浙教版数学九上章末重难点专训 二次函数的图象与字母系数之间的关系（选填）

浙教版数学九上章末重难点专训 二次函数的图象与字母系数之间的关系（选填）
一、选择题
1．（2024九下·吉安月考）如图是二次函数 图象的一部分，其对称轴为. 且过点(）有下列说法：①abc<0；②2a-b=0；③4a+2b+c<0；④若是抛物线上两点，则.其中说法正确的是（　　）
A．①② B．②③ C．①②④ D．②③④
2．（2024九下·花溪月考）函数y=|ax2+bx+c|（a>0，b2-4ac>0）的图象是由函数y=ax2+bx+c（a>0，b2-4ac>0）的图象x轴上方部分不变，下方部分沿x轴向上翻折而成，如图所示，则下列结论：①2a+b=0；②c=3；③abc>0；④将图象向上平移1个单位长度后与直线y=5有3个交点.其中正确的是（　　）
A．①② B．①③ C．②③④ D．①③④
3．（2024·澄海模拟）如图，抛物线与x轴交于A，B两点，与y轴交于点，点A在与之间（不包含这两点），抛物线的顶点为D，对称轴是直线．有下列结论：①；②若点；是抛物线上两点，则；③；④若，则是等边三角形．其中正确的个数是（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
4．（2024九上·耒阳期末）抛物线交轴于，，交轴的负半轴于，顶点为．下列结论：①；②；③当时，；④当是等腰直角三角形时，则；⑤若，是一元二次方程的两个根，且，则．其中正确的有（　　）个
A．2 B．3 C．4 D．5
5．（2023九上·江津期中）已知二次函数的图象如图所示，顶点为（﹣1，0），则下列结论：
①；②；③；④；⑤．
其中正确结论的个数是（　　）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
6．（2023九上·江油月考）如图，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的对称轴为直线x＝1，与x轴的一个交点坐标为（-1，0），其部分图象如图所示，下列结论：
①4ac＜b2；②方程ax2+bx+c＝0的两个根是x1＝-1，x2＝3；③3a+c＞0④当y＞0时，x的取值范围是-1≤x＜3⑤当x＜0时，y随x增大而增大
其中结论正确的个数是（　　）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
7．（2023九上·禹城月考）抛物线的对称轴是直线，且过点，顶点位于第二象限，其部分图象如图所示，给出以下判断：（1）；（2）；（3）；（4）直线与抛物线两个交点的横坐标分别为，，则，其中正确的有（　　）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
8．（2022·巴中）函数的图象是由函数的图象轴上方部分不变，下方部分沿轴向上翻折而成，如图所示，则下列结论正确的是（　　）
① ；②；③；④将图象向上平移1个单位后与直线有3个交点．
A．①② B．①③ C．②③④ D．①③④
9．（2024·叙州模拟）二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，对称轴是直线x＝1，下列结论：①abc＜0；②方程：ax2+bx+c＝0（3≠0）必有一个根大于2且小于3；③若，是抛物线上的两点，那么y1＜y2；④11a+2c＞0；⑤对于任意实数m，都有m（am+b）≥a+b，其中正确结论的是（　　）
A．②④ B．①②④ C．②④⑤ D．②③④
10．（2024九下·杭州月考） 如图，抛物线与轴交于、两点，与轴交于点，且，是抛物线的顶点，三角形的面积等于1，则以下结论：①；②；③；④，其中正确的结论是（　　）
A．②④ B．①②④ C．①③④ D．①②③④
11．（2024·成都模拟）如图是二次函数（a，b，c是常数，）图象的一部分，与x轴的交点在点和之间，对称轴是．对于下列说法：①；②；③当时，；④．其中正确的个数是（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
12．（2024九下·岳池月考）如图，二次函数的图象经过点，对称轴为直线，下列结论：(1)0；(2)；(3)；(4)若两点在该二次函数的图象上，则．其中正确的有（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
13．（2024·剑阁模拟） 如图，抛物线的对称轴为x=-1，且过点(，有下列结论：①abc>0； ②a-2b+4c>0； ③25a-10b+4c=0； ④3b+2c>0；其中正确的结论的个数是（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
14．（2024九下·荆门月考）如图，抛物线y=ax2+bx+c经过点A（-1，0），B（m，0），且10；③0y2其中，正确的结论有（　　）个
A．4 B．3 C．2 D．1
15．（2024·阳新模拟） 函数的图象是由函数的图象x轴上方部分不变，下方部分沿x轴向上翻折而成，如图所示，则下列结论正确的是（　　）
①；②；③；④将图象向上平移2个单位后与直线有3个交点．
A．①② B．①③④ C．②③④ D．①③
二、填空题
16．（2024·东兴模拟）已知二次函数图象如图所示，有下列4个结论：①；②；③；④；其中正确的结论　 　．
17．（2023九上·吴兴期中）二次函数y=ax +bx+c的图象如图所示，对称轴是直线x=1.下列结论：①abc﹤0；②3a+c﹥0；③(a+c)2-b2﹤0；④a+b≤m(am+b)(m为实数).其中正确的结论有　 　.
