浙教版数学九年级上册3.5圆周角 精品同步练习（含解析）

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浙教版九年级上册数学 3.5圆周角 同步练习
(考试时间：60分钟 满分：100分）
选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分。下列各题的备选答案中，只有一项是最符合题意的，请选出。）
1.如图，四边形ABCD的顶点A，B，C在圆上，且边CD与该圆交于点E，AC，BE交于点F.下列角中，弧AE所对的圆周角是( )
A．∠ADE B．∠AFE C．∠ABE D．∠ABC
2.如图，是的直径，点在上，，则的大小为（　　）

A． B． C． D．
3.如图，在⊙O中，点是的中点，点在上，连接、、、．若，则的大小为（ ）
A．50° B．350° C．25° D．150°
4.如图，在中，圆心角，为劣弧上一点，则度数是（ ）
A． B．或 C． D．
5.如图，点A，B，C在⊙O上，若∠ACB=114°，则=( )
A．66° B．114° C．132° D．134°
6.如图，点，，均在坐标轴上，，过，，作，是上任意一点，连结，，则的最大值是（ ）
A．4 B．5 C．6 D．
7.如图在⊙O中，弦AB与CD交于点M，∠C=45°，∠AMD=75°，则∠D的度数是（ ）
A．15° B．25° C．30° D．75°
8.如图，⊙O的直径垂直于弦CD，垂足是E，∠A＝22.5°，⊙O的半径为4，CD的长为（ ）
A． B．4 C． D．8
9.如图，，，三点在已知的圆上，在中，，，是的中点，连接、，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
10.如图，动点在边长为2的正方形内，且，是边上的一个动点，是边的中点，则线段的最小值为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题（本大题共5小题，每小题4分，共20分。）
11.已知点、、、在圆上，且切圆于点，于点，对于下列说法：①圆上是优弧；②圆上是优弧；③线段是弦；④和都是圆周角；⑤是圆心角，其中正确的说法是 ．
12.如图，点A，B，C，D，E均在⊙O上，，，则______．
13.如图，的两条弦AE、BC相交于点D，连接AC、BE．若∠ACB=60°，则∠AEB=___________．
14.如图，⊙O是△ABC的外接圆，AO⊥BC于F，D为的中点，E是BA延长线上一点，若∠DAE＝，则∠CAD＝_______．
15.如图，已知正方形ABCD的边长为2，点M和N分别从B、C同时出发，以相同的速度沿BC、CD方向向终点C和D运动．连接AM，BN交于点P，则PC长的最小值为____________．　
三、解答题（本大题共5小题，每小题10分，共50分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）
16.如图，是圆的直径，是延长线上一点，点在圆上，且，的延长线交圆于点，若，求的度数.
17.如图，是的直径，弦、的延长交于点，于，连接、．
（1）求证：．
（2）连，若，求的半径．
18.如图，点，为中点，点．
（1）将线段绕点逆时针旋转得到线段，画出线段的位置，并直接写出的值；
（2）将点绕点逆时针旋转，用直尺或圆规画出点所经过的路径；
（3）延长交（2）中路径于点，用无刻度的直尺在（2）中的路径上找点，使，保留作图痕迹．
19.抛物线与轴交于点和（点在点的左侧），与轴交于点，，点在抛物线上．
（1）求抛物线的解析式．
（2）点，为任意实数，当变化时，点在直线上运动，若点，到直线的距离相等，求的值．
（3）为抛物线在第一象限内一动点，若∠AMB＞45°，求点的横坐标的取值范围．
20.如图，中，，以为直径作，交于点，交于点．
（1）求证：．
（2）若，求的度数．
参考答案
选择题
1.【答案】C
【分析】直接运用圆周角的定义进行判断即可.
