【培优版】2024-2025学年浙教版数学九上1.2二次函数的图象 同步练习
一、选择题
1．（2024九上·平山期末）已知二次函数的图象如图所示，则一次函数的图象和反比例函数的图象在同一坐标系中大致为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】一次函数的图象；反比例函数的图象；二次函数图象与系数的关系
【解析】【解答】解：由图象可知：图象开口向下，对称轴位于轴左侧，与轴正半轴交于一点，
可得：
又由于当时，
因此一次函数的图象经过一、二、四三个象限，反比例函数的图象位于一、三象限；
故答案为：A．
【分析】根据二次函数图象与系数的关系并结合图象判断、、的正负，再取特定点，令代入判断的正负，由此判断两个函数图象所在象限即可求解。
2．（2022九上·西城期末）抛物线通过变换可以得到抛物线，以下变换过程正确的是（ ）
A．先向右平移1个单位，再向上平移2个单位
B．先向左平移1个单位，再向下平移2个单位
C．先向右平移1个单位，再向下平移2个单位
D．先向左平移1个单位，再向上平移2个单位
【答案】D
【知识点】二次函数图象的几何变换
【解析】【解答】解：抛物线通过先向左平移1个单位，再向上平移2个单位可以得到抛物线，
故答案为：D
【分析】根据函数解析式平移的特征：左加右减，上加下减求解即可。
3．（2023九上·南开月考）已知二次函数满足以下三个条件：①，②，③，则它的图象可能是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】二次函数图象与系数的关系
【解析】【解答】解：①当a＞0时，b2-4ac＞0；当a＜0时，b2-4ac＜0；
②当x=-1时，a-b+c＜0；
③∵b＜c，∴-b+c＞0，∵a-b+c＜0，∴a＜0；
∴由a＜0，A和B选项不符合题意；
根据C和D的图象可得，c＜0，∵b＜c
∴b＜0
二次函数的对称轴x=-＜0，
∴D选项符合题意；
故答案为：D.
【分析】根据二次函数的图象和性质进行判断。
4．（2024九上·怀化期末）抛物线（a，b，c为常数）的对称轴为，过点和点，且．有下列结论：①；②对任意实数m都有：；③；④若，则．其中正确结论的个数为（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】B
【知识点】二次函数图象与系数的关系
【解析】【解答】 解：抛物线（a，b，c为常数）的对称轴为，过点， 且，
抛物线开口向下，a<0，故①错误；
抛物线开口向下， 对称轴为 ，
当x=-2时，函数有最大值，且最大值为4a-2b+c，
对任意实数m都有：，
，故②正确；
对称轴为 ，且c>0，
当x=-4时，函数值大于0，
即16a-4b+c>0，移项得： ，故③正确；
对称轴为，
点（0，c）的对称点为（-4，c），
抛物线开口向下，
当时， ，当时，，故④错误.
正确结论的个数为2个.
故答案为：B.
【分析】根据抛物线（a，b，c为常数）的对称轴为，过点， 且，可得开口向下，即可判断①；根据对称轴为，可知x=-2时取最大值，即可判断②；根据抛物线的对称性以及c>0，可得x=-4时，函数值大于0，即可判断③；根据抛物线的对称性以及二次函数的性质即可判断④.
5．（2023九上·献县月考）若抛物线与抛物线关于直线对称，则的值分别为（ ）
A．， B．，
C．， D．，
【答案】D
【知识点】二次函数图象的几何变换
【解析】【解答】解：由抛物线得：
其对称轴为直线：，
∵抛物线与抛物线关于直线对称，
∴其对称轴也关于直线对称，
∴抛物线的对称轴为直线x==-1，
解得：m=1，
∵抛物线与y轴的交点为（0，-5），
∴（0，-5）关于直线对称的点为（2，-5），
∴（2，-5）在抛物线上，
∴，
解得：n=-2.
故答案为：D.
【分析】由抛物线可知抛物线M的对称轴为直线x==-1，从而可求得m的值；由抛物线交y轴于点(0，-5)，可得点(0，-5)关于直线x=1对称的点( 2，-5)在抛物线上，进而求得 n=-2.
