【提升版】2024-2025学年浙教版数学九上1.2二次函数的图象 同步练习
一、选择题
1.(2024九上·嘉兴期末)抛物线的顶点坐标为( )
A. B. C. D.
2.(2016九上·怀柔期末)将抛物线 向上平移2个单位,则得到的抛物线表达式为( )
A. B. C. D.
3.(2024九上·红塔期末)已知二次函数的图象如图所示,则点所在的象限是( )
A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限
4.(2024九上·绵阳期末)已知直线经过第一、三、四象限,则抛物线可能是下列中的( )
A. B.
C. D.
5.(2024九上·长春汽车经济技术开发期末)若点在二次函数图象的对称轴上,则点的坐标可能是( )
A. B. C. D.
6.(2015九上·宁波月考)已知抛物线C1:y=﹣x2+2mx+1(m为常数,且m≠0)的顶点为A,与y轴交于点C;抛物线C2与抛物线C1关于y轴对称,其顶点为B.若点P是抛物线C1上的点,使得以A、B、C、P为顶点的四边形为菱形,则m为( )
A. B. C. D.
7.(2024九上·六安月考)在同一坐标系内,函数y=kx2和y=kx-2(k≠0)的图象大致如图( )
A. B.
C. D.
8.(2021九上·玉林期末)二次函数 的部分图象如图所示,图象过点 ,对称轴为直线 ,则有下列结论:① ;② ;③ ;④对于任意实数 , ;其中结论正确的个数为( )
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
二、填空题
9.(2023九上·奉贤期中)二次函数的顶点坐标为
10.(2023九上·滨江期末)已知一个二次函数图象的形状与抛物线相同,它的顶点坐标为,则该二次函数的表达式为 .
11.(2024九上·进贤期末)将抛物线先向下平移1个单位长度后,再向左平移5个单位长度,所得抛物线相应的函数表达式是 .
12.(2021九上·东海期末)如图,一段抛物线: ,记为 ,它与x轴交于两点O, ;将 绕 旋转 得到 ,交x轴于 ;将 绕 旋转 得到 ,交x轴于 ,过抛物线 , 顶点的直线与 、 、 围成的如图中的阴影部分,那么该阴影部分的面积为 .
三、解答题
13.(2023九上·临汾月考)已知二次函数的图象经过点.
(1)求该二次函数的表达式.
(2)求这个二次函数图象的顶点坐标.
14.(2024九上·吉林期末) 如图,抛物线与轴交于点、,是抛物线的顶点, 的顶点在轴上.
(1)求的值;
(2)若抛物线沿其对称轴向上平移后恰好经过点,求平移后抛物线的解析式.
四、综合题
15.(2022九上·宁波月考)已知抛物线经过点,.
(1)求该抛物线的函数表达式;
(2)将抛物线平移,使其顶点恰好落在原点,请写出一种平移的方法及平移后的函数表达式.
16.(2021九上·西安月考)如图,抛物线y=ax2+2x+c经过点A(0,3),B(﹣1,0),请回答下列问题:
(1)求抛物线的解析式;
(2)抛物线的顶点为D,对称轴与x轴交于点E,连接BD,求BD的长.
(3)在抛物线的对称轴上是否存在点M,使得△MBC的面积是4?若存在请求出点M的坐标;若不存在请说明不存在的理由.
答案解析部分
1.【答案】B
【知识点】二次函数y=a(x-h)²+k的图象
【解析】【解答】解: 的顶点坐标为(1,2)
故答案为:B.
【分析】顶点式的顶点坐标为(h,k).
2.【答案】D
【知识点】二次函数图象的几何变换
【解析】【解答】将抛物线y=-x2向上平移2个单位得到的抛物线是y=-x2+2.
故D符合题意.
故答案为:D.
【分析】根据二次函数的图象平移的规律来求解.抛物线的图象平移的规律:左加右减,上加右减.
3.【答案】B
【知识点】二次函数图象与系数的关系;点的坐标与象限的关系
【解析】【解答】∵二次函数的图象开口向下,
∴a<0,
∵二次函数的对称轴在y轴的右侧,
∴b>0,
∴点在第二象限,
故答案为:B.
