浙教版数学九年级上册3.6圆内接四边形 精品同步练习（含解析）

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浙教版九年级上册数学 3.6圆内接四边形 同步练习
(考试时间：60分钟 满分：100分）
选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分。下列各题的备选答案中，只有一项是最符合题意的，请选出。）
1.下列图形分别绕某个点旋转120°后不能与自身重合的是（　　）
A． B． C． D．
2.如图，四边形内接于，，则的度数（ ）
A． B．
C． D．
3.在⊙O中，AB为直径，点C为圆上一点，将劣弧沿弦AC翻折交AB于点D，连结CD．如图，若点D与圆心O不重合，∠BAC＝25°，则∠BDC的度数（ ）
A．45° B．55° C．65° D．70°
4.圆内接四边形中，四个角的度数比可顺次为（ ）
A． B． C． D．
5.如图，在圆内接四边形中，若，则（ ）
A．40° B．130° C．120° D．150°
6.如图，四边形是的内接四边形，，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
7.如图，已知点，是以为直径的半圆上的两个点，且，下列结论中不一定成立的是（ ）
A． B．
C． D．
8.如图，A，B，C三点在上，若，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
9.如图，点为线段的中点，点，，到点的距离相等，则与的数量关系为（ ）
A． B． C． D．
10.如图，矩形ABCD中，AB＝3，BC＝8，点P为矩形内一动点，且满足∠PBC＝∠PCD，则线段PD的最小值为（　　）
A．5 B．1 C．2 D．3
填空题（本大题共5小题，每小题4分，共20分。）
11.如图，⊙O中，∠ACB = 110 ，则∠AOB=______．
12.如图，四边形ABCD内接于⊙O，若四边形OABC为平行四边形，则∠D＝　 度．
13.如图，在圆的内接五边形中，，则_______°．
14.如图，四边形是的内接四边形，是延长线上的一点，那么的度数为_______________________
15.如图，AC是圆内接四边形ABCD的一条对角线，点D关于AC的对称点E在边BC上，连接AE，若∠ABC＝64°，则∠BAE的度数为____．
三、解答题（本大题共5小题，每小题10分，共50分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）
16.如图，已知圆内接四边形的边长分别为，，，求四边形的面积．
17.如图1，已知，，以边为直径的交于点，交于点，连接．
（1）求证：．
（2）如图2，连接，将绕点逆时针旋转，使的两边分别交的延长线于点的延长线于点．试探究线段的数量关系．
18.如图，已知是的直径，弦于点是上的一点，的延长线相交于点．
（1）若的半径为，且，求弦的长．
（2）求证：．
19.如图，已知A、B、C、D四点都在⊙O上．
（1）若∠ABC=120°，求∠AOC的度数；
（2）在（1）的条件下，若点B是弧AC的中点，求证：四边形OABC为菱形．
20.如图，四边形内接于，，，垂足为．
（1）若，求的度数；
（2）求证：．
参考答案
选择题
1.【答案】D
【解答】解：A、等边三角形绕它的中心旋转120°能与本身重合，本选项不符合题意．
B、圆绕圆心旋转任意角度能与本身重合，本选项不符合题意．
C、这个图形绕中心性质120°能与本身重合，本选项不符合题意．
D、五角星绕中心旋转72°与本身重合，本选项符合题意．
故选：D．
2.答案】A
【分析】
根据圆内接四边形的性质可得∠EDB=∠A=，然后根据同弧所对圆周角和圆心角的关系可求解．
【详解】
解：∵四边形内接于，，
∴∠EDB=∠A=，
∴，
故选A．
3.【答案】C
【分析】
连接BC，求出∠B＝65°，根据翻折的性质，得到∠ADC+∠B＝180°，进而得到∠BDC=∠B＝65°．
【详解】
解：连接BC，
∵AB是直径，
∴∠ACB＝90°，
∵∠BAC＝25°，
∴∠B＝90°﹣∠BAC＝90°﹣25°＝65°，
根据翻折的性质，所对的圆周角为∠B，所对的圆周角为∠ADC，
∴∠ADC+∠B＝180°，
∴∠BDC=∠B＝65°，
故选：C．
4.【答案】B
【分析】
根据圆内接四边形的对角互补，可知两组相对的角比例和相等，即可判断结果．
【详解】
解：∵圆内接四边形的对交互补，即相加等于180°，
故：A选项：4+2≠3+1，错误；
B选项：4+1=3+2，正确；
C选项：4+3≠2+1，错误；
D选项：4+3≠1+2，错误．
故：选B．
5.【答案】B
【分析】
根据圆内接四边形的对角互补解答.
