【提升版】2024-2025学年浙教版（2024）九上1.1二次函数 同步练习
一、选择题
1．（2021九上·安吉期末）下列各式中，y是x的二次函数的是（ ）
A． B． C． D．
2．（2023九上·诸暨期末）已知关于的二次函数解析式为，则（ ）
A．±2 B．1 C．-2 D．±1
3．（2022九上·济南期末）二次函数的二次项系数、一次项系数和常数项分别是（ ）
A．1，，-1 B．1，6，1 C．0，-6，1 D．0，6，-1
4．（2021七下·武侯期末）若一个长方形的周长为20cm，一条边长为xcm（x＞0），面积为ycm2，则y与x之间满足的关系式为（ ）
A．y＝ B．y＝
C．y＝x （20﹣x） D．y＝x （10﹣x）
5．（2023九上·浙江月考）某种品牌的服装进价为每件元，当售价为每件元时，每天可卖出件，现需降价处理，且经市场调查：每件服装每降价元，每天可多卖出件．在确保盈利的前提下，若设每件服装降价元，每天售出服装的利润为元，则与的函数关系式为（ ）
A． B．
C． D．
6．（2022·广州模拟）抛物线经过点，，，则当时，y的值为（ ）．
A．6 B．1 C．-1 D．-6
7．（2017八下·金华期中）某开发公司今年一月份收益达50万元，且一月份、二月份、三月份的收益共为175万元，问二、三月平均每月的增长率是多少？设平均每月的增长率为x，根据题意可列方程（ ）
A．50（1+x）2=175 B．50+50（1+x）2=175
C．50（1+x）+50（1+x）2=175 D．50+50（1+x）+50（1+x）2=175
8．（2024·义乌模拟）已知和是关于x的函数，当时，函数值分别是和，若存在实数a，使得，则称函数和是“奇妙函数”．以下函数和不是“奇妙函数”的是（ ）
A．和 B．和
C．和 D．和
二、填空题
9．（2024九下·汨罗开学考）已知函数是二次函数，则m的值为 。
10．（2024·浙江模拟）已知在二次函数中，函数值与自变量的部分对应值如表：
0 1 2 3
8 3 0 0
则满足方程的解是
11．（2017七下·林甸期末）正方形边长3，若边长增加x，则面积增加y，y与x的函数关系式为 ．
12．（2014·衢州）如图，某小区规划在一个长30m、宽20m的长方形ABCD上修建三条同样宽的通道，使其中两条与AB平行，另一条与AD平行，其余部分种花草．要使每一块花草的面积都为78m2，那么通道的宽应设计成多少m？设通道的宽为xm，由题意列得方程 ．
三、解答题
13．（2024九上·大安期末）已知：抛物线y=ax2+bx+3经过点A（3， 0）； B（-1. 8）， 求抛物线的函数表达式。
14．在平面直角坐标系xOy中，已知直线与x轴相交于点A，与y轴相交于点B，点C在线段AB上(不与点A，B重合)，以C为顶点的抛物线经过点B.
（1）求点A，B的坐标.
（2）求b，c的值.
15．（2024·滨江二模）如图1是一个含有两个斜坡截面的轴对称图形，两个斜坡材质等各方面都一样．一个黑球从左斜坡顶端由静止滚下后沿水平木板直线运动，其中．从黑球运动到点处开始，用频闪照相机、测速仪测量并记录黑球在木板上的运动时间（单位：）、运动速度（单位：）、滑行距离（单位：）的数据．记录的数据如表：
运动时间/s 0 2 4 6 8 10 …
运动速度 12 10 8 6 4 2 …
运动距离 0 22 40 54 64 70 …
（1）根据表格中的数值分别在图2、图3的平面直角坐标系中画出关于，关于的函数图象，并分别求出关于，关于的函数表达式．
（2）①求黑球在水平木板上滚动的最大距离．
②黑球从左斜坡顶端由静止滚下到点开始计时，运动到2秒的同时，有一个除颜色外其余与黑球完全相同的白球，从右斜坡顶端由静止滚下到点处，两球会在水平木板的某个位置相遇吗？若能相遇，请求出相遇点到点的距离；若不能相遇，请说明理由．
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】二次函数的定义
【解析】【解答】解A、此函数不是二次函数，故A不符合题意；
B、此函数不是二次函数，故B不符合题意；
C、此函数是二次函数，故C符合题意；
D、此函数不是二次函数，故D不符合题意；
故答案为：C.
