【培优版】2024-2025学年浙教版数学九上1.1二次函数 同步练习
一、选择题
1．下列各式中，y是x的二次函数的是（ ）
A．y=ax2+bx+c B．x2+y﹣2=0 C．y2﹣ax=﹣2 D．x2﹣y2+1=0
2．（2022九上·汽开区期末）若函数是二次函数，则有（ ）
A． B． C． D．
3．（2021九上·津南期中）已知二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c为常数，a≠0），其中，自变量x与函数值y之间满足下面对应关系：
x …… 5 3 1 ……
y＝ax2+bx+c …… 2.5 1.5 1.5 ……
则 的值是（ ）
A．﹣10 B．﹣5 C．﹣ D．﹣
4．（2021九上·上思期中）下列函数关系中，是二次函数的为（ ）
A．在弹性限度内，弹簧的长度y与所挂物体的质量x之间的关系.
B．距离一定时，火车行驶的时间t与速度v之间的关系
C．等边三角形的周长C与边长a之间的关系
D．圆的面积S与半径之间的关系
5．（2017九上·南平期末）原价为100元的某种药品经过连续两次降价后为64元，设平均每次降价的百分率为x，则下面所列方程正确的是（ ）
A．100（1﹣x）2=64 B．64（1﹣x）2=100
C．100（1﹣2x）=64 D．64（1﹣2x）=100
6．（2021九上·合肥月考）如图，某农场拟建一间矩形奶牛饲养室，打算一边利用房屋现有的墙（墙足够长），其余三边除大门外用栅栏围成，栅栏总长度为50m，门宽为2m．若饲养室长为xm，占地面积为ym2，则y关于x的函数表达式为（ ）
A．y=- x2+26x（2≤x＜52） B．y=- x2+50x（2≤x＜52）
C．y=-x2+52x（2≤x＜52） D．y=- x2+27x-52（2≤x＜52）
7．（2021七下·贺兰期中）如图，直角边长为1的等腰直角三角形与边长为2的正方形在同一水平线上，三角形沿水平线从左向右匀速穿过正方形．设穿过时间为t，正方形与三角形不重合部分的面积为S（阴影部分），则S与t的大致图象为（ ）
A． B．
C． D．
二、填空题
8．（2023九上·澧县月考）若是关于x的二次函数，则m的值为 ．
9．已知抛物线y=ax2+2x+c的顶点坐标是(，-1)，则a= ，c=
10．某超市一月份的营业额是200万元，一月、二月、三月的营业额共万元，如果平均每月增长率为，那么营业额关于月平均增长率的函数表达式为 .
11．（2021九上·通榆月考）如图，正方形ABCD的边长是4，E是AB上一点，F是AD延长线上的一点，BE=DF。若四边形AEGF是矩形，则矩形AEGF的面积y关于BE的长的函数解析式是 (不用写出x的取值范围)
三、解答题
12．（2023九上·北京市期中）已知二次函数的图象经过，，三点，求这个函数的表达式．
四、综合题
13．（2023·亳州模拟）已知二次函数中的x和y满足下表：
x -4 -3 -2 -1 0 1 2
y -5 0 3 4 3 m -5
（1）根据表格，直接写出该二次函数的对称轴以及m的值；
（2）求该二次函数的表达式．
14．（2014·淮安）用长为32米的篱笆围一个矩形养鸡场，设围成的矩形一边长为x米，面积为y平方米．
（1）求y关于x的函数关系式；
（2）当x为何值时，围成的养鸡场面积为60平方米？
（3）能否围成面积为70平方米的养鸡场？如果能，请求出其边长；如果不能，请说明理由．
15．（2021·潍坊）某山村经过脱贫攻坚和乡村振兴，经济收入持续增长．经统计，近五年该村甲农户年度纯收入如表所示：
年度（年） 2016 2017 2018 2019 2020 2021
年度纯收入（万元） 1.5 2.5 4.5 7.5 11.3
若记2016年度为第1年，在直角坐标系中用点（1，15），（2，2.5），（3，4.5），（4，7.5），（5，11.3）表示近五年甲农户纯收入的年度变化情况．如图所示 （m＞0），y＝x+b（k＞0），y＝ax2﹣0.5x+c（a＞0），以便估算甲农户2021年度的纯收入．
（1）能否选用函数 （m＞0）进行模拟，请说明理由；
（2）你认为选用哪个函数模拟最合理，请说明理由；
（3）甲农户准备在2021年底购买一台价值16万元的农机设备，根据（2）中你选择的函数表达式，预测甲农户2021年度的纯收入能否满足购买农机设备的资金需求.
