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【冲击重高（压轴题）】浙教版2024-2025学年九年级上数学第1章二次函数
考试时间：120分钟 满分：120分
一、选择题（本大题有10小题，每小题3分，共30分）
下面每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的.
1．已知二次函数的图象上有两点和，则的值等于（ ）
A．0 B．-2023 C．2023 D．-1
2．已知二次函数的图象经过点，，．当时，该函数有最大值和最小值，则（ ）
A．有最大值 B．无最大值 C．有最小值 D．无最小值
3．已知抛物线的图象的顶点为，且图像交x正半轴交于点，则①；②；③对于任意的x，都满足；④；⑤若点在此函数图象上，则.判断正确的是（ ）
A．①②④ B．①②⑤ C．②③④ D．②④⑤
4．在平面直角坐标系中，如果点P的横坐标和纵坐标相等，则称点P为和谐点．例如点（1，1），（﹣，﹣），（﹣，﹣），…，都是和谐点．若二次函数y＝ax2+4x+c（a≠0）的图象上有且只有一个和谐点（，），当0≤x≤m时，函数y＝ax2+4x+c﹣（a≠0）的最小值为﹣3，最大值为1，m的取值范围是（ ）
A．m≤4 B．m≥2 C．2≤m≤4 D．2＜m＜4
5．对于一个函数，自变量x取c时，函数值 等于0，则称c为这个函数的零点．若关于x的二次函数 有两个不相等的零点 ，关于x的方程 有两个不相等的非零实数根 ，则下列关系式一定正确的是（ ）
A． B． C． D．
6．已知 关于 的二次函数 ，下列结论中， 正确的序号是（ ）
① 当 时， 函数图象的顶点坐标为 ；②当 时，函数图象总过定点；③当 时， 函数图象在 轴上截得的线段的长度大于 ；④若函数图象上任取不同的两点 ， ， 则当 ， 函数在 时，一定能使 成立．
A．①② B．①③④ C．①②③ D．①②③④
7．已知二次函数，当时，函数有最小值，则b的值为（ ）
A．或 B．或 C． D．或
8．已知二次函数的图象如图所示，有下列结论：①；②；③；④其中，其中正确的结论有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
9．将抛物线位于轴左侧的部分沿轴翻折，其余部分不变，翻折得到的图象和原来不变的部分构成一个新图象，若直线与新图象有且只有2个公共点，则的取值范围是（ ）
A． B．
C．或 D．或
10．已知二次函数y＝ax2＋bx＋c（a≠0）的图象如图所示，有下列结论：①abc＞0；②b2＜4ac；③a－b＋c＜0；④a＋b＞m(am＋b)（m≠1）；⑤若方程|ax2＋bx＋c|＝1有四个根，则这四个根的和为2．其中正确的为（ ）
A．①② B．②④ C．③④ D．②⑤
（第10题） （第12题） （第15题） （第16题）
二、填空题（本大题有6小题，每小题4分，共24分）
要注意认真看清题目的条件和要填写的内容，尽量完整地填写答案.
11．已知二次函数y1＝2x2-8x+3的图象与y轴交于点A，过点A的直线y2＝kx+b与二次函数的图象交于另一点B（B在A的右侧），点P（m，n）在直线下方的二次函数图象上（包括端点A，B），若n的最大值与最小值的和为1，则点B的横坐标为 ．
12．如图，抛物线y=x2+x+3与x轴交于点A、点B，与y轴交于点C，点F为抛物线的顶点，在抛物线的对称轴上存点G，当点G的坐标为 时△AFG为等腰三角形．
13．设的图象与轴有个交点，函数的图象与轴有个交点，则所有可能的数对是
14．已知抛物线 的顶点为 ，对称轴 与 轴交于点 ， 是 的中点． 在抛物线上， 关于直线 的对称点为 ， 关于点 的对称点为 ．当 时，线段 的长随 的增大而发生的变化是： ．（“变化”是指增减情况及相应 的取值范围）
15．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴相交于点，过点作轴的平行线交抛物线于点M，P为抛物线的顶点.若直线OP交直线AM于点，且是线段AB的中点，则的值 .
16．如图，已知抛物线y1的开口向上且顶点D在y轴的负半轴上，y2由y1先绕顶点旋转180°，再平移得到，它们与x轴的交点为A、B、C且AB=BC=2OD=4，则抛物线y2的顶点E的坐标是 ；若过定点（1，1）的直线被抛物线y1、y2所截得的线段长相等，则这条直线的解析式为 .
