2.5 有理数的乘方(含答案)

2.5 有理数的乘方（一）
◆目标指引
1．通过实例，经历乘方概念的产生过程．
2．体验乘方、幂、指数、底数的概念，掌握乘方与幂的表示法．
3．理解幂的符号法则，会进行有理数的乘方运算．
4．会进行乘方、乘、除的简单混合运算．
◆要点讲解
1．求n个相同因数的积的运算叫乘方，乘方的结果叫做幂，相同的因数叫底数，相同因数的个数指数，在an中，a叫底数，n叫指数．
2．an看作运算时，读作a的n次方，看作结果时读a的n次幂．
3．正数的任何次幂都是正数；负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数．
◆学法指导
1．指数应写在底数的右上角．
2．负数或分数的乘方，书写时一定要把整个负数或分数（连同符号）用括号括起来．
3．注意区别－an与（－a）n的不同意义．
4．任何数的偶次幂都是非负数，偶次幂是负数的有理数不存在，偶次幂为同一个正数的数有两个，并且这两个数互为相反数．
5．0的任何正整数次幂都是零，1的任何次幂都是1，－1的偶次幂为1，－1的奇次幂为－1．
◆例题分析
【例1】计算：
（1）（－2）3； （2）－23； （3）－（－2）4；
（4）－； （5）（－）3； （6）（－1）2005．
【分析】（1）（－2）3表示3个（－2）相乘；（2）－23表示23的相反数，即－23=－（2×2×2）；（3）－（－2）4表示（－2）4的相反数；（4）－表示分子3的平方，而分母没有平方；（5）（－）3表示3个（－）相乘；（6）（－1）2005表示2005个（－1）相乘．由乘方运算法则知（－1）2005的结果为负，绝对值等于2005个1相乘．
【解】（1）（－2）3=（－2）×（－2）×（－2）
=－（2×2×2）=－8．
（2）－23=（－2×2×2）=－8．
（3）－（－2）4
=－[（－2）×（－2）×（－2）×（－2）]
=－（2×2×2×2）=－16．
（4）－=－=－=－4．
（5）（－）3=（－）×（－）×（－）=－=－3．
（6）（－1）2005==－1．
【注意】解此类问题应注意：（1）（－2）3与－23，－与（－）2的区别；（2）不要出现（－2）3=（－2）×3之类的错误．
【例2】计算：
（1）－42×（－）2÷0.23；
（2）－8×（－2）4－（－）2×（－16）+×（－3）2．
【分析】先算乘方，再算乘除，最后算加减．
【解】（1）－42×（－）2÷0.23
=－16××53=－1×125=－125．
（2）－8×（－2）4－（－）2×（－16）+×（－3）2
=－8×16－×（－16）+×9=－128+4+4=－120．
【注意】（1）表示乘方时，当底数是分数或负数时，要加上括号，然后在它的右上角写上指数；（2）注意计算时的符号，当a>0时，－an和（－a）n是不同的．对于任何自然数n，－an表示负数，而（－a）n的符号由指数n的奇、偶为确定．当n为奇数时，（－a）n<0；当n为偶数时，（－a）n>0．
◆练习提升
一、基础训练
1．（－7）9中的底数是______，指数是______，读作_______或______，结果是______；
－79中的底数是________，指数是_______，读作_______或______．
2．把下列各式写成乘方运算的形式：
（1）（－5）×（－5）×（－5）=______； （2）5.3×5.3=______；
（3）（－3）×（－3）×（－3）×（－3）=_____；（4）×××=_____．
3．33=_____；（－）4=_____；（－）4=______；－（－）2=_____．
4．－58表示（ ）
A．8个－5相乘 B．5个－8相乘
C．8个5相乘的相反数 D．5个8相乘的相反数
5．下列等式成立的个数有（ ）
（1）23=2×3；（2）（－2）3=（－2）×3；（3）－210=（－2）10；
（4）（－2）2=（－2）×（－2）；（5）（－2）3=－23；（6）－（－2）3=8．
A．5个 B．4个 C．3个 D．2个
6．如果一个有理数的偶次幂是正数，那么这个有理数（ ）
A．一定是正数 B．一定是负数 C．是正数或负数 D．可以是任意有理数
7．下列各式中，计算结果为零的是（ ）
A．－22+（－2）2 B．－22－22 C．－22－（－2）2 D．（－2）2－（－2）2
8．若a<0，下列各式不正确的是（ ）
A．a2=（－a）2 B．a2=│a2│ C．a3=（－a）3 D．－a3=（－a）3
9．计算：
（1）（－）×（－4）2； （2）－34÷（－3）4；
（3）－3×23； （4）（－3×3）2；
