浙教版数学九年级上册3.3垂径定理 精品同步练习（含解析）

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浙教版九年级上册数学 3.3垂径定理 同步练习
(考试时间：60分钟 满分：100分）
选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分。下列各题的备选答案中，只有一项是最符合题意的，请选出。）
1.如图，的半径垂直于弦，垂足为点，连接并延长交于点，连接，．若，，则的面积为（ ）

A．12 B．15 C．16 D．18
2.如图，是的直径，是的弦，且，垂足为，连接．若，，则的长为（　　）

A．10 B．5 C． D．
3.下列命题中不正确的是（ ）
A．平分弦的半径垂直于弦； B．垂直平分弦的直线必经过圆心；
C．垂直与弦的直径垂直平分这条弦对应的弧； D．平分弧的直径垂直平分这条弧所对的弦．
4.如图，一条公路的拐弯处是一段圆弧AB，点O是这段弧所在的圆的圆心，，点C是的中点，点D是AB的中点，且，则这段弯路所在圆的半径为（ ）
A．10cm B．12.5cm C．15cm D．17cm
5.下列命题中正确的是（ ）
A．经过三个点可以作一个圆 B．长度相等的弧是等弧
C．相等的圆心角所对的弧相等 D．弦的垂直平分线一定经过圆心
6.如图，⊙O的直径为26，弦是上一个动点，则的最小值为（ ）
A．10 B．11 C．12 D．13
7.如图，的半径为10，弦AB的长为16，M是弦AB上的动点，则线段OM长的最小值为（ ）
A．4 B．6
C．8 D．10
8.下列关于圆的说法中，错误是（ ）
A．等圆中，相等的弦所对的弧也相等
B．过圆心且平分弦的直线一定垂直于这条弦
C．经过半径的端点且垂直于这条半径的直线是圆的切线
D．相交两圆的圆心距一定垂直平分两圆的公共弦
9.如图，在中，，为互相垂直且相等的两条弦，，，垂足分别为，，若，则的半径是（ ）
A． B． C． D．
10.如图，在⊙O中，AE是直径，半径OC垂直于弦AB于D，连接BE，若AB=2，CD=1，则BE的长是　　
A．5 B．6 C．7 D．8
填空题（本大题共5小题，每小题4分，共20分。）
11.如图，的半径为6cm，是弦，于点C，将劣弧沿弦折叠，交于点D，若D是的中点，则的长为 ．

12.如图，在中，半径垂直于，则的半径是_____．
13.已知的半径为2，弦，是上一点，且，直线与交于点，则的长为________．
14.如图，内接于圆，连结分别是的中点，且，若，则等于____________．
15.如图，的半径为4，，是的弦，且，，，则和之间的距离为______．
三、解答题（本大题共5小题，每小题10分，共50分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）
16.如图，在以O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦交小圆于C、D两点，若，．