三、解答题（本题有8小题，每题9分，共72分）
解答应写出文字说明，证明过程或推演步骤.
17．如图，已知抛物线过点，且它的对称轴为.
（1）求此抛物线的解析式；
（2）若点B是抛物线对称轴上的一点，且点B在第一象限，当△OAB的面积为15时，求B的坐标；
（3）是抛物线上的动点，当的值最大时，求的坐标以及的最大值.
18．如图，已知抛物线y＝αx2+bx+3经过点A（1，0）和点B（3，0），与y轴交于点C．
（1）求该抛物线的表达式；
（2）若P是直线BC下方的抛物线上一个动点，当点P到直线BC的距离最大时，求点P的坐标．
（3）设抛物线的对称轴与BC交于点E，点N在y轴上，在抛物线的对称轴上是否存在点M，使得以点C、E、M、N为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由。
19．如图1，已知抛物线y＝ax2+bx+3（a≠0）与x轴交于点A（1，0）和点B（-3，0），与y轴交于点C．
（1）求抛物线的表达式；
（2）如图，若点E为第二象限抛物线上一动点，连接BE，CE，求四边形BOCE面积的最大值，并求此时E点的坐标；
（3）如图2，在x轴上是否存在一点D使得△ACD为等腰三角形？若存在，请求出所有符合条件的点D的坐标；若不存在，请说明理由．
20．如图，已知抛物线与y轴交于点，与x轴交于点，B两点，P为抛物线上的动点．已知点．
（1）直接写出抛物线的解析式；
（2）能否成为等边三角形，请说明理由；
（3）若，求点P的坐标．
21．如图，在平面直角坐标系中，直线与坐标轴交于，两点，点在轴上，点在轴上，点的坐标为，抛物线（）经过点，，.
（1）求抛物线的解析式；
（2）根据图象写出不等式的解集；
（3）点是抛物线上的一动点，过点作直线的垂线段，垂足为点，当时，求点的坐标.
22．定义：若一个函数图象上存在纵坐标与横坐标互为相反数的点，则称该点为这个函数图象的“互逆点”
（1）若点M（-2，m）是一次函数y=kx+6的图象上的“互逆点”，则k= 若点N(n，-n)是函数y的图象上的“互逆点”，则n=
（2）若点P(p，3）是二次函数y=x2+bx+c的图象上唯一的“互逆点”，求这个二次函数的表达式；
（3）若二次函数y=ax2+bx+c（a，b是常数，a>0）的图象过点（0，2），且图象上存在两个不同的“互逆点”A（x1，-x1），B（x2，-x2），且满足-123．已知二次函数y＝a（x+2a-1）（x-a+2）（a是常数，a≠0）．
（1）当a＝1时，求函数的表达式，并写出函数图象的顶点坐标．
（2）若此函数图象对称轴为直线x＝-2时，求函数的最小值．
（3）设此二次函数的顶点坐标为（m，n），当a≠1时，求的最大值
24．已知如图1，二次函数与x轴交于点A，C两点，且点A在点C的左侧，与y轴交于点B，连结AB．
（1）求点A、B的坐标；
（2）如图2，将点A向下平移n个单位得到D，将D向左平移m个单位得，将向左平移2m个单位得，若与均在抛物线上，求m，n的值；
（3）如图3，点P是x轴下方，抛物线对称轴右侧图象上的一点，连结PB ，过P作PQ//AB，与抛物线另一个交点为Q，M，N为AB上两点，且PM//y轴，QN//y轴，
①当△BPM为直角三角形时，求点P的坐标；
②是否存在点P使得PB 与 QN相互平分，若存在，求PQ的长，若不存在，说明理由．
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【冲击重高（压轴题）】浙教版2024-2025学年九年级上数学第1章二次函数
解析版
一、选择题（本大题有10小题，每小题3分，共30分）
下面每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的.
1．已知二次函数的图象上有两点和，则的值等于（ ）
A．0 B．-2023 C．2023 D．-1
【答案】A
【解析】二次函数的图象上有两点A (a，1) 和B (b，1) ，
所以， 即，
把y=1代入得，
因为二次函数的图象.上有两点A(a，1) 和B (b，1)
.所以a，b是方程的两个根，
所以ab=1，
则
故答案为：A.