（5）－23÷（）2×（－）3； （6）（－3）×（－2）2－（－1）2005÷0．5；
（7）－24×（－2）4×（－）8； （8）│－│－│（－2）3×（－2）│+│（－3）3│．
二、提高训练
10．（1）下列不等关系中，正确的是（ ）
A．－24<（－0.7）2<（－0.8）3 B．（－0.8）3<－24<（－0.7）2
C．－24<（－0.8）3<（－0.7）2 D．（－0.7）2<（－0.8）3<－24
（2）若x，y为有理数，等式（－a）3=a3，（－a）4=a4，（－a）3=－a3，（－a）4=－a4，（x－y）2=（y－x）2，（x－y）3=（y－x）3，（x－y）3=－（y－x）3中，永远成立的个数有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
（3）下列选项中，都不可能作为n2（n是整数）的末位数字应是（ ）
A．3，4，9，0 B．1，5，6，9 C．2，3，7，8 D．1，4，5，6
（4）计算（－2）2005+（－2）2006得（ ）
A．22005 B．22006 C．－22005 D．－22006
11．计算：－22005×（－）2006．
12．观察下列各式：
12+1=1×2，
22+2=2×3，
32+3=3×4，
…
请你将猜想到的规律用自然数n表示出来．
13．若│a－1│+（b+2）2=0，求（a+b）2005+a2006的值．
三、拓展训练
14．计算：（－1）+（－1）2+…+（－1）99+（－1）100．
15．（1）研究等式1+3=22，1+3+5=32，1+3+5+7=42，可以发现，从1开始，n个连续奇数的和等于_______．
（2）通过计算，比较下列各组数的大小：
①12____21；23____32；34_____43；45_____54；56_____65．
②从第①题的结果经过归纳，当n≥3时猜想出nn+1和（n+1）n的大小关系是_____．
  ③根据上面归纳的猜想得到一般结论，试比较下列两个数的大小：
19981999_____19991998．
参考答案
1．－7，9，负7的9次方，负7的9次幂，－7，79，9，7的9次方的相反数，7的9次幂的相反数
2．（1）（－5）3 （2）5.32 （3）（－3）4 （4）（）4 3．27，，，－
4．C 5．C 6．C 7．A 8．C 
9．（1）－8 （2）－1 （3）－24 （4）81 （5） （6）－10 （7）－1 （8）11
10．（1）C （2）D （3）C （4）A 11．－ 12．n2+n=n（n+1） 13．0 14．0
15．（1）n2 （2）①<，<，>，>，> ②nn+1>（n+1）n ③>
2.5 有理数的乘方（二）
◆目标指引
1．感受乘方的实际应用，对较大的数字信息作出合理的解释和推断．
2．掌握科学记数法，会用科学记数法表示较大的数．
3．会进行涉及科学记数法的乘，除，乘方的简单的混合运算．
◆要点讲解
1．科学记数法是一种记数形式，把一个大于10的数记成a×10n的形式（其中a是大于或等于1，且小于10的数），就是科学记数法，如92000=9.2×104．
2．在这种记数法中，10的指数n的值的确定：n是比原数的整数位数小1的自然数．
3．我们还可以运用科学记数法记小于－10的数，如－1230000=－1.23×106．
学习互动
◆学法指导
1．采用科学记数法的目的是为了读、写方便．
2．用科学记数法表示的两个数比较大小时，关键是后一部分．
3．用科学记数法表示的数的易错之处：例如把8600写成8600=8.63或8600=86×102，把567.8写成567.8=5.678×103（要分清整数位数是几位）．
◆例题分析
【例1】用科学记数法表示下列各数：
（1）－315700； （2）40352； （3）－3801.74．
【分析】科学记数法就是把一个数写成a×10n（1≤│a│<10，n是整数）的形式，我们上前只研究绝对值大于10的数用科学记数法表示．
【解】（1）－315700=－3.157×105；
（2）40352=4.0352×104；
（3）－3801.74=－3.80174×103．
【注意】（1）用科学记数法表示数时，10的幂指数n=原整数位数－1；（2）负数前面的“－”号不能丢掉；（3）a是一个只含有一位整数的数．
【例2】下列用科学记数法表示的数，原数各是什么？
（1）4.21×105； （2）－2.03×104．
【分析】（1）原数的整数位数为5+1=6位；（2）原数是一个负数，且整数位数是4+1=5位．
【解】（1）4.21×105=421000；