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】二次函数的定义
【解析】【解答】解：A、y=ax2+bx+c，应说明a≠0，故此选项错误；
B、x2+y﹣2=0可变为y=﹣x2+2，是二次函数，故此选项正确；
C、y2﹣ax=﹣2不是二次函数，故此选项错误；
D、x2﹣y2+1=0不是二次函数，故此选项错误；
故选：B．
【分析】利用二次函数的定义：一般地，形如y=ax2+bx+c（a、b、c是常数，a≠0）的函数，叫做二次函数解答．
2．【答案】B
【知识点】二次函数的定义
【解析】【解答】解：由题意得，，
解得．
故答案为：B．
【分析】根据二次函数的定义可得，再求出m的取值范围即可。
3．【答案】A
【知识点】待定系数法求二次函数解析式
【解析】【解答】解：由表格信息与二次函数的对称性可得：
x …… 5 3 1 1 ……
y＝ax2+bx+c …… 2.5 1.5 1.5 -2.5 ……
由②③可得：
即
则
故答案为：A
【分析】先求出，再求出最后计算求解即可。
4．【答案】D
【知识点】二次函数的定义
【解析】【解答】解：A、关系式为：y=kx+b，是一次函数，不符合题意；
B、关系式为： ，是反比例函数，不符合题意；
C、关系式为： ，是正比例函数，不符合题意；
D、关系式为： ，是二次函数，符合题意.
故答案为：D.
【分析】一般形如，（其中a，b，c是常数，a≠0）的函数叫做二次函数，根据条件分别列出各项的函数关系式，再根据二次函数的定义，即可作答.
5．【答案】A
【知识点】列二次函数关系式
【解析】【解答】解：第一次降价后的价格为100×（1﹣x），第二次降价后价格为100×（1﹣x）×（1﹣x），
则列出的方程是100（1﹣x）2=64．
故选A．
【分析】可先表示出第一次降价后的价格，那么第一次降价后的价格×（1﹣降低的百分率）=64，把相应数值代入即可求解．
6．【答案】A
【知识点】列二次函数关系式
【解析】【解答】解：∵ 栅栏总长度为50m， 饲养室长为xm， 门宽为2m，
∴ 饲养室宽为（）m，
∴y=（）x=（2≤x＜52）.
故答案为：A.
【分析】根据题意求出饲养室的宽，利用矩形的面积公式列出式子进行化简，即可得出答案.
7．【答案】A
【知识点】列二次函数关系式
【解析】【解答】解：∵直角边长为1的等腰直角三角形与边长为2的正方形在同一水平线上，三角形沿水平线从左向右匀速穿过正方形。设穿过时间为t，正方形与三角形不重合部分的面积为S，
：s关于t的函数大致图象应为：三角形进入正方形以前S增大，
当0≤t≤时，S=×1×1+2×2-t2=-t2；
当＜t≤2时，S=2×2-×12=；
当2＜t≤3时，S=-(3-t)2=-t2-3t；
∴A符合要求，
故答案为：A.
【分析】 根据直角边长为1的等腰直角三角形与边长为2的正方形在同一水平线上，三角形沿水平线从左向右匀速穿过正方形可知，当0≤t≤2时，以及当28．【答案】2
【知识点】二次函数的定义
【解析】【解答】∵是关于x的二次函数，
∴，
解得：m=2，
故答案为：2.
【分析】利用二次函数的定义可得，再求出m的值即可.
9．【答案】-3；
【知识点】待定系数法求二次函数解析式
【解析】【解答】解：∵ 抛物线y=ax2+2x+c的顶点坐标是(，-1)，
∴设抛物线的解析式为，
∴，
∴a=-3，c=.
故答案为：-3，.
