【培优版】2024-2025学年浙教版数学九上1.3二次函数的性质 同步练习
一、选择题
1．（2024·达州）抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于两点，其中一个交点的横坐标大于1，另一个交点的横坐标小于1，则下列结论正确的是（ ）
A．b+c＞1 B．b＝2 C．b2+4c＜0 D．c＜0
【答案】A
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）；二次函数图象与系数的关系；二次函数图象与坐标轴的交点问题
【解析】【解答】解：∵抛物线y=-x2+bx+c与x轴交于两点，分别为（x1，0），（x2，0），且x1＜x2，
∴x1-1＜0，x2-1＞0，
∴（x1-1）（x2-1）＜0，
∴x1x2-(x1+x2)+1＜0，
由一元二次方程根与系数的关系得：-c-b+1＜0，
∴b+c＞1.故选项A正确，符合题意；
无法确定b和c的值，故B和D错误；
因为函数与x轴有两个交点，
∴b2-4ac=b2+4c>0，故选项C错误；
故答案为：A.
【分析】抛物线y=-x2+bx+c与x轴交于两点，分别为（x1，0），（x2，0），且x1＜x2，根据题意可得（x1-1）（x2-1）＜0，再结合一元二次方程根与系数的关系可判断求解.
2．（2024·新昌模拟）已知二次函数y＝ax2＋bx＋c（a≠0），当y＜n时，x的取值范围是t－3＜x＜1－t，且该二次函数的图象经过点M（3，m2＋3），N（d，2m）两点，则d的值不可能是（ ）
A．－3 B．－1 C．2 D．4
【答案】D
【知识点】二次函数y=ax²+bx+c的图象；二次函数y=ax²+bx+c的性质
【解析】【解答】解：∵ 二次函数y＝ax2＋bx＋c（a≠0），当y＜n时，x的取值范围是t－3＜x＜1－t，
∴抛物线开口向上，对称轴为直线x==-1，
∵ 该二次函数的图象经过点M（3，m2＋3），N（d，2m）两点 ，
∴点M（3，m2＋3）关于对称轴的对称点为（-5，m2＋3），
∴-5＜d＜3，
∴d不可能为4.
故答案为：D.
【分析】由y＜n时，x的取值范围是t－3＜x＜1－t， 可确定抛物线开口向上及对称轴，再根据二次函数的性质求解即可.
3．（2024·惠城模拟）如图所示，抛物线经过矩形ABCD的三个顶点A，B，D，则点C的坐标为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】矩形的性质；二次函数y=ax²+bx+c的性质
【解析】【解答】解：令y=0，则，
解得，
∴B（-6，0），D（2，0），
令x=0，则，
∴，
∵四边形ABCD为矩形，
∴AB=CD，AB//CD，
∵0-6=-6，，
∴点A到点B的坐标变化为向左平移6个单位，再向下平移个单位，
∴点D到点C的坐标变化为向左平移6个单位，再向下平移个单位，
∴2-6=-4，，
∴.
故答案为：C.
【分析】根据函数图象与性质得到点B（-6，0），D（2，0），的坐标，根据矩形的性质得到点A到点B的坐标变化即为点D到点C的坐标变化，据此即可得到答案.
4．（2024·滨江二模）已知二次函数的图象经过点，，．当时，该函数有最大值和最小值，则（ ）
A．有最大值 B．无最大值 C．有最小值 D．无最小值
【答案】B
【知识点】二次函数的最值
【解析】【解答】解：∵ 二次函数的图象经过点，，
∴ 对称轴==0，即对称轴为y轴
∴=0，则b=0
∴ 二次函数为
把，代入得
解得a=，c=
∴
∵ 当时，该函数有最大值和最小值，
∴ x=m，函数最大值p=； x=m+1，函数最小值q=；
∴
∵ m≥0
∴ p-q最小值为，无最大值.
故答案为B
【分析】本题考查二次函数的区间最值，对称轴，开口方向，点和函数的关系，求出函数开口方向，对称轴是解题关键。由，得对称轴为y轴；代入点坐标，得；根据所给区间，结合开口方向，对称轴，求出 x=m，函数最大值p=； x=m+1，函数最小值q=；计算 ；结合m≥0，可得 p-q最小值为，无最大值.
5．（2019九上·凤山期中）设一元二次方程 的两根分别为 ，且 ，则
满足（ ）
A． B．
C． D． 且
【答案】D
【知识点】二次函数图象与坐标轴的交点问题
【解析】【解答】解：如图，
令m=0，
则函数y=（x-1）（x-2）的图象与x轴的交点分别为（1，0），（2，0），
故此函数的图象为：
∵m＞0，
∴原顶点沿抛物线对称轴向下移动，两个根沿对称轴向两边逐步增大，
∴α＜1，β＞2.
故答案为：D.
【分析】先令m=0求出函数y=（x-1）（x-2）的图象与x轴的交点，画出函数图象，利用数形结合即可求出α，β的取值范围.
