【培优版】2024-2025学年浙教版数学九上1.4二次函数的应用 同步练习

【培优版】2024-2025学年浙教版数学九上1.4二次函数的应用 同步练习
一、选择题
1．（2024·梅县区模拟）从地面竖直向上抛出一小球，小球的高度米与运动时间秒之间的解析式是，则小球到达最高高度时，运动的时间是 （　　）
A．秒 B．秒 C．秒 D．秒
2．（2021·黄冈）如图， 为矩形 的对角线，已知 ， .点P沿折线 以每秒1个单位长度的速度运动（运动到D点停止），过点P作 于点E，则 的面积y与点P运动的路程x间的函数图象大致是（　　）
A． B．
C． D．
3．（2023八下·长沙期末）为了使居住环境更加美观，某小区建造了一个小型喷泉，水流从地面上的点O喷出，在各个方向上沿形状相同的抛物线落到地面，某方向上抛物线的形状如图所示，落点A到点O的距离为4，水流喷出的高度与水平距离之间近似满足函数关系式，则水流喷出的最大高度为（　　）
A． B． C． D．
4．（2023九上·吉林月考）如图①是太原晋阳湖公园一座抛物线型拱桥，按如图②所示建立坐标系，得到函数y=x2，在正常水位时水面宽AB =30米，当水位上升5米时，则水面宽CD= （　　）
A．20米 B．15米 C．10米 D．8米
5．（2022九上·拱墅月考）地面上一个小球被推开后笔直滑行，滑行的距离s与时间t的函数关系如图中的部分抛物线所示（其中P是该抛物线的顶点），则下列说法正确的是（　　）
A．小球滑行6秒停止 B．小球滑行12秒停止
C．小球滑行6秒回到起点 D．小球滑行12秒回到起点
6．（2023九上·浙江月考）如图，正方形的边长为，、、、分别为各边上的点，且，设小正方形的面积为，为，则关于的函数图象大致是（　　）
A． B．
C． D．
7．（2024·浙江模拟）已知是方程的两个根，且是抛物线1)与轴的两个交点的横坐标，且，则的大小关系为（　　）
A． B．
C． D．
8．（2024·眉山） 如图，二次函数的图象与轴交于点，与轴交于点，对称轴为直线，下列四个结论：①；②；③；④若，则，其中正确结论的个数为（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4
二、填空题
9．（2024·自贡）九（1）班劳动实践基地内有一块面积足够大的平整空地．地上两段围墙于点O（如图），其中上的段围墙空缺．同学们测得m，m，m，m，m．班长买来可切断的围栏m，准备利用已有围墙，围出一块封闭的矩形菜地，则该菜地最大面积是　 　．
10．（2024·广西） 如图， 壮壮同学投掷实心球， 出手 (点 处) 的高度 是 ， 出手后实心球沿一段抛物线运行， 到达最高点时，水平距离是 ， 高度是 . 若实心球落地点为 ， 则OM=　 　m。
11．（2024·滨江二模）如图，一建筑物外墙上嵌有一排一模一样的垂直于墙壁的钢管，这些钢管的下面有一个一边靠墙的长方体水池，水从钢管流出的水都成抛物线，若以钢管的出水口点为坐标原点，建立如图所示的平面直角坐标系，且抛物线的函数表达式都为．若露在墙壁外面的钢管的长度米（钢管的直径长度忽略不计），钢管离水池水面的高度米．要使钢管中流出的水都落在水池里，那水池宽至少是　 　米．
12．（2023九上·温岭期中）如图，已知抛物线y1的开口向上且顶点D在y轴的负半轴上，y2由y1先绕顶点旋转180°，再平移得到，它们与x轴的交点为A、B、C且AB=BC=2OD=4，则抛物线y2的顶点E的坐标是　 　；若过定点（1，1）的直线被抛物线y1、y2所截得的线段长相等，则这条直线的解析式为　 　.
三、解答题
13．（2024·广东）广东省全力实施“百县千镇万村高质量发展工程”，2023年农产品进出口总额居全国首位，其中荔枝鲜果远销欧美.某果商以每吨2万元的价格收购早熟荔枝，销往国外.若按每吨5万元出售，平均每天可售出100吨.市场调查反映：如果每吨降价1万元，每天销售量相应增加50吨.该果商如何定价才能使每天的“利润”或“销售收入”最大 并求出其最大值.（题中“元”为人民币）
14．（2024·常德模拟）某电子公司生产并销售一种新型电子产品，经过市场调查发现：每月生产x台电子产品的成本y（元）由三部分组成，分别是生产线投入、材料成本、人工成本，其中生产线投入固定不变为2000元，材料成本（单位：元）与x成正比，人工成本（单位：元）与x的平方成正比，在生产过程中得到如下数据：
x(单位：台) 20 40
y(单位：元) 2104 2216
（1）求y与x之间的函数关系式；
（2）若某月平均每台电子产品的成本为26元，求这个月共生产电子产品多少台？
（3）若每月生产的电子产品均能售出，电子产品的售价也随着x的增大而适当增大，设每台电子产品的售价为Q（单位：元），且有Q＝mx+n（且m，n均为常数），已知当x＝2000台时， 0为35元，且此时销售利润W（单位：元）有最大值，求m，n的值.（销售利润＝销售收入-成本）
15．（2024九下·石阡月考） 某俱乐部购进一台如图1的篮球发球机，用于球员篮球训练．该发球机可以以不同力度发射出篮球，篮球运行的路线都是抛物线．出球口离地面高1米，以出球口为原点，平行于地面的直线为x轴，垂直于地面的直线为y轴，建立平面直角坐标系．力度变化时，抛物线的顶点在直线上移动，从而产生一组不同的抛物线（如图2）．
（1）若．
①发球机发射出的篮球运行到距发球机水平距离为6m时，离地面的高度为1m．请直接写出该球在运行过程中离地面的最大高度；
②若发球机发射出的篮球在运行过程中离地面的最大高度为3m，求该球运行路线的解析式，及此球落地点离发球机的水平距离；
（2）球员小刚训练时发现：当篮球运行到离地面高度为1m至2.2m之间（包含端点）是最佳接球区间，若，直接写出当a满足什么条件时，距发球机水平距离12m的小刚在前后不挪动位置的前提下，能在最佳区间接到球．
16．（2024九下·杭州月考）如图，灌溉车为绿化带浇水，喷水口离地竖直高度为．可以把灌溉车喷出水的上、下边缘抽象为平面直角坐标系中两条抛物线的部分图象；把绿化带横截面抽象为矩形，其水平宽度，竖直高度．下边缘抛物线是由上边缘抛物线向左平移得到，上边抛物线最高点离喷水口的水平距离为、高出喷水口，灌溉车到绿化带的距离为（单位：）
（1）求上边缘抛物线的函数解析式，并求喷出水的最大射程；
（2）求下边缘抛物线与x轴的正半轴交点的坐标；
（3）要使灌溉车行驶时喷出的水能浇灌到整个绿化带，直接写出的取值范围
四、实践探究题
17．（2024·南山模拟）【项目式学习】根据以下素材，探索完成任务.