【分析】根据二次函数的定义：形如y=ax2+bx+c=0（a，b，c是常数且a≠0）则y是x的二次函数，再对各选项逐一判断.
2．【答案】C
【知识点】二次函数的定义
【解析】【解答】解：∵关于的二次函数解析式为 ，
∴|m|=2且m-2≠0，
解之：m=±2，m≠2，
∴m=-2.
故答案为：C.
【分析】利用二次函数的定义：自变量的最高次数为2，且二次项的系数不为0，可得到关于m的方程和不等式，然后求出m的值.
3．【答案】A
【知识点】二次函数的定义
【解析】【解答】解：二次函数，
二次项系数、一次项系数、常数项分别是1，-6，-1．
故答案为：A．
【分析】利用一元二次方程的二次项系数、一次项系数和常数项的定义求解即可。
4．【答案】D
【知识点】列二次函数关系式；矩形的性质
【解析】【解答】∵长方形的周长为20cm，一条边长为xcm，
∴另一边的长为 =10-x，
∴y＝x （10﹣x），
故答案为：D.
【分析】由题意可得长方形另一边的长为10-x，然后根据长方形的面积=长×宽就可得到y与x的关系式.
5．【答案】A
【知识点】列二次函数关系式
【解析】【解答】解： 由题知，每件服装降价元， 则每天多买件，即每天卖件，每件服装的利润（210-150-x）元.
由题意可得，
又∵
解得；
∴
故答案为：A .
【分析】结合题意，利用利润公式求函数解析式，再求出，即可得出答案；
6．【答案】D
【知识点】函数值；待定系数法求二次函数解析式
【解析】【解答】解：由题意可得：，
解得：，
∴抛物线解析式为，
当时，则；
故答案为：D．
【分析】先将点，，代入求出a、b、c的值，再将x=5代入函数解析式可得答案。
7．【答案】D
【知识点】列二次函数关系式
【解析】【解答】解：二月份的产值为：50（1+x），
三月份的产值为：50（1+x）（1+x）=50（1+x）2，
故第一季度总产值为：50+50（1+x）+50（1+x）2=175．
故选D．
【分析】增长率问题，一般用增长后的量=增长前的量×（1+增长率），本题可先用x表示出二月份的产值，再根据题意表示出三月份的产值，然后将三个月的产值相加，即可列出方程．
8．【答案】B
【知识点】一次函数的概念；列反比例函数关系式；二次函数的定义
【解析】【解答】对于A，当x=a时，y1=a2+2，y2=2a，若y1=y2+2，则有a2+2=2a+2，可得a=0或a=2，故y1和y2为奇妙函数；
对于B，当x=a时，y1=a，y2=a2+2a-1，若y1=y2+2，则有a=a2+2a-1+2，可得a2+a+1=0，△<0，方程无实数解，故y1和y2不是奇妙函数；
对于C，当x=a时，y1=，y2=a+2，若y1=y2+2，则有=a+2+2，可得a2+a+1=0，方程有两不相等实数解，故y1和y2为奇妙函数；
对于D，当x=a时，y1=-，y2=a-5，若y1=y2+2，则有-=a-5+2，可得a2-3a+2=0，方程有两不相等实解，故y1和y2为奇妙函数；故选B.
【分析】根据题意知当x=a时，若方程y1=y2+2有实数解，则函数y1和y2为奇妙函数；若方程y1=y2+2无实数解，则函数y1和y2不是奇妙函数，一 一验证选项即可.