【详解】解：弧AE所对的圆周角是：∠ABE或∠ACE
故选：C
2.【答案】C
【分析】先根据圆周角定理可得，再由平角的定义可得，进行计算即可得到答案．
【详解】解：是的直径，，
，
∵，
，
故选：C．
3.【答案】C
【分析】
连接OC，如图，利用得到∠AOB=∠BOC=50°，然后根据圆周角定理得到∠BDC的度数．
【详解】
解：连接OC，如图，
∵点B是的中点，
∴
∴，
∴,
故选：C．
4.【答案】D
【分析】
作所对的圆周角∠ACB，如图，利用圆周角定理得∠ACB=50°，然后根据圆内接四边形的性质计算出∠APB的度数．
【详解】
解：作所对的圆周角∠ACB，如图：
根据圆周角定理得
∵∠ACP+∠APB=180°，
∴∠APB=180°-50°=130°．
故选：D．
5.【答案】C
【分析】
根据圆周角定理求出优弧所对的圆心角的度数，就可以求出的度数．
【详解】
解：∵，
∴优弧所对的圆心角是，
∴．
故选：C．
6.【答案】C
【分析】
连接，，如图，利用圆周角定理可判定点在上，易得，，，，，设，则，由于表示点到原点的距离，则当为直径时，点到原点的距离最大，由于为平分，则，利用点在圆上得到，则可计算出，从而得到的最大值．
【详解】
解：连接，，如图，
，
为的直径，
点在上，
，
，，，，，
设，
，
而表示点到原点的距离，
当为直径时，点到原点的距离最大，
为平分，
，
，
，
即
，
此时，
即的最大值是6．
故选：．
7.【答案】C
【分析】
由三角形外角定理求得∠CAB的度数，再由圆周角定理可求∠D的度数．
【详解】
∵∠C=45°，∠AMD=75°，
∴∠CAB=∠AMD-∠C=75°-45°=30°，据同弧所对的圆周角相等得
∠D=∠CAB=30°，
故选：C．
8.【答案】C
【分析】
连接OC，由题意易得，然后根据垂径定理及勾股定理可求解．
【详解】
连接OC，如图所示：
∵，
∴（同弧所对的圆周角等于圆心角的一半），
∴是等腰直角三角形，又因为是斜边，且，
∴直角边，
又∵，
∴E是中点，
∴；
故选C．
9.【答案】A
【分析】
根据三角形内角和求出∠A，根据圆周角定理求出∠D，进而可得∠DBC=∠DCB，然后根据三角形的内角和定理可求解．
【详解】
解：∵在△ABC中，∠ABC=70°，∠ACB=30°，
∴∠A=180°-∠ABC-∠ACB=80°，
∴∠D=∠A=80°，
∵点D是的中点，
∴，
∴∠DBC=∠DCB，
∴∠DBC=，
故选A．
10.【答案】A
【分析】
作点E关于DC的对称点E，设AB的中点为点O，连接OE，交DC于点P，连接PE，由轴对称的性质及90°的圆周角所对的弦是直径，可知线段PE＋PM的最小值为OE的值减去以AB为直径的圆的半径OM，根据正方形的性质及勾股定理计算即可．
【详解】
解答：解：作点E关于DC的对称点E，设AB的中点为点O，连接OE，交DC于点P，连接PE，如图：
∵动点M在边长为2的正方形ABCD内，且AM⊥BM，
∴点M在以AB为直径的圆上，OM＝AB＝1，
∵正方形ABCD的边长为2，
∴AD＝AB＝2，∠DAB＝90°，
∵E是AD的中点，
∴DE＝AD＝×2＝1，
∵点E与点E关于DC对称，
∴DE＝DE＝1，PE＝PE，
∴AE＝AD＋DE＝2＋1＝3，
在Rt△AOE中，OE＝＝＝，
∴线段PE＋PM的最小值为：
PE＋PM
＝PE＋PM
＝ME
＝OE OM
＝ 1．
故选：A．
填空题
11.【答案】①②③⑤
【分析】根据优弧的定义，弦的定义，圆周角的定义，圆心角的定义逐项分析判断即可
【详解】解：，都是大于半圆的弧，故①②正确，
在圆上，则线段是弦；故③正确；
都在圆上，
是圆周角
而点不在圆上，则不是圆周角
故④不正确；
是圆心，在圆上
是圆心角
故⑤正确
故正确的有：①②③⑤
故答案为：①②③⑤
12.【答案】54°
【分析】
连接OB，根据圆周角定理可得∠BOC=2∠A=60°，从而求出∠BOD，然后根据圆周角定理即可求出结论．
【详解】
解：连接OB
∵
∴∠BOC=2∠A=60°
∴∠BOD=∠BOC＋∠COD=108°
∴∠E=∠BOD=54°
故答案为：54°．
13.【答案】60°
【分析】
利用同弧所对圆周角性质即可．
【详解】
∵∠ACB与∠AEB都是圆周角，且都是所对的圆周角，
∴∠ACB=∠AEB，
∵∠ACB=60°，
∴∠AEB=60 ．
故答案为：60 ．
14.【答案】
【分析】
根据垂径定理由得 ，根据圆周角定理得，而由得，所以 ， ，再根据圆内接四边形的性质得到，于是，从而得到∠CAD的度数．
【详解】
解：∵，
∴，
∴，
∵D为的中点，
∴，
∴，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴．
故答案为：36°．
15.【答案】
【分析】
根据题意和正方形的性质可利用SAS证明△ABM≌△BCN，得出∠BAM＝∠CBN，进而可证出∠APB＝90°，于是可得点P在以AB为直径的圆上运动，运动路径是弧BG，连接OC交圆O于P，如图，则此时PC最小，进一步即可求解．
【详解】
解：由题意得：BM＝CN，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠ABM＝∠BCN＝90°，AB＝BC＝2，
在△ABM和△BCN中，
∵AB＝BC，∠ABM＝∠BCN，MB＝CN，
∴△ABM≌△BCN（SAS），
∴∠BAM＝∠CBN，
∵∠ABP+∠CBN＝90°，
∴∠ABP+∠BAM＝90°，
∴∠APB＝90°，
∴点P在以AB为直径的圆上运动，设圆心为O，运动路径是弧，是这个圆的，如图所示：
连接OC交圆O于P，此时PC最小，
∵AB＝2，
∴OP＝OB＝1，
由勾股定理得：OC＝，
∴PC＝OC﹣OP＝；
故答案为：．
解答题
16.【答案】
【分析】连接OD，利用半径相等和等腰三角形的性质求得∠EDO，从而利用三角形的外角的性质求解．
【详解】连接OD，
∵CD=OA=OD, ，
∴∠ODE=2，
∵OD=OE，
∴∠E=∠EDO=，
∴∠EOB=∠C+∠E=.