【分析】利用二次函数的图象与系数的关系可得a<0,b>0,再利用点坐标与象限的关系分析求解即可.
4.【答案】B
【知识点】二次函数图象与系数的关系;一次函数图象、性质与系数的关系
【解析】【解答】解:直线经过第一、三、四象限,
抛物线 开口向上,对称轴在y轴的右侧,且经过原点,
结合选项中的图像可知B符合题意.
故答案为:B.
【分析】先根据直线的图像所经过的象限确定a、b的符号,再结合a、b的符号判断抛物线的开口、对称轴,以及必经过的点即可判断.
5.【答案】B
【知识点】二次函数y=a(x-h)²+k的图象
【解析】【解答】∵二次函数的解析式为,
∴二次函数的对称轴为直线x=5,
∴点(5,0)可以在二次函数的对称轴上,
故答案为:B.
【分析】先利用二次函数的顶点式求出二次函数的对称轴,再分析求解即可.
6.【答案】A
【知识点】二次函数图象的几何变换;菱形的性质
【解析】【解答】易知:C(0,1),A(m,m2+1);若以A、B、C、P为顶点的四边形为菱形,则CP∥AB①,CP=AP②;
由①得:点P与点C纵坐标相同,将y=1代入C1,得:x=0或x=2m,即P(2m,1);
由②得:(2m)2=m2+(m2+1﹣1)2,即m2=3,解得m=± ;
故答案为:A.
【分析】易知:C(0,1),A(m,m2+1), 抛物线C1、C2关于y轴对称,那么它们的顶点A、B也关于y轴对称,所以AB∥x轴;若以A、B、C、P为顶点的四边形为菱形,那么CP也必须与x轴平行,即点C、P的纵坐标相同,代入抛物线C1的解析式中,就能确定点P的坐标,此时能发现AB=CP,即四边形APCB中,AB、CP平行且相等,即该四边形APCB是平行四边形,只要再满足AP=CP(即一组邻边相等),就能判定该四边形是菱形,因此先用m表达出AP、CP的长,再列等式求出m的值即可。
7.【答案】B
【知识点】二次函数图象与系数的关系;一次函数图象、性质与系数的关系
【解析】【解答】解:由题意可得:
当k>0时,函数y=kx2的图象开口朝上,函数y=kx-2的图象经过一,三,四象限,排除C,D选项
当k<0时,函数y=kx2的图象开口朝下,函数y=kx-2的图象经过二,三,四象限,排除A选项
故答案为:B
【分析】根据二次函数与一次函数的项的系数与图象的关系即可求出答案.
8.【答案】D
【知识点】二次函数图象与系数的关系;二次函数y=ax²+bx+c的图象
【解析】【解答】解: 图象开口向下,
<
>
>
函数图象与 轴交于正半轴,
>
< 故①符合题意;
抛物线的对称轴为:
抛物线的图象过点 ,
<
>
< 故②符合题意;
由
故③符合题意;
当 时,函数有最大值
当 ,
,
,故④符合题意.
故答案为:
【分析】由函数图象与对称轴的方程结合可判断①,由抛物线的对称性方程可得 由抛物线的图象过点 ,可得 从而可得 结合 < 可判断②,由 可得 可判断③,由函数的最大值可判断④,从而可得答案.
9.【答案】
【知识点】二次函数y=ax²+bx+c与二次函数y=a(x-h)²+k的转化
【解析】【解答】
解:
∴顶点坐标为(-1,3)。
故答案为:(-1,3)
【分析】先把解析式化为顶点式,再根据顶点式得出顶点坐标。注意坐标的符号。
10.【答案】或
【知识点】二次函数y=ax²的图象;二次函数y=a(x-h)²+k的图象
【解析】【解答】解:∵二次函数的顶点坐标为,
∴可设这个二次函数的解析式为,
∵二次函数图象的形状与抛物线相同,
∴,
∴,
∴这个二次函数的解析式为或.
故答案为:或.
【分析】根据顶点坐标可设二次函数的解析式为y=a(x-1)2-3,由二次函数图象的形状与抛物线y=2x2相同可得a=±2,据此可得对应的解析式.
