浙教版数学九年级上册3.8弧长及扇形的面积 精品同步练习（含解析）

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浙教版九年级上册数学 3.8弧长及扇形的面积 同步练习
(考试时间：60分钟 满分：100分）
选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分。下列各题的备选答案中，只有一项是最符合题意的，请选出。）
1.如图，在5×5的正方形网格中，每个小正方形的边长都为1，若将△AOB绕点O顺时针旋转90°得到△A′OB′，则A点运动的路径AA′的长为（ ）
A．π B．2π C．4π D．8π
2.如图，放置在直线l上的扇形OAB，由①图滚动（无滑动）到图②，在由图②滚动到图③，若半径，，则点的路径长为（ ）
A． B． C． D．
3.如图，点A，B，C在⊙O上，若，，则图中阴影部分的面积为（ ）
A． B． C． D．
4.如图，AB是⊙O的切线，B为切点，AC经过点O，与⊙O分别相交于点D、C．若∠ACB=30°，AB=，则阴影部分的面积（ ）
A． B． C． D．
5.如图，从一块直径为24cm的圆形纸片上剪出一个圆心角为90°的扇形ABC，使点A，B，C在圆周上．将剪下的扇形作为一个圆锥的侧面，则这个圆锥的底面圆的半径是（ ）
A．2cm B．12cm C．6cm D．3cm
6.下列说法中，错误的有(　　)
①任意三点确定一个圆
②相等的圆心角所对的弧相等
③各边相等的圆内接多边形是正多边形
④若点C是线段AB的黄金分割点，且AB＝10，则AC＝5－5
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
7.已知，则把它改写成比例式后，错误的是（ ）
A． B． C． D．
8.有以下命题：
①如果线段是线段，，的第四比例项，则有；
②如果点是线段的中点，那么是、的比例中项；
③如果点是线段的黄金分割点，且，那么是与的比例中项；
④如果点是线段的黄金分割点，，且，则．
其中正确的判断有（ ）
A．②④ B．①②③④ C．①③④ D．②③④
9.已知线段a，b，c，d是比例线段，其中，，，则d等于（　　）
A． B． C． D．
10.若，则的值为（　　）
A．5 B． C．5 D．
填空题（本大题共5小题，每小题4分，共20分。）
11.如图，在△AOB中，∠ABO=90°，AB=1，OA=2，以点O为圆心，线段OA长为半径作，交OB的延长线于点C，则阴影部分的面积为_________．
12.如图，已知等边的边长为6，以为直径的与边、分别交于、两点，则劣弧的长为______．
13.如图，在扇形中，点在上，，，于点，连接，若，则图中阴影部分的面积为______________．
14.如图，点C在上．若AB＝1+，AC＝，∠BAC＝45°，则的长度为　　．
15.如图，在长方形ABCD中连接AC，并以CD为直径画半圆，则阴影部分的面积为　　（结果用含π的式子表示）．
三、解答题（本大题共5小题，每小题10分，共50分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）
16.如图，为的直径，，交于点，交于点．
（1）求证：；
（2）若，，求阴影部分的面积．
17.如图，方格纸中的每个小方格都是边长为1个单位的正方形，在建立平面直角坐标系后，的顶点均在格点上，点的坐标为．
（1）画出将关于轴对称的；
（2）画出绕点的逆时针旋转90°得到的图形，并求出在此旋转过程中点运动到点所经过路径的长．
18.如图，已知是的直径，C，D是上的点，，交于点E，连结．
（1）求证：；
（2）若，，求图中阴影部分的面积．
19.如图，在Rt△OAB中，∠OAB=90°，且点B的坐标为（4，2）．
（1）画出△OAB关于绕着点O逆时针旋转180°得到的△OA1B1，并写出点B1的坐标；
（2）点A旋转到点A1所经过的路径长为__________（结果保留π）．
20.数学活动小组对学校400米的跑道进行规划设计，跑道由两段直道和两端是半圆的弯道组成（如图）．其中400米跑道最内圈周长为400米，两端弯道最内圈的半径R＝36米．