9．【答案】-3
【知识点】二次函数的定义
【解析】【解答】∵ 函数是二次函数，
∴，
解得：m=-3，
故答案为：-3.
【分析】利用二次函数的定义可得，再求出m的值即可.
10．【答案】
【知识点】因式分解法解一元二次方程；待定系数法求二次函数解析式
【解析】【解答】解：由题意可知，抛物线经过(0，3)，(3，0)，(1，0)，
代入解析式得：，
解得：，
∴，
解得：
故答案为：.
【分析】根据表格数据可知抛物线经过(0，3)，(3，0)，(1，0)，举哀那个三点坐标分别代入抛物线y=ax2+bx+c可得关于字母a、b、c的三元一次方程组，求解得出a、b、c的值，即可得到二元一次，进而利用因式分解法解方程求出答案.
11．【答案】y=x2+6x
【知识点】列二次函数关系式
【解析】【解答】解：由正方形边长3，边长增加x，增加后的边长为（x+3），
则面积增加y=（x+3）2﹣32=x2+6x+9﹣9=x2+6x．
故应填：y=x2+6x．
【分析】增加的面积=边长为3+x的新正方形的面积﹣边长为3的正方形的面积，把相关数值代入即可求解．
12．【答案】（30﹣2x）（20﹣x）=6×78
【知识点】列二次函数关系式
【解析】【解答】解：设道路的宽为xm，由题意得：
（30﹣2x）（20﹣x）=6×78，
故答案为：（30﹣2x）（20﹣x）=6×78．
【分析】设道路的宽为xm，将6块草地平移为一个长方形，长为（30﹣2x）m，宽为（20﹣x）m．根据长方形面积公式即可列方程（30﹣2x）（20﹣x）=6×78．
13．【答案】解：y=x2-4x+3
【知识点】待定系数法求二次函数解析式
【解析】【解答】将点A（3，0）， B（-1，8）代入y=ax2+bx+3，
可得：，
解得：，
∴抛物线的解析式为y=x2-4x+3，
故答案为：y=x2-4x+3.
【分析】将点A（3，0）， B（-1，8）代入y=ax2+bx+3，可得，再求出a、b的值即可.
14．【答案】（1）解：，令x=0得，y=6，
∴点，
令y=0，得，解得x=-8，
∴点；
（2）解：设， 以C为顶点的抛物线解析式为：，
把代入解析式，得，
解得（舍去），
把代入得
∴.
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；一次函数图象与坐标轴交点问题
【解析】【分析】（1）令x=0，y=0代入，分别求解即可；
（2）由题意设点， 以C为顶点的抛物线解析式为：，把代入得，再把代入解析式，即可得解.
15．【答案】（1）解：画图正确
由图象猜测是一次函数，是的二次函数．取表中任意取一点，如点代入
，得．
再把其它点坐标带入上述函数表达式成立，所以与的函数表达式为
取表中任取两点，代入得．
再把其它点坐标带入上述函数表达式成立，所以与的函数表达式为
（2）解：①因为，所以．
又因为对称轴为直线，且开口向下，所以当时，
最大值为．
②当时，表示白球在木板上滑行的距离，则．
令，得．
得．解得，（不合，舍去），
代入，即在距离点处相遇．
【知识点】因式分解法解一元二次方程；待定系数法求一次函数解析式；待定系数法求二次函数解析式
【解析】【分析】本题考查待定系数法求二次函数解析式与一次函数的解析式，解一元二次方程的实际应用，熟练掌握此类知识是解题关键。（1）根据表格数据在图2，图3画出函数图象，可知V是关于t的一次函数，设v=mt+b，代入表中数据可得，从图象可知y是t的二次函数，设，代入表中数据得；（2）由，得0＜t≤12，根据，对称轴t=12，开口向下，可得最大值；②根据题意，白球在木板上滑行的距离为．
令，得，代入可得答案。
1 / 1【提升版】2024-2025学年浙教版（2024）九上1.1二次函数 同步练习
一、选择题
1．（2021九上·安吉期末）下列各式中，y是x的二次函数的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】二次函数的定义
【解析】【解答】解A、此函数不是二次函数，故A不符合题意；
B、此函数不是二次函数，故B不符合题意；
C、此函数是二次函数，故C符合题意；
D、此函数不是二次函数，故D不符合题意；
故答案为：C.