(1)求的长；
(2)若大圆半径为，求小圆的半径．
17.如图，是的弦的中点，，垂足为，求证：．
18.在中，直径，是弦，，点在上，点在上，且．
（1）如图1，当时，求的长度；
（2）如图2，当点在上移动时，求的最大值
19.如图，在平面直角坐标系中，点的坐标是，点的坐标是，点，在以为直径的半圆上，且四边形是平行四边形．
（1）求CD的长；
（2）求直线BC的解析式．
20.如图，是的弦，是的直径，，垂足为．，．
（1）求的半径．
（2）求的长．
参考答案
选择题
1.【答案】A
【分析】设，根据垂径定理可得出，用勾股定理可得出关于x的一元二次方程，解方程求出x的值, 进而得出的长度，再根据三角形的中位线的性质以及三角形的面积公式即可得出结论．
【详解】解：设，则，
∵，
∴，
在中，，即，
解得： ，即，
∵为的中位线，
∴，
∵是的直径，
∴，
∴，
故选：A．
2.【答案】C
【分析】连接，由是的直径，是的弦，且，可得的长，再根据勾股定理可得的长，从而得出的长，最后再由勾股定理进行计算即可得到答案．
【详解】解：连接，
，
是的直径，是的弦，且，，，
，，
在中，，
，
在中，
，
故选：C．
3.【答案】A
【分析】
根据垂径定理及其推论分别进行判断．
【详解】
A、平分弦（非直径）的半径垂直于弦，所以A为假命题；
B、垂直平分弦的直线必经过圆心，所以B选项为真命题；
C、垂直于弦的直径平分这条弦所对的弧，所以C选项为真命题；
D、平分弧的直径垂直平分这条弧所对的弦，所以D选项为真命题．
故选：A．
4，【答案】B
【分析】
根据题意，可以推出AD＝BD＝10，若设半径为r，则OD＝r﹣5，OA＝r，结合勾股定理可推出半径r的值．
【详解】
解：∵OC⊥AB，AB＝20，
∴AD＝DB＝10，
在RtAOD中，OA2＝OD2+AD2，
设半径为r得：r2＝（r﹣5）2+102，
解得：r＝12.5，
∴这段弯路的半径为12.5，
故选：B．
5.【答案】D
【分析】
利用弦的定义，构成圆的条件以及垂径定理逆定理判断即可．
【详解】
解：A. 不在同一直线上的三个点一定可以作圆，原题说法错误；
B. 在同圆或等圆中，长度相等的弧是等弧，原题说法错误；
C. 在同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧相等，原题说法错误；
D. 弦的垂直平分线一定经过圆心，原题说法正确．
故答案为：D．
6.【答案】C
【分析】
首先明确OP最短时，应该是OP⊥AB时，然后根据垂径定理即可求出．
【详解】
解：OP最短时，应该是OP⊥AB时，
根据垂径定理得AP=AB=5，
圆的直径为26，
∴圆的半径为13.
∴OP==
故选：C．
7.【答案】B
【分析】
根据点到直线垂线段最短，故线段OM长的最小值为当OM⊥AB时，然后根据垂径定理及勾股定理进行求解即可．
【详解】
解：由题意得：根据点到直线垂线段最短，故线段OM长的最小值为当OM⊥AB时，连接OA，如图所示：
∵AB=16，
∴AM=MB=8，
∵OA=10，
∴在Rt△AOM中，，
∴OM的最小值为6；
故答案为6．
8.【答案】B
【分析】
利用圆心角定理以及切线的判定以及相交两圆的性质、垂径定理的推论分别分析，举出反例即可．
【详解】
A选项，等圆或同圆中，相等的弦所对的弧相等，故：正确；
B选项，垂径定理中需要注意的是，被平分的弦不能是直径，因为如果在同一个圆中，直径是互相平分且可以不垂直的，所以B错误；
C选项，切线的判定定理：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线，故：正确；
D选项，相交两圆的圆心距一定垂直平分两圆的公共弦，故：正确．
故：选B．
9.【答案】A
【分析】
根据垂径定理可知，AE=CE，AD=BD，易证四边形ODAE是正方形，即可求得．
【详解】
如图，连接OA
∵，，AB⊥AC
∴四边形ODAE是矩形，AE=CE，AD=BD
又∵，
∴AE=AD=2
∴四边形ODAE是正方形，且边长为2
∴的半径OA=
故选A
10.【答案】B
【分析】根据垂径定理求出AD,根据勾股定理列式求出半径 ，根据三角形中位线定理计算即可．
【详解】解：∵半径OC垂直于弦AB，
∴AD=DB= AB=
在Rt△AOD中，OA2=(OC-CD)2+AD2,即OA2=(OA-1)2+( )2，
解得，OA=4
∴OD=OC-CD=3，
∵AO=OE,AD=DB,
∴BE=2OD=6
故选B
填空题
11.【答案】/厘米
【分析】连接，延长交弧于，可证，从而可求，由，即可求解．
【详解】解：如图，连接，延长交弧于，

