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【期中压轴题汇总（杭州）】浙教版九年级上数学综合训练
解析版
一、选择题（本大题有10小题）
下面每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的.
1．已知二次函数的图象如图所示，有下列结论：①；②；③；④；⑤若方程有四个根，则这四个根的和为2.其中正确的为（ ）
A．①② B．②④ C．③④ D．②⑤
【答案】C
【解析】∵二次函数图象开口向下，∴a<0，
∵抛物线的对称轴在y轴的右侧，∴a与b异号，∴b＞0，
∵抛物线与y轴交于正半轴，∴c>0，∴abc<0，故①错误；
∵二次函数图象与x轴交于不同两点，∴△=b2-4ac>0，即b2>4ac，故②错误；
由图象可知当x=-1时，y<0，即a-b+c<0， 故③正确；
由图象知，当x=1时函数有最大值，
∴当x=1时的y值大于当x=m (m≠1)时的y值，即a+b+c>m (am+b)+c，
∴a+b＞m(am+b)(m≠1)，故④正确；
将x轴下方二次函数图象翻折到x轴上方，则与直线y=1有四个交点即可，
由二次函数图象的轴对称性知：关于对称轴对称的两个根的和为2，四个根的和为4，故⑤错误，
综上正确的是③④.
故答案为：C.
2． 已知点A（x1，y1）、B（x2，y2）为抛物线y＝mx2-2mx+1（m为常数，m＞0）上的两点，当t＜x1＜t+1，t+2＜x2＜t+3时，（ ）
A．若t≤1，则y1＞y2 B．若y1＞y2，则t≤-1
C．若t≥-1，则y1＜y2 D．若t≥1，则y1＜y2
【答案】D
【解析】∵ y=mx2-2mx+1中m>0，
∴ 抛物线的开口向上，对称轴为x=1，
∴若 t ≥1，即 x＞1时，函数为单调增，∴y1＜y2，D项符合题意；
若t ≤1，则y1与y2的大小无法判断，A项不符合题意；
若t≥-1，则y1与y2的大小无法判断，C项不符合题意；
若y1＞y2，则t≤-2，B项不符合题意.
故答案为：D.
3．在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于，两点，其中。将此抛物线向上平移，与x轴交于，两点，其中，下面结论正确的是（ ）
A．当时，，
B．当时，，
C．当时，
D．当时，，
【答案】A
【解析】当m>0时，抛物线开口向上，对称轴为x=-2，平移后的对称轴不变，所以所以结合图像易知，；
同理，当m<0时，抛物线开口向下，对称轴为x=-2，平移后的对称轴不变，所以结合图像易知，.
故答案为：A.
4．抛物线y=x2+bx+c（其中b，c是常数）过点A（2，6），且抛物线的对称轴与线段y=0（1≤x≤3）有交点，则c的值不可能是（ ）
A．4 B．6 C．8 D．10
【答案】A
【解析】∵抛物线y=x2+bx+c（其中b，c是常数）过点A（2，6），且抛物线的对称轴与线段y=0（1≤x≤3）有交点，
∴
解得6≤c≤14，
故选A．
5．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+3（a＜0）交x轴于A，B两点（B在A左侧），交y轴于点C，且CO＝AO，分别以BC，AC为边向外作正方形BCDE、正方形ACGH，记它们的面积分别为S1，S2，△ABC面积记为S3，当S1+S2＝6S3时，b的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】 y＝ax2+bx+3，当x=0时，y=3，则C（0，3），
∴OC=OA=3，∴A（3，0），
∵ S1+S2＝6S3 ，
∴BC2+AC2=6××AB×OC，
即OC2+OB2+OC2+OA2=9+OB2+9+9=6××（OB+3）×3，
解得：OB=9，
∴B（9，0），
设抛物线解析式为y=a(x-9)(x-3)，
把C（0，3）代入得a=，
∴y=(x-9)(x-3)，即y= x2-x+3 ，
∴b=-.
故答案为：B.
6．如图，将矩形ABCD沿着GE，EC，GF翻折，使得点A，B，D恰好都落在点O处，且点G，O，C在同一条直线上，点E，O，F 在另一条直线上. 以下结论正确的是（ ）
A．△COF∽△CEG B．OC=3OF
C．AB：AD=4：3 D．GE=DF
【答案】D
【解析】由折叠性质得：∠DGF＝∠FGO，∠AGE＝∠OGE，∠AEG＝∠OEG，∠OEC＝∠BEC，
∴∠FGE＝∠FGO＋∠OGE＝90°，∠GEC＝∠OEG＋∠OEC＝90°，
由矩形的性质，设AD=BC=2a，AB=DC=2b，
由折叠得DG=OG=a，AE=OE=BE=b，
∴CG=OG+OC=OG+BC=3a，
在Rt△CEG中，CG2=GE2+CE2，
∴（3a）2=a2+b2+b2+（2a）2，
解得，
∴AB=2b=；
∴，故C选项不符合题意；
在Rt△COF中，设OF=DF=x，则CF=2b-x=-x，
∵∠D=∠GOF=90°，
∴x2+（2a）2=，
解得，
∴，
在Rt△AGE中，
∴，故D选项符合题意；
∴，故B选项不符合题意；
在Rt△CEB中，，
∵∠GEC=∠FOC=90°，而，
∴△COF不相似于△CEG，故A选项错误，不符合题意.
