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【期中压轴题汇总（金华）】浙教版九年级上数学综合训练
一、选择题（本大题有10小题）
下面每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的.
1．已知抛物线y＝-x2+bx+3的顶点坐标为（1，4），若关于x的一元二次方程-x2+bx+3-t＝0（t为实数）在-1≤x≤5范围内有两个不同的实数根，则实数t的取值范围是（ ）
A．-12≤t＜4 B．t＜4 C．-12＜t≤0 D．0≤t＜4
2．设函数，，．直线x＝b的图象与函数y1，y2，y3的图象分别交于点A（b，c1），B（b，c2），C（b，c3），（ ）
A．若b＜a1＜a2＜a3，则c2＜c3＜c1 B．若a1＜b＜a2＜a3，则c1＜c2＜c3
C．若a1＜a2＜b＜a3，则c3＜c2＜c1 D．若a1＜a2＜a3＜b，则c3＜c2＜c1
3．如图，二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象过点（﹣2，0），对称轴为直线x＝1.有以下结论：①abc＞0；②8a+c＞0；③若A（x1，m），B（x2，m）是抛物线上的两点，当x＝x1+x2时，y＝c；④点M，N是抛物线与x轴的两个交点，若在x轴下方的抛物线上存在一点P，使得PM⊥PN，则a的取值范围为a≥ ；⑤若方程a（x+2）（4﹣x）＝﹣2的两根为x1，x2，且x1＜x2，则﹣2≤x1＜x2＜4.其中正确结论的序号是（ ）
A．①②④ B．①③④ C．①③⑤ D．①②③⑤
（第3题） （第4题） （第5题） （第6题） （第7题）
4．如图，在平面直角坐标系中，矩形ABCD的顶点A、C的坐标分别为（-4，1），（-1，-4），且AD平行于x轴，当函数y＝x2+2mx-2（x≤0）的图象在矩形ABCD内部的部分均为y随x的增大而减小时，下列选项中符合条件的m的取值范围为（ ）
A．1≤m≤ B．0≤m≤
C．-1＜m≤1或≤m＜ D．-1＜m≤0或1≤m＜
5．如图△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝4，AC＝x，∠BAC＝α，O为AB中点，若点D为直线BC下方一点，且△BCD与△ABC相似，则下列结论：
①若α＝60°，则AD的最大值为；
②若α＝60°，△ABC∽△CBD，则OD的长为；
③若α＝45°，BC与OD相交于E，则点E不一定是△ABD的重心；
④若△ABC∽△BCD，则当x＝2时，AC+CD取得最大值．其中正确的为（ ）
A．①③ B．①②④ C．③④ D．①③④
6．如图，△ACB和△ECD都是等腰直角三角形，CA＝CB，CE＝CD，△ACB的顶点A在△ECD的斜边DE上，AB、CD交于F，若AE＝6，AD＝8，则AF的长为（ ）
A．5 B． C． D．6
7．如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，BC=3，AC=5，点D是其内部一动点，且∠DBC=∠BAD，则C，D两点的的最小距离为（ ）
A．3 B．4 C．-2 D．
8．如图，四边形为矩形，AB = 3，BC = 4．点P是线段上一动点，点M为线段AP上一点．，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
（第8题） （第9题） （第10题）
9．如图，正方形ABCD的边长为4，，点E是直线CM上一个动点，连接BE，线段BE绕点B顺时针旋转45°得到BF，连接DF，则线段DF长度的最小值等于（ ）
A． B． C． D．
10．如图，已知在中，为直径，A为圆上一点，连结，作平分交圆于点B，连结，分别与，交于点N，M．若，则的值为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题（本大题有10小题）
要注意认真看清题目的条件和要填写的内容，尽量完整地填写答案.
11．当1≤x≤2时，关于x的二次函数y=（x-m）2+m-1有最小值2，则实数m的值为 .
12．图1是一个瓷碗，图2是其截面图，碗体DEC呈抛物线状（碗体厚度不计），碗口宽CD＝12cm，此时面汤最大深度EG＝8cm．
（1）当面汤的深度ET为4cm时，汤面的直径PQ长为 ；
（2）如图3，把瓷碗绕点B缓缓倾斜倒出部分面汤，当∠ABM＝45°时停止，此时碗中液面宽度CH＝ ．
13．已知点A（m﹣2，y1），B（m，y2），C（x0，y0）在二次函数y＝ax2+6ax+c（a≠0）的图象上，且C为抛物线的顶点．
（1）若y1＝y2，则m的值是 ．
（2）若y0≤y1＜y2，则m的取值范围是 ．
14．如图，已知二次函数的图象与x轴交于两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点为该二次函数在第一象限内的一点，连接，交于点K，则的最大值为 .
（第14题） （第15题）
15．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠DAB＝30°，∠ADC＝60°，BC＝CD＝3，若线段MN在边AD上运动，且MN＝1，则AD的长为 ，BM2+2BN2的最小值是 .
16．在正方形中，是上的一点，与交于点，的延长线与交于点.
（1）若为中点，则 .（2）若，则 .
（第16题） （第17题）
17．如图，在△ABC中，∠BAC＝30°，∠ACB＝45°，AB＝2，点P从点A出发沿AB方向运动，到达点B时停止运动，连结CP，点A关于直线CP的对称点为A′，连结A′C，A′P．在运动过程中，点A′到直线AB距离的最大值是 ；点P到达点B时，线段A′P扫过的面积为 ．
18．乐乐用一张直角三角形纸片玩折纸游戏．如图1，在Rt中，，，．第一步，将纸片沿AB对折，使点A与点B重合，折痕与边AB的交点为点D；第二步，在AC边上找一点E，将纸片沿ED折叠，点A落在处，如图2；第三步，将纸片沿折叠，点E落在处，如图3．当点恰好在原直角三角形纸片的边上时，线段的长为 ．
19．飞机导航系统的正常工作离不开人造卫星的信号传输（如图1）．五颗同轨道同步卫星，其位置，，，，，如图2所示．是它们的运行轨道，弧度数为，点到点和点的距离相等，于，交于，交于，连结，，已知一架飞机从飞到的直线距离为4千公里，则轨道的半径为 千公里，当时，则线段，的长度之和为 千公里.
20．商场卫生间旋转门锁的局部如图1所示，如图2锁芯O固定在距离门边（EF）3.5cm处（即ON＝3.5cm），在自然状态下，把手竖直向下（把手底端到达A）.旋转一定角度，把手底端B恰好卡住门边时，底端A、B的竖直高度差为0.5cm.当把手旋转90°到达水平位置时固定力最强，有效的固定长度（把手底端到门边的垂直距离）DN＝ cm，当把手旋转到OC时，∠BOC＝∠BOD，此时有效的固定长度为 cm.
三、解答题（本题有10小题）
解答应写出文字说明，证明过程或推演步骤.
