浙教版数学九年级上册4.3相似三角形 精品同步练习（含解析）

中小学教育资源及组卷应用平台
浙教版九年级上册数学 4.3相似三角形 同步练习
(考试时间：60分钟 满分：100分）
选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分。下列各题的备选答案中，只有一项是最符合题意的，请选出。）
1.如图，锐角的边上的高线交于点，连接，则图中相似的三角形有（ ）

A．5对 B．6对 C．7对 D．8对
2.如图，△ABC中，∠A＝90°，AC＝6，AB＝8，点O在AB上，以O为圆心，OC为半径的圆与AB相切于D，则⊙O的半径为（　　）
A． B． C．4 D．5
3.如果一个直角三角形的两条边长分别是和，另一个与它相似的直角三角形的三边长分别是，及，那么的值（ ）
A．只有个 B．可以有个 C．可以有个 D．有无数个
4.在四边形中，是上的一点，，，若，，（ ）
A． B． C． D．2
5.如图，△ABC中，D是AB边上一点，∠ACD＝∠B，AD＝2，AC＝4，△ADC的面积为2，则△BCD的面积为（　　）
A．2 B．4 C．6 D．8
6.如图，点D在的边上，添加下列哪个条件后，仍无法判定（　　）
A． B． C． D．
7.如图，每个小正方形边长均为1，则下列图中的三角形（阴影部分）与图中△ABC相似的是（　　）
A． B．
C． D．
8.如图，与位似，位似中心为点O，位似比为，则的比值为（　　）

9.如图，小正方形的边长均为，则图中三角形（阴影部分）与相似的是
A. B.C. D.
10.如图，每个小正方形边长均为1，则下列图中的三角形（阴影部分）与图中△ABC相似的是（　　）
A．B．C． D．
二、填空题（本大题共5小题，每小题4分，共20分。）
11.在综合与实践课上，老师组织同学们以“矩形的折叠”为主题开展数学活动．有一张矩形纸片如图所示，点在边上，现将矩形折叠，折痕为，点对应的点记为点，若点恰好落在边上，则图中与一定相似的三角形是 ．

12.如图，的高，相交于点，写出一个与相似的三角形，这个三角形可以是 ．
13.矩形ABCD中，E，F，M分别为AB，BC，CD边上的点，且AB=6，BC=7，AE=3，DM=2，EF⊥FM则BF的长为_____．
14.等腰直角三角形ABC，AB=AC，∠BAC=∠BDC=90°，
（1）若∠DBA=20°，则∠ACD=______°；
（2）连接AD，则∠ADB=______°．
15.如图，在矩形ABCD中，AB＝3，AD＝7，点E是AD边上的一点，连接BE，将BE绕点E顺时针旋转90°至B′E，连接B′D，当△B′ED是直角三角形时，线段AE的长为_____．
三、解答题（本大题共5小题，每小题10分，共50分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）
16.如图，在正方形中，E是的中点，点F在上，且．