故答案为：D.
7．如图，点O在线段AB上，OA＝2，OB＝6，以O为圆心，OA为半径作⊙O，点M在⊙O上运动，连结MB，以MB为一边作等边△MBC，连结AC，则AC长度的最小值为（ ）
A．22 B．22 C．42 D．42
【答案】B
【解析】以OB为边，在OB的上面作等边△OBP，则OB＝BP＝OP＝6，∠OBP＝60°，连接OP，PC，OM，如图：
，
∵∠MBC＝∠OBP＝60°，
∴∠OBM＝∠PBC，
在△OBM和△PBC中，
，
∴△OBM≌△PBC（SAS），
∴OM＝PC＝2，
∴如上图所示，点C的运动轨迹为以点P为圆心，2为半径的圆，
连接AP并延长，交⊙P于点C′，则AC的最大值为AC′．
过P作PH⊥AB于H，
∴PH＝PB＝3，BH＝，
∵AH＝AB-BH＝5，
∴AP＝，
∴AC′＝AP-PC′＝2-2，
故AC长度的最大值为2-2，
故选：A．
8．如图①，在△ABC中，∠B＝108°，动点P从点A出发，沿折线A→B→C→A匀速运动一周．若点P的运动速度为1cm/s，设点P的运动时间为t（s），AP的长度为v（cm），v与t的函数图象如图②所示．当BP恰好是∠ABC的一条三等分线时，t的值为（ ）
A．+2或5 B．+3或6 C．+3或5 D．+2或6
【答案】B
【解析】如图，，是的三等分线，
由题意得，，
∵，
∴，
，是的三等分线，
∴
由三角形外角的性质得 ，
∴，
同理，
①BP恰好是∠ABC的靠近AB的三等分线
，
时间t=6
②BP恰好是∠ABC的靠近BC的三等分线
∵，
∴，∴，
∴，
∴，
∴，
时间t=，
∴当恰好是的一条三等分线时，t的值为或6．
故答案为：或6.
9．如图，在 ABCD中，AD＝BD，∠ADC＝105°，点E在AD上，∠EBA＝60°，则的值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】如图，过点B作BH⊥AD于H，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠ADC+∠DAB＝180°，
∵∠ADC＝105°，
∴∠DAB＝75°，
∵AD＝BD，
∴∠DAB＝∠DBA＝75°，
∴∠BDA＝30°，
∴BD＝2BH＝AD，DH＝BH，
∴AH＝2BH-BH，
∵∠EBA＝60°，
∴∠BEA＝180°-∠DAB-∠ABE＝45°，
∴∠EBH＝45°＝∠BEH，
∴BH＝EH，
∴DE＝BH-BH，AE＝3BH-BH，
∴＝
故答案为：D.
10．如图，在△ABC中，AD是BC边上的高，⊙P是△ABC的外接圆，连接PA．若AD＝3，BD＝1，BC＝5，则PA的长（ ）
A．2.5 B． C． D．2.8
【答案】B
【解析】连接，过点P作于F，如图所示：
∵，
∴，
∵
∴由勾股定理，，，
∵，
∴由垂径定理，
又∵
∴，
∴
∴，
∴，即.
故答案为：B.
二、填空题（本大题有10小题）
要注意认真看清题目的条件和要填写的内容，尽量完整地填写答案.
11．如图，在等腰Rt△ABC中，AC=BC=3，点P在以斜边AB为直径的半圆上，M为PC的中点．当点P沿半圆从点A运动至点B时，点M运动的路径长是 ．
【答案】
【解析】如图取AB的中点O，AE的中点E，BC的中点F，连接OC、OP、OM、OE、OF、EF，
因为在等腰直角三角形中，
由勾股定理得则
因为M为PC的中点，所以则则点M在OC为直径的圆上，点P在A点时，点M在点E处，点P在B点时，M点在点F，易证得四边形CEOF为正方形，则点M运动的路径 为EF的直径的半圆.所以点M 运动的路径长=
故答案为：.
12．如图，已知半圆．点在半圆上，，在取点，连接，作于点，连接，则的最小值等于 ．
【答案】8
【解析】连接，取的中点，连接，
∵，
∴点在以为圆心，为半径的圆上，
∴，
∵，
∴，
当、、三点共线时，最小，
∵是直径，
∴，
∴，
∴，
∴的最小值为．
故答案为：．
13． 如图，以G（0，1）为圆心，半径为2的圆与x轴交于A、B两点，与y轴交于C，D两点，点E为⊙G上一动点，CF⊥AE于F，则弦AB的长度为 ；当点E在⊙G的运动过程中，线段FG的长度的最小值为 ．
【答案】；
【解析】过点G作GM⊥AC于点M，连接AG，BG，如图，
∵ GO⊥AB，∴ OA=OB，
在Rt△AOG中，∵ AG=2，OG=1，
∴ AO=，
∴ AB=2AO=，
∵ ∠GAO=30°，
∴ ∠AGO=60°，
∵ GA=GC，
∴ ∠GAC=∠GCA=30°，
∵ GM⊥AC，
∴ MG=1，AC=，
∵CF⊥AE于F， 即∠CFA=90°，
∴ 点F在以AC为直径的圆上，
当点F在MG的延长线上时，FG的长最小，最小值=FM-GM=.
