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第2章 特殊三角形 章末练习 （12个知识点+35题练习）
知识点合集
知识点1．直角三角形全等的判定
1、斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等（可以简写成“斜边、直角边”或“HL”）．
2、直角三角形首先是三角形，所以一般三角形全等的判定方法都适合它，同时，直角三角形又是特殊的三角形，有它的特殊性，作为“HL”公理就是直角三角形独有的判定方法．所以直角三角形的判定方法最多，使用时应该抓住“直角”这个隐含的已知条件．
知识点2．等腰三角形的性质
（1）等腰三角形的概念
有两条边相等的三角形叫做等腰三角形．
（2）等腰三角形的性质
①等腰三角形的两腰相等
②等腰三角形的两个底角相等．【简称：等边对等角】
③等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合．【三线合一】
（3）在①等腰；②底边上的高；③底边上的中线；④顶角平分线．以上四个元素中，从中任意取出两个元素当成条件，就可以得到另外两个元素为结论．
知识点3．等腰三角形的判定
判定定理：如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等．【简称：等角对等边】
说明：①等腰三角形是一个轴对称图形，它的定义既作为性质，又可作为判定办法．
②等腰三角形的判定和性质互逆；
③在判定定理的证明中，可以作未来底边的高线也可以作未来顶角的角平分线，但不能作未来底边的中线；
④判定定理在同一个三角形中才能适用．
知识点4．等腰三角形的判定与性质
1、等腰三角形提供了好多相等的线段和相等的角，判定三角形是等腰三角形是证明线段相等、角相等的重要手段．
2、在等腰三角形有关问题中，会遇到一些添加辅助线的问题，其顶角平分线、底边上的高、底边上的中线是常见的辅助线，虽然“三线合一”，但添加辅助线时，有时作哪条线都可以，有时不同的做法引起解决问题的复杂程度不同，需要具体问题具体分析．
3、等腰三角形性质问题都可以利用三角形全等来解决，但要注意纠正不顾条件，一概依赖全等三角形的思维定势，凡可以直接利用等腰三角形的问题，应当优先选择简便方法来解决．
知识点5．直角三角形的性质
（1）有一个角为90°的三角形，叫做直角三角形．
（2）直角三角形是一种特殊的三角形，它除了具有一般三角形的性质外，具有一些特殊的性质：
性质1：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方（勾股定理）．
性质2：在直角三角形中，两个锐角互余．
性质3：在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半．（即直角三角形的外心位于斜边的中点）
性质4：直角三角形的两直角边的乘积等于斜边与斜边上高的乘积． 性质5：在直角三角形中，如果有一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半；
在直角三角形中，如果有一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的锐角等于30°．
知识点6．勾股定理
（1）勾股定理：在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方．
如果直角三角形的两条直角边长分别是a，b，斜边长为c，那么a2+b2＝c2．
（2）勾股定理应用的前提条件是在直角三角形中．
（3）勾股定理公式a2+b2＝c2 的变形有：a＝，b＝及c＝．
（4）由于a2+b2＝c2＞a2，所以c＞a，同理c＞b，即直角三角形的斜边大于该直角三角形中的每一条直角边．
知识点7．勾股定理的证明
（1）勾股定理的证明方法有很多种，教材是采用了拼图的方法证明的．先利用拼图的方法，然后再利用面积相等证明勾股定理．
（2）证明勾股定理时，用几个全等的直角三角形拼成一个规则的图形，然后利用大图形的面积等于几个小图形的面积和化简整理得到勾股定理．
知识点8．命题与定理
1、判断一件事情的语句，叫做命题．许多命题都是由题设和结论两部分组成，题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项，一个命题可以写成“如果…那么…”形式．
2、有些命题的正确性是用推理证实的，这样的真命题叫做定理．
3、定理是真命题，但真命题不一定是定理．
4、命题写成“如果…，那么…”的形式，这时，“如果”后面接的部分是题设，“那么”后面解的部分是结论．
5、命题的“真”“假”是就命题的内容而言．任何一个命题非真即假．要说明一个命题的正确性，一般需要推理、论证，而判断一个命题是假命题，只需举出一个反例即可．
知识点9．轴对称的性质
（1）如果两个图形关于某直线对称，那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线．
