浙教版数学九年级上册4.5相似三角形的性质及应用 精品同步练习（含解析）

中小学教育资源及组卷应用平台
浙教版九年级上册数学 4.5相似三角形的性质及应用 同步练习
(考试时间：60分钟 满分：100分）
选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分。下列各题的备选答案中，只有一项是最符合题意的，请选出。）
1.与是位似图形，且与位似比是1：2，已知的面积是20，则 的面积是（ ）．
A．10 B．20 C．40 D．80
2.如图，在 ABCD中，AB＝6，AD＝9，∠BAD的平分线交BC于点E，交DC的延长线于点F，BG⊥AE，垂足为G，BG＝，则△CEF的周长为（ ）
A．8 B．9.5 C．10 D．11.5
3.勾股定理是几何中一个重要定理．著名数学家毕达哥拉斯用如图①所示的图形验证了勾股定理，把图①放入矩形内得到图②，∠ACB＝90°，BC＝2AC，E，F，G，H，I都在矩形MNOP的边上，则的值为（ ）
A． B． C． D．
4.如图，在平行四边形中，点E是边上一点，，连接，且交于点F．若，则（ ）
A．7 B．15 C．17.5 D．18.5
5.如图，正方形的边长是2，是的中点，连接、相交于点，则的长为（ ）
A． B． C． D．5
6.如图，在菱形中，，A，E分别交、于点E、F，，连接，以下结论：①；②点E到的距离是；③与的面积比为3∶2：④的面积为为，其中正确的是（ ）
A．①④ B．①③④ C．①②④ D．①②③④
7.如图，在中，点D在AB边上，，与边AC交于点E，连结BE，记，的面积分别，（ ）
A．若，则
B．若，则
C．若，则
D．若，则
8.如图，D、E分别是的边AB、BC上的点，，若，则的值为（ ）
A． B． C． D．
9.如图，一次函数y＝﹣2x+10的图象与反比例函数y＝（k＞0）的图象相交于A、B两点（A在B的右侧），直线OA与此反比例函数图象的另一支交于另一点C，连接BC交y轴于点D，若，则△ABC的面积为（　　）
A．12 B．10 C．9 D．8
10.如图，与的边相切，切点为点，并分别与、边相交于、点，，过点作交于点，若的半径不变，则的最大值为（ ）
A． B． C． D．无法确定
二、填空题（本大题共5小题，每小题4分，共20分。）
11.四个全等的直角三角形如图摆放成一个风车的形状，形成正方形ABCD和正方形IJKL．若BF平分∠ABK，AF：FK＝5：3，风车周长为10+6，则四个直角三角形的面积和是___．
12.在梯形中，，两条对角线、相交于点O，，那么__________．
13.如图，在中，，若，，，则的长是______．
14.如图是的中线，是上一点，且，的延长线交于点，若，则________．
15.如图，在中，点、分别是、的中点，若的面积为4，则的面积为________．
三、解答题（本大题共5小题，每小题10分，共50分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）
16.如图，在△ABC中，AD是角平分线，点E，点F分别在线段AB，AD上，且∠EFD＝∠BDF．
（1）求证：△AFE∽△ADC．
（2）若，，且∠AFE＝∠C，探索BE和DF之间的数量关系．
17.如图，在平行四边形中，是的延长线上一点，，连接与、分别交于点、．
（1）若的面积为2，则平行四边形的面积等于______；
（2）求证：．
18.如图，在中，，，点是边的中点，于点．
（1）求证：；
（2）求的大小．
19.如图，在中，点，，分别在，，边上，，．
（1）求证：；
（2）设，若，求线段的长．
20.如图，在中，AD是角平分线，点E在边AC上，且，连接DE．
（1）求证：．
（2）若，，求AC的长．
参考答案
选择题
1.【答案】D
【分析】
根据面积比等于相似比的平方，求出 的面积．
