【提升版】2024-2025学年浙教版数学九上1.3二次函数的性质 同步练习
一、选择题
1．（2024·眉山） 定义运算：，例如，则函数的最小值为（ ）
A． B． C． D．
2．（2024·福建）已知二次函数的图象经过两点，则下列判断正确的是（ ）
A．可以找到一个实数，使得 B．无论实数取什么值，都有
C．可以找到一个实数，使得 D．无论实数取什么值，都有
3．（2024九下·双流月考）如图，抛物线与轴交于点，对称轴是直线，则下列结论中正确的是（ ）
A． B．
C． D．点在函数图象上
4．函数y=kx2﹣6x+3的图象与x轴有交点，则k的取值范围是（ ）
A．k＜3 B．k＜3且k≠0
C．k≤3且k≠0 D．k≤3
5．（2024·广州模拟）已知二次函数（a为常数，且）的图象上有四点，，，，则，，的大小关系是（ ）
A． B． C． D．
6．（2024·天津） 从地面竖直向上抛出一小球，小球的高度（单位：）与小球的运动时间（单位：）之间的关系式是．有下列结论：
①小球从抛出到落地需要；
②小球运动中的高度可以是；
③小球运动时的高度小于运动时的高度．
其中，正确结论的个数是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
7．（2020九上·舒城期末）二次函数的 与 的部分对应值如表，则下列判断中正确的是（ ）
… 0 1 3 4 …
… 2 4 2 －2 …
A．抛物线开口向上
B． 的最大值为4
C．当 时， 随 的增大而减小
D．当 时，
8．（2024·绥化） 二次函数 的部分图象如图所示， 对称轴为直线 . 则下列结论中：
①
② ( 为任意实数)
③
④若 是抛物线上不同的两个点， 则 . 其中正确的结论有（ ）
A．1 个 B．2 个 C．3 个 D．4 个
二、填空题
9．（2024·梅州模拟）已知二次函数，当时，的取值范围为 .
10．（2022·荆州）规定：两个函数 ， 的图象关于y轴对称，则称这两个函数互为“Y函数”.例如：函数 与 的图象关于y轴对称，则这两个函数互为“Y函数”.若函数 （k为常数）的“Y函数”图象与x轴只有一个交点，则其“Y函数”的解析式为 .
11．（2024九下·长春月考）在平面直角坐标系中，，是抛物线上任意两点，设抛物线的对称轴为.若对于，，都有，则的取值范围 .
12．（2024·温州模拟）已知，为x轴上两点，，为二次函数图象上两点，当时，二次函数y随x增大而减小，若，时，恒成立，则A、B两点的最大距离为 ．
三、解答题
13．（2024九下·温州模拟）已知二次函数.
（1）若函数图象经过点，求抛物线的对称轴；
（2）当时，随的增大而增大；当时，随的增大而减少，求的取值范围.
14．设二次函数 是实数 ． 已知函数值 和自变量 的部分对应取值如下表所示：
-1 0 1 2 3
1
1
（1） 若 ．
①求二次函数的表达式．
②写出一个符合条件的 的取值范围，使得 随 的增大而减小．
（2） 若在 这三个实数中， 只有一个是正数，求 的取值范围．
四、实践探究题
15．（2024·广西）课堂上， 数学老师组织同学们围绕关于 的二次函数 的最值问题展开探究.
【经典回顾】二次函数求最值的方法.
（1）老师给出 ， 求二次函数 的最小值.
①请你写出对应的函数解析式；
②求当 取何值时， 函数 有最小值， 并写出此时的 值；
【举一反三】老师给出更多 的值， 同学们即求出对应的函数在 取何值时， 的最小值. 记录结果， 并整理成下表：
-4 -2 0 2 4
2 0 -2 -4
的最小值 -9 -3 -5 -15
注： * 为②的计算结果.
【探究发现】老师： “请同学们结合学过的函数知识， 观察表格， 谈谈你的发现.”甲同学： “我发现， 老师给了 值后， 我们只要取 ， 就能得到 的最小值.”
乙同学： “我发现， 的最小值随 值的变化而变化， 当 由小变大时， 的最小值先增大后减小， 所以我猜想 的最小值中存在最大值 ”
（2）请结合函数解析式 ， 解释甲同学的说法是否合理
（3）你认为乙同学的猜想是否正确 若正确， 请求出此最大值； 若不正确， 说明理由.
五、综合题
16．（2024九下·剑阁月考）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于，两点，与y轴交于点C．
（1）求反比例函数和一次函数的解析式；
（2）根据图象直接写出关于x的不等式的解集；
（3）设D为线段AC上的一个动点（不包括A，C两点），过点D作轴交反比例函数的图象于点E，当△CDE的面积最大时，求点E的坐标，并求出面积的最大值．
17．（2024·惠城模拟）如图，抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于A、B两点（A在B的左侧），与y轴交于点N，过A点的直线l：y＝kx+n与y轴交于点C，与抛物线y＝﹣x2+bx+c的另一个交点为D，已知A（﹣1，0），D（5，﹣6），P点为抛物线y＝﹣x2+bx+c上一动点（不与A、D重合）．
（1）求抛物线和直线l的解析式；
（2）当点P在直线l上方的抛物线上时，连接PA、PD，当△PAD的面积最大时，求P点的坐标.
