浙教版数学九年级上册4.6相似多边形 精品同步练习（含解析）

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浙教版九年级上册数学 4.6相似多边形 同步练习
(考试时间：60分钟 满分：100分）
选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分。下列各题的备选答案中，只有一项是最符合题意的，请选出。）
1.如图，在锐角三角形中，点D、E、F分别是边、、的中点，从每边中点分别作其余两边的垂线，这六条垂线围成六边形，设六边形的面积为，的面积为S，则（ ）

A．3：5 B．2：3 C．1：2 D．1：3
2.下列图形中一定是相似形的是（ ）
A．两个等腰三角形 B．两个菱形 C．两个矩形 D．两个正方形
3.下列说法中，错误的是（ ）
A．所有的等边三角形都相似 B．所有的矩形都相似
C．所有的等腰直角三角形都相似 D．所有的正方形都相似
4.下列每个选项的两个图形，不是相似图形的是（ ）
A． B．C． D．
5.下列命题是假命题的是（ ）
A．所有的矩形都相似
B．所有的圆都相似
C．一个角是100°的两个等腰三角形相似
D．所有的正方形都相似
6.将矩形按照如图所示的方式向外扩张得到新矩形，每条对角线向其延长线两个方向各延伸，若所得新矩形与原矩形相似，则的值的个数可以是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．无数个
7.下面关于两个图形相似的判断：①两个等腰三角形相似；②两个等边三角形相似；③两个等腰直角三角形相似；④两个正方形相似；⑤两个等腰梯形相似．其中正确的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
8.如图，在矩形中，点，分别是，边的中点，连接，若矩形与矩形相似，，则矩形的面积为（ ）
A．1 B． C． D．
9. 如图所示，一般书本的纸张是原纸张多次对开得到，矩形ABCD沿EF对开后，再把矩形EFCD沿MN对开，依次类推，若各种开本的矩形都相似，那么等于（ ）
A． B． C． D．2
10.如图，在矩形中，点O为对角线上一点，过点O作交，于点E，F，作交，于点G，H，连结，要求出的面积，只需要知道（ ）

A．矩形与矩形的面积之积 B．矩形与矩形的面积之商
C．矩形与矩形的面积之和 D．矩形与矩形的面积之差
二、填空题（本大题共5小题，每小题4分，共20分。）
11.四边形和四边形是相似图形，点A、B、C、D分别与点、、、对应，已知，，，那么的长是______．
12.若两个相似五边形的相似比为则它们的面积比为_________________．
13.下列五组图形中，①两个等腰三角形；②两个等边三形；③两个菱形；④两个矩形；⑤两个正方形．一定相似的有_______（填序号）
14.一张比例尺为200：1的设计图纸上，有一个零件的底面积是400，则这个零件的实际底面积是________．
15.如图所示，长与之间距离为1，宽与之间距离为，矩形的长，宽，为______时，图中的两个矩形与相似．
三、解答题（本大题共5小题，每小题10分，共50分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）
16.如图，点E是菱形ABCD对角线CA的延长线上任意一点，以线段AE为边作一个菱形AEFG，且菱形AEFG∽菱形ABCD，相似比是：2，连接EB，GD．
（1）求证：EB＝GD；
（2）若∠DAB＝60°，AB＝2，求GD的长．
17.如图，四边形四边形．
（1）＝________，它们的相似比是_______．
（2）求边、的长度．

18.阅读理解：给定一个矩形，如果存在另一个矩形，它的周长和面积分别是已知矩形的周长和面积的一半，则这个矩形是给定矩形的“减半”矩形．如图，矩形是矩形ABCD的“减半”矩形．请你解决下列问题：
（1）当矩形的长和宽分别为9，1时，它是否存在“减半”矩形？请作出判断，如果不存在，请说明理由；如果存在，请求出“减半”矩形的长宽．
（2）边长为a的正方形存在“减半”正方形吗？如果存在，求出“减半”正方形的边长；如果不存在，请说明理由．
19.如图所示，有一张矩形纸片ABCD，E、F分别是BC、AD上的点（不与顶点重合）．如果直线EF将矩形分成面积相等的两部分，那么
（1）得到的两个四边形是否相似？若相似，请求出相似比；若不相似，请说明理由；
（2）这样的直线可以作多少条？
20.阅读理解：给定一个矩形，如果存在另一个矩形，它的周长和面积分别是已知矩形的周长和面积的一半，则这个矩形是给定矩形的“减半”矩形．如图，矩形是矩形的“减半”矩形．
请你解决下列问题：
（1）当矩形的长和宽分别为，时，它是否存在“减半”矩形？请作出判断，并说明理由．
（2）边长为的正方形存在“减半”正方形吗？如果存在，求出“减半”正方形的边长；如果不存在，请说明理由．
参考答案
选择题
1.【答案】C
【分析】过三个中点分别作六边形边的平行线，则此六边形被分割为3个平行四边形，从而得到六边形的面积等于三角形面积的2倍，从而问题可解．
【详解】解：过三个中点分别作六边形边的平行线，交于点，
六边形被分成平行四边形，平行四边形，平行四边形，
、、分别是平行四边形的对角线，

