【提升版】2024-2025学年浙教版数学九上1.4二次函数的应用 同步练习
一、选择题
1．（2023九上·南山月考）如图1是莲花山景区一座抛物线形拱桥，按图2所示建立平面直角坐标系，得到抛物线解析式为y＝，正常水位时水面宽AB为36m，当水位上升5m时水面宽CD为（ ）
A．10m B．12m C．24m D．48m
2．（2023九上·牟平期中）竖直上抛的小球的高度与运动时间的函数表达式为，若小球在上抛后第与第时离地面距离相等，则下列时刻中小球的高度最高的是（ ）
A．第 B．第 C．第 D．第
3．（2023九上·曾都期中）将进货单价为50元的某种商品按零售价每个60元出售时，每周能卖出100个，若这种商品零售价每涨价1元，周销售量就减少2个，但物价部门规定，最高售价不能高于成本价的30％，则每周获得的最大利润为（ ）.
A．80元 B．1000元 C．1750元 D．1800元
4．（2023九上·东光月考）小明在期末体育测试中掷出的实心球的运动路线呈抛物线形，若实心球运动的抛物线的解析式为，其中是实心球飞行的高度，是实心球飞行的水平距离，已知该同学出手点的坐标为，则实心球飞行的水平距离的长度为（ ）
A． B． C． D．
5．（2023九上·萧山月考）如图，在九年级体育测试中，小朱掷出的实心球的飞行高度y（米）与水平距离x（米）之间的关系大致满足二次函数，则小朱本次投掷实心球的成绩为（ ）
A．7m B．7.5m C．8m D．8.5m
6．（2024九上·四平期末）如图是二次函数的部分图象，使成立的的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．或
7．（2019九上·北京期中）已知一次函数 和二次函数 部分自变量和对应的函数值如表：
x … -1 0 2 4 5 …
y1 … 0 1 3 5 6 …
y2 … 0 -1 0 5 9 …
当y2＞y1时，自变量x的取值范围是（ ）
A．-1＜x＜2 B．4＜x＜5 C．x＜-1或x＞5 D．x＜-1或x＞4
8．（2023九上·丰城月考）二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象如图所示，下列说法错误的是（ ）
A．a＜0，b＞0
B．b2﹣4ac＞0
C．方程ax2＋bx＋c＝0的解是x1＝5，x2＝﹣1
D．不等式ax2＋bx＋c＞0的解集是0＜x＜5
二、填空题
9．（2024九上·自贡期末）如图，九（1）班劳动实践基地位于形围墙的内侧，已知，墙长7米，墙长3米．同学们准备用10米长的围栏，在基地内围出一块矩形菜地（可利用围墙）．请问他们能围出的最大面积是 米2．
10．（2024九上·邻水期末）在为期3天的广安市第五届运动会（青少年组）三人制篮球比赛中，某同学进行了一次投篮，篮球准确落入篮框内，建立如图所示的平面直角坐标系，篮球的运行轨迹可看作抛物线的一部分，则篮球在空中运行的最大高度为 ．
11．（2024九上·石家庄期末）小明和小强做弹球游戏，如图1，小明向斜坡找一个乒乓球，乒乓球弹起的运行路线是一条抛物线，乒乓球落地后又弹起，第二次弹起的运行路线和第一次运行路线的抛物线形状相同．小强在地面立一块高度为的木板，以斜坡底端为坐标原点，地面水平线为轴，取单位长度为，建立如图2所示的平面直角坐标系，乒乓球的大小忽略不计，经测量发现，拋球点的坐标为，第一次弹起的运行路线最高点坐标为，第二次弹起的最大高度为．
（1）求乒乓球第一次落地点B距斜坡低端O的距离是 ；
（2）为了确保乒乓球在第二次下落时能落在木板上，小强将木板立在到斜坡底端O的最小距离是 ．
12．（2023九上·新洲期中）抛物线（，，为常数，经过，，三点，且.
下列四个结论：①；②；③当时，若点在该抛物线上，则；④若关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，则.
其中正确的是 （填序号即可）.
三、解答题
13．（2023九上·安庆月考）李大爷每天到批发市场购进某种水果进行销售，这种水果每箱10千克，批发商规定：整箱购买，一箱起售，每人一天购买不超过10箱；当购买1箱时，批发价为8.2元/千克，每多购买1箱，批发价每千克降低0.2元.根据李大爷的销售经验，这种水果售价为12元/千克时，每天可销售1箱；售价每千克降低0.5元，每天可多销售1箱.