（3）设M为直线l上的点，探究是否存在点M，使得以点N、C、M、P为顶点的四边形为平行四边形？若存在，直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由。
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】二次函数的最值
【解析】【解答】解： =（x+1+4）（x+1-2）=（x+5）（x-1）
∴y=x2+4x-5=（x+2）2-9，
∵a=1＞0，
∴当x=-2时y的最小值为-9.
故答案为：B.
【分析】利用定义新运算，可得到y=（x+2）2-9，再利用二次函数的图象及性质，可得y的最小值.
2．【答案】C
【知识点】二次函数图象与系数的关系；二次函数y=ax²+bx+c的性质
【解析】【解答】解：∵二次函数解析式为y=x2-2ax+a（a≠0），
∴二次函数开口向上，对称轴为，顶点坐标为（a，a-a2），与y轴的交点为（0，a），当a＞0时，，则a-a2＜y1＜a，
当a＜0时，，则a-a2＜y1＜a，A和B选项说法错误；
由二次函数对称性可知点（0，a）和点（2a，a）关于对称轴对称，且在对称轴的右侧，y随x的增大而增大，在对称轴左侧，y随x的增大而减小，
当a＞0时，0＜a＜2a＜3a，则y2＞a＞0；
当a＜0时，3a＜2a＜a＜0，则y2＞a，不一定大于0，C选项说法正确，D选项说法错误.
故答案为：C.
【分析】根据二次函数的解析式可得二次函数开口向上，对称轴为x=a，顶点坐标为（a，a-a2），与y轴的交点为（0，a），结合二次函数的性质逐项分析即可求解.
3．【答案】D
【知识点】二次函数图象与系数的关系；二次函数图象与坐标轴的交点问题
【解析】【解答】解：、由图象可知：抛物线对称轴位于轴的右侧
∴、异号，
∵抛物线与轴的正半轴相交，
∴，
，
∴A错误；
B、时，，
，
故B错误；
C、由图象知：抛物线与轴有两个交点，
，
故C错误；
D、抛物线与轴的一个交点坐标是，对称轴是直线，则另一交点坐标是，
点在函数图象上，
故D正确．
故答案为：．
【分析】本题主要考查了二次函数图象与系数的关系，二次函数图象上点的坐标特征，抛物线与轴的交点问题，熟记二次函数的性质以及函数图象与系数的关系是解题的关键．根据对称轴的位置和与轴的交点即可判断；根据时，，即可判断；根据抛物线与轴的交点个数即可判断，根据抛物线的对称性即可判断．
4．【答案】D
【知识点】二次函数图象与坐标轴的交点问题
【解析】【解答】解：当k=0时，y=﹣6x+3的图象与x轴有交点；
当k≠0时，令y=kx2﹣6x+3=0，
∵y=kx2﹣6x+3的图象与x轴有交点，
∴△=36﹣12k≥0，
∴k≤3，
综上，k的取值范围为k≤3，
故选D．
【分析】分别讨论k=0和k≠0两种情况，当k≠0时，直接利用抛物线与x轴交点个数与△的关系求出k的取值范围，综合得出k的取值范围．
5．【答案】C
【知识点】二次函数y=ax²+bx+c的图象；二次函数y=ax²+bx+c的性质
【解析】【解答】 点， 在二次函数（a为常数，且）的图象上，
对称轴为
a<0，
抛物线开口向下，
2-1=1，1-（-2）=3，
点到对称轴的距离为1，点到对称轴的距离为3，到对称轴的距离为2，
，
故答案为：C.
【分析】先求得对称的对称轴为x=1，结合抛物线的开口方向以及二次函数图象上的点坐标特征，即可求解.
6．【答案】C
【知识点】函数自变量的取值范围；函数值；二次函数的最值
【解析】【解答】解：①由自变量的取值范围可知①正确；②h的最大值为：，所以小球运动过程中的最大高度为45，所以②正确；③当t=2时，h=30×2-5×22=40，当t=5时，h=30×5-5×52=25，所以③不正确。综上正确结论有2个。
故答案为：C.