6．（2024·南充模拟）如图，抛物线与x轴交于点A(－6，0)．点，是抛物线上两点，当t≤x≤t＋3时，二次函数最大值记为，最小值记为，设，则m的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】二次函数的最值；二次函数y=ax²+bx+c的性质
【解析】【解答】解：(1)当点P，Q均在对称轴x＝－2左侧时，有－6≤t<－5，，
，则，
∵m随t的增大而减小，－6≤t<－5，∴
(2)当点P在对称轴x＝－2左侧，Q在对称轴x＝－2右侧时
①若点P距对称轴的距离大于点Q距对称轴的距离时，有－5≤t<－3.5，，
，则，
对称轴：t＝－2，在对称轴左侧m随t的增大而减小，∴
②若点P距对称轴的距离小于点Q距对称轴的距离时，
当－3.5≤t≤－3时，，，
则，
对称轴：t＝－5，在对称轴左侧m随t的增大而增大，∴
(3)∵－6≤t≤0，∴点P，Q不可能均在对称轴x＝－2右侧．
综上可得：，
故答案为：D．
【分析】先求出二次函数的对称轴是直线x=-2，分三种情况讨论：当点P，Q均在对称轴左侧；当点P在对称轴左侧，Q在对称轴右侧时；若点P距对称轴的距离小于点Q距对称轴的距离时，分别根据抛物线的最值列式计算，求解即可．
7．（2024九上·青县期末）如图，把二次函数的图象在x轴上方的部分沿着x轴翻折，得到的新函数叫做的“陷阱”函数．小明同学画出了的“陷阱”函数的图象，如图所示并写出了关于该函数的4个结论，其中正确结论的个数为（ ）
①图象具有对称性，对称轴是直线； ②由图象得，，；③该“陷阱”函数与y轴交点坐标为；④的“陷阱”函数与的“陷阱”函数的图象是完全相同的．
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【知识点】二次函数图象与坐标轴的交点问题；二次函数y=ax²+bx+c的图象；二次函数y=ax²+bx+c的性质
【解析】【解答】解：①∵二次函数的图象与x轴的交点为：，，
∴二次函数图象的对称轴为直线，故此说法正确；
②由函数图象可知，原二次函数的顶点坐标为，
∴该二次函数的解析式为：，
把代入得：，
解得：，
∴
，
∴，，，故原说法错误；
③把代入得：，
∴原函数与y轴的交点坐标为，
∵把二次函数的图象在x轴上方的部分沿着x轴翻折，得到的新函数叫做的“陷阱”函数，
∴该“陷阱”函数与y轴交点坐标为，故此说法正确；
④∵，
∴的图象与的图象关于x轴对称，
∴的“陷阱”函数与的“陷阱”函数的图象是完全相同，故此说法正确；
综上分析可知，正确的结论有3个，
故答案为：C
【分析】①根据二次函数与坐标轴的交点问题结合题意进行判断即可求解；②根据题意求出原函数的解析式，进而即可求解；③先根据题意运用二次函数与坐标轴的交点问题求出原函数与y轴的交点，然后得出新的函数与y轴的交点坐标进行判断即可；④先结合题意得到的图象与的图象关于x轴对称，进而即可求解。
8．（2024九上·祁东期末）二次函数的顶点坐标为，其部分图象如图所示，下列结论：①；②③若点，点是函数图象上的两点，则；④关于x的方程无实数根；其中正确结论有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【知识点】二次函数图象与系数的关系；二次函数y=ax²+bx+c的性质
【解析】【解答】解：二次函数开口往下，
，
对称轴为直线，
，
抛物线与y轴交于正半轴，
，
，故①正确；
抛物线的对称轴为，与x轴的交点在和之间，与x轴的另一个交点在和之间，
当时，，即故②正确；
关于直线的对称点为，且
故③错误
抛物线的顶点坐标为，
抛物线与直线只有一个交点，
抛物线与直线无交点，
方程无实数根，故④正确
综上所述：一共有①②④正确；
故选：C
【分析】利用二次函数的图象与系数的关系可得a、b、c的正负，再利用二次函数的性质逐项判断即可。
二、填空题
9．（2023九上·期中）已知二次函数（m为常数）的图象与x轴有交点，且当x＜-3时，y随x的增大而增大，则m的取值范围是
【答案】
【知识点】二次函数图象与系数的关系；二次函数图象与坐标轴的交点问题；二次函数y=ax²+bx+c的性质
【解析】【解答】解：二次函数（m为常数）的图象与x轴有交点 ，则令得则解得，又因为当x＜-3时，y随x的增大而增大 ，且，函数开口向下，则对称轴直线方程：，综上所述
故答案为：.
【分析】本题主要考查二次函数图象的性质.令得则解得又因为当x＜-3时，y随x的增大而增大 ，且，函数开口向下，则对称轴直线方程：.
10．（2023九上·杭州开学考）如图，在纸片中，，，，点，分别在、边上，连接，将沿翻折，使点落在点的位置，且四边形是菱形．
（1）若点在边上时，则菱形的边长为 ；
（2）连接，则的长的最小值为 ．
【答案】（1）
（2）1
【知识点】二次函数的最值；勾股定理；菱形的性质
【解析】【解答】解：，，，
，，
四边形是菱形，，是等边三角形，，
，又，
设菱形的边长为a，
当点在边上时， 则，即，求得，
设或其延长线交AC于点M，则，，，，当a=1时， 的长的最小值为1．
故答案为：；1.
【分析】由，，得到，根据四边形是菱形，得到，所以，设菱形的边长为a，当点在边上时， 由，求出菱形的边长；
设或其延长线交AC于点M，结合得到，根据二次函数性质求其最小值．
11．（2023八下·南通期末）如图，在正方形ABCD中，，点E为对角线AC上的动点，以DE为边作正方形DEFG．点H是CD上一点，且，连接GH，则GH的最小值为 ．
【答案】
【知识点】二次函数的最值；勾股定理；三角形全等的判定-ASA
【解析】【解答】解：过点E和点G，分别作CD的垂线，交点分别为M，N；
易证得，；
分别设EM，DM长度为x，y，则由点E为对角线AC上的动点可知，y=8-x ①；
根据勾股定理可知，② ；
将①式代入②式，可得；
根据二次函数性质，GH的最小值为：x=时，此时GH=；
故答案为：.
【分析】过点E和点G，分别作CD的垂线，易证得，，EM，DM长度设为x，y，再根据勾股定理将用x表示HG，则根据二次函数性质，即可得解.