【分析】根据二次函数的定义：形如y=ax2+bx+c=0（a，b，c是常数且a≠0）则y是x的二次函数，再对各选项逐一判断.
2．（2023九上·诸暨期末）已知关于的二次函数解析式为，则（ ）
A．±2 B．1 C．-2 D．±1
【答案】C
【知识点】二次函数的定义
【解析】【解答】解：∵关于的二次函数解析式为 ，
∴|m|=2且m-2≠0，
解之：m=±2，m≠2，
∴m=-2.
故答案为：C.
【分析】利用二次函数的定义：自变量的最高次数为2，且二次项的系数不为0，可得到关于m的方程和不等式，然后求出m的值.
3．（2022九上·济南期末）二次函数的二次项系数、一次项系数和常数项分别是（ ）
A．1，，-1 B．1，6，1 C．0，-6，1 D．0，6，-1
【答案】A
【知识点】二次函数的定义
【解析】【解答】解：二次函数，
二次项系数、一次项系数、常数项分别是1，-6，-1．
故答案为：A．
【分析】利用一元二次方程的二次项系数、一次项系数和常数项的定义求解即可。
4．（2021七下·武侯期末）若一个长方形的周长为20cm，一条边长为xcm（x＞0），面积为ycm2，则y与x之间满足的关系式为（ ）
A．y＝ B．y＝
C．y＝x （20﹣x） D．y＝x （10﹣x）
【答案】D
【知识点】列二次函数关系式；矩形的性质
【解析】【解答】∵长方形的周长为20cm，一条边长为xcm，
∴另一边的长为 =10-x，
∴y＝x （10﹣x），
故答案为：D.
【分析】由题意可得长方形另一边的长为10-x，然后根据长方形的面积=长×宽就可得到y与x的关系式.
5．（2023九上·浙江月考）某种品牌的服装进价为每件元，当售价为每件元时，每天可卖出件，现需降价处理，且经市场调查：每件服装每降价元，每天可多卖出件．在确保盈利的前提下，若设每件服装降价元，每天售出服装的利润为元，则与的函数关系式为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】列二次函数关系式
【解析】【解答】解： 由题知，每件服装降价元， 则每天多买件，即每天卖件，每件服装的利润（210-150-x）元.
由题意可得，
又∵
解得；
∴
故答案为：A .