【详解】
∵，
∴，
∴，
∵，
∴．
故选：D．
2.【答案】A
【分析】
在 ABCD中，AB＝CD＝6，AD＝BC＝9，∠BAD的平分线交BC于点E，可得△ADF是等腰三角形，AD＝DF＝9；△ABE是等腰三角形，AB＝BE＝6，所以CF＝3；在△ABG中，BG⊥AE，AB＝6，BG＝4，可得AG＝2，又△ADF是等腰三角形，BG⊥AE，所以AE＝2AG＝4，所以△ABE的周长等于16，又由 ABCD可得△CEF∽△BEA，相似比为1：2，所以△CEF的周长为8，因此选A．
【详解】
解：∵在 ABCD中，AB＝CD＝6，AD＝BC＝9，∠BAD的平分线交BC于点E，
∴∠BAF＝∠DAF，
∵AB∥DC，
∴∠BAF＝∠F，
∴∠DAF＝∠F，
∴AD＝FD，
∴△ADF是等腰三角形，
同理△ABE是等腰三角形，
AD＝DF＝9；
∵AB＝BE＝6，
∴CF＝3；
∴在△ABG中，BG⊥AE，AB＝6，BG＝4，可得：AG＝2，
又BG⊥AE，
∴AE＝2AG＝4，
∴△ABE的周长等于16，
又∵四边形ABCD为平行四边形，
∴△CEF∽△BEA，相似比为1：2，
∴△CEF的周长为8．
故选：A．
3.【答案】A
【分析】
如图所示，延长交于 过作于 设BC＝2AC＝2a，由题意可知，AC＝CD＝DE＝AE＝a，BH＝HI＝CI＝BC＝2a，由勾股定理可得，AB＝，可得AB＝BG＝FG＝AF＝a，再利用相似三角形的性质分别用含的代数式表示，即可得到答案．
【详解】
解：如图所示，延长交于 过作于
设BC＝2AC＝2a，
由题意可知，AC＝CD＝DE＝AE＝a，BH＝HI＝CI＝BC＝2a，
由勾股定理可得，AB＝，
∴AB＝BG＝FG＝AF＝a，
∵∠AKI＝∠ACB＝90°，∠CAB＝∠IAK，
∴△AKI∽△ACB，
∴，
∴IK＝，
∴MP＝MJ+JP＝IK+AF＝
∴AK＝，
同理可得：△AEJ∽△BAC，
∴，
∴AJ＝，
同理可得：△ABC∽△HIN，
∴，
∴，
∴MN＝MI+IN＝AJ+AK+IN＝，
∴，
故选：A．
4.【答案】C
【分析】
根据已知可得到相似三角形，从而可得到其相似比，再根据相似三角形的面积比等于相似比的平方求出△ABE，△BEF的面积即可．
【详解】
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴DE∥AB，
∴△DFE∽△BFA，
∵DE：EC＝2：3，
∴DE：AB＝2：5，DF：FB＝2：5，
∵S△DEF＝2，
∴S△ABF＝，S△BEF＝5，
∴S△ABE＝＋5＝17.5，
故选：C．
5.【答案】A
【分析】
先根据正方形的性质可得，再根据线段中点的定义可得，然后根据相似三角形的判定与性质可得，从而可得，由此即可得．
【详解】
四边形ABCD是边长为2的正方形，
，
点是的中点，
，
又，
，
，
，
故选：A．
6.【答案】C
【分析】
根据菱形的性质得出△ABF和△CBF全等的条件，从而可判断①成立；过点E作EG⊥AB，过点F作MH⊥AB，求得EG的长度，则可判断②是否成立；由AD∥BE，可判定△ADF∽△EBF，由相似三角形的性质可得△ADF与△EBF的面积比，从而可判断③是否成立；利用相似三角形的性质和等边三角形的性质，可求得△ABF在AB边上的高，进而求得△ABF的面积，则可判断④是否成立．
【详解】
解：∵四边形ABCD是菱形，AB=6，
∴BC=AB=6，
∵∠DAB=60°，
∴AB=AD=DB=6，∠ABD=∠DBC=60°，
在△ABF与△CBF中，
，
∴△ABF≌△CBF（SAS），故①成立；
如图，过点E作EG⊥AB延长线于点G；过点F作MH⊥AB交AB，CD于点H，M，
则由菱形的对边平行可得MH⊥CD，
∵CE=2，BC=6，∠ABC=120°，
∴BE=6-2=4，∠EBG=60°