11.【答案】
【知识点】二次函数图象的几何变换
【解析】【解答】解:根据题意
抛物线先向下平移1个单位长度
再向左平移5个单位长度
故答案为:
【分析】根据一元二次函数解析式与图象平移的关系,根据“左+右-上+下-”的规律得到平移后的解析式。
12.【答案】108
【知识点】二次函数图象的几何变换
【解析】【解答】解:
因为函数
所以,对称轴: ,则当 时, ,即 ,由题意知 ,
所以,
由图象可知阴影部分的面积= = 点 到 距离= = =108
故答案为:108.
【分析】由函数 ,求出 ,再得出 , ,利用由图象可知阴影部分的面积= = 点 到 距离,求解即可.
13.【答案】(1)解:设该二次函数的表达式为
∴该二次函数的表达式为
(2)解:
∴顶点坐标为
【知识点】待定系数法求二次函数解析式;二次函数y=ax²+bx+c与二次函数y=a(x-h)²+k的转化
【解析】【分析】(1)设该二次函数的表达式为 ,利用待定系数法求得a、b、c的值,从而求解;
(2)将二次函数一般式化为顶点式,根据二次函数的性质即可求解.
14.【答案】(1)解:抛物线,
顶点的坐标为
四边形是平行四边形,
,,
设,的横坐标分别为,,则,
解得,
(2)解:,
,
设平移后抛物线的解析式为,
把代入得,解得,
平移后抛物线的解析式为,
即.
【知识点】二次函数图象的几何变换;平行四边形的性质
【解析】【分析】(1)先求出抛物线的顶点C坐标为(4,8),再利用平行四边形的性质可得,再设,的横坐标分别为,,则, 最后求出a的值即可;
(2)设平移后抛物线的解析式为,再将点(0,8)代入求出k的值即可.
15.【答案】解:把,代入抛物线解析式得:,解得:,则抛物线解析式为将抛物线平移,使其顶点恰好落在原点,请写出一种平移的方法及平移后的函数表达式.【答案】解:抛物线解析式为,将抛物线向右平移一个单位,向下平移2个单位,解析式变为.
(1)解:把,代入抛物线解析式得:,
解得:,
则抛物线解析式为
(2)解:抛物线解析式为,
将抛物线向右平移一个单位,向下平移2个单位,解析式变为.
【知识点】二次函数图象的几何变换;待定系数法求二次函数解析式
【解析】【分析】(1)将点(1,0)与(0,)代入 可得关于字母b、c的方程组,求解可得抛物线的解析式;
(2)将(1)所得抛物线的解析式配成顶点式,可得其顶点坐标,观察顶点坐标与原点坐标即可得出平移的方向和距离.
16.【答案】(1)解:∵抛物线y=ax2+2x+c经过点A(0,3),B(﹣1,0),
∴ ,
解得,a=﹣1,c=3,
即抛物线的解析式为:y=﹣x2+2x+3;
(2)解:∵物线的顶点为D,对称轴与x轴交于点E,
y=﹣x2+2x+3=﹣(x﹣1)2+4,B(﹣1,0),
∴点D的坐标是(1,4),点E的坐标是(1,0),
∴DE=4,BE=2,
∴ ,
即BD的长是 ;
(3)解:在抛物线的对称轴上存在点M,使得△MBC的面积是4.
设点M的坐标为(1,m),
由﹣x2+2x+3=0得x=﹣1或x=3,
即点B的坐标为(﹣1,0),点C的坐标为(3,0),
∴BC=3﹣(﹣1)=4,
∵△MBC的面积是4,
∴ ,
解得,m=±2,
即点M的坐标为(1,2)或(1,﹣2).
【知识点】待定系数法求二次函数解析式;二次函数y=ax²+bx+c的图象
【解析】【分析】(1)利用待定系数法求出抛物线的解析式即可;
(2)把抛物线的解析式化成顶点式,求出点D和点E的坐标,从而求出DE和BE的长,然后根据勾股定理求BD长即可;
(3) 设点M的坐标为(1,m), 令y=0,求出抛物线与x轴的交点坐标,从而求出BC长,根据 △MBC的面积是4, 建立关于m的方程求解,即可求出点M的坐标.