绿化带灌溉车的操作方案
素材1 一辆绿化带灌溉车正在作业，水从喷水口喷出，水流的上下两边缘可以抽象为两条抛物线的一部分：喷水口离开地面高1.6米，上边缘抛物线最高点离喷水口的水平距离为3米，高出喷水口0.9米，下边缘水流形状与上边缘相同，且喷水口是最高点.
素材2 路边的绿化带宽4米 　
素材3 绿化带正中间种植了行道树，为了防治病虫害、增加行道树的成活率，园林工人给树木“打针”，针一般打在离地面1.5米到2米的高度(包含端点).
问题解决
任务1 确定上边缘水流形状 建立如图所示直角坐标系，求上边缘抛物线的函数表达式
任务2 探究灌溉范围 灌溉车行驶过程中喷出的水能浇灌到整个绿化带吗 请说明理由
任务3 拟定设计方案 灌溉时，发现水流的上下两边缘冲击力最强，喷到针筒容易造成针筒脱落，那么请问在满足最大灌溉面积的前提下对行道树“打针”是否有影响，并说明理由；若你认为有影响，请给出具体的“打针”范围.
18．根据以下素材， 探索完成任务．
如何设计拱桥景观灯的悬挂方案？
素材1 图 38-2①中有一座拱桥， 图 38-2②是其抛物线形桥拱的示意图， 某时测得水面宽 ， 拱顶离水面 ． 据调查， 该河段水位在此基础上再涨 达到最高．
素材2 为迎佳节，拟在图拱桥38-2①桥洞前面的桥拱上悬挂40 cm长的灯笼，如图38-3.为了安全，灯笼底部距离水面不小于1 m；为了实效，相邻两盏灯笼悬挂点的水平间距均为1.6 m；为了美观，要求在符合条件处都挂上灯笼，且挂满后成轴对称分布.
问题解决
任务1 确定桥拱形状 在图38-22中建立合适的平面直角坐标系，求抛物线的函数表达式.
任务2 探究悬挂范围 在你所建立的坐标系中，仅在安全的条件下，确定悬挂点的纵坐标的最小值和横坐标的取值范围.
任务3 拟定设计方案 给出一种符合所有悬挂条件的灯笼数量，并根据你所建立的坐标系，求出最左边一盏灯笼悬挂点的横坐标.
五、综合题
19．（2024·平江二模）已知抛物线．
（1）如图①，若抛物线图象与x轴交于点A（3，0），与y轴交点B（0，-3），连接AB．
（Ⅰ）求该抛物线所表示的二次函数表达式；
（Ⅱ）若点P是第四象限内抛物线上一动点，过点P作轴于点H，与线段AB交于点M，作轴于点K，与线段AB交于点N，求的最大值
（2）如图②，直线与y轴交于点C，同时与抛物线交于点D（，0），以线段CD为边作菱形CDFE，使点F落在x轴的正半轴上，若该抛物线与线段CE没有交点，求b的取值范围．
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】二次函数的实际应用-抛球问题
【解析】【解答】解：h＝30t﹣5t2＝﹣5（t﹣3）2+45，
∵﹣5＜0，0≤t≤6，
∴当t＝3时，h有最大值，最大值为45，
∴小球运动3秒时，小球最高，
故答案为：C．
【分析】求出h有最大值时t的值即可．
2．【答案】D
【知识点】一次函数中的动态几何问题；二次函数的实际应用-几何问题
【解析】【解答】解： 四边形 是矩形， ， ，
，
，
由题意，分以下两种情况：
（1）当点 在 上，即 时，
在 中， ，
在 中， ， ，
，
；
（2）如图，当点 在 上，即 时，
四边形 是矩形， ，
四边形 是矩形，
，
，
综上， 与 间的函数关系式为 ，
观察四个选项可知，只有选项D的图象符合，
故答案为：D.
【分析】利用勾股定理求出AC的长，即可求出AC+AD的长；再分情况讨论：设CP=x，当点 在 上，即 时，利用锐角三角函数的定义求出sin∠ACB和cos∠ACB的值，再利用解直角三角形表示出CE，PE的长；然后利用三角形的面积公式可得到y与x之间的函数解析式；当点 在 上，即 时，易证四边形CEPD是矩形，利用矩形的性质可得到PE，CE的长，再利用三角形的面积公式可得到y与x之间的函数解析式，根据两函数解析式及取值范围，可得答案.
3．【答案】A
【知识点】二次函数的实际应用-喷水问题
【解析】【解答】解：由题意得A（4，0），
把A（4，0）代入解得，
∴，
∴水流喷出的最大高度为，
故答案为：A
【分析】先根据题意得到点A的坐标，进而将点A代入即可求出a，从而得到解析式，再将抛物线的解析式转化为顶点式即可求解。
4．【答案】A
【知识点】二次函数的实际应用-拱桥问题
【解析】【解答】解：∵AB=30，∴当x=15时，y=-·（15）2=-9，
当水位上升5米时，y=-9+5=-4，
∴-4=-x2，解得x=±10，
∴水面宽为20米；
故答案为：A.
【分析】根据题意，求出正常水位时水面的高度，继而根据水位上升，计算得到上升后水位的宽度即可。
5．【答案】A
【知识点】二次函数的实际应用-抛球问题
【解析】【解答】解：如图所示：滑行的距离s与时间t的函数关系可得，当t＝6秒时，滑行距离最大，即此时小球停止.
故答案为：A.
【分析】由图象可得：当t＝6秒时，滑行距离最大，此时小球处于停止状态，据此判断.
6．【答案】B
【知识点】二次函数的实际应用-几何问题
【解析】【解答】解：根据题意，，则，，
由勾股定理可知，
由正方形的面积公式可知，，即，
又∵，
∴；
则二次函数的性质，y关于x的函数图象为：
故答案为：B.
【分析】根据，可得，，先利用勾股定理可得，再根据正方形的边长可知，即可得出y关于x的图像.
7．【答案】B
【知识点】二次函数图象与坐标轴的交点问题；二次函数与不等式（组）的综合应用；二次函数与一元二次方程的综合应用
【解析】【解答】解：∵是方程的两个根，，a<0
∴是是抛物线与轴的两个交点的横坐标，
令y2=0，可得，即.
∴是抛物线与y=x的两个交点的横坐标，大概图象如图：
由图象可知， .
故答案为：B.
【分析】由a<0可知抛物线开口向下，从函数的角度可以将x3，x4理解成抛物线y=ax2+ bx+c与直线y=x的两个交点的横坐标，作出大概图象，数形结合即可解答.
8．【答案】C
【知识点】二次函数图象与系数的关系；二次函数的最值；二次函数与不等式（组）的综合应用；二次函数与一元二次方程的综合应用
【解析】【解答】解：①函数图象开口方向向上，
；
对称轴在轴右侧，
、异号，
，
抛物线与轴交点在轴负半轴，
，
，故①错误；
②二次函数的图象与轴交于点，与轴交于点，对称轴为直线，
，
，
时，，
，
，
，故②正确；
③对称轴为直线，，
最小值，
，故③正确；
④，
，
，
，
，
，
，
，
故④正确；
综上所述，正确的有②③④，
故选：C．
【分析】利用抛物线的开口方向可得到a的取值范围，利用对称轴的位置可确定出b的取值范围，再根据抛物线与y轴的交点情况，可确定出c的取值范围，据此可对①作出判断；利用抛物线与x轴的交点坐标及对称轴，可得到b=-2a，a-b+c=0，据此可得到3a+c的值，可对②作出判断；利用函数图象及对称轴，可得到函数的最小值为a+b+c，据此可对③作出判断；利用一元二次方程根与系数，可得到c=-3a，利用c的取值范围，可得到a的取值范围，再求出a+b+c=-4a，据此可得到a+b+c的取值范围，可对④作出判断；综上所述可得到正确结论的个数.
