2.2 有理数的减法(含答案)

2.2 有理数的减法（一）
◆目标指引
1．经历探索有理数减法法则的产生过程．
2．理解并掌握有理数减法的意义和法则，会运用法则求两个有理数的差．
3．会用减法解决简单的实际问题．
4．体验加与减两种运算的对立统一的关系，了解数学中转化的数学思想方法，培养探究分析数学知识方法的兴趣．
◆要点讲解
1．有理数减法法则：减去一个数，等于加上这个数的相反数，记作a-b=a+（-b）．
2．有理数减法与有理数加法互为逆运算，它们可以互相转化．
3．在有理数范围内，不存在“不够减”的问题，被减数可以比减数小，差也可能大于被减数．
◆学法指导
1．在进行有理数减法运算时，把减法运算转化为加法运算，要注意减法没有交换律．
2．减法转化为加法时，要同时改变两个符号，既改变了运算符号，又改变了减法本身的性质符号，但被减数符号不变．
3．要注意理解“-”号：一是取某个数的相反数，看成性质符号；二是看成减法的运算符号．
4．有理数减法可以分两步进行：第一步是运用有理数减法法则把减法转化为加法；第二步是按有理数加法计算，并且这一步可以用加法交换律和加法结合律．
5．零减去一个数，得到这个数的相反数．
◆例题分析
【例1】计算：
（1）（-32）-（+5）； （2）7.3-（-6.8）；
（3）（-2）-（-25）； （4）12-21； （5）0-（+19）．
【分析】把减法转化为加法，然后根据加法法则来计算．
【解】（1）（-32）-（+5）=（-32）+（-5）=-37；
（2）7.3-（-6.8）=7.3+（+6.8）=14.1；
（3）（-2）-（-25）=（-2）+（+25）=23；
（4）12-21=12+（-21）=-9；
（5）0-（+19）=0+（-19）=-19．
【注意】（1）该题特别容易出错的是零减去某数，第（5）题易得出0-（+19）=19的错误．（2）使用减法法则时，要同时改变两个符号．
【例2】求数轴上表示+1的点A与表示-2的点B之间的距离．
【解】│（+1）-（-2）│=│1+（+2）│=3，
或者│（-2）-（+1）│=│（-2）+（-1）│=│-3│=3．
【注意】数轴上表示有理数a、b的两点间的距离等于│a-b│（或│b-a│）．
【例3】计算：
（1）│-8.5│-│-4.5│；
（2）│（-4）-（-9）│．
【解】（1）│-8.5│-│-4.5│=8.5-4.5=4．
（2）│（-4）-（-9）│=│-4+9│=│+5│=5．
【注意】第（1）题中先分别求出-8.5和-4.5的绝对值，然后求它们的差；第（2）题先求出-4与-9的差，然后求差的绝对值．
◆练习提升
一、基础训练
1．下列说法中正确的有（ ）
（1）正数与负数的差不一定是正数;（2）负数与负数的差是负数;
（3）负数减去正数的差为负数; （4）正数减去负数的差为正数
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
2．下列说法正确的是（ ）
A．减去一个数，等于加上这个数 B．零减去一个数，仍得这个数
C．两个互为相反数的数相减不可能得零 D．减去一个负数，差一定大于被减数
3．在下面各题的括号里填上适当的数：
（1）（_____）-（-5）=-7； （2）（_____）-（+3）=8；
（3）（_____）-（-60）=60； （4）（_____）-（-60）=-60．
4．-2与-7大______．
5．-的绝对值的相反数与3的差是______．
6．被减数是-11.8，差是7.2，则减数是______．
7．世界上最高的山峰是珠穆朗玛峰，其海拔高度是8844米，吐鲁番盆地的海拔高度是-155米，两处高度相差______米．
8．计算：
（1）（-）-（+）； （2）（+3.7）-（+6.8）； （3）0-（-3.2）；
（4）（-16）-（-10）； （5）3.36-4.16； （6）（-）--（-）．
二、提高训练
9．若m，n是两个有理数，那么m-n与m比较，下列说法正确的是（ ）
A．m-n>m B．m-n10．如下图所示，已知A，B，C分别表示有理数a，b，c，试判断下列各式的符号．
( http: / / )
（1）a-b； （2）a+b； （3）c-a； （4）a+b+c； （5）│c│-b．
11．计算：│-5.2│-│（-2.5）-（+0.8）│．
12．计算：
（1）（-3）-（-7）-（-6）； （2）（-）-（-）-（+）．
13．12月31日晚上12点差25分火车从A站出发，到B站的时间是1月1日凌晨0时43分，问火车从A站到B站所用的时间是多少？
三、拓展训练
14．a，b表示任意有理数，试比较a+b与a-b的大小．
15．试写一个三位数，将数字从大到小和从小到大分别排列，得到一个最大和最小的数，然后相减得到一个新的三位数，不断重复以上过程你发现了什么？如果是四位数呢？
参考答案
1．B 2．D 3．（1）-12 （2）11 （3）0 （4）-120
4．5 5．-4 6．-19 7．8999
8．（1）-1 （2）-3. 1 （3）3.2 （4）-5 （5）-0.8 （6）-
9．D 10．（1）<0 （2）<0 （3）>0 （4）<0 （5）>0 11．1.9
12．（1）10 （2）- 13．1时8分
14．当b>0时，a+b>a-b；当b=0时，a+b=a-b；当b<0时，a+b15．495后不断循环，6174后不断重复出现
2.2 有理数的减法（二）
◆目标指引
1．理解加减统一为加法，并化为省略加号的和式．
2．会进行若干数的加减混合运算．
3．会用加减混合运算解决简单的实际问题．
4．体验矛盾着的对立双方，能在一定条件下互相转化的辩证唯物主义思想．
◆要点讲解