2．已知二次函数的图象经过点，，．当时，该函数有最大值和最小值，则（ ）
A．有最大值 B．无最大值 C．有最小值 D．无最小值
【答案】B
【解析】∵ 二次函数的图象经过点，，
∴ 对称轴==0，即对称轴为y轴
∴=0，则b=0
∴ 二次函数为
把，代入得
解得a=，c=
∴
∵ 当时，该函数有最大值和最小值，
∴ x=m，函数最大值p=； x=m+1，函数最小值q=；
∴
∵ m≥0
∴ p-q最小值为，无最大值.
故答案为B
3．已知抛物线的图象的顶点为，且图像交x正半轴交于点，则①；②；③对于任意的x，都满足；④；⑤若点在此函数图象上，则.判断正确的是（ ）
A．①②④ B．①②⑤ C．②③④ D．②④⑤
【答案】B
【解析】∵抛物线的函数解析式为，
∴抛物线与y轴的交点坐标为（0，2），
∵抛物线的顶点为（，m），
∴抛物线的对称轴为直线x=，
∵抛物线与x轴正半轴交于点A（n，0），
∴n>0>，0<2，
∴在对称轴右侧y随x的增大而减小，
∴a<0，
∵，
∴b=a，
∴b<0，
∴①正确；
由上述过程可知，b-a=0，
∴②正确；
∵抛物线开口向下，且顶点坐标为（，m），
∴对于任意x，都有，
∴，
∴③不正确；
将顶点坐标代入函数解析式可得：，
∵a=b，
∴，
∴8-b=4m，
∴④不正确；
∵抛物线的对称轴为直线x=，且与x轴的正半轴交于点（n，0），
∴抛物线与x轴的另一个交点为（-n-1，0），
∵-2-n<-n-1，
∴，
∴⑤正确，
综上，正确的结论是 ①②⑤ ，
故答案为：B.
4．在平面直角坐标系中，如果点P的横坐标和纵坐标相等，则称点P为和谐点．例如点（1，1），（﹣，﹣），（﹣，﹣），…，都是和谐点．若二次函数y＝ax2+4x+c（a≠0）的图象上有且只有一个和谐点（，），当0≤x≤m时，函数y＝ax2+4x+c﹣（a≠0）的最小值为﹣3，最大值为1，m的取值范围是（ ）
A．m≤4 B．m≥2 C．2≤m≤4 D．2＜m＜4
【答案】C
【解析】将点代入得：，即，
二次函数的图象上有且只有一个和谐点，
二次函数与有且只有一个交点，
关于的一元二次方程只有一个实数根，
此方程根的判别式，即，
联立，解得，
则函数为，
当时，，解得或，
画出二次函数的图象如下：
则当时，随的增大而增大；当时，随的增大而减小；当时，取得最大值，最大值为1，
当时，函数的最小值为，最大值为1，
，
故答案为：C．
5．对于一个函数，自变量x取c时，函数值 等于0，则称c为这个函数的零点．若关于x的二次函数 有两个不相等的零点 ，关于x的方程 有两个不相等的非零实数根 ，则下列关系式一定正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】∵ 是 的两个不相等的零点
即 是 的两个不相等的实数根
∴
∵
解得
∵方程 有两个不相等的非零实数根
∴
∵
解得
∴ <0
∴
∵ ，
∴
∴
∴
而由题意知
解得
当 时， ， ；
当 时， ， ；
当m=3时， 无意义；
当 时， ，
∴ 取值范围不确定，
故答案为：B．
6．已知 关于 的二次函数 ，下列结论中， 正确的序号是（ ）
① 当 时， 函数图象的顶点坐标为 ；②当 时，函数图象总过定点；③当 时， 函数图象在 轴上截得的线段的长度大于 ；④若函数图象上任取不同的两点 ， ， 则当 ， 函数在 时，一定能使 成立．
A．①② B．①③④ C．①②③ D．①②③④
【答案】C
【解析】①当时，
∴二次函数顶点为，则①正确，
②当时，
当时，y的值与m无关，
此时，
当当
∴函数图象总过定点，
③当时，
∵，
∴
∴
∴
∴则③正确，
④当时，抛物线的对称轴为：且函数图象开口向下，
∴在时，只有当对称轴在直线右侧时，y随x增大而减小，即成立，则④错误，
综上所述，正确的说法有①②③，
故答案为：C.
