【基础版】2024-2025学年浙教版数学九上1.2二次函数的图像 同步练习
一、选择题
1．（2021九上·南宁月考）抛物线 的顶点坐标是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】二次函数y=ax²+bx+c的图象
【解析】【解答】解：抛物线y=3(x+4)2+2为顶点式，顶点坐标为（-4，2），
故答案为：D.
【分析】根据抛物线y=a(x-h)2+k的顶点为（h，k）可求解.
2．（2020九上·秀洲月考）抛物线 的对称轴是（ ）
A．直线 B．直线 C．直线 D．直线
【答案】C
【知识点】二次函数y=ax²+bx+c的图象
【解析】【解答】解：∵ ，
∴抛物线顶点坐标为 ，对称轴为 .
故答案为：C.
【分析】将抛物线的一般式配方成为顶点式，可确定对称轴.
3．（2024九上·黔南期末）将抛物线先向左平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度，则得到的抛物线的解析式为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】二次函数图象的几何变换
【解析】【解答】抛物线先向左平移2个单位长度后的解析式为，再向下平移3个单位长度后的解析式为，
故答案为：C.
【分析】根据函数解析式平移的特征：左加右减，上加下减求解即可。
4．（2024九上·伊通期末）抛物线与的共同特点是（ ）
A．开口都向上 B．对称轴都是y轴
C．都有最高点 D．都是y随x的增大而增大
【答案】B
【知识点】二次函数y=ax²的图象
【解析】【解答】解：开口向上，对称轴为轴，有最低点，顶点为原点；
开口向下，对称轴为轴，有最高点，顶点为原点；
∴抛物线，，共有的性质是对称轴为轴，顶点为原点；
故答案为：B．
【分析】根据二次函数的性质逐一分析判定即可．
5．用配方法将二次函数化为的形式为（ ）.
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】二次函数y=ax²+bx+c与二次函数y=a（x-h）²+k的转化
【解析】【解答】解：y=x2-8x+16-16-9=（x-4）2-25.
故答案为：B.
【分析】利用配方法将函数解析式转化为y=a（x-h）2+k的形式.
6．（2021九上·绍兴开学考）二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图，则下列结论正确的是（ ）
A． a＞0，b＞0，c＞0 B．a＞0，b＜0，c＜0
C．a＜0，b＞0，c＜0 D．a＜0，b＜0，c＜0
【答案】C
【知识点】二次函数图象与系数的关系
【解析】【解答】解：∵抛物线的开口向下，
∴a＜0；
∵抛物线与y轴交于负半轴，
∴c＜0；
∵抛物线的对称轴在y轴的右侧，
∴b＞0；
故答案为：C.
【分析】观察抛物线的开口方向，可确定出a的取值范围；抛物线与y轴的交点位置，可以确定出c的取值范围；根据对称轴的位置：左同右异，结合a的值，可确定出b的取值范围，即可求解.
7．（2024九上·长沙期末） 二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，对称轴是直线x＝1，其中结论正确的为（ ）
A．abc＜0 B．b2﹣4ac＝0 C．a﹣b+c＞0 D．4a+2b+c＜0
【答案】D
【知识点】二次函数图象与系数的关系；二次函数y=ax²+bx+c的图象
【解析】【解答】A、根据函数图象可得：a>0，b<0，c<0，∴abc>0，∴A不正确，不符合题意；
B、∵抛物线与x轴有两个不同的交点，∴b2-4ac>0，∴B不正确，不符合题意；
C、∵抛物线与x轴的一个交点坐标为（-1，0），∴a-b+c=0，∴C不正确，不符合题意；
D、∵抛物线与x轴的一个交点坐标为（-1，0），且对称轴为直线x=1，∴抛物线与x轴的另一个交点坐标为（3，0），∵抛物线开口向上，∴当x=2时，函数值小于零，∴4a+2b+c<0，∴D正确，符合题意；
故答案为：D.