21．已知，直角△ABC中，∠BAC＝90°，BC＝10，AB＝6，过A，B两点作圆交射线CA于点D，交射线CB于点E。
（1）如图1，当点D在线段AC中点时，求BD的长。
（2）如图2，当点D在线段AC上时，若点D为中点，求BD的长。
（3）如图3，连接AE，若△AEC为等腰三角形，求所有满足条件的BD的值。
22．如图1，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，∠C＝30°，BC＝12，D是BC的中点．经过A，B，D的⊙O交AC于E点．
（1）求AE的长．
（2）当点P从点A匀速运动到点E时，点Q恰好从点C匀速运动点B．记AP＝x，BQ＝y．
①求y关于x的表达式．
②连结PQ，当△PQC的面积最大时，求x的值．
（3）如图2，连结BE，BP，延长BP交⊙O于点F，连结FE．当EF与△BDE中的某一边相等时，求四边形BDEF的面积．
23．如图，直线与x轴交于点A（3，0），与y轴交于点B，抛物线经过点A，B．
（1）求点B的坐标和抛物线的解析式；
（2）M（m，0）为x轴上一动点，过点M且垂直于x轴的直线与直线AB及抛物线分别交于点P，N．
①点M在线段OA上运动，若以B，P，N为顶点的三角形与△APM相似，求点M的坐标.
②点M在x轴上自由运动，若三个点M，P，N中恰有一点是其它两点所连线段的中点（三点重合除外），则称M，P，N三点为“共谐点“．请直接写出使得M，P，N三点成为“共谐点”的m的值．
24．如图，在平面直角坐标系中，经过点A（4，0）的直线AB与y轴交于点B（0，4）．经过原点O的抛物线y＝-x2+bx+c交直线AB于点A，C，抛物线的顶点为D．
（1）求抛物线y＝-x2+bx+c的表达式；
（2）M是线段AB上一点，N是抛物线上一点，当MN∥y轴且MN＝2时，求点M的坐标；
（3）P是抛物线上一动点，Q是平面直角坐标系内一点．是否存在以点A，C，P，Q为顶点的四边形是矩形？若存在，直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
25．如图，已知抛物线经过，两点，交y轴于点C．
（1）求抛物线的解析式；
（2）连接，求直线的解析式；
（3）请在抛物线的对称轴上找一点P，使的值最小，求点P的坐标，并求出此时的最小值；
（4）点M为x轴上一动点，在抛物线上是否存在一点N，使得以A、C、M、N四点为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出点N的坐标；若不存在，请说明理由．
在矩形 的 边上取一点 ，将 沿 翻折，使点 恰好落在 边上点 处．
（1）如图1，若 ，求 的度数；
（2）如图2，当 ，且 时，求 的长；
（3）如图3，延长 ，与 的角平分线交于点 ， 交 于点 ，当 时，求 出的值．
27．在平面直角坐标系中，点B、E的坐标分别为B（-2，），E（4，0），过点E作直线l⊥x轴，设直线l上的动点A的坐标为（4，m），连接AB，将线段BA绕点B顺时针方向旋转30°得到线段BA′，在射线BA′上取点C，构造Rt△ABC，使得∠BAC＝90°．
（1）如图1，当m＝-时，求直线AB的函数表达式．
（2）当点C落在x轴上如图2的位置时，求点C的坐标．
（3）已知点B关于原点O的对称点是点D，在点A的运动过程中，是否存在某一位置，使△ACD与△ABC相似（包括全等）？若存在，请直接写出点A的坐标；若不存在，请说明理由．
28．如图，在平面直角坐标系中，四边形OABC是正方形，点B坐标为（2，0），点D是射线OB上不与点O重合的一个动点，将线段CD绕点D顺时针旋转90°得到ED，连结AD、AE.
（1）求证：DA＝DE；
（2）如图2，连结AC，BE，当△CDA与△DBE相似时，求BD的长；
（3）当点A关于直线ED的对称点A'落在正方形的边上时，求点D的坐标.
29．如图，在矩形中，，分别是一元二次方程的两个根，连结，动点从出发，以1个单位每秒速度，沿方向运动，同时，动点从点出发，以同样的速度沿射线运动，当点到达点时，点即停止运动，设运动时间为秒.以为斜边作，使点落在线段上.
（1）求线段的长度；
（2）求面积的最大值；
（3）当与相似时，求的值.
30．已知边长为8的正方形 截去一个角后成为五边形 ，点 在线段 上，过点 作 ，垂足为点 ，过点 作 ，垂足为点 ， ， ，设 的长为 ，四边形 的面积记为 .
（1）求 ， 的长（分别用含 的代数式表示）；
（2）求 关于 的函数关系式，并写出自变量的取值范围；
（3）求四边形 面积的最大值.
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【期中压轴题汇总（金华）】浙教版九年级上数学综合训练
解析版
一、选择题（本大题有10小题）
下面每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的.
1．已知抛物线y＝-x2+bx+3的顶点坐标为（1，4），若关于x的一元二次方程-x2+bx+3-t＝0（t为实数）在-1≤x≤5范围内有两个不同的实数根，则实数t的取值范围是（ ）
A．-12≤t＜4 B．t＜4 C．-12＜t≤0 D．0≤t＜4
【答案】D
【解析】∵抛物线y＝-x2+bx+3的顶点坐标为（1，4） ，
∴ 4=-1+b+3，∴ b=2，
∴y＝-x2+2x+3，
∴ x=-1时，y=0；x=5时，y=-12，
∵-x2+bx+3-t＝0 在-1≤x≤5范围内有两个不同的实数根，
即 y＝-x2+2x+3 与 y=t 在-1≤x≤5范围内有两个交点，
由图象可知，如图，
当 0≤t＜4 时， y＝-x2+2x+3 与 y=t 在-1≤x≤5范围内有两个交点，
即当 0≤t＜4 时， -x2+bx+3-t＝0（为实数）在-1≤x≤5范围内有两个不同的实数根.
故答案为：D.
2．设函数，，．直线x＝b的图象与函数y1，y2，y3的图象分别交于点A（b，c1），B（b，c2），C（b，c3），（ ）
A．若b＜a1＜a2＜a3，则c2＜c3＜c1 B．若a1＜b＜a2＜a3，则c1＜c2＜c3
C．若a1＜a2＜b＜a3，则c3＜c2＜c1 D．若a1＜a2＜a3＜b，则c3＜c2＜c1
【答案】D
【解析】如图所示：
A、由图象可知： 若b＜a1＜a2＜a3，当x=b时，则c1＜c2＜c3 ， 故选项错误，不符合题意；
B、由图象可知：若a1＜b＜a2＜a3，当x=b时，c1＜c2＜c3不一定成立，故选项错误，不符合题意；
C、由图象可知： 若a1＜a2＜b＜a3，当x=b时，c3＜c2＜c1不一定成立，故选项错误，不符合题意；
D、由图象可知： 若a1＜a2＜a3＜b，当x=b时，c3＜c2＜c1 ， 故选项正确，符合题意.
