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【冲击重高（压轴题）】浙教版2024-2025学年九年级上数学
第3章圆的基本性质解析版
一、选择题（本大题有10小题，每小题3分，共30分）
下面每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的.
1．如图，四边形 内接于 ，对角线 于点E，若 的长与 的半径相等，则下列等式正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】解：连接 ，
的长与 的半径相等， 为等边三角形，
∴
∴
∴
在 中， ，
在 中， ，
在 中， ，
故答案为：C.
2．如图，的半径弦于点E，C是上一点，，的最大值为18，则的长为（ ）
A．8 B．6 C．4 D．2
【答案】D
【解析】解：连接，如图所示：
的半径弦于点，，
，
设半径为，
可知当，，在同一条直线上时最长，
即，
∴，
∴，
在中，由勾股定理得，
，
即，
解得，
，
故答案为：D．
3．如图，半径为5的圆中有一个内接矩形，点是的中点，于点，若矩形ABCD的面积为30，则线段MN的长为（ ）.
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】解： 如图，连接AC，CM，BM，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠ABC=90°，
∴AC是圆的直径，
∴∠AMC=90°，
∵该圆的半径为5，
∴AC=10，
∵点M是 的中点 ，
∴弧AM=弧CM，
∴AM=CM，
∴△AMC是等腰直角三角形，
∴∠ACM=45°，AM2+CM2=2AM2=AC2=100，
∴∠ACM=∠ABM=45°，AM2=50，
设AB为x，BC=y，且x＞y，
则，
解得或(舍去)，
即，
∵MN⊥AB，且∠ABM=45°，
∴△MNB是等腰直角三角形，
∴MN=BN，
∴AN=AB-BN=-MN，
∵AN2+MN2=AM2，
∴，
解得MN=或MN=（舍去）.
故答案为：A.
4． 如图，△ABC内接于⊙O，AB是⊙O的直径，DE⊥AB于点F，AF＝6，DF＝8，连接BE，∠ABE＝∠CBE，则BC的长度为（ ）
A． B．5 C． D．
【答案】A
【解析】连接OE交AC于点G，如图所示：
∵DE⊥AB，
∴∠OFE=90°，，DF=EF=DE=8，
∵∠ABE=∠CBE，
∴，
∴，
∴，
∴AC=DE，
∵，
∴OE⊥AC，
∴∠OGA=90°，
∵∠OFE=∠OGA=90°，∠AOG=∠EOF，OA=OE，
∴△AOG≌△EOF（AAS），
∴OF=OG，
设OF=OG=x，则OA=OE=OF+AF=x+6，
在Rt△OFE中，OF2+EF2=OE2，
∴x2+82=（x+6）2，
解得：x=，
∴OF=OG=，
∵OA=OB，AG=CG，
∴OG是△ABC的中位线，
∴BC=2OG=，
故答案为：A.
5． 如图，四边形ABCD内接于⊙O，∠ABC＝∠ADC，BD平分∠ABC．若AB＝3，BC＝4，BD的长为（ ）
A．4 B． C． D．
【答案】B
【解析】解：四边形ABCD内接于⊙O，
∠ABC+∠ADC=180°，
又∠ABC＝∠ADC，
∠ABC＝∠ADC=90°，
AB＝3，BC＝4，
BD平分∠ABC ，
，
，
，
是等腰直角三角形，
，
过点C作交BD于点H，
，
，
，
.
.
故答案为：B.