7．已知二次函数，当时，函数有最小值，则b的值为（ ）
A．或 B．或 C． D．或
【答案】A
【解析】 ，
对称轴为，顶点坐标为，开口向上.
当，即-3故，故.
当，即b<－3时，最小值在处取得，
故，故(不符合题意，舍去).
当，即b>1时，最小值在处取得，
故，故.
故答案为：A.
8．已知二次函数的图象如图所示，有下列结论：①；②；③；④其中，其中正确的结论有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】B
【解析】①由图象可知：，，
，
，
，故此选项符合题意；
②当时，，故，不符合题意；
③根据抛物线的对称性，可知：当时函数值，，且，
即，代入得，得，故此选项不符合题意；
④当时，的值最大．此时，，
而当时，，
所以，
故，即，（其中，故此选项符合题意．
故①④符合题意．
故答案为：B．
9．将抛物线位于轴左侧的部分沿轴翻折，其余部分不变，翻折得到的图象和原来不变的部分构成一个新图象，若直线与新图象有且只有2个公共点，则的取值范围是（ ）
A． B．
C．或 D．或
【答案】D
【解析】 ，
令y=0，则x2+x-6=0，解得x=-3，y=2，
抛物线与x轴交点为（-3，0），（2，0），
由题意可得翻折后y轴左侧的抛物线为，
当直线经过点（0，-6） 时，得t=-6，此时直线与新图象有且只有2个公共点，
然后将直线向上平移过程中直至经过（0，6）之前，始终与新图象有且只有2个公共点，
把（0，6）代入中得t=6，
∴-6≤t＜6时，直线与新图象有且只有2个公共点，
联立与，令y值相等，得=，
整理为2x2+3x+2t-12=0，
△=32+4×2（2t-12）=0，解得t=，
当t=，直线与新图象有且只有2个公共点，
∴或.
故答案为：D.
10．已知二次函数y＝ax2＋bx＋c（a≠0）的图象如图所示，有下列结论：①abc＞0；②b2＜4ac；③a－b＋c＜0；④a＋b＞m(am＋b)（m≠1）；⑤若方程|ax2＋bx＋c|＝1有四个根，则这四个根的和为2．其中正确的为（ ）
A．①② B．②④ C．③④ D．②⑤
【答案】C
【解析】如图，
∵图象开口向下，
∴a＜0，
∵对称轴在y轴的右侧，a与b异号，
∴b＞0，
∵与y轴交于正半轴，
∴c＞0，
∴abc＜0，故①错误；
∵二次函数图象与x轴交于不同两点，则△=b2-4ac＞0．
∴b2＞4ac.故②错误；
∵当x=-1时，y＜0，
即a-b+c＜0，故③正确；
∵x=1时函数有最大值，
∴当x=1时的y值大于当x=m（m≠1）时的y值，
即a+b+c＞m（am+b）+c
∴a+b＞m（am+b）（m≠1）成立，故④正确；
将x轴下方二次函数图象翻折到x轴上方，则与直线y=1有四个交点即可，
由二次函数图象的轴对称性知：关于对称轴对称的两个根的和为2，四个根的和为4，故⑤错误．
综上：③④正确．
故答案为：C.
二、填空题（本大题有6小题，每小题4分，共24分）
要注意认真看清题目的条件和要填写的内容，尽量完整地填写答案.
11．已知二次函数y1＝2x2-8x+3的图象与y轴交于点A，过点A的直线y2＝kx+b与二次函数的图象交于另一点B（B在A的右侧），点P（m，n）在直线下方的二次函数图象上（包括端点A，B），若n的最大值与最小值的和为1，则点B的横坐标为 ．
【答案】 或
【解析】当x=0时y=3，
∴点A（0，3），
∵ 过点A的直线y2＝kx+b与二次函数的图象交于另一点B（B在A的右侧），
∴b=3，
∴y2＝kx+3，
∴即kx+3=2x2-8x+3
解之：x1=0，，
∵点B在点A的右侧，
∴xB＞xA＞0，
∴
解之：k＞-8；
∵y1=2（x-2）2-5，
∴抛物线的顶点坐标为（2，5），
∴n的最小值为-5，
∵n的最大值与最小值的和为1，
∴n的最大值为6，
∵6＞3，
∴点B在抛物线的图象上高于点A，
∴k＞0，
当y=6时，2（x-2）2-5=6
解之：（舍去）
∴点B的横坐标为；
当点P在点A处取得最大值时，当n=3时即n的最小值为-2，
∴当y=-2时，2（x-2）2-5=-2
解之：（舍去）
∴点B的横坐标为 或
12．如图，抛物线y=x2+x+3与x轴交于点A、点B，与y轴交于点C，点F为抛物线的顶点，在抛物线的对称轴上存点G，当点G的坐标为 时△AFG为等腰三角形．
【答案】（2，0）或（2，-4）或（2，4+ ）或（2，4-）.