（1）求跑道中一段直道的长度（π取3.14）；
（2）在活动中发现跑道最外圈周长y（米）随跑道总宽度x（米）的变化而变化，请求出y与x的函数关系式；
（3）若跑道最外圈周长为460米，那么最多能铺设道宽为1.2米的跑道多少条？
参考答案
选择题
1.【答案】B
【分析】
由每个小正方形的边长都为1，可求得OA长，然后由弧长公式，求得答案．
【详解】
解：由图可知，OA=4，
∴ O的周长为：8π；
∵∠AO A′=90°，
∴路径AA′为：=2π．
故：选B
2.【答案】B
【分析】
根据题意可画出点的路径图形，利用弧长公式分别表示出三段路线，三段路线相加即可得解．
【详解】
解：∵根据题意可画出图形，如图：
∴通过观察图形可知，
点的路径长为
．
故选：B
3.【答案】C
【分析】
根据圆周角定理求出，再利用扇形面积公式计算即可；
【详解】
．．
故答案选C．
4.【答案】C
【分析】
首先求出∠AOB，OB，然后利用S阴＝S△ABO S扇形OBD计算即可．
【详解】
连接OB．
∵AB是⊙O切线，
∴OB⊥AB，
∵OC＝OB，∠C＝30°，
∴∠C＝∠OBC＝30°，
∴∠AOB＝∠C＋∠OBC＝60°，
在Rt△ABO中，∵∠ABO＝90°，AB＝，∠A＝30°，
∴OB＝ABtan30°=1，
∴S阴＝S△ABO S扇形OBD＝×1× ＝．
故选：C．
5.【答案】D
【分析】
由圆的直径为，，求出AB的长度，用弧长公式可求得的长度，圆锥的底面圆的周长是的长度列方程求解，即可得到答案．
【详解】
解：
的长度
故选：
6.【答案】A
【分析】
根据确定圆的条件、圆周角定理、圆内接四边形、黄金分割的性质一一判断即可．
【详解】
解：①任意三点确定一个圆；错误，应该的不在同一直线上的三点可以确定一个圆；
②相等的圆心角所对的弧相等；错误，应该是在同圆或等圆中相等的圆心角所对的弧相等；
③各边相等的圆内接多边形是正多边形；正确；
④若点C是线段AB的黄金分割点，且AB＝10，则AC＝5－5，错误，若点C是线段AB的黄金分割点，且AB=10，则AC=5-5或BC=5-5．；
故选：A．
7.【答案】A
【分析】
根据比例的性质逐项分析即可；
【详解】
A．由交叉相乘得：，与题干不符，故A错误．
B．由交叉相乘得：，与题干一致，故B正确．
C．由交叉相乘得：，与题干一致，故C正确．
D．由交叉相乘得：，与题干一致，故D正确．
故选A．
8.【答案】C
【分析】
根据比例线段、黄金分割的定义逐个判断即可得．
【详解】
①如果线段是线段，，的第四比例项，则有，正确；
②如果点是线段的中点，则，
所以，
所以不是、的比例中项，错误；
③如果点是线段的黄金分割点，且，
则，
所以，即，
所以是与的比例中项，正确；
④如果点是线段的黄金分割点，，且，
则，即，
所以，正确；
综上，正确的判断有①③④，
故选：C．
9.【答案】D
【分析】
根据比例线段的定义得到，然后把，，，代入进行计算即可．
【详解】
解：线段、、、是成比例线段，
，
而，，，
．
故选：D．
10.【答案】C
【分析】
设，则，，，然后代入求值即可．
【详解】
解：设，则，，，
∴===﹣5，
故选：C．
填空题
11.【答案】
【分析】
用扇形面积减去三角形OAB的面积即可．
【详解】
解：∵∠ABO=90°，AB=1，OA=2，
∴OB=，∠O=30°，
∴阴影部分的面积==．
故答案为：．
12.【答案】
【分析】
连接、，由等边三角形的性质得到，再根据含有60角的等腰三角形判定，是等边三角形，最后由等边三角形的性质及弧长公式解题即可．
【详解】
如解图，连接、，∵是等边三角形，∴，∵，，∴，是等边三角形，∴∴，∵，∴的长．
故答案为：
13.【答案】
【分析】
连接OC，过点C作CM⊥OB于点M，分别求出S△ABD、 S△AOB、S△OBC、S扇形AOC，再计算即可求解．
【详解】
解：连接OC，
∵∠AOB＝90°
∴△AOB是等腰直角三角形
∵OA＝2∴
∵，于点，
∴AD＝AB＝，BD＝=
∴S△ABD＝
S△AOB＝
过点C作CM⊥OB于点M，
∵∠ABC＝30°，∴∠AOC＝60°
∴∠COB＝30°
∴CM=OC=1
∴S△OBC＝=1
S阴影=S△AOB＋S△ABD﹣S△OBC﹣S扇形AOC＝2＋－1－＝
14.