6．已知等腰直角三角形OAC，∠OAC＝90°，以O为圆心，OA为半径的圆交OC于点F，过点F作AC的垂线交⊙O于点E，交AC于点B.连结AE，交OC于点D，若OD＝，则AB的长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】解：过点O作AE的垂线交BE于点H，连接AH，如图所示：
设的半径为R
∵∠OAC = 90°，OA=AC=R
∴∠O=∠C=45°
∴∠E==22.5°
在Rt△0AC中，由勾股定理得：
OC =
∵OD=
∴CD=OC-OD=
∵EBAC，∠C =45°
∴△BFC为等腰直角三角形，
∴∠BFC= ∠DFE=∠C = 45°
∴∠ADC= ∠E + ∠DFE =22.5°+45°=67.5°
在Rt△ABE中，∠E =22.5°， ∠ABE = 90°
∴∠CAE =90°-∠E=67.5°
∴∠CAE = ∠ADC
∴AC=CD，即R= ，解得：r=，即OA=
∵OHAE
OH是AE的垂直平分线
∴AH = EH
∴∠EAH= ∠E= 22.5°
∴∠HAB = ∠CAE- ∠EAH= 67.5°-22.5°=45°
∴△ABH为等腰直角三角形
∴AB =BH
∴∠OAE= ∠OAC-∠OAE = 90° - 67.5°= 22.5°
.'.∠OAH = ∠OAE + ∠EAH = 45°
∴OHAE，∠EAH=22.5°
∴∠AHO =90°-∠EAH = 90° - 22.5°= 67.5°
∴∠AOH = 180°- ∠OAH- ∠AHO=180°-45°-67.5°= 67.5°
∴∠AHO = ∠AOH = 67.5°
∴AH =OA=，在Rt△ABH中，AB = BH， AH=
由勾股定理得： 即
∴AB=
故答案为：.
7．阿基米德折弦定理：如图1，AB与BC是⊙O的两条弦（即折线ABC是圆的一条折弦），AB＞BC，点M是的中点，MN⊥AB于点N， 则点N是折弦ABC的中点， 即AN＝BN+BC．如图2，半径为4的圆中有一个内接矩形ABCD， AB＞BC， 点M是的中点， MN⊥AB于点N， 若矩形ABCD的面积为20，则线段BN的长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】解：连接AC，如下图：
∵圆的半径为4
∴AC=2×4=8
设AB=x，BC=y（x>y）；
∵四边形ABCD为矩形
∴AB=DC=x，AD=BC=y，∠ABC=90°；
∴，化简可得
∵矩形的面积为20，即xy=20；
∴x-y=2
根据题目新定义，可得x-BN =y+BN ；
移项，解得BN=.
故答案为：A.
8．如图，在半圆O中，直径AB＝2，C是半圆上一点，将弧AC沿弦AC折叠交AB于D，点E是弧AD的中点．连接OE，则OE的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】解：连接CO，如图，
由三角形两边之差小于第三边，
当C、O、E共线时，OE最小，
设的弧度为x，则的弧度为180°-x，
∵ ∠CAB=∠CAD，
∴的弧度为180°-x，
由折叠知：==x，
=x-(180°-x）=2x-180°，
∵ 点E为弧AD的中点，
∴==x-90°，
∴=-=90°，
∴所对圆心角为90°，
∵ 直径AB=2，
∴ CE=，
∴OE= CE-OC=.
故答案为：A.
9．如图，AB为⊙O的直径，点C为⊙O上一点，连接CO，作AD OC，若CO＝ ，AC＝2，则AD＝（ ）
A．3 B． C． D．
【答案】D
【解析】解：作AE⊥OC于点E，作OF⊥CA于点F，作OG⊥AD于点G，
则EA∥OG，
∵AD∥OC，
∴四边形OEAG是矩形，
∴OG＝EA，
∵OF⊥AC，OA＝OC＝ ，AC＝2，
∴CF＝1，
∴OF＝ ，
∵ ，
∴ ，
解得 ，
∴OG＝ ，
∵OG⊥AD，
∴AG＝ ，
∴AD＝2AG＝ ，
故答案为：D.
10．如图，AB＝4，以O为圆心，AB为直径作半圆，点C是半圆一动点，若BC＝2BD，∠CBD＝60°，则线段AD的最大值为（ ）
A．2+2 B．+1 C．3 D．2+1
【答案】B
【解析】解：取BC的中点为E，连接DE，连接CD交圆O于点F，连接AF、BF，取BF的中点G，连接AG、DG，则，如下图：
∵
∴
∵ ，
∴是等边三角形，
∴
∴，
∴，
又∵
∴ ，
∴
∵G为BF的中点，
∴
∵AB为圆O的直径，
∴，
∵，
∴，
∴
∴
∴
∴
∵AG+DG≥AD (当且仅当点G在线段AD上时等号成立)，
∴，
∴AD的最大值为：.
故答案为：B.
二、填空题（本大题有6小题，每小题3分，共18分）
要注意认真看清题目的条件和要填写的内容，尽量完整地填写答案.