∵EG⊥AB，
∴EG=4×,
故②成立；
∵AD∥BE，
∴△ADF∽△EBF，
∴
故③不成立；
∵△ADF∽△EBF，
∵DB=6，
∴BF=
∴FH= ×=，
∴S△ABF=AB FH=，
故④成立．
综上所述，一定成立的有①②④．
故选：C．
7.【答案】D
【分析】
根据题意判定△ADE∽△ABC，由相似三角形的面积之比等于相似比的平方解答．
【详解】
∵在△ABC中，DE∥BC，
∴△ADE∽△ABC，
，
若，则，，
即：，整理得：，
而，则，,
，即：，故无法判断与之间的大小关系，排除A、B；
若，则，，
即：，整理得：，
而，则，,
，即：，排除C，
，
故选：D．
8.【答案】B
【分析】
证明BE：EC＝1：3，进而证明BE：BC＝1：4；证明△DOE∽△AOC，得到，借助相似三角形的性质即可解决问题．
【详解】
∵S△BDE：S△CDE＝1：3，
∴BE：EC＝1：3；
∴BE：BC＝1：4；
∵DE∥AC，
∴，△DOE∽△AOC，
∴，
∴S△DOE：S△AOC＝，
9.【答案】B
【分析】
过点作轴于，过点作轴于，连接，则，可证得，设点，点．根据对称性可得点，由已知可求得A、B、C的坐标，则可求得直线BC的解析式，进而求得点D、F的坐标，由及可求得．
【详解】
过点作轴于，过点作轴于，连接，如图，
则有，
∴，又
∴，
设点，点．根据对称性可得点．
∵点，在直线上，
∴
∴解得：，
∴点，点、点．
设直线BC的解析式为y=mx+n，
则有：，
解得：，
∴直线解析式为，
∴点，
∵点是直线与轴的交点，
∴点
∴
又∵，
∴，
故选：B．
10.【答案】B
【分析】
由两角对应相等可判定，由此得到，变形得到，由勾股定理得到，可得，推断出的最大值是直径的平方，再由，点、在上，推出是的直径，再根据勾股定理即可得解．
【详解】
解：连结,
，
，
，
,
又，
，
，
，
，
，
，
在中，，
，
最大值是是直径时，
的最大值是直径的平方，
，
，
点、在上，
是的直径，
，
是直径的平方，
的最大值可表示为：，
故选：．
填空题
11.【答案】9．
【分析】
过点F作FM⊥AB于M，根据角平分线的性质可得FM＝FK，再利用三角形相似和勾股定理可得直角三角形的直角边的长度，进而可得答案．
【详解】
解：过点F作FM⊥AB于M，
∵若BF平分∠ABK，∠JKB＝90°，
∴FM＝FK，
∵AF：FK＝5：3，
∴设AF＝5a，则FM＝3a，AM＝4a，AK＝8a．
∵∠FAM＝∠BAK，∠AMF＝∠AKB＝90°，
∴△AFM∽△ABK，
即，
∴KB＝6a．
∴BM＝6a，
∴BF＝a，
∴4（5a+3a）＝10+6，解得a＝0.5，
∴△BKJ的面积＝＝．
∴四个直角三角形的面积和是×4＝9．
故答案为：9．
12.【答案】3：1
【分析】
根据在梯形ABCD中，AD∥BC，易得△AOD∽△COB，且S△COB：S△AOD=9：1，可求=3：1，则S△BOC：S△DOC=3：1．
【详解】
解：根据题意，AD∥BC，
∴△AOD∽△COB，
∵S△AOD：S△COB=1：9，
∴=3：1，
则S△BOC：S△DOC=3：1，
故答案为：3：1．
13.【答案】
【分析】
先根据相似三角形的判定与性质可得，从而可得AE的长，再根据线段的和差即可得．
【详解】
，
，
，
，，，
，
解得，
则，
故答案为：．
14.【答案】10
【分析】
如图（见解析），先根据三角形的中位线定理可得，再根据相似三角形的判定与性质可得，从而可得，然后根据线段的和差即可得．
【详解】
如图，取CF的中点O，连接OD，
是的中线，即点D是BC的中点，
是的中位线，
，
，
，
，
，
，
，
解得，
，
，
故答案为：10．
15.【答案】16
【分析】
先根据三角形的中位线定理可得，再根据相似三角形的判定与性质即可得．
【详解】
在中，点、分别是、的中点，