【分析】首先根据自变量的取值范围判定①正确；根据函数的最大值可得出②正确；分别求得当t=2和t=5时的h的值，即可得出③不正确。
7．【答案】D
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数y=ax²+bx+c的图象；二次函数y=ax²+bx+c的性质
【解析】【解答】解：设y=ax2+bx+c，将前三组数据代入解析式得： ，
解得 ，得解析式：
由表格可作出草图如图，
A.由图知抛物线开口向下，故A不符合题意；
B.由图知在对称轴 处的函数值高于 出的函数值4，故B不符合题意；
C.由图知当 时， 随 的增大先增大后减小，故C不符合题意；
D.由图知当 时，最大值在对称轴 处取得最大值，计算得 ，在 处取得最小值2，所以当 时， ，故D项符合题意；
故答案为：D．
【分析】先根据表格中的数据确定抛物线的解析式，再由二次函数的性质即可判断。
8．【答案】B
【知识点】二次函数图象与系数的关系；二次函数的最值；二次函数y=ax²+bx+c的图象；二次函数y=ax²+bx+c的性质
【解析】【解答】解：①由图可知：a<0，b<0，c>0
∴，故① 错误
②由图可知：当x=-1时，y有最大值为a-b+c
当x=m时，y= ( 为任意实数)
∴≤a-b+c
∴
故②正确
③∵ 对称轴为直线
，b=2a
由图可知：当x=1时，y=a+b+c<0
∴
故③正确
④∵ 是抛物线上不同的两个点， 且两点的函数值相等
∴>-3
故④ 错误
故选B.
【分析】①根据开口方向，左同右异可以判定出a，b符合，再根据抛物线与y轴的交点，判定c的符合
②根据抛物线开口向下，可以判定当x=-1时，y有最大值即可
③根据对称轴得出：b=2a，再代入a+b+c<0即可
④根据两点纵坐标相等，可以得出即可.
9．【答案】
【知识点】二次函数的最值；二次函数y=ax²+bx+c的性质
【解析】【解答】解：∵
∴二次函数开口向下，
∵对称轴为，
当时，y取的最大值为：，
根据二次函数的性质，离对称轴距离越远，函数值越小，
即当时，y取的最小值为：
∴当时，的取值范围为．
故答案为：．
【分析】由题意得二次函数开口向下，且对称轴为，进而根据二次函数的性质求解即可．
10．【答案】y=2x-3或
【知识点】一次函数图象与几何变换；二次函数图象的几何变换；二次函数图象与坐标轴的交点问题；一次函数图象与坐标轴交点问题
【解析】【解答】解： 函数 （k为常数）的“Y函数”图象与x轴只有一个交点，
函数 （k为常数）的图象与x轴也只有一个交点，
当k=0时，函数解析为 ，它的“Y函数”解析式为y=2x-3，它们的图象与x轴只有一个交点，
当 时，此函数是二次函数，
它们的图象与x轴都只有一个交点，
它们的顶点在x轴上，
，得 ，
故k+1=0，解得k=-1，
故原函数的解析式为 ，
故它的“Y函数”解析式为 ，
故答案为：y=2x-3或 .
【分析】由于函数 （k为常数）的“Y函数”图象与x轴只有一个交点，可得函数 （k为常数）的图象与x轴也只有一个交点，所以分两种情况：①当k=0时，②当 时，此函数是二次函数，可知此时它们的顶点分别在x轴上，据此解答即可.
11．【答案】
【知识点】二次函数y=ax²+bx+c的图象；二次函数y=ax²+bx+c的性质
【解析】【解答】解：∵0＜x1＜1，1＜x2＜2，
∴，x1＜x2，
∵y1＜y2，a＞0，
∴点M（x1，y1）离对称轴距离更近，
又∵x1＜x2，
∴M（x1，y1）与N（x2，y2）的横坐标中点在对称轴的右侧，
∴
即t≤
【分析】本题考查二次函数的性质，熟练运用掌握二次函数的图象与性质是解题关键.根据题意判断出离对称轴更近的点，从而得出M（x1，y1）与N（x2，y2）的横坐标中点在对称轴的右侧，再根据对称性即可解答.
12．【答案】8
【知识点】二次函数的最值；二次函数y=ax²+bx+c的性质
【解析】【解答】解：当x=1时，y=3，
抛物线y=x2-mx+m+2的对称轴为直线，
∵当x＜1时，二次函数y随x增大而减小，
，
∴m≥2．
∴m+1≥3，
当x=-2时，y=6+3m，当时，，
∵-2≤x1≤m+1，-2≤x2≤m+1，
∴|y1-y2|的最大值为，
∵|y1-y2|≤16恒成立，
．
∴-12≤m≤4，
∵m≥2，
∴2≤m≤4，
∴m的最大值为4，
∴A、B两点的最大距离为4-（-4）=8．
故答案为：8.
【分析】利用二次函数的图象的性质求得m的取值范围，再利用二次函数的性质求得|y1-y2|的最大值，最后利用已知条件求得m的最大值，则结论可求．
13．【答案】（1）当时，，则二次函数经过
在二次函数上
对称轴为直线
（2）时，随的增大而增大；当时，随的增大而减少
开口向上，对称轴在-1和0之间
【知识点】二次函数y=ax²+bx+c的性质
【解析】【分析】（1）由二次函数解析式可得到二次函数经过、，这两个点是对称点，所以用公式即可求出二次函数的对称轴；
（2）根据函数的增减性，结合函数图象，确定出开口向上，对称轴在-1和0之间，列出关于a的不等式组，求解出a的取值范围.