6．（2020九上·长兴开学考）如图，正方形四个顶点的坐标依次为(1，1)，(3，1)，(3，3)，(1，3)，若抛物线y=ax2的图象与正方形有公共点，则实数a的取值范围是（ ）
A． ≤a≤3 B． ≤a≤1 C． ≤a≤3 D． ≤a≤1
【答案】A
【知识点】二次函数图象与系数的关系
【解析】【解答】解：当抛物线经过（1，3）时，a=3，
当抛物线经过（3，1）时，a=，
观察图象可知： ≤a≤3.
故答案为：A.
【分析】分别根据当抛物线经过（1，3）和（3，1）求出a的值，即求出抛物线最胖或最瘦时的a值，结合图象即可得出a的范围.
7．（2020九上·杭州月考）已知点(x0，y0)是二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象上一个定点，而(m，n)是二次函数图象上动点，若对任意的实数m，都有a(y0－n)≤0，则以x0为根的关于t的方程是（ ）
A．at－2b＝0 B．at＋2b＝0 C．2at－b＝0 D．2at＋b＝0
【答案】D
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；完全平方式；二次函数y=ax²+bx+c的图象
【解析】【解答】解：y0= ax02＋bx0＋c， n=am2＋bm＋c，
∴ a(y0－n)=a2x02＋abx0＋c-a2m2-abm-c
=a2x02＋abx0-a2m2-abm
=-a2m2-abm+a2x02＋abx0，
设w=-a2m2-abm+a2x02＋abx0
∵对任意的实数m，都有a(y0－n)≤0，
∵-a2<0，
∴△=（-ab）2-4（-a2）×（a2x02＋abx0），
=a2（b2+4abx0+4a2x02）
=a2（2ax0+b）2≤0，
∵a2（2ax0+b）2≥0，a≠0，
∴2ax0+b=0， ∴x0是关于t的方程2at＋b＝0的根.
故答案为：D.
【分析】先根据条件列出a(y0－n)的表达式，整理化简，由于对任意的实数m，都有a(y0－n)≤0， 可知关于m的一元二次方程的△≤0，据此列式，化简整理最后得出一个完全平方式形式，从而推出2ax0+b=0，则x0是关于t的方程2at＋b＝0的根.
8．（2023九上·仁寿月考）已知二次函数的图像如图，有下列5个结论：
①；②；③；④；⑤（的实数），其中正确的结论个数有（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
【答案】B
【知识点】二次函数图象与系数的关系
【解析】【解答】解：由对称知，当时，函数值大于0，即，故③正确；
由图象可知：图象开口向下，对称轴在y轴左侧，与y轴交于正半轴，
则，，，故，故①错误；
当时，，即，当时，，即，故②错误；
当时函数值小于0，，且，
即，代入得，得，故④正确；
当时，的值最大．此时，，
而当时，，
所以，
故，即，故⑤正确．
综上所述，③④⑤正确．
故答案为：B
【分析】根据二次函数的图象与性质结合题意对①②③④⑤逐一判断即可求解。
二、填空题
9．（2024九上·仁寿期末） 已知二次函数可以写成，则的取值范围是 ．
【答案】
【知识点】二次函数y=ax²+bx+c与二次函数y=a（x-h）²+k的转化
【解析】【解答】解：
故答案为：
【分析】根据题意顶点式转化为一般式，进而对比系数即可求解。
10．（2024九上·石家庄期末）已知二次函数（a为常数）．
（1）若，则二次函数的顶点坐标为 ；
（2）当a取不同的值时，其图象构成一个“抛物线系”．如图分别是当时，二次函数的图象，则它们的顶点坐标满足的函数解析式是 ．
【答案】（1）
（2）
【知识点】二次函数图象的几何变换；二次函数y=a（x-h）²+k的图象
【解析】【解答】（1）由题目所给二次函数顶点式可知，二次函数的顶点坐标为（2a，a-1），当a=2时，二次函数顶点坐标为（4，1）；
（2）设顶点坐标为（x，y），则x=2a，可知，a=，则y=a-1=．
故答案为：．
【分析】（1）根据二次函数可知顶点坐标为（2a，a-1），令代入计算即可求解；
（2）设顶点坐标为（x，y），可得x=2a，再运用等量变换，消掉a，即可得到y关于x的关系式。
11．（2020九上·越城月考）已知二次函数y=ax2+bx+c的图象如图，①abc＞0；②b＜a+c；③4a+2b+c＞0；④2c＜3b；⑤a+b＜m（am+b）（m≠1），其中结论正确的有 （填序号）
【答案】③④
【知识点】二次函数图象与系数的关系
【解析】【解答】 解：①∵图像开口向下，
∵a＜0，
又∵图像与y轴正半轴相交，
∴c＞0，
∵对称轴在y轴右边，
∴-＞0，
∴b＞0，
∴abc＜0，
故①错误；
②由图像可知当x=-1时，函数值小于0，
∴a-b+c＜0，
∴a+c＜b，
故②错误；
③由图像可知当x=2时，函数值大于0，
∴4a+2b+c＞0，
故③正确；
④由图像可知函数对称轴x=-=1，
即a=-b，
由②知a-b+c＜0，
∴-b-b+c＜0，
即3b＞2c，
故④正确；
⑤由图像可知当x=1时，函数取得最大值，
∴a+b+c＞am2+bm+c，
即a+b＞am2+bm，
故⑤错误；
综上所述：结论正确的有③④.