1 / 1【提升版】2024-2025学年浙教版数学九上1.2二次函数的图象 同步练习
一、选择题
1.(2024九上·嘉兴期末)抛物线的顶点坐标为( )
A. B. C. D.
【答案】B
【知识点】二次函数y=a(x-h)²+k的图象
【解析】【解答】解: 的顶点坐标为(1,2)
故答案为:B.
【分析】顶点式的顶点坐标为(h,k).
2.(2016九上·怀柔期末)将抛物线 向上平移2个单位,则得到的抛物线表达式为( )
A. B. C. D.
【答案】D
【知识点】二次函数图象的几何变换
【解析】【解答】将抛物线y=-x2向上平移2个单位得到的抛物线是y=-x2+2.
故D符合题意.
故答案为:D.
【分析】根据二次函数的图象平移的规律来求解.抛物线的图象平移的规律:左加右减,上加右减.
3.(2024九上·红塔期末)已知二次函数的图象如图所示,则点所在的象限是( )
A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限
【答案】B
【知识点】二次函数图象与系数的关系;点的坐标与象限的关系
【解析】【解答】∵二次函数的图象开口向下,
∴a<0,
∵二次函数的对称轴在y轴的右侧,
∴b>0,
∴点在第二象限,
故答案为:B.
【分析】利用二次函数的图象与系数的关系可得a<0,b>0,再利用点坐标与象限的关系分析求解即可.
4.(2024九上·绵阳期末)已知直线经过第一、三、四象限,则抛物线可能是下列中的( )
A. B.
C. D.
【答案】B
【知识点】二次函数图象与系数的关系;一次函数图象、性质与系数的关系
【解析】【解答】解:直线经过第一、三、四象限,
抛物线 开口向上,对称轴在y轴的右侧,且经过原点,
结合选项中的图像可知B符合题意.
故答案为:B.
【分析】先根据直线的图像所经过的象限确定a、b的符号,再结合a、b的符号判断抛物线的开口、对称轴,以及必经过的点即可判断.
5.(2024九上·长春汽车经济技术开发期末)若点在二次函数图象的对称轴上,则点的坐标可能是( )
A. B. C. D.
【答案】B
【知识点】二次函数y=a(x-h)²+k的图象
【解析】【解答】∵二次函数的解析式为,
∴二次函数的对称轴为直线x=5,
∴点(5,0)可以在二次函数的对称轴上,
故答案为:B.
【分析】先利用二次函数的顶点式求出二次函数的对称轴,再分析求解即可.
6.(2015九上·宁波月考)已知抛物线C1:y=﹣x2+2mx+1(m为常数,且m≠0)的顶点为A,与y轴交于点C;抛物线C2与抛物线C1关于y轴对称,其顶点为B.若点P是抛物线C1上的点,使得以A、B、C、P为顶点的四边形为菱形,则m为( )
A. B. C. D.
【答案】A
【知识点】二次函数图象的几何变换;菱形的性质
【解析】【解答】易知:C(0,1),A(m,m2+1);若以A、B、C、P为顶点的四边形为菱形,则CP∥AB①,CP=AP②;
由①得:点P与点C纵坐标相同,将y=1代入C1,得:x=0或x=2m,即P(2m,1);
由②得:(2m)2=m2+(m2+1﹣1)2,即m2=3,解得m=± ;
故答案为:A.
【分析】易知:C(0,1),A(m,m2+1), 抛物线C1、C2关于y轴对称,那么它们的顶点A、B也关于y轴对称,所以AB∥x轴;若以A、B、C、P为顶点的四边形为菱形,那么CP也必须与x轴平行,即点C、P的纵坐标相同,代入抛物线C1的解析式中,就能确定点P的坐标,此时能发现AB=CP,即四边形APCB中,AB、CP平行且相等,即该四边形APCB是平行四边形,只要再满足AP=CP(即一组邻边相等),就能判定该四边形是菱形,因此先用m表达出AP、CP的长,再列等式求出m的值即可。
7.(2024九上·六安月考)在同一坐标系内,函数y=kx2和y=kx-2(k≠0)的图象大致如图( )
A. B.
C. D.
【答案】B
【知识点】二次函数图象与系数的关系;一次函数图象、性质与系数的关系
【解析】【解答】解:由题意可得:
当k>0时,函数y=kx2的图象开口朝上,函数y=kx-2的图象经过一,三,四象限,排除C,D选项
当k<0时,函数y=kx2的图象开口朝下,函数y=kx-2的图象经过二,三,四象限,排除A选项
故答案为:B
【分析】根据二次函数与一次函数的项的系数与图象的关系即可求出答案.
