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《二次函数的图像和性质（6）》教学设计
第六课时《二次函数的图像和性质（6）》教学设计
课型 新授课
教学内容分析 本节内容是“华师大版九年级数学（下）”第一章第二节第六课时的内容。本节课的主要内容是用二次函数的图像及性质解决生活中实际问题，包括图形面积问题和销售问题等。本节内容由简入难，帮助学生更好的理解和巩固所学知识的同时培养学生的问题解决能力，体会数学与生活的紧密联系，增强数学知识的应用意识。
学习者分析 学生已经学习了基本的二次函数图像和性质，对二次函数的图像和性质有了一定的认识。本节课是在学生已经掌握的二次函数的图像与性质上，尝试用相关知识解决生活中的实际问题，包括图形面积问题和销售问题等，但是学生在学习时可能面临如何将实际问题抽象为二次函数的数学模型的问题。因此，要通过贴近生活的实际问题，引导学生将问题抽象为二次函数模型，并应用所学性质进行求解。
教学目标 1、能够利用二次函数的性质解决相关实际问题。 2、经历从具体到抽象的探究过程，发展函数的思想，提高问题解决能力和逻辑思维能力。 3、通过用数学知识解决实际问题，逐渐建立学生对数学学习的自信心，感受数学在实际生活中的应用。
教学重点 能够利用二次函数的性质解决相关实际问题。
教学难点 能够灵活运用所学知识解决复杂实际问题。
学习活动设计
教师活动学生活动环节一：复习导入，引入新知教师活动1： 教师提问：时二次函数的性质有哪些？ 学生回答：时二次函数开口方向向上，图像关于直线 对称。顶点坐标为（），当时， 取最小值。当时, 随的增大而减小 当时, 随的增大而增大 教师提问：时二次函数的性质有哪些？ 学生回答：时二次函数开口方向向下，图像关于直线 对称。顶点坐标为，当时， 取最大值。当时, 随 的增大而增大，当时, 随 的增大而减小。学生活动1： 复习引入，从旧知引入新知，巩固二次函数的图像及性质，为新知识的学习做好铺垫 活动意图说明：通过复习导入，加深学生对已学内容的理解和记忆，确保知识体系的连贯性和完整性，为后续的深入学习打下坚实的基础。环节二：探究新知，合作交流教师活动2： 尝试用二次函数的有关知识下面两个问题： 问题一：用总长为 20 m的围栏材料，一面靠墙，围成一个矩形花圃.怎样围才能使花圃的面积最大？ 分析：本问题实际上是需要求出自变量 为何值时，二次函数 取得最大值。 将这个函数关系式配方，得 显然，这个函数的图象开口向下，顶点坐标是。这就是说，当 时，函数取得最大值，最大值。 这时， ， 因此，当围成的花圃与墙垂直的一边长 ，与墙平行的一边长 时，花圃的面积最大，最大面积为 。 思考：试从函数表达式来说明，当 时，函数取得最大值的道理。 因为对于函数 ，当 时， 。而当时， ，所以当时，函数值最大。 问题二：某商店将每件进价为 8 元的某种商品按每件 10 元出售，一天可售出 100件. 该店想通过降低售价、增加销售量的办法来提高利润. 经过市场调查，发现这种商品每件每降价 0.1元，每天的销售量可增加 10 件.将这种商品的售价降低多少时，其每天的销售利润最大？ 分析：本问题实际上是需要求出自变量 为何值时，二次函数取得最大值。 将这个函数关系式配方，得 显然，这个函数的图象开口向下，顶点坐标是。 这就是说，当 时，函数取得最大值，最大值。 因此，将这种商品的售价降低0.5元时，其每天的销售利润最大。 问题三：用长为 6m 的铝合金型材做一个形状如图所示的矩形窗框. 窗框的高与宽各为多少时，它的透光面积最大？最大透光面积是多少？（铝合金型材宽度不计） 解：设矩形窗框的宽为 m，则高为 m. 这里应有 且 故 。 矩形窗框的透光面积 与 之间的函数关系式是 将这个函数关系式配方，得 ， 所以当 时，函数取得最大值，最大值 。 满足 这时 因此，所做矩形窗框的宽为 1m，高为 1.5m时，它的透光面积最大，最大面积是 1.5㎡。 教师活动3： 试一试：（1）如图所示，要搭建一个矩形的自行车棚，一边靠墙，另外三边围栏材料的总长为 60m，怎样围才能使车棚的面积最大 解：设自行车棚的宽为 m，则高为 m. 