【解析】当y＝0时，即x2+x+3＝0，
解得x1＝-2，x2＝6，
∴A（-2，0），B（6，0），
∵y＝x2+x+3＝（x-2）2+4，
∴对称轴为直线x＝2，顶点F的坐标为（2，4），如下图所示：
∴AF＝＝，
设点G（2，t），
若△AFG为等腰三角形，
①GA＝GF时，
（2+2）2+t2＝（4-t）2，
解得t＝0，
∴G（2，0）；
②FG＝FA＝时，
∴G（2，4+ ）或（2，4-）；
③AG＝AF时，G点与F点关于x轴对称，
∴G点坐标为（2，-4），
综上所述，G点坐标为（2，0）或（2，-4）或（2，4+ ）或（2，4-）.
故答案为：（2，0）或（2，-4）或（2，4+ ）或（2，4-）.
13．设的图象与轴有个交点，函数的图象与轴有个交点，则所有可能的数对是
【答案】（1，1），（1，0），（2，1），（2，2）
【解析】①当m=1时，则
当时，则
∴则
当时，同理可得到函数表达式为则
②当m=2时，则
当时，则
∴则
当时，同理可得到函数表达式为则
故答案为：（1，1），（1，0），（2，1），（2，2）.
14．已知抛物线 的顶点为 ，对称轴 与 轴交于点 ， 是 的中点． 在抛物线上， 关于直线 的对称点为 ， 关于点 的对称点为 ．当 时，线段 的长随 的增大而发生的变化是： ．（“变化”是指增减情况及相应 的取值范围）
【答案】当 时， 的长随 的增大而减小；当 时， 的长随 的增大而增大．
【解析】 =
则P（3，4）
∴A（3，0）
∴N（3，2）
如图，
由图知，BC的长随着m的增大先减小，后增大，
∵
∴
∵M与C关于N（3，2）对称
∴
解得
∴C
∴
∵
∴
当n=2时，BC最小值=0，此时
当n=0或4时，BC最大值=4，此时m=1或3，
所以，当 时， 的长随 的增大而减小；当 时， 的长随 的增大而增大．
15．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴相交于点，过点作轴的平行线交抛物线于点M，P为抛物线的顶点.若直线OP交直线AM于点，且是线段AB的中点，则的值 .
【答案】2
【解析】 ∵抛物线 (a>0) 与y轴交于点A，
.A (0，)，抛物线的对称轴为x=1，
∴顶点P坐标为 (1，)，点M坐标为 (2，)
∵点M为线段AB的中点，
∴点B坐标为 (4，)，
设直线OP解析式为y=kx(k为常数，且k≠0)将点P (1，-a) 代入得-a=k，
∴y=(-a) x，
将点B(4，) 代入得=(-a) x4，
解得a=2.
故答案为：2.
16．如图，已知抛物线y1的开口向上且顶点D在y轴的负半轴上，y2由y1先绕顶点旋转180°，再平移得到，它们与x轴的交点为A、B、C且AB=BC=2OD=4，则抛物线y2的顶点E的坐标是 ；若过定点（1，1）的直线被抛物线y1、y2所截得的线段长相等，则这条直线的解析式为 .
【答案】（-6，8）；
【解析】由题意：，且，
∴，，，，
即：，，，，
设表达式为，
将，代入
，解得：
则
∵由先绕顶点旋转180°，再平移得到，与x轴的交点为B、C，
∴设表达式为
将，代入得：
，解得：
∴
∴；
设过定点的直线表达式为，
将代入得：，即：
∴，
设过定点的直线被抛物线、所截得的线段端点横坐标分别为、、、，
∵过定点的直线被抛物线、所截得的线段长相等，
∴
与联立得：
整理得：
根据韦达定理得：，
∴
与联立得：
整理得：
根据韦达定理得：，
∴
∵
即：，
解得：
则
故答案为：；
三、解答题（本题有8小题，第17～19题每题6分，第20、21题每题8分，第22、23题每题10分，第24题12分，共66分）
解答应写出文字说明，证明过程或推演步骤.