【解答】解：如图，设圆心为O，连接OA，OB，OC，BC，过点C作CT⊥AB于T．
∵∠CTA＝90°，∠CAT＝45°，AC＝，
∴AT＝TC＝1，
∵AB＝1+，
∴BT＝，
∴tan∠CBT＝＝，
∴∠CBT＝30°，
∴∠AOC＝2∠CBT＝60°，∠COB＝2∠CAB＝90°，
∵OA＝OC，
∴△AOC是等边三角形，
∴OA＝，∠AOB＝150°，
∴的长＝＝π，
故答案为：π．
15.【解答】解：设CD的中点为O，半圆与AB相切于点E，AC交OE于J．
∵S△AEJ＝S△COJ，
∴S阴＝S阴＝＝，
故答案为：．
解答题
16.【答案】（1）见解析；（2）
【分析】
（1）连接AD，由直径得到，然后再由等腰三角形“三线合一”即可得证；
（2）连接OE，阴影部分的面积为扇形AOE和三角形OBE的面积之和．
【详解】
（1）证明：连接，
∵为直径，
∴，
又∵，
∴；
（2）解：连接，
∵，，
∴，，，
∴．
17.【答案】（1）见解析；（2）图见解析，
【分析】
（1）依据轴对称的性质，即可得到△ABC关于y轴对称的△A1B1C1；
（2）依据旋转中心、旋转方向和旋转角度，即可得到△A2B2C2，再根据弧长计算公式，即可得出旋转过程中点A运动到点A2所经过路径的长．
【详解】
解：（1）如图所示，△A1B1C1即为所求；
（2）如图所示，△A2B2C2即为所求；
∵OA=，∠AOA2=90°，
∴在此旋转过程中点A运动到点A2所经过路径的长为：．
18.【答案】（1）见解析；（2）
【分析】
（1）根据圆周角定理得到∠ADB=90°，根据平行线的性质得到∠AEO=∠ADB=90°，即OC⊥AD，于是得到结论；
（2）连接CD，OD，根据等腰三角形的性质得到∠OCB=∠OBC=30°，根据平行线的性质得到∠OCB=∠CBD=30°，求得∠AOD=120°，根据扇形和三角形的面积公式即可得到结论．
【详解】
（1）证明：∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB=90°，
∵OC∥BD，
∴∠AEO=∠ADB=90°，即OC⊥AD，
又∵OC为半径，
∴AE=ED；
（2）解：连接CD，OD，
∵OC=OB，
∴∠OCB=∠OBC=30°，
∴∠AOC=∠OCB+∠OBC=60°，
∵OC∥BD，
∴∠OCB=∠CBD=30°，
∴∠COD=2∠CBD=60°，∠ABD=60°，
∴∠AOD=120°，
∵AB=6，
∴BD=3，AD=3，
∵OA=OB，AE=ED，
∴OE＝BD＝，
∴S阴影=S扇形AOD-S△AOD==．
19.【答案】（1）作图见解析，B1（-4，-2）；（2）4π．
【分析】
（1）将点A和点B分别绕点O逆时针旋转90°后所得对应点，再顺次连接即可得；
（2）根据弧长公式计算可得．
【详解】
解：（1）∴△OA1B1即为所求作三角形，
如图，点B1（-4，-2）．
（2）∵OA＝4，∠＝180°，
∴点A旋转到点A1所经过的路径长为
=4π．
20.【解答】解：（1）设直道的长度为x米，
由题意可得，2π×36+2x＝400，
即2×3.14×36+2x＝400，
解得x＝86.96，
即跑道中一段直道的长度是86.96米；
（2）由题意可得，
y＝2π（36+x）+86.96×2＝2×3.14×（36+x）+173.92＝400+6.28x，
即y与x的函数关系式是y＝6.28x+400；
（3）当y＝406时，
460＝6.28x+400，
解得x≈9.55，
9.55÷1.2≈7.96，
即最多能铺设道宽为1.2米的跑道7条．
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