11．如图，A、B、C为⊙O上的点，OC∥AB，连接OA，BC交于点D，若AC=CD，OC=2，则AB的长为 ．
【答案】
【解析】解：过点作交于点，如图：
设，，
∵，∴，
由三角形外角的性质得：，
已知，
∴，
∵，∴，
在中，由三角形内角和定理得：，
即，解得：，
即，
在中，OA=2，∴，
∵，
由垂径定理得：，
故答案为：．
12．如图，在以为直径的半圆中，是半圆的三等分点，点是弧上一动点，连接，，作垂直交于，连接，若，则的最小值是 .
【答案】
【解析】解：如图，连接.
∵是半圆的三等分点，
∴，
∵，
∴是等边三角形，
作的外接圆，连接.
∵，∴，∴，
∴，∴，
∴，
∵，
∴点在上，运动轨迹是，
过点T作TH⊥AB于H.
∵ ∴，
在中，，
∴，
∴，
在中， ，
∵，
∴，
∴的最小值为.
故答案为：.
13．如图，△ABC是等腰三角形，AB＝AC，∠B＝30°，△ADE是直角三角形，∠ADE＝90°，∠E＝30°，AD＝AB．将△ADE绕点A旋转，AD、AE分别交BC于点F，G，当∠AGB＝75°时， ．
【答案】
【解析】解：过点G作GM⊥AC于点M，GN⊥AD于点N，如图：
由题意得：
∴
∵
∴
∴为等腰直角三角形，
∴
设AN=x，则AG=2x，
∴
∴
∵
∴
∴
∴为等腰直角三角形，
∴
∵
∴
∴
∴
∴
∴
故答案为：.
14．如图，在四边形ABCD中，∠BAD＝∠BCD＝90°，∠ACD＝30°，AD＝2，E是AC的中点，连接DE，则线段DE长度的最小值为 .
【答案】
【解析】解：∵∠BAD=∠BCD=90°，
∴四边形ABCD是圆内接四边形，
∴∠ACD=∠ABD=30°，
∴∠ADB=60°，
∵AD=2，
∴BD=2AD=4，
分别取AB、AD的中点F、G，并连接FG，EF，EG，
∵E是AC的中点，
∴EF∥BC，EG∥CD，
∴∠AEF=∠ACB，∠AEG=∠ACD，
∴∠AEF+∠AEG =∠ACB+∠ACD=90°，即∠FEG =90°，
∴点E在以FG为直径的⊙P上，如图：
当点E恰好在线段PD上，此时DE的长度取得最小值，
连接PA，
∵F、G分别是AB、AD的中点，
∴FG∥BD，FG= BD=2，
∴∠ADB=∠AGF=60°，
∵PA=PG，
∴△APG是等边三角形，
∴∠APG=60°，
∵PG=GD=GA，且∠AGF=60°，
∴∠GPD=∠GDP=30°，
∴∠APD=90°，
∴PD= ，
∴DE长度的最小值为 .
故答案为： .
15．如图所示，在⊙O内有折线OABC，其中 ∠B＝30°，则BC的长为 .
【答案】14
【解析】解：如图，过点O作 ，交 于点 ，交 于点 ，取 的中点 ，连接 ，
是等腰直角三角形
，
在 中
在 中
设 ，则 ，
在 中，
，
，
即
解得
在 中，
.
故答案为：14.
【分析】过点O作EF⊥AB，交AB于点E，交BC于点F，取BC的中点D，连接OD，由垂径定理得BC=2BD，易得△AOE是等腰直角三角形，求出AE、OE、BE的值，在Rt△OBE中，由勾股定理得OB，设FD=x，则OF=2x，OD=x，EF=2+2x，由∠EBF=30°得BF=2EF，据此可得x，求出OD，然后在Rt△OBD中，应用勾股定理求出BD，进而可得BC.
16．已知，P为等边三角形ABC内一点，PA＝3，PB＝4，PC＝5，则S△ABC＝ .
【答案】
【解析】解：∵△ABC为等边三角形，
∴BA＝BC，
可将△BPC绕点B逆时针旋转60°得△BEA，
连EP，且延长BP，作AF⊥BP于点F.如图，
∴BE＝BP＝4，AE＝PC＝5，∠PBE＝60°，
∴△BPE为等边三角形，
∴PE＝PB＝4，∠BPE＝60°，
在△AEP中，AE＝5，AP＝3，PE＝4，
∴AE2＝PE2+PA2，
∴△APE为直角三角形，且∠APE＝90°，
∴∠APB＝90°+60°＝150°.