1．根据有理数减法法则，减法都可以转化成加法，所以有理数的混合运算都可以统一成加法运算．
2．灵活运用结合律、交换律；使有理数加减混合运算更加简捷、准确．
3．省略加号的和式的两种读法：一是强调了加法运算和其中的各个加数；另一种强调了运算意义及运算顺序．
4．把加、减混合运算统一成加法运算，是一个比较复杂的思维和表达过程，不易掌握．
◆学法指导
1．有理数的加减混合运算的一般步骤：第一步减法统一成加法；第二步省略加号与括号；第三步用加法法则和加法运算律进行计算．
2．交换加数的位置时，要连同加数的符号一起交换．
3．省略加号的和式是用性质符号替代运算符号．
4．如需添括号，一定要连同加数前面的符号一起括进括号内，并将原来省略的符号写出来．
◆例题分析
【例1】计算：
（1）-40-28-（-19）+（-24）-（-32）；
（2）（-3）+（-5）-（-2）+（-8）-（-14.5）；
（3）-6--1+4-4.5+3；
（4）-14+11-（-12）-14+（-11）．
【分析】（1）把负数、正数分别结合相加．（2）把同分母的分数相加．（3）既可以把正、负数分别相加，也可以把同分母的分数相加．（4）把互为相反数的两数相加．
【解】（1）-40-28-（-19）+（-24）-（-32）
=-40+（-28）+（+19）+（-24）+（+32）
=-40-28+19-24+32
=（-40-28-24）+（19+32）
=-92+51=-41．
（2）（-3）+（-5）-（-2）+（-8）-（-14.5）
=（-3）+（-5）+（+2）+（-8）+（+14.5）
=-3-5+2-8+14
=（-3-8）+（-5+2）+14
=-12+（-3+14）=-12+11=-1．
（3）-6--1+4-4.5+3
=（-6+4）+（--4.5）-1+3
=-2-5-1+3=-4．
（4）-14+11-（-12）-14+（-11）
=-14+11+（+12）-14+（-11）
=-14+11+12-14-11
=（-14+12）+（11-11）-14
=-2+0-14=-16．
【注意】（1）将加减法混合算式统一成加法，再省略加号；（2）如式中有理数先将它们合并为0；（3）利用交换律或结合律把同分母或分母间有倍数关系的分数合并在一起比较简便．
【例2】某煤库2005年5月13日库存煤28.3吨，14日到18日进出煤的记录如下表（记运进为正，单位：吨），问到18日止，库存煤有多少吨？
日期 14 15 16 17 18
进出煤吨数 82 -17.5 -30.1 0 68.3
【分析】要综合运用有理数加减混合运算的有关知识解决简单的实际问题．
【解】28.3+82-17.5-30.1+0+68.3
=（28.3+82+68.3）+（-17.5-30.1）
=178.6-47.6=131（吨）
答：到18日止，库存煤131吨．
【注意】运用加减混合运算解决实际问题时，可以直接列出省略加号的和式，并且求库存结余时，应加上原来的库存或结余．
◆练习提升
一、基础训练
1．把式子（-17）-（+12）-（-36）+（-23）写成省略括号的和的形式是______．
2．-7.2，-3+6-5读作____________，或读作___________．
3．从-3.9中减去-6.4，8.6，-5.1的和，所得的差是______．
4．算式“-3+5-7+2-9”的读法是（ ）
A．3，5，7，2，9的和 B．减3正5负7加2减9
C．负3，正5，减7，正2，减9的和 D．负3，正5，负7，正2，负9的和
5．把-（-15）-（+8）-（-7）+（-4）写成省略加号的和的形式为（ ）
A．-15-8-7+4 B．15+8-7-4 C．15-8+7-4 D．-15-8+7-4
6．计算下列各题：
（1）（-11）-（-4）+（-15）； （2）（-4）-[（-1）+（-）]；
（3）│-│+（-）-│-│； （4）7+-4--18-+6+．
7．列式计算：-2与7的和的相反数加上-5是多少？
8．计算16-25-27-32+24+27的过程为：
16-25-17-32+24+27=（16+24）+（27-27）-（-25-32）=40+0+57=97．
上述计算过程是否有错？如有错误，请指出错误之处，并求出正确答案．
9．下表记录了某股市在一周内的涨跌情况：
时间 涨跌情况 用正负数表示
周一 上涨100点 +100
周二 下跌50点
周三 +60
周四 -80
周五 上涨3点
（1）完成上表；
（2）这一周总体情况是上涨还是下跌？为什么？
二、提高训练
10．计算：（-3）+（-15）+1-（-15）-（-3）+（-2）．
11．计算：．
12．计算：．
13．计算：（n为正整数）．
三、拓展训练
14．有一列数，第一个为3，以后每一个数都比前一个数多-2，请你写出这列数中的第2，第3，第4个数，你能写出这列数中的第n个数吗？
15．钟面上有1，2，3，…，12共十二个数，请在某些数的前面添上负号，使钟面上所有数字之和为0，请写出来，解决这个题目的过程中，你是否找到了什么规律？若有，请写出来．
参考答案
1．-17-12+36-23 2．负7.2，负3，正6，负5的和；负7.2减3加6减5
3．-1 4．D 5．C 6．（1）-22 （2）- （3）- （4）-8 7．-10
8．有错，错在-（-25-32），应改为+（-25-32），答案是-17
9．（1）略 （2）上涨33点 10．- 11． 12． 13．
14．第2个1，第3个-1，第4个-3，第n个n+（-2）（n-1）=5-2n 15．略。
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