中小学教育资源及组卷应用平台
【期中压轴题汇总（宁波）】浙教版九年级上数学综合训练
解析版
一、选择题（本大题有10小题）
下面每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的.
1．当-2≤x≤1时，关于x的二次函数y＝-（x-m）2+m2+1有最大值4，则实数m的值为（ ）
A．2 B．2或 C．2或或- D．2或或-
【答案】B
【解析】当m＜-2，x＝-2时，y最大＝-（-2-m）2+m2+1＝4，解得m＝-（舍），
当-2≤m≤1，x＝m时，y最大＝m2+1＝4，解得m＝-；
当m＞1，x＝1时，y最大＝-（1-m）2+m2+1＝4，
解得m＝2，
综上所述：m的值为-或2，
故答案为：B.
【分析】二次函数的对称轴为直线x=m，再分m＜-2，-2≤m≤1和m＞1三种情况，然后根据二次函数的增减性及最大值为4分布建立方程并解之即可.
2．关于函数下列说法正确的是（ ）
A．无论m取何值，函数图象总经过点（1，0）和（-1，-2）
B．当时，函数图象与x轴总有2个交点
C．若，则当x＜1时，y随x的增大而减小
D．若m＞0时，函数有最小值是
【答案】D
【解析】A、当x＝1时，y＝（mx＋m 1）（x 1）＝0，当x＝ 1时，y＝（mx＋m 1）（x 1）＝2，
所以图象过（1，0）和（ 1，2），故A错误，不符合题意；
B、当m＝0时，y＝（mx＋m 1）（x 1）＝1 x，该函数与x轴只有一个交点，
故B错误，不符合题意；
C、时，函数为开口向上的抛物线，
则y＝（mx＋m 1）（x 1）＝m（x＋）（x 1），
∴该函数的对称轴为直线
∴x＜1时，y随x的增大而即可能减小也可能增大，故C错误，不符合题意；
D、若m＞0时，二次函数在顶点处取得最小值，
当时，y＝（mx＋m 1）（x 1）＝，故D正确，符合题意.
故答案为：D.
3．如图，直线与y轴交于点A，与直线交于点B，以为边向右作菱形，点C恰与原点O重合，抛物线的顶点在直线上移动．若抛物线与菱形的边、都有公共点，则h的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】联立
解得 ，
点B(-2，1)，
直线与y轴交点A(0，2)，
四边形ABCD是菱形，
D(2，1)，
抛物线的顶点在直线上移动，且顶点坐标为，
，
抛物线为
抛物线与菱形的边AB、BC都有公共点，
当抛物线经过点C时如图1，
将C(0，0) 代入，
求得 (舍去) ，或；
当抛物线经过点B时如图2，
将B(-2，1) 代入，
求得 ，或(舍去)；
综上所述，h的范围是 .
故答案为：A.
4．如图， 中， ， ， ，平行四边形内放着两个菱形，菱形 和菱形 ，它们的重叠部分是平行四边形 .已知三个阴影平行四边形的周长相等，那么平行四边形 的面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】由题意 的周长为
又∵三个阴影平行四边形的周长相等，
∴由平移的性质可得： 的周长= 的周长= 的周长=
∴
∴
又∵ ， ，且四边形 和四边形 是菱形，
∴ ， ， ，
过点I作IP⊥EF
∴在Rt△IJP中， ，
∴平行四边形 的面积为
故答案为：D.
5．如图，中，，点D是上一动点，连接，将线段绕点C逆时针旋转90°得到线段，连接，当面积最大时，的长为（ ）
A．2 B． C． D．
【答案】C
【解析】连接点A和中点F，过点F作，垂足为点H，连接，
∵点F为中点F，
∴，
∵，
∴，即，
在和中，
，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，则点H、F、E三点共线，
故为的高，
设，则，
根据勾股定理得：，
∴，
∵，
∴，
∴，即，解得：，
∴，
，
∴当面积最大时，
故答案为：C.
6．如图，点A，B的坐标分别为A（2，0），B（0，2），点C为坐标平面内一点，BC＝1，点M为线段AC的中点，连接OM，则OM的最大值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】如图，
∵点C为坐标平面内一点，BC＝1，
∴点C在上，且半径为1，
在x轴上取OD=OA=2，连接CD，
∵AM=CM，OD=OA，
∴OM是△ACD的中位线，
∴OM=CD，
当OM最大时，即CD最大，
∴当D，B，C三点共线时，OM最大，
∵OB=OD=2，∠BOD=90°，
∴BD=2，
∴CD=2+1，
∴OM=，
∴OM的最大值为.
故答案为：D.
7．将一张以AB为边的矩形纸片，先沿一条直线剪掉一个直角三角形，在剩下的纸片中，再沿一条直线剪掉一个直角三角形（剪掉的两个直角三角形相似），剩下的是如图所示的四边形纸片 ，其中 ， ， ， ， ，则剪掉的两个直角三角形的斜边长不可能是（ ）
A． B． C．10 D．
【答案】A
【解析】如图1，
∵剪掉的是两个直角三角形，
∴∠F=∠BCE=90°，∠FED+∠BEC=90°，∠BEC+∠CBE=90°，
∴∠FED=∠CBE，
∴△FED∽△CBE，
∴
∵矩形ABEF，
∴AB=EF=9，
设DF=x，则AF=BE=x+2，CE=y，则DE=6+y
∴
解之：
经检验是有原方程组的解
∴，故B不符合题意；
，故D不符合题意；
如图2
同理可知△CFD∽△EFB，
∴
设FC=m，则BF=7+m，DF=n，则AF=BE=n+2，
∴
解之：
经检验是原方程组的解，
∴DF=10，故C不符合题意；
BF=7+8=15，故A符合题意；
故答案为：A.