18．（2024·邵阳模拟）如图是二次函数的图象，下列结论：
①二次三项式的最大值为4；
②4a＋2b＋c＜0；
③一元二次方程的两根之和为－1；
④使y≤3成立的x的取值范围是x≥0．
其中正确的有　 　（填序号）．
19．（2024·攀枝花模拟）如图，已知二次函数的图象与轴交于点，与轴的交点在和之间不包括这两点，对称轴为直线下列结论：；；；；其中正确结论有　 　填写所有正确结论的序号．
20．（2024九上·长沙期末）如图，二次函数的图象与轴交于，两点，与轴交于点，且对称轴为，点坐标为则下面的四个结论：；；；当时，或其中正确的是　 　．
21．（2024九上·昌平期末）已知抛物线（a，b，c为常数，）的对称轴是直线，其部分图象如图，则以下四个结论中：①；②；③；④．其中，正确结论的序号是　 　．
22．（2023九上·乌鲁木齐月考）二次函数的部分图象如图所示，对称轴为，图象过点A，且，以下结论：①；②关于x的不等式的解集为：；③；④（m为任意实数）；⑤若点，在此函数图象上，则.其中错误的结论是　 　.
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】二次函数图象与系数的关系
【解析】【解答】解：由图可知，开口向上，即a>0，对称轴在左侧，故b>0，与y轴交于负半轴，即c<0，故①正确；
对称轴为即有b=2a，即有2a-b=0，②正确；
由对称(-3，0)关于直线x=-1对称的点为(1，0)，故当x=2时，y>0，即4a+2b+c>0，故③错误；
-5到对称轴x=-1有4个单位，到对称轴x=-1的距离为，故y1>y2，故④正确；
答案：C.
【分析】由图像可直接判断a，b，c的符号，可判断①正确；由对称轴为x=-1即可判断②正确；由对称可知x=2时，y>0，即可判断③错误；由两点到对称轴的距离即可判断④正确.
2．【答案】D
【知识点】二次函数图象与系数的关系；二次函数图象的几何变换
【解析】【解答】解： ∵图象经过（-1，0），（3，0），
∴抛物线y=ax2+bx+c的对称轴为直线x==1，
∴，
∴b=-2a，即2a+b=0，①正确．
由图象可得抛物线y=ax2+bx+c与y轴交点为（0，3），
∴c=3，②正确．
由抛物线y=ax2+bx+c的开口向下可得a＜0，
∴b=-2a＞0，
∴abc＜0，③错误．
设抛物线y=ax2+bx+c的解析式为y=-a（x+1）（x-3），
代入（0，3）得：3=3a，
解得：a=1，
∴y=-（x+1）（x-3）=-x2+2x+3=-（x-1）2+4，
∴顶点坐标为（1，4），
∵点（1，4）向上平移2个单位后的坐标为（1，6），
∴将图象向上平移2个单位后与直线y=5有4个交点，故④错误.
故答案为：D.