由轴对称的性质得到一下结论：
①如果两个图形的对应点的连线被同一条直线垂直平分，那么这两个图形关于这条直线对称；
②如果两个图形成轴对称，我们只要找到一对对应点，作出连接它们的线段的垂直平分线，就可以得到这两个图形的对称轴．
（2）轴对称图形的对称轴也是任何一对对应点所连线段的垂直平分线．
知识点10．轴对称图形
（1）轴对称图形的概念：
如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴，这时，我们也可以说这个图形关于这条直线（成轴）对称．
（2）轴对称图形是针对一个图形而言的，是一种具有特殊性质图形，被一条直线分割成的两部分沿着对称轴折叠时，互相重合；轴对称图形的对称轴可以是一条，也可以是多条甚至无数条．
（3）常见的轴对称图形：
等腰三角形，矩形，正方形，等腰梯形，圆等等．
知识点11．作图-轴对称变换
几何图形都可看做是由点组成，我们在画一个图形的轴对称图形时，也是先从确定一些特殊的对称点开始的，一般的方法是：
①由已知点出发向所给直线作垂线，并确定垂足；
②直线的另一侧，以垂足为一端点，作一条线段使之等于已知点和垂足之间的线段的长，得到线段的另一端点，即为对称点；
③连接这些对称点，就得到原图形的轴对称图形．
④作出的垂线为最短路径．
知识点12．轴对称-最短路线问题
1、最短路线问题
在直线L上的同侧有两个点A、B，在直线L上有到A、B的距离之和最短的点存在，可以通过轴对称来确定，即作出其中一点关于直线L的对称点，对称点与另一点的连线与直线L的交点就是所要找的点．
2、凡是涉及最短距离的问题，一般要考虑线段的性质定理，结合本节所学轴对称变换来解决，多数情况要作点关于某直线的对称点．
试题练习
一．直角三角形全等的判定
1．（2023秋 宁海县期中）下列不能使两个直角三角形全等的条件是
A．三边对应相等 B．两个锐角相等
C．一条直角边和斜边对应相等 D．两条直角边对应相等
2．（2022秋 义乌市校级期末）如图，用纸板挡住部分直角三角形后，能画出与此直角三角形全等的三角形，其全等的依据是 ．
3．如图，，是上的一点，且，．
（1）与全等吗？并说明理由；
（2）是不是直角三角形？并说明理由．
二．等腰三角形的性质
4．（2022秋 乐清市校级期中）已知等腰三角形两边的长分别为3和7，则此等腰三角形的周长为 ．
5．（2023秋 杭州期中）已知等腰三角形三边的长分别为4，，10，则的值是
A．4 B．10 C．4 或10 D．6 或10
6．（2022秋 江干区期中）如图，点、在的边上，，，求证：．
三．等腰三角形的判定
7．（2023秋 开化县期末）在中，，，用无刻度的直尺和圆规在上找一点，使为等腰三角形，下列作法不正确的是
A． B．
C． D．
8．（2023 鄞州区校级开学）如图，，，则图中的等腰三角形有 个．
9．（2022秋 拱墅区期末）如图，在中，，，是的平分线交于点，
（1）求的度数；
（2）过点作，交的延长交于点．
①求证：是等腰三角形；
②判断：是否是等腰三角形，请先写出结论，再说明理由．
四．等腰三角形的判定与性质
10．（2021秋 诸暨市期中）如图，在中，，和的平分线分别交于点、，若，，则的值为
A．7 B．8 C．9 D．10
11．（2023秋 金华期中）已知：如图中，，平分，平分，过作直线平行于，交，于，．
（1）求证：是等腰三角形；
（2）求的周长．
12．（2022秋 阳新县校级期末）如图，是的角平分线，，垂足为，，，则 ．
五．直角三角形的性质
13．（2023秋 东阳市期末）在下列条件中不能判定为直角三角形的是
A． B． C． D．
14．（2023秋 拱墅区期中）在中，，，则 ．
15．（慈溪市校级期中）如图，在中，，是的一条高线，若．求的度数．
六．勾股定理
16．（2023秋 海曙区校级期中）在中，，，边上的高，则边的长是 ．
17．小明学了在数轴上表示无理数的方法后，进行了练习：首先画数轴，原点为，在数轴上找到表示数2的点，然后过点作，使；再以为圆心，的长为半径作弧，交数轴正半轴于点，那么点表示的数是
A．2.2 B． C． D．
18．（2022秋 莲都区期中）如图，已知中，，，，、是边上的两个动点，其中点从点开始沿方向运动，且速度为每秒，点从点开始沿方向运动，且速度为每秒，它们同时出发，设出发的时间为秒．
（1）当秒时，求的长；
（2）求出发时间为几秒时，是等腰三角形？
（3）若沿方向运动，则当点在边上运动时，求能使成为等腰三角形的运动时间．
七．勾股定理的证明
19．（2020秋 义乌市期中）“赵爽弦图”是四个全等的直角三角形与中间一个小正方形拼成的大正方形，如图，其直角三角形的两条直角边的长分别是2和4，求小正方形与大正方形的面积之比．
20．（2022秋 天台县期末）如图，将两直角边边长之差为3的四个全等直角三角形分别拼成一个长方形和一个正方形，中间空白部分面积分别记作，，则 ．
21．（2023秋 瓯海区期中）如图是中国古代数学家赵爽用来证明勾股定理的弦图示意图，它是由四个全等的直角三角形和一个小正方形组成，恰好拼成一个大正方形，分别在，上取点，，使得，得四边形．若大正方形的边长为，且，设四边形的面积为，正方形的面积为，则的值为