故答案为：③④.
【分析】①根据图像开口向下可得a＜0，由图像与y轴正半轴相交得c＞0，结合对称轴在y轴右边可得b＞0，从而可判断①错误；
②由图像可知当x=-1时，函数值小于0，从而可判断②错误；
③由图像可知当x=2时，函数值大于0，从而可判断③正确；
④根据图像的对称轴可得a=-b，再将此式代入②中a-b+c＜0，即可判断出④正确；
⑤由图像可知当x=1时，函数取得最大值，从而可得x=1处的函数值大于x=m（m≠1）的函数值，
从而可判断⑤错误.
12．（2020九上·江都月考）如图， 的顶点 在抛物线 上，将 绕点 顺时针旋转 得到 ，现将抛物线沿 轴向上平移 个单位，使得抛物线与边 只有一个公共点 ，则 的取值范围为 .
【答案】0＜m＜2或
【知识点】二次函数图象的几何变换
【解析】【解答】解：把点A(-2，4)代入 得： ，
解得： ，
∴抛物线的解析式为： ，
∵点A(-2，4)，
∴OB=2，AB=4，
根据旋转的性质知：OD=OB=2，CD=AB=4，如图：
∴点C的坐标为(4，2)，点D的坐标为(0，2)，
设抛物线沿y轴向上平移 个单位的解析式为 ，
当 时， ，
此时抛物线 与线段CD只有一个交点，
将抛物线沿y轴向上平移2个单位，经过点D时与线段CD恰好有二个交点，
∴ ，抛物线 与线段CD只有一个交点，
当抛物线 顶点在线段CD上时，抛物线 与线段CD只有一个交点，
此时： ，解得： ，
故答案为：0＜m＜2或 .
【分析】由题意用待定系数法可求得抛物线的解析式，由旋转的性质可得OD=OB，CD=AB，则可得点C、D的坐标，由平移的坐标变化特征“左加右减、上加下减”可设抛物线的解析式为y=x2-x+m，根据抛物线y=x2-x+m与线段CD只有一个交点可得m=0，x=4；将抛物线沿y轴向上平移2个单位，经过点D时与线段CD恰好有二个交点，于是可得0＜m＜2；抛物线y=x2-x+m顶点在线段CD上时，抛物线y=x2-x+m与线段CD只有一个交点，根据=2可得关于m的方程，解方程可求得m的值，综合这三种情况可得m的范围.
三、综合题
13．（2021九上·萧山月考）在平面直角坐标系 中，抛物线 与 轴交于点 ，将点 向右平移 个单位长度，得到点 ，点 在抛物线上。
（1）求点 的坐标 用含 的式子表示 ；
（2）
求抛物线的对称轴；
（3）已知点P( ， )， ，若抛物线与线段 恰有一个公共点，结合函数图象，求 的取值范围．
【答案】（1）解：
点 向右平移2个单位长度，得到点 ；
（2）A与B关于对称轴直线 对称，
抛物线对称轴直线 ；
（3）∵对称轴直线 ，
，
，
时， 如图 ，
当x=2时，，
当y= 时，= ，
解得x=0或2，
观察图象可知，线段PQ与抛物线无交点；
②若a<0时，
当y=2时，2= ，
解得：x=或，
如图，
当≤2时，
观察函数图象可知：a≤时，抛物线与线段PQ恰有一个公共点，
综上，a的取值范围是：a≤.