【分析】根据函数图象与x轴交点的横坐标求出对称轴，进而可判断 ① ；根据图象可得抛物线y=ax2+bx+c与y轴交点在x轴下方可以确定c的值；根据抛物线y=ax2+bx+c的开口方向，对称轴位置和抛物线与y轴交点位置可确定abc的符号；求出二次函数y=ax2+bx+c的顶点式，可得图象向上平移1个单位后与直线y=5有3个交点．
3．【答案】C
【知识点】二次函数图象与系数的关系；等边三角形的判定
【解析】【解答】解：∵图象的开口向下，
∴a＜0，
∵图象与y轴的交点为（0，-1），
∴c=-1，
∵抛物线的对称轴为-2，
∴b=4a＜0，
∴abc＜0，
∴①符合题意，
∵抛物线的对称轴为x=-2，
∴M关于对称轴的对称点为M'，
∵当x＜-2时，y随着x的增大而增大，
又∵
∴y1＞y2，
∴②符合题意，
由题意得：y=ax2+bx+c=ax2+4ax-1=a（x+2）2-4a-1，
∵当y=0时，较小的一个根为，
∴＜ 3，
解得a＜ ，
∴③不符合题意，
当a=-1时，抛物线的解析式为y=-（x+2）2+3，
∴D（-2，3），
取y=0，得-（x+2）2+3=0，
解得x1，x2，
∴A（，0），B（，0），
∴AD=BD=AB=，
∴△ABD是等边三角形，
∴④符合题意，
∴符合题意的有①②④，
故答案为：C.
【分析】 ① 根据图象的开口方向确定a的符号，根据图象与y轴的交点确定c的值，根据抛物线的对称轴确定b与的a的关系式，综合后确定的符号； ② 先根据对称性，将两点放到对称轴的同一侧，再结合增减性确定两个函数值的大小； ③根据函数与x的交点，来确定a的范围； ④ 分别求出A，B，D的坐标，再分别计算AB，AD，BD的长，再来判定三角形ABD是等边三角形.
4．【答案】A
【知识点】二次函数图象与系数的关系
【解析】【解答】解：∵图像开口向上，对称轴在y轴右侧，与y轴交于负半轴，
∴，
∴，故①正确，符合题意；
∵抛物线交轴于，，
∴抛物线对称轴为直线，
∴，
当时，，
整理得：，故②不正确，不符合题意；
当时，，
当时，，
由②可知，抛物线的对称轴为直线，
∴当时，该二次函数取最小值，
∵，
∴，即，故③不正确，不符合题意；
连接，令对称轴与y轴相交于点E，
∵，
∴，
∵是等腰直角三角形，
∴，
∴，
设该抛物线的解析式为，
把代入得：，
解得：，故④正确，符合题意；
∵，是一元二次方程的两个根，
∴抛物线与直线相交于，
∵抛物线交轴于，，
∴，故⑤不正确，不符合题意；
综上可知：正确的有①④，共2个，
故答案为：A．
【分析】根据抛物线开口向上，对称轴在y轴右侧，与y轴交于负半轴，可知，
∴，故①正确；把点A，C的坐标代入y=ax2+bx+c可得，解得c=-3a，b=-2a消去a得3b-2c=0，所以 ②不 正确；由②可知，抛物线的对称轴为直线，所以当时，该二次函数取最小值，当时，，即，故③不正确；根据等腰直角三角形的性质可求出，由②结合顶点式可求出，故④正确；由，是一元二次方程的两个根知，抛物线与直线相交于，因为抛物线交轴于，，所以，故⑤不正确.综上可求解.
5．【答案】B
【知识点】二次函数图象与系数的关系
【解析】【解答】解：∵抛物线开口向上，
∴a>0，
∵抛物线与y轴交于正半轴，
∴c>0
∵对称轴在y轴的左侧，
∴＜0，
∴b>0，
∴abc>0，
故①错误；
∵抛物线的顶点坐标为(-1，0)，与x轴只有一个交点，
∴Δ=，
故②正确；
∵抛物线的顶点坐标为(-1，0)，
∴=-1，
∴b=2a，即2a-b=0，
故③正确；
∵对称轴x==-1，
∴b=2a，
∵，
∴，
∴a=c，
∵c>2，
∴a>2，
故④正确；
∵b=2a，c>0，
∴4a-2b+c=4a-4a+c=c>0，
故⑤错误.