12．（2023·白碱滩模拟）如图是抛物线图象的一部分，抛物线的顶点坐标为，与x轴的一个交点为，点A和点B均在直线上．①；②；③抛物线与x轴的另一个交点为；④方程有两个不相等的实数根；⑤不等式的解集为．上述五个结论中，其中正确的结论是 （填写序号即可）．
【答案】①⑤
【知识点】二次函数图象与系数的关系；二次函数图象与坐标轴的交点问题；二次函数y=ax²+bx+c的性质
【解析】【解答】 ①∵顶点的横坐标∴b=-2a即2a+b=0，结论正确
②；，根据顶点的纵坐标，∴C可以大于0，也可以小于0，
∴结论不正确
③抛物线与x轴的另一个交点为；对称轴是x=1，另外一个交点显然不是（-4，0），而应该是（-2，0），结论不正确
④方程有两个不相等的实数根；方程对应的函数图象是把图中抛物线向上平移3个单位，此时与x轴有一个交点，故结论不正确
⑤不等式的解集为 ，由图可知直线在抛物线上方，就是AB段内，描述正确。
故填： ①⑤
【分析】根据二次函数抛物线的性质、顶点公式进行分析判定。
三、综合题
13．（2021·镇海模拟）如图，在一次足球比赛中，守门员在地面 处将球踢出，一运动员在离守门员8米的 处发现球在自己头上的正上方4米处达到最高点 ，球落地后又一次弹起.据实验测算，足球在空中运行的路线是一条抛物线，在草坪上弹起后的抛物线与原来的抛物线形状相同，最大高度减少到原来最大高度的一半.
（1）求足球第一次落地之前的运动路线的函数表达式及第一次落地点 和守门员（点 ）的距离；
（2）运动员（点 ）要抢到第二个落点 ，他应再向前跑多少米？（假设点 、 、 、 在同一条直线上，结果保留根号）
【答案】（1）解：设足球第一次落地之前的运动路线的函数表达式为 ，根据其顶点为 ，过点 得
，
解得： ，
.
当 时， ，
解得： （舍去）或 ，
答：足球第一次落地之前的运动路线的函数表达式为 ，第一次落地点 和守门员（点 的距离为16米
（2）解：设第一次落地之后的运动路线的函数表达式为 ，由题意，得
，
解得 或 （舍去），
.
当 时，
.
解得： 或 .
他应从第一次落地点 再向前跑的距离为：
米.
答：他应再向前跑 米
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数图象与坐标轴的交点问题
【解析】【分析】（1）由条件可得点M ，根据顶点式可得 ，且过点 可得抛物线解析式，代入y=0可得结果；
（2）设第二次顶点为（m，2）可得 ，且过点B，可得解析式，再令y=0可得结果.
14．（2021九上·台山期末）如图，二次函数的图象与x轴交于A、B两点（点A在点B的右侧），与y轴交于点C．
（1）求点A、B、C的坐标；
（2）若点M在抛物线的对称轴上，且△MAC的周长最小，求点M的坐标；
（3）若点P在x轴上，且△PBC为等腰三角形，请求出所有符合条件的点P的坐标．
【答案】（1）解：令
解得，
∴A ， B
令，得，
∴C
∴点A的坐标为，点B的坐标为，点C的坐标为
（2）解：如图，过点C作对称轴l，与抛物线交于点E，连接AE交l于点M
∵点C与点E关于直线l对称，点M在对称轴l上
∴，
∴△MAC的周长
∴当且仅当E、M、A三点共线时，△MAC的周长最小
设直线AE的解析式为，
将坐标代入得
解得
∴直线AE的解析式为
令，得
∴点M坐标为．
（3）解：设P点的坐标为
∵，
∴，，
当△PBC是等腰三角形时，分三种情况求解：
①当时，由题意可得
解得
∴P的坐标为；
②当时，由题意可得
解得或
∴P的坐标为或；
③当时，由题意可得
解得或（不合题意，舍去）
∴P的坐标为；
综上所述，P点的坐标为 或 或 或．
【知识点】二次函数图象与坐标轴的交点问题；等腰三角形的性质；勾股定理；轴对称的应用-最短距离问题；二次函数y=ax²+bx+c的性质
【解析】【分析】（1）由，可求出x=0时y值，y=0时x的值，继而得出A、B、C的坐标；
（2）过点C作对称轴l，与抛物线交于点E，连接AE交l于点M，可得MC=ME，由△MAC的周长，可知当且仅当E、M、A三点共线时，△MAC的周长最小 ，求出直线AE的解析式，并求出x=-1时y值，即得点M坐标；
（3）分三种情况：①当时 ， ②当时 ， ③当时， 据此分别解答即可.
15．（2023·南充）如图1，抛物线（）与轴交于，两点，与轴交于点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）点P在抛物线上，点Q在x轴上，以B，C，P，Q为顶点的四边形为平行四边形，求点P的坐标；
（3）如图2，抛物线顶点为D，对称轴与x轴交于点E，过点的直线（直线除外）与抛物线交于G，H两点，直线，分别交x轴于点M，N．试探究是否为定值，若是，求出该定值；若不是，说明理由．
【答案】（1）解：抛物线与x轴交于两点，
，
解得，
故抛物线的解析式为．
（2）解：①如图，过作轴，交抛物线于，过作，交轴于，
四边形是平行四边形，
，
，
解得：，，
；
②如图，在轴的负半轴上取点，过作，交抛物线于，同时使，连接、，过作轴，交轴于，
四边形是平行四边形，
，
在和中，
，
()，
，
，
，
解得：，，
；
如上图，根据对称性：，
③当为平行四边形的对角线时，由①知，点Q在点B的左边，且时，也满足条件，此时点P的坐标仍为；
综上所述：的坐标为或或．
（3）解：是定值，
理由：如图，直线经过，
可设直线的解析式为，
、在抛物线上，
可设，，
，
整理得：，
，，
，
当时，，
，
设直线的解析式为，则有
，
解得，
直线的解析式为，
当时，，
解得：，
，
，
同理可求：，
；
当与对调位置后，同理可求；
故的定值为．
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；待定系数法求二次函数解析式；二次函数图象与坐标轴的交点问题；平行四边形的性质；一次函数的性质；二次函数y=ax²+bx+c的性质
【解析】【分析】（1）根据待定系数法求二次函数的解析式即可求解；
（2）分类讨论：①过作轴，交抛物线于，过作，交轴于，先根据平行四边形的性质即可得到，进而即可列出一元二次方程，解方程即可得到点P的坐标；②在轴的负半轴上取点，过作，交抛物线于，同时使，连接、，过作轴，交轴于，先根据平行四边形的性质即可得到，再根据三角形全等的判定与性质即可得到，，进而即可列出一元二次方程，解方程即可得到点P的坐标；③当为平行四边形的对角线时，由①知，点Q在点B的左边，且时，也满足条件，此时点P的坐标仍为，最后总结即可求解；
（3）是定值，先根据题意求出点D的坐标，设直线的解析式为，运用待定系数法求一次函数即得到直线GD的解析式，再运用一次函数的性质即可得到点M的坐标，进而得到EM的长，同理即可得到EN的长，进而即可求解。
四、实践探究题
16．定义：若两个二次函数的图象关于轴对称，则称互为“对称二次函数”.
