浙教版数学九年级上册3.7正多边形 精品同步练习（含解析）

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浙教版九年级上册数学 3.7正多边形 同步练习
(考试时间：60分钟 满分：100分）
选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分。下列各题的备选答案中，只有一项是最符合题意的，请选出。）
1.已知正多边形的一个外角为72°，则该正多边形的边数是（　　）
A．5 B．6 C．8 D．10
2.若一个圆内接正多边形的内角是，则这个多边形是（ ）
A．正五边形 B．正六边形 C．正八边形 D．正十边形
3.我们把“各边相等、各角也相等的多边形叫做正多边形”，“顶点在圆上两边都与圆相交的角叫圆周角”，可利用“同圆中，相等的圆周角所对的弧相等”解决下列问题：若各内角都相等的圆内接边形是正边形，则的值一定可以是（ ）．
A．3，4 B．4，5 C．6，8 D．7，9
4.一般地，如果在一次实验中，结果落在区域D中每一个点都是等可能的，用A表示“实验结果落在D中的某个小区域M中”这个事件，那么事件A发生的概率．如图，现向等边的外接圆区域内射入一个点，则该点落在内的概率是（ ）
A． B． C． D．
5.如图，正六边形ABCDEF内接于，过点O作弦BC于点M，若的半径为4，则弦心距OM的长为（　　　）
A． B． C．2 D．
6.如图，若干全等正五边形排成环状．图中所示的是前3个正五边形，则要完成这一圆环还需（　　）个这样的正五边形
A．6 B．7 C．8 D．9
7.如图，⊙O是正方形ABCD与正六边形AEFCGH的外接圆．则正方形ABCD与正六边形AEFCGH的周长之比为（ ）
A．∶ 3 B．∶1 C．∶ D．1∶
8.如图，是正六边形的外接圆，是弧上一点，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
9.如图，在半径为8的中，点是劣弧的中点，点是优弧上一点，，下列结论不正确的是（ ）
A． B．
C．四边形是菱形 D．扇形的面积为
10.年是癸卯兔年，“瑞兔呈祥”，小明同学查阅资料后得知，兔子的耳朵有很多功能，其中包括通过竖起耳朵利用风来散热，起到调节体温的功能．小明用图中的七巧板拼成图所示的一只奔跑中的兔子，已知小正方形的边长为，点是边的中点，通过旋转“耳朵”这块七巧板，可以将“耳朵”耷拉的状态转到竖直（如图），在旋转过程中，耳朵尖的点离小兔子的前脚掌尖的距离的最大值为（ ）．