故答案为：B.
【分析】根据二次函数的图象以及顶点坐标，分别找出a、b、c之间的关系，对照5条结论判断其正确与否，由此即可得出结论.
6．【答案】B
【知识点】二次函数图象与系数的关系；二次函数y=ax²+bx+c的图象
【解析】【解答】解：①∵抛物线与x轴有2个交点，
∴b2-4ac＞0，
∴4ac故①正确；
②∵抛物线的对称轴为直线x=1，抛物线与x轴的一个交点坐标为（-1，0），
∴抛物线与x轴的另一个交点为（3，0），
∴方程ax2+bx+c＝0的两个根是x1＝-1，x2＝3，
故②正确；
③∵抛物线的对称轴为，
∴b=-2a，
∵抛物线经过点（-1，0），
∴a-b+c=0，
∴a-（-2a）+c=0，
∴3a+c=0，
故③不正确；
④∵抛物线与x轴的两个交点为（-1，0）和（3，0），
∴当y＞0时，-1＜x＜3，
故④不正确；
⑤根据函数图象可得：当x＜0时，y随x增大而增大，
故⑤正确，
综上，正确的结论是①②⑤，共3个，
故答案为：B.
【分析】利用二次函数的图象与系数的关系可得a、b、c的正负，再利用二次函数的性质逐项判断即可。
7．【答案】C
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）；二次函数图象与系数的关系
【解析】【解答】解：∵抛物线的对称轴为x=-1，
∴点（-2，0）和点（0，0）关于x=-1对称，
∴4a-2b+c＞0，（1）错误；
抛物线的对称轴x=-1=-，即b=2a，
∵抛物线与x轴的一个交点为（1，0），
∴另外一个交点为（-3，0），
∴x=-4时，抛物线在x轴下方，即16a-4b+c＜0，即8a+c＜0，（2）错误；
∵抛物线与x轴的一个交点为（-3，0），b=2a，
∴c=3a-3b=3a-6a=-3a，（3）正确；
根据题意可得，ax2+（b-2）x+c-2=0的两个根分别为x1和x2，
∴x1+x2=-，x1×x2=，
∴x1+x2+x1×x2=-5，（4）正确；
故答案为：C.
【分析】根据二次函数的图象和性质判断得到答案即可。
8．【答案】D
【知识点】二次函数图象与系数的关系；二次函数图象的几何变换；二次函数y=ax²+bx+c的图象
【解析】【解答】解：由函数图象可得：与x轴交点的横坐标为－1和3，
∴对称轴为，即，
∴整理得：，故①正确；
∵与y轴的交点坐标为（0，3），
可知，开口向上，图中函数图象是由原函数下方部分沿轴向上翻折而成，
∴c＝-3，故②错误；
∵中a＞0，，
∴b＜0，
又∵c＝-3＜0，
∴，故③正确；
设抛物线的解析式为，
代入（0，3）得：，
解得：a＝－1，
∴，
∴顶点坐标为（1，4），
∵点（1，4）向上平移1个单位后的坐标为（1，5），
∴将图象向上平移1个单位后与直线y=5有3个交点，故④正确；
故答案为：D.
【分析】根据图象与x轴的交点的横坐标可得对称轴，结合对称轴方程可判断①；由图象可得y=ax2+bx+c（a>0）的开口向上，图中函数图象是由原函数下方部分沿x轴向上翻折而成，求出c的值，进而判断②；根据对称轴为直线x=1可得b<0，根据c=-3<0可判断③；设抛物线的解析式为y=a(x+1)(x-3)，将（0，3）代入求出a的值，得到抛物线的解析式以及顶点坐标，进而判断④.