8.(2021九上·玉林期末)二次函数 的部分图象如图所示,图象过点 ,对称轴为直线 ,则有下列结论:① ;② ;③ ;④对于任意实数 , ;其中结论正确的个数为( )
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
【答案】D
【知识点】二次函数图象与系数的关系;二次函数y=ax²+bx+c的图象
【解析】【解答】解: 图象开口向下,
<
>
>
函数图象与 轴交于正半轴,
>
< 故①符合题意;
抛物线的对称轴为:
抛物线的图象过点 ,
<
>
< 故②符合题意;
由
故③符合题意;
当 时,函数有最大值
当 ,
,
,故④符合题意.
故答案为:
【分析】由函数图象与对称轴的方程结合可判断①,由抛物线的对称性方程可得 由抛物线的图象过点 ,可得 从而可得 结合 < 可判断②,由 可得 可判断③,由函数的最大值可判断④,从而可得答案.
二、填空题
9.(2023九上·奉贤期中)二次函数的顶点坐标为
【答案】
【知识点】二次函数y=ax²+bx+c与二次函数y=a(x-h)²+k的转化
【解析】【解答】
解:
∴顶点坐标为(-1,3)。
故答案为:(-1,3)
【分析】先把解析式化为顶点式,再根据顶点式得出顶点坐标。注意坐标的符号。
10.(2023九上·滨江期末)已知一个二次函数图象的形状与抛物线相同,它的顶点坐标为,则该二次函数的表达式为 .
【答案】或
【知识点】二次函数y=ax²的图象;二次函数y=a(x-h)²+k的图象
【解析】【解答】解:∵二次函数的顶点坐标为,
∴可设这个二次函数的解析式为,
∵二次函数图象的形状与抛物线相同,
∴,
∴,
∴这个二次函数的解析式为或.
故答案为:或.
【分析】根据顶点坐标可设二次函数的解析式为y=a(x-1)2-3,由二次函数图象的形状与抛物线y=2x2相同可得a=±2,据此可得对应的解析式.
11.(2024九上·进贤期末)将抛物线先向下平移1个单位长度后,再向左平移5个单位长度,所得抛物线相应的函数表达式是 .
【答案】
【知识点】二次函数图象的几何变换
【解析】【解答】解:根据题意
抛物线先向下平移1个单位长度
再向左平移5个单位长度
故答案为:
【分析】根据一元二次函数解析式与图象平移的关系,根据“左+右-上+下-”的规律得到平移后的解析式。
12.(2021九上·东海期末)如图,一段抛物线: ,记为 ,它与x轴交于两点O, ;将 绕 旋转 得到 ,交x轴于 ;将 绕 旋转 得到 ,交x轴于 ,过抛物线 , 顶点的直线与 、 、 围成的如图中的阴影部分,那么该阴影部分的面积为 .
【答案】108
【知识点】二次函数图象的几何变换
【解析】【解答】解:
因为函数
所以,对称轴: ,则当 时, ,即 ,由题意知 ,
所以,
由图象可知阴影部分的面积= = 点 到 距离= = =108
故答案为:108.
【分析】由函数 ,求出 ,再得出 , ,利用由图象可知阴影部分的面积= = 点 到 距离,求解即可.
三、解答题
13.(2023九上·临汾月考)已知二次函数的图象经过点.
(1)求该二次函数的表达式.
(2)求这个二次函数图象的顶点坐标.