8．如图，AB为⊙O的直径，AB=10，点C是AB上方半圆上的一点，点D是AB下方半圆上的点．连接AC，BC，AD，过点D作DE∥AB交CB的延长线于点E．若AD＝，则当下列哪种情况时，AC CE取得最大值. （ ）
A．CD取最大值时 B．AC⊥AD时
C．CD⊥DE时 D．OC⊥AB时
【答案】A
【解析】连接BD，
∵AB是圆O的直径，
∴∠ADB＝90°，
∵AB＝10，AD＝
∴BD＝
∴AD＝BD，
∴弧AD=弧BD，
∴∠ACD＝∠DCB，
∵DE∥AB，
∴∠CBA＝∠E，
∵∠CBA＝∠ADC，
∴∠ADC＝∠E，
∴△ACD∽△DCE，
∴AC∶CD＝CD∶CE，
∴AC CE＝CD2，
∴当CD最大时，AC CE有最大值，
故答案为：A.
9．如图，是的直径，点，点是半圆上两点，连结，相交于点，连结，已知于点，下列结论：
；若点为的中点，则.若，则；；其中正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】，
，
，
是的直径，
，
，
故正确，符合题意；
点为的中点，
，
为直径，
，
，
≌，
，
，，
，
，
故正确，符合题意；
连接，
，
，
，
，
为等边三角形，
，
，
故正确，符合题意；
，
，
当时，，
故错误，不符合题意；
故答案为：A.
10．如图，是的直径，为半径，过点作交于点，连结，，，连结交于点，交于点，则下列结论：
①； ②若F为中点，则；
③作交于点，则； ④若，则；
其中正确的个数为（ ）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
【答案】B
【解析】【解答】①解：∵ADOC
∴OC⊥BD
∴即∠CAD=∠CAB
又∵AB是的直径
∴∠ACB=∠ADB=90°
∴∠CAB+∠ABC=90°
∴∠CAD+∠DBC=90°故①正确
②∵F为AC的中点
∴AF=CF
∵AB为直径，
∴∠ADF=90°=∠CEF
又∵∠AFD=∠CFE(对顶角相等）
'∴△AFD△CFE(AAS)
∴AD=CE
∵△ADB和△OEB是直角三角形，
又∵∠DAB=∠DAB，∠BAD=∠BOE
∴
∴AD=2OE=CE故②正确
③要使即
也就是要证明：
但题中所给条件无法证明这两个三角形相似.故③错误
④∵S1：S2=1：2即∠ACD=∠OBC
又∵∠ACD=∠ABD
∴∠ACO=∠OBC
但无法证明∠OBC=60°所以也不能确定∠ACO=30°故④错误.
故答案为：C
二、填空题（本大题有10小题）
要注意认真看清题目的条件和要填写的内容，尽量完整地填写答案.
11．由四个全等的直角三角形和一个小正方形组成的大正方形如图所示．将小正方形对角线双向延长，分别交边，和边的延长线于点G，H．若大正方形与小正方形的面积之比为5，，则大正方形的边长为 ．
【答案】3
【解析】延长BF交DC于点N，如图，
设小正方形在DE上的顶点为M，设，
大正方形与小正方形的面积之比为5，
，
，
，
，
化简得，
，
，
∴，，
，，
，∴，，
设，则，，
，
，
∴，
，
又 ，
，
，
，
，
.
故答案为：3.
12．如图，点D是等边△ABC边AB上的一点，且AD：DB＝2：3，现将△ABC折叠，使点C与D重合，折痕为EF，点E，F分别在AC和BC上，则CE：CF＝ ．
【答案】7：8
【解析】设，则
∵是等边三角形，∴
∴
∵∴∠AED=∠BDF，
∴，
由折叠得：
∴周长为：
周长为：
∵相似三角形的周长比等于相似比，
∴
故答案为：7：8.
13．如图，在正方形ABCD中，点E在边AD上，把△ABE沿直线BE翻折得到△FBE，连接CF并延长交BE的延长线于点P.若AB=5，AE=1.则∠P= ，PC= .
【答案】；
【解析】过B作CP的垂线，垂足为N，过C作CM⊥BP，垂足为M，
∵△ABE沿直线BE翻折得到△FBE，∴，
∴，，
∵四边形ABCD为正方形，∴，∴，∴为等腰三角形，
又∵，∴平分，
∴，
在中，，，
∴，
∴△CMP为等腰直角三角形，∴，
∵，，∴∠ABP=∠MCB，∴，
∴，
在中，，
∴，，
∴在中，，
∴.
故答案为：；.
14．如图，是的直径，为圆上一点，连结，D，E分别为，的中点，，若为弧上的三等分点，且靠近点，连结，则的最小值为 .
【答案】
【解析】根据题意得，BC的中点E在以OB为直径的⊙P上连接PF交⊙P于点E，此时EF最小，连接OF，BF.
∵点F是的三等分点，且靠近点B
∴∠BOP=180°÷3=60°
又∵OF =OB，
△BOF是正三角形
∵PO=PB= 1，，
∴
∴EF=PF-EP=
故答案为：.
15．如图所示，在扇形OAB中，∠AOB＝90°，半径OA＝4，点F位于的处且靠近点A的位置.点C、D分别在线段OA、OB上，CD＝4，E为CD的中点，连接EF、BE.在CD滑动过程中（CD长度始终保持不变），当EF取最小值时，阴影部分的周长为 .
【答案】2+2+π
【解析】如图，连接OF，OE，BF，取OF的中点T，连接BT.
∵∠AOB＝90°，＝，∴∠BOF＝60°，∴的长＝＝π，
∵CE＝DE，∴OE＝CD＝2，
∵OF＝4，∴EF≥OF-OE＝2，
∴当O，E，F共线时，EF的值最小，此时点E与点T重合，∴此时EF＝2，
∵OF＝OB，∠BOF＝60°，
∴△BOF是等边三角形，
∵OT＝TF，∴BT⊥OF，
∴BE＝BT＝＝2，
∴此时阴影部分的周长为2+2+π.
