浙教版数学九年级上册4.4两个相似三角形的判定 精品同步练习（含解析）

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浙教版九年级上册数学 4.4相似三角形的判定 同步练习
(考试时间：60分钟 满分：100分）
选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分。下列各题的备选答案中，只有一项是最符合题意的，请选出。）
1.如图，.要使，给出下列需要添加的条件:①；②；③，其中正确的是（ ）
A．①② B．①③ C．②③ D．①②③
2.如图，△ABC的中线AD、BE相交于点F，过点E作EG∥AD交BC于点G，则EG∶AF的值是（ ）
A． B． C． D．
3.如图．在△ABC中，DE∥BC，∠B=∠ACD，则图中相似三角形有（　　）
A．2对 B．3对 C．4对 D．5对
4.如图所示，在正方形ABCD中，G为CD边中点，连接AG并延长交BC边的延长线于E点，对角线BD交AG于F点．已知FG=2，则线段AE的长度为（　　）
A．6 B．8 C．10 D．12
5.如图，在中，点D、E分别在边、上，则在下列五个条件中：①；②；③；④，能满足的条件有（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
6.如图，在正方形中，为中点，． 联结．那么下列结果错误的是( )
A．与相似
B．与相似
C．与相似
D．与相似
7.下列判断中，不正确的有（ ）
A．三边对应成比例的两个三角形相似
B．两边对应成比例，且有一个角相等的两个三角形相似
C．有一个锐角相等的两个直角三角形相似
D．有一个角是100°的两个等腰三角形相似
8.如图，、是锐角两边、上的高，它们交于点，图中共有几对相似三角形（ ）
A．3对 B．4对 C．5对 D．6对
9.如图，矩形ABCD的对角线AC，BD交于点O，AB＝6，BC＝8，过点O作OE⊥AC，交AD于点E，过点E作EF⊥BD，垂足为F，则OE+EF的值为（　　）
A． B． C． D．
10.如图，已知则添加下列一个条件后，仍无法判定的是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题（本大题共5小题，每小题4分，共20分。）
11.如图，、是锐角的两条高线，则图中与相似三角形有______个．
12.如图，当∠AED=_______时，△ADE与△ABC相似．
13.如图，若，需添加的一个条件是______（填写一个条件即可）．
14.的边长分别为的边长分别，则与____________（选填“一定”“不一定” “一定不”）相似
15.如图，在边长为3的菱形ABCD中，点E在边CD上，点F为BE延长线与AD延长线的交点．若DE=1，则DF的长为________．
三、解答题（本大题共5小题，每小题10分，共50分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）
16.如图，在中，点在边上，，求证：．
17.如图，在△ABC中，AB＝，AC，点D在AC上，且AD＝AB，
(1)用尺规作图作出点D(保留作图痕迹，不必写作法)；
(2)连接BD，并证明：△ABD∽△ACB．
18.（1）如图，在正方形ABCD中，点E，F，G分别在AB，BC，CD上，且．求证：．
（2）若，且，求k的值．
19.在中，
求证：．
20.如图，内接于，且，是是上的一点，在的延长线上，连结交于，连结．
（1）求证：平分；
（2）若，求证：．
参考答案
选择题
1.【答案】B
【分析】
图中已知条件是∠ACB=∠BDC=90°，所以根据“两角法”、“两边及其夹角法”进行添加条件即可．上
【详解】
解：∠ACB=∠BDC=90°，
①若添加，可得∠ABC=∠BCD，可以判定，故①正确；
②若添加BC2=AC CD即时，不能判定，故②错误；
③若添加时，可以判定，故③正确；
故选：B．
2.【答案】C
【分析】
连接DE，根据中位线定理及三角形的相似可以得到AF=2FD，再根据ED∥AD得EG= AD，即可求解.
【详解】
连接DE.