A． B． C． D．
八．命题与定理
22．（2023秋 柯桥区期末）能说明命题“若，则”是假命题的反例是
A．， B．， C．， D．，
23．（2023秋 鹿城区校级期中）写出命题“内错角相等，两直线平行”的逆命题： ．
24．（2023秋 临平区校级月考）请证明命题：“角平分线上的点到角两边的距离相等”是真命题．
九．轴对称的性质
25．（2022秋 恩施市期中）如图的的正方形网格中，的顶点都在小正方形的格点上，这样的三角形称为格点三角形，在网格中与成轴对称的格点三角形一共有
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
26．（2022秋 东阳市期中）如图，和关于直线对称，与的交点在直线上．
（1）若，，求的度数．
（2）若，平分，，求的度数．
27．（2023 金华开学）如图，将长方形沿翻折，点的对应点恰好落在边上，若，则的度数为 ．
一十．轴对称图形
28．（2023秋 上城区期末）下列图书馆标志是轴对称图形的是
A． B． C． D．
29．（2022秋 永嘉县校级月考）在图①补充2个小方块，在图②、③、④中分别补充3个小方块，分别使它们成为轴对称图形．
30．（2021秋 云梦县期中）等边三角形有 条对称轴．
一十一．作图-轴对称变换
31．（2022秋 恩施市期末）如图，平面直角坐标系中，，，，过点作轴的垂线．
（1）作出关于直线的轴对称图形△；
（2）直接写出 ， ， ， ， ， ；
（3）在内有一点，则点关于直线的对称点的坐标为 ， （结果用含，的式子表示）．
32．（2023秋 婺城区期末）如图1，在的网格中，三个顶点均在格点上，这样的三角形叫做“格点三角形”．在图中画出一个“格点三角形”（阴影部分）与原关于某条直线成轴对称．请在图2、图3、图4中，各画一个和原三角形成轴对称的“格点三角形”，并将所画的“格点三角形”用“斜线”涂成“阴影部分”（图图4不重复）．
一十二．轴对称-最短路线问题
33．（2021秋 上城区期中）如图，是的角平分线，的面积为12，长为6，点，分别是，上的动点，则的最小值是
A．6 B．4 C．3 D．2
34．（2023秋 奉化区期末）如图，，点，分别是边，上的定点，点，分别是边、上的动点，记，，当最小时，则的值为 ．
35．（2023 滨江区校级开学）如图所示，点在内，点，分别是点关于，的对称点，分别交，于点，．
（1）若，则 ， （用含的代数式表示）；
（2）①若的周长是，求的长．
②若，，直接写出的周长的最小值（用含的代数式表示）中小学教育资源及组卷应用平台
第2章 特殊三角形 章末练习 （12个知识点+35题练习）
知识点合集
知识点1．直角三角形全等的判定
1、斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等（可以简写成“斜边、直角边”或“HL”）．
2、直角三角形首先是三角形，所以一般三角形全等的判定方法都适合它，同时，直角三角形又是特殊的三角形，有它的特殊性，作为“HL”公理就是直角三角形独有的判定方法．所以直角三角形的判定方法最多，使用时应该抓住“直角”这个隐含的已知条件．
知识点2．等腰三角形的性质
（1）等腰三角形的概念
有两条边相等的三角形叫做等腰三角形．
（2）等腰三角形的性质
①等腰三角形的两腰相等
②等腰三角形的两个底角相等．【简称：等边对等角】
③等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合．【三线合一】
（3）在①等腰；②底边上的高；③底边上的中线；④顶角平分线．以上四个元素中，从中任意取出两个元素当成条件，就可以得到另外两个元素为结论．
知识点3．等腰三角形的判定
判定定理：如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等．【简称：等角对等边】
说明：①等腰三角形是一个轴对称图形，它的定义既作为性质，又可作为判定办法．
②等腰三角形的判定和性质互逆；
③在判定定理的证明中，可以作未来底边的高线也可以作未来顶角的角平分线，但不能作未来底边的中线；
④判定定理在同一个三角形中才能适用．
知识点4．等腰三角形的判定与性质
1、等腰三角形提供了好多相等的线段和相等的角，判定三角形是等腰三角形是证明线段相等、角相等的重要手段．
2、在等腰三角形有关问题中，会遇到一些添加辅助线的问题，其顶角平分线、底边上的高、底边上的中线是常见的辅助线，虽然“三线合一”，但添加辅助线时，有时作哪条线都可以，有时不同的做法引起解决问题的复杂程度不同，需要具体问题具体分析．
3、等腰三角形性质问题都可以利用三角形全等来解决，但要注意纠正不顾条件，一概依赖全等三角形的思维定势，凡可以直接利用等腰三角形的问题，应当优先选择简便方法来解决．
知识点5．直角三角形的性质
（1）有一个角为90°的三角形，叫做直角三角形．