自行车棚面积 与 之间的函数关系式是 将这个函数关系式配方，得 ， 当 时，函数取得最大值，最大值 。 答：当自行车棚与墙垂直的一边长 ，与墙平行的一边长 时，自行车棚的面积最大，最大面积为 。 （2）在（1）中，如果可利用的墙壁长为 25m，怎样围才能使车棚的面积最大？ 解：设自行车棚的长为 m，则宽为 m. 自行车棚面积 与 之间的函数关系式是 将这个函数关系式配方，得 ， ， 当时， 随的增大而增大。 当时， 车棚的面积最大。与墙垂直的一边长为 m 答：此时，当自行车棚与墙垂直的一边长，与墙平行的一边长时，自行车棚的面积最大。 思考：题（1）与题（2）的解答完全相同吗？ 试比较并作出正确的解答，和同学交流。 题（1）与题（2）的解答不完全相同，题（2）要考虑墙的可利用长度，题（1）不用考虑。学生活动2： 学生积极思考，用所学知识解决图形面积问题，教师引导学生推导解题过程，提高学生运用所学知识解决实际问题的能力 学生认真思考，从不同角度分析问题，培养学生的创新思维 学生积极思考，用所学知识解决销售问题，教师引导学生推导解题过程，提高学生运用所学知识解决实际问题的能力 问题难度逐渐提升，学生积极思考，回答问题，培养学生思维能力和问题解决能力 学生尝试独立解题，巩固所学知识和技能，提高学生的实践能力 更改题目条件，学生尝试独立解题，巩固所学知识和技能，提高学生的实践能力 学生独立思考，与同学交流，培养学生的合作交流意识，提高问题解决的能力活动意图说明：通过问题对二次函数的图像及性质进行应用研究，由简入难，巩固了所学知识，提高学生运用所学知识解决实际问题的能力，体会数学与生活的紧密联系，增强应用数学的意识。环节三：例题精讲，再探新知教师活动4： 例1已知某商品每件的进价为40元，售价为每件60元，每星期可卖出该商品300件．根据市场调查反映：商品的零售价每降价1元，则每星期可多卖出该商品20件．有下列结论： ①当降价为3元时，每星期可卖360件； ②每星期的利润为6120元时，可以将该商品的零售价定为42元或者4元； ③每星期的最大利润为6250元． 其中，正确结论的个数是（ C ） A．3 B．2 C．1 D．0 例2如图，隧道的截面由抛物线和长方形构成．按照图中所示的平面直角坐标系，拋物线可以用表示．在抛物线型拱壁上需要安装两排灯，如果灯离地面的高度为．那么两排灯的水平距离是（ D ） A． B． C． D． 例3某商店销售一批头盔，售价为每顶80元，每月可售出200顶．在“创建文明城市”期间，计划将头盔降价销售，经调查发现：每降价1元，每月可多售出10顶．已知头盔的进价为每顶50元，则该商店每月获得最大利润时，每顶头盔的售价为 75 元． 例4如图，某校师生要在空地上修建一个矩形劳动教育基地ABCD，该基地一边靠墙（墙长a 米），另三边用总长40米的栅栏围成．当时，劳动教育基地的最大面积是多少？ 解：设BC长为m,则AB和CD的长为m. 由题意得 则当时， 有最大值，最大值为 答：当时，劳动教育基地的最大面积是.学生活动3： 学生认真思考，举手回答问题，教师进行补充和讲解 活动意图说明：通过例题进行深入分析，帮助学生更好地理解和掌握所学的知识点，引导学生学会如何分析问题、如何运用所学知识解决问题，从而培养学生的解题能力和思维能力。环节四：课堂小结，总结归纳
教师活动4： 教师提问：二次函数性质的应用的解题步骤及注意事项。 教师讲授：1．分析实际问题，列出二次函数关系式． 2．用配方法把函数关系式转化为的形式． 3．根据题目要求分析函数最大(小)值等． 注意： 的取值范围．学生活动4： 学生回忆知识要点，举手回答问题，用自己的语言进行描述，教师进行评价和讲解 活动意图说明：帮助学生巩固本节课所学的新知识，加深对重点内容的理解和记忆。学生可以更好地理解知识间的内在联系，提升综合运用能力。
板书设计 二次函数性质的应用 二次函数性质的应用：