（1）请求出这种水果批发价（元/千克）与购进数量（箱）之间的函数关系式；
（2）若每天购进的这种水果需当天全部售完，请你计算，李大爷每天应购进这种水果多少箱，才能使每天所获利润最大？最大利润是多少？
14．（2023九上·杭州期中） 如图1所示是一座古桥，桥拱截面为抛物线，如图2，AO，BC是桥墩，桥的跨径AB为20m，此时水位在OC处，桥拱最高点P离水面6m，在水面以上的桥墩AO，BC都为2m．以OC所在的直线为x轴、AO所在的直线为y轴建立平面直角坐标系，其中x（m）是桥拱截面上一点距桥墩AO的水平距离，y（m）是桥拱截面上一点距水面OC的距离．
（1）求此桥拱截面所在抛物线的表达式；
（2）有一艘游船，其左右两边缘最宽处有一个长方体形状的遮阳棚，此船正对着桥洞在河中航行．当水位上涨2m时，水面到棚顶的高度为3m，遮阳棚宽12m，问此船能否通过桥洞？请说明理由．
四、实践探究题
15．（2024九上·鄞州期末）根据以下材料，探索完成任务：
智能浇灌系统使用方案
材料 如图1是一款智能浇灌系统，水管OP垂直于地面并可以随意调节高度（OP最大高度不超过2.4m），浇灌花木时，喷头P处会向四周喷射水流形成固定形状的抛物线，水流落地点M与点O的距离即为最大浇灌距离，各方向水流落地点形成一个以点O为圆心，OM为半径的圆形浇灌区域． 当喷头P位于地面与点O重合时，某一方向的水流上边缘形成了如图2的抛物线，经测量，，水流最高时距离地面0.1m． 如图3，农科院将该智能浇灌系统应用于一个长8m，宽6m的矩形试验田中，水管放置在矩形中心O处．
问题解决
任务1 确定水流形状 在图2中建立合适的平面直角坐标系，求抛物线的函数表达式．
任务2 探究浇灌最大区域 当调节水管OP的高度时，浇灌的圆形区域面积会发生变化，请你求出最大浇灌圆形区域面积．（结果保留）
任务3 解决具体问题 若要保证浇灌区域能完全覆盖矩形试验田，则水管OP至少需要调节到什么高度？
16．（2024九上·防城期末）【综合与实践】数学来源于生活，同时数学也可以服务于生活.
【知识背景】如图，校园中有两面直角围墙，墙角内的P处有一古棵树与墙，的距离分别是和，在美化校园的活动中，某数学兴趣小组想借助围墙（两边足够长），用长的篱笆围成一个矩形花园（篱笆只围，两边），设.
【方案设计】设计一个矩形花园，使之面积最大，且要将古棵树P围在花园内（含边界，不考虑树的粗细）.
【解决问题】思路：把矩形的面积S与边长x（即的长）的函数解析式求出，并利用函数的性质来求面积的最大值即可.
（1）请用含有x的代数式表示的长；
（2）花园的面积能否为 若能，求出x的值，若不能，请说明理由；
（3）求面积S与x的函数解析式，写出x的取值范围；并求当x为何值时，花园面积S最大
五、综合题
17．（2022九上·江油开学考）公路上正在行驶的甲车发现前方处沿同一方向行驶的乙车后，开始减速，减速后甲车行驶的路程单位：、速度单位：与时间单位：的关系分别可以用二次函数和一次函数表示，其图象如图所示．
（1）直接写出关于的函数关系式 和关于的函数关系式 不要求写出的取值范围
（2）当甲车减速至时，它行驶的路程是多少？
（3）若乙车以的速度匀速行驶，两车何时相距最近，最近距离是多少？
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】二次函数的实际应用-拱桥问题
【解析】【解答】解：根据题意，A点横坐标为-18，代入 可得y=－9，
即A（-18，-9）.
当水位上升5米时，即C、D两点纵坐标为－9+5=－4.
代入得：x=±12，
即C（-12，-4），D（12，-4）.
故CD=12×2=24.
故答案为：C.
【分析】根据AB=36得到A点横坐标，代入可求得A点纵坐标，水位上升5m即向上平移5个单位，可得C、D的纵坐标，代入可求横坐标，于是可求CD长.
2．【答案】C
【知识点】二次函数的实际应用-抛球问题
【解析】【解答】小球在上抛后第与第时离地面距离相等，
对称轴为直线x=
当t=5s时，小球的高度最高，
t=4.9s时离5最近，
在4.9s时小球最高，
故答案为：C.
【分析】先求得对称轴为直线x=5，再逐一判断哪一个选项距离对称轴最近即可求解.
3．【答案】C
【知识点】二次函数的实际应用-销售问题
【解析】【解答】解：设售价上涨x元，则销售量为个，利润为W，
∴
对称轴为：
∵
∴当x=65时，W有最大值为：
故答案为：C.
【分析】设售价上涨x元，则销售量为个，利润为W，根据题意即可得到：根据题意得到的值不能超过65，则当x=65时，W有最大值.
4．【答案】C
【知识点】二次函数的实际应用-抛球问题
【解析】【解答】
∵点的坐标为 ，在函数上
∴
解得k=
∴
当y=0时，即
解得x=8或-2（舍）
∴ OB长为8m
故答案为B
【分析】本题考查二次函数的实际应用及性质。点在函数上，代入函数可得字母k的值，求二次函数与x轴的交点时，令y=0，求对应方程的根即可，注意结合实际问题，进行根的取舍。
5．【答案】C
【知识点】二次函数的实际应用-抛球问题
【解析】【解答】解：令即：
解得：
∴小朱本次投掷实心球的成绩为8米，
故答案为：C.
【分析】当此时x的值，即为小朱本次投掷实心球的成绩.
6．【答案】C
【知识点】二次函数与不等式（组）的综合应用；二次函数y=ax²+bx+c的性质
【解析】【解答】解：由函数图象可知，当y≥-1时，二次函数不在y=-1下方部分的自变量x满足：-1≤x≤3，
故答案为：C．
【分析】y≥-1就是指函数图象在y=-1上和上方部分，再确定部分图象对应的x的取值范围即可．
7．【答案】D
【知识点】二次函数与一次函数的综合应用
【解析】【解答】解：∵当x=0时，y1=y2=0；当x=4时，y1=y2=5；
∴直线与抛物线的交点为（-1，0）和（4，5），
而-1＜x＜4时，y1＞y2，
∴当y2＞y1时，自变量x的取值范围是x＜-1或x＞4．
故答案为：D．
【分析】利用表中数据得到直线与抛物线的交点为（-1，0）和（4，5），-1＜x＜4时，y1＞y2，从而得到当y2＞y1时，自变量x的取值范围．
8．【答案】D
【知识点】二次函数图象与系数的关系；二次函数与不等式（组）的综合应用；利用二次函数图象判断一元二次方程根的情况；二次函数与一元二次方程的综合应用
【解析】【解答】解：A、由图知抛物线开口向下，a<0；对称轴为直线x=，所以b=-4a，所以b>0，故A选项正确；
B、抛物线与x轴有两个交点，所以 b2﹣4ac＞0 ，故B选项正确；
C、根据二次函数对称性可知，抛物线与x轴交点为（5，0）和（-1，0），所以 方程ax2＋bx＋c＝0的解是x1＝5，x2＝﹣1 ，故C选项正确；
D、由图象可得，不等式 ax2＋bx＋c>0的解集为-1故答案为：D.