17.【答案】（1）见解析；（2）的半径为．
【分析】
（1）连接AC，根据“同角的余角相等”先证明∠F＝∠BAC，再由∠BEC＝∠BAC即可证得结论；
（2）连接AE，设OA＝OE＝r．首先证明AE＝EC＝13，再由垂径定理得EH，利用勾股定理求出AH，在Rt△OHE中，再次利用勾股定理可求出的半径．
【详解】
（1）证明：如图，连接AC．
∵AB是直径，
∴∠ACB＝90°．
∵AB⊥DE，
∴∠BHF＝90°．
∴∠F＋∠ABC＝90°，∠BAC＋∠ABC＝90°．
∴∠F＝∠BAC．
∵∠BEC＝∠BAC，
∴∠BEC＝∠F．
（2）解：如图，连接AE，
∵OE∥BC，
∴∠OEB＝∠EBC．
∵OB＝OE，
∴∠OBE＝∠OEB．
∴∠OBE＝∠EBC．
∴AE＝EC＝13．
∵AB⊥DE，
∴DH＝EH＝12．
在Rt△AEH中，AH＝．
在Rt△OEH中，设OA＝OE＝r，则OH＝r 5．
由勾股定理得：OE2＝OH2＋EH2．
∴r2＝122＋（r 5）2．
解得，
∴的半径为．
18.【答案】（1）作图见解析，；（2）作图见解析；（3）作图见解析．
【分析】
（1）根据旋转的定义作图即可得线段AP，再利用勾股定理求出AP、PB的长可得答案；
（2）以C为圆心、CB为半径作图即可得；
（3）延长BP，交路径L于点F，由AP=PB知∠PAB=∠PBA，从而得出其所对圆周角相等，据此连接EF即可得．
【详解】
解：（1）如图所示，线段AP即为所求，
∵AP=，PB= ，∴=1；
（2）如图所示，半圆即为路径L；
（3）如图所示，EF即为所求．
19.【答案】（1）；（2）或；（3）3＜＜1＋．
【分析】
（1）根据OB＝OC，得点B（ c，0），将D（2，－3） ，B（ c，0）代入抛物线表达式并解得，，此题即可求解；
（2）分两种情况：①AD在两侧时，证明△AGE≌△DHE，则AE＝DE，由中点坐标与函数关系式即可求得k值；②AD在同侧时，则AD∥ ，利用待定系数法可得 ，则，即可求解k值；
（3）若∠AMB＝45°，作过点A、B、M三点的圆R，根据圆的性质可得△ARB为等腰直角三角形，设点M（t，s），则RM2＝（1 t）2＋（s 2）2＝8，可得t2 2t 3＝4s s2，即s＝4s s2，求得s后再利用s＝t2 2t 3求得t值，从而可得出的取值范围．
【详解】
解：（1）∵OB＝OC，则点B（ c，0）．
将D（2，－3） ，B（ c，0）代入得：
，
即，
解得，
故抛物线的表达式为：；
（2）∵点，则直线的表达式为：．
∵，则点A（－1，0），B（3，0），C（0，－3）．
①当AD在两侧时，如图，连接AD交于E，作AG⊥于G，作DH⊥于H，
∴AG＝DH．
∵∠AGE＝∠DHE，∠AEG＝∠DEH，
∴△AGE≌△DHE(AAS)．
∴AE＝DE．
即点E为AD的中点．
∵A（－1，0），D（2，－3），
∴点E（，）在，
∴
∴；
②当AD在同侧时，如图，则AD∥ ，
∵设，由A（－1，0），D（2，－3）得：
，
解得，
∴．
∴
∴
综上所述：或；
（3）若∠AMB＝45°，作过点A、B、M三点的圆R，圆心为R，
则∠ARB＝90°，故△ARB为等腰直角三角形．
∴点R（1，2），圆的半径为AR＝BR＝．
设点M（t，s），
则s＝t2 2t 3．
∵MR＝AR，
即MR2＝（1 t）2＋（s 2）2＝8．
∴t2 2t 3＝4s s2．
即s＝4s s2．
解得s1＝0（舍去0），s2＝3．
∴t2 2t 3＝3．
解得t１＝1＋ ，t２＝1－（舍去）．
∵点M在第一象限，故＞3，
故的取值范围为：3＜＜1＋．
20.【答案】（1）证明见解析；（2）80°
【分析】
（1）连接AD，根据圆周角定理和等腰三角形的三线合一，可得，利用相等的圆周角所对的弧相等即可得证；
（2）连接BE，利用同弧所对的圆周角相等可得，再利用等腰三角形的性质可求得利用圆周角定理即可求解．
【详解】
解：（1）连接AD，
，
∵为的直径，
∴，即，
∵在中，，
∴，
∴；
（2）连接BE，
，
∵，
∴，，
∵，
∴，
∴的度数为．
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