课堂练习 【知识技能类作业】 必做题： 1．一个球从地面竖直向上弹起，球距离地面的高度 （单位：米）与经过的时间 （单位：秒）满足函数关系式，那么球弹起后又回到地面所经过的时间 是（ ） A．4秒 B．3秒 C．2秒 D．1秒 2．某喷水池的中央安装有一固定高度的喷水管，使水流在各个方向沿形状相同的抛物线落下．安装师傅发现水流的形状的抛物线解析式为。那么水流最高点距离地面的距离为 ． 3. 求下列函数的最大值或最小值： （1） （2） （3） （4） （5） （6） 4．有一根长为 40cm的铁丝，把它弯成一个矩形框。当矩形框的长、宽各是多少时，矩形的面积最大？最大面积是多少？ 选做题： 1. 某商场经销一种高档水果，原价每千克50元． (1）连续两次降价后每千克32元，若每次下降的百分率相同，求每次下降的百分率； (2）若每千克盈利10元，每天可售出500千克，经市场调查发现，在进货价不变的情况下，商场决定采取适当的涨价措施，若每千克涨价1元，则日销售量将减少20千克，那么每千克水果应涨价多少元时，商场获得的总利润 W（元）最大，最大是多少元？ 【综合拓展类作业】 1. 已知两个正数的和是60，它们的积最大是多少？ （提示：设其中的一个正数为 ，将它们的积表示为 的函数）
作业设计 【知识技能类作业】 必做题： 1．已知二次函数 ，关于该函数在 的取值范围内，下列说法正确的是（ ） A．有最大值4，有最小值0 B．有最大值0，有最小值- 4 C．有最大值4，有最小值- 4 D．有最大值5，有最小值- 4 2．如图，以一定的速度将小球沿与地面成一定角度的方向击出时，小球的飞行路线是一条抛物线．若不考虑空气阻力，小球的飞行高度（单位：m）与飞行时间（单位：s）之间具有函数关系：，则当小球飞行高度达到最高时，飞行时间 s． 3. 如图，利用一面墙（墙的长度为20m)，用34m长的篱笆围成两个鸡场，中间用一道篱笆隔开，每个鸡场均留一道1m宽的门，设 AB 的长为 x 米． (1）若两个鸡场的面积之和为 S ,求 S 关于 x 的关系式； (2）两个鸡场面积之和 S 有最大值吗？若有，求出这个最大值． 4．如图，正方形纸片 ABCD 的边长为4，将它剪去四个全等的直角三角形，得到四边形 EFGH . 设 AE 的长为 x ，四边形 EFGH 的面积为 y . (1）求 y 关于 x 的函数表达式： (2）四边形 EFGH 的面积是否存在最小值？若存在，求出最小值；若不存在，请说明理由 选做题： 5. 小明投资销售一种进价为每件20元的护眼台灯．销售过程中发现，每月销售量 （件）与销售单价（元）之间的关系可近似的看作一次函数：，在销售过程中销售单价不低于成本价，而每件的利润不高于成本价的60%． （1）设小明每月获得利润为（元），求每月获得利润（元）与销售单价（元）之间的函数关系式，并确定自变量 的取值范围． （2）当销售单价定为多少元时，每月可获得最大利润？每月的最大利润是多少？ （3）如果小明想要每月获得的利润不低于2000元，那么小明每月的成本最少需要多少元？（成本＝进价×销售量） 【综合拓展类作业】 6．(1）求边长为 的等边三角形的面积； (2）小明将一根长为12cm的绳子剪成2段，分别围成两个等边三角形，问：如何剪才能够使得这两个等边三角形的面积和最小？最小面积和为多少？
教学反思 本课时让学生尝试用二次函数的图像及性质解决生活中实际问题，包括图形面积问题和销售问题等，通过阶梯式题目难度的上升，巩固了学生的知识和技能，提升了问题解决能力。在教学过程中，应该注重引导学生理解推导过程，采用多种教学方法降低学生的学习难度，加强对学生思维能力和问题解决能力的培养，提高学生的实践能力。
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学 科 数学 年 级 九年级 设计者
教材版本 华师大版 册、章 下册第26章
课标要求 1.会通过分析实际问题的情境确定二次函数的表达式，体会二次函数的意义； 2.会用描点法画出二次函数的图象，会利用一些特殊点画出二次函数的草图； 通过图象了解二次函数的性质，知道二次函数的系数与图象形状和对称轴的关系。 3.会根据二次函数的表达式求其图象与坐标轴的交点坐标； 4.会用配方法将数字系数的二次函数的表达式化为的形式，能由此得出二次函数图象的顶点坐标，说出图象的开口方向，画出图象的对称轴，得出二次函数的最大值或最小值，并能确定相应自变量的值，解决简单的实际问题。 5.知道二次函数和一元二次方程之间的关系，会利用二次函数的图象求一元二次方程的近似解。