9．【答案】C
【知识点】二次函数图象与系数的关系；二次函数y=ax²+bx+c的图象；二次函数y=ax²+bx+c的性质
【解析】【解答】解：∵开口向上，∴a >0，
∵ 对称轴是直线x＝1，
∴，即b=-2a<0，
∵抛物线与y轴交于负半轴，∴c<0，
∴abc>0， ① 是错误的；
观察图象可得，抛物线与x轴交于负半轴的点的横坐标在0与-1之间，
∵1+（1-0）=2，1+[1-(-1)]=3，
∴抛物线与x轴交于正半轴的点的横坐标在2与3之间，因此 ② 是正确的；
∵1-0>，∴点离对称轴远一些，
∴y1>y2，因此 ③ 是错误的，
当x=-1时，y>0，即a-b+c>0，
∴a+2a+c>0，即c>-3a，
∴ 11a+2c >11a-6a=5a>0，
因此 ④ 是正确的；
∵x=1时，y有最大值，最小值为a+b+c，
所以，当x=m时，y=am2+bm+ca+b+c，
即m（am+b）≥a+b，
因此 ⑤ 是正确的；
综上分析可得，正确的有：②④⑤ ，
故答案为：C。
【分析】根据开口方向判定a的符号，根据对称轴判定a、b的关系，根据与y轴交点位置判定c的符号，根据离对称轴的远近判定函数值的大小，据此求解即可。
10．【答案】D
【知识点】二次函数图象与系数的关系；二次函数y=ax²+bx+c的图象；二次函数y=ax²+bx+c的性质
【解析】【解答】解：①抛物线的顶点 在第一象限，
，，①正确；
②，
点坐标为，点坐标为，
将点A 代入得，
，②正确；
③∵，
，，
，
设，，
∵开口向下，对称轴在y轴右边，
∴，
∴
，
，
∴
，
，③正确；
④∵，，
，④正确；
故答案为：D．
【分析】①根据函数的抛物线顶点在第一象限和顶点坐标即可求得.②先求出点C坐标，进而得到点A坐标，将点A代入化简即可.③根据得出，，再利用三角形面积公式求出即可.④根据函数与坐标轴的交点坐标和系数间的关系求出即可.
11．【答案】B
【知识点】二次函数图象与系数的关系；二次函数y=ax²+bx+c的性质
【解析】【解答】解：开口方向向下，
，
对称轴，
，
，
，
故①正确；
，
，
，
故②错误；
对称轴，抛物线与x轴的一个交点在2，3之间，
抛物线与x轴的另一个交点在，0之间，
观察图象可知，当时，不恒成立，可能等于0，也可能小于0，
故③错误；
抛物线与x轴的另一个交点在，0之间，对称轴，
当时，，
，
，
，
故④正确；
综上所述，正确的有2个，
故答案为：B．
【分析】根据抛物线的开口方各判定a的符号，根据对称轴可得a、b的关系，由此可判定 ①，直接把b=-2a代入即可判定 ② ，根据抛物线的对称性，结合二次函数的性质可判定 ③ ，先确定当x=-2时，y<0，于是有4a-2b+c<0，结合b=-2a可判定 ④ 。
12．【答案】B
【知识点】二次函数图象与系数的关系；二次函数y=ax²+bx+c的图象；二次函数y=ax²+bx+c的性质
【解析】【解答】解：根据图象可知：图象开口向上，函数与y轴交点在负半轴上，
，
对称轴为直线，即，
，
，故①正确；
二次函数的图象经过点，对称轴为直线，
该函数和轴的另一个交点为，即，
时，，故②错误；
该函数和轴的另一个交点为，
，
，
，
，即，
，
，
，故③错误；
，
，
两点在对称轴右侧的抛物线上，
在对称轴右侧的抛物线上，y随x的增大而增大，
，
，即，故④正确．
故答案为：B
【分析】根据二次函数与坐标轴的交点问题结合对称轴即可判断，进而即可判断①；由时，可判断②；根据对称轴结合二次函数的对称性即可判断③；先根据二次函数的开口方向得到，即，进而得到两点在对称轴右侧的抛物线上，再根据二次函数的图象即可判断④．