【分析】利用抛物线的顶点坐标，可设抛物线的解析式为，据此可得到关于a，c的方程组，解方程组求出a，c的值.
10．【答案】
【知识点】列二次函数关系式
【解析】【解答】解：二月份的营业额为200(1+x)万元，三月份的营业额为200(1+x)(1+x)万元，
由题意得：y=200+200(1+x)+200(1+x)(1+x)=200+200(1+x)+200(1+x)2
故答案为：y=200+200(1+x)+200(1+x)2.
【分析】根据平均增长率问题分别表示出二月份与三月份的营业额，进而根据 一月、二月、三月的营业额共 y万元列出函数解析式.
11．【答案】y=16-x2
【知识点】列二次函数关系式
【解析】【解答】解：∵ 正方形ABCD的边长是4，
∴AB=AD=4，
∵ BE=DF =x，
∴AE=4-x，AF=4+x，
∴ 矩形AEGF的面积y=AE·AF=（4-x）（4+x）=16-x2.
【分析】根据题意求出AE=4-x，AF=4+x，再根据矩形的面积公式得出y=AE·AF，再进行化简，即可得出答案.
12．【答案】设抛物线解析式为，
把，，分别代入解析式，得
，
解得，
故抛物线的解析式为．
【知识点】待定系数法求二次函数解析式
【解析】【分析】利用待定系数法求函数表达式即可.
13．【答案】（1）解：∵抛物线经过点，，
∴抛物线的对称轴为直线，
∵和所对应的函数值相等，
∴；
（2）解：设抛物线解析式为，
把代入得，
解得，
∴该二次函数的解析式为，
即．
【知识点】待定系数法求二次函数解析式
【解析】【分析】（1）先求出抛物线的对称轴为直线，再根据和所对应的函数值相等， 求解即可；
（2）利用待定系数法求出 二次函数的解析式为， 再求解即可。
14．【答案】（1）解：设围成的矩形一边长为x米，则矩形的邻边长为：32÷2﹣x．依题意得
y=x（32÷2﹣x）=﹣x2+16x．
答：y关于x的函数关系式是y=﹣x2+16x；
（2）解：由（1）知，y=﹣x2+16x．
当y=60时，﹣x2+16x=60，即（x﹣6）（x﹣10）=0．
解得 x1=6，x2=10，
即当x是6或10时，围成的养鸡场面积为60平方米；
（3）解：不能围成面积为70平方米的养鸡场．理由如下：
由（1）知，y=﹣x2+16x．
当y=70时，﹣x2+16x=70，即x2﹣16x+70=0
因为△=（﹣16）2﹣4×1×70=﹣24＜0，
所以 该方程无解．
即：不能围成面积为70平方米的养鸡场．
【知识点】一元二次方程的其他应用；列二次函数关系式
【解析】【分析】（1）根据矩形的面积公式进行列式；（2）、（3）把y的值代入（1）中的函数关系，求得相应的x值即可．
15．【答案】（1）解：不能选用函数 （m＞0）进行模拟，理由如下：
∵1×1.5=1.5，2×2.5=5，…
∴1.5≠5
∴不能选用函数 （m＞0）进行模拟
（2）解：选用y=ax2-0.5x+c（a>0），理由如下：
由（1）可知不能选用函数 （m＞0），由（1，1.5），（2，2.5），（3，4.5），（4，7.5），（5，11.3）可知x每增大1个单位，y的变化不均匀，则不能选用函数y=x+b（k>0），
故只能选用函数y=ax2-0.5x+c（a>0）进行模拟；
（3）解：由点（1，1.5），（2，2.5）在y=ax2-0.5x+c（a>0）上
则 ，解得：
∴y=0.5x2-0.5x+1.5
当x=6时，y=0.5×36-0.5×6+1.5=16.5，
∵16.5 > 16，
∴甲农户2021年度的纯收入满足购买农机设备的资金需求．
【知识点】函数的表示方法；待定系数法求二次函数解析式；通过函数图象获取信息
【解析】【分析】（1）由数据的变化大小或者由m=xy计算判断；
（2）通过点的变化可知不是一次函数，由（1）可知不是反比例，则可判断选用二次函数模拟最合理；
（3）利用已知点坐标用待定系数法求出解析式，然后计算出2021年即第6年度的纯收入y，然后比较可得结论。