【详解】
∵四边形是圆内接四边形，
∴∠B+∠D=，
∵，
∴130°，
故选：B.
6.【答案】C
【分析】
根据圆内接四边形的性质求出∠C的度数，根据圆周角定理计算即可．
【详解】
解：∵四边形ABCD为⊙O的内接四边形，∠A＝125°，
∴∠C＝180° ∠A＝55°，
∴∠BOD＝2∠C＝110°．
故选：C．
7.【答案】B
【分析】
根据圆的性质，内接四边形和平行线的性质对选项逐一判定即可．
【详解】
A、∵，
∴AC=BD，故本选项成立；
B、要使，则，即AC=CD，根据题意无法得出这个条件，故本选项不成立；
C、∵四边形ABCD是圆的内接四边形，
∴，故本选项成立；
D、∵，
∴∠CBA=∠DCB，
∴；
故选：B．
8.【答案】D
【分析】
在优弧AB上取一点D，连接AD、BD，根据圆内接四边形的性质计算可得∠D，然后根据圆周角定理即可求解．
【详解】
解：在优弧AB上取一点D，连接AD、BD，
∵四边形ADBC是⊙O的内接四边形，
∴∠D+∠ACB=180°，
∵
∴∠D=60°
∴∠AOB=120°，
故选：D．
9.【答案】D
【分析】
根据题意得到四点A、B、C、D共圆，利用圆内接四边形对角互补即可．
【详解】
解：由题意得到OA=OB=OC=OD，作出圆O，如图所示，
∴四边形ABCD为圆O的内接四边形，
∴∠A+∠C=180°．
故选D．
10.【答案】B
【解答】解：∵四边形ABCD为矩形，
∴∠BCD＝90°，
∵∠PBC＝∠PCD，
∴∠PBC+∠PCB＝90°，
∴∠BPC＝90°，
∴点P在以BC为直径的⊙O上，
连接OD交⊙O于P′，连接OP、PD，如图，
∵PD≥OD﹣OP（当且仅当O、P、D共线时，取等号），
即P点运动到P′位置时，PD的值最小，最小值为DP′，
在Rt△OCD中，OC＝BC＝4，CD＝AB＝3，
∴OD＝＝5，
∴DP′＝OD﹣OP′＝5﹣4＝1，
∴线段PD的最小值为1．
故选：B．
填空题
11.【答案】
【分析】
在优弧上任取一点，连接、，先由圆内接四边形的性质求出的度数，再由圆周角定理求出的度数即可．
【详解】
解：在优弧上任取一点，连接、，如图：
∵四边形内接于，
∴
∴．
故答案是：
12.【答案】见试题解答内容
【解答】解：∵四边形ABCD内接于⊙O，
∴∠D+∠B＝180°，
由圆周角定理得，∠D＝∠AOC，
∵四边形OABC为平行四边形，
∴∠AOC＝∠B，
∴2∠D＝180°﹣∠D，
解得，∠D＝60°，
故答案为：60．
13.【答案】220
【分析】
连接CE，根据圆内接四边形对角互补可得∠B+∠AEC=180°，再根据同弧所对的圆周角相等可得∠CED=∠CAD，然后求解即可．
【详解】
解析：连接CE，
∵五边形ABCDE是⊙O的内接五边形，
∴四边形ABCE是⊙O的内接四边形，
∴∠B＋∠AEC＝180°，
∵∠CED＝∠CAD＝40°，
∴∠B＋∠AED＝180°＋40°＝220°
14.【答案】
【分析】
先根据补角的性质求出∠ABC的度数，再由圆内接四边形的性质求出∠AEC的度数，由圆周角定理即可得出∠AOC的度数．
【详解】
解：∵∠ABD＝40°，
∴∠ABC＝180° ∠ABD＝180° 40°＝140°，
∵四边形ABCE为⊙O的内接四边形，
∴∠AEC＝180° ∠ABC＝180° 140°＝40°，
∴∠AOC＝2∠AEC＝2×40°＝80°．
故答案为：80．
15.【答案】52°
【分析】
根据圆内接四边形的性质可得∠ADC的度数，由折叠可知∠AEC＝∠ADC＝116°，再根据“三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和”可求∠BAE．
【详解】
解：∵圆内接四边形ABCD，∠ABC＝64°，
∴∠ADC＝180° ∠ABC＝116°．
∵点D关于AC的对称点E在边BC上，
∴∠AEC＝∠ADC＝116°．