由折叠得：，
是的中点，
，
，
，
，
，
在中
，
．
故答案：．
12.【答案】5
【分析】
设⊙O的半径为r，则OD=r-2，根据垂径定理得到AD=BD=AB=4，然后在Rt△AOD中根据勾股定理得到(r-2)2+42=r2，再解方程即可．
【详解】
设⊙O的半径为r，则OD=r-2，
∵OC⊥AB，
∴AD=BD=AB=4，
在Rt△AOD中，∵OD2+AD2=OA2，
∴（r-2）2+42=r2，解得r=5，
即⊙O的半径为5．
故答案为：5．
13.【答案】1或3
【分析】
根据垂径定理建立直角三角形，再运用勾股定理求得，进而分两种情况讨论即可．
【详解】
如图，连接，
，由垂径定理可知，，，
则在中，，
或，
故答案为：1或3．
14.【答案】
【分析】
连接OB，OC，利用垂径定理和三角形内角和定理计算即可；
【详解】
连接OB，OC，
∵D为BC中点，OB=OC，
∴，
∵E为OA的中点，
∴，
∵OD=OE，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵OA=OB，
∴，
∴；
故答案是．
15.【答案】
【分析】
作OE于E，交CD于F，连结OA，OC，根据平行线的性质等到，再利用垂径定理得到，再由勾股定理解得OE，OF的长，继而分类讨论解题即可．
【详解】
作OE于E，交CD于F，连结OA，OC，如图，
在中，
在中，
当圆心O在AB与CD之间时，
当圆心O不在AB与CD之间时，
即AB和CD之间的距离为，
故答案为：．
解答题
16.【答案】(1)
(2)
【分析】（1）作，垂足为E，根据垂径定理得到，，即可得到的长；
（2）连接，在中，由勾股定理得到，在中，由勾股定理得到即可．
【详解】（1）解：作，垂足为E，

由垂径定理知，点E是的中点，也是的中点，
∴，，
∴；
（2）连接，
∵在中，，
∴．
在中，
∵，
∴．
即小圆的半径为．
17.【答案】见解析
【分析】
连结OP，因P为弦AB的中点，利用垂径定理得OP⊥AB结合证△PAC∽△OAP，利用相似三角形的性质得即可．
【详解】
连结OP，因P为弦AB的中点，
则OP⊥AB，
又 ，
∠PCA=∠OPA=90 ，
∠PAC=∠OAP，
△PAC∽△OAP，
，
，
P为弦AB的中点，
AP=PB，
，
．
18.【答案】（1）；（2）的最大值为
【分析】
（1）连接OQ，由题意易得OQ=OB=6，则有OP=3，然后根据勾股定理可求解；
（2）连接OQ，由题意得OQ=6，当OP的长最小时，PQ的长为最大，根据垂线段最短可得OP⊥BC，则有，进而问题可求解．
【详解】
（1）连接OQ，如图所示：
∵AB=12，
∴OQ=OB=6，
∵OP⊥PQ，
∴∠QPO=90°，
∵PQ∥AB，
∴∠POB=∠QPO=90°，
在Rt△POB中，∠POB=90°，
∴PB2=OB2+OP2，
又∵，
∴BP=2OP，
∴（2OP）2=62+OP2，
∴OP=，
在Rt△QPO中，；
（2）连接OQ，如图所示：
由（1）得：OQ=OB=6，
∴在Rt△QPO中，，
∴当OP的长最小时，PQ的长为最大，
根据垂线段最短可得当OP⊥BC时最短，
∵∠ABC=30°，
∴，
∴，
∴PQ的最大值为．
19.【答案】（1）；（2）
【分析】
（1）根据平行四边形的性质即可求得答案；
（2）添加辅助线构造直角三角形，根据平行四边形的性质、垂径定理、勾股定理、线段的和差即可求得，再根据待定系数法即可求得直线解析式．
【详解】
解：（1）∵点的坐标是
∴
∵四边形是平行四边形
∴．
（2）过点作，连接，过点作，如图：
∵，
∴
∵
∴
∴
∴在中，
∵四边形是平行四边形
∴
∵
∴四边形是平行四边形
∴，
∴
∴
∴设直线的解析式为：
∴
∴
∴直线的解析式为：．
20.【答案】（1）2；（2）．
【分析】
（1）求出CD，即可得出答案；
（2）求出OA、OE，根据勾股定理求出AE，根据垂径定理求出AB=2AE，即可求出答案．
【详解】
解：（1）∵CE=1，ED=3，
∴CD=CE+DE=4，
∴⊙O的半径为2；
（2）∵直径CD⊥AB，
∴AB=2AE，∠OEA=90°，
连接OA，
则OA=OC=2，OE=OC-CE=2-1=1，
在Rt△OEA中，由勾股定理得：AE=，
∴AB=2AE=2．
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