∴∠APF＝30°，
∴在直角△APF中，AF＝ AP＝ ，PF＝ AP＝ .
∴在直角△ABF中，AB2＝BF2+AF2＝（4+ ）2+（ ）2＝25+12 .
∴△ABC的面积＝ AB2＝ （25+12 ）＝ ；
故答案为： .
【分析】由等边三角形的性质可得BA＝BC，将△BPC绕点B逆时针旋转60°得△BEA，连接EP，且延长BP，作AF⊥BP于点F，易得△BPE为等边三角形，则PE＝PB＝4，∠BPE＝60°，利用勾股定理逆定理可推出△APE为直角三角形，且∠APE＝90°，然后求出∠APB、∠APF的度数，在Rt△APF中，应用三角函数的概念可得AF、PF，然后利用勾股定理求出AB2，接下来结合三角形的面积公式进行计算.
三、解答题（本题有8小题，每题9分，共72分）
解答应写出文字说明，证明过程或推演步骤.
17．
（1）如图1，点P是△ABC内一点，PA＝PB＝PC，∠BPC＝150°，则∠BAC＝ （直接写出结果）；
（2）如图2，点P是△ABC内一点，PB＝PC，∠BPC＝90°，∠BAC＝45°，求证：PA＝PB；
（3）如图3，△ABC中，∠BAC＝60°，D是BC边上的一点，BD＝2，DC＝4，则AD的最大值为 ．（直接写出结果）
【答案】（1）75°
（2）证明：如图2，以点P为圆心，PC长为半径作圆，延长BP交⊙P于点E，连接AE、CE，
∵PB＝PC，∠BPC＝90°，∠BAC＝45°，
∴点B在⊙P上，∠EPC＝90°，
∵PE＝PC
∴∠BEC＝∠PCE＝45°，
∴∠BAC＝∠BEC，
∴点A在⊙P上，
∵BE是⊙P的直径，
∴∠BAE＝90°，
∴PA＝BE，
∵PB＝BE，
∴PA＝PB．
（3）2+2
【解析】解：（1） ∵PA＝PB＝PC ，∴点P是 △ABC的外心，
∠BPC＝150°，根据圆周角定理可得∠BAC=75°；
故答案为：75°.
(3)如图，作 的外接圆，圆心为点， 连接，作于点， 连接，
∵，
∴，，
∴，
已知，
∴，根据垂径定理得
，，
在 △BOG中∵， ，
∴，，
，
根据三角形三边关系可得：，
∴AD的最大值为 .
故答案为：．
18．已知，直角△ABC中，∠BAC＝90°，BC＝10，AB＝6，过A，B两点作圆交射线CA于点D，交射线CB于点E。
（1）如图1，当点D在线段AC中点时，求BD的长。
（2）如图2，当点D在线段AC上时，若点D为中点，求BD的长。
（3）如图3，连接AE，若△AEC为等腰三角形，求所有满足条件的BD的值。
【答案】（1）解：∵ ∠BAC=90°，BC=10，AB=6，
∴ AC==8，
∵ 点D为线段AC中点，
∴ AD==4，
在Rt△ABD中，BD==；
（2）解：连接DE，如图，
∵ ∠BAC=90°，
∴ BD为 圆的直径，
∴ ∠BED=90°，
∵ 点D为中点 ，
∴ AD=DE，
由（1）得：AC=8，
设AD=DE=x，则CD=8-x，
∵ S△BCD=BC·DE=AB·CD，
∴ 10x=6(8-x)，解得：x=3，
即AD=3，
∴ BD==；
（3）解：当AE=AC时，过点A作AG⊥BC于点G，
∵弧AB=弧AB，
∴∠C=∠AEC=∠DBC，
∴BD=BC=10；
当AE=EC时，连接DE，过点E作EF⊥AC于点F，
∴AF=FC=AC=4，
∵∠BAC=∠EFC=90°，
∴EF∥BA，
∴BE=CE，
∵BD是直径，
∴∠BED=90°，
∴DE垂直平分BC，
∴BD=CD，
设AD=x，则DF=4-x，CD=BD=8-x，
在Rt△ABD中
AD2+AB2=BD2即x2+62=（8-x）2
解之：，
∴；
当EC=AC=8时，连接DE，
∴BE=BC-EC=8-6=2，
在△EDC和△ABC中
∴△EDC≌△ABC（AAS），
∴DE=AB=8，
在Rt△BDE中
，
∴BD的长为或10或.