【分析】考查二次函数图象和性质，二次函数与一元二次方程关系，利用函数图象求不等式的解.
9．【答案】
【知识点】二次函数的实际应用-几何问题
【解析】【解答】解：设矩形的宽为，面积为
①∵墙长7米，墙长3米，
∴，
∵10米长的围栏，
∴当围成的矩形在以为边围成的矩形的内部时，矩形的最大面积为，
②当矩形的长大于7，宽小于3时，则：矩形的长为，
∴，
∵，
∴当时，随着的增大而减小，
∵，
∴，
③当矩形的长小于7，宽大于3时，则：矩形的长为，
∴，
∴当时，的最大值为；
综上：他们能围出的最大面积是米；
故答案为： ．
【分析】 分两种情况：矩形在以AB、BC为边围成的矩形的内部或外部，设矩形的宽为x，面积为y，建立二次函数，利用二次函数的性质求解即可。
10．【答案】
【知识点】二次函数的最值；二次函数y=ax²+bx+c与二次函数y=a（x-h）²+k的转化；二次函数的实际应用-抛球问题
【解析】【解答】解：∵，
∴当时，取最大值，最大值为，
即篮球在空中运行的最大高度为．
故答案为：3.6
【分析】先根据二次函数解析式转化为顶点式，进而根据二次函数的最值结合题意即可求解。
11．【答案】（1）1.4
（2）1.6
【知识点】二次函数的实际应用-抛球问题；二次函数的其他应用
【解析】【解答】解：（1）乒乓球第一次弹起运行路线的抛物线顶点为，过点，
设第一次运行路线所在的抛物线解析式为．
代入得，，
解得，
，
令，则
解得，（舍）
，即乒乓球第一次落地点距斜坡底端的距离为，
故答案为：；
（2）乒乓球第二次弹起运行路线的抛物线与第一次形状相同，且最大高度为，
设．
代入得．
解得，（舍）
．
当时，，
解得，
∴为了确保乒乓球在第二次下落时能落在木板上，小强将木板立在到斜坡底端O的最小距离是，
故答案为：．
【分析】（1）根据待定系数法结合“拋球点的坐标为，第一次弹起的运行路线最高点坐标为”可求出第一次运行路线所在的抛物线解析式，再令解一元二次方程即可求解；
（2）根据题意并运用待定系数法可求得第二次弹起的抛物线解析式，再求时对应的方程解即可得出答案。
12．【答案】②③④
【知识点】二次函数图象与系数的关系；二次函数y=ax²+bx+c的性质；二次函数与一元二次方程的综合应用
【解析】【解答】 解： ①图象经过(1， 1)，c<0，即抛物线与y轴的负半轴有交点，如果抛物线的开口向上，则抛物线与x轴的交点都在(1， 0)的左侧，因为 (n，0) 中n≥3，
所以抛物线与x轴的一个交点一定在(3， 0)或(3， 0)的右侧，
所以抛物线的开口一定向下，即a<0，
把(1， 1)代入得： a+b+c=1，即b=1-a-c，
因为a<0，c<0，所以b>0，
故①错误；
②：a<0， b>0， c<0， >0，
方程的两 个根的积大于0，即mn>0，
因为 n≥3，所以 m>0，
.
即抛物线的对称轴在直线x=1.5的右侧，所以抛物线的顶点在点(1， 1) 的右侧，所以
因为4a<0，
，
故②正确；
③因为m>0，
所以当n=3时，
所以抛物线对 称轴在直线x=1.5的右侧，
所以(1，1)到对称轴的距离大于(2， t)到对称轴的距离，
因为a<0，抛物线开口向下，
所以距离抛物线越近的函数值越大，
所以t>1，
故③正确；
④方程可变为 .
因为方程有两个相等的实数解，
因为把(1， 1)代入得a+b+c=1
即1-b=a+c，
所以，
即，
所以 ， a-c=0，
即a=c，
因为(m，0) ，(n，0) 在抛物线上，
所以m，n为方程ax-+bx+c=0的两个根，
所以
n≥3，
故④正确
综上，正确的结论有：②③④.
故答案为：②③④.
【分析】(1)根据图象经过（1，1），c<0，且抛物线与x轴的一个交点一定在(3，0)或（3，0）的右侧，判断出抛物线的开口方向，得出a的符号，再把（1，1）代入二次函数解析式中，适当变形可以判断①的正误；
（2）先说明抛物线的对称轴在直线x=1.5的右侧是，可知抛物线的顶点在点（1，1）的右侧，从而可得抛物线的顶点的纵坐标大于1，结合①中得出的a的符号，可判断②的正误；
（3）先说明抛物线的对称轴在直线x=1.5的右侧是，可得（1，1）到对称轴的距离大于（2，t）到对称轴的距离，根据①中得出的a的符号，可得距离抛物线对称轴近的函数值的规律，就可以得出③的正误；
（4）根据方程有两个相等的实数解，得到y=0时的一元二次方程的判断式=0，把（1，1）代入二次函数表达式中，得到关于a，b，c的关系式，说明a，c的关系，根据根与系数的关系得出m，n的关系，结合n≥3，可求出m的范围，从而可判断④的正误.