故答案为：D.
3．如图，二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象过点（﹣2，0），对称轴为直线x＝1.有以下结论：①abc＞0；②8a+c＞0；③若A（x1，m），B（x2，m）是抛物线上的两点，当x＝x1+x2时，y＝c；④点M，N是抛物线与x轴的两个交点，若在x轴下方的抛物线上存在一点P，使得PM⊥PN，则a的取值范围为a≥ ；⑤若方程a（x+2）（4﹣x）＝﹣2的两根为x1，x2，且x1＜x2，则﹣2≤x1＜x2＜4.其中正确结论的序号是（ ）
A．①②④ B．①③④ C．①③⑤ D．①②③⑤
【答案】B
【解析】①由图象可知：a＞0，c＜0，
，∴∴abc＞0，故①正确；
②∵抛物线的对称轴为直线x=1，抛物线的对称轴为直线x=1，
∴ ，∴b=-2a，
当x=-2时，y=4a-2b+c=0，∴4a+4a+c=0，∴8a+c=0，故②错误；
③∵A（x1，m），B（x2，m）是抛物线上的两点，
由抛物线的对称性可知：x1+x2=1×2=2，
∴当x=2时，y=4a+2b+c=4a-4a+c=c，故③正确；
④由题意可知：M，N到对称轴的距离为3，
当抛物线的顶点到x轴的距离不小于3时，
在x轴下方的抛物线上存在点P，使得PM⊥PN，
即 ，
∵8a+c=0，∴c=-8a，
∵b=-2a，∴ ，解得： ，故④正确；
⑤易知抛物线与x轴的另外一个交点坐标为（4，0），
∴y=ax2+bx+c=a（x+2）（x-4）
若方程a（x+2）（4-x）=-2，
即方程a（x+2）（x-4）=2的两根为x1，x2，
则x1、x2为抛物线与直线y=2的两个交点的横坐标，
∵x1＜x2，
∴x1＜-2＜4＜x2，
故⑤错误；
故答案为：B.
4．如图，在平面直角坐标系中，矩形ABCD的顶点A、C的坐标分别为（-4，1），（-1，-4），且AD平行于x轴，当函数y＝x2+2mx-2（x≤0）的图象在矩形ABCD内部的部分均为y随x的增大而减小时，下列选项中符合条件的m的取值范围为（ ）
A．1≤m≤ B．0≤m≤
C．-1＜m≤1或≤m＜ D．-1＜m≤0或1≤m＜
【答案】C
【解析】∵y＝x2+2mx-2＝（x+m）2-m2-2，
∴抛物线开口向上，抛物线对称轴为直线x＝-m，顶点坐标为（-m，-m2-2），
∴抛物线顶点在抛物线y＝-x2-2上，
由题意得点D坐标为（-1，1），点B坐标为（-4，-4），
如图，当抛物线对称轴与CD重合时符合题意，
此时-m＝-1，
解得m＝1，
将点D（-1，1）代入y＝x2+2mx-2得1＝1-2m-2，
解得m＝-1，
∴-1＜m≤1时符合题意.
将点C（-1，-4）代入y＝x2+2mx-2得-4＝1-2m-2，
解得m＝ ，
将点B（-4，-4）代入y＝x2+2mx-2得-4＝16-8m-2，
解得m＝ ，
∴ ≤m＜ 符合题意，
综上所述，-1＜m≤1或 ≤m＜ .
故答案为：C.
5．如图△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝4，AC＝x，∠BAC＝α，O为AB中点，若点D为直线BC下方一点，且△BCD与△ABC相似，则下列结论：
①若α＝60°，则AD的最大值为；
②若α＝60°，△ABC∽△CBD，则OD的长为；
③若α＝45°，BC与OD相交于E，则点E不一定是△ABD的重心；
④若△ABC∽△BCD，则当x＝2时，AC+CD取得最大值．其中正确的为（ ）
A．①③ B．①②④ C．③④ D．①③④
【答案】C
【解析】①当，如图，取得最大值，
，，
，
在中，，故①错误．
②如图，若，，
，
， ∴
∴
，故②错误．
③有3种情况，如图1，和都是中线，点是的重心；
如图2，四边形是平行四边形，是中点，点是的重心；
如图3，点不是中点，所以点不是的重心，故③正确．
④如图， ，
即，
在中，，
，
，
当时，最大为5，故④正确．
故答案为：C.
6．如图，△ACB和△ECD都是等腰直角三角形，CA＝CB，CE＝CD，△ACB的顶点A在△ECD的斜边DE上，AB、CD交于F，若AE＝6，AD＝8，则AF的长为（ ）
A．5 B． C． D．6
【答案】B
【解析】连接BD，自点F分别作FG⊥AD，FH⊥BD交AD、BD于G、H，如图所示：
∵和都是等腰直角三角形，
∴∠ECD=∠ACB=90°，∠EDC=∠E=45°，
∴∠ECA=90°-∠ACD=∠DCB，
在和中，
∵CA=CB，∠ECA=∠DCB，CE=CD，
∴，
∴∠E=∠CDB=45°，AE=BD=6，
∵∠EDC=45°，
∴∠ADB=∠EDC+∠CDB=90°，
在中，
∵AD=8，BD=6，
∴，
∵∠CDB=∠EDC=45°，
∴DF为∠ADB的角平分线，
∵FG⊥AD，FH⊥BD，
∴FG=FH，
∴，
∵底边AF上的高与底边BF上的高相同，设高均为h，
∴，∴，
∵AF+BF=AB=10，
∴，
∴.
故答案为：B.
7．如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，BC=3，AC=5，点D是其内部一动点，且∠DBC=∠BAD，则C，D两点的的最小距离为（ ）
A．3 B．4 C．-2 D．
【答案】C
【解析】∵在中，，，，
∴由勾股定理，得，
如图，取的中点O，连接，交圆于点，
∵，，∴，
∴，
∴E点在以O为圆心，半径为的圆上运动，当O，D，C三点在同一直线上时，最短，
此时，在中，
由勾股定理，得，
故的最小值为： ，
故答案为：C.
8．如图，四边形为矩形，AB = 3，BC = 4．点P是线段上一动点，点M为线段AP上一点．，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】以AD为直径作圆O，连接OB，OM，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠BAD=90°，AD=BC=4，
∵∠BAP+∠DAM=90°，
∵∠ADM=∠BAP，
∴∠ADM+∠DAM=90°，
∴∠AMD=90°，
∴AD是直径，
∴AO=OD=OM=AD=2，
∴，
∵，
∴当点B，M，O三点共线时，BM最小，最小值就是.