（2）直角三角形是一种特殊的三角形，它除了具有一般三角形的性质外，具有一些特殊的性质：
性质1：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方（勾股定理）．
性质2：在直角三角形中，两个锐角互余．
性质3：在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半．（即直角三角形的外心位于斜边的中点）
性质4：直角三角形的两直角边的乘积等于斜边与斜边上高的乘积． 性质5：在直角三角形中，如果有一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半；
在直角三角形中，如果有一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的锐角等于30°．
知识点6．勾股定理
（1）勾股定理：在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方．
如果直角三角形的两条直角边长分别是a，b，斜边长为c，那么a2+b2＝c2．
（2）勾股定理应用的前提条件是在直角三角形中．
（3）勾股定理公式a2+b2＝c2 的变形有：a＝，b＝及c＝．
（4）由于a2+b2＝c2＞a2，所以c＞a，同理c＞b，即直角三角形的斜边大于该直角三角形中的每一条直角边．
知识点7．勾股定理的证明
（1）勾股定理的证明方法有很多种，教材是采用了拼图的方法证明的．先利用拼图的方法，然后再利用面积相等证明勾股定理．
（2）证明勾股定理时，用几个全等的直角三角形拼成一个规则的图形，然后利用大图形的面积等于几个小图形的面积和化简整理得到勾股定理．
知识点8．命题与定理
1、判断一件事情的语句，叫做命题．许多命题都是由题设和结论两部分组成，题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项，一个命题可以写成“如果…那么…”形式．
2、有些命题的正确性是用推理证实的，这样的真命题叫做定理．
3、定理是真命题，但真命题不一定是定理．
4、命题写成“如果…，那么…”的形式，这时，“如果”后面接的部分是题设，“那么”后面解的部分是结论．
5、命题的“真”“假”是就命题的内容而言．任何一个命题非真即假．要说明一个命题的正确性，一般需要推理、论证，而判断一个命题是假命题，只需举出一个反例即可．
知识点9．轴对称的性质
（1）如果两个图形关于某直线对称，那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线．
由轴对称的性质得到一下结论：
①如果两个图形的对应点的连线被同一条直线垂直平分，那么这两个图形关于这条直线对称；
②如果两个图形成轴对称，我们只要找到一对对应点，作出连接它们的线段的垂直平分线，就可以得到这两个图形的对称轴．
（2）轴对称图形的对称轴也是任何一对对应点所连线段的垂直平分线．
知识点10．轴对称图形
（1）轴对称图形的概念：
如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴，这时，我们也可以说这个图形关于这条直线（成轴）对称．
（2）轴对称图形是针对一个图形而言的，是一种具有特殊性质图形，被一条直线分割成的两部分沿着对称轴折叠时，互相重合；轴对称图形的对称轴可以是一条，也可以是多条甚至无数条．
（3）常见的轴对称图形：
等腰三角形，矩形，正方形，等腰梯形，圆等等．
知识点11．作图-轴对称变换
几何图形都可看做是由点组成，我们在画一个图形的轴对称图形时，也是先从确定一些特殊的对称点开始的，一般的方法是：
①由已知点出发向所给直线作垂线，并确定垂足；
②直线的另一侧，以垂足为一端点，作一条线段使之等于已知点和垂足之间的线段的长，得到线段的另一端点，即为对称点；
③连接这些对称点，就得到原图形的轴对称图形．
④作出的垂线为最短路径．
知识点12．轴对称-最短路线问题
1、最短路线问题
在直线L上的同侧有两个点A、B，在直线L上有到A、B的距离之和最短的点存在，可以通过轴对称来确定，即作出其中一点关于直线L的对称点，对称点与另一点的连线与直线L的交点就是所要找的点．
2、凡是涉及最短距离的问题，一般要考虑线段的性质定理，结合本节所学轴对称变换来解决，多数情况要作点关于某直线的对称点．
试题练习
一．直角三角形全等的判定
1．（2023秋 宁海县期中）下列不能使两个直角三角形全等的条件是
A．三边对应相等 B．两个锐角相等
C．一条直角边和斜边对应相等 D．两条直角边对应相等
【分析】要判断能使两个直角三角形全等的条件首先要看现在有的条件：一对直角对应相等，还需要两个条件，而是不能判定三角形全等的，所以符合题意的答案只有选项了．
【解答】解：、三边对应相等，利用能证明两三角形全等，故本选项不符合题意；
、两个锐角对应相等时，加上已知的直角相等，由不能判定它们全等，故本选项符合题意；
、一条直角边和斜边对应相等，利用能证明两三角形全等，故本选项不符合题意；
、两条直角边对应相等，加上已知的直角相等，利用能证明两三角形全等，故本选项不符合题意；