13．【答案】（1）解：根据题意得：
（，为整数），
答：这种水果批发价（元/千克）与购进数量（箱）之间的函数关系式为
（，为整数）；
（2）解：设李大爷每天所获利润是元，
由题意得：，
，为正整数，且，
时，取最大值，最大值为（元），
答：李大爷每天应购进这种水果7箱，才能使每天所获利润最大，最大利润140元.
【知识点】二次函数的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1）根据当购买1箱时，批发价为8.2元/千克，每多购买1箱，批发价每千克降低0.2元，进先列式即可；
（2） 设李大爷每天所获利润是元， 根据总利润=每千克利润×销售量列出函数关系式，再利用二次函数的性质求解即可.
14．【答案】（1）解：由题意知，A（0，2），P（10，6），B（20，2），
设抛物线解析式为y＝a（x-10）2+6，
把A（0，2）代入解析式得，100a+6＝2，
解得：，
∴此桥拱截面所在抛物线的表达式为y＝（x-10）2+6；
（2）解：此船不能通过，理由：
当y＝2+3＝5时，（x-10）2+6=5，
解得x＝5或x＝15，
∵15-5＝10＜12，
∴此船不能通过桥洞．
【知识点】二次函数的实际应用-拱桥问题
【解析】【分析】（1）先求出点A，点P，点B的坐标，再把抛物线解析式设为顶点式，将A的坐标代入即可求得；
（2）当y=5时得x的值，再计算出两个x的值的差的绝对值与12比较大小即可.
15．【答案】解：任务1：如图，以点O为坐标原点，OM方向为x轴正方向建立平面直角坐标系，
此时，，顶点坐标为，
设抛物线的函数表达为，
将代入得，，
∴抛物线的函数表达式为．
（其他建系方式均可，按步给分）
任务2：当时，即将抛物线向上平移2.4个单位，
得．
令，则，解得：，（舍去），
∴浇灌最大圆形区域面积为．
任务3：连结AC，如图：
由题意知AC过点O，，
∴，
∴要保证浇灌区域能完全覆盖矩形试验田，浇灌半径至少为5m．
设，此时抛物线函数表达式为，
将代入，得，
解得，
∴OP至少调节到1.5m．
【知识点】二次函数的实际应用-喷水问题
【解析】【分析】（1）以O为坐标原点，OM方向为x轴正方向建立平面直角坐标系，表示出点O和M以及顶点的坐标，可用两点式设函数表达式，代入顶点坐标求出a值，即可得表达式；
（2）灌溉面积最大时，OP=2.4米，相当于将函数图象向上平移2.4个单位，求出新的函数表达式，令y=0，求解，即可得到最大灌溉半径，从而得到最大灌溉面积；
（3）确定灌溉完整个矩形区域时的最大灌溉半径r，即矩形对角线的一半长，设水管调节高度为h，即向上平移h个单位，得到新的函数表达式，把半径r的值代入，即可得到调节高度h.
16．【答案】（1）解：，则；
（2）解：，则，，
解得：，（不合题意，舍去），
所以花园的面积可等于，此时x的值为12；
（3）解：①，
（在点P与，的距离分别是和，，）
面积S与x的函数解析式为：
②，抛物线的开口向下，对称轴为
当时，S随x的增大而增大
当时，S取到最大值为：，
即当时，花园面积S最大，最大值为195平方米.
【知识点】一元二次方程的应用-几何问题；二次函数的实际应用-几何问题
【解析】【分析】（1）由AB=xm，AB+BC=28，则BC=(28-x)m.
（2）根据矩形的面积=AB·BC=192列出方程并解之即可；
（3）利用（2）可得S=AB·BC=x（28-x），由点P与，的距离可得出6≤x＜13，再利用二次函数的性质求解即可.
17．【答案】（1）；v=-t+16
（2）解：，
当时，
，解得，
，
当时，，
当甲车减速至时，它行驶的路程是；
（3）解：当时，甲车的速度为，
当时，两车之间的距离逐渐变大，
当时，两车之间的距离逐渐变小，
当时，两车之间距离最小，
将代入中，得，
将代入中，得，
此时两车之间的距离为：，
秒时两车相距最近，最近距离是．
【知识点】二次函数与一次函数的综合应用
【解析】【解答】解：（1）由图可知：二次函数图象经过原点，
设二次函数表达式为，
二次函数经过，，
，解得：，
二次函数表达式为．
设一次函数表达式为，
一次函数经过，，
，解得：，
一次函数表达式为．
故答案为：，；
【分析】（1）由图可知：二次函数图象经过原点，设二次函数表达式为s=at2+bt，将（2，30）、（4，56）代入s中求出a、b的值，据此可得二次函数的表达式；设一次函数表达式为v=kt+c，将（0，16）、（8，8）代入v中求出k、c的值，据此可得一次函数的表达式；
（2）令一次函数解析式中的v=9，求出t的值，然后将t的值代入二次函数解析式中可得s的值；
（3）由题意可得当v=10m/s时，两车之间距离最小，将v=10代入一次函数解析式中求出t的值，然后将t的值代入二次函数解析式中求出s的值，据此不难求出此时两车之间的距离.