故答案为：D
9．如图，正方形ABCD的边长为4，，点E是直线CM上一个动点，连接BE，线段BE绕点B顺时针旋转45°得到BF，连接DF，则线段DF长度的最小值等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】如图，连接BD，在BD上截取BG＝BC，连接FG，过点D作DH⊥GF于点H.
∵四边形ABCD是正方形，边长为4，
∴，，，
∴，，
∴，
∵线段BE绕点B顺时针旋转45°得到BF，
∴，，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∴点F在直线GF上运动，点F与点H重合时，DF的值最小，
∵，，
∴，
∴DF的最小值为.
故答案为：B.
10．如图，已知在中，为直径，A为圆上一点，连结，作平分交圆于点B，连结，分别与，交于点N，M．若，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】∵OB平分∠AOC，
∴∠AOB=∠COB，
∴，
∴∠ADB=∠BDC，
∵AM=AN，
∴∠ANM=∠AMN，
又∵∠AMN=∠OMD，
∴∠ANM=∠OMD，
∴△OMD∽△AND，
∴，∠MOD=∠NAD，
∵CD是直径，
∴∠NAD=90°，
∴∠MOD=90°，
∵OA=OD，
∴∠OAD=45°，
∴AD=OD，
∴.
故答案为：D.
二、填空题（本大题有10小题）
要注意认真看清题目的条件和要填写的内容，尽量完整地填写答案.
11．当1≤x≤2时，关于x的二次函数y=（x-m）2+m-1有最小值2，则实数m的值为 .
【答案】.
【解析】∵关于x的二次函数有最小值2，
∴二次项系数，
∴图象开口向上，对称轴为直线，
∴当时，在对称轴左侧，
∴当时，函数取得最小值，即，
解得： （不合题意的值已舍去）；
当时，在对称轴右侧，
当时，函数取得最小值，即，
解得：（舍去）或；
当时，
函数在顶点处取得最小值，
即，
解得：（舍去），
故答案为：或．
12．图1是一个瓷碗，图2是其截面图，碗体DEC呈抛物线状（碗体厚度不计），碗口宽CD＝12cm，此时面汤最大深度EG＝8cm．
（1）当面汤的深度ET为4cm时，汤面的直径PQ长为 ；
（2）如图3，把瓷碗绕点B缓缓倾斜倒出部分面汤，当∠ABM＝45°时停止，此时碗中液面宽度CH＝ ．
【答案】（1）
（2）
【解析】（1）以点E为原点，建立直角坐标系，如图，∵EG=8， CD=12，
∴C（6，8），D（-6，8），
∴抛物线为y=x2，
∵ET=4
∴P（，4），Q（，4），
∴PQ=cm；
（2）建立直角坐标系，如图，
根据题意得：C（6，8），
∵∠ABM=45°，且CH∥CH，
∴直线CH的斜率为1，
∴直线CH：y=x+2，
∴直线CH与抛物线y=x2的交点H（，），
∴CH=.
故答案为：cm；.
13．已知点A（m﹣2，y1），B（m，y2），C（x0，y0）在二次函数y＝ax2+6ax+c（a≠0）的图象上，且C为抛物线的顶点．
（1）若y1＝y2，则m的值是 ．
（2）若y0≤y1＜y2，则m的取值范围是 ．
【答案】（1）-2
（2）m＞﹣2
【解析】（1） 二次函数y＝ax2+6ax+c（a≠0）的对称轴为直线x==-3，
∵ 点A（m﹣2，y1），B（m，y2） 且y1＝y2，
∴x==-3，
解得：m=-2.
故答案为：-2.
（2） C为抛物线的顶点， y0≤y1＜y2， 且抛物线开口向上，顶点为最低点，
∵二次函数y＝ax2+6ax+c（a≠0）的对称轴为直线x=-3，
由（1）知当点A、B关于对称轴对称时，m=-2，
∵y0≤y1＜y2，且m-2＜m，
∴m＞-2.
故答案为：m＞-2.
14．如图，已知二次函数的图象与x轴交于两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点为该二次函数在第一象限内的一点，连接，交于点K，则的最大值为 .
【答案】
【解析】对二次函数，
令x=0，则y=3，令y=0，则，
解得：，
∴C(0，3)，A(－1，0)，B(4，0)，
设直线BC的解析式为：，
把B、C两点代入得：，
解得：，
∴直线BC的解析式为：，
过点P作PQ∥x轴交直线BC于点Q，如图，
则△PQK∽△ABK，
∴，设P（m，），
∵P、Q的纵坐标相等，
∴当时，，解得：，
∴，
又∵AB=5，
∴.
∴当m=2时，的最大值为.
故答案为：.
15．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠DAB＝30°，∠ADC＝60°，BC＝CD＝3，若线段MN在边AD上运动，且MN＝1，则AD的长为 ，BM2+2BN2的最小值是 .
【答案】9；
【解析】过点C作，
∵，，
∴，，
过点B作，
∵，
∴四边形是矩形，
∴，，
∵，
∴，
∴由勾股定理得，
∴；
需使最小，点F在线段的之间，
设，则，
∴
，
∵，开口向上，
∴当时取得最小值为．
故答案为：9，．
16．在正方形中，是上的一点，与交于点，的延长线与交于点.
（1）若为中点，则 .
（2）若，则 .
【答案】（1）2
（2）
【解析】（1）∵正方形ABCD，
∴AB∥CD，AB=CD，
∴△BEM∽△DCM，
∴
∵点E是AB的中点，
∴AB=CD=2BE
∴.
故答案为：2
（2）过点M作MH⊥BC于点H，
∴∠MHC=∠EBC=90°，
∴MH∥BE，
∴△CMH∽△CEB，∴；
∵正方形ABCD，
∴AB=BC，∠ABM=∠CBM，
在△ABM和△CBM中
∴△ABM≌△CBM（SAS）
∴∠BAM=∠BCM；
∵∠BEM=∠BAM+∠AME，∠BME=∠BCM+∠CBM，
∵∠CMF=∠AME=∠CBM=45°，∴∠BEM=∠BME，
∴BE=BM；
∴△BMH是等腰直角三角形，
∴； ∴，
∴.
故答案为：
17．如图，在△ABC中，∠BAC＝30°，∠ACB＝45°，AB＝2，点P从点A出发沿AB方向运动，到达点B时停止运动，连结CP，点A关于直线CP的对称点为A′，连结A′C，A′P．在运动过程中，点A′到直线AB距离的最大值是 ；点P到达点B时，线段A′P扫过的面积为 ．
【答案】；
【解析】如图1，过点B作BH⊥AC于H点，
∵∠BAC＝30°，
∴AH=ABcos30°=2×=，BH=ABsin30°=2×=1，
∵∠BCH = 45°，
∴△BCH为等腰直角三角形，
∴CH=BH=1，
∴ AC=AH+CH=A'C=1+，
当CA'⊥AB时，CK最短，而A'C=AC为定值，则点A'到直线AB的距离最大，
设CA'交AB的延长线于K，
在Rt△ACK中，
CK=ACsin30°=（1+）=，
∴A'K = A'C -CK= 1+-=，
如图2，
当点P到达点B时，线段A' P扫过的面积=S扇形A'CA-2S△ABC
=-2××（1+）×1
= ，
故答案为： ， .