故答案为：2+2+π.
16．如图，正方形的边长为4，点分别在上，且，过三点作交于点G.在点F整个运动过程中，当中满足某两条线段相等时，的长为 .
【答案】或或
【解析】①当时：连接，
则：，
∴
∵四边形为正方形，
则：，，；
∴，
∴，
∴三点共线，
又∵点F分别在上，
∴F为正方形对角线的交点，
∴；
②当时：如图，
此时：，
∴，
∵四边形为正方形，
∴，
∴，
∴；
③当时，点F作的垂线分别交于点，
∵ ，
∴是直径，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，设.
∵，
则.
∴.
∵，
∴，
解得 或 （舍弃），
∴ ，
综上所述，所有满足条件的BF长分别为 或或.
故答案为：或或.
17．如图，在 ABCD中，以AB为直径的⊙O与BC边的中点交于点E，与对角线AC交于点F，作EG⊥AC，垂足为M.若FA=3CF，则的值为 .
【答案】
【解析】 如图：连接BF，延长GE，AB交于点H，设AC与GE交于点M，
∵AB为圆O的直径，
∴∠AFB＝90°，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴DC∥AB，DC＝AB，
∴∠DCE＝∠CBH，∠CGE＝∠EHB，
∵E是BC的中点，
∴CE＝BE＝CB，
∴△GEC≌△HEB（AAS），
∴GC＝BH，
∵EG⊥AC，BF⊥AC，
∴ME∥BF，
∴CM∶CF＝CE∶CB＝，
∴设CM＝MF＝a，CF＝2a，
∴FA＝3CF＝6a，
∴CM∶MA＝a∶7a＝，
∵CD∥AB
∴△GMC∽△HMA，
∴GC∶AH＝MC∶MA＝，
∴GC∶AB＝，
∴GC∶CD＝，
∴GC∶DG＝，
故答案为：．
18．对于实数a，b，定义运算“*”：； ，关于x的方程 恰好有三个不相等的实数根，则m的取值范围是 ．
【答案】
【解析】当2x 1≤x 1时，即x≤0，
（2x 1）*（x 1）＝（2x 1）2 （2x 1）（x 1）＝2x2 x，
当2x 1＞x 1时，即x＞0，
（2x 1）*（x 1）＝（x 1）2 （2x 1）（x 1）＝ x2＋x，
∴，
∵ 关于x的方程 恰好有三个不相等的实数根 ，
∴直线y=m与抛物线y=2x2-x及y=-x2+x有三个不同的交点，
∵抛物线y=2x2-x（x≤0）的最低点作为（0，0），而顶点坐标为，对称轴直线为x=，故只有一个交点直线y=m与抛物线y=2x2-x只有一个交点，且m的取值范围为m≥0，
∴直线y=m与抛物线y=-x2+x一定有两个不同的交点，∴-x2+x=m一定有两个不相等的实数根，∴1-4m＞0，解得，
又∵抛物线y=-x2+x与x轴两交点的坐标为（0，0）、（1，0），∴当m=0时，直线y=m与抛物线y=2x2-x及y=-x2+x只有两个不同的交点，
综上所述m的取值范围为：，
即当时， 关于x的方程（2x 1）*（x 1）＝m恰有三个不相等的实数根.
故答案为：.
19．二次函数的图像与轴围成的封闭区域内（包括边界），横、纵坐标都是整数的点有 个（提示：必要时可利用上面的备用图画出图象来分析）.
【答案】7
【解析】令y=0，则，
∴x=或x=，
∴抛物线与x轴的交点为（，0），（，0），
∵抛物线的开口向下，顶点坐标为（2，），
∴图象与x轴围成的封闭区域内（包括边界），横、纵坐标都是整数的点有：
(1，0)，(2，0)，(3，0)，(1，1)，(2，1)，(2，2)，(3，1)， 共有 7个.
故答案为：7.
20．如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝-x2+6x+c的对称轴与x轴交于点A，在直线AB：y＝kx+3上取一点B，使点B在第四象限，且到两坐标轴的距离和为7，设P是抛物线的对称轴上的一点，点Q在抛物线上，若以点A，B，P，Q为顶点的四边形为正方形，则c的值为 ．
【答案】-5或-7
【解析】∵抛物线y＝-x2+6x+c的对称轴与x轴交于点A，
∴A（3，0），
∵点A在直线AB：y＝kx+3上，
∴0＝3k+3，解得k＝-1，
∴直线AB为y＝-x+3，
∵点B在第四象限，且到两坐标轴的距离和为7，
∴x-3+x＝7，解得x＝5，
∴B（5，-2），
∴B到对称轴的距离为5-3＝2，B到x轴的距离为2，
若以点A，B，P，Q为顶点的四边形为正方形，
①当AB是正方形对角线时，P（3，-2），则Q（5，0），
∵点Q在抛物线上，
∴把Q（5，0）代入y＝-x2+6x+c得，0＝-25+30+c，解得c＝-5；
②当AB是正方形的边时，P（3，-4），则Q（1，-2），
∵点Q在抛物线上，
把Q（1，-2）代入y＝-x2+6x+c得，-2＝-1+6+c，解得c＝-7，
∴综上所述，c的值为-5或-7.
故答案为：-5或-7．
三、解答题（本题有10小题）
解答应写出文字说明，证明过程或推演步骤.
21．
（1）【基础巩固】
如图1，在中，D，E分别在，上，连结DE，若，求证：.
（2）【尝试应用】
如图2，在中，在上取一点E，以为一边构造平行四边形，使点D，F恰好落在，上，连结，若，，，求的长.
（3）【拓展提高】
如图3，在中，在上取一点E，以为一边构造平行四边形，使点F恰好落在上，连结，，若，，，，求的长。
【答案】（1）证明：在△ADE与△ACB中，∵，，∴△ADE∽△ACB，∴AD：AC=AE：AB，即.