1 / 1【培优版】2024-2025学年浙教版数学九上1.1二次函数 同步练习
一、选择题
1．下列各式中，y是x的二次函数的是（ ）
A．y=ax2+bx+c B．x2+y﹣2=0 C．y2﹣ax=﹣2 D．x2﹣y2+1=0
【答案】B
【知识点】二次函数的定义
【解析】【解答】解：A、y=ax2+bx+c，应说明a≠0，故此选项错误；
B、x2+y﹣2=0可变为y=﹣x2+2，是二次函数，故此选项正确；
C、y2﹣ax=﹣2不是二次函数，故此选项错误；
D、x2﹣y2+1=0不是二次函数，故此选项错误；
故选：B．
【分析】利用二次函数的定义：一般地，形如y=ax2+bx+c（a、b、c是常数，a≠0）的函数，叫做二次函数解答．
2．（2022九上·汽开区期末）若函数是二次函数，则有（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】二次函数的定义
【解析】【解答】解：由题意得，，
解得．
故答案为：B．
【分析】根据二次函数的定义可得，再求出m的取值范围即可。
3．（2021九上·津南期中）已知二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c为常数，a≠0），其中，自变量x与函数值y之间满足下面对应关系：
x …… 5 3 1 ……
y＝ax2+bx+c …… 2.5 1.5 1.5 ……
则 的值是（ ）
A．﹣10 B．﹣5 C．﹣ D．﹣
【答案】A
【知识点】待定系数法求二次函数解析式
【解析】【解答】解：由表格信息与二次函数的对称性可得：
x …… 5 3 1 1 ……
y＝ax2+bx+c …… 2.5 1.5 1.5 -2.5 ……
由②③可得：
即
则
故答案为：A
【分析】先求出，再求出最后计算求解即可。
4．（2021九上·上思期中）下列函数关系中，是二次函数的为（ ）
A．在弹性限度内，弹簧的长度y与所挂物体的质量x之间的关系.
B．距离一定时，火车行驶的时间t与速度v之间的关系
C．等边三角形的周长C与边长a之间的关系
D．圆的面积S与半径之间的关系
【答案】D
【知识点】二次函数的定义
【解析】【解答】解：A、关系式为：y=kx+b，是一次函数，不符合题意；
B、关系式为： ，是反比例函数，不符合题意；
C、关系式为： ，是正比例函数，不符合题意；
D、关系式为： ，是二次函数，符合题意.
故答案为：D.
【分析】一般形如，（其中a，b，c是常数，a≠0）的函数叫做二次函数，根据条件分别列出各项的函数关系式，再根据二次函数的定义，即可作答.
5．（2017九上·南平期末）原价为100元的某种药品经过连续两次降价后为64元，设平均每次降价的百分率为x，则下面所列方程正确的是（ ）
A．100（1﹣x）2=64 B．64（1﹣x）2=100
C．100（1﹣2x）=64 D．64（1﹣2x）=100
【答案】A
【知识点】列二次函数关系式
【解析】【解答】解：第一次降价后的价格为100×（1﹣x），第二次降价后价格为100×（1﹣x）×（1﹣x），
则列出的方程是100（1﹣x）2=64．
故选A．
【分析】可先表示出第一次降价后的价格，那么第一次降价后的价格×（1﹣降低的百分率）=64，把相应数值代入即可求解．
6．（2021九上·合肥月考）如图，某农场拟建一间矩形奶牛饲养室，打算一边利用房屋现有的墙（墙足够长），其余三边除大门外用栅栏围成，栅栏总长度为50m，门宽为2m．若饲养室长为xm，占地面积为ym2，则y关于x的函数表达式为（ ）
A．y=- x2+26x（2≤x＜52） B．y=- x2+50x（2≤x＜52）
C．y=-x2+52x（2≤x＜52） D．y=- x2+27x-52（2≤x＜52）
【答案】A
【知识点】列二次函数关系式
【解析】【解答】解：∵ 栅栏总长度为50m， 饲养室长为xm， 门宽为2m，
∴ 饲养室宽为（）m，
∴y=（）x=（2≤x＜52）.