（2）－2.03×104=－20300．
【注意】写出用科学记数法表示数的原数时，乘以10的几次方，就将小数点向右移动几位，或找出原来是几位整数，再根据整数的位数，将原数写出来．
【例3】计算下列各式，结果用科学记数法表示：
（1）4.8×106－4.8×107；
（2）（8×103）×（－0.125×102）；
（3）（6.3×108）÷（7×105）．
【解】（1）4.8×106－4.8×107
=4800000－48000000
=－43200000=－4.32×107
（2）（8×103）×（－0.125×102）
=[8×（－0.125）]×（1000×100）
=－1×100000=－1×105；
（3）（6.3×108）÷（7×105）
==0.9×103=9×102．
【注意】（1）对用科学记数法表示的数进行加减运算时，一般先还原，再进行运算；（2）若进行乘法运算时，可以先还原，再相乘，也可以运用乘法交换律和结合律运算；（3）若进行除法运算时，可以先还原，再相除，也可以先写成分数形式，再约分后计算．
◆练习提升
一、基础训练
1．用科学记数法表示下列各数：
（1）1230000=_______________；（2）28679345=________________；
（3）5607.89=________________；（4）－200300=_______________．
2．把下列用科学记数法表示的数写成原数：
（1）2×104=_____；（2）106=_____；（3）－2.8×103=_______；（4）1.235×102=_______．
3．我国某年石油产量约为170000000吨，用科学记数法表示为______吨．
4．在张江高科技园区的上海超级计算中心内，被称为“神威”的计算机运算速度为每秒384000000000次，这个速度用科学记数法表示为每秒________次．
5．据统计，全球每小时约有510000000吨污水排入江河湖海，用科学记数法表示为_______吨．
6．1.234×104是（ ）
A．五位数 B．四位数 C．三位数 D．一位数
7．南水北调中的供水方案，是在长江中游最大的支流汉江的控制工程，位于湖北省的丹江口水库取水，工程完工，丹江口水库为京、津、冀、豫等省市提供水年均为147亿立方米，用科学记数法表示为（ ）
A．1.47×108立方米 B．1.47×109立方米
C．1.47×1010立方米 D．1.47×1011立方米
8．若3.85×10x=a×104，求a+x的值．
9．计算（结果用科学记数法表示）：
（1）6.8+3.2×102； （2）8.4×103－4.8×102； （3）（5.2×104）×（2.5×102）；
（4）（2×103）3； （5）（7.2×105）÷（8×102）．
二、提高训练
10．已知：5.6×10n是十二位数，则n=______．
11．我国每天因土地沙漠化造成经济损失约1.5亿元，一年365天可造成经济损失按科学记数法计算为（ ）
A．5.475×1011元 B．0.5475×1011元 C．5.475×1010元 D．5475×108元
12．用科学记数法记作的数6.12×105，那么原数是（ ）
A．61200 B．612000 C．6120000 D．61200000
13．德国天文学家贝塞尔推算出天鹅座第61颗暗星距地球102000000000000千米，比太阳距地球还远690000倍．
（1）用科学记数法表示这两个数；
（2）光每秒可行300000千米，从天鹅座第61颗暗星发射的光线到达地球需多少秒（结果要求用科学记数法表示）？
三、拓展训练
14．赤道长约4×104千米，女子100米跑的世界记录为10.49秒，由格里菲斯·乔伊纳创造，假如让格里菲斯·乔伊纳以这一速度绕地球赤道跑一圈，那么大约需要多少天（结果精确到个位）？
参考答案
1．（1）1.23×106 （2）2.8679345×107 （3）5.60789×103 （4）－2.003×105
2．（1）20000 （2）1000000 （3）－2800 （4）123.5 3．1.7×108 4．3.84×1011
5．5.1×108 6．A 7．C 8．7.85
9．（1）3.268×102 （2）7.92×103 （3）1.3×107 （4）8×109 （5）9×102
10．11 11．C 12．B 13．（1）1.02×1014，6.9×105 （2）3.4×108秒 14．约49天
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