（2）解：∵四边形ADEF是平行四边形，
∴AD//EF，AE//DF，AE=DF，AD=EF，
∴，
∴，
∴，即AC=3AE，
∵AD//EF，
∴∠ADE = ∠DEF，
又，
∴∠ADE = ∠C，
又∠A=∠A，
∴，
∴AD：AC=AE：AB，
，
∵，，
∴，解得(负值舍去)，
∴.
（3）解：如图，延长AD、CB交于点N，
∵AE=4，CE=2，
∴AC=AE+CE=4+2=6，
∵四边形ADFE是平行四边形，
∴DF∥AC，EF∥AN，
∴AN=3AD，
∵EF∥AN，
∴∠ADE=∠DEF，
∵∠DEF=∠C，
∴∠ADE=∠C，
∵∠DAE=∠CAN，
∴△ADE∽△ACN，
∴AG AD=AE AC，
∴3AD2=4×6，
解得AD=2或AD= 2(不符合题意，舍去），
∴AN=3×2=6.
∵EF//AN，
∴∠EFC=∠N，
∵∠EFC=∠ABD，
∴∠ABD=∠N，
∵∠BAD=∠NAB，
∴△ABD∽△ANB，
∴AB：AN=AD：AB，
∴AB2
∴解得AB=2或AB=-2(不符合题意，舍去），
∴AB的长为2.
22．如图①，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝5，BC＝12，CD＝5，DE∥AB．将△EDC绕点C按顺时针方向旋转，记旋转角为α．
（1）①当α＝0°时，＝ ；②当α＝180°时，＝ ．
（2）试判断：当0≤α≤360°时，的大小有无变化？请仅就图②的情形给出证明．
（3）当△EDC旋转到A，D，E三点共线时，直接写出线段BD的长．
【答案】（1）；
（2）解：当0°≤α＜90°时，的大小没有变化，
∵∠ECD＝∠ACB，
∴∠ECA＝∠DCB，
又∵＝，
∴△ECA∽△DCB，
∴＝．
（3）解：BD＝
【解析】（1）①当α＝0°时，
∵在Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝5，BC＝12，
∴
∵DE∥AB ，
∴
∴
∴
∴
∴
②当α＝180°时，如下图，
∵DE∥AB，
∴，
∴
故答案为：，；
（3）①如图：
∴
②如图：
∵
∴
∵
∴
由（2）知：，
∴
∴
23．在平面直角坐标系中，抛物线y＝x2+（k-1）x-k与直线y＝kx+1交于A，B两点，点A在点B的左侧.
（1）如图1，当k＝1时，直接写出A，B两点的坐标；
（2）在（1）的条件下，点P为抛物线上的一个动点，且在直线AB下方，试求出△ABP面积的最大值及此时点P的坐标；
（3）如图2，抛物线y＝x2+（k-1）x-k（k＞0）与x轴交于点C、D两点（点C在点D的左侧），在直线y＝kx+1上是否存在唯一一点Q，使得∠OQC＝90°？若存在，请求出此时k的值；若不存在，请说明理由.
【答案】（1）解：A（-1，0），B（2，3）
（2）解：方法一：
设P（x，x2-1）.
如答图2所示，过点P作PF∥y轴，交直线AB于点F，则F（x，x+1）.
∴PF＝yF-yP＝（x+1）-（x2-1）＝-x2+x+2.
S△ABP＝S△PFA+S△PFB＝PF（xF-xA）+PF（xB-xF）＝PF（xB-xA）＝PF
∴S△ABP＝（-x2+x+2）＝-（x-）2+
当x＝时，yP＝x2-1＝-.
∴△ABP面积最大值为，此时点P坐标为（，-）.
方法二：过点P作x轴垂线，叫直线AB于F，
设P（t，t2-1），则F（t，t+1）
∴S△ABP＝（FY-PY）（BX-AX），
∴S△ABP＝（t+1-t2+1）（2+1），
∴S△ABP＝-t2+t+3，
当t＝时，S△ABP有最大值，
∴S△ABP＝.
（3）解：方法一：
设直线AB：y＝kx+1与x轴、y轴分别交于点E、F，
则E（-，0），F（0，1），OE＝，OF＝1.
在Rt△EOF中，由勾股定理得：EF
令y＝x2+（k-1）x-k＝0，即（x+k）（x-1）＝0，解得：x＝-k或x＝1.
∴C（-k，0），OC＝k.
Ⅰ、假设存在唯一一点Q，使得∠OQC＝90°，如答图3所示，
则以OC为直径的圆与直线AB相切于点Q，根据圆周角定理，此时∠OQC＝90°.
设点N为OC中点，连接NQ，则NQ⊥EF，NQ＝CN＝ON＝.
∴EN＝OE-ON＝-.
∵∠NEQ＝∠FEO，∠EQN＝∠EOF＝90°，
∴△EQN∽△EOF，
∴， 即：
解得：k＝±，
∵k＞0，
∴k＝.
∴存在唯一一点Q，使得∠OQC＝90°，此时k＝.
Ⅱ、若直线AB过点C时，此时直线与圆的交点只有另一点Q点，故亦存在唯一一点Q，使得∠OQC＝90°，
将C（-k，0）代入y＝kx+1中，
可得k＝1，k＝-1（舍去），
故存在唯一一点Q，使得∠OQC＝90°，此时k＝1.
综上所述，k＝或1时，存在唯一一点Q，使得∠OQC＝90°.
方法二：
∵y＝x2+（k-1）x-k，
∴y＝（x+k）（x-1），
当y＝0时，x1＝-k，x2＝1，
∴C（-k，0），D（1，0），
当点A和点C重合时，将C（-k，0）代入y＝kx+1中，
可得k＝1，k＝-1（舍去），
故存在唯一一点Q，使得∠OQC＝90°，此时k＝1.