9．【答案】46.4
【知识点】二次函数的实际应用-几何问题
【解析】【解答】解：依题意，为围出最大的矩形，此时矩形两边需尽可能利用围墙，
故在划分的四块区域中选择最大的左上角一块，设在OA上所围的边长为OD=x，
①如图，若围住的区域为ODGF，此时x≤8，易分析长方形宽：DG>5，
在矩形ODGF中，
GF=OD=x，DG=OF，
又∵围栏总长=OE+CF+FG+DG=1.4+(OF-OC)+x+DG=16，
即1.4+(DG-5)+x+DG=16，
∴DG=，
此时，
由二次函数性质可知，对称轴所在直线x=9.8，且开口a<0，故此时x≤8的图象随x增大而增大，
∴当x=8时，.
②如图，若围住的区域为ODGF，此时x＞8，若DG≥5，
同理，DG=，即，解得x≤8.8，
此时，
由二次函数性质可知，对称轴所在直线x=6.9，且开口a<0，故此时x＞8的图象随x增大而减小，
∴当x=8时，.
即当8≤x≤8.8时，其围出矩形的面积值均小于46.4
③如图，若围住的区域为ODGF，此时x＞8，若DG<5，
同理，DG=22.6-2x，即，解得x>8.8
此时，
由二次函数性质可知，对称轴所在直线x=5.65，且开口a<0，故此时x＞8的图象随x增大而减小，
∴当x=8.8时，.
即当x>8.8时，其围出矩形的面积值均小于44.
综上所述，围成矩形菜地的最大面积是46.4.
故答案为：46.4.
【分析】根据围成面积最大的矩形易分析需尽可能利用较多的墙作围栏，进而根据围墙的情况不同进行分类，设元表示该矩形的长与宽，最后利用二次函数的最值分析其最值即可.（注：结合周长固定的长方形中正方形面积最大，一定程度减少分类讨论的时间损耗）.
10．【答案】
【知识点】二次函数的实际应用-抛球问题
【解析】【解答】解：以O为坐标原点，om所在直线为x轴建立直角坐标系如图：
由题意得：点P坐标为，顶点坐标为（5，4）.
设抛物线的解析式为：.
把点P坐标代入得：.
解得：.
∴.
令y=0得，.
解得：，（舍）.
即OM=m.
故答案为：
【分析】以O为坐标原点建立平面直角坐标系，根据题意得顶点坐标和与y轴的交点坐标，设顶点式求出抛物线的解析式，再令y=0，即可求出OM长.
11．【答案】2.2
【知识点】二次函数的实际应用-喷水问题
【解析】【解答】
解：如图，
设CB与y轴交于点D，且CB∥x轴，则四边形OABD为矩形
∴ OA=DB=0.2米，OD=AB=1米
由题知：水池宽为CB，则CB=CD+DB
∵ OD=1米
∴ C的纵坐标为-1
∴ y=
解得x=2或x=-2
∴ CD=2米
∴ 水池宽CB=CD+DB=2.2米
【分析】本题考查二次函数与实际问题的应用，熟悉二次函数的基础性质是解题关键，明确所求的量与抛物线的关系，结合图形性质可得结论。根据AB长，计算抛物线值为-1时的x的值，可得答案。
12．【答案】（-6，8）；
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）；待定系数法求一次函数解析式；待定系数法求二次函数解析式；二次函数与一次函数的综合应用
【解析】【解答】解：由题意：，且，
∴，，，，
即：，，，，
设表达式为，
将，代入
，解得：
∵由先绕顶点旋转180°，再平移得到，与x轴的交点为B、C，
∴设表达式为
将，代入得：
，解得：
∴
∴；
设过定点的直线表达式为，
将代入得：，即：
∴，
设过定点的直线被抛物线、所截得的线段端点横坐标分别为、、、，
∵过定点的直线被抛物线、所截得的线段长相等，
∴
与联立得：
整理得：
根据韦达定理得：，
∴
与联立得：
整理得：
根据韦达定理得：，
∴
∵
即：，
解得：
故答案为：；
【分析】由，可得，，，，将、代入，利用待定系数法即可求出的表达式，将、代入，即可求出的表达式，化为顶点式即可得解；
（2）设过定点的直线表达式为，将代入可得 ，设过定点的直线被抛物线、所截得的线段端点横坐标分别为、、、，由题意得，联立与，整理得，由韦达定理可得：，，利用，并代入化简，同理：联立与，整理得：，由韦达定理及完全平方公式代入化简，由，建立等量关系，求解即可；
13．【答案】解：设每吨降价x万元，则此时售价为(5-x)万元，销售量为：(100+50x)，记每天的“利润”为W，
则W=(5-x-2)(100+50x)=-50x2+50x+300，
∵，-50＜0，
∴当且仅当x=0.5时，W最大，，
此时果商定价为5-0.5=4.5(万元/吨)
答：定价为4.5万元/吨时，其每天的“利润”或“销售收入”最大，最大值为312.5万元.
【知识点】二次函数的实际应用-销售问题
【解析】【分析】根据题意设降价更容易直接表示售价和销售量，进而表示出利润，最后结合二次函数的性质求出其最大值即可.
14．【答案】（1）由题意设y＝ax2+bx+2000，
∵当x＝20时，y＝2104，当x＝40时，y＝2216，
∴，解答
∴x2+5x+2000；
（2）由题意得，
解得x1＝2000，x2＝100，
答：若某月平均每台电子产品的成本为26元，这个月共生产电子产品100台或2000台；
（3）根据题意可得：W＝x（mx+n）-（x2+5x+2000）＝（m- x2+（n-5）x-2000，
∵，
∴，
∴抛物线开口向下.
∵当x=2000台时，销售利润W有最大值，
∴，化简为4000m+n＝45，
∵x＝2000台时，Q＝35＝2000m+n，
∴联立方程组，
∴解得，n＝25.
【知识点】二次函数的实际应用-销售问题；二次函数的其他应用
【解析】【分析】（1）结合表格中的数据，利用待定系数法求出函数解析式即可；
（2）根据题意列出方程，再求解即可；
（3）先根据题意列出函数解析式W＝x（mx+n）-（x2+5x+2000）＝（m- x2+（n-5）x-2000，再分析求解即可.