【知识点】一次函数图象与几何变换；二次函数y=ax²+bx+c的图象
【解析】【分析】(1)根据坐标平移的特点，即上加下减，左减右加，求B点坐标即可；
(2)由于A、B两点的纵坐标相等，根据中点坐标公式可得抛物线的对称轴表达式；
(3)根据对称轴直线x=-1，求出a与b的关系式，则可得出 ， 然后分两种情况讨论，即 时， 时，先分别画出图象的草图，用数形结合的方法分析求解即可.
14．（2022九上·黄岩月考）如图，在直角坐标系中，二次函数的图像与轴相交于，两点．
（1）求这个二次函数的解析式；
（2）在这条抛物线的对称轴右边的图像上有一点，使的面积等于6，求点的坐标；
（3）对于（2）中的点，在此抛物线上是否存在点，使？若存在，求出点的坐标，若不存在，请说明理由．
【答案】（1）解：函数的图象与轴相交于，
，
，
（2）解：假设存在点，过点作轴于点，
的面积等于6，
，
当，
，
解得：或3，
，
，
即，
解得：或（舍去）．
又顶点坐标为： 1.5，．
，
轴下方不存在点，
点的坐标为：；
（3）解：点的坐标为：，
，，
当，
，
设点横坐标为：，则纵坐标为：，
即，
解得 或（舍），
在抛物线上仅存在一点 ．
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；三角形的面积；二次函数y=ax²+bx+c的图象
【解析】【分析】（1）将（0，0）代入可得k的值，进而可得二次函数的解析式；
（2）假设存在点B，过点B作BD⊥x轴于点D，根据三角形的面积公式可得x的值，然后求出AO、BD，令y=BD，求出x的值，然后结合顶点坐标可得点B的坐标；
（3）根据点B的坐标可得∠BOD=45°，利用勾股定理可得BO，当∠POB=90°时，∠POD=45°，设P点横坐标为x，则纵坐标为x2-3x，即-x=x2-3x，求出x的值，进而可得点P的坐标.
15．（2023九上·章贡期中）如图1，在平面直角坐标系中，抛物线经过点和点.
图1 图2 图3
（1）求抛物线的表达式；
（2）如图2，抛物线与抛物线关于原点O成中心对称，请直接写出抛物线的表达式为 ；
（3）如图3，将（2）中抛物线向上平移m个单位，得到抛物线，当抛物线经过点A时，求m的值.
【答案】（1）解：将点和点代入，得：
，
解得：，
∴
（2）；
（3）解：依题意，有抛物线的解析式为，
因抛物线经过点，
∴
∴
【知识点】二次函数图象的几何变换；待定系数法求二次函数解析式
【解析】【解答】解：（2）∵，
∴抛物线的顶点为，
∵顶点关于原点的对称点为，
∴抛物线的解析式为，
故答案为：；
【分析】（1）根据待定系数法求二次函数的解析式。将点和点代入，即可求解；
（2）利用对称性求出函数顶点关于原点的对称点为，即可求函数的解析式；
（3）根据二次函数的图象及性质求解。利用平移的规律得到抛物线的解析式为，代入点A的坐标即可求得m的值．
四、实践探究题
16．如图所示，在平面直角坐标系中，正方形OABC的边长为4，边OA，OC分别在x轴、y轴的正半轴上，把正方形OABC的内部及边上横、纵坐标均为整数的点称为“好点”.P为抛物线的顶点.
（1）当m=0时，求该拋物线下方（包括边界）的“好点”个数.
（2）当m=3时，求该抛物线上的“好点”的坐标.
【答案】（1）当时，抛物线的函数表达式为，图象如图甲所示，“好点”的个数为5.
（2）当时，抛物线的函数表达式为，图象如图乙所示，抛物线上的“好点”的坐标分别为.
【知识点】二次函数y=a（x-h）²+k的图象
【解析】【分析】（1）将m=0代入函数解析式，可得到y=-x2+2，画出函数图象，可作出判断.
（2）将m=3代入函数解析式，再画出函数图象，可得到此抛物线上的抛物线上的“好点”的坐标.