当点A和点C不重合时，
∵点Q在y＝kx+1上，设Q（t，kt+1），O（0，0），
∵∠OQC＝90°，
∴CQ⊥OQ，
∴KCQ×KOQ＝-1，
∴
∴（k2+1）t2+3kt+1＝0有唯一解，
∴△＝（3k）2-4（k2+1）＝0，
∴k1＝，k2＝-（k＞0故舍去），
∴k＝.
综上所述，k＝或1时，存在唯一一点Q，使得∠OQC＝90°.
【解析】（1）当k＝1时，抛物线解析式为y＝x2-1，直线解析式为y＝x+1.
联立两个解析式，得：x2-1＝x+1，
解得：x＝-1或x＝2，
当x＝-1时，y＝x+1＝0；当x＝2时，y＝x+1＝3，
∴A（-1，0），B（2，3）.
24．如图，在平面直角坐标系中，直线分别与轴、轴相交于，两点，点的坐标是，连结，．
（1）求过，，三点的抛物线的函数表达式，并判断的形状．
（2）动点P从点O出发，沿OB以每秒2个单位的速度向点B运动；同时，动点Q从点B出发，沿BC以每秒1个单位的速度向点C运动．规定其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动．设运动时间为t（s），当t为何值时，PA=QA？
（3）在抛物线的对称轴上是否存在一点，使以，，为顶点的三角形是等腰三角 形？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）解：将x=0代入直线y=-2x+10得y=10，
将y=0代入直线y=-2x+10得x=5，
∴直线y=-2x+10与x轴交点的坐标A（5，0），与y轴交点坐标B（0，10） ．
∵抛物线经过原点，可设抛物线的函数表达式为y=ax2+bx ．
又∵抛物线过点A（5，0） ，C（8，4） ，
∴得方程组
解得 所以抛物线的函数表达式为 ；
∵A（5，0） ，B（0，10），C（8，4） ，
∴ ， ，
，
∴ ，
∴△ABC是直角三角形，且∠ACB=90° ．
（2）解：如图，由题意，得 ， ．
由（1）可得 ， ．
又∵PA=QA ，
∴Rt△AOP≌Rt△ACQ（HL） ，
∴ ，
∴ ，
解得 ，
即当 时，PA=QA.
（3）解： ，抛物线的对称轴为直线 ．设点 ．
①若BM=BA时，可得 ，
解得： ， ，
所以 ， ，
②若AM=AB时，可得 ，解得： ， ，
所以 ， ，
③若MA=MB时，可得 ，解得： ，
所以 ，此时点M恰好是线段AB的中点，构不成三角形，舍去，
综上，点M的坐标为： ， ， ，
25．如图，是的直径，弦，E是延长线上的一点，连接交于点F，连接.
（1）若的度数是，求的度数；
（2）求证：平分；
（3）若，，经过圆心，求的长.
（4）在（3）的前提下，连接，，交于点G，求的长.
【答案】（1）解：如图1中，连接，设交于H.
∵的度数是，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴.
（2）证明：∵是直径，，
∴
∴，
∵，，
∴，
∵，
∴，
即平分.
（3）解：如图2中，设交于H.
∵是直径，，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∵是直径，
∴，∴，
∴， ∴
∵，∴
∴.
（4）解：如下图所示，连接，，交于点G，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴.
26．如图，AB为⊙O的弦，P是优弧上的动点，PO交AB于点C，交⊙O于点D，作PF⊥AB，交OB于点E，交AB于点F，交⊙O于点G，连结CE．
（1）当∠A=∠AOC=30°时，求∠ECB的大小．
（2）当CE∥OA时，求证：==．
（3）当AC=CE，CF=FB时，求的值．
【答案】（1）解：∵ ∠A=∠AOC=30° ，
∴OC=AC，
设OC=AC=a，则可得OA=a，
∵OA=OB，
∴∠A=∠B=30°，
∴∠AOB=120°，
∴∠COB=∠AOB-∠AOC=90°，
∴∠POE=∠COB=90°，
∵ ∠A=∠AOC=30° ，
∴∠OCB=∠A+∠AOC=60°，
∵PF⊥AB，
∴∠PFC=90°，
∴∠P=30°，
在Rt△POE中，∠P=30°，OP=a，
∴OE=a，
∴OE=OC，
∴△OEC是等腰直角三角形，
∴∠OCE=45°，
∴∠ECB=∠OCB-∠OCE=15°.
（2）证明：连接PB、DG，
∵OA∥CE，
∴∠A=∠ECB，
∵OA=OB，
∴∠A=∠OBC，
∴∠OBC=∠ECB，
∴EC=EB，
∵PF⊥AB，
∴CF=BF，
∴PF是线段BC的垂直平分线，
∴PB=PC，
∴∠BPG=∠DPG，
∴= ，
∵PD是圆的直径，
∴∠PGD=90°，即DG⊥PF，
又PF⊥AB，
∴AB∥DG，
∴=，
∴==.
（3）解：连接CG，PA，PB，
∵CF=BF，PG⊥BC，
∴PG垂直平分BC，
∴PC=PB，EC=BE，
∴∠ECB=∠EBC，
∵OA=OB，
∴∠OAB=∠OBC，
∴∠ECB=∠OAB，
∴EC∥OA
∴，∠AOD=∠OCE；
由（2）可知∠APD=∠DPG=∠BPG，
设∠APD=∠DPG=∠BPG=α，
∵弧AD=弧AD，
∴∠AOD=2∠APD=∠OCE=2α，
∴∠AOD=∠OAC=2α
∴∠OCB=2∠OAC=4α，
∵弧BD=弧BD，
∴∠COB=2∠DPB=4α，
∴∠BOC=∠OCB，
∴BO=BC=r；
∵PD是直径，∠APD=∠DPG，圆是轴对称图形，
∴AC=CG，
∴AC=CE=CG；
设AC=CE=BE=a，则OE=r-a，
∴
解之：（取正）
经检验是原方程的根；
∴
27．已知△ABC内接于⊙O，AB=BC，AD⊥BC于点D．
（1）如图1，求证：∠ABC=2∠CAD；
（2）如图2，延长AD，交⊙O于点E，点F在线段AD上，DF=DE，过点F作FG⊥AC，垂足为点G，求证： AG=CG；
（3）如图3，在（2）的条件下，连接CE，点H在线段BD上，CH=CE，连接AH、OH，若AB=10， S△ABC=30，求线段OH的长.