1 / 1【提升版】2024-2025学年浙教版数学九上1.4二次函数的应用 同步练习
一、选择题
1．（2023九上·南山月考）如图1是莲花山景区一座抛物线形拱桥，按图2所示建立平面直角坐标系，得到抛物线解析式为y＝，正常水位时水面宽AB为36m，当水位上升5m时水面宽CD为（ ）
A．10m B．12m C．24m D．48m
【答案】C
【知识点】二次函数的实际应用-拱桥问题
【解析】【解答】解：根据题意，A点横坐标为-18，代入 可得y=－9，
即A（-18，-9）.
当水位上升5米时，即C、D两点纵坐标为－9+5=－4.
代入得：x=±12，
即C（-12，-4），D（12，-4）.
故CD=12×2=24.
故答案为：C.
【分析】根据AB=36得到A点横坐标，代入可求得A点纵坐标，水位上升5m即向上平移5个单位，可得C、D的纵坐标，代入可求横坐标，于是可求CD长.
2．（2023九上·牟平期中）竖直上抛的小球的高度与运动时间的函数表达式为，若小球在上抛后第与第时离地面距离相等，则下列时刻中小球的高度最高的是（ ）
A．第 B．第 C．第 D．第
【答案】C
【知识点】二次函数的实际应用-抛球问题
【解析】【解答】小球在上抛后第与第时离地面距离相等，
对称轴为直线x=
当t=5s时，小球的高度最高，
t=4.9s时离5最近，
在4.9s时小球最高，
故答案为：C.
【分析】先求得对称轴为直线x=5，再逐一判断哪一个选项距离对称轴最近即可求解.
3．（2023九上·曾都期中）将进货单价为50元的某种商品按零售价每个60元出售时，每周能卖出100个，若这种商品零售价每涨价1元，周销售量就减少2个，但物价部门规定，最高售价不能高于成本价的30％，则每周获得的最大利润为（ ）.
A．80元 B．1000元 C．1750元 D．1800元
【答案】C
【知识点】二次函数的实际应用-销售问题
【解析】【解答】解：设售价上涨x元，则销售量为个，利润为W，
∴
对称轴为：
∵
∴当x=65时，W有最大值为：
故答案为：C.
【分析】设售价上涨x元，则销售量为个，利润为W，根据题意即可得到：根据题意得到的值不能超过65，则当x=65时，W有最大值.
4．（2023九上·东光月考）小明在期末体育测试中掷出的实心球的运动路线呈抛物线形，若实心球运动的抛物线的解析式为，其中是实心球飞行的高度，是实心球飞行的水平距离，已知该同学出手点的坐标为，则实心球飞行的水平距离的长度为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】二次函数的实际应用-抛球问题
【解析】【解答】
∵点的坐标为 ，在函数上
∴
解得k=
∴
当y=0时，即
解得x=8或-2（舍）
∴ OB长为8m
故答案为B
【分析】本题考查二次函数的实际应用及性质。点在函数上，代入函数可得字母k的值，求二次函数与x轴的交点时，令y=0，求对应方程的根即可，注意结合实际问题，进行根的取舍。
5．（2023九上·萧山月考）如图，在九年级体育测试中，小朱掷出的实心球的飞行高度y（米）与水平距离x（米）之间的关系大致满足二次函数，则小朱本次投掷实心球的成绩为（ ）
A．7m B．7.5m C．8m D．8.5m
【答案】C
【知识点】二次函数的实际应用-抛球问题
【解析】【解答】解：令即：
解得：
∴小朱本次投掷实心球的成绩为8米，
故答案为：C.
【分析】当此时x的值，即为小朱本次投掷实心球的成绩.
6．（2024九上·四平期末）如图是二次函数的部分图象，使成立的的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．或
【答案】C
【知识点】二次函数与不等式（组）的综合应用；二次函数y=ax²+bx+c的性质
【解析】【解答】解：由函数图象可知，当y≥-1时，二次函数不在y=-1下方部分的自变量x满足：-1≤x≤3，
故答案为：C．
【分析】y≥-1就是指函数图象在y=-1上和上方部分，再确定部分图象对应的x的取值范围即可．
7．（2019九上·北京期中）已知一次函数 和二次函数 部分自变量和对应的函数值如表：
x … -1 0 2 4 5 …
y1 … 0 1 3 5 6 …
y2 … 0 -1 0 5 9 …
当y2＞y1时，自变量x的取值范围是（ ）
A．-1＜x＜2 B．4＜x＜5 C．x＜-1或x＞5 D．x＜-1或x＞4
【答案】D
【知识点】二次函数与一次函数的综合应用
【解析】【解答】解：∵当x=0时，y1=y2=0；当x=4时，y1=y2=5；
∴直线与抛物线的交点为（-1，0）和（4，5），
而-1＜x＜4时，y1＞y2，
∴当y2＞y1时，自变量x的取值范围是x＜-1或x＞4．
故答案为：D．
【分析】利用表中数据得到直线与抛物线的交点为（-1，0）和（4，5），-1＜x＜4时，y1＞y2，从而得到当y2＞y1时，自变量x的取值范围．
8．（2023九上·丰城月考）二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象如图所示，下列说法错误的是（ ）
A．a＜0，b＞0
B．b2﹣4ac＞0
C．方程ax2＋bx＋c＝0的解是x1＝5，x2＝﹣1
D．不等式ax2＋bx＋c＞0的解集是0＜x＜5
【答案】D
【知识点】二次函数图象与系数的关系；二次函数与不等式（组）的综合应用；利用二次函数图象判断一元二次方程根的情况；二次函数与一元二次方程的综合应用
【解析】【解答】解：A、由图知抛物线开口向下，a<0；对称轴为直线x=，所以b=-4a，所以b>0，故A选项正确；
B、抛物线与x轴有两个交点，所以 b2﹣4ac＞0 ，故B选项正确；
C、根据二次函数对称性可知，抛物线与x轴交点为（5，0）和（-1，0），所以 方程ax2＋bx＋c＝0的解是x1＝5，x2＝﹣1 ，故C选项正确；
D、由图象可得，不等式 ax2＋bx＋c>0的解集为-1故答案为：D.