【答案】(1)解:设该二次函数的表达式为
∴该二次函数的表达式为
(2)解:
∴顶点坐标为
【知识点】待定系数法求二次函数解析式;二次函数y=ax²+bx+c与二次函数y=a(x-h)²+k的转化
【解析】【分析】(1)设该二次函数的表达式为 ,利用待定系数法求得a、b、c的值,从而求解;
(2)将二次函数一般式化为顶点式,根据二次函数的性质即可求解.
14.(2024九上·吉林期末) 如图,抛物线与轴交于点、,是抛物线的顶点, 的顶点在轴上.
(1)求的值;
(2)若抛物线沿其对称轴向上平移后恰好经过点,求平移后抛物线的解析式.
【答案】(1)解:抛物线,
顶点的坐标为
四边形是平行四边形,
,,
设,的横坐标分别为,,则,
解得,
(2)解:,
,
设平移后抛物线的解析式为,
把代入得,解得,
平移后抛物线的解析式为,
即.
【知识点】二次函数图象的几何变换;平行四边形的性质
【解析】【分析】(1)先求出抛物线的顶点C坐标为(4,8),再利用平行四边形的性质可得,再设,的横坐标分别为,,则, 最后求出a的值即可;
(2)设平移后抛物线的解析式为,再将点(0,8)代入求出k的值即可.
四、综合题
15.(2022九上·宁波月考)已知抛物线经过点,.
(1)求该抛物线的函数表达式;
(2)将抛物线平移,使其顶点恰好落在原点,请写出一种平移的方法及平移后的函数表达式.
【答案】解:把,代入抛物线解析式得:,解得:,则抛物线解析式为将抛物线平移,使其顶点恰好落在原点,请写出一种平移的方法及平移后的函数表达式.【答案】解:抛物线解析式为,将抛物线向右平移一个单位,向下平移2个单位,解析式变为.
(1)解:把,代入抛物线解析式得:,
解得:,
则抛物线解析式为
(2)解:抛物线解析式为,
将抛物线向右平移一个单位,向下平移2个单位,解析式变为.
【知识点】二次函数图象的几何变换;待定系数法求二次函数解析式
【解析】【分析】(1)将点(1,0)与(0,)代入 可得关于字母b、c的方程组,求解可得抛物线的解析式;
(2)将(1)所得抛物线的解析式配成顶点式,可得其顶点坐标,观察顶点坐标与原点坐标即可得出平移的方向和距离.
16.(2021九上·西安月考)如图,抛物线y=ax2+2x+c经过点A(0,3),B(﹣1,0),请回答下列问题:
(1)求抛物线的解析式;
(2)抛物线的顶点为D,对称轴与x轴交于点E,连接BD,求BD的长.
(3)在抛物线的对称轴上是否存在点M,使得△MBC的面积是4?若存在请求出点M的坐标;若不存在请说明不存在的理由.
【答案】(1)解:∵抛物线y=ax2+2x+c经过点A(0,3),B(﹣1,0),
∴ ,
解得,a=﹣1,c=3,
即抛物线的解析式为:y=﹣x2+2x+3;
(2)解:∵物线的顶点为D,对称轴与x轴交于点E,
y=﹣x2+2x+3=﹣(x﹣1)2+4,B(﹣1,0),
∴点D的坐标是(1,4),点E的坐标是(1,0),
∴DE=4,BE=2,
∴ ,
即BD的长是 ;
(3)解:在抛物线的对称轴上存在点M,使得△MBC的面积是4.
设点M的坐标为(1,m),
由﹣x2+2x+3=0得x=﹣1或x=3,
即点B的坐标为(﹣1,0),点C的坐标为(3,0),
∴BC=3﹣(﹣1)=4,
∵△MBC的面积是4,
∴ ,
解得,m=±2,
即点M的坐标为(1,2)或(1,﹣2).
【知识点】待定系数法求二次函数解析式;二次函数y=ax²+bx+c的图象
【解析】【分析】(1)利用待定系数法求出抛物线的解析式即可;
(2)把抛物线的解析式化成顶点式,求出点D和点E的坐标,从而求出DE和BE的长,然后根据勾股定理求BD长即可;
(3) 设点M的坐标为(1,m), 令y=0,求出抛物线与x轴的交点坐标,从而求出BC长,根据 △MBC的面积是4, 建立关于m的方程求解,即可求出点M的坐标.
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