∴∠BAE＝∠AEC －∠ABC ＝116° 64°＝52°．
故答案为：52°．
解答题
16.【答案】8
【分析】
连接BD，延长BC到E,使CE=AB=2，连接DE，然后证明△ABD≌△CED，得出四边形ABCD的面积与三角形BDE的面积相等，最后利用三角形的面积公式求解即可．
【详解】
解：连接BD，延长BC到E,使CE=AB=2，连接DE，过点D作DF⊥BC，垂足为F，
∵圆内接四边形，
∴∠A+∠BCD=∠DCE+∠BCD，
∴∠A=∠DCE，
∵AB=CE,AD=DC，
∴△ABD≌△CED，
∴BD=DE，
∴四边形ABCD的面积与三角形BDE的面积相等，
∵DF⊥BC，
∴BF=EF=(BC+CE)=BE=×8=4，
∴FC=EF-CE=4-2=2，
在Rt△DEC中，
DF=，
∴=×8×2=8．
17.【答案】（1）见详解；（2），理由见详解
【分析】
（1）由题意易得∠B=∠C，根据圆内接四边形可得∠DEC=∠B，则有∠DEC=∠C，进而问题可证；
（2）由（1）可得DE=DC，根据圆内接四边形可得∠EDC=∠A=∠OEA=∠FEC，由旋转的性质可得∠EDC=∠FDG，进而可得∠EDF=∠CDG，由∠DCG=∠DEC+∠EDC，∠DEF=∠DEC+∠FEC可得∠DEF=∠DCG，然后可证△DEF≌△DCG，则问题可证．
【详解】
证明：（1）∵AB=AC，
∴∠B=∠C，
∵∠DEA+∠B=180°，∠DEC+∠DEA=180°，
∴∠DEC=∠B，
∴∠DEC=∠C，
∴；
（2），理由如下：
由（1）可得DE=DC，
∵∠EDB+∠A=180°，∠EDC+∠EDB=180°，
∴∠A=∠EDC，
∵OA=OE，
∴∠A=∠OEA，
∴∠EDC=∠A=∠OEA=∠FEC，
∵∠DCG=∠DEC+∠EDC，∠DEF=∠DEC+∠FEC，
∴∠DEF=∠DCG，
由旋转的性质可得∠EDC=∠FDG，
∴∠EDF=∠CDG，
∵DE=DC，
∴△DEF≌△DCG（ASA），
∴DF=DG．
18.【答案】（1）6；（2）证明见解析
【分析】
（1）连接OD，OC，先证明△DOE是等腰直角三角形，再由垂径定理和勾股定理可得DE=CE=3，从而得CD的长；
（2）先由垂径定理可得：，则∠ACD=∠AFC，根据圆内接四边形的性质得：∠DFG=∠ACD，从而得结论．
【详解】
解：（1）如图1，连接OD，OC，
∵直径AB⊥CD，
∴，DE=CE，
∴∠DOE＝∠DOC＝∠DFC＝45°，
在Rt△DEO中，OD＝3，
∴DE=3，
∴CD=6；
（2）证明：如图2，连接AC，
∵直径AB⊥CD，
∴，
∴∠ACD=∠AFC，
∵四边形ACDF内接于⊙O，
∴∠DFG=∠ACD，
∴∠AFC=∠DFG．
19.【答案】（1）∠AOC=120°；（2）见解析
【分析】
（1）先由圆内接四边形的性质得∠ADC=60°，再由圆周角定理即可得出答案；
（2）证△OAB和△OBC都是等边三角形，则AB=OA=OC=BC，根据菱形的判定方法即可得到结论．
【详解】
（1）∵A、B、C、D四点都在⊙O上
∴∠ABC+∠ADC=180°，
∵∠ABC=120°，
∴∠ADC=60°，
∴∠AOC=2∠ADC=120°；
（2）连接OB，如图所示：
∵点B是弧AC的中点，∠AOC=l20°，
∴∠AOB=∠BOC=60°，
又∵OA=OC=OB，
∴△OAB和△OBC都是等边三角形，
∴AB=OA=OC=BC，
∴四边形OABC是菱形．
20.【答案】（1）；（2）证明见解析
【分析】
（1）根据等腰三角形的性质和圆内接四边形的性质即可得到结论；
（2）根据等腰三角形的性质和三角形的内角和即可得到结论．
【详解】
（1）解：，，
，
四边形是的内接四边形，
，
（2）证明：，
，
，
，
，
，
，
；
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