2.3 有理数的乘法(含答案)

2.3 有理数的乘法（一）
◆目标指引
1．通过实例经历有理数的乘法法则的产生过程．
2．掌握和体验有理数的乘法法则．
3．会应用乘法法则求若干个有理数相乘的积．
4．理解倒数的概念．
◆要点讲解
1．有理数乘法法则的发生过程比较复杂，特别是在日常生活中很少有学生容易理解的两个负数相乘的实例，因此学生对法则的合理性认识有一定困难．
2．几个不等于零的有理数相乘，积的符号由负因数的个数决定，偶正，奇负．
3．零没有倒数．
◆学法指导
1．两个非零的有理数相乘，一般先确定结果的符号，再计算结果的绝对值．
2．多个有理数相乘时，若因数中含有零，结果显然为零，所以计算时要先观察算式中是否含有零因数．
3．有理数相乘时，带分数一般先化为假分数，再进行计算．
4．一个数与+1相乘得原数，一个数与-1相乘得原数的相反数．
◆例题分析
【例1】计算下列各式：
（1）（+）×（-）； （2）（-2）×（-6）； （3）（-）×（-1）；
（4）（-）×（+12）； （5）（-25）×0； （6）（+1）×（-2）．
【分析】根据法则，先确定符号，再把绝对值相乘．
【解】（1）（+）×（-）=-（×）=-1．
（2）（-2）×（-6）=+（2×6）=12．
（3）（-）×（-1）=+（×1）=．
（4）（-）×（+12）=-（×12）=-16．
（5）（-25）×0=0．
（6）（+1）×（-2）=-（×）=-3．
【注意】（1）有理数的乘法应遵循“符号优先”，先确定符号，再把它们的绝对值相乘；（2）乘法运算，若有因数是带分数，应先化为假分数，再进行相乘，以便约分．
【例2】计算：（-2.5）×（+4）×（-0.3）×（+33）×（-7）．
【分析】正确应用符号法则．
【解】（-2.5）×（+4）×（-0.3）×（+33）×（-7）
=-（）×4×××7=-700．
【注意】若多个有理数相乘时，由符号法则确定积的符号，再把它们的绝对值相乘．
【例3】计算：
（1）（-3）×（-4）-（-11）×（-5）； （2）-20-（-6）×（+3）；
（3）-8-[2-（-3）×（-4）]； （4）（-5）×│-2│．
【分析】（1）在进行有理数的乘法、加减混合运算时应先算乘，再算加减；（2）如有括号应先对括号里的数进行计算；（3）含有绝对值时，应先把绝对值符号去掉后再运算．
【解】（1）（-3）×（-4）-（-11）×（-5）=+3×4-11×5=12-55=-43．
（2）-20-（-6）×（+3）=-20-（-18）=-20+18=-2．
（3）-8-[2-（-3）×（-4）]=-8-（2-12）=-8-（-10）=-8+10=2．
（4）（-5）×│-2│=-5×=-．
【注意】（1）计算加减乘混合运算时，可以加号或减号为界，分段计算，严格遵守运算顺序；（2）平时注意养成严谨解题的习惯，分清乘法与加法的区别和联系．
◆练习提升
一、基础训练
1．两数相乘，若积为正数，则这两个数（ ）
A．都是正数 B．都是负数 C．同号 D．异号
2．7个有理数相乘的积是负数，那么其中负因数的个数最多是（ ）
A．1个 B．3个 C．5个 D．7个
3．请写出下列各题的结果是>0，<0，还是=0．
（1）-31×（-58）×（-4）×（-7）______；
（2）（-32.75）×（-1）×101×（-99）×0_____；
（3）-│-3│×（-5）×（-11）×51______；
（4）（-1）×（-）×（-）×…×（-）=______．
4．_______的两个数互为倒数，例如：-与_____；1与_______．
5．若ab>0，a<0，则b_____0； 若ab<0，a>0，则b______0；
若a>0，b>0，则ab______0； 若a>0，b<0，则ab______0；
若a<0，b=0，则ab______0．
6．绝对值不大于1215.8的所有整数的积为______．
7．计算：
（1）（-2）×3×（-0.5）； （2）（-1）×（-）×2；
（3）（+2）×（-）； （4）│11-5│×（-）；
（5）56×（-1）×（-1）×（-）．
二、提高训练
8．若xy=│xy│，则下列说法正确的是（ ）
A．x>0，y>0 B．x<0，y<0 C．x，y同号 D．xy≥0
9．有理数a，b在数轴上表示如图所示，则下面各式中错误的是（ ）
A．b<0│a│ C．ab<0 D．a+b>0
( http: / / )
10．计算：
（1）（1-2）×（2-3）×（3-4）×（4-5）×…×（99-100）；
（2）（-1）×（-1）×（-1）×…×（-1）×（-1）．
三、拓展训练
11．观察下列各式：
1×=×（1-）；
×=×（-）；
×=×（-）；
×=×（-）；
…
（1）你发现有何规律？（用字母表示出来）．
（2）计算：
①1×+×；
②1×+×+×+×；
③1×+×+×+…+×．
参考答案
1．C 2．D 3．（1）>0 （2）=0 （3）<0 （4）<0 4．乘积为1，-3，
5．<，>，>，<，= 6．0 7．（1）3 （2） （3）- （4）- （5）-79
8．D 9．D 10．（1）-1 （2）-
11．（1）（-） （2），，
2.3 有理数的乘法（二）
◆目标指引