1 / 1【培优版】2024-2025学年浙教版数学九上1.2二次函数的图象 同步练习
一、选择题
1．（2024九上·平山期末）已知二次函数的图象如图所示，则一次函数的图象和反比例函数的图象在同一坐标系中大致为（ ）
A． B．
C． D．
2．（2022九上·西城期末）抛物线通过变换可以得到抛物线，以下变换过程正确的是（ ）
A．先向右平移1个单位，再向上平移2个单位
B．先向左平移1个单位，再向下平移2个单位
C．先向右平移1个单位，再向下平移2个单位
D．先向左平移1个单位，再向上平移2个单位
3．（2023九上·南开月考）已知二次函数满足以下三个条件：①，②，③，则它的图象可能是（ ）
A． B．
C． D．
4．（2024九上·怀化期末）抛物线（a，b，c为常数）的对称轴为，过点和点，且．有下列结论：①；②对任意实数m都有：；③；④若，则．其中正确结论的个数为（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
5．（2023九上·献县月考）若抛物线与抛物线关于直线对称，则的值分别为（ ）
A．， B．，
C．， D．，
6．（2020九上·长兴开学考）如图，正方形四个顶点的坐标依次为(1，1)，(3，1)，(3，3)，(1，3)，若抛物线y=ax2的图象与正方形有公共点，则实数a的取值范围是（ ）
A． ≤a≤3 B． ≤a≤1 C． ≤a≤3 D． ≤a≤1
7．（2020九上·杭州月考）已知点(x0，y0)是二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象上一个定点，而(m，n)是二次函数图象上动点，若对任意的实数m，都有a(y0－n)≤0，则以x0为根的关于t的方程是（ ）
A．at－2b＝0 B．at＋2b＝0 C．2at－b＝0 D．2at＋b＝0
8．（2023九上·仁寿月考）已知二次函数的图像如图，有下列5个结论：
①；②；③；④；⑤（的实数），其中正确的结论个数有（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
二、填空题
9．（2024九上·仁寿期末） 已知二次函数可以写成，则的取值范围是 ．
10．（2024九上·石家庄期末）已知二次函数（a为常数）．
（1）若，则二次函数的顶点坐标为 ；
（2）当a取不同的值时，其图象构成一个“抛物线系”．如图分别是当时，二次函数的图象，则它们的顶点坐标满足的函数解析式是 ．
11．（2020九上·越城月考）已知二次函数y=ax2+bx+c的图象如图，①abc＞0；②b＜a+c；③4a+2b+c＞0；④2c＜3b；⑤a+b＜m（am+b）（m≠1），其中结论正确的有 （填序号）
12．（2020九上·江都月考）如图， 的顶点 在抛物线 上，将 绕点 顺时针旋转 得到 ，现将抛物线沿 轴向上平移 个单位，使得抛物线与边 只有一个公共点 ，则 的取值范围为 .
三、综合题
13．（2021九上·萧山月考）在平面直角坐标系 中，抛物线 与 轴交于点 ，将点 向右平移 个单位长度，得到点 ，点 在抛物线上。
（1）求点 的坐标 用含 的式子表示 ；
（2）
求抛物线的对称轴；
（3）已知点P( ， )， ，若抛物线与线段 恰有一个公共点，结合函数图象，求 的取值范围．
14．（2022九上·黄岩月考）如图，在直角坐标系中，二次函数的图像与轴相交于，两点．
（1）求这个二次函数的解析式；
（2）在这条抛物线的对称轴右边的图像上有一点，使的面积等于6，求点的坐标；
（3）对于（2）中的点，在此抛物线上是否存在点，使？若存在，求出点的坐标，若不存在，请说明理由．
15．（2023九上·章贡期中）如图1，在平面直角坐标系中，抛物线经过点和点.
图1 图2 图3
（1）求抛物线的表达式；
（2）如图2，抛物线与抛物线关于原点O成中心对称，请直接写出抛物线的表达式为 ；
（3）如图3，将（2）中抛物线向上平移m个单位，得到抛物线，当抛物线经过点A时，求m的值.
四、实践探究题
16．如图所示，在平面直角坐标系中，正方形OABC的边长为4，边OA，OC分别在x轴、y轴的正半轴上，把正方形OABC的内部及边上横、纵坐标均为整数的点称为“好点”.P为抛物线的顶点.
（1）当m=0时，求该拋物线下方（包括边界）的“好点”个数.