14．如图，在以AB为直径的半圆O上，AB＝2，点C事半圆弧上的任务点，点F是的中点，连接BF交AC于点E，AD平分∠CAB交BF于点D，则∠ADB＝ 度；当DB＝DF时，BC的长为 ．
【答案】135；
【解析】连接OF、AF，
∵点F是的中点，
∴，OF⊥AC，
∴∠ABD=∠CBD=∠ABC，
∵ AD平分∠CAB ，
∴∠CAD=∠BAD=∠CAB，
∵AB为直径，
∴∠C=90°，∠AFD=90°，
∴∠CAB+∠CBA=90°，
∴∠BAD+∠ABD=(∠CAB+∠ABC)=45°，
∴∠ADB=180°-（∠BAD+∠ABD）=135°，
∴∠FDA=45°，
∵∠AFD=90°，
∴∠FAD=∠FDA=45°，
∴AF=FD=DB，
在Rt△ABF中，AF2+BF2=AF2+（2AF）2=AB2=（ 2 ）2，
解得AF=2，
∵AM2=AF2+FM2=OM2+OA2，
∴22+（-OM）2=OM2+（）2，
解得OM=，
∵AM=CM，OA=OB，
∴BC=2OM=.
故答案为：135，.
15．对于一个函数，自变量x取a时，函数值y也等于a，则称a是这个函数的不动点．已知二次函数，
（1）若2是此函数的不动点，则m的值为 ．
（2）若此函数有两个相异的不动点a，b，且，则m的取值范围为 ．
【答案】（1）-8
（2）
【解析】（1）由题意得2=22+3×2+m，
解得m=-8，
故答案为-8；
（2）由题意知二次函数y=x2+3x+m的两个相异的不动点a，b是方程x2+3x+m=x的两个不相等实数根，
且a＜1＜b，
整理，得：x2+2x+m=0，
由x2+2x+m=0有两个不相等的实数根，且a＜1＜b，知Δ＞0，
令y=x2+2x+m，画出该二次函数的草图如下：
则，
解得m＜-3，
故答案m＜-3．
16．已知一次函数y1＝-x，二次函数y2＝x2-2kx+k2-k（k＞0）．
（1）当x＜1时，y2的函数值随x的增大而减小，则k的最小整数值为 ；
（2）若y＝y2-y1，若点M（k+2，s），N（a，b）都在函数的y图象上，且s＜b，则a的取值范围 ．（用含k的式子表示）
【答案】（1）1
（2）ak+2
【解析】（1）解：二次函数y2＝x2-2kx+k2-k（k＞0）的对称轴为x=，且开口向上，
故当x故当x＜1时，y2的函数值随x的增大而减小， 则k的最小整数值为1，
故答案为：1；
（2）解：y＝y2-y1 = x2-2kx+k2-k -（-x）= x2-(2k-1)x+k2-k的对称轴为x=，且开口向上，
故当x>k-时，y2的函数值随x的增大而增大，当x又k+2 >k-，即 点M（k+2，s） 恒在对称轴的右侧，
当点N（a，b）也在对称轴的右侧时，当sk+2；
当点N（a，b）在对称轴的左侧时，又k+2-（k-）=，k--=k-3故a的取值范围为a>k+2或a故答案为：a>k+2或a17．如图，在边长为2的菱形ABCD中，∠DAB＝60°，F是边AD上的动点，E是边CD上的动点，满足AF+CE＝2，则△FDE的最大面积为 ．
【答案】
【解析】连接BD．
已知四边形ABCD是菱形， ∠DAB＝60° ，
∴△ABD，△BDC都是等边三角形，
∴∠A＝∠BDC＝60°，AB＝BD，
∵AF +CE＝，
DE+CE=
∴AF＝DE，
∴△ABF≌△DBE（SAS），
∴BF＝BE，∠ABF＝∠DBE，
∴∠EBF＝∠ABD＝60°，
∴△BEF是等边三角形，
∴S四边形DEBF＝S△DBA＝，
∴S△FDE＝S四边形DEBF﹣S△BEF＝﹣S△BEF，
∴当S△BEF取得最小值时，S△FDE值最大，
当BE⊥AD时，BE的长最短，此时△BFE的面积最小，
BE的最小值＝，
∴△FDE的面积的最大值＝，
故答案为：．
18．矩形ABCD中，AB＝5，BC＝4，点E是AB边上一点，AE＝3，连接DE，点F是BC延长线上一点，连接AF，且∠F＝∠EDC，则BF＝ .
【答案】10
【解析】如图，连接EC，过点D作DH⊥EC于H.
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠BAD＝∠BCD＝90°，AD＝BC＝4，AB＝CD＝5，
∵AE＝3，
∴DE＝＝5，
∴DE＝DC，
∵DH⊥EC，
∴∠CDH＝∠EDH，
∵∠F＝∠EDC，∠CDH＝∠EDC，
∴∠CDH＝∠F，
∵∠BCE+∠DCH＝90°，∠DCH+∠CDH＝90°，
∴∠BCE＝∠CDH，
∴∠BCE＝∠F，
∴EC∥AF，
∴，
∴，
∴CF＝6，
∴BF＝CF+BC＝10.