【分析】考查二次函数图象和性质，二次函数与一元二次方程关系，利用函数图象求不等式的解.
二、填空题
9．（2024九上·自贡期末）如图，九（1）班劳动实践基地位于形围墙的内侧，已知，墙长7米，墙长3米．同学们准备用10米长的围栏，在基地内围出一块矩形菜地（可利用围墙）．请问他们能围出的最大面积是 米2．
【答案】
【知识点】二次函数的实际应用-几何问题
【解析】【解答】解：设矩形的宽为，面积为
①∵墙长7米，墙长3米，
∴，
∵10米长的围栏，
∴当围成的矩形在以为边围成的矩形的内部时，矩形的最大面积为，
②当矩形的长大于7，宽小于3时，则：矩形的长为，
∴，
∵，
∴当时，随着的增大而减小，
∵，
∴，
③当矩形的长小于7，宽大于3时，则：矩形的长为，
∴，
∴当时，的最大值为；
综上：他们能围出的最大面积是米；
故答案为： ．
【分析】 分两种情况：矩形在以AB、BC为边围成的矩形的内部或外部，设矩形的宽为x，面积为y，建立二次函数，利用二次函数的性质求解即可。
10．（2024九上·邻水期末）在为期3天的广安市第五届运动会（青少年组）三人制篮球比赛中，某同学进行了一次投篮，篮球准确落入篮框内，建立如图所示的平面直角坐标系，篮球的运行轨迹可看作抛物线的一部分，则篮球在空中运行的最大高度为 ．
【答案】
【知识点】二次函数的最值；二次函数y=ax²+bx+c与二次函数y=a（x-h）²+k的转化；二次函数的实际应用-抛球问题
【解析】【解答】解：∵，
∴当时，取最大值，最大值为，
即篮球在空中运行的最大高度为．
故答案为：3.6
【分析】先根据二次函数解析式转化为顶点式，进而根据二次函数的最值结合题意即可求解。
11．（2024九上·石家庄期末）小明和小强做弹球游戏，如图1，小明向斜坡找一个乒乓球，乒乓球弹起的运行路线是一条抛物线，乒乓球落地后又弹起，第二次弹起的运行路线和第一次运行路线的抛物线形状相同．小强在地面立一块高度为的木板，以斜坡底端为坐标原点，地面水平线为轴，取单位长度为，建立如图2所示的平面直角坐标系，乒乓球的大小忽略不计，经测量发现，拋球点的坐标为，第一次弹起的运行路线最高点坐标为，第二次弹起的最大高度为．
（1）求乒乓球第一次落地点B距斜坡低端O的距离是 ；
（2）为了确保乒乓球在第二次下落时能落在木板上，小强将木板立在到斜坡底端O的最小距离是 ．
【答案】（1）1.4
（2）1.6
【知识点】二次函数的实际应用-抛球问题；二次函数的其他应用
【解析】【解答】解：（1）乒乓球第一次弹起运行路线的抛物线顶点为，过点，
设第一次运行路线所在的抛物线解析式为．
代入得，，
解得，
，
令，则
解得，（舍）
，即乒乓球第一次落地点距斜坡底端的距离为，
故答案为：；
（2）乒乓球第二次弹起运行路线的抛物线与第一次形状相同，且最大高度为，
设．
代入得．
解得，（舍）
．
当时，，
解得，
∴为了确保乒乓球在第二次下落时能落在木板上，小强将木板立在到斜坡底端O的最小距离是，
故答案为：．
【分析】（1）根据待定系数法结合“拋球点的坐标为，第一次弹起的运行路线最高点坐标为”可求出第一次运行路线所在的抛物线解析式，再令解一元二次方程即可求解；
（2）根据题意并运用待定系数法可求得第二次弹起的抛物线解析式，再求时对应的方程解即可得出答案。
12．（2023九上·新洲期中）抛物线（，，为常数，经过，，三点，且.
下列四个结论：①；②；③当时，若点在该抛物线上，则；④若关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，则.
其中正确的是 （填序号即可）.
【答案】②③④
【知识点】二次函数图象与系数的关系；二次函数y=ax²+bx+c的性质；二次函数与一元二次方程的综合应用
【解析】【解答】 解： ①图象经过(1， 1)，c<0，即抛物线与y轴的负半轴有交点，如果抛物线的开口向上，则抛物线与x轴的交点都在(1， 0)的左侧，因为 (n，0) 中n≥3，
所以抛物线与x轴的一个交点一定在(3， 0)或(3， 0)的右侧，
所以抛物线的开口一定向下，即a<0，
把(1， 1)代入得： a+b+c=1，即b=1-a-c，
因为a<0，c<0，所以b>0，
故①错误；
②：a<0， b>0， c<0， >0，
方程的两 个根的积大于0，即mn>0，
因为 n≥3，所以 m>0，
.