14．【答案】（1）解：①把，代入，得 ，
解得：，
．
② 抛物线的对称轴为直线，，抛物线开口向上，
当时，随的增大而减小．
（2）解：把代入，得，
把代入得，，
把代入得，，
把代入得，，
，
m、n、p这三个实数中，只有一个是正数，
，
解得：．
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数y=ax²+bx+c的图象；二次函数y=ax²+bx+c的性质
【解析】【分析】（1）用待定系数法求出函数解析式；根据对称轴公式求出对称轴，再根据抛物线开口向上可知当时，随的增大而减小；
（2）先把代入解析式求出，可得，然后分别求出m、n、p，再根据这三个实数中，只有一个是正数得出不等式组，解不等式组可得答案．
15．【答案】（1）解：①当 时，
②
二次项系数为 ， 开口向上
当 时， 有最小值为 -23
（2）解：(解题方法不唯一)
二次项系数为 ， 开口向上
当 时函数有最小值
甲说法合理
（3）解：乙同学的猜想正确。
当 时， 有最小值， 此时
二次项系数为 ， 开口向下
当 时， 取到最大值
【知识点】二次函数的最值；二次函数y=a（x-h）²+k的图象；二次函数y=ax²+bx+c的性质
【解析】【分析】（1）①把a=-4代入，即可得到二次函数解析式；
②a=-4代入后将二次函数转化成顶点式，即可得到最大值以及取得最大值时对应的函数值.
（2）对二次函数进行配方得到顶点式，顶点横坐标即为取得最值时x的取值，据此即可判断甲的结论；
（3）把x=-a代入得到最小值y的函数，转换成顶点式即可得到最值，据此可判断乙的结论.
16．【答案】（1）解：∵点在反比例函数的图象上，
，
反比例函数的解析式为．
∵点在反比例函数的图象上，
，解得，
，．
，在一次函数的图象上，
，解得，
一次函数的解析式为．
（2）解：关于x的不等式的解集为或．
（3）解：由（1）可知．
设点D的坐标为，则点，
，
，
当时，的最大值为4，
此时点E的坐标为．
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；待定系数法求反比例函数解析式；反比例函数与一次函数的交点问题；二次函数的最值
【解析】【分析】（1）利用待定系数法及已知点B先求出反比例函数关系式，从而计算出A点坐标，最后再利用待定系数法求出一次函数解析式；
（2）根据图形关系及交点A、B坐标分析得出不等式的解集即可；
（3）设点表示目标三角形的面积，进而利用配方法得出其最值即可。
17．【答案】（1）解：将点A、D的坐标代入y=kx+n，得
故直线l的解析式为y=-x-1
将点A，D的坐标代入抛物线解析式，
同理可得抛物线的解析式为；
（2）解：过点P作PQ x轴交直线l于点Q，
由题意设点P（t，+3t+4），则点Q（t，t1）
PQ=+3t+4t1）
=+3t+4+t+1
=+4t+5
×（+4t+5）
=+12t+15
=+27
∵-1当t=2时，取最大值27
P（2，6）
（3）解：点M的坐标为（2+，3）或（2，3）
或（4，5）或（4，3）
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；待定系数法求二次函数解析式；三角形的面积；平行四边形的判定与性质；二次函数y=ax²+bx+c的性质
【解析】【解答】解：（3）
由题意得NC＝5，
①当NC是平行四边形的一条边时，设点P坐标为（x，﹣x2+3x+4），则点M（x，﹣x﹣1），
由题意得：|yM﹣yP|＝5，即：|﹣x2+3x+4+x+1|＝5
解得：或0或4（舍去0，此时M和C重合），
则点M坐标为或或（4，﹣5）；
②当NC是平行四边形的对角线时，则NC的中点坐标为，
设点P坐标为（m，﹣m2+3m+4），则点M（n，﹣n﹣1），
∵N、C，M、P为顶点的四边形为平行四边形，
∴NC的中点即为PM中点，
∴，
解得：n＝0或﹣4（舍去0，此时M和C重合），
故点M（﹣4，3），
综上所述，存在点M，使得以点N、C、M、P为顶点的四边形为平行四边形，点M的坐标为：或或（4，﹣5）或（﹣4，3）．
【分析】（1）分别将A（﹣1，0），D（5，﹣6）代入抛物线解析式与直线l的解析式，利用待定系数法求解即可；
（2）过点P作PQ⊥x轴交直线l于点Q，设点P（t，﹣t2+3t+4），则点Q（t，﹣t﹣1），得到PQ＝﹣t2+4t+5，S△PAD＝﹣3（t﹣2）2+27，根据二次函数的性质得，当t＝2时，S△PAD取最大值，求得P（2，6）；
（3）分两种情况：当NC是平行四边形的一条边时，当NC是平行四边形的对角线时，根据平行四边形的性质，分别求解即可．
1 / 1【提升版】2024-2025学年浙教版数学九上1.3二次函数的性质 同步练习
一、选择题
1．（2024·眉山） 定义运算：，例如，则函数的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】二次函数的最值
【解析】【解答】解： =（x+1+4）（x+1-2）=（x+5）（x-1）
∴y=x2+4x-5=（x+2）2-9，
∵a=1＞0，
∴当x=-2时y的最小值为-9.