（2）当m=3时，求该抛物线上的“好点”的坐标.
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】一次函数的图象；反比例函数的图象；二次函数图象与系数的关系
【解析】【解答】解：由图象可知：图象开口向下，对称轴位于轴左侧，与轴正半轴交于一点，
可得：
又由于当时，
因此一次函数的图象经过一、二、四三个象限，反比例函数的图象位于一、三象限；
故答案为：A．
【分析】根据二次函数图象与系数的关系并结合图象判断、、的正负，再取特定点，令代入判断的正负，由此判断两个函数图象所在象限即可求解。
2．【答案】D
【知识点】二次函数图象的几何变换
【解析】【解答】解：抛物线通过先向左平移1个单位，再向上平移2个单位可以得到抛物线，
故答案为：D
【分析】根据函数解析式平移的特征：左加右减，上加下减求解即可。
3．【答案】D
【知识点】二次函数图象与系数的关系
【解析】【解答】解：①当a＞0时，b2-4ac＞0；当a＜0时，b2-4ac＜0；
②当x=-1时，a-b+c＜0；
③∵b＜c，∴-b+c＞0，∵a-b+c＜0，∴a＜0；
∴由a＜0，A和B选项不符合题意；
根据C和D的图象可得，c＜0，∵b＜c
∴b＜0
二次函数的对称轴x=-＜0，
∴D选项符合题意；
故答案为：D.
【分析】根据二次函数的图象和性质进行判断。
4．【答案】B
【知识点】二次函数图象与系数的关系
【解析】【解答】 解：抛物线（a，b，c为常数）的对称轴为，过点， 且，
抛物线开口向下，a<0，故①错误；
抛物线开口向下， 对称轴为 ，
当x=-2时，函数有最大值，且最大值为4a-2b+c，
对任意实数m都有：，
，故②正确；
对称轴为 ，且c>0，
当x=-4时，函数值大于0，
即16a-4b+c>0，移项得： ，故③正确；
对称轴为，
点（0，c）的对称点为（-4，c），
抛物线开口向下，
当时， ，当时，，故④错误.
正确结论的个数为2个.
故答案为：B.
【分析】根据抛物线（a，b，c为常数）的对称轴为，过点， 且，可得开口向下，即可判断①；根据对称轴为，可知x=-2时取最大值，即可判断②；根据抛物线的对称性以及c>0，可得x=-4时，函数值大于0，即可判断③；根据抛物线的对称性以及二次函数的性质即可判断④.
5．【答案】D
【知识点】二次函数图象的几何变换
【解析】【解答】解：由抛物线得：
其对称轴为直线：，
∵抛物线与抛物线关于直线对称，
∴其对称轴也关于直线对称，
∴抛物线的对称轴为直线x==-1，
解得：m=1，
∵抛物线与y轴的交点为（0，-5），
∴（0，-5）关于直线对称的点为（2，-5），
∴（2，-5）在抛物线上，
∴，
解得：n=-2.
故答案为：D.
【分析】由抛物线可知抛物线M的对称轴为直线x==-1，从而可求得m的值；由抛物线交y轴于点(0，-5)，可得点(0，-5)关于直线x=1对称的点( 2，-5)在抛物线上，进而求得 n=-2.
6．【答案】A
【知识点】二次函数图象与系数的关系
【解析】【解答】解：当抛物线经过（1，3）时，a=3，
当抛物线经过（3，1）时，a=，
观察图象可知： ≤a≤3.
故答案为：A.
【分析】分别根据当抛物线经过（1，3）和（3，1）求出a的值，即求出抛物线最胖或最瘦时的a值，结合图象即可得出a的范围.
7．【答案】D
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；完全平方式；二次函数y=ax²+bx+c的图象
【解析】【解答】解：y0= ax02＋bx0＋c， n=am2＋bm＋c，
∴ a(y0－n)=a2x02＋abx0＋c-a2m2-abm-c
=a2x02＋abx0-a2m2-abm
=-a2m2-abm+a2x02＋abx0，
设w=-a2m2-abm+a2x02＋abx0
∵对任意的实数m，都有a(y0－n)≤0，
∵-a2<0，
∴△=（-ab）2-4（-a2）×（a2x02＋abx0），
=a2（b2+4abx0+4a2x02）
=a2（2ax0+b）2≤0，
∵a2（2ax0+b）2≥0，a≠0，
∴2ax0+b=0， ∴x0是关于t的方程2at＋b＝0的根.