17．如图，已知抛物线过点，且它的对称轴为.
（1）求此抛物线的解析式；
（2）若点B是抛物线对称轴上的一点，且点B在第一象限，当△OAB的面积为15时，求B的坐标；
（3）是抛物线上的动点，当的值最大时，求的坐标以及的最大值.
【答案】（1）解：抛物线过点，且它的对称轴为，
∴抛物线与x轴的另一个交点坐标为（4，0），
设抛物线解析式为，把代入，得，
解得：，
故此拋物线的解析式为；
（2）解：如图，
∵点B是抛物线对称轴上的一点，且点B在第一象限，
设
设直线OA的解析式为，
则，
解得：，
设直线OA与抛物线对称轴交于点，则，
∴
解得：，
点的坐标为；
（3）解：设直线AB的解析式为，把代入得：，
解得：，
直线AB的解析式为，
当的值最大时，A、B、P在同一条直线上，
∵P是抛物线上的动点，
解得：舍去)，
此时，.
18．如图，已知抛物线y＝αx2+bx+3经过点A（1，0）和点B（3，0），与y轴交于点C．
（1）求该抛物线的表达式；
（2）若P是直线BC下方的抛物线上一个动点，当点P到直线BC的距离最大时，求点P的坐标．
（3）设抛物线的对称轴与BC交于点E，点N在y轴上，在抛物线的对称轴上是否存在点M，使得以点C、E、M、N为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由。
【答案】（1）解：∵抛物线y＝ax2+bx+3经过A（1，0）和B（3，0），
∴．
解得：
∴抛物线的表达式为y＝x2﹣4x+3；
（2）解：∵线段BC为定长，
∴当点P到直线BC的距离最大时，即 PBC的面积最大。
如图，过点P作PD⊥x轴交BC于点D，设P（m，m2﹣4m+3）（0则D（m，﹣m+3）．
设直线BC的解析式为y＝kx+n，
∵点B（3，0），点C（0，3），
∴．
解得：．
∴直线BC的解析式为y＝﹣x+3
∴PD＝（﹣m+3）﹣（m2﹣4m+3）＝﹣m2+3m．
∵
∴
整理为顶点式得：．
∵，0∴当m＝时，S△PBC有最大值，
当m＝时，代入抛物线解析式得函数值．
∴P．
（3）解：存在，M点的坐标为（2，1+2）或（2，1﹣2）或（2，3）．
【解析】（3）如图，
∵抛物线y＝x2﹣4x+3的对称轴为x=2，直线BC的解析式为y＝﹣x+3，
∴点E的坐标为
∵
∴
①以CE为边，
∴
∵点M在对称轴x=2上，
∴点M的坐标为（2，1+2）或（2，1﹣2），
②以CE为对角线，
∵CE与M3N3互相垂直平分，记CE与M3N3的交点为F，
∴为等腰直角三角形，
∴
∴点M的坐标为：
综上所述，点M的坐标为（2，1+2）或（2，1﹣2）或（2，3）．
19．如图1，已知抛物线y＝ax2+bx+3（a≠0）与x轴交于点A（1，0）和点B（-3，0），与y轴交于点C．
（1）求抛物线的表达式；
（2）如图，若点E为第二象限抛物线上一动点，连接BE，CE，求四边形BOCE面积的最大值，并求此时E点的坐标；
（3）如图2，在x轴上是否存在一点D使得△ACD为等腰三角形？若存在，请求出所有符合条件的点D的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）解：将点A（1，0），B（-3，0）代入y＝ax2+bx+3，
得，，
解得，，
∴抛物线表达式为y＝-x2-2x+3；
（2）解：如图1，过点E作EF⊥x轴于点F，
设E（a，-a2-2a+3）（-3＜a＜0），