故答案为：A.
【分析】根据题意求出饲养室的宽，利用矩形的面积公式列出式子进行化简，即可得出答案.
7．（2021七下·贺兰期中）如图，直角边长为1的等腰直角三角形与边长为2的正方形在同一水平线上，三角形沿水平线从左向右匀速穿过正方形．设穿过时间为t，正方形与三角形不重合部分的面积为S（阴影部分），则S与t的大致图象为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】列二次函数关系式
【解析】【解答】解：∵直角边长为1的等腰直角三角形与边长为2的正方形在同一水平线上，三角形沿水平线从左向右匀速穿过正方形。设穿过时间为t，正方形与三角形不重合部分的面积为S，
：s关于t的函数大致图象应为：三角形进入正方形以前S增大，
当0≤t≤时，S=×1×1+2×2-t2=-t2；
当＜t≤2时，S=2×2-×12=；
当2＜t≤3时，S=-(3-t)2=-t2-3t；
∴A符合要求，
故答案为：A.
【分析】 根据直角边长为1的等腰直角三角形与边长为2的正方形在同一水平线上，三角形沿水平线从左向右匀速穿过正方形可知，当0≤t≤2时，以及当2二、填空题
8．（2023九上·澧县月考）若是关于x的二次函数，则m的值为 ．
【答案】2
【知识点】二次函数的定义
【解析】【解答】∵是关于x的二次函数，
∴，
解得：m=2，
故答案为：2.
【分析】利用二次函数的定义可得，再求出m的值即可.
9．已知抛物线y=ax2+2x+c的顶点坐标是(，-1)，则a= ，c=
【答案】-3；
【知识点】待定系数法求二次函数解析式
【解析】【解答】解：∵ 抛物线y=ax2+2x+c的顶点坐标是(，-1)，
∴设抛物线的解析式为，
∴，
∴a=-3，c=.
故答案为：-3，.
【分析】利用抛物线的顶点坐标，可设抛物线的解析式为，据此可得到关于a，c的方程组，解方程组求出a，c的值.
10．某超市一月份的营业额是200万元，一月、二月、三月的营业额共万元，如果平均每月增长率为，那么营业额关于月平均增长率的函数表达式为 .
【答案】
【知识点】列二次函数关系式
【解析】【解答】解：二月份的营业额为200(1+x)万元，三月份的营业额为200(1+x)(1+x)万元，
由题意得：y=200+200(1+x)+200(1+x)(1+x)=200+200(1+x)+200(1+x)2
故答案为：y=200+200(1+x)+200(1+x)2.
【分析】根据平均增长率问题分别表示出二月份与三月份的营业额，进而根据 一月、二月、三月的营业额共 y万元列出函数解析式.
11．（2021九上·通榆月考）如图，正方形ABCD的边长是4，E是AB上一点，F是AD延长线上的一点，BE=DF。若四边形AEGF是矩形，则矩形AEGF的面积y关于BE的长的函数解析式是 (不用写出x的取值范围)
【答案】y=16-x2
【知识点】列二次函数关系式
【解析】【解答】解：∵ 正方形ABCD的边长是4，
∴AB=AD=4，
∵ BE=DF =x，
∴AE=4-x，AF=4+x，
∴ 矩形AEGF的面积y=AE·AF=（4-x）（4+x）=16-x2.
【分析】根据题意求出AE=4-x，AF=4+x，再根据矩形的面积公式得出y=AE·AF，再进行化简，即可得出答案.
三、解答题
12．（2023九上·北京市期中）已知二次函数的图象经过，，三点，求这个函数的表达式．
【答案】设抛物线解析式为，
把，，分别代入解析式，得
，
解得，
故抛物线的解析式为．
【知识点】待定系数法求二次函数解析式
【解析】【分析】利用待定系数法求函数表达式即可.