故答案为：10.
19．在矩形ABCD中，AB＝4，AD＝6，E是BC的中点，连接AE，过点D作DF⊥AE于点F．
（1）线段DF的长为 ；
（2）连接AC，若AC交DF于点M，则＝ ．
【答案】（1）
（2）
【解析】（1） 在矩形ABCD中，AD＝6 ， E是BC的中点
∴
在中，由勾股定理得，
，
即，
解得；
故答案为：；
（2）若交于点，延长交延长线于点，如图所示：
在中，
，
，
由
，
，
即
解得，
，
，
．
故答案为：.
20．已知直线l⊥AB于点E，以AB为直径画圆交直线l于点C、D，点G是弧AC上一动点，连结DG交AB于点P，连结AG并延长，交直线l于点F.若∠BAG＝45°，DP＝4，PG＝5，则AG＝ ，CD＝ .
【答案】；
【解析】连接OD，如图，
∵AB为直径，
∴∠AGB＝90°，
∵∠BAG＝45°，
∴∠ABG＝45°，
∴∠ADG＝∠ABG＝45°，
∵∠AGP＝∠DGA，∠GAP＝∠GDA，
∴△GAP∽△GDA，
∴GA：GD＝GP：GA，即GA：9＝5：GA，
解得GA＝3 ，
∵△ABG为等腰直角三角形，
∴OG⊥AB，
∴OG＝ AG＝ ×3 ＝ ，
∵CD⊥AB，
∴DE＝CE，OG∥CD，
∴ ＝ ＝ ，
∴DE＝ OG＝ × ＝ ，
∴CD＝2DE＝ .
故答案为： ， .
三、解答题（本题有10小题）
解答应写出文字说明，证明过程或推演步骤.
21．已知二次函数y＝a（x+2a-1）（x-a+2）（a是常数，a≠0）．
（1）当a＝1时，求函数的表达式，并写出函数图象的顶点坐标．
（2）若此函数图象对称轴为直线x＝-2时，求函数的最小值．
（3）设此二次函数的顶点坐标为（m，n），当a≠1时，求的最大值
【答案】（1）解：(1)当a= 1时，
y= (x＋2-1)(a -1＋2)=(x＋1)(x＋1)=(x＋1)3
即y =x2+2x＋1，
∴函数的表达式为y = x2+2x +1，
∴函数图象的顶点坐标为(-1，0)；
（2）解：
当 时， 即
解得： ， 此函数图象与 轴的交点坐标为
此函数图象对称轴为直线 ，
∴
解得： ，
， 函数图象开口向上，
当 时， 函数有最小值， 此时
函数的最小值为 -27 ；
（3）解： 此函数图象与 轴的交点坐标为 ，
此二次函数的顶点坐标为 ，
，
∴=
∵ ∴
22． 已知二次函数y＝2x2+bx+c（b，c是常数）
（1）若A（1，0），B（0，4）两点在该二次函数图象上，求二次函数的表达式．
（2）若二次函数的表达式可以写成y＝2（x-h）2-2的形式（h是常数），求b+c的最小值．
（3）若二次函数的表达式还可以写成y＝2（x-m）（x-m-k），它的图象与x轴交于A，B两点，一次函数y＝kx+b的图象经过点A，且与二次函数的图象交于另一点C．是否存在实数k，使得△ABC是以AB为腰的等腰三角形，如果存在，求出k的值；如果不存在，请说明理由．
【答案】（1）解：∵二次函数y＝2x2+bx+c 过点A（1，0）、B（0，4），
∴，
解得：，
∴该二次函数的表达式为y＝2x2-6x+4；
（2）解：把y＝2（x-h）2-2化成一般式得，y＝2x2-4hx+2h2-2，
∴b＝-4h，c＝2h2-2，
∴b+c＝2h2-4h-2＝2（h-1）2-4，
把b+c的值看作是h的二次函数，则该二次函数开口向上，有最小值，
∴当h＝1时，b+c的最小值是-4；
（3）解：存在，理由：
①当k＞0时，
（i）点A（m，0），B（m+k，0），则一次函数解析式可以表示为y＝k（x-m），
联立，
解得：，，
∴C（，），
由图可知，当三角形是以AB为腰的等腰三角形时，则只能AB＝BC，
过点C作CD⊥x轴，
则CD＝，BD＝-（m+k）＝，BC2＝CD2+BD2＝（）2+（）2＝+，
∵AB＝m+k-m＝k，AB＝BC，∴k2＝+，
∴k＝±，
∵k＞0，
∴k＝；
（ii）若点A（m+k，0），B（m，0），则一次函数解析式可以表示为 y＝k（x-m-k），
联立，
∴，，
∴C（，），
∵y＝2（x-m）（x-m-k），
∴抛物线的对称轴为直线x＝m+k，顶点坐标为（，），
即点C恰好是抛物线顶点，
∴总是有AC＝BC，
过点C作 CD⊥x轴，如图，
则CD＝，BD＝m+-m＝，
∴BC2＝CD2+BD2＝（）2+（）2＝+，
∵AB＝k，AB＝BC，
∴k2＝+，
∴k＝±，
∵k＞0，
∴k＝；
②当k＜0时，
同理可得：k＝-或-；
∴综上所述，k＝±或±．
23．如图，为直径，点D为下方上一点，点C为弧中点，连接，．
（1）求证：；
（2）过点C作于H，交于E，求证：；
（3）在（2）的条件下，若，，求线段的长
【答案】（1）如图，连接，
设，
则，
∵点C为弧中点，，
∴，
∴，
∵为直径，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴；
（2）∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴；
（3）延长交圆于点M，连接DM，
由（1）可知，为等腰三角形，且
又，
∴为等腰三角形，且，
∴，
∴
可求得圆的半径为13，
∴，设。则，
可得方程：求得
∴
24．如图1，四边形ABDE内接于⊙O，AB＝AE，AC⊥BD于点F．点C在⊙O上，AC⊥BD于点F.