，
，
，
的面积为4，即，
，
即的面积为16，
故答案为：16．
解答题
16.【答案】（1）证明见解析；（2）EB=2FD．
【分析】
（1）由角平分线的性质得出∠BAD=∠DAC，再根据∠EFD=∠BDF得出∠AFE=∠ADC，进而根据两角分别相等的三角形相似可证；
（2）由（1）中的相似及∠AFE=∠C得出∠AEF=∠AFE，进而根据等角对等边得出AE=AF，再根据及△AFE∽△ADC得出，再由，得出，即可得到结果．
【详解】
解：（1）∵AD为∠BAC的平分线，
∴∠BAD=∠DAC，
∵∠EFD=∠BDF，
∴180°-∠EFD=180°-∠BDF，
∴∠AFE=∠ADC，
又∵∠BAD=∠DAC，
∴△AFE∽△ADC；
（2）由（1）得，△AFE∽△ADC，
∴∠AEF=∠C，
∵∠AFE=∠C，
∴∠AEF=∠AFE，
∴AE=AF，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴EB=2FD．
17.【答案】（1）24；（2）见解析
【分析】
（1）由平行四边形的性质可得对边相等，对边分别平行，从而可判定△DEF∽△ABF，△DEF∽△CEB，从而可得相似比，利用相似三角形的面积比等于相似比的平方及△DEF的面积为2，可求得答案．
（2）由AD∥BC，AB∥DC，分别判定△AOF∽△COB，△ABO∽△CEO，从而可得比例式，等量代换，再变形即可得出结论．
【详解】
（1）（1）∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB＝CD，
∵，
∴DE，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥DC，
∴△DEF∽△ABF，
∴，
又∵S△DEF＝2，
∴S△ABF＝8；
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，
∴△DEF∽△CEB，
∴，
∴S△CBE＝9×2＝18，
∴S四边形BCDF＝S△CBE S△DEF＝18 2＝16，
∴平行四边形ABCD的面积为：8＋16＝24．
故答案为：24．
（2）证明：∵
∴
∴
∵
∴
∴
∴
∴．
18.【答案】（1）证明见解析；（2）．
【分析】
（1）先根据垂直的定义可得，再根据相似三角形的判定与性质可得，由此即可得证；
（2）先根据等腰直角三角形的判定与性质可得，再根据线段中点的定义和（1）的结论可得，然后根据相似三角形的判定与性质可得，最后根据角的和差即可得．
【详解】
（1）∵，
∴，
在和中，，
∴，
∴，
∴；
（2）如图，连接CF，
在中，，，
是等腰直角三角形，，
∵点是边的中点，
∴，
由（1）已证：，
∴，即，
在和中，，
∴，
∴，
又∵，即，
∴．
19.【答案】（1）证明见解析；（2）4．
【分析】
（1）先根据平行线的性质可得，再根据相似三角形的判定即可得证；
（2）先根据可得，再根据相似三角形的判定与性质可得，从而可得，然后根据线段的和差即可得．
【详解】
（1），
，
在和中，，
；
（2），
，
，
，
，
，
，
解得，
．
20.【答案】（1）见解析；（2）4．
【分析】
（1）由AD是的角平分线可得出，由可得出，进而即可证出∽；
（2）由∽可得出，根据三角形内角和定理及平角等于，即可得出，结合公共角相等可得出∽，再利用相似三角形的性质即可求出AC的长度．
【详解】
（1）是的角平分线，
．
，
，
∽；
（2）∽，
．
，，
，即．
又，
∽，
，即，
．
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
HYPERLINK "http://21世纪教育网(www.21cnjy.com)
" 21世纪教育网(www.21cnjy.com)