∴EF＝-a2-2a+3，BF＝a+3，OF＝-a，
∴
=
=
=，
∴当时，S四边形BOCE最大，且最大值为；
当时，，
此时，点E坐标为；
（3）解：如图2，连接AC，
①当CA＝CD时，此时CO为底边的垂直平分线，
满足条件的点D1，与点A关于y轴对称，
点D1坐标为（-1，0）；
②当AD＝AC时，在Rt△ACO中，
∵OA＝1，OC＝3，
由勾股定理得，AC＝＝，
以点A为圆心，AC的长为半径作弧，交x轴于两点D2，D3，即为满足条件的点，
此时它们的坐标分别为D2（，0）， D3（，0）；
③当DA＝DC时，线段AC的垂直平分线与x轴的交点D4，即为满足条件的点，
设垂直AC的垂直平分线交y轴于点P，过AC中点Q，
∵∠AOC＝∠BOC＝∠PQC＝∠PQA＝90°，∠D4PO＝∠CPQ，
∴∠ACO＝∠OD4P，
∴△D4AQ∽△CAO，
∴，
即，
∴D4A＝5，
∴OD4＝D4A-OA＝4，
∴点D4的坐标为（-4，0）；
综上所述，存在符合条件的点D，其坐标为D1（-1，0）或D2（，0）或D3（，0）或D4（-4，0）．
20．如图，已知抛物线与y轴交于点，与x轴交于点，B两点，P为抛物线上的动点．已知点．
（1）直接写出抛物线的解析式；
（2）能否成为等边三角形，请说明理由；
（3）若，求点P的坐标．
【答案】（1）解：
（2）解：△PCD不能成为等边三角形，理由如下：
若△PCD为等边三角形，则PD=PC，
∴P在线段CD的垂直平分线上，
∵C（0，4），D（0，1），
∴CD=3，；
在中，取得：，
解得x=3或x=-1，
∴或；
当时，；
而CD=3，
∴PD=PC≠CD，
此时△PCD不是等边三角形；
当P（-1， ）时，，
∴PD=PC≠CD，
此时△PCD不是等边三角形；
综上所述，△PCD不能成为等边三角形；
（3）解：当P在BD上方时，过C作CP∥BD交抛物线于另一点P，如图：
△PBD与△CBD同底等高，有S△PDB=S△CBD，
在中，取y=0得：，
解得x=-2或x=4，
∴B（4，0），
由B（4，0），D（0，1）得直线BD解析式为，
∴直线CP解析式为，联立，
解得或，
∴此时；
当P'在BC下方时，过P'作P'E∥BD交y轴于E，如图：
∵CP，P'E到BD的距离相等，CP∥BD∥P'E，
∴CD=DE（平行线等分线段定理），
∵C（0，4），D（0，1），
∴E（0，-2），
∴直线P'E的解析式为，
联立，解得或，
∴P'的坐标为或；
综上所述，点P的坐标为或或．
【解析】（1）把A（-2，0），C（0，4）代入得：
解得，
∴抛物线的解析式为；
21．如图，在平面直角坐标系中，直线与坐标轴交于，两点，点在轴上，点在轴上，点的坐标为，抛物线（）经过点，，.
（1）求抛物线的解析式；
（2）根据图象写出不等式的解集；
（3）点是抛物线上的一动点，过点作直线的垂线段，垂足为点，当时，求点的坐标.
【答案】（1）解：当时，，解得，
当时，，则点，点，
把，，，
分别代入得
解得：，，，
该拋物线的解析式为
（2）解：由不等式，得，
由图像可知，二次函数图象在一次函数图象上方，
则不等式的解集为
（3）解：如图，作轴于点，交于点，
在中，，，，
在中，，，，
设点，则点，
当点在直线上方时，，
即，解得，则，点的坐标为：.
当点在直线下方时，，
即解得，，
或，
综上所述，符合条件的点坐标有或或.