（1）已知二次函数，则它的“对称二次函数”的顶点坐标为 .
（2）已知关于的二次函数和，其中的图象经过点.若与互为“对称二次函数”，求函数的表达式；
（3）在(2)的条件下，当时，的最小值为-2，请直接写出的值.
【答案】（1）
（2）解：∵的图象经过点，
∴1=-2×22+4m×2+3m-2
解得：m=1，
∴y1=-2x2+4x+1=-2（x-1）2+3，
∵与互为“对称二次函数”，
∴y1+y2=-2x2+4x+1+ax2+bx+c=（a-2）x2+（b+4）x+c+1=2x2-4x-1，
即
解得：a=4，b=-8，c=-2，
∴y2=4x2-8x-2；
（3）解：的值为2或-1.
【知识点】二次函数的最值；二次函数y=ax²+bx+c的性质
【解析】【解答】（1）∵，
∴它的顶点坐标为，
∴它的“对称二次函数”的顶点坐标为，
故答案为：.
（3）由（2）可知y2=4x2-8x-2=4（x-1）2-6，
∴函数开口向上，对称轴为x=1，
当n≤1≤n+1时，0≤n≤1，最小值为-6；
当n+1＜1时，n＜0，最小值为-2=4（n+1-1）2-6，解得n=-1；
当n＞1时，最小值为-2=4（n-1）2-6，解得n=2；
∴n的值为2或-1.
【分析】（1）二次函数化为顶点式即可求解；
（2）利用 经过点（2，1）解得m=1，再根据与互为“对称二次函数”，即可解答；
（3）根据（2）的条件及结论，得出二次函数向上开口，对称轴为x=1，再分别从n≤1≤n+1、n+1＜1、n＞1分别解题即可.
17．（2023九上·南关月考）法国数学家韦达在研究一元二次方程时发现：如果关于x的一元二次方程（，）的两个实数根分别为、，那么，．习惯上把这个结论称作“韦达定理”．
（1）方程的两个实数根分别为、，求和的值．
（2）方程的两个实数根分别为、，求的值．
（3）若、为关于x的方程的两个实数根，求的最小值．
【答案】（1）解：，．
（2）解：，．
（3）解：∵方程有两个实数根，
∴，．
∵，，
∴
．
∵，
∴时，有最小值，最小值为．
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）；二次函数的最值
【解析】【分析】（1）一元二次方程ax2+bx+c=0的根与系数的关系：，据此求解；
（2）根据根与系数的关系得 ，，再把所求的代数式变形后，整体代入求值；
（3）先根据根的判别式大于等于零求得的取值范围，然后根据根与系数的关系来求 关于m的表达式，通过配方求表达式的 最小值．
18．根据以下素材，探索完成任务。
运用二次函数研究电缆架设问题
素材1 电缆在空中架设时，两端挂起的电缆下垂都可以近似地看成抛物线的形状.如图，在一个斜坡 BD上按水平距离间隔90m架设两个塔柱，每个塔柱固定电缆的位置离地面高度为20m（AB=CD=20m），按如图所示的方式建立平面直角坐标系（x轴在水平方向上）.点A，O，E 在同一水平线上，经测量，AO=60m，斜坡BD的坡比为1：10.
素材2 若电缆下垂的安全高度是13.5m，即电缆距离坡面铅直高度的最小值不小于13.5m时，符合安全要求，否则存在安全隐患. （说明：直线GH⊥x轴且分别与直线BD和抛物线相交于点H，G.点G 距离坡面的铅直高度为GH 的长）
任务1 确定电缆形状 求点 D 的坐标及下垂电缆的抛物线的函数表达式.
任务2 判断电缆安全 上述这种电缆的架设是否符合安全要求？ 请说明理由.
任务3 探究安装方法 工程队想在坡比为1：8的斜坡上架设电缆，两个塔柱的高度仍为20m，电缆抛物线的形状与任务1相同.若电缆下垂恰好符合安全高度要求，则两个塔柱的水平距离应为多少米？
【答案】解：任务1：如图，作，易证四边形ABFE是矩形，
，
， 斜坡BD的坡比为1：10 ，
，，
，
，
，
，
设抛物线关系式为，
得，解得，
抛物线关系式为，
点D（30，-11），下垂电缆的抛物线的函数表达式为.
任务2：设直线BD的关系式为，
得，解得，
直线BD的关系式为，
设，
，
当时，，
这种电缆的架设不符合安全要求.
任务3：如图，建立直角坐标系，
设，
，
直线BD的关系式为，
，
，
抛物线关系式为，
设，
，
电缆下垂恰好符合安全高度要求，
，解得，
抛物线关系式为，
代入点，得，
解得，
，
两个塔柱的水平距离应为米.
【知识点】二次函数的最值；待定系数法求二次函数解析式；一次函数的性质；二次函数y=ax²+bx+c的性质
【解析】【分析】任务1：作，易证四边形ABFE是矩形，利用矩形的性质分别求得各点坐标，再通过待定系数法求得抛物线关系式.
任务2：设直线BD的关系式为，通过待定系数法求得直线BD的关系式，设，用x表示出GH的长度，再利用二次函数的性质求得当时，GH有最小值小于13.5m，故这种电缆的架设不符合安全要求.
任务3：如图，以点B为原点重新建立直角坐标系，设，则，从而得到直线BD的关系式为，及点A、C的坐标，又电缆抛物线的形状与任务1相同，可得抛物线关系式为，设，表示出GH的长度，再利用二次函数的性质求得GH的最小值，进而解得a的值，最后求得两个塔柱的水平距离.