19．如图，在△ABC中，AB＝BC，∠ABC＝90°，D是AB上一动点，连接CD，以CD为直径的⊙M交AC于点E，连接BM并延长交AC于点F，交⊙M于点G，连接BE．
（1）求证：点B在⊙M上．
（2）当点D移动到使CD⊥BE时，求BC：BD的值．
（3）求证：AE2+CF2＝EF2．
【答案】（1）证明：∵CD为⊙M的直径，
∴CM＝DM＝CD
∵∠ABC＝90°，
∴BM＝CM＝DM＝CD，
∴点B在⊙M上．
（2）解：连接DE．
∵CD为⊙M的直径，CD⊥BE
∴∠DEC＝90°，＝，
∴∠DEA＝90°，BD＝DE，
∵AB＝BC，∠ABC＝90°，
∴∠A＝∠ACB＝45°，
∴∠ADE＝180°﹣∠A﹣∠AED＝45°，
∴∠ADE＝∠A＝45°，
∴AE＝DE，
∴AE＝DE＝DB，
∴AD＝＝BD，
∴AB＝AD+BD＝（+1）BD，
∴BC＝AB＝（+1）BD，
∴BC：BD＝+1．
（3）证明：作BF'⊥BF，作AF'⊥AC，相交于点F'，连接EF'，如图，
∵BF'⊥BF，
∴∠F'BF=90°，
∵∠ABC=90°，
∴∠F'BA=∠FBC，
∵AF'⊥AC，
∴∠F'AE=90°，
∵∠BAC=∠BCF=45°，
∴∠BAF'=45°，
即∠BAF'=∠BCF，
∵BA=BC，
∴△BAF'≌△∠BCF（ASA），
∴AF'=CF，BF=BF'，
∵BM=MC，
∴∠MBC=∠MCB，
∵∠DBE=∠DCE，
∴∠MBC+∠DBE=∠MCB+∠DCE，
∵∠MCB+∠DCE=45°，
∴∴∠MBC+∠DBE=45°，
∵∠ABC=90°，
∴∠EBF=45°，
∴∠EBF'=90°-∠EBF=45°，
∵BE=BE，
∴△BEF'≌△∠BEF（SAS），
∴EF'=EF，
在Rt△AEF'中， AE2+AF'2＝EF'2， 即 AE2+CF2＝EF2．
20．如图1，AB为⊙O的直径，CD⊥AB于点E，，BF与CD交于点G．
（1）求证：CD＝BF．
（2）若BE＝1，BF＝4，求GE的长．
（3）连结GO，OF，如图2，求证：．
【答案】（1）证明：∵AB为⊙O的直径，CD⊥AB于点E，
∴，
∵，
∴，
∴，即，
∴BF＝CD；
（2）解：如图所示：连接BC，
由（1）得：，CD＝BF＝4，
∴∠FBC＝∠BCD，
∴BG＝CG，
∵AB为⊙O的直径，CD⊥AB于点E，
∴，
设EG＝x，则BG＝CG＝2﹣x，
在△BEG中，EG2+BE2＝BG2，即x2+12＝（2﹣x）2，
解得：，
∴GE的长为；
（3）解：如图所示：连接OC交BF于I，
∵，
∴，
在△OCG和△OBG中，
，
∴△OCG≌△OBG（SSS），
∴∠COG＝∠BOG，
∴∠IOB＝2∠EOG，
∵OF＝OB，OC为半径，
∴OC⊥BF，
∴∠OIB＝90°，
∵∠IOB+∠IBO＝90°，
∴．
21．如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，G是弧AC上一点，AG，DC的延长线交于点F，连接AD，GD，GC．
（1）求证：∠ADG＝∠F；
（2）已知AE＝CD，BE＝2．
①求⊙O的半径长；
②若点G是AF的中点，求DF的长．
【答案】（1）证明：连接BG，
∵AB是圆的直径，
∴∠AGB＝90°，
∴∠ABG+∠BAG＝90°，
∵AB⊥CD，
∴∠F+∠BAG＝90°，
∴∠F＝∠ABG，
∵∠ADG＝∠ABG，
∴∠ADG＝∠F；
（2）解：①连接OC，设圆的半径是r，
∵BE＝2，
∴OE＝r﹣2，DC＝AE＝2r﹣2，
∵直径AB⊥CD，
∴EC＝CD＝r﹣1，
∵CO2＝OE2+EC2，
∴r2＝（r﹣2）2+（r﹣1）2，
∴r2﹣6r+5＝0，
∴r＝5或r＝1（舍），