故答案为：B.
【分析】利用定义新运算，可得到y=（x+2）2-9，再利用二次函数的图象及性质，可得y的最小值.
2．（2024·福建）已知二次函数的图象经过两点，则下列判断正确的是（ ）
A．可以找到一个实数，使得 B．无论实数取什么值，都有
C．可以找到一个实数，使得 D．无论实数取什么值，都有
【答案】C
【知识点】二次函数图象与系数的关系；二次函数y=ax²+bx+c的性质
【解析】【解答】解：∵二次函数解析式为y=x2-2ax+a（a≠0），
∴二次函数开口向上，对称轴为，顶点坐标为（a，a-a2），与y轴的交点为（0，a），当a＞0时，，则a-a2＜y1＜a，
当a＜0时，，则a-a2＜y1＜a，A和B选项说法错误；
由二次函数对称性可知点（0，a）和点（2a，a）关于对称轴对称，且在对称轴的右侧，y随x的增大而增大，在对称轴左侧，y随x的增大而减小，
当a＞0时，0＜a＜2a＜3a，则y2＞a＞0；
当a＜0时，3a＜2a＜a＜0，则y2＞a，不一定大于0，C选项说法正确，D选项说法错误.
故答案为：C.
【分析】根据二次函数的解析式可得二次函数开口向上，对称轴为x=a，顶点坐标为（a，a-a2），与y轴的交点为（0，a），结合二次函数的性质逐项分析即可求解.
3．（2024九下·双流月考）如图，抛物线与轴交于点，对称轴是直线，则下列结论中正确的是（ ）
A． B．
C． D．点在函数图象上
【答案】D
【知识点】二次函数图象与系数的关系；二次函数图象与坐标轴的交点问题
【解析】【解答】解：、由图象可知：抛物线对称轴位于轴的右侧
∴、异号，
∵抛物线与轴的正半轴相交，
∴，
，
∴A错误；
B、时，，
，
故B错误；
C、由图象知：抛物线与轴有两个交点，
，
故C错误；
D、抛物线与轴的一个交点坐标是，对称轴是直线，则另一交点坐标是，
点在函数图象上，
故D正确．
故答案为：．
【分析】本题主要考查了二次函数图象与系数的关系，二次函数图象上点的坐标特征，抛物线与轴的交点问题，熟记二次函数的性质以及函数图象与系数的关系是解题的关键．根据对称轴的位置和与轴的交点即可判断；根据时，，即可判断；根据抛物线与轴的交点个数即可判断，根据抛物线的对称性即可判断．
4．函数y=kx2﹣6x+3的图象与x轴有交点，则k的取值范围是（ ）
A．k＜3 B．k＜3且k≠0
C．k≤3且k≠0 D．k≤3
【答案】D
【知识点】二次函数图象与坐标轴的交点问题
【解析】【解答】解：当k=0时，y=﹣6x+3的图象与x轴有交点；
当k≠0时，令y=kx2﹣6x+3=0，
∵y=kx2﹣6x+3的图象与x轴有交点，
∴△=36﹣12k≥0，
∴k≤3，
综上，k的取值范围为k≤3，
故选D．
【分析】分别讨论k=0和k≠0两种情况，当k≠0时，直接利用抛物线与x轴交点个数与△的关系求出k的取值范围，综合得出k的取值范围．
5．（2024·广州模拟）已知二次函数（a为常数，且）的图象上有四点，，，，则，，的大小关系是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】二次函数y=ax²+bx+c的图象；二次函数y=ax²+bx+c的性质
【解析】【解答】 点， 在二次函数（a为常数，且）的图象上，
对称轴为
a<0，
抛物线开口向下，
2-1=1，1-（-2）=3，
点到对称轴的距离为1，点到对称轴的距离为3，到对称轴的距离为2，
，
故答案为：C.
【分析】先求得对称的对称轴为x=1，结合抛物线的开口方向以及二次函数图象上的点坐标特征，即可求解.
6．（2024·天津） 从地面竖直向上抛出一小球，小球的高度（单位：）与小球的运动时间（单位：）之间的关系式是．有下列结论：
①小球从抛出到落地需要；
②小球运动中的高度可以是；
③小球运动时的高度小于运动时的高度．
其中，正确结论的个数是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】C
【知识点】函数自变量的取值范围；函数值；二次函数的最值
【解析】【解答】解：①由自变量的取值范围可知①正确；②h的最大值为：，所以小球运动过程中的最大高度为45，所以②正确；③当t=2时，h=30×2-5×22=40，当t=5时，h=30×5-5×52=25，所以③不正确。综上正确结论有2个。
故答案为：C.