故选：．
【点评】本题考查的是直角三角形全等的判定方法，熟练掌握全等三角形的判定定理是解题的关键．
2．（2022秋 义乌市校级期末）如图，用纸板挡住部分直角三角形后，能画出与此直角三角形全等的三角形，其全等的依据是 ．
【分析】根据全等三角形的判定方法解决此题．
【解答】解：由图得：遮挡住的三角形中露出两个角及其夹边．
根据三角形的判定方法可解决此题．
故答案为：．
【点评】本题主要考查全等三角形的判定，熟练掌握全等三角形的判定是解决本题的关键．
3．如图，，是上的一点，且，．
（1）与全等吗？并说明理由；
（2）是不是直角三角形？并说明理由．
【分析】（1）根据，得，利用“”可证明；
（2）是直角三角形，由得，，从而得出，则是直角三角形．
【解答】解：（1）全等，理由是：
，
，
在和中，
，
；
（2）是直角三角形，理由是：
，
，
，
，
，
是直角三角形．
【点评】考查了直角三角形的判定，全等三角形的性质，做题时要结合图形，在图形上找条件．
二．等腰三角形的性质
4．（2022秋 乐清市校级期中）已知等腰三角形两边的长分别为3和7，则此等腰三角形的周长为 17 ．
【分析】等腰三角形两边的长为3和7，具体哪条是底边，哪条是腰没有明确说明，因此要分两种情况讨论．
【解答】解：①当腰是3，底边是7时，，不满足三角形的三边关系，因此舍去．
②当底边是3，腰长是7时，，能构成三角形，则其周长．
故答案为：17．
【点评】本题考查了等腰三角形的性质和三角形的三边关系，解题时注意：若没有明确腰和底边，则一定要分类进行讨论，还应验证各种情况是否能构成三角形，这是解题的关键．
5．（2023秋 杭州期中）已知等腰三角形三边的长分别为4，，10，则的值是
A．4 B．10 C．4 或10 D．6 或10
【分析】根据等腰三角形的性质和三角形三边关系即可求解．
【解答】解：当时，，不符合三角形三边关系，舍去；
当时，，符合三角形三边关系．
故选：．
【点评】本题考查了等腰三角形的性质和三角形三边关系，注意分两种情况讨论求解．
6．（2022秋 江干区期中）如图，点、在的边上，，，求证：．
【分析】首先过点作于点，由，根据三线合一的性质，可得，又由，可得，然后由线段垂直平分线的性质，可证得．
【解答】证明：过点作于点，
，
，
，
，
．
【点评】此题考查了等腰三角形的判定与性质．此题难度适中，注意掌握辅助线的作法，注意掌握数形结合思想的应用．
三．等腰三角形的判定
7．（2023秋 开化县期末）在中，，，用无刻度的直尺和圆规在上找一点，使为等腰三角形，下列作法不正确的是
A． B．
C． D．
【分析】根据尺规作图对题目中给出的四个选项逐一进行判断即可得出答案．
【解答】解：对于选项，由尺规作图可知：，
为等腰三角形，
故选项的作法能使为等腰三角形，不符合题意；
对于选项，由尺规作图可知：点在线段的垂直平分线上，
，则为等腰三角形，
故选项的作法能使为等腰三角形，不符合题意；
对于选项，由尺规作图可知：点是线段的中点，
是直角三角形，且，
，则为等腰三角形，
故选项的作法能使为等腰三角形，不符合题意；
对于选项，由尺规作图可知：是的平分线，
只有当时，是等腰三角形，
故选项的作法不能使为等腰三角形，符合题意．
故选：．
【点评】此题主要考查了基本尺规作图，等腰三角形的判定，熟练掌握基本尺规作图，等腰三角形的判定，理解线段垂直平分线的性质，直角三角形的性质是解决问题的关键．
8．（2023 鄞州区校级开学）如图，，，则图中的等腰三角形有 6 个．
【分析】根据三角形内角和分别计算出、、、、的度数，再根据等角对等边可判断出等腰三角形的个数．
【解答】解：，，
和是等腰三角形，
，，
，
，
是等腰三角形，同理是等腰三角形，
，
，
，
，
是等腰三角形，
同理：是等腰三角形，
综上所述：等腰三角形有6个，
故答案为：6．
【点评】此题主要考查了等腰三角形的判定，关键是掌握等腰三角形的判定方法：等角对等边．
9．（2022秋 拱墅区期末）如图，在中，，，是的平分线交于点，
（1）求的度数；
（2）过点作，交的延长交于点．
①求证：是等腰三角形；
②判断：是否是等腰三角形，请先写出结论，再说明理由．
【分析】（1）关键等腰三角形性质和三角形内角和定理求出，求出，根据三角形外角性质求出即可；
（2）①根据平行线求出，根据三角形内角和定理求出，即可得出答案；
②先判断出，再判断出，即可得出结论．
【解答】（1）解：，
，
是的平分线
，
；
（2）①证明：
，
，，
，
，
，
即是等腰三角形；
②解：结论：是等腰三角形．
理由：是的平分线，
，
，
，
，
，
是等腰三角形．
【点评】本题考查了等腰三角形的性质和判定，三角形内角和定理，三角形外角性质，平行线的性质的应用，主要考查学生的计算和推理能力．
四．等腰三角形的判定与性质
10．（2021秋 诸暨市期中）如图，在中，，和的平分线分别交于点、，若，，则的值为
A．7 B．8 C．9 D．10
【分析】由平行线的性质和角平分线的定义可得，，从而，，从而解决问题．
【解答】解：，
，，