内容分析 本章是华师大版九年级下册第26章《二次函数》，属于《义务教育数学课程标准》中的“数与代数”领域中的“函数”。学生已经学习了一次函数、正比例函数、反比例函数，对函数模型已经有了初步的认识和了解，本章内容是在此基础上，进一步研究二次函数的图像及其性质。本章内容先由具体情景引入二次函数的概念和一般形式，随后探究二次函数图象的性质和函数表达式间的转化，如何用待定系数法求函数表达式，二次函数的应用，进一步加强学生分析和解决问题的能力。但是由于本章内容较为抽象，教师应注意知识的连贯性和系统性，帮助学生建立函数思维，同时也要注意理论与实践相结合，通过例题与练习，帮助学生更好的理解二次函数的性质与应用。
学情分析 学生已经学过了函数的概念及其性质，一次函数的概念、图像、性质等，初步了解了函数结合图像研究的方法，具有数形结合研究问题的经验，但是学生的抽象思维不足，发现和解决问题的能力还在发展中。本章在此基础上，进一步探索二次函数的图像和性质，通过具体实例的研究，学生体验和理解化归（化未知为已知，变复杂为简单）的思想方法；研究二次函数的图象与性质，感受从具体到抽象、从简单到复杂、从特殊到一般的过程；用二次函数解决实际问题，感受数学建模的过程，提高分析问题、解决问题的能力。
单元目标 （一）教学目标 1.了解二次函数的定义和一般形式。 2.掌握形如 的二次函数的性质及其简单应用 3.掌握二次函数的图像及其性质及其简单应用 4.能够进行二次函数与的相互转化 5.掌握用待定系数法求函数的表达式 6.能根据实际情况选取恰当的表达式，能进行函数表达式间的相互转化 7.会运用二次函数的运算解决简单的实际问题. （二）教学重点、难点 教学重点：二次函数的图像及其性质 教学难点：用待定系数法求函数的表达式；进行函数表达式间的相互转化
单元知识结构框架及课时安排 （一）单元知识结构框架 （二）课时安排 课时编号单元主要内容课时数26.1二次函数126.2二次函数的图像与性质726.3实践与探索3
达成评价 课题课时目标达成评价评价任务26.1二次函数1、理解并掌握二次函数的定义及一般形式。 2、能根据实际问题列出二次函数关系式，并写出自变量取值范围。 3、在探究将实际问题转化为二次函数问题的过程中，体会数学建模思想和应用。1.会根据实际情况列出简单的二次函数，并正确写出自变量取值范围。 活动一：情景导入，调动学生学习的兴趣 活动二：探究新知，经历二次函数概念的发生过程，掌握二次函数的定义和一般形式 活动三：会根据实际情况列出简单的二次函数，并正确写出自变量取值范围 活动四：针对训练，请学生回答问题.26.2.1二次函数的的图像与性质1．会用描点法画出 的图像，并能简单归纳出图像的特点。 2.掌握形如 的二次函数的性质及其简单应用 3.在探究中体会数形结合的思想，体会生活中的数学，感受数学美。1．能够通过描点法作出 的图像，简单归纳图像特点 2.能够掌握形如 的二次函数的性质并进行简单应用 活动一：复习导入，回顾二次函数的概念的定义和一般形式 活动二：作出 图像，合作交流探究，经历形如 的二次函数的性质的发现过程 活动三：例题精讲，运用形如 的二次函数的性质进行简单应用 活动四：巩固练习，针对训练，学生自主完成，并请学生答题26.2.2二次函数的的图像与性质1、掌握二次函数的图像及其性质，理解二次函数的图像与的图像之间的关系。 2、通过观察、分析、比较等方法，探究二次函数的图像和性质，培养学生观察发现、归纳总结的学习方法。1、能掌握二次函数的图像及其性质 2.能理解二次函数的图像与的图像之间的关系。 活动一：复习导入，回顾二次函数的图像及性质 活动二：作出 图像，合作交流探究，经历形如 的二次函数的性质的发现过程，探究二次函数的图像与的图像之间的关系 活动三：例题精讲，运用形如 的二次函数的性质进行简单应用 活动四：巩固练习，针对训练，学生自主完成，并请学生答题26.2.3二次函数的的图像与性质1.