A． B． C． D．
二、填空题（本大题共5小题，每小题4分，共20分。）
11.如图，该图形绕其中心旋转能与其自身完全重合，则其旋转角最小为 　60　度．

12.如图，、、是上顺次三点，若、、分别是内接正三角形、正方形、正边形的一边，则______．
13.如图，正五边形中，对角线与相交于点F，则_____度．
14.如图所示，在平面直角坐标系中，正六边形边长是6，则它的外接圆圆心的坐标是______．
15.如图，正五边形ABCDE内接于⊙O，点F在上，则∠CFD＝_____度．
三、解答题（本大题共5小题，每小题10分，共50分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）
16.如图，已知圆O内接正六边形的边长为，求这个正六边形的边心距n，面积S．
17.图①、图②均为 4×4 的正方形网格，线段 AB、BC 的端点均在格点上，按要求在图①、图②中作图并计算其面积．
（1）在图①中画一个四边形 ABCD，点D在格点上，使四边形 ABCD 有一组对角相等，并求 ．
（2）在图②中画一个四边形 ABCE，点E在格点上，使四边形 ABCE 有一组对角互补，并求 ．
18.已知正五边形，请仅用无刻度直尺作图．
（1）在图1中作点P，使得是等腰三角形：
（2）在图2中作点，使点称为正五边形的中心．
19.如图，在平面直角坐标系中，边长为2的正六边形ABCDEF的对称中心P在反比例函数y＝（k＞0，x＞0）的图象上，边CD在x轴上，点B在y轴上．
（1）求反比例函数关系式；
（2）点A是否在该反比例函数的图象上？并说明理由．
（3）若只平移一次正六边形ABCDEF，使其一边的两个端点恰好都落在该反比例函数的图象上，试描述平移过程．（只写出一种即可）
20.按要求作图，不要求写作法，但要保留作图痕迹.
（1）如图1，A为圆E上一点，请用直尺（不带刻度）和圆规作出圆内接正方形；
（2）我们知道，三角形具有性质，三边的垂直平分线相交于同一点，三条角平分线相交于一点，三条中线相交于一点，事实上，三角形还具有性质：三条高交于同一点，请运用上述性质，只用直尺（不带刻度）作图：
①如图2，在□ABCD中，E为CD的中点，作BC的中点F;
②图3，在由小正方形组成的网格中，的顶点都在小正方形的顶点上，作△ABC的高AH
参考答案
选择题
1.【答案】A
【解答】解：这个正多边形的边数：360°÷72°＝5．
故选：A．
2.【答案】A
【分析】
根据正多边形的内角求得每个外角的度数，利用多边形外角和为360°即可求解．
【详解】
解：∵圆内接正多边形的内角是，
∴该正多边形每个外角的度数为，
∴该正多边形的边数为：，
故选：A．
3.【答案】D
【分析】
根据对于各内角都相等的圆内接n边形性质，逐一判断即可．
【详解】
解：圆的内接三边形各内角都相等是正三边形，圆的内接四边形各内角都相等，不一定是正四边形，故A选项错误；
圆的内接四边形各内角都相等，不一定是正四边形，圆的内接五边形各内角都相等，是正五边形，故B选项错误；
圆的内接六边形各内角都相等，不一定是正六边形，圆的内接八边形各内角都相等，不一定是正八边形，故C选项错误；
圆的内接七边形各内角都相等，一定是正七边形，圆的内接九边形各内角都相等，一定是正九边形，故D选项正确；
故选D．
4.【答案】D
【分析】
把等边△ABC的面积与其外接圆的面积相比即可．
【详解】
解：如下图
设正三角形ABC外接圆的半径为r 易得
，
∴，
∴
据得
该点落在内的概率是．
故选：D．
5.【答案】A
【分析】
如图，连接OB、OC．首先证明△OBC是等边三角形，求出BC、BM，根据勾股定理即可求出OM．
【详解】
解：如图，连接OB、OC．
∵ABCDEF是正六边形，
∴∠BOC=60°，OB=OC=4，
∴△OBC是等边三角形，
∴BC=OB=OC=4，
∵OM⊥BC，
∴BM=CM=2，
在Rt△OBM中，，
故选：A．
6.【答案】B
【详解】
如图，
∵多边形是正五边形，
∴内角是×（5-2）×180°=108°，
∴∠O=180°-（180°-108°）-（180°-108°）=36°，
36°度圆心角所对的弧长为圆周长的，
即10个正五边形能围城这一个圆环，
所以要完成这一圆环还需7个正五边形.
故选B.
7.【答案】A
【分析】
计算出在半径为R的圆中，内接正方形和内接正六边形的边长即可求出．
【详解】
解：设此圆的半径为R，
则它的内接正方形的边长为R，
它的内接正六边形的边长为R，
内接正方形和内接正六边形的周长比为：4R：6R＝∶ 3．
故选：A．
8.【答案】A
【分析】
连接OC，OD，构造圆心角，利用同弧所对的圆周角是圆心角的一半求得答案即可．
【详解】
解：连接OC，OD，
∵六边形ABCDEF是正六边形，
∴∠COD= =60°，
∴∠CPD= ∠COD=30°.
故选A．
9.【答案】D
【分析】
利用垂径定理可对A进行判断；根据圆周角定理得到∠AOC=2∠D=60°，则△OAC为等边三角形，根据等边三角形的性质和垂径定理可计算出，则可对B进行判断；利用AB=AC=OA=OC=OB可对C进行判断；通过判断△AOB为等边三角形，再根据扇形的面积公式可对D进行判断．
【详解】
解：A.∵点A是劣弧的中点，
∴OA⊥BC，所以A正确，不符合题意；
B.∵∠AOC=2∠D=60°，OA=OC，
∴△OAC为等边三角形，
∴BC=2×8×sin30°=2×8×=，所以B正确，不符合题意；
C. 同理可得△AOB为等边三角形，
∴AB=AC=OA=OC=OB，
∴四边形ABOC是菱形，所以C正确，不符合题意；
D.∵∠AOC=60°，OC=8
∴扇形OAC的面积为，所以D错误，符合题意．
故选：D．
10.【答案】C
【分析】先根据小正方形的边长为，结合等腰直角三角形以及勾股定理可求出七巧板中各个边的长度，根据题意可知耳朵尖（平行四边形）的点绕D点旋转，当M、D、O点三点共线时，耳朵尖点离前脚掌尖的距离有最大值，再分别求出、，问题得解．
【详解】根据小正方形的边长为，结合等腰直角三角形以及勾股定理可求出七巧板中各个边的长度，如下图所示：