13．【答案】C
【知识点】二次函数图象与系数的关系；二次函数y=ax²+bx+c的图象；二次函数y=ax²+bx+c的性质
【解析】【解答】解：由图像可知a<0，b<0，c>0，
∴abc>0
故①正确．
当x=时，y=0，
即
∴
∴
∴
故②正确．
由对称轴为，与x轴一个交点为（，）可知与x轴另一个交点为（，0）
即
化简得
故③正确．
∵对称轴为
∴
∴，
将代入有
即
∴
故④错误．
综上所述①②③正确．
故答案为：C．
【分析】根据二次函数的图象与系数的关系可确定a，b，c的正负即可判断①；代入x=进行计算即可判断②；根据题意“对称轴为，且过点（，）”可求出对称点（，0），代入抛物线计算即可判断③；根据对称轴公式可得，将其代入可得，加以计算即可判断④。
14．【答案】B
【知识点】二次函数图象与系数的关系；二次函数y=ax²+bx+c的性质
【解析】【解答】解：∵抛物线的图象开口向上，
∴，
∵抛物线经过点，且，
∴，
∴，故①正确；
∵，，
∴
∴，故②正确；
由图象可知，当时，，即，
∴
∵，，
∴，故③正确；
∵ C（，y1），D（，y2）在抛物线上
中点横坐标为在直线上，
，
∴，
根据抛物线的性质可得，故④错误．
∴正确的有①②③共3个，
故答案为：B．
【分析】抛物线经过点，且，可以得到，，从而可以得到 b<0 ，从而可以判断①；继而可得出，则，即可判断②；由图象可知，当时，，即，所以有，从而可得出，即可判断③； C（，y1），D（，y2）在抛物线上中点横坐标为在直线上，再根据，所以，利用二次函数的性质可得，即可判断④．
15．【答案】D
【知识点】二次函数图象与系数的关系；二次函数图象的几何变换；二次函数y=ax²+bx+c的图象；二次函数y=ax²+bx+c的性质
【解析】【解答】解：∵图象经过(-1，0)，(3，0)，
∴抛物线的对称轴为直线x=1，
∴，
∴b=-2a，即2a+b=0，故①正确；
根据图象可得抛物线与y轴交点在x轴下方，
∴c<0，故②错误；
根据抛物线的开口向上可得a>0，
∴b=-2a<0，
∴abc>0，故③正确；
设抛物线的解析式为y=a(x+1)(x-3)，
代入(0，3)得到a=-1，
∴，
∴顶点坐标为(1，4)，
∵点(1，4)向上平移2个单位后的坐标为(1，6)，
∴ 将图象向上平移2个单位后与直线有4个交点，故④错误；
综上所述，①③正确.
故答案为：D.
【分析】根据函数图象与x轴交点的横坐标求出对称轴为，即2a+b=0，故①正确；根据图象可得抛物线与y轴交点在x轴下方，得到c<0，故②错误；根据抛物线的开口向上可得a>0，得到abc>0，故③正确；求出抛物线的顶点式，得到将图象向上平移2个单位后与直线有4个交点，故④正确.
16．【答案】①④
【知识点】二次函数图象与系数的关系
【解析】【解答】解抛物线开口向下，与y轴交于y轴正半轴，
，
物线的对称轴为，
，
，
，
故正确，
抛物线与x轴的一个交点在0和之间，物线的对称轴为，
图像与x轴的另一个交点在2和3之间，
时，即，
故错误，
图像与x轴有两个交点，
一元二次方程有两个不相等的实数根，
，
，
故③错误，
由图形可知，时，
，
，
，
，
，
故④正确；
综上所述，正确的结论有①④．
故答案为：①④．
【分析】根据抛物线的图象得到，，可判断正确；根据抛物线与x轴的一个交点在0和之间，物线的对称轴为，可判断错误；根据图像与x轴有两个交点，可判断，③错误；根据图象取特殊值的时，利用不等式的性质以及对称轴可判断④正确；从而得出结论.