即抛物线的对称轴在直线x=1.5的右侧，所以抛物线的顶点在点(1， 1) 的右侧，所以
因为4a<0，
，
故②正确；
③因为m>0，
所以当n=3时，
所以抛物线对 称轴在直线x=1.5的右侧，
所以(1，1)到对称轴的距离大于(2， t)到对称轴的距离，
因为a<0，抛物线开口向下，
所以距离抛物线越近的函数值越大，
所以t>1，
故③正确；
④方程可变为 .
因为方程有两个相等的实数解，
因为把(1， 1)代入得a+b+c=1
即1-b=a+c，
所以，
即，
所以 ， a-c=0，
即a=c，
因为(m，0) ，(n，0) 在抛物线上，
所以m，n为方程ax-+bx+c=0的两个根，
所以
n≥3，
故④正确
综上，正确的结论有：②③④.
故答案为：②③④.
【分析】(1)根据图象经过（1，1），c<0，且抛物线与x轴的一个交点一定在(3，0)或（3，0）的右侧，判断出抛物线的开口方向，得出a的符号，再把（1，1）代入二次函数解析式中，适当变形可以判断①的正误；
（2）先说明抛物线的对称轴在直线x=1.5的右侧是，可知抛物线的顶点在点（1，1）的右侧，从而可得抛物线的顶点的纵坐标大于1，结合①中得出的a的符号，可判断②的正误；
（3）先说明抛物线的对称轴在直线x=1.5的右侧是，可得（1，1）到对称轴的距离大于（2，t）到对称轴的距离，根据①中得出的a的符号，可得距离抛物线对称轴近的函数值的规律，就可以得出③的正误；
（4）根据方程有两个相等的实数解，得到y=0时的一元二次方程的判断式=0，把（1，1）代入二次函数表达式中，得到关于a，b，c的关系式，说明a，c的关系，根据根与系数的关系得出m，n的关系，结合n≥3，可求出m的范围，从而可判断④的正误.
三、解答题
13．（2023九上·安庆月考）李大爷每天到批发市场购进某种水果进行销售，这种水果每箱10千克，批发商规定：整箱购买，一箱起售，每人一天购买不超过10箱；当购买1箱时，批发价为8.2元/千克，每多购买1箱，批发价每千克降低0.2元.根据李大爷的销售经验，这种水果售价为12元/千克时，每天可销售1箱；售价每千克降低0.5元，每天可多销售1箱.
（1）请求出这种水果批发价（元/千克）与购进数量（箱）之间的函数关系式；
（2）若每天购进的这种水果需当天全部售完，请你计算，李大爷每天应购进这种水果多少箱，才能使每天所获利润最大？最大利润是多少？
【答案】（1）解：根据题意得：
（，为整数），
答：这种水果批发价（元/千克）与购进数量（箱）之间的函数关系式为
（，为整数）；
（2）解：设李大爷每天所获利润是元，
由题意得：，
，为正整数，且，
时，取最大值，最大值为（元），
答：李大爷每天应购进这种水果7箱，才能使每天所获利润最大，最大利润140元.
【知识点】二次函数的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1）根据当购买1箱时，批发价为8.2元/千克，每多购买1箱，批发价每千克降低0.2元，进先列式即可；
（2） 设李大爷每天所获利润是元， 根据总利润=每千克利润×销售量列出函数关系式，再利用二次函数的性质求解即可.
14．（2023九上·杭州期中） 如图1所示是一座古桥，桥拱截面为抛物线，如图2，AO，BC是桥墩，桥的跨径AB为20m，此时水位在OC处，桥拱最高点P离水面6m，在水面以上的桥墩AO，BC都为2m．以OC所在的直线为x轴、AO所在的直线为y轴建立平面直角坐标系，其中x（m）是桥拱截面上一点距桥墩AO的水平距离，y（m）是桥拱截面上一点距水面OC的距离．
（1）求此桥拱截面所在抛物线的表达式；
（2）有一艘游船，其左右两边缘最宽处有一个长方体形状的遮阳棚，此船正对着桥洞在河中航行．当水位上涨2m时，水面到棚顶的高度为3m，遮阳棚宽12m，问此船能否通过桥洞？请说明理由．
【答案】（1）解：由题意知，A（0，2），P（10，6），B（20，2），
设抛物线解析式为y＝a（x-10）2+6，
把A（0，2）代入解析式得，100a+6＝2，
解得：，
∴此桥拱截面所在抛物线的表达式为y＝（x-10）2+6；
（2）解：此船不能通过，理由：
当y＝2+3＝5时，（x-10）2+6=5，
解得x＝5或x＝15，
∵15-5＝10＜12，
∴此船不能通过桥洞．
【知识点】二次函数的实际应用-拱桥问题
【解析】【分析】（1）先求出点A，点P，点B的坐标，再把抛物线解析式设为顶点式，将A的坐标代入即可求得；
（2）当y=5时得x的值，再计算出两个x的值的差的绝对值与12比较大小即可.