18．乐乐用一张直角三角形纸片玩折纸游戏．如图1，在Rt中，，，．第一步，将纸片沿AB对折，使点A与点B重合，折痕与边AB的交点为点D；第二步，在AC边上找一点E，将纸片沿ED折叠，点A落在处，如图2；第三步，将纸片沿折叠，点E落在处，如图3．当点恰好在原直角三角形纸片的边上时，线段的长为 ．
【答案】1或
【解析】在Rt△ABC中，∠A=30°，
∴AC=2BC=4，
，
∵将纸片沿AB对折，使点A与点B重合，
∴AD=BD=AB=；
当点E′落在AC上时，A′D与AC交于点G，
∵ 将纸片沿ED折叠，点A落在A′处 ，
∴∠A=∠EA′D=30°，∠ADE=∠A′DE，
∵ 将纸片沿折叠，点E落在处 ，
∴∠EAD′=∠DA′E′=30°，AE=AE′，∠ADE=∠A′DE′，
∴∠EAE′=30°+30°=60°，
∴△EAE′是等边三角形，
∴∠A′EE′=60°，
∴∠A′GE=180°-30°-60°=90°，
∴∠ADG=90°-30°=60°，
∴∠A′GE+∠A′GE′=180°，
∴E'在直线EG上，即E'在直线AC上，
∵∠ADE=∠A′DE，∠ADG=60°，
∴∠ADE=∠A′DE=∠A′DE′=30°，
∴∠E′A′D=∠A′DE′，
∴∠ADE′=30°×3=90°=∠B，A′E′=DE′，
∴DE′∥BC，
∵点D为AB的中点，
∴点E′是AC的中点，
∴DE′是△ABC的中位线，
∴DE′=A′E′=BC=1；
当点E′落在AB上时
由翻折可得∠ADE＝∠A'DE＝∠A'DE'，
∵E'在AB上，
∴∠ADE＋∠A'DE＋∠A'DE'＝180°，
∴∠ADE＝∠A'DE＝∠A'DE'＝60°，
∴∠AED＝180° ∠A ∠ADE＝90°＝∠A'ED，
∴∠AED＋∠A'ED＝180°，
∴A'在直线AE上，即A'在直线AC上，
∵∠DA'E'＝∠DA'E＝∠A＝30°，
∴∠A'E'D＝180° ∠DA'E' ∠A'DE'＝90°，
∴DE'＝A'D＝AD＝，
∴.
∴线段A′E′的长为1或.
故答案为：1或
19．飞机导航系统的正常工作离不开人造卫星的信号传输（如图1）．五颗同轨道同步卫星，其位置，，，，，如图2所示．是它们的运行轨道，弧度数为，点到点和点的距离相等，于，交于，交于，连结，，已知一架飞机从飞到的直线距离为4千公里，则轨道的半径为 千公里，当时，则线段，的长度之和为 千公里.
【答案】；
【解析】连接BC，AB，OA，OB，OC，MN，AC，AC与OB的交点记为点P，
∵点B到点C和点A的距离相等，
∴BC=AB，
∴，
∴∠AOB=∠BOC
∵弧AC度数为120°，
∴∠AOB=∠BOC=60°，∠AOC=120°，
∵OA=OB=OC，
∴△COB和△AOB都是等边三角形，
∴OC＝BC＝BA＝OA，
∴四边形OCBA为菱形，
∴AC⊥OB，∠BCP＝∠BAP＝30°，OP＝BP，CP＝AP，
∵，
∴∠CDA＝∠AEH＝60°．
∵BC＝BA，
∴∠CDB＝∠ADB＝30°，
∵BD⊥CE，
∴∠DHC＝60°＝∠AHE，
∴△HDC，△AHE为等边三角形，
∴CM＝MH，
同理可证∠AEB＝∠CEB＝30°，则∠HNE＝90°，
∴HN＝AN，
∴MN是△AHC的中位线，
∴AC＝2MN＝8，
∴CP＝AP＝4，
在Rt△BCP中，∠BCP=30°，
∴即，
解之：，
∴OB=2BP=；
过C作CQ⊥AD于Q，
设CM＝HM＝x，HN＝AN＝y，则HE=2y，DH=2x，
在Rt△BME中，
，
在Rt△BDN中，
，
∴，
∴，
∵BE：BD=5：7，
∴
解之：x=3y，
同理，
在Rt△ACQ中
CQ2+AQ2=AC2，
∴，
∴
解之：（取正）
∴x=，
∴.
故答案为：，
20．商场卫生间旋转门锁的局部如图1所示，如图2锁芯O固定在距离门边（EF）3.5cm处（即ON＝3.5cm），在自然状态下，把手竖直向下（把手底端到达A）.旋转一定角度，把手底端B恰好卡住门边时，底端A、B的竖直高度差为0.5cm.当把手旋转90°到达水平位置时固定力最强，有效的固定长度（把手底端到门边的垂直距离）DN＝ cm，当把手旋转到OC时，∠BOC＝∠BOD，此时有效的固定长度为 cm.
【答案】9；6.5
【解析】如图，作BG⊥OA于G，
设OA＝OB＝OC＝OD＝xcm，
则AG＝0.5cm，BG＝ON＝3.5cm，
∴OG＝OA-AG＝x-0.5cm，
∵在Rt△OBG中，OB2＝OG2+BG2，
∴x2＝（x-0.5）2+3.52，
解得：x＝12.5，
∴OA＝OB＝OC＝OD＝12.5cm，
∴DN＝OD-ON＝12.5-3.5＝9cm.
连接BD，交OC于M，作CP⊥OD，MQ⊥OD，
∵BN＝OG＝12.5-0.5＝12cm，DN＝9cm，
∴DB＝＝15cm，
又∵∠BOC＝ ∠BOD，OD＝OB，
∴OC⊥BD，DM＝BM＝ DB＝7.5cm，
∴OM＝ ＝10cm，
∵△DNB中，QM∥NB，且M是DB中点，
∴QM＝ BN＝6cm，
∴Rt△OQM中，OQ＝ ＝8cm，
又∵CP∥MQ，
∴△OPC∽△OQM，
∴OC∶OM＝OP∶OQ，
∴ ，
∴OP＝10cm，
∴PN＝OP-ON＝10-3.5＝6.5cm，
∵CP⊥OD，EF⊥OD，
∴C到EF的距离长等于PN的长，为6.5cm.