掌握二次函数的图像及其性质，理解二次函数的图像与的图像之间的关系。 2、通过观察、分析、比较等方法，探究二次函数的图像和性质，培养学生观察分析能力和归纳总结能力。 3、激发学生对数学学习的兴趣，培养学生的探究精神和数形结合意识。1.能掌握二次函数的图像及其性质 2.能理解二次函数的图像与的图像之间的关系。 活动一：复习导入，回顾二次函数的图像及性质 活动二：作出 图像，合作交流探究，经历形如 的二次函数的性质的发现过程，探究二次函数的图像与的图像之间的关系 活动三：例题精讲，运用形如 的二次函数的性质进行简单应用 活动四：巩固练习，针对训练，学生自主完成，并请学生答题26.2.4二次函数的的图像与性质1、掌握二次函数的图像特征及性质。 2、通过观察、分析以及交流讨论等活动，培养学生的观察能力和逻辑思维能力，提高学生运用二次函数知识解决实际问题的能力。 3、感受数学知识的奇妙，培养学生探索未知、勇于创新的科学精神。1.能掌握二次函数的图像特征及性质。 活动一：复习导入，回顾二次函数的图像及性质 活动二：作出 图像，合作交流探究，经历形如的二次函数的性质的发现过程 活动三：例题精讲，运用形如 的二次函数的性质进行简单应用 活动四：巩固练习，针对训练，学生自主完成，并请学生答题26.2.5二次函数的的图像与性质1.经过描点及平移变换的方法作出的图像并总结其性质 2.经历探索二次函数与之间的联系及相互转化的发现过程,体验学生逻辑推理的能力 3.掌握二次函数的图像及其性质，与的相互转化 4.经历观察函数图像得出函数性质的过程，进一步体会数形结合的思想1.能够掌握二次函数的图像及其性质 2.能够进行二次函数与的相互转化 活动一：复习导入，回顾形如 的二次函数的性质 活动二：探究新知，通过描点及平移变换的方法作出的图像并总结其性质 活动三：通过图像探究二次函数与之间的联系 活动四：巩固练习，针对训练，学生自主完成，并请学生答题26.2.6求二次函数的表达式1.掌握用待定系数法求函数的表达式 2.能根据实际情况选取恰当的表达式，能进行函数表达式间的相互转化 3.感受学习数学知识的应用，提高对数学学习的兴趣1.能够进用待定系数法求函数的表达式 2.能根据实际情况选取恰当的表达式3.能进行函数表达式间的相互转化 活动一：复习导入，回顾一次函数的表达式以及求一次函数表达式的方法 活动二：探究新知，合作交流，如何用待定系数法求二次函数的表达式 活动三：例题训练，根据题目要求选取恰当的表达式 活动四：巩固练习，请学生回答问题.26.3.1实践与探索——二次函数的应用1、能够结合实际问题建立二次函数模型，并求解相关问题。 2、培养学生的数学应用能力、数学建模能力和数形结合的思想方法，发展学生的逻辑思维和问题解决能力。 3、激发学生对数学的兴趣和好奇心，提高学习数学的自信心和积极性，体验数学在解决实际问题中的价值。1.能够应用二次函数解决简单的实际问题. 活动一：复习导入，回顾二次函数的图像与性质 活动二：例题精讲，应用二次函数解决简单的实际问题 活动三：巩固练习，请学生回答问题26.3.2实践与探索——一元二次方程、一元二次不等式之间的联系1.理解二次函数与一元二次方程、一元二次不等式之间的联系；掌握利用二次函数图象求解一元二次不等式的方法；能够解决与二次函数、一元二次方程、一元二次不等式相关的实际问题。 2.经历探索二次函数与一元二次方程、不等式关系的过程，体会数形结合的思想方法。 3.通过典型例题的讲解和练习，提高学生的综合解题能力。培养学生用联系的观点看问题，学会用数形结合的方法解决问题。1.能理解二次函数与一元二次方程、一元二次不等式之间的联系 2.能掌握利用二次函数图象求解一元二次不等式的方法 3.能够解决与二次函数、一元二次方程、一元二次不等式相关的实际问题。 