四、综合题
13．（2023·亳州模拟）已知二次函数中的x和y满足下表：
x -4 -3 -2 -1 0 1 2
y -5 0 3 4 3 m -5
（1）根据表格，直接写出该二次函数的对称轴以及m的值；
（2）求该二次函数的表达式．
【答案】（1）解：∵抛物线经过点，，
∴抛物线的对称轴为直线，
∵和所对应的函数值相等，
∴；
（2）解：设抛物线解析式为，
把代入得，
解得，
∴该二次函数的解析式为，
即．
【知识点】待定系数法求二次函数解析式
【解析】【分析】（1）先求出抛物线的对称轴为直线，再根据和所对应的函数值相等， 求解即可；
（2）利用待定系数法求出 二次函数的解析式为， 再求解即可。
14．（2014·淮安）用长为32米的篱笆围一个矩形养鸡场，设围成的矩形一边长为x米，面积为y平方米．
（1）求y关于x的函数关系式；
（2）当x为何值时，围成的养鸡场面积为60平方米？
（3）能否围成面积为70平方米的养鸡场？如果能，请求出其边长；如果不能，请说明理由．
【答案】（1）解：设围成的矩形一边长为x米，则矩形的邻边长为：32÷2﹣x．依题意得
y=x（32÷2﹣x）=﹣x2+16x．
答：y关于x的函数关系式是y=﹣x2+16x；
（2）解：由（1）知，y=﹣x2+16x．
当y=60时，﹣x2+16x=60，即（x﹣6）（x﹣10）=0．
解得 x1=6，x2=10，
即当x是6或10时，围成的养鸡场面积为60平方米；
（3）解：不能围成面积为70平方米的养鸡场．理由如下：
由（1）知，y=﹣x2+16x．
当y=70时，﹣x2+16x=70，即x2﹣16x+70=0
因为△=（﹣16）2﹣4×1×70=﹣24＜0，
所以 该方程无解．
即：不能围成面积为70平方米的养鸡场．
【知识点】一元二次方程的其他应用；列二次函数关系式
【解析】【分析】（1）根据矩形的面积公式进行列式；（2）、（3）把y的值代入（1）中的函数关系，求得相应的x值即可．
15．（2021·潍坊）某山村经过脱贫攻坚和乡村振兴，经济收入持续增长．经统计，近五年该村甲农户年度纯收入如表所示：
年度（年） 2016 2017 2018 2019 2020 2021
年度纯收入（万元） 1.5 2.5 4.5 7.5 11.3
若记2016年度为第1年，在直角坐标系中用点（1，15），（2，2.5），（3，4.5），（4，7.5），（5，11.3）表示近五年甲农户纯收入的年度变化情况．如图所示 （m＞0），y＝x+b（k＞0），y＝ax2﹣0.5x+c（a＞0），以便估算甲农户2021年度的纯收入．
（1）能否选用函数 （m＞0）进行模拟，请说明理由；
（2）你认为选用哪个函数模拟最合理，请说明理由；
（3）甲农户准备在2021年底购买一台价值16万元的农机设备，根据（2）中你选择的函数表达式，预测甲农户2021年度的纯收入能否满足购买农机设备的资金需求.
【答案】（1）解：不能选用函数 （m＞0）进行模拟，理由如下：
∵1×1.5=1.5，2×2.5=5，…
∴1.5≠5
∴不能选用函数 （m＞0）进行模拟
（2）解：选用y=ax2-0.5x+c（a>0），理由如下：
由（1）可知不能选用函数 （m＞0），由（1，1.5），（2，2.5），（3，4.5），（4，7.5），（5，11.3）可知x每增大1个单位，y的变化不均匀，则不能选用函数y=x+b（k>0），
故只能选用函数y=ax2-0.5x+c（a>0）进行模拟；
（3）解：由点（1，1.5），（2，2.5）在y=ax2-0.5x+c（a>0）上
则 ，解得：
∴y=0.5x2-0.5x+1.5
当x=6时，y=0.5×36-0.5×6+1.5=16.5，
∵16.5 > 16，
∴甲农户2021年度的纯收入满足购买农机设备的资金需求．
【知识点】函数的表示方法；待定系数法求二次函数解析式；通过函数图象获取信息
【解析】【分析】（1）由数据的变化大小或者由m=xy计算判断；
（2）通过点的变化可知不是一次函数，由（1）可知不是反比例，则可判断选用二次函数模拟最合理；
（3）利用已知点坐标用待定系数法求出解析式，然后计算出2021年即第6年度的纯收入y，然后比较可得结论。
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