（1）连接BE，求证：∠ABE＝∠ACB．
（2）设∠CBF为x度，∠BAE为y度，写出y关于x的函数表达式．
（3）如图2，作OG⊥AC于点G，连接AO并延长交⊙O于点H．
①∠BAE＝120°，OG＝4，，求BD的长．
②若DE＝12，求OG的长．
【答案】（1）证明：∵AB＝AE，
∴＝，∠ABE＝∠AEB，
∴∠ACB＝∠AEB，
∴∠ABE＝∠ACB；
（2）解：∵AC⊥BD，
∴∠BFC＝90°，
∵设∠CBF为x度，
∴∠BCF＝90°-x，
根据解析（1）可知，∠ABE＝∠AEB＝∠ACB＝90°-x，
∴∠BAE＝180°-∠ABE-∠AEB
＝180°-2（90°-x）
＝2x，
即y＝6x；
（3）解：①连接OB、OE，如图2.1所示：
∵∠BAE＝120°，＝，AH是直径，
∴＝，
∴，
∵AO＝BO，
∴△ABO为等边三角形，
∴AB＝OA＝OB，
根据解析（2）可知，∠BAE＝2∠CBF，
∴，
∵AC⊥BD，
∴∠BFC＝∠AFB＝∠CFD＝90°，
∴∠BCF＝90°-∠CBF＝30°，
∴，
设FG＝x，则，
∵OG⊥AC，
∴，
根据勾股定理得：，
，
∵OA2＝AB2，
∴
解得：（舍去），
∴，
∵＝，
∴∠BAC＝∠BDC，
∵∠AFB＝∠CFD＝90°，
∴△ABF∽△DCF，
∴，
即，
解得：DF＝11，
∴BD＝BF+DF＝3+11＝14；
②连接AD，CD，如图7.2，
∵AG＝CG，AO＝OH，
∴OG∥CH，CH＝2OG，
∴∠ACH＝∠AGO＝90°，
∴∠ACH＝∠AFD＝90°，
∴BD∥CH，
∴∠BDC＝∠DCH，
∵＝，＝，
∴∠DCH＝∠DAH，∠BDC＝∠BAC，
∴∠BAC＝∠DAH，
∵＝，
∴∠BAO＝∠EAO，
∴∠CAH＝∠EAD，
∴CH＝DE＝12，
∴．
25．如图，已知抛物线y＝-x2+bx+c与x轴交于A、B两点（点A在点B左边），与y轴交于点C，⊙M是△ABC的外接圆．若抛物线的顶点D的坐标为（1，4）．
（1）求抛物线的解析式，及A、B、C三点的坐标；
（2）求⊙M的半径和圆心M的坐标；
（3）如图2，在x轴上有点P（7，0），试在直线BC上找点Q，使B、Q、P三点构成的三角形与△ABC相似．若存在，请直接写出点坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）解：∵抛物线y＝-x2+bx+c的顶点D的坐标为（1，4），
∴， 解得
抛物线的解析式为y＝-x2+2x+3，
令y＝0，则-x2+2x+3＝0，解得x＝-1或3，
令x＝0，y＝3，
∴A（-1，0），B（3，0），C（0，3）；
（2）解：如图1，连接MB，MC，
∵三角形外心为三边中垂线交点，
∴设M（1，m），
∵MB＝MC，
∴
解得m＝1，
∴M（1，1），
∴MB＝
∴⊙M的半径为，圆心M的坐标为（1，1）；
（3）解：由（1）知，，
，
设直线的函数解析式为，
将点代入得：，解得，
则直线的函数解析式为，
设点的坐标为，
则，
要使三点构成的三角形与相似，则或，此时，
，
①当时，
则，即，
解得，
经检验，是原方程的解，
则此时点的坐标为；
②当时，
则，即，
解得，
经检验，是原方程的解，
则此时点的坐标为；
综上，点的坐标为或．
26．如图，在矩形ABCD中，AB：BC＝3：2，点F、G分别在边AB、CD上，将矩形ABCD沿GF折叠，使点A落在BC边上的点E处，得到四边形EFGP，EP交CD于点H，连接AE交GF于点O.