【分析】首先根据自变量的取值范围判定①正确；根据函数的最大值可得出②正确；分别求得当t=2和t=5时的h的值，即可得出③不正确。
7．（2020九上·舒城期末）二次函数的 与 的部分对应值如表，则下列判断中正确的是（ ）
… 0 1 3 4 …
… 2 4 2 －2 …
A．抛物线开口向上
B． 的最大值为4
C．当 时， 随 的增大而减小
D．当 时，
【答案】D
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数y=ax²+bx+c的图象；二次函数y=ax²+bx+c的性质
【解析】【解答】解：设y=ax2+bx+c，将前三组数据代入解析式得： ，
解得 ，得解析式：
由表格可作出草图如图，
A.由图知抛物线开口向下，故A不符合题意；
B.由图知在对称轴 处的函数值高于 出的函数值4，故B不符合题意；
C.由图知当 时， 随 的增大先增大后减小，故C不符合题意；
D.由图知当 时，最大值在对称轴 处取得最大值，计算得 ，在 处取得最小值2，所以当 时， ，故D项符合题意；
故答案为：D．
【分析】先根据表格中的数据确定抛物线的解析式，再由二次函数的性质即可判断。
8．（2024·绥化） 二次函数 的部分图象如图所示， 对称轴为直线 . 则下列结论中：
①
② ( 为任意实数)
③
④若 是抛物线上不同的两个点， 则 . 其中正确的结论有（ ）
A．1 个 B．2 个 C．3 个 D．4 个
【答案】B
【知识点】二次函数图象与系数的关系；二次函数的最值；二次函数y=ax²+bx+c的图象；二次函数y=ax²+bx+c的性质
【解析】【解答】解：①由图可知：a<0，b<0，c>0
∴，故① 错误
②由图可知：当x=-1时，y有最大值为a-b+c
当x=m时，y= ( 为任意实数)
∴≤a-b+c
∴
故②正确
③∵ 对称轴为直线
，b=2a
由图可知：当x=1时，y=a+b+c<0
∴
故③正确
④∵ 是抛物线上不同的两个点， 且两点的函数值相等
∴>-3
故④ 错误
故选B.
【分析】①根据开口方向，左同右异可以判定出a，b符合，再根据抛物线与y轴的交点，判定c的符合
②根据抛物线开口向下，可以判定当x=-1时，y有最大值即可
③根据对称轴得出：b=2a，再代入a+b+c<0即可
④根据两点纵坐标相等，可以得出即可.
二、填空题
9．（2024·梅州模拟）已知二次函数，当时，的取值范围为 .
【答案】
【知识点】二次函数的最值；二次函数y=ax²+bx+c的性质
【解析】【解答】解：∵
∴二次函数开口向下，
∵对称轴为，
当时，y取的最大值为：，
根据二次函数的性质，离对称轴距离越远，函数值越小，
即当时，y取的最小值为：
∴当时，的取值范围为．
故答案为：．
【分析】由题意得二次函数开口向下，且对称轴为，进而根据二次函数的性质求解即可．
10．（2022·荆州）规定：两个函数 ， 的图象关于y轴对称，则称这两个函数互为“Y函数”.例如：函数 与 的图象关于y轴对称，则这两个函数互为“Y函数”.若函数 （k为常数）的“Y函数”图象与x轴只有一个交点，则其“Y函数”的解析式为 .
【答案】y=2x-3或
【知识点】一次函数图象与几何变换；二次函数图象的几何变换；二次函数图象与坐标轴的交点问题；一次函数图象与坐标轴交点问题
【解析】【解答】解： 函数 （k为常数）的“Y函数”图象与x轴只有一个交点，
函数 （k为常数）的图象与x轴也只有一个交点，
当k=0时，函数解析为 ，它的“Y函数”解析式为y=2x-3，它们的图象与x轴只有一个交点，
当 时，此函数是二次函数，
它们的图象与x轴都只有一个交点，
它们的顶点在x轴上，
，得 ，
故k+1=0，解得k=-1，
故原函数的解析式为 ，
故它的“Y函数”解析式为 ，
故答案为：y=2x-3或 .
【分析】由于函数 （k为常数）的“Y函数”图象与x轴只有一个交点，可得函数 （k为常数）的图象与x轴也只有一个交点，所以分两种情况：①当k=0时，②当 时，此函数是二次函数，可知此时它们的顶点分别在x轴上，据此解答即可.
11．（2024九下·长春月考）在平面直角坐标系中，，是抛物线上任意两点，设抛物线的对称轴为.若对于，，都有，则的取值范围 .