17．【答案】②③④
【知识点】二次函数图象与系数的关系；二次函数y=ax²+bx+c的图象
【解析】【解答】解：根据函数图象知道，开口向上，则对称轴直线方程：则与
y轴的交点在负半轴，则所以故①错误，当时故②正确；因为，由②知又当时所以则③正确；根据函数图象知：当当时函数有最小值则对任意实数m都有：即故④正确，综上所述： 正确的结论有②③④.
故答案为：②③④.
【分析】本题主要考查二次图像与系数的关系；二次项系数a决定开口方向，开口向上开口向下，一次项系数b由对称轴及a共同决定，当对称轴在y轴左侧时，b的正负与a相同，当对称轴在y轴右侧时，b的正负与a相反，简称“左同右异”；常数c，由二次函数图象与y轴交点的位置决定，与y轴正半轴相交，则，与y轴负半轴相交则根据上述判定①，根据对称轴可得：对称轴直线方程：则结合时的函数值即可判定②，结合x=1和x=-1时的函数值即可判定③，根函数x=1时的最小值即可判定④.
18．【答案】①②
【知识点】二次函数的最值；二次函数与不等式（组）的综合应用；二次函数y=ax²+bx+c的性质；二次函数与一元二次方程的综合应用
【解析】【解答】解：∵抛物线的顶点坐标为（ 1，4），∴二次三项式ax2＋bx＋c的最大值为4，故①正确；
∵x＝2时，y＜0，∴4a＋2b＋c＜0，故②正确；
根据抛物线的对称性可知，一元二次方程ax2＋bx＋c＝1的两根之和为 2，故③错误；
使y≤3成立的x的取值范围是x≥0或x≤ 2，故④错误．
故答案为：①，②．
【分析】①根据抛物线的顶点坐标确定二次三项式ax2＋bx＋c的最大值；②根据x＝2时，y＜0确定4a＋2b＋c的符号；③根据抛物线的对称性确定一元二次方程ax2＋bx＋c＝1的两根之和；④根据函数图象确定使y≤3成立的x的取值范围．
19．【答案】
【知识点】二次函数的最值；二次函数图象与坐标轴的交点问题；二次函数y=ax²+bx+c的图象；二次函数y=ax²+bx+c的性质
【解析】【解答】解：函数开口方向向上，
；
对称轴在轴右侧
异号，
抛物线与轴交点在轴负半轴，
，
，
故正确；
图象与轴交于点，对称轴为直线，
图象与轴的另一个交点为，
当时，，
，
故错误；
二次函数的图象与轴的交点在的下方，对称轴在轴右侧，，
最小值：，
，
；
正确；
图象与轴的交点在和之间，
，
；
故错误
，
，即；
故正确．
综上所述，正确的有，
故答案为：
【分析】先根据二次函数图象与性质即可判断出a、b、c的符号，从而判断①；根据二次函数与坐标轴的交点问题结合题意求出图象与轴的另一个交点为，进而即可判断②；根据二次函数的最值得到函数的最小值为，从而即可判断③；根据方程的两根为，可得，进而即可判断④⑤。
20．【答案】
【知识点】二次函数图象与系数的关系；二次函数图象与坐标轴的交点问题；二次函数y=ax²+bx+c的图象；二次函数y=ax²+bx+c的性质
【解析】【解答】解：∵对称轴为，
∴，
∴，
∴．故结论①正确，符合题意．
∵点B坐标为，
∴当时，，
故结论②正确，符合题意．
∵图象开口向下，
∴．
∵，
∴，
∵图象与y轴交于正半轴上，
∴．
∴，故结论③错误，不符合题意．
∵对称轴为，点B坐标为，
∴A点坐标为．
∴当时或．故结论④错误，不符合题意．
综上可知，正确的是①②，
故答案为：①②
【分析】根据二次函数的图象与性质结合题意对①②③④分析，进而即可求解。
21．【答案】②③④
【知识点】二次函数图象与系数的关系；二次函数y=ax²+bx+c的图象；二次函数y=ax²+bx+c的性质
【解析】【解答】解：①根据抛物线开口向下可知：，
∵对称轴在y轴右侧，即：，
∴，
∵抛物线与y轴正半轴相交，
∴，
∴，
∴①错误；
②∵抛物线对称轴是直线，即，
∴
∴，故②正确；
③由图象知，与关于对称轴对称，
当时，，
即，
∵，
∴，故③正确；
④∵，
∴，
如果，
那么，
∵，
∴，
根据抛物线与y轴的交点，可知，
∴结论④正确．
故答案为：②③④．
【分析】根据抛物线的性质，系数与图象的关系可判断①错误；再根据抛物线对称轴性质可判断②正确，根据抛物线的对称性可判断③正确，再根据抛物线与y轴的交点坐标即可求出答案.