（1）若BC＝8，E是BC中点，求BF的长；
（2）试探究GF与AE之间的位置关系与数量关系，并说明理由；
（3）连接CP，若 ，GF＝2 ，求线段BE和CP的长.
【答案】（1）解：∵AB：BC＝3：2，BC＝8，E是BC中点，
∴AB＝12，BE＝4，
设BF的长为x，则AF＝12﹣x，
由矩形ABCD沿GF折叠，使点A落在BC边上的点E处得EF＝AF＝12﹣x，
在Rt△BEF中，BE2+BF2＝EF2，
∴42+x2＝（12﹣x）2，解得x＝ ，
∴BF的长为 ；
（2）解：GF与AE之间的位置关系是：GF⊥AE，GF与AE之间的数量关系是： ＝ ，理由如下：
∵矩形ABCD沿GF折叠，使点A落在BC边上的点E处，得到四边形EFGP，
∴A、E关于FG对称，
∴GF⊥AE，
过点G作GM⊥AB于M，如图：
∵AE⊥GF，
∴∠AOF＝∠GMF＝∠ABE＝90°，
∴∠BAE+∠AFO＝90°，∠AFO+∠FGM＝90°，
∴∠BAE＝∠FGM，
∴△ABE∽△GMF，
∴ ＝ ，
∵∠AMG＝∠D＝∠DAM＝90°，
∴四边形AMGD是矩形，
∴GM＝AD，
∴ ＝ ＝ ＝ ；
（3）解：过点P作PN⊥BC交BC的延长线于N，如图：
由 ，设BE＝3k，则BF＝4k，EF＝AF＝5k，AB＝9k，
∵ ＝ ，FG＝2 ，
∴AE＝3 ，
∴（3k）2+（9k）2＝（3 ）2，
∴k＝1或﹣1（舍弃），
∴BE＝3，AB＝9，
∵BC：AB＝2：3，
∴BC＝6，
∴BE＝CE＝3，AD＝PE＝BC＝6，
∵∠EBF＝∠FEP＝∠PME＝90°，
∴∠FEB+∠PEN＝90°，∠PEN+∠EPN＝90°，
∴∠FEB＝∠EPN，
∴△FBE∽△ENP，
∴ = ＝ ＝ ，
∴ ＝ ＝ ，
∴EN＝ ，PN＝ ，
∴CN＝EN﹣EC＝ ﹣3＝ ，
∴CP＝ ＝ ，
∴线段BE的长是3，CP的长是 .
27．已知：的两条弦，相交于点M，且.
（1）如图1，连接.求证：.
（2）如图2，若，点E为弧上一点，，交于点F，连接、.
①求的度数(用含的代数式表示).
②若，，求的面积.
【答案】（1）证明：如图1，
∵，
∴，即，
∴，
∴，
∴；
（2）解：①.
理由如下：
连接，如图，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴；
②∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，解得，
∴，
∴.
28．如图1，在矩形ABCD中，AC与BD交于点O，E为AD上一点，CE与BD交于点F．
（1）若AE＝CE，BD⊥CE，①求∠DEC的度数．②如图2，连接AF，当BC＝3时，求AF的值．
（2）设（0＜k＜1），记△CBF的面积为S1，四边形ABFE的面积为S2，求的最大值.
【答案】（1）解：①，
即，
②过点F作于点，
在Rt中，，
，
在Rt中，，
，
，
在Rt中，，
，
，
，
；
（2）设，
，
，
，
，
∵
∴
∵
∴∠FHD=90°
∴∠FHD=∠BAD，
又∵∠FDH=∠BDA，
∴
∴
∴
∴
∴
∴
当时，的最大值为.
29．如图1，AB为⊙O的直径，CD⊥AB于点E，，BF与CD交于点G．
（1）求证：CD＝BF．
（2）若BE＝1，BF＝4，求GE的长．
（3）连结GO，OF，如图2，求证：．
【答案】（1）证明：∵AB为⊙O的直径，CD⊥AB于点E，
∴，
∵，
∴，
∴，即，
∴BF＝CD；
（2）解：如图所示：连接BC，
由（1）得：，CD＝BF＝4，
∴∠FBC＝∠BCD，
∴BG＝CG，
∵AB为⊙O的直径，CD⊥AB于点E，
∴，
设EG＝x，则BG＝CG＝2﹣x，
在△BEG中，EG2+BE2＝BG2，即x2+12＝（2﹣x）2，
解得：，
∴GE的长为；
（3）解：如图所示：连接OC交BF于I，
∵，
∴，
在△OCG和△OBG中，
，
∴△OCG≌△OBG（SSS），
∴∠COG＝∠BOG，
∴∠IOB＝2∠EOG，
∵OF＝OB，OC为半径，
∴OC⊥BF，
∴∠OIB＝90°，
∵∠IOB+∠IBO＝90°，
∴．
30．从三角形不是等腰三角形的一个顶点引出一条射线与对边相交，顶点与交点之间的线段把这个三角形分割成两个小三角形，如果分得的两个小三角形中，一个为等腰三角形，另一个与原三角形相似，我们把这条线段叫做这个三角形的完美分割线．
（1）如图，在中，为角平分线，，，求证：为的完美分割线；
（2）在中，，是的完美分割线，且为等腰三角形，求的度数；
（3）如图，在中，，，是的完美分割线，且是以为底边的等腰三角形，求完美分割线的长．
【答案】（1）证明：，，
，
，
不是等腰三角形．
平分，
，
，
为等腰三角形．
，
，
∽，
是的完美分割线
（2）解：如图所示，
当时，，
根据完美分割线的定义，可得∽，
，则．
如图所示，
当时，，
根据完美分割线的定义，可得∽，
，
．
如图所示，
当时，．
∽，
，
根据完美分割线的定义，可得∽，
，
这与矛盾，
所以图的情况不符合题意．
综上所述，的度数为或；
（3）解：是以为底边的等腰三角形，
，
，
，
是的完美分割线，
∽，
，
，
设，则，
，
，
，
，
，
∽，
，即，
．
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【期中压轴题汇总（杭州）】浙教版九年级上数学综合训练
一、选择题（本大题有10小题）
下面每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的.