【分析】利用二次函数的图象与系数的关系可得a、b、c的正负，再利用二次函数的性质逐项判断即可。
8．（2020九上·霍林郭勒期末）在同一平面直角坐标系中，一次函数 与二次函数 的图象可能是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】一次函数的图象；二次函数y=ax²+bx+c的图象
【解析】【解答】A、由抛物线可知，a＞0，b＜0，由直线可知，a＜0，b＞0，矛盾，故本选项不符合题意；
B、由抛物线可知，a＞0，b＞0，由直线可知，a＞0，b＞0，故本选项符合题意；
C、由抛物线可知，a＜0，b＜0，由直线可知，a＜0，b＞0，矛盾，故本选项不符合题意；
D、由抛物线可知，a＜0，b＜0，由直线可知，a＞0，b＞0，矛盾，故本选项不符合题意；
故答案为：B．
【分析】根据抛物线和直线的性质：
抛物线的性质，a＞0开口向上，a＜0开口向下，对称轴为，而直线上升时a＞0，直线下降时a＜0，直线与y轴的交点纵坐标为b的值，逐一进行对比判断即可。
二、填空题
9．（2024九上·鄞州期末）在平面直角坐标系中，抛物线的开口方向是 ．
【答案】开口向下
【知识点】二次函数y=ax²+bx+c的图象
【解析】【解答】解：
a=-1<0，故抛物线开口向下.
故答案为：开口向下.
【分析】根据二次函数的二次项系数的正负即可判断开口方向.
10．（2023九上·桂平期末）二次函数的顶点坐标是 .
【答案】(2，-3)
【知识点】二次函数y=a（x-h）²+k的图象
【解析】【解答】解：，
二次函数的顶点坐标为，
故答案为：
【分析】抛物线（a≠0）的顶点坐标为（h，k），据此解答即可.
11．（2024九上·剑阁期末）若把二次函数化为的形式，其中为常数，则 ．
【答案】-2
【知识点】二次函数y=ax²+bx+c与二次函数y=a（x-h）²+k的转化
【解析】【解答】解：由题意得，
∴h=1，k=-3，
∴h+k=-2，
故答案为：-2
【分析】根据题意转换二次函数的解析式即可求解。
12．（2024九上·朝天期末）在平面直角坐标系中，将抛物线先向左平移2个单位长度，再向下平移1个单位长度，得到的抛物线的对应函数解析式为 ．
【答案】
【知识点】二次函数图象的几何变换
【解析】【解答】解：由题意得将抛物线先向左平移2个单位长度，再向下平移1个单位长度，得到的抛物线的对应函数解析式为，
故答案为：
【分析】根据二次函数的几何变换结合题意即可求解。
13．（2024九上·游仙期末）二次函数的图像如图，若一元二次方程有实数根，则的最小值为 .
【答案】-4
【知识点】一元二次方程的根；二次函数y=ax²+bx+c的图象
【解析】【解答】解：由图可知：y≤4，即ax2+bx≤4，
∵ax2+bx+c=0，
∴ax2+bx=-c，
∴-c≤4，
∴c≥-4．
的最小值为-4.
故答案是：-4
【分析】先根据二次函数的图象得到ax2+bx≤4，再结合一元二次方程即可得到-c≤4，进而即可求出c的最值。
三、解答题
14．（2024九上·朝阳期末）二次函数的图象经过和．
（1）求这个二次函数的表达式；
（2）将这个二次函数的图象向右平移 个单位后经过坐标原点．
【答案】（1）解：二次函数的图象经过和，
，
解得，
∴二次函数的表达式为；
（2）
【知识点】二次函数图象的几何变换；待定系数法求二次函数解析式
【解析】【解答】解：（2）∵二次函数的解析式为，
∴设向右平移m个单位长度后的解析式为：，
∵平移后的函数图象经过原点，
∴将点（0，0）代入，可得：0=（0-1-m）2-6，
解得：m1=，m2=（舍），
故答案为：.
