浙教版数学九年级上册3.4圆心角 精品同步练习（含解析）

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浙教版九年级上册数学 3.4圆心角 同步练习
(考试时间：60分钟 满分：100分）
选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分。下列各题的备选答案中，只有一项是最符合题意的，请选出。）
1.下列说法正确的是
A.直径是圆的对称轴 B.经过圆心的直线是圆的对称轴
C.与圆相交的直线是圆的对称轴 D.与半径垂直的直线是圆的对称轴
2.下列说法不正确的是（ ）
A．圆是中心对称图形，圆心就是对称中心
B．垂直于弦的直径一定平分这条弦
C．相等的弧所对的弦一定相等，反过来，相等的弦所对的弧也一定相等
D．圆是轴对称图形，任意一条通过圆心的直线都是它的对称轴
3.如图，将命题“在同圆中，相等的弧所对的圆心角相等，所对的弦也相等”改写成“已知……求证……”的形式，下列正确的是（ ）
A．已知：在⊙O中，＝．求证：∠AOB＝∠COD，AD＝BC．
B．已知：在⊙O中，＝．求证：∠AOB＝∠COD，AB＝CD．
C．已知：在⊙O中，＝，∠AOB＝∠COD．求证：AD＝BC．
D．已知：在⊙O中，＝，∠AOB＝∠COD．求证：AB＝CD．
4.在⊙O中，弦和弦，如果，下列正确的是（ ）
A．弧AB=弧CD×2 B．弧AB>弧CD×2 C．弧AB<弧CD×2 D．无法确定
5.与半径相等的弦所对的圆心角的度数为（ ）
A．30° B．45° C．60° D．90°
6.下列说法正确的是（ ）
A．相等的弦所对的圆心角相等 B．平分弦的直径垂直于弦并平分弦所对的弧
C．等弧所对的弦相等 D．三角形的外心是三条角平分线的交点
7.如图所示，⊙O的弦AB、AC的夹角为50°，M、N分别是、的中点，则∠MON的度数是（ ）
A．100° B．110° C．120° D．130°
8.如图，是的直径，，， 则的度数是（ ）．
A．52° B．57° C．66° D．78°
9.如图所示，MN为⊙O的弦，∠N=52°，则∠MON的度数为（ ）
A．38° B．52° C．76° D．104°
10.如图，四边形是的内接四边形，若，则的度数为（ ）

A. B. C. D.
二、填空题（本大题共5小题，每小题4分，共20分。）
11.如图，点A，点B，点C在⊙O上，分别连接AB，BC，OC．若AB＝BC，∠B＝40°，则∠OCB＝________．
12.如图，是的直径，四边形内接于，若，则的周长为_____________（结果保留）．
13.如图，在中，，以为直径作，分别交、于点E、F，则弧的度数为________°．
14.如图，是的直径，，点、是弧的三等分点，则 ___________．
15.在中，，截三边所得的线段相等，那么的度数是___________．
三、解答题（本大题共5小题，每小题10分，共50分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）
16.如图是一个管道的横截面，圆心O到水面AB的距离OD是3，水面宽AB＝6．
（1）求这个管道横截面的半径．
（2）求∠AOB的度数．
17.如图，已知：AC、BD是⊙O的两条弦，且AC＝BD，求证：AB＝CD．
18.如图，、、、是上的四点，．求证：．
19.如图，中，弦AB，CD相交于点E，且，连结AC，BD，求证：．
20.如图1，中，，，为内一点，将绕点按逆时针方向旋转角得到，点的对应点分别为点，且三点在同一直线上．
（1）填空：______（用含的代数式表示）；
（2）如图2，若，请补全图形，再过点作于点，然后探究线段，，之间的数量关系，并证明你的结论；
（3）如图3，若，，直接写出四边形面积的最大值______．
参考答案
选择题
1.【答案】B
【解析】如图，直线与相交，直线过圆心直线 ，直线垂直于的半径.
项，对称轴是一条直线，直径是一条线段，直径所在的直线才是圆的对称轴，故项错误；
项，经过圆心的直线是圆的对称轴，故项正确；
项，与圆相交的直线不一定是圆的对称轴，不过圆心就不是对称轴，
如图，直线 不是的对称轴，故项错误；
项，与半径垂直的直线不一定是圆的对称轴，不过圆心就不是对称轴，
如图，直线不是的对称轴，故项错误. 故选.