∴⊙O的半径长是5；
②∵AE＝AB﹣BE，
∴AE＝10﹣2＝8，
∴CD＝AE＝8，
∵AB⊥DC，
∴DE＝EC＝4，
∵∠ADG＝∠F，∠DAG＝∠DAF，
∴△DAG∽△FAD，
∴AD：FA＝AG：AD，
AD2＝FA AG，
∵G是AF中点，
∴AG＝AF，
∴AD2＝AF2，
∵AD2＝AE2+DE2＝80，
∴AF2＝160，
∵∠AEF＝90°，
∴EF＝＝，
∴DF＝DE+EF＝+4．
22． 如图1，C，D是半圆ACB上的两点，若直径AB上存在一点P，确足∠APC＝∠BPD，则称∠CPD是的“美丽角”．
（1）如图2，AB是⊙O的直径，弦CE⊥AB，D是上一点，连结ED交AB于点P，连结CP，∠CPD是的“美丽角”吗？请说明理由；
（2）设的度数为α，请用含α的式子表示的“美丽角”度数；
（3）如图3，在（1）的条件下，若直径AB＝5，的“美丽角”为90°，当时，求CE的长．
【答案】（1）解：∠CPD是的“美丽角”理由：
∵AB是⊙O的直径，弦CE⊥AB，
∴AB平分EC，
即AB为EC的垂直平分线，
∴PC＝PE，
∵AB⊥EC，
∴∠CPA＝∠EPA．
∵∠BPD＝∠EPA，
∴∠CPA＝∠BPD，
∴∠CPD是的“美丽角”；
（2）解：∵的度数为α，
∴∠CED＝α．
∵CE⊥AB，
∠APE＝90°-∠CED＝90°-α．
∠BPD＝∠APE，
∠APC＝∠BPD，
∠CPD＝180°-∠APC-∠BPD＝α．
∵∠CPD是的“美丽角”．
∴的“美丽角”＝α；
（3）解：如图，连接OC，OD，
∵的“美丽角”为90°，
∴∠APC＝∠BPD＝45°
∴APE＝∠BPD＝45°，
∵CE⊥AB，
∴∠E＝∠APE＝45°，
∴∠COD＝2∠E＝90°．
∵直径AB＝10，
∴OC＝OD＝5，
∴CD＝OC＝5；
∵∠CPD＝90°，∠E＝45°，
∴△CPE为等腰直角三角形，
∴PC＝PE．
设PC＝PE＝x，
则PD＝DE-PE＝7-x，
在Rt△PCD中，
∵PC2+PD2＝CD2，
∴x2+（7-x）2＝（5）2，
解得：x＝3或x＝4，
∴PC＝PE＝3或4，
∴CE＝PC＝6或8．
23．已知，是直径，弦于点，点是上一点．
（1）如图1，连接、、，求证：平分；
（2）如图2，连接、、，交于点，交于点，若；求证：；
（3）如图，在（2）的条件下，连接交于，连接，若，，求半径．
【答案】（1）证明： 是 直径， ，
∴ ，
，
平分 ；
（2）证明：设 ，
，
，
，
，
，
，
，
∵ ，
，
，
，
，
，
，
，
如图2，连接 ，
，
∴△DFE≌△DFP（SAS） ，
，
， ， ，
∴△CEH≌△DEH（ASA） ，
，
；
（3）解：如图3，连接 EG 、 CO ，
设 ，
为直径， ，
∴ ，
，由 知 ，
， ，
，
，
在 和 中，
，
∴△AFE≌△AFP（SAS） ，
，
，
∴AG为EP的中垂线，
，
，
∵AB为直径，
，
，
，
在 和 中，
， ， ，
∴△AEG≌△APG（SSS） ，
，
， ，
，
，
，
，
，
，
设半径为 ， ，
则 ，
∵ ，
，
，
，
，
，
，
在 和 中，
， ， ，
∴△CHO≌△BGE（AAS） ，
，
，
，
，
，
在 中，由勾股定理得 ，
即 ，
，
，
则 ，
，
即 ，
令 ，
则原式为 ，
即 ，
解得： ， 舍 ，
，
负值舍去 ．
半径为10．
24．如图1，E点为x轴正半轴上一点，交x轴于A、B两点，交y轴于C、D两点，P点为劣弧上一个动点，且、．
（1）的度数为 ；
（2）如图2，连结，取中点G，连结，则的最大值为 ；
（3）如图3，连接、、、．若平分交于Q点，求的长；
（4）如图4，连接、，当P点运动时（不与B、C两点重合），求证：为定值，并求出这个定值．