1 / 1【培优版】2024-2025学年浙教版数学九上1.3二次函数的性质 同步练习
一、选择题
1．（2024·达州）抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于两点，其中一个交点的横坐标大于1，另一个交点的横坐标小于1，则下列结论正确的是（ ）
A．b+c＞1 B．b＝2 C．b2+4c＜0 D．c＜0
2．（2024·新昌模拟）已知二次函数y＝ax2＋bx＋c（a≠0），当y＜n时，x的取值范围是t－3＜x＜1－t，且该二次函数的图象经过点M（3，m2＋3），N（d，2m）两点，则d的值不可能是（ ）
A．－3 B．－1 C．2 D．4
3．（2024·惠城模拟）如图所示，抛物线经过矩形ABCD的三个顶点A，B，D，则点C的坐标为（ ）
A． B． C． D．
4．（2024·滨江二模）已知二次函数的图象经过点，，．当时，该函数有最大值和最小值，则（ ）
A．有最大值 B．无最大值 C．有最小值 D．无最小值
5．（2019九上·凤山期中）设一元二次方程 的两根分别为 ，且 ，则
满足（ ）
A． B．
C． D． 且
6．（2024·南充模拟）如图，抛物线与x轴交于点A(－6，0)．点，是抛物线上两点，当t≤x≤t＋3时，二次函数最大值记为，最小值记为，设，则m的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
7．（2024九上·青县期末）如图，把二次函数的图象在x轴上方的部分沿着x轴翻折，得到的新函数叫做的“陷阱”函数．小明同学画出了的“陷阱”函数的图象，如图所示并写出了关于该函数的4个结论，其中正确结论的个数为（ ）
①图象具有对称性，对称轴是直线； ②由图象得，，；③该“陷阱”函数与y轴交点坐标为；④的“陷阱”函数与的“陷阱”函数的图象是完全相同的．
A．1 B．2 C．3 D．4
8．（2024九上·祁东期末）二次函数的顶点坐标为，其部分图象如图所示，下列结论：①；②③若点，点是函数图象上的两点，则；④关于x的方程无实数根；其中正确结论有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
二、填空题
9．（2023九上·期中）已知二次函数（m为常数）的图象与x轴有交点，且当x＜-3时，y随x的增大而增大，则m的取值范围是
10．（2023九上·杭州开学考）如图，在纸片中，，，，点，分别在、边上，连接，将沿翻折，使点落在点的位置，且四边形是菱形．
（1）若点在边上时，则菱形的边长为 ；
（2）连接，则的长的最小值为 ．
11．（2023八下·南通期末）如图，在正方形ABCD中，，点E为对角线AC上的动点，以DE为边作正方形DEFG．点H是CD上一点，且，连接GH，则GH的最小值为 ．
12．（2023·白碱滩模拟）如图是抛物线图象的一部分，抛物线的顶点坐标为，与x轴的一个交点为，点A和点B均在直线上．①；②；③抛物线与x轴的另一个交点为；④方程有两个不相等的实数根；⑤不等式的解集为．上述五个结论中，其中正确的结论是 （填写序号即可）．
三、综合题
13．（2021·镇海模拟）如图，在一次足球比赛中，守门员在地面 处将球踢出，一运动员在离守门员8米的 处发现球在自己头上的正上方4米处达到最高点 ，球落地后又一次弹起.据实验测算，足球在空中运行的路线是一条抛物线，在草坪上弹起后的抛物线与原来的抛物线形状相同，最大高度减少到原来最大高度的一半.
（1）求足球第一次落地之前的运动路线的函数表达式及第一次落地点 和守门员（点 ）的距离；
（2）运动员（点 ）要抢到第二个落点 ，他应再向前跑多少米？（假设点 、 、 、 在同一条直线上，结果保留根号）
14．（2021九上·台山期末）如图，二次函数的图象与x轴交于A、B两点（点A在点B的右侧），与y轴交于点C．
（1）求点A、B、C的坐标；
（2）若点M在抛物线的对称轴上，且△MAC的周长最小，求点M的坐标；
（3）若点P在x轴上，且△PBC为等腰三角形，请求出所有符合条件的点P的坐标．
15．（2023·南充）如图1，抛物线（）与轴交于，两点，与轴交于点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）点P在抛物线上，点Q在x轴上，以B，C，P，Q为顶点的四边形为平行四边形，求点P的坐标；
（3）如图2，抛物线顶点为D，对称轴与x轴交于点E，过点的直线（直线除外）与抛物线交于G，H两点，直线，分别交x轴于点M，N．试探究是否为定值，若是，求出该定值；若不是，说明理由．
四、实践探究题
16．定义：若两个二次函数的图象关于轴对称，则称互为“对称二次函数”.
（1）已知二次函数，则它的“对称二次函数”的顶点坐标为 .
（2）已知关于的二次函数和，其中的图象经过点.若与互为“对称二次函数”，求函数的表达式；
（3）在(2)的条件下，当时，的最小值为-2，请直接写出的值.
17．（2023九上·南关月考）法国数学家韦达在研究一元二次方程时发现：如果关于x的一元二次方程（，）的两个实数根分别为、，那么，．习惯上把这个结论称作“韦达定理”．
（1）方程的两个实数根分别为、，求和的值．
（2）方程的两个实数根分别为、，求的值．
（3）若、为关于x的方程的两个实数根，求的最小值．
18．根据以下素材，探索完成任务。
运用二次函数研究电缆架设问题
素材1 电缆在空中架设时，两端挂起的电缆下垂都可以近似地看成抛物线的形状.如图，在一个斜坡 BD上按水平距离间隔90m架设两个塔柱，每个塔柱固定电缆的位置离地面高度为20m（AB=CD=20m），按如图所示的方式建立平面直角坐标系（x轴在水平方向上）.点A，O，E 在同一水平线上，经测量，AO=60m，斜坡BD的坡比为1：10.
素材2 若电缆下垂的安全高度是13.5m，即电缆距离坡面铅直高度的最小值不小于13.5m时，符合安全要求，否则存在安全隐患. （说明：直线GH⊥x轴且分别与直线BD和抛物线相交于点H，G.点G 距离坡面的铅直高度为GH 的长）
任务1 确定电缆形状 求点 D 的坐标及下垂电缆的抛物线的函数表达式.