【分析】结合题意，利用利润公式求函数解析式，再求出，即可得出答案；
6．（2022·广州模拟）抛物线经过点，，，则当时，y的值为（ ）．
A．6 B．1 C．-1 D．-6
【答案】D
【知识点】函数值；待定系数法求二次函数解析式
【解析】【解答】解：由题意可得：，
解得：，
∴抛物线解析式为，
当时，则；
故答案为：D．
【分析】先将点，，代入求出a、b、c的值，再将x=5代入函数解析式可得答案。
7．（2017八下·金华期中）某开发公司今年一月份收益达50万元，且一月份、二月份、三月份的收益共为175万元，问二、三月平均每月的增长率是多少？设平均每月的增长率为x，根据题意可列方程（ ）
A．50（1+x）2=175 B．50+50（1+x）2=175
C．50（1+x）+50（1+x）2=175 D．50+50（1+x）+50（1+x）2=175
【答案】D
【知识点】列二次函数关系式
【解析】【解答】解：二月份的产值为：50（1+x），
三月份的产值为：50（1+x）（1+x）=50（1+x）2，
故第一季度总产值为：50+50（1+x）+50（1+x）2=175．
故选D．
【分析】增长率问题，一般用增长后的量=增长前的量×（1+增长率），本题可先用x表示出二月份的产值，再根据题意表示出三月份的产值，然后将三个月的产值相加，即可列出方程．
8．（2024·义乌模拟）已知和是关于x的函数，当时，函数值分别是和，若存在实数a，使得，则称函数和是“奇妙函数”．以下函数和不是“奇妙函数”的是（ ）
A．和 B．和
C．和 D．和
【答案】B
【知识点】一次函数的概念；列反比例函数关系式；二次函数的定义
【解析】【解答】对于A，当x=a时，y1=a2+2，y2=2a，若y1=y2+2，则有a2+2=2a+2，可得a=0或a=2，故y1和y2为奇妙函数；
对于B，当x=a时，y1=a，y2=a2+2a-1，若y1=y2+2，则有a=a2+2a-1+2，可得a2+a+1=0，△<0，方程无实数解，故y1和y2不是奇妙函数；
对于C，当x=a时，y1=，y2=a+2，若y1=y2+2，则有=a+2+2，可得a2+a+1=0，方程有两不相等实数解，故y1和y2为奇妙函数；
对于D，当x=a时，y1=-，y2=a-5，若y1=y2+2，则有-=a-5+2，可得a2-3a+2=0，方程有两不相等实解，故y1和y2为奇妙函数；故选B.
【分析】根据题意知当x=a时，若方程y1=y2+2有实数解，则函数y1和y2为奇妙函数；若方程y1=y2+2无实数解，则函数y1和y2不是奇妙函数，一 一验证选项即可.
二、填空题
9．（2024九下·汨罗开学考）已知函数是二次函数，则m的值为 。
【答案】-3
【知识点】二次函数的定义
【解析】【解答】∵ 函数是二次函数，
∴，
解得：m=-3，
故答案为：-3.
【分析】利用二次函数的定义可得，再求出m的值即可.
10．（2024·浙江模拟）已知在二次函数中，函数值与自变量的部分对应值如表：
0 1 2 3
8 3 0 0
则满足方程的解是
【答案】
【知识点】因式分解法解一元二次方程；待定系数法求二次函数解析式
【解析】【解答】解：由题意可知，抛物线经过(0，3)，(3，0)，(1，0)，
代入解析式得：，
解得：，
∴，
解得：
故答案为：.
【分析】根据表格数据可知抛物线经过(0，3)，(3，0)，(1，0)，举哀那个三点坐标分别代入抛物线y=ax2+bx+c可得关于字母a、b、c的三元一次方程组，求解得出a、b、c的值，即可得到二元一次，进而利用因式分解法解方程求出答案.
11．（2017七下·林甸期末）正方形边长3，若边长增加x，则面积增加y，y与x的函数关系式为 ．
【答案】y=x2+6x
【知识点】列二次函数关系式
【解析】【解答】解：由正方形边长3，边长增加x，增加后的边长为（x+3），
则面积增加y=（x+3）2﹣32=x2+6x+9﹣9=x2+6x．
故应填：y=x2+6x．
【分析】增加的面积=边长为3+x的新正方形的面积﹣边长为3的正方形的面积，把相关数值代入即可求解．
12．（2014·衢州）如图，某小区规划在一个长30m、宽20m的长方形ABCD上修建三条同样宽的通道，使其中两条与AB平行，另一条与AD平行，其余部分种花草．要使每一块花草的面积都为78m2，那么通道的宽应设计成多少m？设通道的宽为xm，由题意列得方程 ．
【答案】（30﹣2x）（20﹣x）=6×78
【知识点】列二次函数关系式
【解析】【解答】解：设道路的宽为xm，由题意得：
（30﹣2x）（20﹣x）=6×78，
故答案为：（30﹣2x）（20﹣x）=6×78．
【分析】设道路的宽为xm，将6块草地平移为一个长方形，长为（30﹣2x）m，宽为（20﹣x）m．根据长方形面积公式即可列方程（30﹣2x）（20﹣x）=6×78．
三、解答题
13．（2024九上·大安期末）已知：抛物线y=ax2+bx+3经过点A（3， 0）； B（-1. 8）， 求抛物线的函数表达式。
【答案】解：y=x2-4x+3
【知识点】待定系数法求二次函数解析式
【解析】【解答】将点A（3，0）， B（-1，8）代入y=ax2+bx+3，
可得：，
解得：，
∴抛物线的解析式为y=x2-4x+3，
故答案为：y=x2-4x+3.