活动一：复习导入，回顾用二次函数解决实际问题的方法步骤 活动二：通过图像，探究二次函数与一元二次方程的关系、一元二次不等式的关系 活动三：例题训练，进行二次函数与一元二次方程、一元二次不等式综合应用探究 活动四：巩固练习，请学生回答问题26.3.3实践与探索——一元一次方程与二次函数的综合应用1、理解一元一次方程与二次函数之间的内在联系，能够进行元一次方程与二次函数的综合应用。 2、经历综合探究过程，感受方程与函数之间的辩证统一关系，发展数形结合思想，培养解决实际问题。 3、激发学生对数学的兴趣和好奇心，培养学生用变化的思想看待问题，发展辩证思维。1、理解一元一次方程与二次函数之间的内在联系 2.能够进行元一次方程与二次函数的综合应用。 活动一：复习导入，回顾二次函数与一元二次方程、一元二次不等式之间的联系 活动二：探究一元一次方程与二次函数之间的联系 活动三：例题训练，进行一元一次方程与二次函数的综合应用探究。 活动四：巩固练习，请学生回答问题
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26.2.2 .5二次函数的图
像和性质
华师大版九年级下册
内容总览
教学目标
01
新知导入
02
新知讲解
03
课堂练习
04
课堂总结
05
作业布置
06
目录
教学目标
1、能够利用二次函数的性质解决相关实际问题。
2、经历从具体到抽象的探究过程，发展函数的思想，提高问题解决能力和逻辑思维能力。
3、通过用数学知识解决实际问题，逐渐建立学生对数学学习的自信心，感受数学在实际生活中的应用。
复习导入
开口方向
对称性
顶点坐标
函数最值
增减规律
开口向上
当时, 随的增大而减小
当时, 随的增大而增大
当时， 取最小值
开口向下
当时， 取最大值
当时, 随 的增大而增大
当时, 随 的增大而减小
二次函数的图像和性质：
新知讲解
问题一：用总长为 20 m的围栏材料，一面靠墙，围成一个矩形花圃.怎样围才能使花圃的面积最大？
尝试用二次函数的有关知识下面两个问题：
分析：本问题实际上是需要求出自变量 为何值时，二次函数 取得最大值。
将这个函数关系式配方，得
新知讲解
显然，这个函数的图象开口向下，顶点坐标是。这就是说，当 时，函数取得最大值，最大值。
这时， ，
因此，当围成的花圃与墙垂直的一边长 ，与墙平行的一边长 时，花圃的面积最大，最大面积为 。
新知讲解
思考：试从函数表达式来说明，当 时，函数取得最大值的道理。
因为对于函数 ，当 时， 。而当时， ，所以当时，函数值最大。
新知讲解
问题二：某商店将每件进价为 8 元的某种商品按每件 10 元出售，一天可售出 100件. 该店想通过降低售价、增加销售量的办法来提高利润. 经过市场调查，发现这种商品每件每降价 0.1元，每天的销售量可增加 10 件.将这种商品的售价降低多少时，其每天的销售利润最大？
分析：本问题实际上是需要求出自变量 为何值时，二次函数
取得最大值。
将这个函数关系式配方，得
新知讲解
显然，这个函数的图象开口向下，顶点坐标是。
这就是说，当 时，函数取得最大值，最大值。
因此，将这种商品的售价降低0.5元时，其每天的销售利润最大。
新知讲解
问题三：用长为 6m 的铝合金型材做一个形状如图所示的矩形窗框. 窗框的高与宽各为多少时，它的透光面积最大？最大透光面积是多少？（铝合金型材宽度不计）
解：设矩形窗框的宽为 m，则高为 m. 这里应有 且 故 。
矩形窗框的透光面积 与 之间的函数关系式是
新知讲解
所以当 时，函数取得最大值，最大值 。
满足 这时
因此，所做矩形窗框的宽为 1m，高为 1.5m时，它的透光面积最大，最大面积是 1.5㎡。
将这个函数关系式配方，得 ，
新知讲解
试一试：（1）如图所示，要搭建一个矩形的自行车棚，一边靠墙，另外三边围栏材料的总长为 60m，怎样围才能使车棚的面积最大
解：设自行车棚的宽为 m，则高为 m.
自行车棚面积 与 之间的函数关系式是
将这个函数关系式配方，得 ，
当 时，函数取得最大值，最大值 。
答：当自行车棚与墙垂直的一边长 ，与墙平行的一边长 时，自行车棚的面积最大，最大面积为 。
新知讲解
试一试：
（2）在（1）中，如果可利用的墙壁长为 25m，怎样围才能使车棚的面积最大？
解：设自行车棚的长为 m，则宽为 m.