【答案】（1）证明：设∠CAD=x，
∵AD⊥BC，
∴∠ADC=90° ，
∴∠C=90° -x，
∵AB= BC，
∴∠BAC=∠C=90° -x，
∴∠ABC=180°-(90°-x)-(90°-x)=2x，
∴∠ABC=2∠CAD；
（2）证明：连接CE、CF，
∵DE=DF，CD⊥AE，
∴CD垂直平分EF，
∴CE=CF，
∴∠CEF=∠CFE，
∵AC=AC'，
∴∠E=∠ABC=2∠CAD，
∴∠CFE=2∠CAD，
∵∠CFD=∠CAD+∠ACF，
∴∠CAD=∠ACF，
∴AF=CF，
∵FG⊥AC，
∴AG=CG；
（3）解：过O作ON⊥AB于点N，连接OB，作OT⊥BC于点T，
∵S△ABC=30，AB=BC= 10，
∴BC·AD=30．
∴AD=6，
在Rt△ABD中，BD2=AB2-AD2，即BD==8，
CD=BC-BD=2，
∴tan∠ABC=，
∵
∴∠E=∠ABC，
∴tan∠E=
∴DE=，
∴CE=
∵CH= CE，
∴CH=
∴TH=5-=
∵OB=OB，BN= BT，
∴Rt△BON≌Rt△BOT (HL)，
∴∠OBT=∠OBN=∠ABC=∠CAD，
∴tan∠OBT==tan∠CAD=
∴OT=
在Rt△OTH中，由勾股定理得：OH=，
28．如图，在△ABC中，AB＝BC，∠ABC＝90°，D是AB上一动点，连接CD，以CD为直径的⊙M交AC于点E，连接BM并延长交AC于点F，交⊙M于点G，连接BE．
（1）求证：点B在⊙M上．
（2）当点D移动到使CD⊥BE时，求BC：BD的值．
（3）当点D到移动到使＝30°时，求证：AE2+CF2＝EF2．
【答案】（1）证明：∵CD为⊙M的直径，
∴CM＝DM＝CD，
∵∠ABC＝90°，
∴BM＝CM＝DM＝CD，
∴点B在⊙M上．
（2）解：如图，连接DE，
∵CD为⊙M的直径，CD⊥BE，
∴∠DEC＝90°，＝，
∴∠DEA＝90°，BD＝DE，
∵AB＝BC，∠ABC＝90°，
∴∠A＝∠ACB＝45°，
∴∠ADE＝180°-∠A-∠AED＝45°，
∴∠ADE＝∠A＝45°，
∴AE＝DE，
∴AE＝DE＝DB，
∴AD＝=AE＝BD，
∴AB＝AD+BD＝（+1）BD，
∴BC＝AB＝（+1）BD，
∴BC：BD＝+1．
（3）证明：如图，连接EM，
由（2）知∠ECB＝45°，
又∵∠EMB＝2∠ECB，
∴∠EMB＝90°，
∴∠EMF＝90°，
∴EM2+MF2＝EF2，
∵弧CG=30°，
∴∠CMG=30°，
∴∠DME＝60°，
∵DM＝EM，
∴△DME是等边三角形，
∴DE＝EM，∠MDE＝60°，
由（2）知AE＝DE，
∴AE＝EM，
∵∠DEC＝90°，∠MDE＝60°，
∴∠DCE＝30°，
∴∠MCF＝∠FMC＝30°，
∴CF＝MF，
又∵EM2+MF2＝EF2，
∴AE2+CF2＝EF2．
29．如图1，E点为x轴正半轴上一点，交x轴于A、B两点，交y轴于C、D两点，P点为劣弧上一个动点，且、．
（1）的度数为 ；
（2）如图2，连结，取中点G，连结，则的最大值为 ；
（3）如图3，连接、、、．若平分交于Q点，求的长；
（4）如图4，连接、，当P点运动时（不与B、C两点重合），求证：为定值，并求出这个定值．
【答案】（1）120
（2）2
（3）解：直径，
，
，
平分，
，
，
，
，
，
；
（4）证明：由题可得，直径，
垂直平分CD，
如图4，连接AC，AD，则，
由（1）得，
将绕A点顺时针旋转至，
，
，，
四边形ACPD为圆内接四边形，
，
，
、D、P三点共线，
，
过A作于G，则，
，
在中，，
设，则，
，
，
，
，
为定值．
【解析】（1）连接CE，AC，
∵A(-1，0)，E(1，0)，
∴OA=OE=1，
ABCD，
CD垂直平分AE，
CA=CE，
CE=AE，
CA=CE=AE，
∠CEA=60°，
∠CEB=180°-∠CEA=120°，
的度数为120°
故答案为：120；
（2）连接PD，如图2，
∵AB为 直径，且ABCD，
∴CO=OD，
又G为PC的中点，
OGPD，且OG=PD，
当D，E，P三点共线时，此时DP取得最大值，且DP=AB=2AE=4，
OG的最大值为2；
故答案为：2；
30．定义：△ABC中，，则称△ABC为半余三角形，∠B叫做半余角．
（1）如图1，⊙O中，BC是直径，求证：△AOC为半余三角形．
（2）下列说法正确的是 ．
①半余三角形一定是钝角三角形；
②直角三角形不可能是半余三角形；
③任何直角三角形都能分割成两个半余三角形．
（3）如图2，⊙O中，BC是直径，AB=6，AC=8，点D是线段AC上一点（不与点A、点C重合），若△AOD为半余三角形，求OD的长．
（4）如图3，点E是直径BC上一点，△ABE为半余三角形，且∠BAE为半余角，过点E作EF⊥BC交AC于点F，若△ABC的面积为△AEF面积的7.5倍，求的值．
【答案】（1）证明：∵AO=BO，
∴∠B=∠OAB，
∵∠AOC=∠B+∠OAB=2∠B
∵BC是直径，
∴∠BAC=90°，
∴∠B＋∠C＝90°