(1)求证：；
(2)与相似吗？为什么？
17.如图,AB是⊙O的直径, ⊙O过BC的中点D,DE⊥AC．求证: △BDA∽△CED．
18.如图，正方形ABCD中，点E，F，G分别在AB，BC，CD上，且∠EFG＝90°.求证：△EBF∽△FCG.
19.如图，在△ABC中，∠ABC＝80°，∠BAC＝40°，AB的垂直平分线分别与AC、AB交于点D、E．
（1）在图中作出AB的垂直平分线DE，并连接BD．
（2）证明：△ABC∽△BDC．
20.如图，两车从路段AB两端同时出发，沿平行路线行驶（即AC∥BD），CE和DF的长分别表示两车到道路AB的距离．
（1）如果两车行驶速度不相同，证明：△ACE∽△BDF；
（2）添加一个条件，使△ACE≌△BDF，请说明理由．
参考答案
选择题
1.【答案】D
【分析】平行于三角形一边的直线和其他两边或两边的延长线相交，所构成的三角形与原三角形相似；三边对应成比例，两个三角形相似；两边对应成比例且夹角相等，两个三角形相似；两角对应相等，两个三角形相似．根据相似三角形的判定定理分析判断即可．
【详解】解：根据题意，，，
∴，
∴，
∴；
∵，，
∴；
∵，，
∴；
∵，，
∴；
∵，，
∴；
∵，，
∴；
∵，，
∴；
∵，
∴，
又∵，
∴；
∵，
∴，
又∵，
∴．
综上所述，图中相似的三角形有，，，，，，，，共计8对．
故选：D．
2.【答案】B
【分析】
连接OD，得到OD⊥AB，利用勾股定理求出BC为10，再利用相似三角形列出方程求解即可
【详解】
解：连接OD，则OD⊥AB．
∵∠A＝90°，AC＝6，AB＝8，
∴BC＝10，
∵∠A＝90°，
∴OD∥AC，
设半径为r，
，
r＝，
故选：B．
3.【答案】B
【分析】
两条边长分别是3和4的直角三角形有两种可能，即已知边均为直角边或者4为斜边，运用勾股定理分别求出第三边后，和另外三角形构成相似三角形，利用对应边成比例即可解答．
【详解】
因为当3和4都为直角边时，则斜边为5，当4是斜边时，则另一直角边为，
所以另一个与它相似的直角三角形也有两种可能，
第一种：，解得x=15;
第二种：，解得x=3,
所以可以有2个.
故选：B.
4.【答案】C
【分析】
根据， ，则△ADE∽△ECB，得，由，则求出，又，即可得到答案.
【详解】
解：∵，则△ADE∽△ECB，
∴，
∵，
解得：，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴；
故答案为：C.
5.【答案】C
【分析】
根据∠ACD＝∠B，∠A＝∠A得出△ACD∽△ABC，再根据相似三角形的面积比是相似比的平方得出面积比，从而进一步求解即可
【详解】
解：∵∠ACD＝∠B，∠A＝∠A，
∴△ACD∽△ABC，
∴ ，
∵S△ACD＝2，
∴S△ABC＝8，
∴S△BCD＝S△ABC﹣S△ACD＝8﹣2＝6．
故选：C．
6.【答案】D
【分析】
根据三角形相似的判定方法一一判断即可．
【详解】
解：A、根据两角对应相等两三角形相似，可以判定△ABC∽△ADB；
B、根据两角对应相等两三角形相似，可以判定△ABC∽△ADB；
C、根据两边成比例夹角相等两三角形相似即可判定△ABC∽△ADB；
D、无法判断三角形相似．
故选：D．
7.【答案】B
【分析】
本题主要应用两三角形相似判定定理，三边对应成比例，分别对各选项进行分析即可得出答案．
【详解】
解：由勾股定理得：AB＝＝，BC＝2，AC＝＝，
∴AC：BC：AB＝1：：，
A、三边之比为1：：2，图中的三角形（阴影部分）与△ABC不相似；
B、三边之比：1：：，图中的三角形（阴影部分）与△ABC相似；
C、三边之比为：：3，图中的三角形（阴影部分）与△ABC不相似；
D、三边之比为2：：，图中的三角形（阴影部分）与△ABC不相似．
故选：B．
8.【答案】A
【分析】利用位似变换的性质判断即可．
【详解】解：∵与位似，位似中心为点O，位似比为，
∴，
故选：A．
9.【解析】利用中，，，，然后根据两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似可对各选项进行判定．
【解答】
解：在中，，，，
在，，选项中的三角形都没有，而在选项中，
三角形的钝角为，它的两边分别为和，
因为，所以选项中的三角形与相似．
故选．
10.【答案】B
【解答】解：由勾股定理得：AB＝＝，BC＝2，AC＝＝，
∴AC：BC：AB＝1：：，
A、三边之比为1：：2，图中的三角形（阴影部分）与△ABC不相似；
B、三边之比：1：：，图中的三角形（阴影部分）与△ABC相似；
C、三边之比为：：3，图中的三角形（阴影部分）与△ABC不相似；
D、三边之比为2：：，图中的三角形（阴影部分）与△ABC不相似．
故选：B．
填空题
11.【答案】
【分析】由矩形的性质得，从而得到，由折叠的性质可得：，从而得到，由此推断出．
【详解】解：四边形是矩形，
，
，
由折叠的性质可得：，
，
，
，
，
故答案为：．
12.【答案】（答案不唯一）
【分析】根据已知条件得，，推出，其他同理.
【详解】解： ；
证明：∵的高，相交于点，
∴，
∵，
∴；
故答案为：（答案不唯一）.
13.【答案】3或4
【分析】
由四边形ABCD是矩形，得到∠B=∠C=90°，CD=AB=6，根据AE=3，DM=2，于是得到BE=3，CM=4，推出△BEF∽△CFM，得到，即可得到结论．
【详解】