故答案为：9；6.5.
三、解答题（本题有10小题）
解答应写出文字说明，证明过程或推演步骤.
21．已知，直角△ABC中，∠BAC＝90°，BC＝10，AB＝6，过A，B两点作圆交射线CA于点D，交射线CB于点E。
（1）如图1，当点D在线段AC中点时，求BD的长。
（2）如图2，当点D在线段AC上时，若点D为中点，求BD的长。
（3）如图3，连接AE，若△AEC为等腰三角形，求所有满足条件的BD的值。
【答案】（1）解：∵ ∠BAC=90°，BC=10，AB=6，
∴ AC==8，
∵ 点D为线段AC中点，
∴ AD==4，
在Rt△ABD中，BD==；
（2）解：连接DE，如图，
∵ ∠BAC=90°，
∴ BD为 圆的直径，
∴ ∠BED=90°，
∵ 点D为中点 ，
∴ AD=DE，
由（1）得：AC=8，
设AD=DE=x，则CD=8-x，
∵ S△BCD=BC·DE=AB·CD，
∴ 10x=6(8-x)，解得：x=3，
即AD=3，
∴ BD==；
（3）解：当AE=AC时，过点A作AG⊥BC于点G，
∵弧AB=弧AB，
∴∠C=∠AEC=∠DBC，
∴BD=BC=10；
当AE=EC时，连接DE，过点E作EF⊥AC于点F，
∴AF=FC=AC=4，
∵∠BAC=∠EFC=90°，
∴EF∥BA，
∴BE=CE，
∵BD是直径，
∴∠BED=90°，
∴DE垂直平分BC，
∴BD=CD，
设AD=x，则DF=4-x，CD=BD=8-x，
在Rt△ABD中
AD2+AB2=BD2即x2+62=（8-x）2
解之：，
∴；
当EC=AC=8时，连接DE，
∴BE=BC-EC=8-6=2，
在△EDC和△ABC中
∴△EDC≌△ABC（AAS），
∴DE=AB=8，
在Rt△BDE中
，
∴BD的长为或10或.
22．如图1，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，∠C＝30°，BC＝12，D是BC的中点．经过A，B，D的⊙O交AC于E点．
（1）求AE的长．
（2）当点P从点A匀速运动到点E时，点Q恰好从点C匀速运动点B．记AP＝x，BQ＝y．
①求y关于x的表达式．
②连结PQ，当△PQC的面积最大时，求x的值．
（3）如图2，连结BE，BP，延长BP交⊙O于点F，连结FE．当EF与△BDE中的某一边相等时，求四边形BDEF的面积．
【答案】（1）解：如图1，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，∠C＝30°，BC＝12，
∴AC＝2AB，
∵AB2+BC2＝AC2，
∴AB2+122＝（2AB）2，
∴AB＝4，
∴AC＝2AB＝8，
∵D是BC的中点，
∴CD＝BC＝6，
∵四边形ABDE是⊙O的内接四边形，
∴∠AED+∠ABC＝180°，
∵∠AED+∠CED＝180°，
∴∠CED＝∠ABC＝90°，
∵∠C＝30°，
∴DE＝CD＝3，
在Rt△CDE中，CE＝＝＝3，
∴AE＝AC﹣CE＝8﹣3＝5；
（2）解：①∵当点P从点A匀速运动到点E时，点Q恰好从点C匀速运动点B，
∴＝，
∵AP＝x，BQ＝y，AE＝5，BC＝12，
∴CQ＝BC﹣BQ＝12﹣y，
即＝，
∴12x＝5（12﹣y），
即y＝﹣x+12，
∴y关于x的表达式为y＝﹣x+12．
②如图1，过点P作PH⊥BC于H，
则PH＝PC＝（8﹣x），CQ＝BC﹣BQ＝12﹣（﹣x+12）＝x，
∴S△PQC＝CQ PH＝×x×（8﹣x）＝﹣（x﹣4）2+，
∵＜0，
∴当x＝4时，S△PQC有最大值；
（3）解：当EF＝BD时，如图2，
由（1）知：∠DEC＝90°，DE＝3，
∵EF＝BD＝6，
∴＝，
∴∠EBF＝∠BED，
∴BF∥DE，
∴∠BPC＝∠DEC＝90°，
∵∠C＝30°，
∴BP＝BC＝×12＝6，
∴CP＝＝＝6，
∴EP＝CP﹣CE＝6﹣3＝3，
在Rt△EFP中，∠F＝∠A＝60°，
∴∠FEP＝30°，
∴PF＝EF＝×6＝3，
∴BF＝BP+PF＝6+3＝9，
∴S四边形BDEF＝×（DE+BF） EP＝×（3+9）×3＝18；
当EF＝BE时，如图3，过点E作EG⊥BC于G，连接EO交BF于H，连接OB，OF，
在Rt△CEG中，EG＝CE＝×3＝，
在Rt△DEG中，∠DEG＝90°﹣60°＝30°，
∴DG＝DE＝，
∴BG＝BD+DG＝6+＝，
在Rt△BEG中，BE＝＝＝3，
∵∠F＝∠A＝60°，EF＝BE，
∴△BEF是等边三角形，
∵OB＝OF，BE＝EF，
∴EH垂直平分BF，
∴EH＝＝＝，
∴S四边形BDEF＝S△BEF+S△BDE＝×3×+×6×＝；
当EF＝DE时，如图4，过点E作EG⊥BC于G，EK⊥BF于K，
∵EF＝DE＝3，
∴＝，
∴∠EBG＝∠EBF，
∵EG⊥BC，EK⊥BF，
∴EK＝EG＝，BK＝BG＝，
∵∠F＝∠A＝60°，∠EKF＝90°，
∴∠FEK＝30°，
∴FK＝EF＝×3＝，
∴BF＝BK+FK＝+＝9，
∴S四边形BDEF＝S△BEF+S△BDE＝×9×+×6×＝；
综上所述，四边形BDEF的面积为18或或．
23．如图，直线与x轴交于点A（3，0），与y轴交于点B，抛物线经过点A，B．
（1）求点B的坐标和抛物线的解析式；
（2）M（m，0）为x轴上一动点，过点M且垂直于x轴的直线与直线AB及抛物线分别交于点P，N．
①点M在线段OA上运动，若以B，P，N为顶点的三角形与△APM相似，求点M的坐标.