四、实践探究题
15．（2024九上·鄞州期末）根据以下材料，探索完成任务：
智能浇灌系统使用方案
材料 如图1是一款智能浇灌系统，水管OP垂直于地面并可以随意调节高度（OP最大高度不超过2.4m），浇灌花木时，喷头P处会向四周喷射水流形成固定形状的抛物线，水流落地点M与点O的距离即为最大浇灌距离，各方向水流落地点形成一个以点O为圆心，OM为半径的圆形浇灌区域． 当喷头P位于地面与点O重合时，某一方向的水流上边缘形成了如图2的抛物线，经测量，，水流最高时距离地面0.1m． 如图3，农科院将该智能浇灌系统应用于一个长8m，宽6m的矩形试验田中，水管放置在矩形中心O处．
问题解决
任务1 确定水流形状 在图2中建立合适的平面直角坐标系，求抛物线的函数表达式．
任务2 探究浇灌最大区域 当调节水管OP的高度时，浇灌的圆形区域面积会发生变化，请你求出最大浇灌圆形区域面积．（结果保留）
任务3 解决具体问题 若要保证浇灌区域能完全覆盖矩形试验田，则水管OP至少需要调节到什么高度？
【答案】解：任务1：如图，以点O为坐标原点，OM方向为x轴正方向建立平面直角坐标系，
此时，，顶点坐标为，
设抛物线的函数表达为，
将代入得，，
∴抛物线的函数表达式为．
（其他建系方式均可，按步给分）
任务2：当时，即将抛物线向上平移2.4个单位，
得．
令，则，解得：，（舍去），
∴浇灌最大圆形区域面积为．
任务3：连结AC，如图：
由题意知AC过点O，，
∴，
∴要保证浇灌区域能完全覆盖矩形试验田，浇灌半径至少为5m．
设，此时抛物线函数表达式为，
将代入，得，
解得，
∴OP至少调节到1.5m．
【知识点】二次函数的实际应用-喷水问题
【解析】【分析】（1）以O为坐标原点，OM方向为x轴正方向建立平面直角坐标系，表示出点O和M以及顶点的坐标，可用两点式设函数表达式，代入顶点坐标求出a值，即可得表达式；
（2）灌溉面积最大时，OP=2.4米，相当于将函数图象向上平移2.4个单位，求出新的函数表达式，令y=0，求解，即可得到最大灌溉半径，从而得到最大灌溉面积；
（3）确定灌溉完整个矩形区域时的最大灌溉半径r，即矩形对角线的一半长，设水管调节高度为h，即向上平移h个单位，得到新的函数表达式，把半径r的值代入，即可得到调节高度h.
16．（2024九上·防城期末）【综合与实践】数学来源于生活，同时数学也可以服务于生活.
【知识背景】如图，校园中有两面直角围墙，墙角内的P处有一古棵树与墙，的距离分别是和，在美化校园的活动中，某数学兴趣小组想借助围墙（两边足够长），用长的篱笆围成一个矩形花园（篱笆只围，两边），设.
【方案设计】设计一个矩形花园，使之面积最大，且要将古棵树P围在花园内（含边界，不考虑树的粗细）.
【解决问题】思路：把矩形的面积S与边长x（即的长）的函数解析式求出，并利用函数的性质来求面积的最大值即可.
（1）请用含有x的代数式表示的长；
（2）花园的面积能否为 若能，求出x的值，若不能，请说明理由；
（3）求面积S与x的函数解析式，写出x的取值范围；并求当x为何值时，花园面积S最大
【答案】（1）解：，则；
（2）解：，则，，
解得：，（不合题意，舍去），
所以花园的面积可等于，此时x的值为12；
（3）解：①，
（在点P与，的距离分别是和，，）
面积S与x的函数解析式为：
②，抛物线的开口向下，对称轴为
当时，S随x的增大而增大
当时，S取到最大值为：，
即当时，花园面积S最大，最大值为195平方米.
【知识点】一元二次方程的应用-几何问题；二次函数的实际应用-几何问题
【解析】【分析】（1）由AB=xm，AB+BC=28，则BC=(28-x)m.
（2）根据矩形的面积=AB·BC=192列出方程并解之即可；
（3）利用（2）可得S=AB·BC=x（28-x），由点P与，的距离可得出6≤x＜13，再利用二次函数的性质求解即可.
五、综合题
17．（2022九上·江油开学考）公路上正在行驶的甲车发现前方处沿同一方向行驶的乙车后，开始减速，减速后甲车行驶的路程单位：、速度单位：与时间单位：的关系分别可以用二次函数和一次函数表示，其图象如图所示．
（1）直接写出关于的函数关系式 和关于的函数关系式 不要求写出的取值范围
（2）当甲车减速至时，它行驶的路程是多少？
（3）若乙车以的速度匀速行驶，两车何时相距最近，最近距离是多少？
【答案】（1）；v=-t+16
（2）解：，
当时，
，解得，
，
当时，，
当甲车减速至时，它行驶的路程是；
（3）解：当时，甲车的速度为，
当时，两车之间的距离逐渐变大，
当时，两车之间的距离逐渐变小，
当时，两车之间距离最小，
将代入中，得，
将代入中，得，
此时两车之间的距离为：，
秒时两车相距最近，最近距离是．
【知识点】二次函数与一次函数的综合应用
【解析】【解答】解：（1）由图可知：二次函数图象经过原点，
设二次函数表达式为，
二次函数经过，，
，解得：，
二次函数表达式为．
设一次函数表达式为，
一次函数经过，，
，解得：，
一次函数表达式为．
故答案为：，；
【分析】（1）由图可知：二次函数图象经过原点，设二次函数表达式为s=at2+bt，将（2，30）、（4，56）代入s中求出a、b的值，据此可得二次函数的表达式；设一次函数表达式为v=kt+c，将（0，16）、（8，8）代入v中求出k、c的值，据此可得一次函数的表达式；
（2）令一次函数解析式中的v=9，求出t的值，然后将t的值代入二次函数解析式中可得s的值；
（3）由题意可得当v=10m/s时，两车之间距离最小，将v=10代入一次函数解析式中求出t的值，然后将t的值代入二次函数解析式中求出s的值，据此不难求出此时两车之间的距离.
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