【分析】将点A（3，0）， B（-1，8）代入y=ax2+bx+3，可得，再求出a、b的值即可.
14．在平面直角坐标系xOy中，已知直线与x轴相交于点A，与y轴相交于点B，点C在线段AB上(不与点A，B重合)，以C为顶点的抛物线经过点B.
（1）求点A，B的坐标.
（2）求b，c的值.
【答案】（1）解：，令x=0得，y=6，
∴点，
令y=0，得，解得x=-8，
∴点；
（2）解：设， 以C为顶点的抛物线解析式为：，
把代入解析式，得，
解得（舍去），
把代入得
∴.
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；一次函数图象与坐标轴交点问题
【解析】【分析】（1）令x=0，y=0代入，分别求解即可；
（2）由题意设点， 以C为顶点的抛物线解析式为：，把代入得，再把代入解析式，即可得解.
15．（2024·滨江二模）如图1是一个含有两个斜坡截面的轴对称图形，两个斜坡材质等各方面都一样．一个黑球从左斜坡顶端由静止滚下后沿水平木板直线运动，其中．从黑球运动到点处开始，用频闪照相机、测速仪测量并记录黑球在木板上的运动时间（单位：）、运动速度（单位：）、滑行距离（单位：）的数据．记录的数据如表：
运动时间/s 0 2 4 6 8 10 …
运动速度 12 10 8 6 4 2 …
运动距离 0 22 40 54 64 70 …
（1）根据表格中的数值分别在图2、图3的平面直角坐标系中画出关于，关于的函数图象，并分别求出关于，关于的函数表达式．
（2）①求黑球在水平木板上滚动的最大距离．
②黑球从左斜坡顶端由静止滚下到点开始计时，运动到2秒的同时，有一个除颜色外其余与黑球完全相同的白球，从右斜坡顶端由静止滚下到点处，两球会在水平木板的某个位置相遇吗？若能相遇，请求出相遇点到点的距离；若不能相遇，请说明理由．
【答案】（1）解：画图正确
由图象猜测是一次函数，是的二次函数．取表中任意取一点，如点代入
，得．
再把其它点坐标带入上述函数表达式成立，所以与的函数表达式为
取表中任取两点，代入得．
再把其它点坐标带入上述函数表达式成立，所以与的函数表达式为
（2）解：①因为，所以．
又因为对称轴为直线，且开口向下，所以当时，
最大值为．
②当时，表示白球在木板上滑行的距离，则．
令，得．
得．解得，（不合，舍去），
代入，即在距离点处相遇．
【知识点】因式分解法解一元二次方程；待定系数法求一次函数解析式；待定系数法求二次函数解析式
【解析】【分析】本题考查待定系数法求二次函数解析式与一次函数的解析式，解一元二次方程的实际应用，熟练掌握此类知识是解题关键。（1）根据表格数据在图2，图3画出函数图象，可知V是关于t的一次函数，设v=mt+b，代入表中数据可得，从图象可知y是t的二次函数，设，代入表中数据得；（2）由，得0＜t≤12，根据，对称轴t=12，开口向下，可得最大值；②根据题意，白球在木板上滑行的距离为．
令，得，代入可得答案。
1 / 1