【答案】
【知识点】二次函数y=ax²+bx+c的图象；二次函数y=ax²+bx+c的性质
【解析】【解答】解：∵0＜x1＜1，1＜x2＜2，
∴，x1＜x2，
∵y1＜y2，a＞0，
∴点M（x1，y1）离对称轴距离更近，
又∵x1＜x2，
∴M（x1，y1）与N（x2，y2）的横坐标中点在对称轴的右侧，
∴
即t≤
【分析】本题考查二次函数的性质，熟练运用掌握二次函数的图象与性质是解题关键.根据题意判断出离对称轴更近的点，从而得出M（x1，y1）与N（x2，y2）的横坐标中点在对称轴的右侧，再根据对称性即可解答.
12．（2024·温州模拟）已知，为x轴上两点，，为二次函数图象上两点，当时，二次函数y随x增大而减小，若，时，恒成立，则A、B两点的最大距离为 ．
【答案】8
【知识点】二次函数的最值；二次函数y=ax²+bx+c的性质
【解析】【解答】解：当x=1时，y=3，
抛物线y=x2-mx+m+2的对称轴为直线，
∵当x＜1时，二次函数y随x增大而减小，
，
∴m≥2．
∴m+1≥3，
当x=-2时，y=6+3m，当时，，
∵-2≤x1≤m+1，-2≤x2≤m+1，
∴|y1-y2|的最大值为，
∵|y1-y2|≤16恒成立，
．
∴-12≤m≤4，
∵m≥2，
∴2≤m≤4，
∴m的最大值为4，
∴A、B两点的最大距离为4-（-4）=8．
故答案为：8.
【分析】利用二次函数的图象的性质求得m的取值范围，再利用二次函数的性质求得|y1-y2|的最大值，最后利用已知条件求得m的最大值，则结论可求．
三、解答题
13．（2024九下·温州模拟）已知二次函数.
（1）若函数图象经过点，求抛物线的对称轴；
（2）当时，随的增大而增大；当时，随的增大而减少，求的取值范围.
【答案】（1）当时，，则二次函数经过
在二次函数上
对称轴为直线
（2）时，随的增大而增大；当时，随的增大而减少
开口向上，对称轴在-1和0之间
【知识点】二次函数y=ax²+bx+c的性质
【解析】【分析】（1）由二次函数解析式可得到二次函数经过、，这两个点是对称点，所以用公式即可求出二次函数的对称轴；
（2）根据函数的增减性，结合函数图象，确定出开口向上，对称轴在-1和0之间，列出关于a的不等式组，求解出a的取值范围.
14．设二次函数 是实数 ． 已知函数值 和自变量 的部分对应取值如下表所示：
-1 0 1 2 3
1
1
（1） 若 ．
①求二次函数的表达式．
②写出一个符合条件的 的取值范围，使得 随 的增大而减小．
（2） 若在 这三个实数中， 只有一个是正数，求 的取值范围．
【答案】（1）解：①把，代入，得 ，
解得：，
．
② 抛物线的对称轴为直线，，抛物线开口向上，
当时，随的增大而减小．
（2）解：把代入，得，
把代入得，，
把代入得，，
把代入得，，
，
m、n、p这三个实数中，只有一个是正数，
，
解得：．
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数y=ax²+bx+c的图象；二次函数y=ax²+bx+c的性质
【解析】【分析】（1）用待定系数法求出函数解析式；根据对称轴公式求出对称轴，再根据抛物线开口向上可知当时，随的增大而减小；
（2）先把代入解析式求出，可得，然后分别求出m、n、p，再根据这三个实数中，只有一个是正数得出不等式组，解不等式组可得答案．
四、实践探究题
15．（2024·广西）课堂上， 数学老师组织同学们围绕关于 的二次函数 的最值问题展开探究.
【经典回顾】二次函数求最值的方法.
（1）老师给出 ， 求二次函数 的最小值.
①请你写出对应的函数解析式；
②求当 取何值时， 函数 有最小值， 并写出此时的 值；
【举一反三】老师给出更多 的值， 同学们即求出对应的函数在 取何值时， 的最小值. 记录结果， 并整理成下表：
-4 -2 0 2 4
2 0 -2 -4
的最小值 -9 -3 -5 -15
注： * 为②的计算结果.
【探究发现】老师： “请同学们结合学过的函数知识， 观察表格， 谈谈你的发现.”甲同学： “我发现， 老师给了 值后， 我们只要取 ， 就能得到 的最小值.”
乙同学： “我发现， 的最小值随 值的变化而变化， 当 由小变大时， 的最小值先增大后减小， 所以我猜想 的最小值中存在最大值 ”
（2）请结合函数解析式 ， 解释甲同学的说法是否合理
（3）你认为乙同学的猜想是否正确 若正确， 请求出此最大值； 若不正确， 说明理由.