∵耳朵尖（平行四边形）的点绕D点旋转，
∴当M、D、O点三点共线时，耳朵尖点离前脚掌尖的距离有最大值，
如图，

∵点是边的中点，
∴，
∴，
如图，连接，过D点作，

根据等腰直角三角形的性质可知：，
即，
利用勾股定理可得：，
∴，
故选：C．
填空题
11.【答案】60．
【解答】解：图形可看作由一个基本图形每次旋转60°，旋转6次所组成，故最小旋转角为60°．
故答案为：60．
12.【答案】12
【分析】
如图，连接OA、OC、OB，根据角的转换求出中心角即可解决问题．
【详解】
如图，连接OA、OC、OB．
∵若AC、AB分别是内接正三角形、正方形的一边，
∴，，
∴，
由题意得：，
∴12，
故答案为：12．
13.【答案】72
【分析】
根据五边形的内角和公式求出∠EAB，根据等腰三角形的性质，三角形外角的性质计算即可．
【详解】
解：∵五边形ABCDE是正五边形，
∴∠EAB=∠ABC=＝108°，
∵BA=BC，
∴∠BAC=∠BCA=36°，
同理∠ABE=36°，
∴∠AFE=∠ABF+∠BAF=36°+36°=72°．
故答案为：72
14【答案】
【分析】
如图所示，连接PO，PA，过点P作PG⊥OA于点G，由正六边形推出为等边三角形，进而求出OG、PG的长度即可求得P点坐标.
【详解】
解：如图所示，连接PO，PA，过点P作PG⊥OA于点G，则，
∵多边形为正六边形，
∴，
∵，
∴为等边三角形，
又∵PG⊥OA，
∴PG平分，
∴，
又∵OA=6，
∴，
∴由勾股定理得：，
∴的坐标是，
故答案为：
15.【答案】36．
【分析】
连接OC，OD．求出∠COD的度数，再根据圆周角定理即可解决问题．
【详解】
如图，连接OC，OD．
∵五边形ABCDE是正五边形，
∴∠COD==72°，
∴∠CFD=∠COD=36°，
故答案为：36．
解答题
16.【答案】，
【分析】
连接OA、OB，过点O作OH⊥AB于点H，由题意易得△OAB是等边三角形，则有OA=6cm，然后根据勾股定理可求解边心距OH=n，然后利用三角形面积求解六边形的面积即可．
【详解】
解：连接OA、OB，过点O作OH⊥AB于点H，即边心距n=OH，如图所示：
∴AH=HB，∠AOH=BOH，
∵六边形ABCDEF是正六边形，
∴∠AOB=60°，AB=BC=CD=DE=EF=AF=6cm，
∵OA=OB，
∴△AOB是等边三角形，
∴AH=3cm，∠AOH=30°，OA=AB=6cm，
∴，
∴，
∴．
17.【答案】（1）图见详解，6 ；（2）图见详解，4.5
【分析】
（1）过C画AB的平行线，过A画BC的平行线，两线交于一点D，根据平行四边形的判定定理可得四边形ABCD是平行四边形，由平行四边形的性质可知∠CBA=∠CDA，然后用用割补法求出面积即可；
（2）根据图中正方形网格和∠B的特点，作出∠E与∠B互补，然后用割补法求面积即可．
【详解】
解：（1）如图，
S四边形ABCD=3×4-×2--=6；
（2）如图，
S四边形ABCE=3×3-×2--=．
18.【答案】（1）画图见解析；（2）画图见解析．
【分析】
（1）直接利用正多边形的性质得出顶点P的位置；
（2）利用正五边形的性质，得出对角线交点，进而得出其中心P点位置．
【详解】
解：（1）如图所示：点P为所求；
（2）如图所示：点O为所求；
19.【答案】（1）y＝； （2）在，理由见解析；（3）见解析
【分析】
（1）过点P作x轴垂线PG，连接BP，可得BP＝2，G是CD的中点，所以P(2，)，代入反比例函数的解析式即可得到结论；
（2）把A的坐标代入解析式即可得到结论；
（3）E(4，)，F(3，2)，将正六边形向左平移两个单位后，E(2，)，F(1，2)，则点E与F都在反比例函数图象上．
【详解】
解：（1）过点P作x轴垂线PG交x轴于点G，连接BP，
∵P是正六边形ABCDEF的对称中心，CD＝2，
∴BP＝2，G是CD的中点，
∴PG＝，
∴P(2，)，
∵P在反比例函数y＝上，
∴k＝2，
∴反比例函数关系式y＝，
（2）由正六边形的性质，A(1，2)，
∵1×2＝2＝k，
∴点A在反比例函数图象上；
（3）A(1，2)，B(0，)，C(1，0)，D(3，0)，E(4，)，F(3，2)，
设正六边形向左平移m个单位，向上平移n个单位，则平移后点的坐标分别为
∴A(1﹣m，2＋n)，B(﹣m，＋n)，C(1﹣m，n)，D(3﹣m，n)，E(4﹣m，＋n)，F(3﹣m，2＋n)，
①将正六边形向左平移两个单位后，E(2，)，F(1，2)；
则点E与F都在反比例函数图象上；
②将正六边形向右平移一个单位，再向上平移个单位后，C(2，)，B(1，2)
则点B与C都在反比例函数图象上；
20.【答案】（1）见解析；（2）①见解析；②见解析.
【分析】
(1)作直径AC，分别以A、C为圆心，以大于AC的一半长为半径画弧，在AC的两侧分别交于点M、N，作直线MN交圆于点B，D，四边形ABCD即为所求；
(2)①连接AC、BD交于点O，则O为BD的中点，连接BE交CO于点G，连接DG并延长交BC于点F，则F即为所求；
②如图，利用网格特点连接BM，则可得直线BM⊥AC，连接CN，则可得直线CN⊥AB，两线交于点E，连接AE并延长交BC于点H，则AH即为所求.
【详解】
(1)如图所示，四边形ABCD即为所求；
(2)①如图所示，点F即为所求；
②如图所示，AH即为所求.
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