【分析】（1）将点和代入求出a、c的值即可；
（2）设向右平移m个单位长度后的解析式为：，再将点（0，0）代入可得0=（0-1-m）2-6，再求出m的值即可.
15．（2023九上·萧山月考）请将二次函数化为的形式，并给出一种平移方式，使平移后的图象过原点.
【答案】解：
，
该抛物线顶点坐标是：
∴向左平移2个单位，向下平移2个单位，图象过原点.
【知识点】二次函数图象的几何变换；二次函数y=ax²+bx+c与二次函数y=a（x-h）²+k的转化
【解析】【分析】将一般式y=x2+bx+c通过配方法化为顶点式y=a(x-m)2+k，其顶点为（m，k）；本题y=-2x2+8x-6=-2(x-2)2+2，顶点为（2，2），将其平移后使得平移后的图象经过顶点，有无数种方法，只需要在函数图象上任取一点通过平移到原点即可，本题答案是将顶点平移到原点即向左平移2个单位，向下平移2个单位，图象过原点，便于观察和操作.
16．（2024九上·吉林期末） 已知抛物线：是常数，且．
（1）若抛物线在其对称轴左侧的部分是上升的，求的取值范围；
（2）若抛物线有最低点，且与抛物线的形状相同，求的值．
【答案】（1）解：抛物线在其对称轴左侧的部分是上升的，
，
解得，
的取值范围为；
（2）解：抛物线有最低点，
，
又抛物线与抛物线的形状相同，
，
解得．
【知识点】二次函数图象与系数的关系
【解析】【分析】（1）利用二次函数的图象与系数的关系可得，再求出a的取值范围即可；
（2）利用二次函数的图象开口大小与系数的关系可得，再求出a的值即可.
1 / 1【基础版】2024-2025学年浙教版数学九上1.2二次函数的图像 同步练习
一、选择题
1．（2021九上·南宁月考）抛物线 的顶点坐标是（ ）
A． B． C． D．
2．（2020九上·秀洲月考）抛物线 的对称轴是（ ）
A．直线 B．直线 C．直线 D．直线
3．（2024九上·黔南期末）将抛物线先向左平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度，则得到的抛物线的解析式为（ ）
A． B．
C． D．
4．（2024九上·伊通期末）抛物线与的共同特点是（ ）
A．开口都向上 B．对称轴都是y轴
C．都有最高点 D．都是y随x的增大而增大
5．用配方法将二次函数化为的形式为（ ）.
A． B．
C． D．
6．（2021九上·绍兴开学考）二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图，则下列结论正确的是（ ）
A． a＞0，b＞0，c＞0 B．a＞0，b＜0，c＜0
C．a＜0，b＞0，c＜0 D．a＜0，b＜0，c＜0
7．（2024九上·长沙期末） 二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，对称轴是直线x＝1，其中结论正确的为（ ）
A．abc＜0 B．b2﹣4ac＝0 C．a﹣b+c＞0 D．4a+2b+c＜0
8．（2020九上·霍林郭勒期末）在同一平面直角坐标系中，一次函数 与二次函数 的图象可能是（ ）
A． B．
C． D．
二、填空题
9．（2024九上·鄞州期末）在平面直角坐标系中，抛物线的开口方向是 ．
10．（2023九上·桂平期末）二次函数的顶点坐标是 .
11．（2024九上·剑阁期末）若把二次函数化为的形式，其中为常数，则 ．
12．（2024九上·朝天期末）在平面直角坐标系中，将抛物线先向左平移2个单位长度，再向下平移1个单位长度，得到的抛物线的对应函数解析式为 ．
13．（2024九上·游仙期末）二次函数的图像如图，若一元二次方程有实数根，则的最小值为 .