15．【答案】（1）解：①4m；②∵发球机发射出的篮球在运行过程中离地面的最大高度为3m，
∴由（1）知：，即：，
∴解得：，，
∴该球运行路线的解析式为：，
∴令，则，解得：或（舍），
∴此球落地点离发球机水平距离为；
（2）解：若，
∴，
∴，整理得：，
∴，
∵篮球运行到离地面高度为1m至2.2m之间（包含端点）是最佳接球区间，
又∵距发球机水平距离12m的小刚在前后不挪动位置的前提下，
∴将代入中得：，解得：，
∴将代入中得：，解得：，
∴当时，距发球机水平距离12m的小刚在前后不挪动位置的前提下，能在最佳区间接到球．
【知识点】二次函数的实际应用-抛球问题
【解析】【分析】（1）①根据发球机发射出的篮球运行到距发球机水平距离为6m时，离地面的高度为1m，得到抛物线经过（6，0），从而有对称轴为直线x=3，根据题意得到顶点坐标，即可求出最大高度；
②根据发球机发射出的篮球在运行过程中离地面的最大高度为3m，得到顶点坐标，再根据对称轴和顶点坐标列出方程组，求出函数解析式，将y=-1代入函数解析式即可得到结果；
（2）当k=时，一次函数解析式为y=x，由函数解析式可表示出顶点坐标，将顶点代入一次函数解析式求出b的值，根据由篮球运行到离地面高度为1m至2.2m之间（包含端点）时最佳接球区间且距发球机水平距离12m的小刚在前后不挪动位置的前提下，即可求出a的取值范围．
16．【答案】（1）解：点A的高度为1.5+0.5=2（米），
∴，
∵点A是上边缘抛物线的顶点，设，
又抛物线过点（0，1.5），
，
，
上边缘抛物线的函数解析式为；
令，则
解得：，（舍）
∴米．
（2）解：如图，过点H作轴，交上边缘抛物线于点M，
对于上边缘抛物线，
当时，
解得：，，
则，
∵下边缘抛物线是由上边缘抛物线向左平移得到
下边缘抛物线是由上边缘抛物线向左平移得到的，
∴点B是点C向左平移得到，
由（1）知米，
∴C(6，0)
点的坐标为；
（3）解：的取值范围是．
【知识点】二次函数的实际应用-喷水问题
【解析】【解答】解：根据上边缘抛物线，
，
点的纵坐标为，
，解得，
，
，
当时，随的增大而减小，
当时，要使，
则，
当时，随的增大而增大，且时，，
当时，要使，则，
，灌溉车行驶时喷出的水能浇灌到整个绿化带，
的最大值为，
再看下边缘抛物线，
喷出的水能浇灌到绿化带底部的条件是，
的最小值为2，
综上所述的取值范围是.
故答案为：.
【分析】（1）计算出点A坐标，根据点A为顶点，设表达式为顶点式，待定系数法求出上边缘抛物线的函数解析式，令y=0，求得x的值，即为喷出水的最大射程 ；
（2）点H作轴，交上边缘抛物线于点M，令y=1.5，求得M点坐标；根据MH的长，可得下边缘抛物线是由上边缘抛物线向左平移4米得到，于是可由C的坐标求出平移后的点B的坐标；
（3）把y=0.5代入上边缘抛物线，得，根据DE=3，得d≤.由下边缘抛物线，可得d≥OB，于是d的取值范围.
17．【答案】解：任务1上边缘抛物线的顶点坐标为，
设上边缘拋物线的函数表达式为，
将代入得，解得；
任务2：上边缘抛物线的表达式：，
将代入得，解得(舍去)，，
下边缘水流形状与上边缘相同，且喷水口是最高点，
下边缘抛物线的表达式：，将代入得，解得(舍去)，，
路边的绿化带宽4米，(米)，灌溉车行驶过程中喷出的水能浇灌到整个绿化带；
任务3：根据题意得，将代入有影响，设针打在离地面米的高度不受影响，则.
【知识点】二次函数的实际应用-喷水问题
【解析】【分析】任务1：由顶点坐标设抛物线的顶点式，将点(0，1.6)代入解析式可得即可求出抛物线的解析式；
任务2：求出下边缘水流形状的抛物线，上边缘抛物线令y=0，得x=-8，下边缘抛物线令y=0，得x=-4，即可求出绿化带宽度；
任务3：令x=-6，算出水流的高度为1.6m>1.5m，即有影响，若不受影响则高度在1.6到2米之间即可.
18．【答案】解：任务一：以拱顶为原点，建立如图1所示的直角坐标系，
则顶点为，且经过点．
设该抛物线函数表达式为，
则，
∴，
∴该抛物线的函数表达式是．
任务二：∵水位再上涨达到最高，灯笼底部距离水面至少，灯笼长，
∴悬挂点的纵坐标，
∴悬挂点的纵坐标的最小值是．
当时，，解得或，
∴悬挂点的横坐标的取值范围是．
任务三：有两种设计方案
方案一：如图2（坐标系的横轴，图3同），从顶点处开始悬挂灯笼．
∵，相邻两灯笼悬挂点的水平间距均为，
∴若顶点一侧挂4盏灯笼，则，
若顶点一侧挂3盏灯笼，则，
∴顶点一侧最多可挂3盏灯笼．
∵挂满灯笼后成轴对称分布，
∴共可挂7盏灯笼．
∴最左边一盏灯笼悬挂点的横坐标是．
方案二：如图3，从对称轴两侧开始悬挂灯笼，正中间两盏与对称轴的距离均为，
∵若顶点一侧挂5盏灯笼，则，
若顶点一侧挂4盏灯笼，则，
∴顶点一侧最多可挂4盏灯笼．
∵挂满灯笼后成轴对称分布，
∴共可挂8盏灯笼．
∴最左边一盏灯笼悬挂点的横坐标是．
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数的实际应用-拱桥问题
【解析】【分析】任务一：如图建立直角坐标系，利用待定系数法求出解析式即可；
任务二：根据题意，求出悬挂点的纵坐标，然后根据二次函数的性质求出横坐标的范围即可；
任务三：分情况讨论，方案一：从顶点处开始悬挂灯笼；方案二：从对称轴两侧开始悬挂灯笼，正中间两盏与对称轴的距离均为．
19．【答案】（1）解：（Ⅰ）由题意得，
，
∴，
∴；
（Ⅱ）∵B（0，），A（3，0），
∴直线AB的解析式为：，
设点P（m，），M（m，），
∴
∵B（0，），A（3，0），
∴
∴
∵轴，轴
∴
∴
∴
∴当时，有最大值，其最大值为
（2）解：如图1，
∵抛物线过点D（，0），
∴，
∴，
∴，
把，代入得，
，
∴，
∴，
∵，，，
∴，
∵四边形CDFE是菱形，
∴，
∴E（5，4），
当时，即时，
当时，，
∴G（0，），
∵该抛物线与线段CE没有交点，
∴，
∴，
当时，
当x=5时，，
∴H（5，），
∵抛物线与CE没有交点，
∴，
∴，
综上所述：或．
【知识点】二次函数的实际应用-几何问题
【解析】【分析】（1）（Ⅰ）利用待定系数法求解析式即可解答；
（Ⅱ）设点P（m，m2-2m-3），M（m，m-3），求出PM，P表示出PM+PN，即可解答；
（2）求出OC、CD的值，根据题意求出E点坐标，分两种情况：当 ＜0时，即b＞0时，表示出G点坐标，根据该抛物线与线段CE没有交点，则G的纵坐标大于4，求出b的取值范围；当b＜0时，表示出点H坐标，根据该抛物线与线段CE没有交点，则H的纵坐标小于4，求出b的取值范围，即可解答。
1 / 1【培优版】2024-2025学年浙教版数学九上1.4二次函数的应用 同步练习
一、选择题
1．（2024·梅县区模拟）从地面竖直向上抛出一小球，小球的高度米与运动时间秒之间的解析式是，则小球到达最高高度时，运动的时间是 （　　）
A．秒 B．秒 C．秒 D．秒
【答案】C
【知识点】二次函数的实际应用-抛球问题
【解析】【解答】解：h＝30t﹣5t2＝﹣5（t﹣3）2+45，
∵﹣5＜0，0≤t≤6，
∴当t＝3时，h有最大值，最大值为45，
∴小球运动3秒时，小球最高，
故答案为：C．
【分析】求出h有最大值时t的值即可．
2．（2021·黄冈）如图， 为矩形 的对角线，已知 ， .点P沿折线 以每秒1个单位长度的速度运动（运动到D点停止），过点P作 于点E，则 的面积y与点P运动的路程x间的函数图象大致是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】一次函数中的动态几何问题；二次函数的实际应用-几何问题
【解析】【解答】解： 四边形 是矩形， ， ，
，
，
由题意，分以下两种情况：
（1）当点 在 上，即 时，
在 中， ，
在 中， ， ，
，
；
（2）如图，当点 在 上，即 时，
四边形 是矩形， ，
四边形 是矩形，
，
，
综上， 与 间的函数关系式为 ，
观察四个选项可知，只有选项D的图象符合，
故答案为：D.