1．已知二次函数的图象如图所示，有下列结论：①；②；③；④；⑤若方程有四个根，则这四个根的和为2.其中正确的为（ ）
A．①② B．②④ C．③④ D．②⑤
2． 已知点A（x1，y1）、B（x2，y2）为抛物线y＝mx2-2mx+1（m为常数，m＞0）上的两点，当t＜x1＜t+1，t+2＜x2＜t+3时，（ ）
A．若t≤1，则y1＞y2 B．若y1＞y2，则t≤-1
C．若t≥-1，则y1＜y2 D．若t≥1，则y1＜y2
3．在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于，两点，其中。将此抛物线向上平移，与x轴交于，两点，其中，下面结论正确的是（ ）
A．当时，，
B．当时，，
C．当时，
D．当时，，
4．抛物线y=x2+bx+c（其中b，c是常数）过点A（2，6），且抛物线的对称轴与线段y=0（1≤x≤3）有交点，则c的值不可能是（ ）
A．4 B．6 C．8 D．10
5．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+3（a＜0）交x轴于A，B两点（B在A左侧），交y轴于点C，且CO＝AO，分别以BC，AC为边向外作正方形BCDE、正方形ACGH，记它们的面积分别为S1，S2，△ABC面积记为S3，当S1+S2＝6S3时，b的值为（ ）
A． B． C． D．
6．如图，将矩形ABCD沿着GE，EC，GF翻折，使得点A，B，D恰好都落在点O处，且点G，O，C在同一条直线上，点E，O，F 在另一条直线上. 以下结论正确的是（ ）
A．△COF∽△CEG B．OC=3OF
C．AB：AD=4：3 D．GE=DF
7．如图，点O在线段AB上，OA＝2，OB＝6，以O为圆心，OA为半径作⊙O，点M在⊙O上运动，连结MB，以MB为一边作等边△MBC，连结AC，则AC长度的最小值为（ ）
A．22 B．22 C．42 D．42
8．如图①，在△ABC中，∠B＝108°，动点P从点A出发，沿折线A→B→C→A匀速运动一周．若点P的运动速度为1cm/s，设点P的运动时间为t（s），AP的长度为v（cm），v与t的函数图象如图②所示．当BP恰好是∠ABC的一条三等分线时，t的值为（ ）
A．+2或5 B．+3或6 C．+3或5 D．+2或6
9．如图，在 ABCD中，AD＝BD，∠ADC＝105°，点E在AD上，∠EBA＝60°，则的值是（ ）
A． B． C． D．
10．如图，在△ABC中，AD是BC边上的高，⊙P是△ABC的外接圆，连接PA．若AD＝3，BD＝1，BC＝5，则PA的长（ ）
A．2.5 B． C． D．2.8
二、填空题（本大题有10小题）
要注意认真看清题目的条件和要填写的内容，尽量完整地填写答案.
11．如图，在等腰Rt△ABC中，AC=BC=3，点P在以斜边AB为直径的半圆上，M为PC的中点．当点P沿半圆从点A运动至点B时，点M运动的路径长是 ．
12．如图，已知半圆．点在半圆上，，在取点，连接，作于点，连接，则的最小值等于 ．
13． 如图，以G（0，1）为圆心，半径为2的圆与x轴交于A、B两点，与y轴交于C，D两点，点E为⊙G上一动点，CF⊥AE于F，则弦AB的长度为 ；当点E在⊙G的运动过程中，线段FG的长度的最小值为 ．
14．如图，在以AB为直径的半圆O上，AB＝2，点C事半圆弧上的任务点，点F是的中点，连接BF交AC于点E，AD平分∠CAB交BF于点D，则∠ADB＝ 度；当DB＝DF时，BC的长为 ．
15．对于一个函数，自变量x取a时，函数值y也等于a，则称a是这个函数的不动点．已知二次函数，
（1）若2是此函数的不动点，则m的值为 ．
（2）若此函数有两个相异的不动点a，b，且，则m的取值范围为 ．
16．已知一次函数y1＝-x，二次函数y2＝x2-2kx+k2-k（k＞0）．
（1）当x＜1时，y2的函数值随x的增大而减小，则k的最小整数值为 ；
（2）若y＝y2-y1，若点M（k+2，s），N（a，b）都在函数的y图象上，且s＜b，则a的取值范围 ．（用含k的式子表示）
17．如图，在边长为2的菱形ABCD中，∠DAB＝60°，F是边AD上的动点，E是边CD上的动点，满足AF+CE＝2，则△FDE的最大面积为 ．
18．矩形ABCD中，AB＝5，BC＝4，点E是AB边上一点，AE＝3，连接DE，点F是BC延长线上一点，连接AF，且∠F＝∠EDC，则BF＝ .