三、解答题
14．（2024九上·朝阳期末）二次函数的图象经过和．
（1）求这个二次函数的表达式；
（2）将这个二次函数的图象向右平移 个单位后经过坐标原点．
15．（2023九上·萧山月考）请将二次函数化为的形式，并给出一种平移方式，使平移后的图象过原点.
16．（2024九上·吉林期末） 已知抛物线：是常数，且．
（1）若抛物线在其对称轴左侧的部分是上升的，求的取值范围；
（2）若抛物线有最低点，且与抛物线的形状相同，求的值．
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】二次函数y=ax²+bx+c的图象
【解析】【解答】解：抛物线y=3(x+4)2+2为顶点式，顶点坐标为（-4，2），
故答案为：D.
【分析】根据抛物线y=a(x-h)2+k的顶点为（h，k）可求解.
2．【答案】C
【知识点】二次函数y=ax²+bx+c的图象
【解析】【解答】解：∵ ，
∴抛物线顶点坐标为 ，对称轴为 .
故答案为：C.
【分析】将抛物线的一般式配方成为顶点式，可确定对称轴.
3．【答案】C
【知识点】二次函数图象的几何变换
【解析】【解答】抛物线先向左平移2个单位长度后的解析式为，再向下平移3个单位长度后的解析式为，
故答案为：C.
【分析】根据函数解析式平移的特征：左加右减，上加下减求解即可。
4．【答案】B
【知识点】二次函数y=ax²的图象
【解析】【解答】解：开口向上，对称轴为轴，有最低点，顶点为原点；
开口向下，对称轴为轴，有最高点，顶点为原点；
∴抛物线，，共有的性质是对称轴为轴，顶点为原点；
故答案为：B．
【分析】根据二次函数的性质逐一分析判定即可．
5．【答案】B
【知识点】二次函数y=ax²+bx+c与二次函数y=a（x-h）²+k的转化
【解析】【解答】解：y=x2-8x+16-16-9=（x-4）2-25.
故答案为：B.
【分析】利用配方法将函数解析式转化为y=a（x-h）2+k的形式.
6．【答案】C
【知识点】二次函数图象与系数的关系
【解析】【解答】解：∵抛物线的开口向下，
∴a＜0；
∵抛物线与y轴交于负半轴，
∴c＜0；
∵抛物线的对称轴在y轴的右侧，
∴b＞0；
故答案为：C.
【分析】观察抛物线的开口方向，可确定出a的取值范围；抛物线与y轴的交点位置，可以确定出c的取值范围；根据对称轴的位置：左同右异，结合a的值，可确定出b的取值范围，即可求解.
7．【答案】D
【知识点】二次函数图象与系数的关系；二次函数y=ax²+bx+c的图象
【解析】【解答】A、根据函数图象可得：a>0，b<0，c<0，∴abc>0，∴A不正确，不符合题意；
B、∵抛物线与x轴有两个不同的交点，∴b2-4ac>0，∴B不正确，不符合题意；
C、∵抛物线与x轴的一个交点坐标为（-1，0），∴a-b+c=0，∴C不正确，不符合题意；
D、∵抛物线与x轴的一个交点坐标为（-1，0），且对称轴为直线x=1，∴抛物线与x轴的另一个交点坐标为（3，0），∵抛物线开口向上，∴当x=2时，函数值小于零，∴4a+2b+c<0，∴D正确，符合题意；
故答案为：D.
【分析】利用二次函数的图象与系数的关系可得a、b、c的正负，再利用二次函数的性质逐项判断即可。
8．【答案】B
【知识点】一次函数的图象；二次函数y=ax²+bx+c的图象
【解析】【解答】A、由抛物线可知，a＞0，b＜0，由直线可知，a＜0，b＞0，矛盾，故本选项不符合题意；
B、由抛物线可知，a＞0，b＞0，由直线可知，a＞0，b＞0，故本选项符合题意；
C、由抛物线可知，a＜0，b＜0，由直线可知，a＜0，b＞0，矛盾，故本选项不符合题意；
D、由抛物线可知，a＜0，b＜0，由直线可知，a＞0，b＞0，矛盾，故本选项不符合题意；
故答案为：B．
【分析】根据抛物线和直线的性质：
抛物线的性质，a＞0开口向上，a＜0开口向下，对称轴为，而直线上升时a＞0，直线下降时a＜0，直线与y轴的交点纵坐标为b的值，逐一进行对比判断即可。
9．【答案】开口向下
【知识点】二次函数y=ax²+bx+c的图象
【解析】【解答】解：
a=-1<0，故抛物线开口向下.