∴ ∠AOC＋∠C＝90°，
∴△AOC为半余三角形
（2）③
（3）解：因为△AOD为半余三角形，所以△AOD一定是等腰三角形
当AＯ＝AD时ＯD＝
当AD＝DＯ时ＯD＝
（4）解：作AＱ⊥BC
∵△ABE为半余三角形∴△ABE为等腰三角形
∵∠BAE为半余角∴AB＝AE
设BQ＝QE＝1，AQ＝ｈ
∵BC是直径∴∠BAC＝90°
∴AＱ2＝BQ×QC
∴EC＝ｈ2－1
∵ ＝ ＝ ＝
＝ ＝ ∴ ＝ × ＝ ＝
∴ｈ2＝5或ｈ2＝ ∴ ＝ ＝ 或
【解析】（2）若在△ABC中，∠A=70°，∠B=40°，∠C=70°，
∴△ABC是锐角三角形，
∴∠A+∠B=90°，、
∴△ABC是半余三角形，故半余三角形不一定是钝角三角形，故①错误；
当△ACB时等腰直角三角形时即∠C=90°，∠A=∠B=45°，
∴∠A+∠C=90°，
∴等腰直角三角形是半余三角形，故②错误；
∵直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，
∴任何直角三角形都能分割成两个半余三角形，故③正确；
故答案为：③
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
21世纪教育网(www.21cnjy.com)中小学教育资源及组卷应用平台
【期中压轴题汇总（宁波）】浙教版九年级上数学综合训练
一、选择题（本大题有10小题）
下面每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的.
1．当-2≤x≤1时，关于x的二次函数y＝-（x-m）2+m2+1有最大值4，则实数m的值为（ ）
A．2 B．2或 C．2或或- D．2或或-
2．关于函数下列说法正确的是（ ）
A．无论m取何值，函数图象总经过点（1，0）和（-1，-2）
B．当时，函数图象与x轴总有2个交点
C．若，则当x＜1时，y随x的增大而减小
D．若m＞0时，函数有最小值是
3．如图，直线与y轴交于点A，与直线交于点B，以为边向右作菱形，点C恰与原点O重合，抛物线的顶点在直线上移动．若抛物线与菱形的边、都有公共点，则h的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
4．如图， 中， ， ， ，平行四边形内放着两个菱形，菱形 和菱形 ，它们的重叠部分是平行四边形 .已知三个阴影平行四边形的周长相等，那么平行四边形 的面积为（ ）
A． B． C． D．
5．如图，中，，点D是上一动点，连接，将线段绕点C逆时针旋转90°得到线段，连接，当面积最大时，的长为（ ）
A．2 B． C． D．
6．如图，点A，B的坐标分别为A（2，0），B（0，2），点C为坐标平面内一点，BC＝1，点M为线段AC的中点，连接OM，则OM的最大值为（ ）
A． B． C． D．
7．将一张以AB为边的矩形纸片，先沿一条直线剪掉一个直角三角形，在剩下的纸片中，再沿一条直线剪掉一个直角三角形（剪掉的两个直角三角形相似），剩下的是如图所示的四边形纸片 ，其中 ， ， ， ， ，则剪掉的两个直角三角形的斜边长不可能是（ ）
A． B． C．10 D．
8．如图，AB为⊙O的直径，AB=10，点C是AB上方半圆上的一点，点D是AB下方半圆上的点．连接AC，BC，AD，过点D作DE∥AB交CB的延长线于点E．若AD＝，则当下列哪种情况时，AC CE取得最大值. （ ）
A．CD取最大值时 B．AC⊥AD时
C．CD⊥DE时 D．OC⊥AB时
9．如图，是的直径，点，点是半圆上两点，连结，相交于点，连结，已知于点，下列结论：
；若点为的中点，则.若，则；；其中正确的是（ ）
A． B． C． D．
10．如图，是的直径，为半径，过点作交于点，连结，，，连结交于点，交于点，则下列结论：
①； ②若F为中点，则；
③作交于点，则； ④若，则；
其中正确的个数为（ ）
A．4个 B．3个
C．2个 D．1个
二、填空题（本大题有10小题）
要注意认真看清题目的条件和要填写的内容，尽量完整地填写答案.
11．由四个全等的直角三角形和一个小正方形组成的大正方形如图所示．将小正方形对角线双向延长，分别交边，和边的延长线于点G，H．若大正方形与小正方形的面积之比为5，，则大正方形的边长为 ．
12．如图，点D是等边△ABC边AB上的一点，且AD：DB＝2：3，现将△ABC折叠，使点C与D重合，折痕为EF，点E，F分别在AC和BC上，则CE：CF＝ ．
13．如图，在正方形ABCD中，点E在边AD上，把△ABE沿直线BE翻折得到△FBE，连接CF并延长交BE的延长线于点P.若AB=5，AE=1.则∠P= ，PC= .
14．如图，是的直径，为圆上一点，连结，D，E分别为，的中点，，若为弧上的三等分点，且靠近点，连结，则的最小值为 .
15．如图所示，在扇形OAB中，∠AOB＝90°，半径OA＝4，点F位于的处且靠近点A的位置.点C、D分别在线段OA、OB上，CD＝4，E为CD的中点，连接EF、BE.在CD滑动过程中（CD长度始终保持不变），当EF取最小值时，阴影部分的周长为 .