，，，
，
，
，
．
故选：C．
2.【答案】D
【分析】
根据对应角相等，对应边成比例的两个图形，叫做相似图形进行判断即可．
【详解】
A、两个等腰三角形，三个角不一定相等，因此不一定相似，故本选项错误，不符合题意．
B、两个菱形对应角不一定相等，故本选项不符合题意；
C、两个矩形的边不一定成比例，故不一定相似，故本选项错误，不符合题意．
D、两个正方形四个角相等，各边一定对应成比例，所以一定相似，故本选项正确，符合题意；
故选：D．
3.【答案】B
【分析】
A．根据等边三角形的性质、相似三角形的判定方法进行判断；
B．结合矩形的性质、利用反例进行判断；
C．根据等腰直角三角形的性质、相似三角形的判定方法进行判断；
D．根据正方形的性质、相似多变形的定义进行判断．
【详解】
解：A．所有的等边三角形都相似，故本选项选项为真命题；
B．所有的矩形不一定相似，如一个矩形的长宽之比为，另一个矩形的长宽之比为，故本选项选项为假命题；
C．所有的等腰直角三角形都相似，故本选项选项为真命题；
D．所有的正方形都相似，故本选项选项为真命题．
故选：B
4.【答案】D
【分析】
根据相似图形的定义，对选项进行一一分析，排除错误答案．
【详解】
解：A、形状相同，但大小不同，符合相似形的定义，故不符合题意；
B、形状相同，但大小不同，符合相似形的定义，故不符合题意；
C、形状相同，但大小不同，符合相似形的定义，故不符合题意；
D、形状不相同，不符合相似形的定义，故符合题意；
故选：D．
5.【答案】A
【分析】
根据相似图形的性质判断命题真假即可；
【详解】
矩形的各个角都相等，但边不一定成比例，故A是假命题；
所有的圆都相似，故B是真命题；
一个角是100°的两个等腰三角形相似，故C是真命题；
所有的正方形都相似，故D是真命题；
故答案选A．
6.【答案】D
【分析】
根据相似多边形的对应边成比例，对应角相等进行分析判断．
【详解】
新矩形与原矩形相似，因此可得到对应边成比例，对应角相等，与a的取值无关，
故选：D．
7.【答案】C
【分析】
根据相似图形的定义，结合图形，对选项一一分析，利用排除法求解．
【详解】
解：①两个等腰三角形顶角不一定相等，故不一定相似；
②两个等边三角形，角都是60°，故相似；
③两个等腰直角三角形，都有一个直角和45°的锐角，故相似．
④两个正方形，对应角相等，对应边成比例，故相似；
⑤两个等腰梯形不一定对应角相等，对应边成比例，故不相似．
⑥所以共有3个一定相似，
故选：C．
8.【答案】C
【分析】
根据相似多边形的性质列出比例式，计算即可．
【详解】
设AE＝x，则AD＝2AE＝2x，
∵矩形ABFE与矩形ABCD相似，
∴，即，
解得，x＝，
∴AD＝2x＝，
∴矩形ABCD的面积为AB AD＝1×＝，
故选：C．
9.【答案】A
【分析】
首先根据相似的性质，可得对应边成比例，即为，又根据，可得出，据此进行求解即可．
【详解】
∵各种开本的矩形都相似，
∴矩形ABCD与矩形BFEA相似，
∴，
∴AD BF=AB AB，
又∵，
∴，
∴，
故选A．
10.【答案】A
【分析】设，，，，即，证明，可得，即，从而求得，，即可求解．
【详解】解：设，，，，即，
∵四边形是矩形，，，
∴四边形是矩形，
∴，
∴，
∴，即，
∴，
∵，，
∴，
故选：A
填空题
11.【答案】
【分析】
根据相似图形的性质即可得．
【详解】
四边形和四边形是相似图形，且点分别与点对应，
，
又，，，
，
解得，
故答案为：．
12.【答案】9:25
【分析】
根据形似多边形面积的比等于相似比的平方解答即可
【详解】
解：∵两个相似五边形的相似比为3:5，
∴它们的面积比为9:25．
故答案为：9:25．
13.【答案】②⑤
【分析】
根据相似图形的性质对各个选项逐个分析，即可得到答案．
【详解】
两个等腰三角形的顶角不一定相等，故不一定相似；
两个等边三角形一定相似；
两个菱形的内角不一定相等，故不一定相似；
两个矩形的相邻边长比例不一定相等，故不一定相似；