【答案】（1）120
（2）2
（3）解：直径，
，
，
平分，
，
，
，
，
，
；
（4）证明：由题可得，直径，
垂直平分CD，
如图4，连接AC，AD，则，
由（1）得，
将绕A点顺时针旋转至，
，
，，
四边形ACPD为圆内接四边形，
，
，
、D、P三点共线，
，
过A作于G，则，
，
在中，，
设，则，
，
，
，
，
为定值．
【解析】解：（1）连接CE，AC，
∵A(-1，0)，E(1，0)，
∴OA=OE=1，
ABCD，
CD垂直平分AE，
CA=CE，
CE=AE，
CA=CE=AE，
∠CEA=60°，
∠CEB=180°-∠CEA=120°，
的度数为120°
故答案为：120；
（2）连接PD，如图2，
∵AB为 直径，且ABCD，
∴CO=OD，
又G为PC的中点，
OGPD，且OG=PD，
当D，E，P三点共线时，此时DP取得最大值，且DP=AB=2AE=4，
OG的最大值为2；
故答案为：2；
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【冲击重高（压轴题）】浙教版2024-2025学年九年级上数学
第3章圆的基本性质
考试时间：120分钟 满分：120分
一、选择题（本大题有10小题，每小题3分，共30分）
下面每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的.
1．如图，四边形 内接于 ，对角线 于点E，若 的长与 的半径相等，则下列等式正确的是（ ）
A． B．
C． D．
（第1题） （第2题） （第3题） （第4题） （第5题）
2．如图，的半径弦于点E，C是上一点，，的最大值为18，则的长为（ ）
A．8 B．6 C．4 D．2
3．如图，半径为5的圆中有一个内接矩形，点是的中点，于点，若矩形ABCD的面积为30，则线段MN的长为（ ）.
A． B． C． D．
4． 如图，△ABC内接于⊙O，AB是⊙O的直径，DE⊥AB于点F，AF＝6，DF＝8，连接BE，∠ABE＝∠CBE，则BC的长度为（ ）
A． B．5 C． D．
5． 如图，四边形ABCD内接于⊙O，∠ABC＝∠ADC，BD平分∠ABC．若AB＝3，BC＝4，BD的长为（ ）
A．4 B． C． D．
6．已知等腰直角三角形OAC，∠OAC＝90°，以O为圆心，OA为半径的圆交OC于点F，过点F作AC的垂线交⊙O于点E，交AC于点B.连结AE，交OC于点D，若OD＝，则AB的长为（ ）
A． B． C． D．
（第6题） （第7题） （第8题）
7．阿基米德折弦定理：如图1，AB与BC是⊙O的两条弦（即折线ABC是圆的一条折弦），AB＞BC，点M是的中点，MN⊥AB于点N， 则点N是折弦ABC的中点， 即AN＝BN+BC．如图2，半径为4的圆中有一个内接矩形ABCD， AB＞BC， 点M是的中点， MN⊥AB于点N， 若矩形ABCD的面积为20，则线段BN的长为（ ）
A． B． C． D．
8．如图，在半圆O中，直径AB＝2，C是半圆上一点，将弧AC沿弦AC折叠交AB于D，点E是弧AD的中点．连接OE，则OE的最小值为（ ）
A． B． C． D．
9．如图，AB为⊙O的直径，点C为⊙O上一点，连接CO，作AD OC，若CO＝ ，AC＝2，则AD＝（ ）
A．3 B． C． D．
10．如图，AB＝4，以O为圆心，AB为直径作半圆，点C是半圆一动点，若BC＝2BD，∠CBD＝60°，则线段AD的最大值为（ ）
A．2+2 B．+1 C．3 D．2+1
（第9题） （第10题） （第11题） （第12题）
二、填空题（本大题有6小题，每小题3分，共18分）
要注意认真看清题目的条件和要填写的内容，尽量完整地填写答案.