故答案为：D.
【分析】先根据条件列出a(y0－n)的表达式，整理化简，由于对任意的实数m，都有a(y0－n)≤0， 可知关于m的一元二次方程的△≤0，据此列式，化简整理最后得出一个完全平方式形式，从而推出2ax0+b=0，则x0是关于t的方程2at＋b＝0的根.
8．【答案】B
【知识点】二次函数图象与系数的关系
【解析】【解答】解：由对称知，当时，函数值大于0，即，故③正确；
由图象可知：图象开口向下，对称轴在y轴左侧，与y轴交于正半轴，
则，，，故，故①错误；
当时，，即，当时，，即，故②错误；
当时函数值小于0，，且，
即，代入得，得，故④正确；
当时，的值最大．此时，，
而当时，，
所以，
故，即，故⑤正确．
综上所述，③④⑤正确．
故答案为：B
【分析】根据二次函数的图象与性质结合题意对①②③④⑤逐一判断即可求解。
9．【答案】
【知识点】二次函数y=ax²+bx+c与二次函数y=a（x-h）²+k的转化
【解析】【解答】解：
故答案为：
【分析】根据题意顶点式转化为一般式，进而对比系数即可求解。
10．【答案】（1）
（2）
【知识点】二次函数图象的几何变换；二次函数y=a（x-h）²+k的图象
【解析】【解答】（1）由题目所给二次函数顶点式可知，二次函数的顶点坐标为（2a，a-1），当a=2时，二次函数顶点坐标为（4，1）；
（2）设顶点坐标为（x，y），则x=2a，可知，a=，则y=a-1=．
故答案为：．
【分析】（1）根据二次函数可知顶点坐标为（2a，a-1），令代入计算即可求解；
（2）设顶点坐标为（x，y），可得x=2a，再运用等量变换，消掉a，即可得到y关于x的关系式。
11．【答案】③④
【知识点】二次函数图象与系数的关系
【解析】【解答】 解：①∵图像开口向下，
∵a＜0，
又∵图像与y轴正半轴相交，
∴c＞0，
∵对称轴在y轴右边，
∴-＞0，
∴b＞0，
∴abc＜0，
故①错误；
②由图像可知当x=-1时，函数值小于0，
∴a-b+c＜0，
∴a+c＜b，
故②错误；
③由图像可知当x=2时，函数值大于0，
∴4a+2b+c＞0，
故③正确；
④由图像可知函数对称轴x=-=1，
即a=-b，
由②知a-b+c＜0，
∴-b-b+c＜0，
即3b＞2c，
故④正确；
⑤由图像可知当x=1时，函数取得最大值，
∴a+b+c＞am2+bm+c，
即a+b＞am2+bm，
故⑤错误；
综上所述：结论正确的有③④.
故答案为：③④.
【分析】①根据图像开口向下可得a＜0，由图像与y轴正半轴相交得c＞0，结合对称轴在y轴右边可得b＞0，从而可判断①错误；
②由图像可知当x=-1时，函数值小于0，从而可判断②错误；
③由图像可知当x=2时，函数值大于0，从而可判断③正确；
④根据图像的对称轴可得a=-b，再将此式代入②中a-b+c＜0，即可判断出④正确；
⑤由图像可知当x=1时，函数取得最大值，从而可得x=1处的函数值大于x=m（m≠1）的函数值，
从而可判断⑤错误.
12．【答案】0＜m＜2或
【知识点】二次函数图象的几何变换
【解析】【解答】解：把点A(-2，4)代入 得： ，
解得： ，
∴抛物线的解析式为： ，
∵点A(-2，4)，
∴OB=2，AB=4，
根据旋转的性质知：OD=OB=2，CD=AB=4，如图：
∴点C的坐标为(4，2)，点D的坐标为(0，2)，
设抛物线沿y轴向上平移 个单位的解析式为 ，
当 时， ，
此时抛物线 与线段CD只有一个交点，
将抛物线沿y轴向上平移2个单位，经过点D时与线段CD恰好有二个交点，
∴ ，抛物线 与线段CD只有一个交点，
当抛物线 顶点在线段CD上时，抛物线 与线段CD只有一个交点，
此时： ，解得： ，
故答案为：0＜m＜2或 .