②点M在x轴上自由运动，若三个点M，P，N中恰有一点是其它两点所连线段的中点（三点重合除外），则称M，P，N三点为“共谐点“．请直接写出使得M，P，N三点成为“共谐点”的m的值．
【答案】（1）解：∵直线与x轴交于点A（3，0），与y轴交于点B，
∴0=-2+c，
解得c=2，
∴B（0，2），
∵抛物线经过点A，B，
∴，
解得：，
∴抛物线的解析式为：；
（2）解：①由(1)可知直线解析式为，
∵M（m，0）为x轴上一动点，过点M且垂直于x轴的直线与直线AB及抛物线分别交于点P，N，
∴，，
∴PM=，AM=3-m，
PN==，
∵△BPN∽△APM，∠BPN=∠APM，
∴∠BNP=∠AMP=90°或∠NBP=∠AMP=90°，
当∠BNP=90°时，则有BN⊥MN，
∴BN=OM=m，
∴，
即，
解得：m=0（舍去）或m=2.5，
∴M（2.5，0）；
当∠NBP=90°时，则有，
∵A（3，0），B（0，2），，
∴=，
=
∴，
解得：m=0（舍去）或m=，
∴M（，0），
综上，点M的坐标为（2.5，0）或（，0）；
②m的值为或-1或.
【解析】（3）由①可知，M（m，0），，，
∵M，P，N三点为“共谐点“，
∴有P为线段MN的中点、M为线段PN的中点或N为线段PM的中点，
当P为线段MN的中点时，则有，
解得：m=3（三点重合，舍去）或m=；
当M为线段PN的中点时，则有，
解得m=3(舍去)或m=-1；
当N为线段PM的中点时，则有，
m=3（舍去）或m=；
综上可知，当M，P，N三点为“共谐点“时，
m的值为或-1或.
别得到关于m的方程，即可求得m的值.
24．如图，在平面直角坐标系中，经过点A（4，0）的直线AB与y轴交于点B（0，4）．经过原点O的抛物线y＝-x2+bx+c交直线AB于点A，C，抛物线的顶点为D．
（1）求抛物线y＝-x2+bx+c的表达式；
（2）M是线段AB上一点，N是抛物线上一点，当MN∥y轴且MN＝2时，求点M的坐标；
（3）P是抛物线上一动点，Q是平面直角坐标系内一点．是否存在以点A，C，P，Q为顶点的四边形是矩形？若存在，直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）解：由题意得
解之：
∴二次函数解析式为：y＝-x2+4x
（2）解：如图，
∵点A（4，0），点B（0，4），
∴设直线AB的函数解析式为y=kx+4
∴4k+4=0，
解之：k=-1，
∴直线AB的解析式为y=-x+4；
设点N（m，-m2+4m），点M（m，-m+4）
∵点M是线段AB上的一点，
∴0＜m＜4，
MN=|-m2+4m-（-m+4）|=|-m2+5m-4|=2
∴-m2+5m-4=±2，
当-m2+5m-4=2时，
解之：m1=3，m2=2，
当m=3时-m+4=1；
当m=2时-m+4=2；
∴点M（2，2）或（3，1）；
当-m2+5m-4=-2，
解之：（舍去），
∴
∴点M（ ， ）
满足条件的点M的坐标有三个（ ， ）或（2，2）或（3，1）
（3）解：存在
当AC为矩形的边时，
∵-x2+4x=-x+4
解之：x1=4，x2=1，
当x=1时y=-1+4=3，
∴点C（1，3），
∵y=-x2+4x=-（x-2）2+4，
∴点D（2，4）
当x=2时y=-2+4=2，
∴点R（2，2）
过点C，A分别作直线AB的垂线交抛物线于点P1，P2，
∵C（1，3），D（2，4），
∴CD2＝（1-2）2＋(4 3)2＝2，CR2＝1，RD＝2，
∴CD2＋CR2＝DR2，
∴∠RCD＝90°，
∴点P1与点D重合，
当CP1∥AQ1，CP1＝AQ1时，四边形ACP1Q1是矩形，
∵C（1，3）向右平移1个单位，向上平移1个单位得到P1（2，4），
∴A（4，0）向右平移1个单位，向上平移1个单位得到Q1（5，1），
此时直线P1C的解析式为：y＝x＋2，
∵直线P2A与P1C平行且过点A（4，0），
∴直线P2A的解析式为：y＝x 4，
∵点P2是直线y＝x 4与抛物线y＝ x2＋4x的交点，
∴ x2＋4x＝x 4，
解之：x1＝ 1，x2＝4（舍），
∴P2（ 1， 5），
当AC∥P2Q2时，四边形ACQ2P2是矩形，
∵A（4，0）向左平移3个单位，向上平移3个单位得到C（1，3），
∴P2（ 1， 5）向左平移3个单位，向上平移3个单位得到Q2（ 4， 2）；
当AC是矩形的对角线时，
设P3（m， m2＋4m）
当∠AP3C＝90°时，过点P3作P3H⊥x轴于H，过点C作CK⊥P3H于K，
∴∠P3KC＝∠AHP3＝90°，∠P3CK＝∠AP3H，
∴△P3CK∽△AP3H，
∴
∴，
∵点P不与点A，C重合，
∴m≠1或m≠4，
∴ m2 3m＋1＝0，
∴，
∴如图，满足条件的点P有两个，即P3，P4
当P3C∥AQ3，P3C＝AQ3时，四边形AP3CQ3是矩形，
∵P3向左平移个单位，向下平移个单位得到C（1，3），
∴A（4，0）向左平移个单位，向下平移个单位得到Q3
当P4C∥AQ4，P4C＝AQ4时，四边形AP4CQ4是矩形，
∵P4向右平移个单位，向上平移个单位得到C（1，3），
∴A（4，0）向右平移个单位，向上平移个单位得到Q4
∴点Q的坐标为（5，1）或（-4，-2）或（ ， ）或（ ， ）．
25．如图，已知抛物线经过，两点，交y轴于点C．
（1）求抛物线的解析式；
（2）连接，求直线的解析式；
（3）请在抛物线的对称轴上找一点P，使的值最小，求点P的坐标，并求出此时的最小值；
（4）点M为x轴上一动点，在抛物线上是否存在一点N，使得以A、C、M、N四点为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出点N的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）解：∵抛物线经过，两点，
∴，解得：，
∴抛物线的解析式为；
（2）解：由（1）可得抛物线的解析式为，
∵抛物线与y轴的交点为C，
∴，
设直线的解析式为，把点B、C的坐标代入得：
，解得：，
∴直线的解析式为；
（3）解：由抛物线可得对称轴为直线，由题意可得如图所示：
连接BP、BC，
∵点A、B关于抛物线的对称轴对称，
∴，
∴，
要使的值为最小，则需满足点B、P、C三点共线时，即为BC的长，此时BC与对称轴的交点即为所求的P点，