故答案为：开口向下.
【分析】根据二次函数的二次项系数的正负即可判断开口方向.
10．【答案】(2，-3)
【知识点】二次函数y=a（x-h）²+k的图象
【解析】【解答】解：，
二次函数的顶点坐标为，
故答案为：
【分析】抛物线（a≠0）的顶点坐标为（h，k），据此解答即可.
11．【答案】-2
【知识点】二次函数y=ax²+bx+c与二次函数y=a（x-h）²+k的转化
【解析】【解答】解：由题意得，
∴h=1，k=-3，
∴h+k=-2，
故答案为：-2
【分析】根据题意转换二次函数的解析式即可求解。
12．【答案】
【知识点】二次函数图象的几何变换
【解析】【解答】解：由题意得将抛物线先向左平移2个单位长度，再向下平移1个单位长度，得到的抛物线的对应函数解析式为，
故答案为：
【分析】根据二次函数的几何变换结合题意即可求解。
13．【答案】-4
【知识点】一元二次方程的根；二次函数y=ax²+bx+c的图象
【解析】【解答】解：由图可知：y≤4，即ax2+bx≤4，
∵ax2+bx+c=0，
∴ax2+bx=-c，
∴-c≤4，
∴c≥-4．
的最小值为-4.
故答案是：-4
【分析】先根据二次函数的图象得到ax2+bx≤4，再结合一元二次方程即可得到-c≤4，进而即可求出c的最值。
14．【答案】（1）解：二次函数的图象经过和，
，
解得，
∴二次函数的表达式为；
（2）
【知识点】二次函数图象的几何变换；待定系数法求二次函数解析式
【解析】【解答】解：（2）∵二次函数的解析式为，
∴设向右平移m个单位长度后的解析式为：，
∵平移后的函数图象经过原点，
∴将点（0，0）代入，可得：0=（0-1-m）2-6，
解得：m1=，m2=（舍），
故答案为：.
【分析】（1）将点和代入求出a、c的值即可；
（2）设向右平移m个单位长度后的解析式为：，再将点（0，0）代入可得0=（0-1-m）2-6，再求出m的值即可.
15．【答案】解：
，
该抛物线顶点坐标是：
∴向左平移2个单位，向下平移2个单位，图象过原点.
【知识点】二次函数图象的几何变换；二次函数y=ax²+bx+c与二次函数y=a（x-h）²+k的转化
【解析】【分析】将一般式y=x2+bx+c通过配方法化为顶点式y=a(x-m)2+k，其顶点为（m，k）；本题y=-2x2+8x-6=-2(x-2)2+2，顶点为（2，2），将其平移后使得平移后的图象经过顶点，有无数种方法，只需要在函数图象上任取一点通过平移到原点即可，本题答案是将顶点平移到原点即向左平移2个单位，向下平移2个单位，图象过原点，便于观察和操作.
16．【答案】（1）解：抛物线在其对称轴左侧的部分是上升的，
，
解得，
的取值范围为；
（2）解：抛物线有最低点，
，
又抛物线与抛物线的形状相同，
，
解得．
【知识点】二次函数图象与系数的关系
【解析】【分析】（1）利用二次函数的图象与系数的关系可得，再求出a的取值范围即可；
（2）利用二次函数的图象开口大小与系数的关系可得，再求出a的值即可.
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