和的平分线分别交于点、，
，，
，，
，，
，，
，
故选：．
【点评】本题主要考查了平行线的性质，角平分线的定义，等腰三角形的判定与性质等知识，证明，是解题的关键．
11．（2023秋 金华期中）已知：如图中，，平分，平分，过作直线平行于，交，于，．
（1）求证：是等腰三角形；
（2）求的周长．
【分析】（1）首先根据平行线的性质可得，再根据角平分线的定义可得，可得，据此即可证得；
（2）同理（1）可得，根据的周长，求解即可．
【解答】（1）证明：，
，
平分，
，
，
，
是等腰三角形；
（2），
，
平分，
，
，
，
，，
的周长为：
．
【点评】本题考查了等腰三角形的判定和性质，平行线的性质，角平分线的定义等，熟练掌握等腰三角形的判定和性质是解题的关键．
12．（2022秋 阳新县校级期末）如图，是的角平分线，，垂足为，，，则 ．
【分析】设，，利用三角形内角和定理即可求出列出方程求出与的值．
【解答】解：设，
，
即
是得角平分线，
，
，
联立可得解得：
法二，延长交于，
，，
，
，
，
是的角平分线，
，
，
故答案为：
【点评】本题考查三角形内角和，解题的关键是根据条件列出关于与的方程组，本题属于中等题型．
五．直角三角形的性质
13．（2023秋 东阳市期末）在下列条件中不能判定为直角三角形的是
A． B． C． D．
【分析】根据三角形内角和定理和各选项中的条件计算出的内角，然后根据直角三角形的判定方法进行判断．
【解答】解：、，
，
，
是直角三角形，故选项不符合题意；
、，
，
，
，
，
是直角三角形，故选项不符合题意；
、，
设，
，，
，
，
解得，
不是直角三角形，故选项符合题意；
、，
设，
，
，
，
解得，
，
是直角三角形，故选项不符合题意．
故选：．
【点评】本题考查了三角形内角和定理以及直角三角形的判定，解题的关键是掌握三角形的内角和等于并灵活运用．
14．（2023秋 拱墅区期中）在中，，，则 ．
【分析】设为度，根据，则，根据三角形内角和定理得到关于的方程，解出方程的解即可得到．
【解答】解：设为度，
，
为度，
根据三角形内角和定理得：，
即：，
解得：，
则．
故答案为：．
【点评】本题主要考查了三角形内角和定理，解题的关键是要设出未知数，根据内角和定理列出正确的方程来求解．
15．（慈溪市校级期中）如图，在中，，是的一条高线，若．求的度数．
【分析】根据同角的余角相等求出．
【解答】解：，
，
是的一条高线，
，
．
【点评】本题考查了直角三角形两锐角互余的性质，同角的余角相等的性质，熟记性质是解题的关键．
六．勾股定理
16．（2023秋 海曙区校级期中）在中，，，边上的高，则边的长是 14或4 ．
【分析】根据题意作出如图1和图2，分两种情况分别求解即可．
【解答】解：如图1，在中，，，边上的高，
，
，
；
如图2，在中，，，
，
在中，由勾股定理得，
，
，
综上所述，的长为14或4，
故答案为：14或4．
【点评】本题考查了勾股定理，注意分类讨论是解题的关键．
17．小明学了在数轴上表示无理数的方法后，进行了练习：首先画数轴，原点为，在数轴上找到表示数2的点，然后过点作，使；再以为圆心，的长为半径作弧，交数轴正半轴于点，那么点表示的数是
A．2.2 B． C． D．
【分析】根据勾股定理可计算出的长度，即点在数轴正半轴表示的数．
【解答】解：在中，，，
．
以点为圆心，为半径与正半轴交点表示的数为．
故选：．
【点评】本题考查勾股定理的应用及数轴上点的坐标的表示，根据题意先计算的长度，注意以点为圆心以为半径画弧与数轴由两个交点即和，题目要求与数轴正半轴交点，故需要舍去．
18．（2022秋 莲都区期中）如图，已知中，，，，、是边上的两个动点，其中点从点开始沿方向运动，且速度为每秒，点从点开始沿方向运动，且速度为每秒，它们同时出发，设出发的时间为秒．
（1）当秒时，求的长；
（2）求出发时间为几秒时，是等腰三角形？
（3）若沿方向运动，则当点在边上运动时，求能使成为等腰三角形的运动时间．
【分析】（1）根据点、的运动速度求出，再求出和，用勾股定理求得即可；
（2）由题意得出，即，解方程即可；
（3）当点在边上运动时，能使成为等腰三角形的运动时间有三种情况：
①当时（图，则，可证明，则，则，从而求得；
②当时（图，则，易求得；
③当时（图，过点作于点，则求出，，即可得出．
【解答】（1）解：（1），
，
，
；
（2）解：根据题意得：，
即，
解得：；
即出发时间为秒时，是等腰三角形；
（3）解：分三种情况：
①当时，如图1所示：
则，
，
，
，
，
，，，
，
，
，
秒．
②当时，如图2所示：
则，
秒．
③当时，如图3所示：
过点作于点，
则
，
，
，
秒．
由上可知，当为5.5秒或6秒或6.6秒时，
为等腰三角形．
【点评】本题考查了勾股定理、三角形的面积以及等腰三角形的判定和性质；本题有一定难度，注意分类讨论思想的应用．
七．勾股定理的证明
19．（2020秋 义乌市期中）“赵爽弦图”是四个全等的直角三角形与中间一个小正方形拼成的大正方形，如图，其直角三角形的两条直角边的长分别是2和4，求小正方形与大正方形的面积之比．