自行车棚面积 与 之间的函数关系式是
将这个函数关系式配方，得 ，
， 当时， 随的增大而增大。
答：此时，当自行车棚与墙垂直的一边长，与墙平行的一边长时，自行车棚的面积最大。
当时， 车棚的面积最大。与墙垂直的一边长为 m
新知讲解
思考：题（1）与题（2）的解答完全相同吗？ 试比较并作出正确的解答，和同学交流。
题（1）与题（2）的解答不完全相同，题（2）要考虑墙的可利用长度，题（1）不用考虑。
典例精析
例1: 已知某商品每件的进价为40元，售价为每件60元，每星期可卖出该商品300件．根据市场调查反映：商品的零售价每降价1元，则每星期可多卖出该商品20件．有下列结论：
①当降价为3元时，每星期可卖360件；
②每星期的利润为6120元时，可以将该商品的零售价定为42元或者4元；
③每星期的最大利润为6250元．
其中，正确结论的个数是（ ）
A．3 B．2 C．1 D．0
C
典例精析
例2: 如图，隧道的截面由抛物线和长方形构成．按照图中所示的平面直角坐标系，拋物线可以用表示．在抛物线型拱壁上需要安装两排灯，如果灯离地面的高度为．那么两排灯的水平距离是（ ）
A． B．
C． D．
D
典例精析
例3: 某商店销售一批头盔，售价为每顶80元，每月可售出200顶．在“创建文明城市”期间，计划将头盔降价销售，经调查发现：每降价1元，每月可多售出10顶．已知头盔的进价为每顶50元，则该商店每月获得最大利润时，每顶头盔的售价为 元．
典例精析
例4: 如图，某校师生要在空地上修建一个矩形
劳动教育基地ABCD，该基地一边靠墙（墙长
a 米），另三边用总长40米的栅栏围成．
当时，劳动教育基地的最大面积是多少？
解：设BC长为m,则AB和CD的长为m.
由题意得
则当时， 有最大值，最大值为
答：当时，劳动教育基地的最大面积是.
课堂练习
【知识技能类作业】必做题：
1．一个球从地面竖直向上弹起，球距离地面的高度 （单位：米）与经过的时间 （单位：秒）满足函数关系式，那么球弹起后又回到地面所经过的时间 是（ ）
A．4秒 B．3秒 C．2秒 D．1秒
B
2．某喷水池的中央安装有一固定高度的喷水管，使水流在各个方向沿形状相同的抛物线落下．安装师傅发现水流的形状的抛物线解析式为。那么水流最高点距离地面的距离为 ．
8m
课堂练习
【知识技能类作业】必做题：
3．求下列函数的最大值或最小值：
（1） （2）
（3） （4）
（5） （6）
解：（1）
因为 ，所以函数有最小值。
课堂练习
【知识技能类作业】必做题：
解：（2）
因为 ，所以函数有最大值。
（3）
因为 ，所以函数有最小值。
（4）
因为 ，所以函数有最大值。
课堂练习
【知识技能类作业】必做题：
解：（5）
因为 ，所以函数有最大值。
（6）
因为 ，所以函数有最大值 。
课堂练习
【知识技能类作业】必做题：
4．有一根长为 40cm的铁丝，把它弯成一个矩形框。当矩形框的长、宽各是多少时，矩形的面积最大？最大面积是多少？
解：设矩形框长为cm,则宽为cm.
由题意得
则当时， 有最大值，最大值为
答：当矩形框长为m ，矩形的面积最大，最大面积是.
课堂练习
【知识技能类作业】选做题：
5. 某商场经销一种高档水果，原价每千克50元．
(1）连续两次降价后每千克32元，若每次下降的百分率相同，求每次下降的百分率；
(2）若每千克盈利10元，每天可售出500千克，经市场调查发现，在进货价不变的情况下，商场决定采取适当的涨价措施，若每千克涨价1元，则日销售量将减少20千克，那么每千克水果应涨价多少元时，商场获得的总利润 W（元）最大，最大是多少元？
课堂练习
【知识技能类作业】必做题：
解：(1)设每次下降的百分率为 .
由题意得
解得， (不合题意，舍去)
答：每次下降的百分率为.
(2)设每千克涨价元.