【分析】利用勾股定理求出AC的长，即可求出AC+AD的长；再分情况讨论：设CP=x，当点 在 上，即 时，利用锐角三角函数的定义求出sin∠ACB和cos∠ACB的值，再利用解直角三角形表示出CE，PE的长；然后利用三角形的面积公式可得到y与x之间的函数解析式；当点 在 上，即 时，易证四边形CEPD是矩形，利用矩形的性质可得到PE，CE的长，再利用三角形的面积公式可得到y与x之间的函数解析式，根据两函数解析式及取值范围，可得答案.
3．（2023八下·长沙期末）为了使居住环境更加美观，某小区建造了一个小型喷泉，水流从地面上的点O喷出，在各个方向上沿形状相同的抛物线落到地面，某方向上抛物线的形状如图所示，落点A到点O的距离为4，水流喷出的高度与水平距离之间近似满足函数关系式，则水流喷出的最大高度为（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】二次函数的实际应用-喷水问题
【解析】【解答】解：由题意得A（4，0），
把A（4，0）代入解得，
∴，
∴水流喷出的最大高度为，
故答案为：A
【分析】先根据题意得到点A的坐标，进而将点A代入即可求出a，从而得到解析式，再将抛物线的解析式转化为顶点式即可求解。
4．（2023九上·吉林月考）如图①是太原晋阳湖公园一座抛物线型拱桥，按如图②所示建立坐标系，得到函数y=x2，在正常水位时水面宽AB =30米，当水位上升5米时，则水面宽CD= （　　）
A．20米 B．15米 C．10米 D．8米
【答案】A
【知识点】二次函数的实际应用-拱桥问题
【解析】【解答】解：∵AB=30，∴当x=15时，y=-·（15）2=-9，
当水位上升5米时，y=-9+5=-4，
∴-4=-x2，解得x=±10，
∴水面宽为20米；
故答案为：A.
【分析】根据题意，求出正常水位时水面的高度，继而根据水位上升，计算得到上升后水位的宽度即可。
5．（2022九上·拱墅月考）地面上一个小球被推开后笔直滑行，滑行的距离s与时间t的函数关系如图中的部分抛物线所示（其中P是该抛物线的顶点），则下列说法正确的是（　　）
A．小球滑行6秒停止 B．小球滑行12秒停止
C．小球滑行6秒回到起点 D．小球滑行12秒回到起点
【答案】A
【知识点】二次函数的实际应用-抛球问题
【解析】【解答】解：如图所示：滑行的距离s与时间t的函数关系可得，当t＝6秒时，滑行距离最大，即此时小球停止.
故答案为：A.
【分析】由图象可得：当t＝6秒时，滑行距离最大，此时小球处于停止状态，据此判断.
6．（2023九上·浙江月考）如图，正方形的边长为，、、、分别为各边上的点，且，设小正方形的面积为，为，则关于的函数图象大致是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】二次函数的实际应用-几何问题
【解析】【解答】解：根据题意，，则，，
由勾股定理可知，
由正方形的面积公式可知，，即，
又∵，
∴；
则二次函数的性质，y关于x的函数图象为：
故答案为：B.
【分析】根据，可得，，先利用勾股定理可得，再根据正方形的边长可知，即可得出y关于x的图像.
7．（2024·浙江模拟）已知是方程的两个根，且是抛物线1)与轴的两个交点的横坐标，且，则的大小关系为（　　）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】二次函数图象与坐标轴的交点问题；二次函数与不等式（组）的综合应用；二次函数与一元二次方程的综合应用
【解析】【解答】解：∵是方程的两个根，，a<0
∴是是抛物线与轴的两个交点的横坐标，
令y2=0，可得，即.
∴是抛物线与y=x的两个交点的横坐标，大概图象如图：
由图象可知， .
故答案为：B.
【分析】由a<0可知抛物线开口向下，从函数的角度可以将x3，x4理解成抛物线y=ax2+ bx+c与直线y=x的两个交点的横坐标，作出大概图象，数形结合即可解答.
8．（2024·眉山） 如图，二次函数的图象与轴交于点，与轴交于点，对称轴为直线，下列四个结论：①；②；③；④若，则，其中正确结论的个数为（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4
【答案】C
【知识点】二次函数图象与系数的关系；二次函数的最值；二次函数与不等式（组）的综合应用；二次函数与一元二次方程的综合应用
【解析】【解答】解：①函数图象开口方向向上，
；
对称轴在轴右侧，
、异号，
，
抛物线与轴交点在轴负半轴，
，
，故①错误；
②二次函数的图象与轴交于点，与轴交于点，对称轴为直线，
，
，
时，，
，
，
，故②正确；
③对称轴为直线，，
最小值，
，故③正确；
④，
，
，
，
，
，
，
，
故④正确；
综上所述，正确的有②③④，
故选：C．
【分析】利用抛物线的开口方向可得到a的取值范围，利用对称轴的位置可确定出b的取值范围，再根据抛物线与y轴的交点情况，可确定出c的取值范围，据此可对①作出判断；利用抛物线与x轴的交点坐标及对称轴，可得到b=-2a，a-b+c=0，据此可得到3a+c的值，可对②作出判断；利用函数图象及对称轴，可得到函数的最小值为a+b+c，据此可对③作出判断；利用一元二次方程根与系数，可得到c=-3a，利用c的取值范围，可得到a的取值范围，再求出a+b+c=-4a，据此可得到a+b+c的取值范围，可对④作出判断；综上所述可得到正确结论的个数.