解：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠B=∠C=90°，CD=AB=6，
∵AE=3，DM=2，
∴BE=3，CM=4，
∵EF⊥FM，
∴∠BEF+∠BFE=∠BFE+∠MFC=90°，
∴∠BEF=∠CFM，
∴△BEF∽△CFM，
，代入数据，
解得：BF=3或BF=4，
故答案为：3或4．
14.【答案】20； 45
【分析】
（1）利用三角形内角和定理求出∠AGB，根据对顶角相等求出∠CGD即可解决问题；
（2）由说明△CGD∽△BGA，得到 ，进而得到△CGB∽△DGA，可得∠ADG=∠BCG解决问题；
【详解】
解：（1）
∵∠DBA=20°，∠BAG=90°，
∴∠BGA=90°-20°=70°，
∴∠CGD=∠AGB=70°，
∵∠CDG=90°，
∴∠DCG=90°-70°=20°，
故答案为20．
（2）∵∠CGD=∠BGA，∠CDG=∠BAG=90°，
∴△CGD∽△BGA，
∴=，
∵∠CGB=∠DGA，
∴△CGB∽△DGA，
∴∠ADG=∠BCG，
∵AB=AC，∠BAC=90°，
∴∠ACB=45°，
∴∠ADB=∠BCG=45°，
故答案为45．
15.【答案】4或.
【分析】
根据题意分两种情况讨论，若∠EB'D＝90°，利用相似三角形的判定与性质求得BE2＝3DE，再根据勾股定理得到BE2＝AB2+AE2，进而求得AE的值；若∠EDB'＝90°，通过“角角边”证明△AEB≌△B'DE，进而得到AE的值.
【详解】
∵将BE绕点E顺时针旋转90°至B′E，
∴BE＝B'E，∠BEB'＝90°，
①若∠EB'D＝90°，
∴∠B'ED+∠B'DE＝90°，且∠AEB+∠B'ED＝90°，
∴∠AEB＝∠B'ED，且∠A＝∠EB'D＝90°，
∴△AEB∽△B'DE，
∴，
∴BE2＝3DE，
∵BE2＝AB2+AE2，
∴3（7﹣AE）＝9+AE2，
∴AE＝；
②若∠EDB'＝90°，
∵∠A＝∠EDB'，BE＝B'E，∠AEB＝∠B'ED，
∴△AEB≌△B'DE（AAS），
∴AB＝DE＝3，
∴AE＝4.
故答案为：4或.
解答题
16.【答案】(1)见解析
(2)相似，理由见解析
【分析】（1）由正方形的性质可得,，再根据可得，进而说明，再结合，即可证明结论；
（2）设，利用E为边的中点，，得到，则可计算出,由勾股定理逆定理可得以及再说明即可证明结论．
【详解】（1）解：∵正方形，
∴,
∵，
∴，
∵点F在上，
∴,
∴,
∵,
∴．
（2）解：与相似，理由如下：
设，
∵E为边的中点，，
∴，
∴，,,
∴,即,
∴,
∵,
∴,
∴．
17.【答案】证明见解析.
【分析】
不难看出△BDA和△CED都是直角三角形，证明△BDA∽△CED，只需要另外找一对角相等即可，由于AD是△ABC的中线，又可证AD⊥BC，即AD为BC边的中垂线，从而得到∠B=∠C，即可证相似．
【详解】
∵AB是⊙O直径，
∴AD⊥BC，
又BD=CD，
∴AB=AC，
∴∠B=∠C，
又∠ADB=∠DEC=90°，
∴△BDA∽△CED.
18.【答案】见解析
【分析】
根据正方形的性质得∠B＝∠C＝90°，再利用等角的余角相等得∠BEF=∠CFG，然后根据有两组角对应相等的两个三角形相似可得到△EBF∽△FCG．
【详解】
证明：　∵四边形ABCD为正方形，
∴∠B＝∠C＝90°，
∴∠BEF＋∠BFE＝90°，
∵∠EFG＝90°，
∴∠BFE＋∠CFG＝90°，
∴∠BEF＝∠CFG，
∴△EBF∽△FCG.
19.【答案】（1）见解析（2）证明见解析
【分析】
（1）分别以A、B为圆心，大于AB的长为半径画弧，两弧交于两点，过两点作直线，即为AB的垂直平分线；
（2）由线段垂直平分线的性质，得DA=DB，则∠ABD=∠BAC=40°，从而求得∠CBD=40°，即可证出△ABC∽△BDC．
【详解】
（1）如图，DE即为所求；
（2）∵DE是AB的垂直平分线，
∴BD＝AD，
∴∠ABD＝∠A＝40°，
∴∠DBC＝∠ABC﹣∠ABD＝80°﹣40°＝40°，
∴∠DBC＝∠BAC，
∵∠C＝∠C，
∴△ABC∽△BDC．
20.【答案】(1)见解析;(2)见解析.
【分析】
（1）直接利用平行线的性质以及相似三角形的判定方法进而得出答案；
（2）结合全等三角形的判定方法即可得出答案．
【详解】
（1）证明：∵AC∥BD，
∴∠A＝∠B，
∵CE⊥AB，DF⊥AB，
∴∠CEA＝∠DFB＝90°，
∴△ACE∽△BDF；
(2) 由（1）可知△ACE∽△BDF；如果相似比是1，则△ACE≌△BDF，所以需要有一条边相等，
我们发现决定两个三角形边长变化的是AC和BD的长度，
所以只要AC＝BD，则可满足△ACE≌△BDF；
那么要使AC＝BD，由已知可知两车同时出发，所以两车速度相同则可以保证AC＝BD，
所以添加两车等速行驶即可
证明：∵AC∥BD，
∴∠A＝∠B，
∵CE⊥AB，DF⊥AB，
∴∠CEA＝∠DFB＝90°，
∵两车等速同时行驶，
∴AC＝BD，
在△ACE和△BDF中
，
∴△ACE≌△BDF（AAS）．
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
HYPERLINK "http://21世纪教育网(www.21cnjy.com)
" 21世纪教育网(www.21cnjy.com)