【答案】（1）解：①当 时，
②
二次项系数为 ， 开口向上
当 时， 有最小值为 -23
（2）解：(解题方法不唯一)
二次项系数为 ， 开口向上
当 时函数有最小值
甲说法合理
（3）解：乙同学的猜想正确。
当 时， 有最小值， 此时
二次项系数为 ， 开口向下
当 时， 取到最大值
【知识点】二次函数的最值；二次函数y=a（x-h）²+k的图象；二次函数y=ax²+bx+c的性质
【解析】【分析】（1）①把a=-4代入，即可得到二次函数解析式；
②a=-4代入后将二次函数转化成顶点式，即可得到最大值以及取得最大值时对应的函数值.
（2）对二次函数进行配方得到顶点式，顶点横坐标即为取得最值时x的取值，据此即可判断甲的结论；
（3）把x=-a代入得到最小值y的函数，转换成顶点式即可得到最值，据此可判断乙的结论.
五、综合题
16．（2024九下·剑阁月考）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于，两点，与y轴交于点C．
（1）求反比例函数和一次函数的解析式；
（2）根据图象直接写出关于x的不等式的解集；
（3）设D为线段AC上的一个动点（不包括A，C两点），过点D作轴交反比例函数的图象于点E，当△CDE的面积最大时，求点E的坐标，并求出面积的最大值．
【答案】（1）解：∵点在反比例函数的图象上，
，
反比例函数的解析式为．
∵点在反比例函数的图象上，
，解得，
，．
，在一次函数的图象上，
，解得，
一次函数的解析式为．
（2）解：关于x的不等式的解集为或．
（3）解：由（1）可知．
设点D的坐标为，则点，
，
，
当时，的最大值为4，
此时点E的坐标为．
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；待定系数法求反比例函数解析式；反比例函数与一次函数的交点问题；二次函数的最值
【解析】【分析】（1）利用待定系数法及已知点B先求出反比例函数关系式，从而计算出A点坐标，最后再利用待定系数法求出一次函数解析式；
（2）根据图形关系及交点A、B坐标分析得出不等式的解集即可；
（3）设点表示目标三角形的面积，进而利用配方法得出其最值即可。
17．（2024·惠城模拟）如图，抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于A、B两点（A在B的左侧），与y轴交于点N，过A点的直线l：y＝kx+n与y轴交于点C，与抛物线y＝﹣x2+bx+c的另一个交点为D，已知A（﹣1，0），D（5，﹣6），P点为抛物线y＝﹣x2+bx+c上一动点（不与A、D重合）．
（1）求抛物线和直线l的解析式；
（2）当点P在直线l上方的抛物线上时，连接PA、PD，当△PAD的面积最大时，求P点的坐标.
（3）设M为直线l上的点，探究是否存在点M，使得以点N、C、M、P为顶点的四边形为平行四边形？若存在，直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由。
【答案】（1）解：将点A、D的坐标代入y=kx+n，得
故直线l的解析式为y=-x-1
将点A，D的坐标代入抛物线解析式，
同理可得抛物线的解析式为；
（2）解：过点P作PQ x轴交直线l于点Q，
由题意设点P（t，+3t+4），则点Q（t，t1）
PQ=+3t+4t1）
=+3t+4+t+1
=+4t+5
×（+4t+5）
=+12t+15
=+27
∵-1当t=2时，取最大值27
P（2，6）
（3）解：点M的坐标为（2+，3）或（2，3）
或（4，5）或（4，3）
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；待定系数法求二次函数解析式；三角形的面积；平行四边形的判定与性质；二次函数y=ax²+bx+c的性质
【解析】【解答】解：（3）
由题意得NC＝5，
①当NC是平行四边形的一条边时，设点P坐标为（x，﹣x2+3x+4），则点M（x，﹣x﹣1），
由题意得：|yM﹣yP|＝5，即：|﹣x2+3x+4+x+1|＝5
解得：或0或4（舍去0，此时M和C重合），
则点M坐标为或或（4，﹣5）；
②当NC是平行四边形的对角线时，则NC的中点坐标为，
设点P坐标为（m，﹣m2+3m+4），则点M（n，﹣n﹣1），
∵N、C，M、P为顶点的四边形为平行四边形，
∴NC的中点即为PM中点，
∴，
解得：n＝0或﹣4（舍去0，此时M和C重合），
故点M（﹣4，3），
综上所述，存在点M，使得以点N、C、M、P为顶点的四边形为平行四边形，点M的坐标为：或或（4，﹣5）或（﹣4，3）．
【分析】（1）分别将A（﹣1，0），D（5，﹣6）代入抛物线解析式与直线l的解析式，利用待定系数法求解即可；
（2）过点P作PQ⊥x轴交直线l于点Q，设点P（t，﹣t2+3t+4），则点Q（t，﹣t﹣1），得到PQ＝﹣t2+4t+5，S△PAD＝﹣3（t﹣2）2+27，根据二次函数的性质得，当t＝2时，S△PAD取最大值，求得P（2，6）；
（3）分两种情况：当NC是平行四边形的一条边时，当NC是平行四边形的对角线时，根据平行四边形的性质，分别求解即可．
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