∵，
∴，
∴的最小值为，
∵点P在直线BC上，
∴把代入得：，
∴；
（4）解：存在，理由如下：
由题意可设点，，当以A、C、M、N四点为顶点的四边形是平行四边形，则可分：
①当AC为对角线时，如图所示：
连接MN，交AC于点D，
∵四边形ANCM是平行四边形，
∴点D为AC、MN的中点，
∴根据中点坐标公式可得：，即，
解得：，
∴；
②当AM为对角线时，同理可得：
，即，
解得：，
∴；
③当AN为对角线时，同理可得：，即，
解得：，
∴；
∴综上所述：当以A、C、M、N四点为顶点的四边形是平行四边形，点N的坐标为或．
26．在矩形 的 边上取一点 ，将 沿 翻折，使点 恰好落在 边上点 处．
（1）如图1，若 ，求 的度数；
（2）如图2，当 ，且 时，求 的长；
（3）如图3，延长 ，与 的角平分线交于点 ， 交 于点 ，当 时，求 出的值．
【答案】（1）解：∵矩形 ，
∴ ，
由折叠的性质可知BF=BC=2AB， ，
∴ ，
∴ ，
∴
（2）解：由题意可得 ，
，
∴
∴
∴ ，
∴
∴ ，
由勾股定理得 ，
∴ ，
∴ ；
（3）解：过点 作 于点 ．
∴
又∵
∴ ．
∴ ．
∵ ，即
∴ ，
又∵BM平分 ， ，
∴NG=AN，
∴ ，
∴
整理得： ．
27．在平面直角坐标系中，点B、E的坐标分别为B（-2，），E（4，0），过点E作直线l⊥x轴，设直线l上的动点A的坐标为（4，m），连接AB，将线段BA绕点B顺时针方向旋转30°得到线段BA′，在射线BA′上取点C，构造Rt△ABC，使得∠BAC＝90°．
（1）如图1，当m＝-时，求直线AB的函数表达式．
（2）当点C落在x轴上如图2的位置时，求点C的坐标．
（3）已知点B关于原点O的对称点是点D，在点A的运动过程中，是否存在某一位置，使△ACD与△ABC相似（包括全等）？若存在，请直接写出点A的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）解：设直线AB的函数表达式为y＝kx+b，则有：
∴，
解得：，
∴直线AB的解析式为：；
（2）解：当点C在x轴上时，设C点的坐标为（n，0）；
过B作BH⊥l于点H，则BH＝6，CE＝n-4，AH＝m-，
∵∠BAE+∠EAC＝∠EAC+∠ACE＝90°，
∴∠BAE＝∠ACE，
∴△ABH∽△CAE，
∴，
∴，
解得：，n＝5，
∴C(5，0)
（3）解：点A的坐标为（4，5）或（4，）或（4，）或（4，-）或（4，-2）．
28．如图，在平面直角坐标系中，四边形OABC是正方形，点B坐标为（2，0），点D是射线OB上不与点O重合的一个动点，将线段CD绕点D顺时针旋转90°得到ED，连结AD、AE.
（1）求证：DA＝DE；
（2）如图2，连结AC，BE，当△CDA与△DBE相似时，求BD的长；
（3）当点A关于直线ED的对称点A'落在正方形的边上时，求点D的坐标.
【答案】（1）证明：如图1中，∵四边形OABC是正方形，
∴A，C关于OB对称，
∴DA＝DC，
∵线段CD绕点D顺时针旋转90°得到ED，
∴DC＝DE，
∴DA＝DE；
（2）解：如图2中，设AC交OB于点J，过点D作DK⊥BC于点K.
∵DA＝DC＝DE，
∴∠DAC＝∠DCA，∠DAE＝∠DEA，
∵△ADC与△EBD相似，
∴∠ACD＝∠DEB，
∴∠CAD＝∠DAE，
∵∠CAB＝∠ACB＝45°，
∴∠CAD＝∠DAB＝∠ACD＝∠BCD＝22.5°，
∵DJ⊥CJ，DK⊥CB，
∴DJ＝DK，
∵B（2 ，0），
∴OJ＝JB＝ ，
∴DJ+ DJ＝ ，
∴DJ＝2- ，
∴OD＝2，
∴BD＝2 -2；
（3）解：如图3-1中，当点A′落在BC上时，
由对称性可知，∠CDE＝∠ADA′＝90°，∠EDA＝∠EDA′＝45°，
∴∠ADC＝135°，
∴∠BDC＝∠BDA＝67.5°，
∵∠DBC＝45°，
∴∠BCD＝∠BDC＝67.5°，
∴BD＝BC＝2，
∴OD＝2 -2，
∴D（2 -2，0）；
当点D在AC上时，A′与点C重合，满足条件，此时D（ ，0）；
如图3-2中，当点A′落在AC上时，同法可证OD＝OC＝2，可得D（2，0）.
当点D与B重合时，A与A′重合，满足条件，此时D（2 ，0）.
综上所述，满足条件的点D的坐标为（2 -2，0）或（ ，0）或（2，0）或（2 ，0）.
29．如图，在矩形中，，分别是一元二次方程的两个根，连结，动点从出发，以1个单位每秒速度，沿方向运动，同时，动点从点出发，以同样的速度沿射线运动，当点到达点时，点即停止运动，设运动时间为秒.以为斜边作，使点落在线段上.
（1）求线段的长度；
（2）求面积的最大值；
（3）当与相似时，求的值.
【答案】（1）解：x2-14x+48=0，
∴（x-6）（x-8）=0
解之：x1=6，x2=8
∴BC=8，CD=6，
∵矩形ABCD，
∴∠C=90°，
∴.
（2）解：过点P作PE⊥AD于点E，
∴∠DEP=∠DAB=90°，
∴PE∥AB，
∴△DEP∽△DAB，
∴即
由题意得AB=CD=6，DQ=BP=t，则PD=10-t，
∴
解之：，
∴，
∵a＜0，抛物线的开口向下，
当t=5秒时，面积的最大值为7.5
（3）解：如图，
∵∠QMD=∠QMP=∠C=90°，
AD∥BC，
∴∠DBC=∠QDM，
∴△DQM∽△BDC，
∴即
解之：，
∵△PQM∽△BCD，
∴或，
∴或，
当点M在线段PD上时，，
∴即
解之：；
如图，
∴
解之：；
当点M在PB上时，
即
解之：；
如图，，
∴
解之：t=10.
∴t的值为 或 或 或10
30．已知边长为8的正方形 截去一个角后成为五边形 ，点 在线段 上，过点 作 ，垂足为点 ，过点 作 ，垂足为点 ， ， ，设 的长为 ，四边形 的面积记为 .
（1）求 ， 的长（分别用含 的代数式表示）；
（2）求 关于 的函数关系式，并写出自变量的取值范围；
（3）求四边形 面积的最大值.
【答案】（1）解：如图，延长 交 于
， ，正方形 ，
四边形 四边形 为矩形，
∴
∴
∴
（2）解： 四边形 为矩形，
∴
点 在线段 上，
∴
（3）解：
抛物线的对称轴为： ，
而 函数图象开口向下，所以当 时， 随 的增大而增大，
当 最大，此时
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