22．定义：若一个函数图象上存在纵坐标与横坐标互为相反数的点，则称该点为这个函数图象的“互逆点”
（1）若点M（-2，m）是一次函数y=kx+6的图象上的“互逆点”，则k= 若点N(n，-n)是函数y的图象上的“互逆点”，则n=
（2）若点P(p，3）是二次函数y=x2+bx+c的图象上唯一的“互逆点”，求这个二次函数的表达式；
（3）若二次函数y=ax2+bx+c（a，b是常数，a>0）的图象过点（0，2），且图象上存在两个不同的“互逆点”A（x1，-x1），B（x2，-x2），且满足-1【答案】（1）2；或
（2）解：点P（p，3）是二次函数y＝x2+bx+c的图象上唯一的“互逆点”，即抛物线y＝x2+bx+c与直线y＝-x的唯一交点为P（-3，3），
∴方程x2+bx+c＝-x有两个相等的实数根为：x1＝x2＝-3，
∴
解得，
∴二次函数的表达式为；
（3）解：∵二次函数y＝ax2+bx+c（a，b是常数，a＞0）的图象过点（0，2），
∴c＝2，
∴y＝ax2+bx+2，
∵y＝ax2+bx+2图象上存在两个不同的“互逆点”A（x1，-x1），B（x2，-x2），
∴-x1＝ax12+bx1+2，-x2＝ax22+bx2+2，
∴ax12+（b+1）x1+2＝0，ax22+（b+1）x2+2＝0，
∴x1、x2是方程ax2+（b+1）x+2＝0的两个不相等实数根，
∴x1+x2＝，x1 x2＝，
∵|x1﹣x2|＝2，
∴（x1﹣x2）2＝4，
∴（x1+x2）2﹣4x1x2＝（）2﹣4×＝4，
∴b2+2b+1﹣8a＝4a2，
∴z＝b2+2b+2＝4a2+8a+1＝4（a+1）2-3
∵|x1﹣x2|＝2，
∴x1﹣x2＝2或x2﹣x1＝2，
∵﹣1＜x1＜1，
∴﹣3＜x2＜﹣1或1＜x2＜3
∴﹣3＜x1 x2＜3，
∴﹣3＜＜3，
∵a＞0，
∴a＞，
∴z=4（a+1）2-3>
【解析】根据题意得，
∴，代入解析式得，
解得：；
把代入函数
得，解得：或；
故答案为：2；或
23．已知二次函数y＝a（x+2a-1）（x-a+2）（a是常数，a≠0）．
（1）当a＝1时，求函数的表达式，并写出函数图象的顶点坐标．
（2）若此函数图象对称轴为直线x＝-2时，求函数的最小值．
（3）设此二次函数的顶点坐标为（m，n），当a≠1时，求的最大值
【答案】（1）解：(1)当a= 1时，
y= (x＋2-1)(a -1＋2)=(x＋1)(x＋1)=(x＋1)3
即y =x2+2x＋1，
∴函数的表达式为y = x2+2x +1，
∴函数图象的顶点坐标为(-1，0)；
（2）解：
当 时， 即
解得： ， 此函数图象与 轴的交点坐标为
此函数图象对称轴为直线 ，
解得： ，
， 函数图象开口向上，
当 时， 函数有最小值， 此时
函数的最小值为 -27 ；
（3）解： 此函数图象与 轴的交点坐标为 ，
此二次函数的顶点坐标为 ，
，
∴=
∵
∴
24．已知如图1，二次函数与x轴交于点A，C两点，且点A在点C的左侧，与y轴交于点B，连结AB．
（1）求点A、B的坐标；
（2）如图2，将点A向下平移n个单位得到D，将D向左平移m个单位得，将向左平移2m个单位得，若与均在抛物线上，求m，n的值；
（3）如图3，点P是x轴下方，抛物线对称轴右侧图象上的一点，连结PB ，过P作PQ//AB，与抛物线另一个交点为Q，M，N为AB上两点，且PM//y轴，QN//y轴，
①当△BPM为直角三角形时，求点P的坐标；
②是否存在点P使得PB 与 QN相互平分，若存在，求PQ的长，若不存在，说明理由．
【答案】（1）解：由题意得：A（5，0），B（0，-5)；
（2）解：作对称轴交x轴于点H，如图，
由题意抛物线对称轴为x=2，
∴AH=3，
∴2m=3， m=；
∴的横坐标为，把x= 代入，得y=
∴n=.
（3）解：①由题意可设直线AB的解析式：
由当x=0时，y=-5 ；当x=5时，y=0 ；
得：y关于x的函数表达式为y=x-5
设点P的横坐标为t，则M(t，t-5)， P(t，)
∴PM=
当∠BPM=90°时，则BP=MP，
∴t=， ∴t=4， P(4，)
当∠MBP=90°时，2BE=MP，
∴2t=， ∴t=3， P(3，-8），
②∵PB 与 QN相互平分，则BN=PQ，
∵AB//PQ，MP//NQ，
∴四边形PQNM是平行四边形，
∴PQ=MN，∴BN=MN，
∴N是BM的中点，
设点M的横坐标为t，
∴点N，Q的横坐标均为t，
∴P(t，)， Q( t ，)，
∵AB与x轴夹角为45°，
∴PQ与x轴夹角为45°
∴- t=
得t=或 t=0（舍去），
∴t=.
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