19．在矩形ABCD中，AB＝4，AD＝6，E是BC的中点，连接AE，过点D作DF⊥AE于点F．
（1）线段DF的长为 ；
（2）连接AC，若AC交DF于点M，则＝ ．
20．已知直线l⊥AB于点E，以AB为直径画圆交直线l于点C、D，点G是弧AC上一动点，连结DG交AB于点P，连结AG并延长，交直线l于点F.若∠BAG＝45°，DP＝4，PG＝5，则AG＝ ，CD＝ .
三、解答题（本题有10小题）
解答应写出文字说明，证明过程或推演步骤.
21．已知二次函数y＝a（x+2a-1）（x-a+2）（a是常数，a≠0）．
（1）当a＝1时，求函数的表达式，并写出函数图象的顶点坐标．
（2）若此函数图象对称轴为直线x＝-2时，求函数的最小值．
（3）设此二次函数的顶点坐标为（m，n），当a≠1时，求的最大值
22． 已知二次函数y＝2x2+bx+c（b，c是常数）
（1）若A（1，0），B（0，4）两点在该二次函数图象上，求二次函数的表达式．
（2）若二次函数的表达式可以写成y＝2（x-h）2-2的形式（h是常数），求b+c的最小值．
（3）若二次函数的表达式还可以写成y＝2（x-m）（x-m-k），它的图象与x轴交于A，B两点，一次函数y＝kx+b的图象经过点A，且与二次函数的图象交于另一点C．是否存在实数k，使得△ABC是以AB为腰的等腰三角形，如果存在，求出k的值；如果不存在，请说明理由．
23．如图，为直径，点D为下方上一点，点C为弧中点，连接，．
（1）求证：；
（2）过点C作于H，交于E，求证：；
（3）在（2）的条件下，若，，求线段的长
24．如图1，四边形ABDE内接于⊙O，AB＝AE，AC⊥BD于点F．点C在⊙O上，AC⊥BD于点F.
（1）连接BE，求证：∠ABE＝∠ACB．
（2）设∠CBF为x度，∠BAE为y度，写出y关于x的函数表达式．
（3）如图2，作OG⊥AC于点G，连接AO并延长交⊙O于点H．
①∠BAE＝120°，OG＝4，，求BD的长．
②若DE＝12，求OG的长．
25．如图，已知抛物线y＝-x2+bx+c与x轴交于A、B两点（点A在点B左边），与y轴交于点C，⊙M是△ABC的外接圆．若抛物线的顶点D的坐标为（1，4）．
（1）求抛物线的解析式，及A、B、C三点的坐标；
（2）求⊙M的半径和圆心M的坐标；
（3）如图2，在x轴上有点P（7，0），试在直线BC上找点Q，使B、Q、P三点构成的三角形与△ABC相似．若存在，请直接写出点坐标；若不存在，请说明理由．
26．如图，在矩形ABCD中，AB：BC＝3：2，点F、G分别在边AB、CD上，将矩形ABCD沿GF折叠，使点A落在BC边上的点E处，得到四边形EFGP，EP交CD于点H，连接AE交GF于点O.
（1）若BC＝8，E是BC中点，求BF的长；
（2）试探究GF与AE之间的位置关系与数量关系，并说明理由；
（3）连接CP，若 ，GF＝2 ，求线段BE和CP的长.
27．已知：的两条弦，相交于点M，且.
（1）如图1，连接.求证：.
（2）如图2，若，点E为弧上一点，，交于点F，连接、.
①求的度数(用含的代数式表示).
②若，，求的面积.
28．如图1，在矩形ABCD中，AC与BD交于点O，E为AD上一点，CE与BD交于点F．
（1）若AE＝CE，BD⊥CE，①求∠DEC的度数．②如图2，连接AF，当BC＝3时，求AF的值．
（2）设（0＜k＜1），记△CBF的面积为S1，四边形ABFE的面积为S2，求的最大值.
29．如图1，AB为⊙O的直径，CD⊥AB于点E，，BF与CD交于点G．
（1）求证：CD＝BF．
（2）若BE＝1，BF＝4，求GE的长．
（3）连结GO，OF，如图2，求证：．
30．从三角形不是等腰三角形的一个顶点引出一条射线与对边相交，顶点与交点之间的线段把这个三角形分割成两个小三角形，如果分得的两个小三角形中，一个为等腰三角形，另一个与原三角形相似，我们把这条线段叫做这个三角形的完美分割线．
（1）如图，在中，为角平分线，，，求证：为的完美分割线；
（2）在中，，是的完美分割线，且为等腰三角形，求的度数；
（3）如图，在中，，，是的完美分割线，且是以为底边的等腰三角形，求完美分割线的长．
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