两个正方形一定相似；
故答案为：②⑤．
14.【答案】1
【分析】
由相似图形的面积比等于相似比的平方，得出面积比，即可得出零件的实际底面积．
【详解】
因为比例尺为200：1，所以面积比为40000：1，
又因为图纸上的底面积为400，
则实际底面积为：．
故答案为：1．
15.【答案】1.5或9
【分析】
根据相似多边形的性质列出比例式，代入计算得到答案．
【详解】
解：当时，图中的两个矩形与相似，
解得，，
当时，图中的两个矩形与相似，
解得，，
故答案为：1.5或9．
解答题
16.【答案】（1）见解析；（2）GD＝
【分析】
（1）利用相似多边形的对应角相等和菱形的四边相等证得三角形全等后即可证得两条线段相等；
（2）连接BD交AC于点P，则BP⊥AC，根据∠DAB＝60°得到BP＝AB＝1，然后求得EP＝2，最后利用勾股定理求得EB的长即可求得线段GD的长即可．
【详解】
（1）证明：∵菱形AEFG∽菱形ABCD，∴∠EAG＝∠BAD，
∴∠EAG+∠GAB＝∠BAD+∠GAB，
∴∠EAB＝∠GAD，
∵AE＝AG，AB＝AD，
∴△AEB≌△AGD，
∴EB＝GD；
（2）连接BD交AC于点P，则BP⊥AC，
∵∠DAB＝60°，
∴∠PAB＝30°，
∵菱形AEFG∽菱形ABCD，相似比是：2，AB＝2，
∴AE＝，BP＝AB＝1，
∴
∴EP＝2
∴
∴GD＝．
17.【答案】（1）83°；；（2），
【分析】
（1）直接根据相似多边形的性质即可得出∠，∠，然后利用四边形的内角和即可求出，根据相似比的定义即可求出结论；
（2）直接根据相似多边形的性质列出比例式即可求出结论．
【详解】
解：（1）∵四边形四边形，
∴∠=∠A=62°，∠=∠B=75°
∵∠=140°
∴＝360°－∠－∠－∠=83°
相似比为
故答案为：83°；；
（2）∵四边形四边形，相似比为
∴
解得：，．
18.【答案】（1）存在，长为，宽为；（2）不存在，见解析
【分析】
（1）设“减半”矩形的长为x，则宽为5-x，根据“减半”矩形的定义列出方程求解即可．
（2）根据两个正方形是相似图形，面积比是相似比的平方可知不存在“减半”正方形．
【详解】
解：（1）存在“减半”矩形；
设“减半”矩形的长为x，则宽为5-x，
由题意得：x(5-x)=，
解得：x1=，x2=；
∴ “减半”矩形的长为，宽为；
（2）不存在．
因为两个正方形是相似图形，当它们的周长比为时，面积比必定是，
所以正方形不存在“减半”正方形．
【答案】见解析
【解析】
（1）相似．理由如下：
因为EF将矩形ABCD分成面积相等的两部分，所以可设AB＝a，AD＝b，BE＝x．
于是有，
所以x＋AF＝b－x＋b－AF，即AF＝b－x．
又EC＝b－x，所以AF＝EC．
在矩形ABCD中，AB＝CD，AD＝BC，AD∥BC，
所以DF＝BE，∠AFE＝∠FEC，∠DFE＝∠BEF，∠A＝∠B＝∠C＝∠D＝90°．
所以在四边形ABEF与四边形CDFE中，有
∠A＝∠C＝90°，∠B＝∠D＝90°，∠AFE＝∠FEC，∠BEF＝∠DFE，
，
所以四边形ABEF与四边形CDFE相似，相似比为1．
（2）这样的直线有无数条，只要过矩形对角线的交点且满足条件即可．
20.【答案】（1）存在；理由见解析；（2）不存在，理由见解析．
【分析】
（1）假设存在，不妨设“减半”矩形的长和宽分别为x、y，根据如果存在另一个矩形，它的周长和面积分别是已知矩形的周长和面积的一半，可列出方程组求解．
（2）正方形和其他的正方形是相似图形，周长比是2，面积比就应该是4，所以不存在“减半”正方形．
【详解】
解：（1）存在
假设存在，不妨设“减半”矩形的长和宽分别为，，则，
由①，得：，③
把③代入②，得，
解得，．
所以“减半”矩形长和宽分别为与．
（2）不存在
因为两个正方形是相似图形，当它们的周长比为时，面积比必定是，
所以正方形不存在“减半”正方形．
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