【分析】根据题意求得小正方形的边长，根据勾股定理求出大正方形的边长，由正方形的面积公式即可得出结果．
【解答】解：直角三角形的两条直角边的长分别是2和4，
小正方形的边长为，
大正方形的边长为，
，
答：小正方形与大正方形的面积之比为．
【点评】本题考查了勾股定理和正方形的面积．本题是用数形结合来证明勾股定理，锻炼了同学们的数形结合的思想方法．
20．（2022秋 天台县期末）如图，将两直角边边长之差为3的四个全等直角三角形分别拼成一个长方形和一个正方形，中间空白部分面积分别记作，，则 9 ．
【分析】设直角三角形中较短直角边为，利用割补法分别求出，，进而可得答案．
【解答】解：设直角三角形中较短直角边为，则较长的直角边为，
，，
，
故答案为：9．
【点评】本题主要考查不规则图形面积的求法，熟练掌握割补法求不规则图形的面积是解题的关键．
21．（2023秋 瓯海区期中）如图是中国古代数学家赵爽用来证明勾股定理的弦图示意图，它是由四个全等的直角三角形和一个小正方形组成，恰好拼成一个大正方形，分别在，上取点，，使得，得四边形．若大正方形的边长为，且，设四边形的面积为，正方形的面积为，则的值为
A． B． C． D．
【分析】设四个全等的直角三角形的两直角边长为，，则由大正方形的边长为，且，可求出，，再求出，，即可解决问题．
【解答】解：设四个全等的直角三角形的两直角边长为，（不妨设，
，，
正方形的边长为，
，①
，
，②
解①②得：，，或，（舍去），
，，，，
四边形的面积为，
正方形的面积为，
，
故选：．
【点评】本题考查勾股定理，解方程组，面积的计算，弄清图中个量间的关系是解题的关键．
八．命题与定理
22．（2023秋 柯桥区期末）能说明命题“若，则”是假命题的反例是
A．， B．， C．， D．，
【分析】直接把已知数据代入各个选项进而判断得出答案．
【解答】解：、当，时，
，，
故“若，则”是假命题的反例不可以为：，；
、当，时，
，，
故“若，则”是假命题的反例不可以为：，；
、当，时，
，，
故“若，则”是假命题的反例不可以为：，；
、当，时，
，，
故“若，则”是假命题的反例可以为：，；
故选：．
【点评】此题主要考查了命题与定理，解题的关键是正确计算．
23．（2023秋 鹿城区校级期中）写出命题“内错角相等，两直线平行”的逆命题： 两直线平行，内错角相等 ．
【分析】交换命题的题设和结论即可写出该命题的逆命题．
【解答】解：命题“内错角相等，两直线平行”的逆命题：两直线平行，内错角相等，
故答案为：两直线平行，内错角相等．
【点评】考查了命题与定理的知识，解题的关键是了解如何写出该命题的逆命题，难度不大．
24．（2023秋 临平区校级月考）请证明命题：“角平分线上的点到角两边的距离相等”是真命题．
【分析】首先根据题意画出图形，再结合图形写出已知和求证，然后证明，根据全等三角形的性质证明结论．
【解答】解：已知：如图，是的角平分线，点在上，于，于，
求证：．
证明：在和中，
，
，
．
【点评】本题考查的是角平分线的性质、全等三角形的判定和性质，掌握全等三角形的判定定理和性质定理是解题的关键．
九．轴对称的性质
25．（2022秋 恩施市期中）如图的的正方形网格中，的顶点都在小正方形的格点上，这样的三角形称为格点三角形，在网格中与成轴对称的格点三角形一共有
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
【分析】根据题意画出图形，找出对称轴及相应的三角形即可．
【解答】解：如图：
共3个，
故选：．
【点评】本题考查的是轴对称图形，根据题意作出图形是解答此题的关键．
26．（2022秋 东阳市期中）如图，和关于直线对称，与的交点在直线上．
（1）若，，求的度数．
（2）若，平分，，求的度数．
【分析】（1）根据轴对称的性质可知，，可得，进一步可得的度数，从而可得的度数；
（2）根据，可得，根据平分，可得，进一步可得，从而可得的度数．
【解答】解：（1）和关于直线对称，
，，
，
，
，
；
（2），
，
，，
又平分，
，
，
，
，
，
，
．
【点评】本题考查了轴对称的性质，平行线的性质，熟练掌握轴对称的性质是解题的关键．
27．（2023 金华开学）如图，将长方形沿翻折，点的对应点恰好落在边上，若，则的度数为 ．
【分析】根据轴对称性质得出，根据求出，求出，根据长方形的性质得出，根据平行线的性质得出即可．
【解答】解：将长方形沿翻折，点的对应点恰好落在边上，
，
，
，
，
四边形是长方形，
，
．
故答案为：．
【点评】本题考查了轴对称的性质和长方形的性质，能根据轴对称的性质得出是解此题的关键．
一十．轴对称图形
28．（2023秋 上城区期末）下列图书馆标志是轴对称图形的是
A． B． C． D．
【分析】根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可．
【解答】解：，，选项中的图形都不能找到一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形；