1．通过具体例子，经历乘法运算律的发生过程．
2．体验乘法的运算律．
3．会运用乘法的运算律简化运算．
◆要点讲解
1．乘法交换律：两个数相乘，交换因数的位置，积不变，记作ab=ba．
2．乘法结合律：三个数相乘，先把前面两个数相乘，或者先把后两个数相乘，积不变，记作（ab）c=a（bc）．
3．乘法分配律：一个数与两个数的积相乘，等于把这个数分别与这两个数相乘，再把积相加，记作a（b+c）=ab+ac．
◆学法指导
1．利用乘法分配律可以使计算简便，有时把分配律反过来用，也可以使计算简便．
2．在不引起误会时，乘号“×”可以省略不写；在不引起误会时，乘号“×”（叉乘）可用“·”（点乘）代替．例如8×5不能写成8·5，更不能写成85．
3．有时把带分数（或小数）拆成一个整数与一个分数（或小数）的和或差，再用分配律，可使运算简便．
4．遇含加、减、乘、括号等混合运算时，要先判断有哪些运算，有没有带括号的，能否利用运算律，若能用运算律，先用运算律；若不能，则按运算顺序计算．
◆例题分析
【例1】计算：
（1）（+2）×（-1）×（-）×（+）； （2）-18×（-1+-）．
（3）1999×（-11）．
【分析】（1）运用乘法交换律结合律；（2）、（3）运用乘法分配律．
【解】（1）（+2）×（-1）×（-）×（+）
=（+2）×（-）×（-1）×（+）
=[（+）×（-）]×[（-×）]
=-2×（-1）=2．
（2）-18×（-1+-）
=-18×+18-18×+18×
=-9+18-12+15=12．
（3）1999×（-11）=（2000-）×（-11）
=2000×（-11）-×（-11）
=-22000+=-21999．
【注意】在有理数的乘法中，充分灵活运用乘法运算律，使运算简便，巧用运算律时，千万注意符号．
【例2】计算：
（1）6.868×（-5）+6.868×（-12）+6.868×（+17）；
（2）-3.14×35.2+6.28×（-23.3）-1.57×36.4．
【分析】（1）逆用乘法分配律；（2）3.14，6.28，1.57之间有倍数关系，只要稍加变形就可逆用分配律．
【解】（1）6.868×（-5）+6.868×（-12）+6.868×（+17）
=6.868×（-5-12+17）
=6.868×0
=0．
（2）-3.14×35.2+6.28×（-23.3）-1.57×36.4
=-3.14×35.2+3.14×（-46.6）-3.14×18.2
=-3.14×（35.2+46.6+18.2）
=-3.14×100
=-314．
【注意】逆用乘法分配律计算在解题中经常用到，要引起足够的重视，务必要掌握．
◆练习提升
一、基础训练
1．下列变形中不正确的有（ ）
（1）（-7）×8=8×（-7）
（2）[×（-）]×（-4）=×4×
（3）（-3）×（-4+2-3）=（-3）×（-4）-3×2-3×3
（4）2×（-98）=×（-100+2）
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
2．三个数的积为0，可以得到（ ）
A．三个数都是零 B．三个数中有一个为零
C．三个数中有两个为零 D．三个数中至少有一个为零
3．-×（10-1+0.5）=-8+1-0.4这个运算应用了（ ）
A．加法结合律 B．乘法结合律 C．乘法交换律 D．乘法分配律
4．计算：
（1）3×（-）×（-）； （2）（-4）×（+5）×0.25；
（3）24×（--）； （4）（-3-1+1）×（-12）．
5．用简便方法计算：
（1）（-）×（-22）+（-）×（-2）； （2）×0.75-0.25×+25%×；
（3）7×5； （4）78-49．
6．计算：（-5）×（-3）+（-7）×（-3）-12×3．
7．计算：（5-2-1）×（-18）-（-2）×85×（-5）．
二、提高训练
8．计算：（2×3×4×5）×（+++）．
9．计算：（+1）+（-3）+（+5）+（-7）+…+（+97）+（-99）．
10．如下图所示，点A，B，C，D分别表示数a，b，c，d，且A，C到原点的距离相等，请求下列各式的符号（或值）．
( http: / / )
（1）a-c； （2）c-d； （3）abcd； （4）acd； （5）2a+cd+ab+c．
11．我国股民张斌上星期六买进某公司股票1000股，每股27元，下表为本周内每日该股票的涨跌情况．（单位：元）
星期 一 二 三 四 五 六
每股涨跌 +4 +4.5 -1 -2.5 -6 +2
已知张斌买进股票时付了1.5‰的手续费，卖出时还需付成交额1.5‰的手续费和1‰的交易税，如果张斌在星期六收盘前将全部股票卖出，他的收益情况如何？
三、拓展训练
12．计算：1997×19961996-1996×19971997．
参考答案
131．B 2．D 3．D 4．（1） （2）-5 （3）-19 （4）39
5．（1）3 （2） （3）39 （4）28 6．0 7．-874 8．154
9．-50 10．（1）<0 （2）<0 （3）=0 （4）<0 （5）>0
11．收益889.5元 12．0
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