点H，过点P作于点N，交于点M，
∵，，
∴，
设，则，
∵，
∴，
由（2）可得：，
∴，
∴，
∴，整理得：，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴四边形为矩形，
∴，则，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，即，
解得：，
∴．
20．在中，，，为边上一动点，且为正整数，在直线上方作，使得∽．
（1）如图，在点运动过程中，与始终保持相似关系，请说明理由；
（2）如图，若，为中点，当点在射线上时，求的长；
（3）如图，设的中点为，求点从点运动到点的过程中，点运动的路径长用含的代数式表示．
【答案】（1）解：理由：如图，∽，
，，
，，
，
∽．
（2）解：如图，作于点，则，
，
，
，，
，
，
，
，
为中点，
，
，，
，，
，
∽，
，，，
，
，
，
，
的长是．
（3）解：如图，取的中点，连接，
的中点为，
，，
，
点在经过中点且与垂直的直线上运动，
，，，
，
当点与点重合时，则点与点重合；
当点与点重合时，如图，此时的值最大，
线段的长即为点运动的路径长，
∽，
，
，
，
点运动的路径长是．
21．如图，在菱形中，，点在射线上，连接，绕点顺时针旋转，旋转后得到的线段与对角线交于点，旋转角．射线与射线交于点．
（1）如图1，当点在线段上时，求证：．
（2）如图2，点在线段的延长线上，当时，求线段的长．
（3）如图3，连接，当时，求线段的长．
【答案】（1）证明：∵四边形 ABCD是菱形
∴AB// CD
∴∠BAC=∠DCF
∵∠EDF=∠BAC
∴∠EDF=∠DCF
∵∠DFP=∠CFD
∴△FDP∽△FCD
（2）解：连接DB交AC于点O
∵四边形ABCD是菱形
∴∠DOC=90°
在 Rt 中， ， 由勾股定理得：
∴
由 (1) 得： ∴
∴ ∴
∴
四边形 A B C D 是菱形
∴
∵
∴
（3）解：∵四边形 ABCD是菱形
∴∠BAC=∠BCA
∵EFllAB
∴∠EFC=∠BAC
∴∠EFC=∠BCA
∴EF=EC
由（1）得：∠FDE=∠BAC=∠BCA
∵∠FPD=∠EPC
∴△FPD∽△EPC
∴
∵ZFPE=LDPC.
∴△FPE∽△DPC
∴∠PDC=∠EFC
∵∠EFC=∠BAC=∠DAC
∴∠PDC=∠DAC
∴∠DCP=∠ACD
∴△DCP∽△ACD
∴CD2 =CP·CA
由 (2) 得：
∴
四边形 A B C D 是菱形
∴
∴
∴
22．如图1，已知为的直径，弦于点，是上一点，连结，，．
（1）求证：；
（2）如图2，延长相交于点，连结．
①已知，求的长；
②记与的交点为，若，当时，求的值．
【答案】（1）证明：是直径，，
，
（2）解：①，，
，
.
，
．
②连结
四边形是圆的内接四边形，
∴∠ADC+∠AGC=180°，∠DAG+∠DCG=180°，
又∵∠CGF+∠AGC=180°，∠GCF+∠DCG=180°，
，
由（1）可知，
，
．
是直径，，
，
，
.
，
，
，
又，
∴平分∠BDG，，
∴，，
∴
23．如图，已知二次函数的图象与轴交于和两点，与轴交于，对称轴为直线，连接，在线段上有一动点，过点作轴的平行线交二次函数的图象于点，交轴于点．
（1）求抛物线与直线的函数解析式；
（2）设点的坐标为，求面积的最大值；
（3）若点在线段上运动，则是否存在这样的点，使得与相似，若存在，请直接写出点的坐标，若不存在，请写出理由．
【答案】（1）解：抛物线的对称轴为直线
则
将点，代入
解得
抛物线的解析式为
设直线的解析式为
将点，代入
解得
直线的函数解析式为
（2）点M的坐标为，轴，
，，
，
，
当点P在射线上或在射线上，没有最大值，
点P在线段上，
当时有最大值
（3）存在这样的点P，使，理由如下：
，
与相似时由两种情况：
①当时，，
过点N作轴交于点E，
，
，
，
，又，
，
，，，，，
，经检验，是分式方程的根，
点的坐标为
②当时，，
则轴，
点纵坐标为，
，
或（舍去）
点的坐标为
综上所述：点的坐标为或
24．如图：
（1）【问题初探】
如图1，中，，，点D是上一点，连接，以为一边作，使，，连接，与的数量关系 ，位置关系 ．
（2）【类比再探】
如图2，中，，，点M是上一点，点D是上一点，连接，以为一边作，使，，连接，求的度数．
（3）【方法迁移】
如图3，中，，，，点M是中点，点D是上一点且，连接，以为一边作，使，，连接，求的长．
【答案】（1）BE=CD；BE⊥CD
（2）解：过点M作交于点F，如图2所示，
，，
，
，
，
又，
，
，
，
故
（3）解：取中点G，连接，如图3所示，
点M是中点，为的中位线，
∴，，
，，，
，
又，，，
又，，
，
，，
故的长为．
【解析】（1）解：如图1，，，
，
，
在和中，，
，
即，
；
故答案为：；．
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