二、填空题
9．（2024·自贡）九（1）班劳动实践基地内有一块面积足够大的平整空地．地上两段围墙于点O（如图），其中上的段围墙空缺．同学们测得m，m，m，m，m．班长买来可切断的围栏m，准备利用已有围墙，围出一块封闭的矩形菜地，则该菜地最大面积是　 　．
【答案】46.4
【知识点】二次函数的实际应用-几何问题
【解析】【解答】解：依题意，为围出最大的矩形，此时矩形两边需尽可能利用围墙，
故在划分的四块区域中选择最大的左上角一块，设在OA上所围的边长为OD=x，
①如图，若围住的区域为ODGF，此时x≤8，易分析长方形宽：DG>5，
在矩形ODGF中，
GF=OD=x，DG=OF，
又∵围栏总长=OE+CF+FG+DG=1.4+(OF-OC)+x+DG=16，
即1.4+(DG-5)+x+DG=16，
∴DG=，
此时，
由二次函数性质可知，对称轴所在直线x=9.8，且开口a<0，故此时x≤8的图象随x增大而增大，
∴当x=8时，.
②如图，若围住的区域为ODGF，此时x＞8，若DG≥5，
同理，DG=，即，解得x≤8.8，
此时，
由二次函数性质可知，对称轴所在直线x=6.9，且开口a<0，故此时x＞8的图象随x增大而减小，
∴当x=8时，.
即当8≤x≤8.8时，其围出矩形的面积值均小于46.4
③如图，若围住的区域为ODGF，此时x＞8，若DG<5，
同理，DG=22.6-2x，即，解得x>8.8
此时，
由二次函数性质可知，对称轴所在直线x=5.65，且开口a<0，故此时x＞8的图象随x增大而减小，
∴当x=8.8时，.
即当x>8.8时，其围出矩形的面积值均小于44.
综上所述，围成矩形菜地的最大面积是46.4.
故答案为：46.4.
【分析】根据围成面积最大的矩形易分析需尽可能利用较多的墙作围栏，进而根据围墙的情况不同进行分类，设元表示该矩形的长与宽，最后利用二次函数的最值分析其最值即可.（注：结合周长固定的长方形中正方形面积最大，一定程度减少分类讨论的时间损耗）.
10．（2024·广西） 如图， 壮壮同学投掷实心球， 出手 (点 处) 的高度 是 ， 出手后实心球沿一段抛物线运行， 到达最高点时，水平距离是 ， 高度是 . 若实心球落地点为 ， 则OM=　 　m。
【答案】
【知识点】二次函数的实际应用-抛球问题
【解析】【解答】解：以O为坐标原点，om所在直线为x轴建立直角坐标系如图：
由题意得：点P坐标为，顶点坐标为（5，4）.
设抛物线的解析式为：.
把点P坐标代入得：.
解得：.
∴.
令y=0得，.
解得：，（舍）.
即OM=m.
故答案为：
【分析】以O为坐标原点建立平面直角坐标系，根据题意得顶点坐标和与y轴的交点坐标，设顶点式求出抛物线的解析式，再令y=0，即可求出OM长.
11．（2024·滨江二模）如图，一建筑物外墙上嵌有一排一模一样的垂直于墙壁的钢管，这些钢管的下面有一个一边靠墙的长方体水池，水从钢管流出的水都成抛物线，若以钢管的出水口点为坐标原点，建立如图所示的平面直角坐标系，且抛物线的函数表达式都为．若露在墙壁外面的钢管的长度米（钢管的直径长度忽略不计），钢管离水池水面的高度米．要使钢管中流出的水都落在水池里，那水池宽至少是　 　米．
【答案】2.2
【知识点】二次函数的实际应用-喷水问题
【解析】【解答】
解：如图，
设CB与y轴交于点D，且CB∥x轴，则四边形OABD为矩形
∴ OA=DB=0.2米，OD=AB=1米
由题知：水池宽为CB，则CB=CD+DB
∵ OD=1米
∴ C的纵坐标为-1
∴ y=
解得x=2或x=-2
∴ CD=2米
∴ 水池宽CB=CD+DB=2.2米
【分析】本题考查二次函数与实际问题的应用，熟悉二次函数的基础性质是解题关键，明确所求的量与抛物线的关系，结合图形性质可得结论。根据AB长，计算抛物线值为-1时的x的值，可得答案。
12．（2023九上·温岭期中）如图，已知抛物线y1的开口向上且顶点D在y轴的负半轴上，y2由y1先绕顶点旋转180°，再平移得到，它们与x轴的交点为A、B、C且AB=BC=2OD=4，则抛物线y2的顶点E的坐标是　 　；若过定点（1，1）的直线被抛物线y1、y2所截得的线段长相等，则这条直线的解析式为　 　.
【答案】（-6，8）；
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）；待定系数法求一次函数解析式；待定系数法求二次函数解析式；二次函数与一次函数的综合应用
【解析】【解答】解：由题意：，且，
∴，，，，
即：，，，，
设表达式为，
将，代入
，解得：
∵由先绕顶点旋转180°，再平移得到，与x轴的交点为B、C，
∴设表达式为
将，代入得：
，解得：
∴
∴；
设过定点的直线表达式为，
将代入得：，即：
∴，
设过定点的直线被抛物线、所截得的线段端点横坐标分别为、、、，
∵过定点的直线被抛物线、所截得的线段长相等，
∴
与联立得：
整理得：
根据韦达定理得：，
∴
与联立得：
整理得：
根据韦达定理得：，
∴
∵
即：，
解得：
故答案为：；
【分析】由，可得，，，，将、代入，利用待定系数法即可求出的表达式，将、代入，即可求出的表达式，化为顶点式即可得解；
（2）设过定点的直线表达式为，将代入可得 ，设过定点的直线被抛物线、所截得的线段端点横坐标分别为、、、，由题意得，联立与，整理得，由韦达定理可得：，，利用，并代入化简，同理：联立与，整理得：，由韦达定理及完全平方公式代入化简，由，建立等量关系，求解即可；
三、解答题
13．（2024·广东）广东省全力实施“百县千镇万村高质量发展工程”，2023年农产品进出口总额居全国首位，其中荔枝鲜果远销欧美.某果商以每吨2万元的价格收购早熟荔枝，销往国外.若按每吨5万元出售，平均每天可售出100吨.市场调查反映：如果每吨降价1万元，每天销售量相应增加50吨.该果商如何定价才能使每天的“利润”或“销售收入”最大 并求出其最大值.（题中“元”为人民币）
【答案】解：设每吨降价x万元，则此时售价为(5-x)万元，销售量为：(100+50x)，记每天的“利润”为W，
则W=(5-x-2)(100+50x)=-50x2+50x+300，
∵，-50＜0，
∴当且仅当x=0.5时，W最大，，
此时果商定价为5-0.5=4.5(万元/吨)
答：定价为4.5万元/吨时，其每天的“利润”或“销售收入”最大，最大值为312.5万元.
【知识点】二次函数的实际应用-销售问题
【解析】【分析】根据题意设降价更容易直接表示售价和销售量，进而表示出利润，最后结合二次函数的性质求出其最大值即可.