【分析】由题意用待定系数法可求得抛物线的解析式，由旋转的性质可得OD=OB，CD=AB，则可得点C、D的坐标，由平移的坐标变化特征“左加右减、上加下减”可设抛物线的解析式为y=x2-x+m，根据抛物线y=x2-x+m与线段CD只有一个交点可得m=0，x=4；将抛物线沿y轴向上平移2个单位，经过点D时与线段CD恰好有二个交点，于是可得0＜m＜2；抛物线y=x2-x+m顶点在线段CD上时，抛物线y=x2-x+m与线段CD只有一个交点，根据=2可得关于m的方程，解方程可求得m的值，综合这三种情况可得m的范围.
13．【答案】（1）解：
点 向右平移2个单位长度，得到点 ；
（2）A与B关于对称轴直线 对称，
抛物线对称轴直线 ；
（3）∵对称轴直线 ，
，
，
时， 如图 ，
当x=2时，，
当y= 时，= ，
解得x=0或2，
观察图象可知，线段PQ与抛物线无交点；
②若a<0时，
当y=2时，2= ，
解得：x=或，
如图，
当≤2时，
观察函数图象可知：a≤时，抛物线与线段PQ恰有一个公共点，
综上，a的取值范围是：a≤.
【知识点】一次函数图象与几何变换；二次函数y=ax²+bx+c的图象
【解析】【分析】(1)根据坐标平移的特点，即上加下减，左减右加，求B点坐标即可；
(2)由于A、B两点的纵坐标相等，根据中点坐标公式可得抛物线的对称轴表达式；
(3)根据对称轴直线x=-1，求出a与b的关系式，则可得出 ， 然后分两种情况讨论，即 时， 时，先分别画出图象的草图，用数形结合的方法分析求解即可.
14．【答案】（1）解：函数的图象与轴相交于，
，
，
（2）解：假设存在点，过点作轴于点，
的面积等于6，
，
当，
，
解得：或3，
，
，
即，
解得：或（舍去）．
又顶点坐标为： 1.5，．
，
轴下方不存在点，
点的坐标为：；
（3）解：点的坐标为：，
，，
当，
，
设点横坐标为：，则纵坐标为：，
即，
解得 或（舍），
在抛物线上仅存在一点 ．
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；三角形的面积；二次函数y=ax²+bx+c的图象
【解析】【分析】（1）将（0，0）代入可得k的值，进而可得二次函数的解析式；
（2）假设存在点B，过点B作BD⊥x轴于点D，根据三角形的面积公式可得x的值，然后求出AO、BD，令y=BD，求出x的值，然后结合顶点坐标可得点B的坐标；
（3）根据点B的坐标可得∠BOD=45°，利用勾股定理可得BO，当∠POB=90°时，∠POD=45°，设P点横坐标为x，则纵坐标为x2-3x，即-x=x2-3x，求出x的值，进而可得点P的坐标.
15．【答案】（1）解：将点和点代入，得：
，
解得：，
∴
（2）；
（3）解：依题意，有抛物线的解析式为，
因抛物线经过点，
∴
∴
【知识点】二次函数图象的几何变换；待定系数法求二次函数解析式
【解析】【解答】解：（2）∵，
∴抛物线的顶点为，
∵顶点关于原点的对称点为，
∴抛物线的解析式为，
故答案为：；
【分析】（1）根据待定系数法求二次函数的解析式。将点和点代入，即可求解；
（2）利用对称性求出函数顶点关于原点的对称点为，即可求函数的解析式；
（3）根据二次函数的图象及性质求解。利用平移的规律得到抛物线的解析式为，代入点A的坐标即可求得m的值．
16．【答案】（1）当时，抛物线的函数表达式为，图象如图甲所示，“好点”的个数为5.
（2）当时，抛物线的函数表达式为，图象如图乙所示，抛物线上的“好点”的坐标分别为.
【知识点】二次函数y=a（x-h）²+k的图象
【解析】【分析】（1）将m=0代入函数解析式，可得到y=-x2+2，画出函数图象，可作出判断.
（2）将m=3代入函数解析式，再画出函数图象，可得到此抛物线上的抛物线上的“好点”的坐标.
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