任务2 判断电缆安全 上述这种电缆的架设是否符合安全要求？ 请说明理由.
任务3 探究安装方法 工程队想在坡比为1：8的斜坡上架设电缆，两个塔柱的高度仍为20m，电缆抛物线的形状与任务1相同.若电缆下垂恰好符合安全高度要求，则两个塔柱的水平距离应为多少米？
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）；二次函数图象与系数的关系；二次函数图象与坐标轴的交点问题
【解析】【解答】解：∵抛物线y=-x2+bx+c与x轴交于两点，分别为（x1，0），（x2，0），且x1＜x2，
∴x1-1＜0，x2-1＞0，
∴（x1-1）（x2-1）＜0，
∴x1x2-(x1+x2)+1＜0，
由一元二次方程根与系数的关系得：-c-b+1＜0，
∴b+c＞1.故选项A正确，符合题意；
无法确定b和c的值，故B和D错误；
因为函数与x轴有两个交点，
∴b2-4ac=b2+4c>0，故选项C错误；
故答案为：A.
【分析】抛物线y=-x2+bx+c与x轴交于两点，分别为（x1，0），（x2，0），且x1＜x2，根据题意可得（x1-1）（x2-1）＜0，再结合一元二次方程根与系数的关系可判断求解.
2．【答案】D
【知识点】二次函数y=ax²+bx+c的图象；二次函数y=ax²+bx+c的性质
【解析】【解答】解：∵ 二次函数y＝ax2＋bx＋c（a≠0），当y＜n时，x的取值范围是t－3＜x＜1－t，
∴抛物线开口向上，对称轴为直线x==-1，
∵ 该二次函数的图象经过点M（3，m2＋3），N（d，2m）两点 ，
∴点M（3，m2＋3）关于对称轴的对称点为（-5，m2＋3），
∴-5＜d＜3，
∴d不可能为4.
故答案为：D.
【分析】由y＜n时，x的取值范围是t－3＜x＜1－t， 可确定抛物线开口向上及对称轴，再根据二次函数的性质求解即可.
3．【答案】C
【知识点】矩形的性质；二次函数y=ax²+bx+c的性质
【解析】【解答】解：令y=0，则，
解得，
∴B（-6，0），D（2，0），
令x=0，则，
∴，
∵四边形ABCD为矩形，
∴AB=CD，AB//CD，
∵0-6=-6，，
∴点A到点B的坐标变化为向左平移6个单位，再向下平移个单位，
∴点D到点C的坐标变化为向左平移6个单位，再向下平移个单位，
∴2-6=-4，，
∴.
故答案为：C.
【分析】根据函数图象与性质得到点B（-6，0），D（2，0），的坐标，根据矩形的性质得到点A到点B的坐标变化即为点D到点C的坐标变化，据此即可得到答案.
4．【答案】B
【知识点】二次函数的最值
【解析】【解答】解：∵ 二次函数的图象经过点，，
∴ 对称轴==0，即对称轴为y轴
∴=0，则b=0
∴ 二次函数为
把，代入得
解得a=，c=
∴
∵ 当时，该函数有最大值和最小值，
∴ x=m，函数最大值p=； x=m+1，函数最小值q=；
∴
∵ m≥0
∴ p-q最小值为，无最大值.
故答案为B
【分析】本题考查二次函数的区间最值，对称轴，开口方向，点和函数的关系，求出函数开口方向，对称轴是解题关键。由，得对称轴为y轴；代入点坐标，得；根据所给区间，结合开口方向，对称轴，求出 x=m，函数最大值p=； x=m+1，函数最小值q=；计算 ；结合m≥0，可得 p-q最小值为，无最大值.
5．【答案】D
【知识点】二次函数图象与坐标轴的交点问题
【解析】【解答】解：如图，
令m=0，
则函数y=（x-1）（x-2）的图象与x轴的交点分别为（1，0），（2，0），
故此函数的图象为：
∵m＞0，
∴原顶点沿抛物线对称轴向下移动，两个根沿对称轴向两边逐步增大，
∴α＜1，β＞2.
故答案为：D.
【分析】先令m=0求出函数y=（x-1）（x-2）的图象与x轴的交点，画出函数图象，利用数形结合即可求出α，β的取值范围.
6．【答案】D
【知识点】二次函数的最值；二次函数y=ax²+bx+c的性质
【解析】【解答】解：(1)当点P，Q均在对称轴x＝－2左侧时，有－6≤t<－5，，
，则，
∵m随t的增大而减小，－6≤t<－5，∴
(2)当点P在对称轴x＝－2左侧，Q在对称轴x＝－2右侧时
①若点P距对称轴的距离大于点Q距对称轴的距离时，有－5≤t<－3.5，，
，则，
对称轴：t＝－2，在对称轴左侧m随t的增大而减小，∴
②若点P距对称轴的距离小于点Q距对称轴的距离时，
当－3.5≤t≤－3时，，，
则，
对称轴：t＝－5，在对称轴左侧m随t的增大而增大，∴
(3)∵－6≤t≤0，∴点P，Q不可能均在对称轴x＝－2右侧．
综上可得：，
故答案为：D．
【分析】先求出二次函数的对称轴是直线x=-2，分三种情况讨论：当点P，Q均在对称轴左侧；当点P在对称轴左侧，Q在对称轴右侧时；若点P距对称轴的距离小于点Q距对称轴的距离时，分别根据抛物线的最值列式计算，求解即可．
7．【答案】C
【知识点】二次函数图象与坐标轴的交点问题；二次函数y=ax²+bx+c的图象；二次函数y=ax²+bx+c的性质
【解析】【解答】解：①∵二次函数的图象与x轴的交点为：，，
∴二次函数图象的对称轴为直线，故此说法正确；
②由函数图象可知，原二次函数的顶点坐标为，
∴该二次函数的解析式为：，
把代入得：，
解得：，
∴
，
∴，，，故原说法错误；
③把代入得：，
∴原函数与y轴的交点坐标为，
∵把二次函数的图象在x轴上方的部分沿着x轴翻折，得到的新函数叫做的“陷阱”函数，
∴该“陷阱”函数与y轴交点坐标为，故此说法正确；
④∵，
∴的图象与的图象关于x轴对称，
∴的“陷阱”函数与的“陷阱”函数的图象是完全相同，故此说法正确；
综上分析可知，正确的结论有3个，
故答案为：C
【分析】①根据二次函数与坐标轴的交点问题结合题意进行判断即可求解；②根据题意求出原函数的解析式，进而即可求解；③先根据题意运用二次函数与坐标轴的交点问题求出原函数与y轴的交点，然后得出新的函数与y轴的交点坐标进行判断即可；④先结合题意得到的图象与的图象关于x轴对称，进而即可求解。
8．【答案】C
【知识点】二次函数图象与系数的关系；二次函数y=ax²+bx+c的性质
【解析】【解答】解：二次函数开口往下，
，
对称轴为直线，
，
抛物线与y轴交于正半轴，
，
，故①正确；
抛物线的对称轴为，与x轴的交点在和之间，与x轴的另一个交点在和之间，
当时，，即故②正确；
关于直线的对称点为，且
故③错误
抛物线的顶点坐标为，
抛物线与直线只有一个交点，
抛物线与直线无交点，
方程无实数根，故④正确
综上所述：一共有①②④正确；
故选：C
【分析】利用二次函数的图象与系数的关系可得a、b、c的正负，再利用二次函数的性质逐项判断即可。
9．【答案】
【知识点】二次函数图象与系数的关系；二次函数图象与坐标轴的交点问题；二次函数y=ax²+bx+c的性质
【解析】【解答】解：二次函数（m为常数）的图象与x轴有交点 ，则令得则解得，又因为当x＜-3时，y随x的增大而增大 ，且，函数开口向下，则对称轴直线方程：，综上所述
故答案为：.