16．如图，正方形的边长为4，点分别在上，且，过三点作交于点G.在点F整个运动过程中，当中满足某两条线段相等时，的长为 .
17．如图，在 ABCD中，以AB为直径的⊙O与BC边的中点交于点E，与对角线AC交于点F，作EG⊥AC，垂足为M.若FA=3CF，则的值为 .
18．对于实数a，b，定义运算“*”：； ，关于x的方程 恰好有三个不相等的实数根，则m的取值范围是 ．
19．二次函数的图像与轴围成的封闭区域内（包括边界），横、纵坐标都是整数的点有 个（提示：必要时可利用上面的备用图画出图象来分析）.
20．如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝-x2+6x+c的对称轴与x轴交于点A，在直线AB：y＝kx+3上取一点B，使点B在第四象限，且到两坐标轴的距离和为7，设P是抛物线的对称轴上的一点，点Q在抛物线上，若以点A，B，P，Q为顶点的四边形为正方形，则c的值为 ．
三、解答题（本题有10小题）
解答应写出文字说明，证明过程或推演步骤.
21．
（1）【基础巩固】
如图1，在中，D，E分别在，上，连结DE，若，求证：.
（2）【尝试应用】
如图2，在中，在上取一点E，以为一边构造平行四边形，使点D，F恰好落在，上，连结，若，，，求的长.
（3）【拓展提高】
如图3，在中，在上取一点E，以为一边构造平行四边形，使点F恰好落在上，连结，，若，，，，求的长。
22．如图①，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝5，BC＝12，CD＝5，DE∥AB．将△EDC绕点C按顺时针方向旋转，记旋转角为α．
（1）①当α＝0°时，＝ ；②当α＝180°时，＝ ．
（2）试判断：当0≤α≤360°时，的大小有无变化？请仅就图②的情形给出证明．
（3）当△EDC旋转到A，D，E三点共线时，直接写出线段BD的长．
23．在平面直角坐标系中，抛物线y＝x2+（k-1）x-k与直线y＝kx+1交于A，B两点，点A在点B的左侧.
（1）如图1，当k＝1时，直接写出A，B两点的坐标；
（2）在（1）的条件下，点P为抛物线上的一个动点，且在直线AB下方，试求出△ABP面积的最大值及此时点P的坐标；
（3）如图2，抛物线y＝x2+（k-1）x-k（k＞0）与x轴交于点C、D两点（点C在点D的左侧），在直线y＝kx+1上是否存在唯一一点Q，使得∠OQC＝90°？若存在，请求出此时k的值；若不存在，请说明理由.
24．如图，在平面直角坐标系中，直线分别与轴、轴相交于，两点，点的坐标是，连结，．
（1）求过，，三点的抛物线的函数表达式，并判断的形状．
（2）动点P从点O出发，沿OB以每秒2个单位的速度向点B运动；同时，动点Q从点B出发，沿BC以每秒1个单位的速度向点C运动．规定其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动．设运动时间为t（s），当t为何值时，PA=QA？
（3）在抛物线的对称轴上是否存在一点，使以，，为顶点的三角形是等腰三角 形？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．
25．如图，是的直径，弦，E是延长线上的一点，连接交于点F，连接.
（1）若的度数是，求的度数；
（2）求证：平分；
（3）若，，经过圆心，求的长.
（4）在（3）的前提下，连接，，交于点G，求的长.
26．如图，AB为⊙O的弦，P是优弧上的动点，PO交AB于点C，交⊙O于点D，作PF⊥AB，交OB于点E，交AB于点F，交⊙O于点G，连结CE．
（1）当∠A=∠AOC=30°时，求∠ECB的大小．
（2）当CE∥OA时，求证：==．
（3）当AC=CE，CF=FB时，求的值．
27．已知△ABC内接于⊙O，AB=BC，AD⊥BC于点D．
（1）如图1，求证：∠ABC=2∠CAD；
（2）如图2，延长AD，交⊙O于点E，点F在线段AD上，DF=DE，过点F作FG⊥AC，垂足为点G，求证： AG=CG；
（3）如图3，在（2）的条件下，连接CE，点H在线段BD上，CH=CE，连接AH、OH，若AB=10， S△ABC=30，求线段OH的长.
28．如图，在△ABC中，AB＝BC，∠ABC＝90°，D是AB上一动点，连接CD，以CD为直径的⊙M交AC于点E，连接BM并延长交AC于点F，交⊙M于点G，连接BE．
（1）求证：点B在⊙M上．
（2）当点D移动到使CD⊥BE时，求BC：BD的值．
（3）当点D到移动到使＝30°时，求证：AE2+CF2＝EF2．
29．如图1，E点为x轴正半轴上一点，交x轴于A、B两点，交y轴于C、D两点，P点为劣弧上一个动点，且、．
（1）的度数为 ；
（2）如图2，连结，取中点G，连结，则的最大值为 ；
（3）如图3，连接、、、．若平分交于Q点，求的长；
（4）如图4，连接、，当P点运动时（不与B、C两点重合），求证：为定值，并求出这个定值．
30．定义：△ABC中，，则称△ABC为半余三角形，∠B叫做半余角．
（1）如图1，⊙O中，BC是直径，求证：△AOC为半余三角形．
（2）下列说法正确的是 ．
①半余三角形一定是钝角三角形；
②直角三角形不可能是半余三角形；
③任何直角三角形都能分割成两个半余三角形．
（3）如图2，⊙O中，BC是直径，AB=6，AC=8，点D是线段AC上一点（不与点A、点C重合），若△AOD为半余三角形，求OD的长．
（4）如图3，点E是直径BC上一点，△ABE为半余三角形，且∠BAE为半余角，过点E作EF⊥BC交AC于点F，若△ABC的面积为△AEF面积的7.5倍，求的值．
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
21世纪教育网(www.21cnjy.com)