AD、BE是三角形的中线
∴DE∥AB，DE=AB
∴△DEF∽△ABF
∴
∴
∵ED∥AD
∴△EGC∽△ADC
∴
∴
∴EG∶AF=
故选：C
3.【答案】C
【分析】
根据相似三角形的判定定理即可得到结论．
【详解】
∵∠B=∠ACD，∠A=∠A，
∴△ACD∽△ABC，
∵DE∥BC，
∴△ADE∽△ABC，
∴△ACD∽△ADE，
∵DE∥BC，
∴∠EDC=∠DCB，
∵∠B=∠DCE，
∴△CDE∽△BCD，
故共4对，
故选：C．
4.【答案】D
【详解】
分析：根据正方形的性质可得出AB∥CD，进而可得出△ABF∽△GDF，根据相似三角形的性质可得出=2，结合FG=2可求出AF、AG的长度，由CG∥AB、AB=2CG可得出CG为△EAB的中位线，再利用三角形中位线的性质可求出AE的长度，此题得解．
详解：∵四边形ABCD为正方形，
∴AB=CD，AB∥CD，
∴∠ABF=∠GDF，∠BAF=∠DGF，
∴△ABF∽△GDF，
∴=2，
∴AF=2GF=4，
∴AG=6．
∵CG∥AB，AB=2CG，
∴CG为△EAB的中位线，
∴AE=2AG=12．
故选D．
5.【答案】B
【分析】
根据相似三角形的判定逐个判断即可得．
【详解】
①在和中，，
，则条件①能满足；
②，
，则条件②不能满足；
③在和中，，
，则条件③能满足；
④由得：，
对应的夹角与不一定相等，
此时和不一定相似，则条件④不能满足；
综上，能满足的条件有2个，
故选：B．
6.【答案】C
【分析】
根据正方形的性质及勾股定理逆定理可以判断△AEF是直角三角形，再根据三角形相似的判定可以选出结果错误的选项．
【详解】
解：设正方形边长为1 ，则由已知可得：，
∴，∴△AEF是直角三角形，
∴在RT△ABE、RT△ECF、RT△ADF、RT△AEF中，
∠B=∠C=∠AEF=∠D，，
∴RT△ABE、RT△ECF、RT△AEF两两相似，但是△ABE 与 △ADF 不相似，
∴A、B、D正确，C错误，
故选C．
7.【答案】B
【分析】
由相似三角形的判定依次判断可求解．
【详解】
解：A、三边对应成比例的两个三角形相似，故A选项不合题意；
B、两边对应成比例，且夹角相等的两个三角形相似，故B选项符合题意；
C、有一个锐角相等的两个直角三角形相似，故C选项不合题意；
D、有一个角是100°的两个等腰三角形，则它们的底角都是40°，所以有一个角是100°的两个等腰三角形相似，故D选项不合题意；
故选：B．
8.【答案】D
【分析】
先分类找出所有的相似的三角形，分类型查相似三角形的对数，最后求和计算即可．
【详解】
先找出相似的三角形由△ABF，△ACE，△DBE，△DCF，
△ABF与△ACE，△DBE，△DCF都相似，有3对，
△ACE与△DBE，△DCF都相似，有2对，
△DBE与△DCF都相似，有1对，
相似的三角形共有3+2+1=6对．
故选择：D．
9.【答案】C
【分析】
根据矩形性质，计算可得OD=5；，设DE=x，则DF、OF、OE都可用含有x的值表示，，求出x的值，代入计算求解．
【详解】
，，
，，四边形ABCD是矩形，，
，AC=BD=10，OD=5，
AB：AD：BD=3：4：5，
EF：DF：ED=3：4：5；
设DE=5x，则DF=4x，EF=3x；
，，
、是直角三角形，
，AO=5，AD=8，
，
，
，
，
，
在直角中，，
，
解得：，
将代入可得，，
，
．
故选：C．
10.【答案】A
【分析】
先根据∠1=∠2得出∠BAC=∠DAE，再由相似三角形的判定定理对各选项进行逐一判定即可．
【详解】
解：∵∠1=∠2，
∴∠BAC=∠DAE．
A. ，∠B与∠D的大小无法判定，∴无法判定△ABC∽△ADE，故本选项符合题意；
B. ，∴△ABC∽△ADE，故本选项不符合题意；
C. ∴△ABC∽△ADE，故本选项不符合题意；
D. ∴△ABC∽△ADE，故本选项不符合题意；