14．（2024·常德模拟）某电子公司生产并销售一种新型电子产品，经过市场调查发现：每月生产x台电子产品的成本y（元）由三部分组成，分别是生产线投入、材料成本、人工成本，其中生产线投入固定不变为2000元，材料成本（单位：元）与x成正比，人工成本（单位：元）与x的平方成正比，在生产过程中得到如下数据：
x(单位：台) 20 40
y(单位：元) 2104 2216
（1）求y与x之间的函数关系式；
（2）若某月平均每台电子产品的成本为26元，求这个月共生产电子产品多少台？
（3）若每月生产的电子产品均能售出，电子产品的售价也随着x的增大而适当增大，设每台电子产品的售价为Q（单位：元），且有Q＝mx+n（且m，n均为常数），已知当x＝2000台时， 0为35元，且此时销售利润W（单位：元）有最大值，求m，n的值.（销售利润＝销售收入-成本）
【答案】（1）由题意设y＝ax2+bx+2000，
∵当x＝20时，y＝2104，当x＝40时，y＝2216，
∴，解答
∴x2+5x+2000；
（2）由题意得，
解得x1＝2000，x2＝100，
答：若某月平均每台电子产品的成本为26元，这个月共生产电子产品100台或2000台；
（3）根据题意可得：W＝x（mx+n）-（x2+5x+2000）＝（m- x2+（n-5）x-2000，
∵，
∴，
∴抛物线开口向下.
∵当x=2000台时，销售利润W有最大值，
∴，化简为4000m+n＝45，
∵x＝2000台时，Q＝35＝2000m+n，
∴联立方程组，
∴解得，n＝25.
【知识点】二次函数的实际应用-销售问题；二次函数的其他应用
【解析】【分析】（1）结合表格中的数据，利用待定系数法求出函数解析式即可；
（2）根据题意列出方程，再求解即可；
（3）先根据题意列出函数解析式W＝x（mx+n）-（x2+5x+2000）＝（m- x2+（n-5）x-2000，再分析求解即可.
15．（2024九下·石阡月考） 某俱乐部购进一台如图1的篮球发球机，用于球员篮球训练．该发球机可以以不同力度发射出篮球，篮球运行的路线都是抛物线．出球口离地面高1米，以出球口为原点，平行于地面的直线为x轴，垂直于地面的直线为y轴，建立平面直角坐标系．力度变化时，抛物线的顶点在直线上移动，从而产生一组不同的抛物线（如图2）．
（1）若．
①发球机发射出的篮球运行到距发球机水平距离为6m时，离地面的高度为1m．请直接写出该球在运行过程中离地面的最大高度；
②若发球机发射出的篮球在运行过程中离地面的最大高度为3m，求该球运行路线的解析式，及此球落地点离发球机的水平距离；
（2）球员小刚训练时发现：当篮球运行到离地面高度为1m至2.2m之间（包含端点）是最佳接球区间，若，直接写出当a满足什么条件时，距发球机水平距离12m的小刚在前后不挪动位置的前提下，能在最佳区间接到球．
【答案】（1）解：①4m；②∵发球机发射出的篮球在运行过程中离地面的最大高度为3m，
∴由（1）知：，即：，
∴解得：，，
∴该球运行路线的解析式为：，
∴令，则，解得：或（舍），
∴此球落地点离发球机水平距离为；
（2）解：若，
∴，
∴，整理得：，
∴，
∵篮球运行到离地面高度为1m至2.2m之间（包含端点）是最佳接球区间，
又∵距发球机水平距离12m的小刚在前后不挪动位置的前提下，
∴将代入中得：，解得：，
∴将代入中得：，解得：，
∴当时，距发球机水平距离12m的小刚在前后不挪动位置的前提下，能在最佳区间接到球．
【知识点】二次函数的实际应用-抛球问题
【解析】【分析】（1）①根据发球机发射出的篮球运行到距发球机水平距离为6m时，离地面的高度为1m，得到抛物线经过（6，0），从而有对称轴为直线x=3，根据题意得到顶点坐标，即可求出最大高度；
②根据发球机发射出的篮球在运行过程中离地面的最大高度为3m，得到顶点坐标，再根据对称轴和顶点坐标列出方程组，求出函数解析式，将y=-1代入函数解析式即可得到结果；
（2）当k=时，一次函数解析式为y=x，由函数解析式可表示出顶点坐标，将顶点代入一次函数解析式求出b的值，根据由篮球运行到离地面高度为1m至2.2m之间（包含端点）时最佳接球区间且距发球机水平距离12m的小刚在前后不挪动位置的前提下，即可求出a的取值范围．
16．（2024九下·杭州月考）如图，灌溉车为绿化带浇水，喷水口离地竖直高度为．可以把灌溉车喷出水的上、下边缘抽象为平面直角坐标系中两条抛物线的部分图象；把绿化带横截面抽象为矩形，其水平宽度，竖直高度．下边缘抛物线是由上边缘抛物线向左平移得到，上边抛物线最高点离喷水口的水平距离为、高出喷水口，灌溉车到绿化带的距离为（单位：）
（1）求上边缘抛物线的函数解析式，并求喷出水的最大射程；
（2）求下边缘抛物线与x轴的正半轴交点的坐标；
（3）要使灌溉车行驶时喷出的水能浇灌到整个绿化带，直接写出的取值范围
【答案】（1）解：点A的高度为1.5+0.5=2（米），
∴，
∵点A是上边缘抛物线的顶点，设，
又抛物线过点（0，1.5），
，
，
上边缘抛物线的函数解析式为；
令，则
解得：，（舍）
∴米．
（2）解：如图，过点H作轴，交上边缘抛物线于点M，
对于上边缘抛物线，
当时，
解得：，，
则，
∵下边缘抛物线是由上边缘抛物线向左平移得到
下边缘抛物线是由上边缘抛物线向左平移得到的，
∴点B是点C向左平移得到，
由（1）知米，
∴C(6，0)
点的坐标为；
（3）解：的取值范围是．
【知识点】二次函数的实际应用-喷水问题
【解析】【解答】解：根据上边缘抛物线，
，
点的纵坐标为，
，解得，
，
，
当时，随的增大而减小，
当时，要使，
则，
当时，随的增大而增大，且时，，
当时，要使，则，
，灌溉车行驶时喷出的水能浇灌到整个绿化带，
的最大值为，
再看下边缘抛物线，
喷出的水能浇灌到绿化带底部的条件是，
的最小值为2，
综上所述的取值范围是.
故答案为：.
【分析】（1）计算出点A坐标，根据点A为顶点，设表达式为顶点式，待定系数法求出上边缘抛物线的函数解析式，令y=0，求得x的值，即为喷出水的最大射程 ；
（2）点H作轴，交上边缘抛物线于点M，令y=1.5，求得M点坐标；根据MH的长，可得下边缘抛物线是由上边缘抛物线向左平移4米得到，于是可由C的坐标求出平移后的点B的坐标；
（3）把y=0.5代入上边缘抛物线，得，根据DE=3，得d≤.由下边缘抛物线，可得d≥OB，于是d的取值范围.
四、实践探究题
17．（2024·南山模拟）【项目式学习】根据以下素材，探索完成任务.