【分析】本题主要考查二次函数图象的性质.令得则解得又因为当x＜-3时，y随x的增大而增大 ，且，函数开口向下，则对称轴直线方程：.
10．【答案】（1）
（2）1
【知识点】二次函数的最值；勾股定理；菱形的性质
【解析】【解答】解：，，，
，，
四边形是菱形，，是等边三角形，，
，又，
设菱形的边长为a，
当点在边上时， 则，即，求得，
设或其延长线交AC于点M，则，，，，当a=1时， 的长的最小值为1．
故答案为：；1.
【分析】由，，得到，根据四边形是菱形，得到，所以，设菱形的边长为a，当点在边上时， 由，求出菱形的边长；
设或其延长线交AC于点M，结合得到，根据二次函数性质求其最小值．
11．【答案】
【知识点】二次函数的最值；勾股定理；三角形全等的判定-ASA
【解析】【解答】解：过点E和点G，分别作CD的垂线，交点分别为M，N；
易证得，；
分别设EM，DM长度为x，y，则由点E为对角线AC上的动点可知，y=8-x ①；
根据勾股定理可知，② ；
将①式代入②式，可得；
根据二次函数性质，GH的最小值为：x=时，此时GH=；
故答案为：.
【分析】过点E和点G，分别作CD的垂线，易证得，，EM，DM长度设为x，y，再根据勾股定理将用x表示HG，则根据二次函数性质，即可得解.
12．【答案】①⑤
【知识点】二次函数图象与系数的关系；二次函数图象与坐标轴的交点问题；二次函数y=ax²+bx+c的性质
【解析】【解答】 ①∵顶点的横坐标∴b=-2a即2a+b=0，结论正确
②；，根据顶点的纵坐标，∴C可以大于0，也可以小于0，
∴结论不正确
③抛物线与x轴的另一个交点为；对称轴是x=1，另外一个交点显然不是（-4，0），而应该是（-2，0），结论不正确
④方程有两个不相等的实数根；方程对应的函数图象是把图中抛物线向上平移3个单位，此时与x轴有一个交点，故结论不正确
⑤不等式的解集为 ，由图可知直线在抛物线上方，就是AB段内，描述正确。
故填： ①⑤
【分析】根据二次函数抛物线的性质、顶点公式进行分析判定。
13．【答案】（1）解：设足球第一次落地之前的运动路线的函数表达式为 ，根据其顶点为 ，过点 得
，
解得： ，
.
当 时， ，
解得： （舍去）或 ，
答：足球第一次落地之前的运动路线的函数表达式为 ，第一次落地点 和守门员（点 的距离为16米
（2）解：设第一次落地之后的运动路线的函数表达式为 ，由题意，得
，
解得 或 （舍去），
.
当 时，
.
解得： 或 .
他应从第一次落地点 再向前跑的距离为：
米.
答：他应再向前跑 米
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数图象与坐标轴的交点问题
【解析】【分析】（1）由条件可得点M ，根据顶点式可得 ，且过点 可得抛物线解析式，代入y=0可得结果；
（2）设第二次顶点为（m，2）可得 ，且过点B，可得解析式，再令y=0可得结果.
14．【答案】（1）解：令
解得，
∴A ， B
令，得，
∴C
∴点A的坐标为，点B的坐标为，点C的坐标为
（2）解：如图，过点C作对称轴l，与抛物线交于点E，连接AE交l于点M
∵点C与点E关于直线l对称，点M在对称轴l上
∴，
∴△MAC的周长
∴当且仅当E、M、A三点共线时，△MAC的周长最小
设直线AE的解析式为，
将坐标代入得
解得
∴直线AE的解析式为
令，得
∴点M坐标为．
（3）解：设P点的坐标为
∵，
∴，，
当△PBC是等腰三角形时，分三种情况求解：
①当时，由题意可得
解得
∴P的坐标为；
②当时，由题意可得
解得或
∴P的坐标为或；
③当时，由题意可得
解得或（不合题意，舍去）
∴P的坐标为；
综上所述，P点的坐标为 或 或 或．
【知识点】二次函数图象与坐标轴的交点问题；等腰三角形的性质；勾股定理；轴对称的应用-最短距离问题；二次函数y=ax²+bx+c的性质
【解析】【分析】（1）由，可求出x=0时y值，y=0时x的值，继而得出A、B、C的坐标；
（2）过点C作对称轴l，与抛物线交于点E，连接AE交l于点M，可得MC=ME，由△MAC的周长，可知当且仅当E、M、A三点共线时，△MAC的周长最小 ，求出直线AE的解析式，并求出x=-1时y值，即得点M坐标；
（3）分三种情况：①当时 ， ②当时 ， ③当时， 据此分别解答即可.