故选：A
填空题
11.【答案】3
【分析】
根据∠BEO=∠CDO=90°，可证，同理可证，，从而得出答案；
【详解】
，是的高，
，
，，
，
，，
，
又∵，
，
，，
，
综上与相似的三角形有3个．
故答案为：3．
12.【答案】∠ACB或∠ABC
【分析】
根据题目所给的条件，利用一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，即可得出答案．此题答案不唯一．再找一个对应角相等的条件即可．
【详解】
∵∠BAC＝∠EAD（公共角），
再由∠AED＝∠ACB或∠AED＝∠ABC，
即可证明，△ADE与△ABC相似，
故答案为：∠ACB或∠ABC．
13.【答案】或或（任填其一）
【分析】
本题考查的是相似三角形的判定，本题要判定△ABC∽△EBD，已知∠ABC=∠EBD，具备了一组角对应相等，故添加∠BDE=∠BCA或∠BDE=∠BCA后可分别满足三角形相似，而三角形相似还需考虑一组角相等，对应两组边成比例，故还有．
【详解】
解：∵要△ABC∽△EBD，
又∵∠ABC=∠EBD，
∴只需∠BDE=∠BCA或∠BDE=∠BCA或即可，
故答案为：∠BDE=∠BCA或∠BDE=∠BCA或（任选其一即可）．
14.【答案】不一定
【分析】
先求出两个三角形三边的比，再根据三边对应成比例判断两个三角形相似即可．
【详解】
解：∵的边长分别为的边长分别，
∴两个三角形对应边的比分别为：
，
当a=b=c时，，这两个三角形相似，
当a≠b≠c时，，这两个三角形不相似，
∴与不一定相似，
故答案为：不一定．
15.【答案】1.5
【分析】
求出EC，根据菱形的性质得出AD∥BC，得出相似三角形，根据相似三角形的性质得出比例式，代入求出即可．
【详解】
∵DE=1，DC=3，
∴EC=3-1=2，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AD∥BC，
∴△DEF∽△CEB，
∴，
∴，
∴DF=1.5，
故答案为1.5．
解答题
16.【答案】见解析
【分析】
根据相似三角形的判定方法直接证明即可．
【详解】
证明：在与中，
∵，，
∴
17.【答案】（1）见解析；（2）见解析
【分析】
（1）先尺规作线段AB的垂直平分线，再以点A为圆心，以AB的一半作弧，与AC的交点即为点D的位置；
（2）根据两边成比例且夹角相等证明即可．
【详解】
解：（1）点D的位置如图所示：
（2）∵，且∠A=∠A，
∴△ABD∽△ACB．
18.【答案】（1）见解析；（2）3
【分析】
（1）根据正方形性质可得，在和中，根据已知条件和余角定理可得，根据相似三角形判定定理即可证明．
（2）根据比例的性质，、、可以写成、、的形式，、、的和写成含有字母k的式子，根据题意得出k的值．
【详解】
（1）证明：∵四边形ABCD为正方形，
∴．
∵，
∴，
∵，
∴；
∵
∴(AA)
（2）解：∵，
∴，，，
∴，
∵，
∴．
∴．
19.【答案】见解析
【分析】
根据平行线的性质可知∠ADE＝∠B，∠A＝∠BDF，根据相似三角形的判定定理可知△ADE∽△DBF．
【详解】
证明：∵DE∥BC，
∴∠ADE＝∠B．
又∵DF∥AC，
∴∠A＝∠BDF．
∴△ADE∽△DBF．
20.【答案】（1）见解析；（2）见解析．
【分析】
（1）据等边对等角，判定∠DCB=∠DBC，再据同弧所对圆周角相等，判定∠DAC=∠DBC，再据圆内接四边形性质判定∠EAD=∠DCB，最后得证平分；
（2）运用等边对等角和同弧所对圆周角相等证得∠CFB=∠DCB，据△BCF和△BDC还有一个公共角，由有两个角对应相等的三角形相似，证得．
【详解】
如下图
（1）∵
∴
又∵，
∴，即平分．
（2）∵
∴
又∵，
∴
又∵
∴．
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