绿化带灌溉车的操作方案
素材1 一辆绿化带灌溉车正在作业，水从喷水口喷出，水流的上下两边缘可以抽象为两条抛物线的一部分：喷水口离开地面高1.6米，上边缘抛物线最高点离喷水口的水平距离为3米，高出喷水口0.9米，下边缘水流形状与上边缘相同，且喷水口是最高点.
素材2 路边的绿化带宽4米 　
素材3 绿化带正中间种植了行道树，为了防治病虫害、增加行道树的成活率，园林工人给树木“打针”，针一般打在离地面1.5米到2米的高度(包含端点).
问题解决
任务1 确定上边缘水流形状 建立如图所示直角坐标系，求上边缘抛物线的函数表达式
任务2 探究灌溉范围 灌溉车行驶过程中喷出的水能浇灌到整个绿化带吗 请说明理由
任务3 拟定设计方案 灌溉时，发现水流的上下两边缘冲击力最强，喷到针筒容易造成针筒脱落，那么请问在满足最大灌溉面积的前提下对行道树“打针”是否有影响，并说明理由；若你认为有影响，请给出具体的“打针”范围.
【答案】解：任务1上边缘抛物线的顶点坐标为，
设上边缘拋物线的函数表达式为，
将代入得，解得；
任务2：上边缘抛物线的表达式：，
将代入得，解得(舍去)，，
下边缘水流形状与上边缘相同，且喷水口是最高点，
下边缘抛物线的表达式：，将代入得，解得(舍去)，，
路边的绿化带宽4米，(米)，灌溉车行驶过程中喷出的水能浇灌到整个绿化带；
任务3：根据题意得，将代入有影响，设针打在离地面米的高度不受影响，则.
【知识点】二次函数的实际应用-喷水问题
【解析】【分析】任务1：由顶点坐标设抛物线的顶点式，将点(0，1.6)代入解析式可得即可求出抛物线的解析式；
任务2：求出下边缘水流形状的抛物线，上边缘抛物线令y=0，得x=-8，下边缘抛物线令y=0，得x=-4，即可求出绿化带宽度；
任务3：令x=-6，算出水流的高度为1.6m>1.5m，即有影响，若不受影响则高度在1.6到2米之间即可.
18．根据以下素材， 探索完成任务．
如何设计拱桥景观灯的悬挂方案？
素材1 图 38-2①中有一座拱桥， 图 38-2②是其抛物线形桥拱的示意图， 某时测得水面宽 ， 拱顶离水面 ． 据调查， 该河段水位在此基础上再涨 达到最高．
素材2 为迎佳节，拟在图拱桥38-2①桥洞前面的桥拱上悬挂40 cm长的灯笼，如图38-3.为了安全，灯笼底部距离水面不小于1 m；为了实效，相邻两盏灯笼悬挂点的水平间距均为1.6 m；为了美观，要求在符合条件处都挂上灯笼，且挂满后成轴对称分布.
问题解决
任务1 确定桥拱形状 在图38-22中建立合适的平面直角坐标系，求抛物线的函数表达式.
任务2 探究悬挂范围 在你所建立的坐标系中，仅在安全的条件下，确定悬挂点的纵坐标的最小值和横坐标的取值范围.
任务3 拟定设计方案 给出一种符合所有悬挂条件的灯笼数量，并根据你所建立的坐标系，求出最左边一盏灯笼悬挂点的横坐标.
【答案】解：任务一：以拱顶为原点，建立如图1所示的直角坐标系，
则顶点为，且经过点．
设该抛物线函数表达式为，
则，
∴，
∴该抛物线的函数表达式是．
任务二：∵水位再上涨达到最高，灯笼底部距离水面至少，灯笼长，
∴悬挂点的纵坐标，
∴悬挂点的纵坐标的最小值是．
当时，，解得或，
∴悬挂点的横坐标的取值范围是．
任务三：有两种设计方案
方案一：如图2（坐标系的横轴，图3同），从顶点处开始悬挂灯笼．
∵，相邻两灯笼悬挂点的水平间距均为，
∴若顶点一侧挂4盏灯笼，则，
若顶点一侧挂3盏灯笼，则，
∴顶点一侧最多可挂3盏灯笼．
∵挂满灯笼后成轴对称分布，
∴共可挂7盏灯笼．
∴最左边一盏灯笼悬挂点的横坐标是．
方案二：如图3，从对称轴两侧开始悬挂灯笼，正中间两盏与对称轴的距离均为，
∵若顶点一侧挂5盏灯笼，则，
若顶点一侧挂4盏灯笼，则，
∴顶点一侧最多可挂4盏灯笼．
∵挂满灯笼后成轴对称分布，
∴共可挂8盏灯笼．
∴最左边一盏灯笼悬挂点的横坐标是．
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数的实际应用-拱桥问题
【解析】【分析】任务一：如图建立直角坐标系，利用待定系数法求出解析式即可；
任务二：根据题意，求出悬挂点的纵坐标，然后根据二次函数的性质求出横坐标的范围即可；
任务三：分情况讨论，方案一：从顶点处开始悬挂灯笼；方案二：从对称轴两侧开始悬挂灯笼，正中间两盏与对称轴的距离均为．
五、综合题
19．（2024·平江二模）已知抛物线．
（1）如图①，若抛物线图象与x轴交于点A（3，0），与y轴交点B（0，-3），连接AB．
（Ⅰ）求该抛物线所表示的二次函数表达式；
（Ⅱ）若点P是第四象限内抛物线上一动点，过点P作轴于点H，与线段AB交于点M，作轴于点K，与线段AB交于点N，求的最大值
（2）如图②，直线与y轴交于点C，同时与抛物线交于点D（，0），以线段CD为边作菱形CDFE，使点F落在x轴的正半轴上，若该抛物线与线段CE没有交点，求b的取值范围．
【答案】（1）解：（Ⅰ）由题意得，
，
∴，
∴；
（Ⅱ）∵B（0，），A（3，0），
∴直线AB的解析式为：，
设点P（m，），M（m，），
∴
∵B（0，），A（3，0），
∴
∴
∵轴，轴
∴
∴
∴
∴当时，有最大值，其最大值为
（2）解：如图1，
∵抛物线过点D（，0），
∴，
∴，
∴，
把，代入得，
，
∴，
∴，
∵，，，
∴，
∵四边形CDFE是菱形，
∴，
∴E（5，4），
当时，即时，
当时，，
∴G（0，），
∵该抛物线与线段CE没有交点，
∴，
∴，
当时，
当x=5时，，
∴H（5，），
∵抛物线与CE没有交点，
∴，
∴，
综上所述：或．
【知识点】二次函数的实际应用-几何问题
【解析】【分析】（1）（Ⅰ）利用待定系数法求解析式即可解答；
（Ⅱ）设点P（m，m2-2m-3），M（m，m-3），求出PM，P表示出PM+PN，即可解答；
（2）求出OC、CD的值，根据题意求出E点坐标，分两种情况：当 ＜0时，即b＞0时，表示出G点坐标，根据该抛物线与线段CE没有交点，则G的纵坐标大于4，求出b的取值范围；当b＜0时，表示出点H坐标，根据该抛物线与线段CE没有交点，则H的纵坐标小于4，求出b的取值范围，即可解答。
1 / 1