11．如图，A、B、C为⊙O上的点，OC∥AB，连接OA，BC交于点D，若AC=CD，OC=2，则AB的长为 ．
12．如图，在以为直径的半圆中，是半圆的三等分点，点是弧上一动点，连接，，作垂直交于，连接，若，则的最小值是 .
13．如图，△ABC是等腰三角形，AB＝AC，∠B＝30°，△ADE是直角三角形，∠ADE＝90°，∠E＝30°，AD＝AB．将△ADE绕点A旋转，AD、AE分别交BC于点F，G，当∠AGB＝75°时， ．
（第13题） （第14题） （第15题） （第16题）
14．如图，在四边形ABCD中，∠BAD＝∠BCD＝90°，∠ACD＝30°，AD＝2，E是AC的中点，连接DE，则线段DE长度的最小值为 .
15．如图所示，在⊙O内有折线OABC，其中 ∠B＝30°，则BC的长为 .
16．已知，P为等边三角形ABC内一点，PA＝3，PB＝4，PC＝5，则S△ABC＝ .
三、解答题（本题有8小题，每题9分，共72分）
解答应写出文字说明，证明过程或推演步骤.
17．
（1）如图1，点P是△ABC内一点，PA＝PB＝PC，∠BPC＝150°，则∠BAC＝ （直接写出结果）；
（2）如图2，点P是△ABC内一点，PB＝PC，∠BPC＝90°，∠BAC＝45°，求证：PA＝PB；
（3）如图3，△ABC中，∠BAC＝60°，D是BC边上的一点，BD＝2，DC＝4，则AD的最大值为 ．（直接写出结果）
18．已知，直角△ABC中，∠BAC＝90°，BC＝10，AB＝6，过A，B两点作圆交射线CA于点D，交射线CB于点E。
（1）如图1，当点D在线段AC中点时，求BD的长。
（2）如图2，当点D在线段AC上时，若点D为中点，求BD的长。
（3）如图3，连接AE，若△AEC为等腰三角形，求所有满足条件的BD的值。
19．如图，在△ABC中，AB＝BC，∠ABC＝90°，D是AB上一动点，连接CD，以CD为直径的⊙M交AC于点E，连接BM并延长交AC于点F，交⊙M于点G，连接BE．
（1）求证：点B在⊙M上．
（2）当点D移动到使CD⊥BE时，求BC：BD的值．
（3）求证：AE2+CF2＝EF2．
20．如图1，AB为⊙O的直径，CD⊥AB于点E，，BF与CD交于点G．
（1）求证：CD＝BF．
（2）若BE＝1，BF＝4，求GE的长．
（3）连结GO，OF，如图2，求证：．
21．如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，G是弧AC上一点，AG，DC的延长线交于点F，连接AD，GD，GC．
（1）求证：∠ADG＝∠F；
（2）已知AE＝CD，BE＝2．
①求⊙O的半径长；
②若点G是AF的中点，求DF的长．
22． 如图1，C，D是半圆ACB上的两点，若直径AB上存在一点P，确足∠APC＝∠BPD，则称∠CPD是的“美丽角”．
（1）如图2，AB是⊙O的直径，弦CE⊥AB，D是上一点，连结ED交AB于点P，连结CP，∠CPD是的“美丽角”吗？请说明理由；
（2）设的度数为α，请用含α的式子表示的“美丽角”度数；
（3）如图3，在（1）的条件下，若直径AB＝5，的“美丽角”为90°，当时，求CE的长．
23．已知，是直径，弦于点，点是上一点．
（1）如图1，连接、、，求证：平分；
（2）如图2，连接、、，交于点，交于点，若；求证：；
（3）如图，在（2）的条件下，连接交于，连接，若，，求半径．
24．如图1，E点为x轴正半轴上一点，交x轴于A、B两点，交y轴于C、D两点，P点为劣弧上一个动点，且、．
（1）的度数为 ；
（2）如图2，连结，取中点G，连结，则的最大值为 ；
（3）如图3，连接、、、．若平分交于Q点，求的长；
（4）如图4，连接、，当P点运动时（不与B、C两点重合），求证：为定值，并求出这个定值．
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