2.【答案】C
【分析】
根据圆的基本性质、垂径定理等进行逐一判断即可．
【详解】
A．圆是中心对称图形，圆心就是对称中心，故本选项正确；
B．垂直于弦的直径一定平分这条弦符合垂径定理，故本选项正确；
C．只有在同圆或等圆中，相等的弧所对的弦一定相等，反过来，相等的弦所对的弧也一定相等，故本小题错误；
D．圆是轴对称图形，任意一条通过圆心的直线都是它的一条对称轴，故本选项正确．
故选：C．
3.【答案】B
【分析】
由题意可知，已知条件只有一个弧相等，而求证的结论有两个；再根据选项中给出的弧，正确的找到弧所对的圆心角和弦，即可选出答案．
【详解】
A．所对的圆心角应为∠AOD，所对的圆心角应为∠BOC，相等的圆心角应为，故A选项错误；
B．所对的圆心角为∠AOB、所对的弦为AB，所对的圆心角为∠COD、所对的弦为CD，故B选项正确；
C．由题意可知，已知条件只有一个弧相等，而求证的结论有两个，故C选项错误；
D．由题意可知，已知条件只有一个弧相等，而求证的结论有两个，故D选项错误．
故选：B．
4.【答案】B
【分析】
可根据题意画出图形，再根据圆周角、弧、弦之间的关系和三角形的三边关系进行推导即可．
【详解】
解：如图，设，
则AM=BM，即AB＜AM+BM=2AM，
∴当AB＜2AM时，，
∴当AB=2CD时， ＞，
故选：B．
5.【答案】C
【分析】
画出符合题意的几何图形，证明△OAB是等边三角形即可得到此弦所对圆心角的度数．
【详解】
如图，
∵OA=OB=AB，
∴△OAB是等边三角形，
∴∠AOB=60°．
∴与半径相等的弦所对的圆心角的度数为60°．
故选：C．
6.【答案】C
【分析】
根据同圆中，圆心角与弦的关系，弧与弦的关系，垂径定理及外心定义逐一判定即可．
【详解】
A选项：在同圆或等圆中相等的弦所对的圆心角相等，故A错误；
B选项：平分弦（非直径）的直径垂直于弦并平分弦所对的弧，故B错误；
C选项：等弧所对的弦相等，故C正确；
D选项：三角形的外心是三边垂直平分线的交点，故D错误．
故选C．
7.【答案】D
【分析】
由M、N分别是、的中点，利用垂径定理的推论由OM⊥AB，ON⊥AC，利用四边形内角和即可求出．
【详解】
∵M、N分别是、的中点，
∴OM⊥AB，ON⊥AC，
∴∠AEO=∠AFO=90 ，
∵∠EAF=50 ，
∴∠MON=360 -∠AEO-∠AFO-∠EAF=360 -90 -90 -50 =130 ，
故选择：D．
8.【答案】C
【分析】
根据弧与圆心角的关系，即可求得∠BOC=∠COD=∠DOE=38°，得出∠BOE=114°，从而求得∠AOE=66°．
【详解】
∵AB是⊙O的直径，，∠COD=38°，
∴∠BOC=∠COD=∠DOE=38°．
∴∠BOE=114°，
∴∠AOE=180°-114°=66°．
故选：C．
9.答案】C
【分析】
根据半径相等得到OM=ON，则∠M=∠N=52°，然后根据三角形内角和定理计算∠MON的度数．
【详解】
∵OM=ON，
∴∠M=∠N=52°，
∴∠MON=180°-2×52°=76°．
故选C．
10.【答案】B
【解析】根据圆内接四边形的性质求出的度数，根据圆周角定理解答．
【解答】
解：∵ 四边形是的内接四边形，
∴ ，
∴ ，
由圆周角定理得，. 故选．
填空题
11.【答案】20°
【分析】
连接AO，BO，然后根据等弦对等圆心角得到∠BOC=∠AOB，再根据三角形内角和得到∠OBA=∠OBC，再由∠ABC=40°，OB=OC，即可得到结果．
【详解】
解：如图，连接AO，BO，
∴OA=OB=OC，
∴∠OBC=∠OCB，∠OAB=∠OBA，
∵AB=BC，
∴∠BOC=∠AOB，
∴，
∵∠ABC=40°，OB=OC，
∴∠OCB=∠OBC=20°．
故答案为：20°．
12.【答案】
【分析】
连接OD、OC，求出∠AOD=∠COD=∠BOC=，证得△AOD、△COD、△BOC都是等边三角形，得到OA=OB=BC=4cm，利用圆的周长公式求出答案.