15．【答案】（1）解：抛物线与x轴交于两点，
，
解得，
故抛物线的解析式为．
（2）解：①如图，过作轴，交抛物线于，过作，交轴于，
四边形是平行四边形，
，
，
解得：，，
；
②如图，在轴的负半轴上取点，过作，交抛物线于，同时使，连接、，过作轴，交轴于，
四边形是平行四边形，
，
在和中，
，
()，
，
，
，
解得：，，
；
如上图，根据对称性：，
③当为平行四边形的对角线时，由①知，点Q在点B的左边，且时，也满足条件，此时点P的坐标仍为；
综上所述：的坐标为或或．
（3）解：是定值，
理由：如图，直线经过，
可设直线的解析式为，
、在抛物线上，
可设，，
，
整理得：，
，，
，
当时，，
，
设直线的解析式为，则有
，
解得，
直线的解析式为，
当时，，
解得：，
，
，
同理可求：，
；
当与对调位置后，同理可求；
故的定值为．
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；待定系数法求二次函数解析式；二次函数图象与坐标轴的交点问题；平行四边形的性质；一次函数的性质；二次函数y=ax²+bx+c的性质
【解析】【分析】（1）根据待定系数法求二次函数的解析式即可求解；
（2）分类讨论：①过作轴，交抛物线于，过作，交轴于，先根据平行四边形的性质即可得到，进而即可列出一元二次方程，解方程即可得到点P的坐标；②在轴的负半轴上取点，过作，交抛物线于，同时使，连接、，过作轴，交轴于，先根据平行四边形的性质即可得到，再根据三角形全等的判定与性质即可得到，，进而即可列出一元二次方程，解方程即可得到点P的坐标；③当为平行四边形的对角线时，由①知，点Q在点B的左边，且时，也满足条件，此时点P的坐标仍为，最后总结即可求解；
（3）是定值，先根据题意求出点D的坐标，设直线的解析式为，运用待定系数法求一次函数即得到直线GD的解析式，再运用一次函数的性质即可得到点M的坐标，进而得到EM的长，同理即可得到EN的长，进而即可求解。
16．【答案】（1）
（2）解：∵的图象经过点，
∴1=-2×22+4m×2+3m-2
解得：m=1，
∴y1=-2x2+4x+1=-2（x-1）2+3，
∵与互为“对称二次函数”，
∴y1+y2=-2x2+4x+1+ax2+bx+c=（a-2）x2+（b+4）x+c+1=2x2-4x-1，
即
解得：a=4，b=-8，c=-2，
∴y2=4x2-8x-2；
（3）解：的值为2或-1.
【知识点】二次函数的最值；二次函数y=ax²+bx+c的性质
【解析】【解答】（1）∵，
∴它的顶点坐标为，
∴它的“对称二次函数”的顶点坐标为，
故答案为：.
（3）由（2）可知y2=4x2-8x-2=4（x-1）2-6，
∴函数开口向上，对称轴为x=1，
当n≤1≤n+1时，0≤n≤1，最小值为-6；
当n+1＜1时，n＜0，最小值为-2=4（n+1-1）2-6，解得n=-1；
当n＞1时，最小值为-2=4（n-1）2-6，解得n=2；
∴n的值为2或-1.
【分析】（1）二次函数化为顶点式即可求解；
（2）利用 经过点（2，1）解得m=1，再根据与互为“对称二次函数”，即可解答；
（3）根据（2）的条件及结论，得出二次函数向上开口，对称轴为x=1，再分别从n≤1≤n+1、n+1＜1、n＞1分别解题即可.
17．【答案】（1）解：，．
（2）解：，．
（3）解：∵方程有两个实数根，
∴，．
∵，，
∴
．
∵，
∴时，有最小值，最小值为．
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）；二次函数的最值
【解析】【分析】（1）一元二次方程ax2+bx+c=0的根与系数的关系：，据此求解；
（2）根据根与系数的关系得 ，，再把所求的代数式变形后，整体代入求值；
（3）先根据根的判别式大于等于零求得的取值范围，然后根据根与系数的关系来求 关于m的表达式，通过配方求表达式的 最小值．
18．【答案】解：任务1：如图，作，易证四边形ABFE是矩形，
，
， 斜坡BD的坡比为1：10 ，
，，
，
，
，
，
设抛物线关系式为，
得，解得，
抛物线关系式为，
点D（30，-11），下垂电缆的抛物线的函数表达式为.
任务2：设直线BD的关系式为，
得，解得，
直线BD的关系式为，
设，
，
当时，，
这种电缆的架设不符合安全要求.
任务3：如图，建立直角坐标系，
设，
，
直线BD的关系式为，
，
，
抛物线关系式为，
设，
，
电缆下垂恰好符合安全高度要求，
，解得，
抛物线关系式为，
代入点，得，
解得，
，
两个塔柱的水平距离应为米.
【知识点】二次函数的最值；待定系数法求二次函数解析式；一次函数的性质；二次函数y=ax²+bx+c的性质
【解析】【分析】任务1：作，易证四边形ABFE是矩形，利用矩形的性质分别求得各点坐标，再通过待定系数法求得抛物线关系式.
任务2：设直线BD的关系式为，通过待定系数法求得直线BD的关系式，设，用x表示出GH的长度，再利用二次函数的性质求得当时，GH有最小值小于13.5m，故这种电缆的架设不符合安全要求.
任务3：如图，以点B为原点重新建立直角坐标系，设，则，从而得到直线BD的关系式为，及点A、C的坐标，又电缆抛物线的形状与任务1相同，可得抛物线关系式为，设，表示出GH的长度，再利用二次函数的性质求得GH的最小值，进而解得a的值，最后求得两个塔柱的水平距离.
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