选项中的图形能找到一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形；
故选：．
【点评】本题考查了轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．
29．（2022秋 永嘉县校级月考）在图①补充2个小方块，在图②、③、④中分别补充3个小方块，分别使它们成为轴对称图形．
【分析】根据轴对称图形的定义解答即可．
【解答】解：作轴对称图形如下（答案不唯一）
【点评】此题主要考查了轴对称图形．解题的关键是掌握轴对称图形的定义．轴对称图形的定义：如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴．
30．（2021秋 云梦县期中）等边三角形有 3 条对称轴．
【分析】轴对称就是一个图形的一部分，沿着一条直线对折，能够和另一部分重合，这样的图形就是轴对称图形，这条直线就是对称轴，依据定义即可求解．
【解答】解：等边三角形有3条对称轴．
故答案为：3．
【点评】正确理解轴对称图形的定义是解决本题的关键，本题是一个基础题．
一十一．作图-轴对称变换
31．（2022秋 恩施市期末）如图，平面直角坐标系中，，，，过点作轴的垂线．
（1）作出关于直线的轴对称图形△；
（2）直接写出 4 ， ， ， ， ， ；
（3）在内有一点，则点关于直线的对称点的坐标为 ， （结果用含，的式子表示）．
【分析】（1）（2）利用网格特点和对称的性质画出、、的对称点、、，从而得到△各顶点的坐标；
（3）可先把得到点关于轴的对称点，然后把此对称点向右平移2个单位得到可得到点的坐标．
【解答】解：（1）如图，△为所作；
（2），，；
（3）点关于直线的对称点的坐标为．
故答案为4，1；5，4；3，3；，．
【点评】本题考查了作图轴对称变换：轴对称几何图形都可看作是由点组成，我们在画一个图形的轴对称图形时，也是先从确定一些特殊的对称点开始的．
32．（2023秋 婺城区期末）如图1，在的网格中，三个顶点均在格点上，这样的三角形叫做“格点三角形”．在图中画出一个“格点三角形”（阴影部分）与原关于某条直线成轴对称．请在图2、图3、图4中，各画一个和原三角形成轴对称的“格点三角形”，并将所画的“格点三角形”用“斜线”涂成“阴影部分”（图图4不重复）．
【分析】根据轴对称的性质画图．
【解答】解：如图，
【点评】本题考查了作图轴对称变换：先确定图形的关键点；再利用轴对称性质作出关键点的对称点；然后按原图形中的方式顺次连接对称点．
一十二．轴对称-最短路线问题
33．（2021秋 上城区期中）如图，是的角平分线，的面积为12，长为6，点，分别是，上的动点，则的最小值是
A．6 B．4 C．3 D．2
【分析】作关于的对称点，由是的角平分线，得到点一定在上，过作于，交于，则此时，的值最小，的最小值，过作于，根据垂直平分线的性质和三角形的面积即可得到结论．
【解答】解：作关于的对称点，
是的角平分线，
点一定在上，
过作于，交于，
则此时，的值最小，的最小值，
过作于，
的面积为12，长为6，
，
垂直平分，
，
，
，
的最小值是4，
故选：．
【点评】本题考查了轴对称最短路线问题，解题的关键是正确的作出对称点和利用垂直平分线的性质证明的最小值为三角形某一边上的高线．
34．（2023秋 奉化区期末）如图，，点，分别是边，上的定点，点，分别是边、上的动点，记，，当最小时，则的值为 ．
【分析】作关于的对称点，关于的对称点，连接交于，交于，则最小易知，，根据三角形的外角的性质和平角的定义即可得到结论．
【解答】解：如图，作关于的对称点，关于的对称点，连接交于，交于，则最小，
，，
，
，
，
故答案为．
【点评】本题考查轴对称最短问题、三角形的内角和定理．三角形的外角的性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题．
35．（2023 滨江区校级开学）如图所示，点在内，点，分别是点关于，的对称点，分别交，于点，．
（1）若，则 ， （用含的代数式表示）；
（2）①若的周长是，求的长．
②若，，直接写出的周长的最小值（用含的代数式表示）
【分析】（1）如图，连接、、，根据轴对称的性质可得和都是等腰三角形，且，进而可根据等腰三角形的性质得，同理可得，，于是可推得，，再根据已知条件和三角形的内角和定理即可求出答案；
（2）①根据轴对称的性质可推出的周长，进而可得结果；
②易得是等腰直角三角形，且，从而可根据勾股定理求出，而由轴对称的性质可知即为的周长的最小值，于是可得结果．
【解答】解：（1）如图，连接、、．
是点关于的对称点，
，，，
，，
，
同理可得：，，，
，；
，
，
故答案为：，；
（2）①、分别是点关于、的对称点，
，，
的周长，
的周长等于，
；
②，，
，，
的周长，且的周长的最小值为的长，
的周长的最小值是．
【点评】本题考查了轴对称的性质、等腰三角形的性质、三角形的内角和定理以及勾股定理等知识，属于常考题型，熟练掌握上述知识是解题的关键．