【详解】
如图，连接OD、OC，
∵，是的直径，
∴∠AOD=∠COD=∠BOC=,
∵OA=OD=OC=OB，
∴△AOD、△COD、△BOC都是等边三角形，
∴OA=OB=BC=4cm，
∴的周长=（cm），
故答案为：.
13.【答案】70
【分析】
连接OF，求出∠C和∠CFO度数，求出∠COF，即可求出弧CF度数．
【详解】
解：如图，连接OF，
∵∠A＝70°，∠B＝55°，
∴∠C＝180° ∠A ∠B＝55°，
∵OC＝OF，
∴∠CFO＝∠C＝55°，
∴∠COF＝180° ∠C ∠CFO ＝70°，
∴弧CF的度数是70°．
故答案为：70．
14.【答案】112°．
【分析】
根据∠AOE的度数求出∠BOE的度数，根据圆心角、弧、弦的关系定理解答即可．
【详解】
∵∠AOE=78°，AB是⊙O的直径，点C、D是弧BE的三等分点
∴∠BOE=180°﹣78°=102°．
∵点C、D是弧BE的三等分点，
∴∠BOD102°=68°．
∠AOD=180 -68 =112
故答案为：112°．
15.【答案】110
【分析】
如图，DE=FG=MN，作OK⊥DE于K，OH⊥FG于H，OP⊥MN于P，连接OB、OC，利用圆心角、弧、弦和弦心距的关系可得到OK=OH=OP，则根据角平分线定理的逆定理得到OB平分∠ABC， OC平分∠ACB，根据三角形内角和定理计算∠BOC得度数.
【详解】
解：如图，DE=FG=MN，作OK⊥DE于K，OH⊥FG于H，OP⊥MN于P，连接OB、OC，∵DE=FG=MN，
∴OK=OH=OP
∴ OB平分∠ABC， OC平分∠ACB，
∵∠A＝40°，
∴∠ABC+∠ACB=180°－40°＝140°
∴∠OBC＋∠OCB＝（∠ABC+∠ACB）=×140°＝70°
∴∠BOC＝180°－70°＝110°
故答案为：110°
解答题
16.【答案】（1）；
（2）90°．
【解答】解：（1）如图，连接OA，
∵AB＝6，OD⊥AB，
∴AD＝3，
∵OD＝3，
∴△OAD是等腰直角三角形，
在Rt△AOD中，，
∴这个管道横截面的半径为；
（2）在等腰直角△ADO中，∠AOD＝45°，
在等腰直角△BDO中，∠BOD＝45°，
∴∠AOB＝∠AOD+∠BOD＝45°+45°＝90°，
∴∠AOB＝90°．
17.【答案】证明见解析
【分析】
利用圆心角，弧，弦之间的关系解决问题即可．
【详解】
证明：∵AC=BD
∴
∴
∴
∴AB=CD
18.【答案】见解析
【分析】
根据圆心角、弧、弦的关系由AB=CD得到从而得出
【详解】
证明：∵
∴
∴
∴
19.【答案】证明见解析．
【分析】
由AB＝CD，根据弧与弦的关系，可得，继而证得，则可证得AC＝BD．
【详解】
证明：∵，
∴．
∴．
即．
∴．
20.【答案】（1）；（2）；证明见解析；（3）．
【分析】
（1）由旋转的性质可得，，即可求解；
（2）由旋转的性质可得，，，可证是等边三角形，由等边三角形的性质可得，即可求解；
（3）如图3中，过点作交的延长线于，设交于．证明，推出点在以为直径的圆上运动，即图中上运动，当时，四边形的面积最大，此时，分别求出，的面积即可解决问题．
【详解】
解：（1）如图1中，
将绕点按逆时针方向旋转角得到
，
．
故答案为：．
（2）
理由如下：如图2中，
将绕点按逆时针方向旋转角得到
，，
是等边三角形，且
．
（3）如图3中，过点作交的延长线于，设交于．
绕点按逆时针方向旋转得到，
，
，
，
，
点在以为直径的圆上运动，即图中 上运动，当时，四边形的面积最大，此时，
，，
，
，
，
，
，
，设，则，
在中，，
，
，
，
．
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