由题意得
则当时， 有最大值，最大值为
答：每千克水果应涨价元时，商场获得的总利润 W（元）最大，
最大是元.
课堂练习
【综合拓展类作业】
6. 已知两个正数的和是60，它们的积最大是多少？
（提示：设其中的一个正数为 ，将它们的积表示为 的函数）
解：设其中的一个正数为 ，则另一个正数为.
这两个数的级为 ，
这两个正数的积有最大值，最大值为900．
课堂总结
二次函数性质的应用：
1．分析实际问题，列出二次函数关系式．
2．用配方法把函数关系式转化为的形式．
3．根据题目要求分析函数最大(小)值等．
注意： 的取值范围．
板书设计
二次函数性质的应用
二次函数性质的应用：
例题讲解
作业布置
【知识技能类作业】必做题：
1．已知二次函数 ，关于该函数在 的取值范围内，下列说法正确的是（ ）
A．有最大值4，有最小值0 B．有最大值0，有最小值- 4
C．有最大值4，有最小值- 4 D．有最大值5，有最小值- 4
2．如图，以一定的速度将小球沿与地面成一定角度的方向击出时，小球的飞行路线是一条抛物线．若不考虑空气阻力，小球的飞行高度（单位：m）与飞行时间（单位：s）之间具有函数关系：，则当小球飞行高度达到最高时，飞行时间 s．
D
2
作业布置
【知识技能类作业】必做题：
3．如图，利用一面墙（墙的长度为20m)，用34m长的篱笆围成两个鸡场，中间用一道篱笆隔开，每个鸡场均留一道1m宽的门，设 AB 的长为 x 米．
(1）若两个鸡场的面积之和为 S ,求 S 关于 x 的关系式；
(2）两个鸡场面积之和 S 有最大值吗？若有，求出这个最大值．
解：（1）由题意得 ．
(2)
当 时， 取得最大值，最大值为 ．
作业布置
【知识技能类作业】必做题：
4. 如图，正方形纸片 ABCD 的边长为4，将它剪去四个全等的直角三角形，得到四边形 EFGH . 设 AE 的长为 x ，四边形 EFGH 的面积为 y .
(1）求 y 关于 x 的函数表达式：
(2）四边形 EFGH 的面积是否存在最小值？若存在，求出最小值；若不存在，请说明理由
作业布置
【知识技能类作业】必做题：
（2）
当 时， 取得最小值，最小值为 ．
解：（1） AE 的长为 x ，则 AH x
由题意得
．
作业布置
【知识技能类作业】选做题：
5．小明投资销售一种进价为每件20元的护眼台灯．销售过程中发现，每月销售量 （件）与销售单价（元）之间的关系可近似的看作一次函数：，在销售过程中销售单价不低于成本价，而每件的利润不高于成本价的60%．
（1）设小明每月获得利润为（元），求每月获得利润（元）与销售单价（元）之间的函数关系式，并确定自变量 的取值范围．
（2）当销售单价定为多少元时，每月可获得最大利润？每月的最大利润是多少？
（3）如果小明想要每月获得的利润不低于2000元，那么小明每月的成本最少需要多少元？（成本＝进价×销售量）
课堂练习
【知识技能类作业】必做题：
解：(1) 由题意得
即
(2)函数 的对称轴为
且，抛物线开口向下
则当时， 随着 的增大而增大
当时，
答：当销售单价定为元时，每月可获得最大利润，每月的最大利润
是元。
课堂练习
【知识技能类作业】必做题：
解：(3)取 得，
解这个方程得： ， .
则当时， .
又当时， .
设每月的成本为 （元），
由题意得：
随 的增大而减小，
当 时， 的值最小，最小值为3600.
答：想要每月获得的利润不低于2000元，小明每月的成本最少为3600元．
作业布置
【综合拓展类作业】
6．(1）求边长为 的等边三角形的面积；
(2）小明将一根长为12cm的绳子剪成2段，分别围成两个等边三角形，问：如何剪才能够使得这两个等边三角形的面积和最小？最小面积和为多少？
解：（1）边长为的等边三角形的面积为.
（2）设第一段绳子的长为 cm ，则第二段绳子的长为cm
其中.
由（1）可知，第一个等边角形的面积为
第二个等边三角形的面积为
作业布置
【综合拓展类作业】
两个三角形的面积和为
=
当 时，取等号．
当 ，即将绳子从中间剪开时，两个等边三角形的面积和最小，
最小面积和为 .
谢谢
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