22．【答案】②③④
【知识点】二次函数图象与系数的关系；二次函数图象与坐标轴的交点问题；二次函数y=ax²+bx+c的图象；二次函数y=ax²+bx+c的性质
【解析】【解答】解：∵，
∴图象过点，
∵对称轴为直线，
∴，抛物线与坐标轴的另一个交点为，
∴，
∴当时：，故①正确；
∵，，
∴，
由图象可知：当时，，
∴当时，，故②错误；
当时：，
∴，故③错误；
当，函数有最大值为，当时，，
∴，
∴，故④错误；
∵点，在此函数图象上，，
∴点关于对称轴对称，
∴，故⑤正确；
故答案为：②③④
【分析】先根据题意得到图象过点，进而根据对称轴即可得到，抛物线与坐标轴的另一个交点为，从而得到，进而即可得到当时：；再结合题意得到函数解析式，由图象可知：当时，，进而结合题意即可判断②；从而将x=-1代入即可判断③；再根据对称轴结合题意即可得到当，函数有最大值为，当时，，故得到，进而即可判断④；根据二次函数的性质结合题意即可得到点关于对称轴对称，从而即可得到。
1 / 1浙教版数学九上章末重难点专训 二次函数的图象与字母系数之间的关系（选填）
一、选择题
1．（2024九下·吉安月考）如图是二次函数 图象的一部分，其对称轴为. 且过点(）有下列说法：①abc<0；②2a-b=0；③4a+2b+c<0；④若是抛物线上两点，则.其中说法正确的是（　　）
A．①② B．②③ C．①②④ D．②③④
【答案】C
【知识点】二次函数图象与系数的关系
【解析】【解答】解：由图可知，开口向上，即a>0，对称轴在左侧，故b>0，与y轴交于负半轴，即c<0，故①正确；
对称轴为即有b=2a，即有2a-b=0，②正确；
由对称(-3，0)关于直线x=-1对称的点为(1，0)，故当x=2时，y>0，即4a+2b+c>0，故③错误；
-5到对称轴x=-1有4个单位，到对称轴x=-1的距离为，故y1>y2，故④正确；
答案：C.
【分析】由图像可直接判断a，b，c的符号，可判断①正确；由对称轴为x=-1即可判断②正确；由对称可知x=2时，y>0，即可判断③错误；由两点到对称轴的距离即可判断④正确.
2．（2024九下·花溪月考）函数y=|ax2+bx+c|（a>0，b2-4ac>0）的图象是由函数y=ax2+bx+c（a>0，b2-4ac>0）的图象x轴上方部分不变，下方部分沿x轴向上翻折而成，如图所示，则下列结论：①2a+b=0；②c=3；③abc>0；④将图象向上平移1个单位长度后与直线y=5有3个交点.其中正确的是（　　）
A．①② B．①③ C．②③④ D．①③④
【答案】D
【知识点】二次函数图象与系数的关系；二次函数图象的几何变换
【解析】【解答】解： ∵图象经过（-1，0），（3，0），
∴抛物线y=ax2+bx+c的对称轴为直线x==1，
∴，
∴b=-2a，即2a+b=0，①正确．
由图象可得抛物线y=ax2+bx+c与y轴交点为（0，3），
∴c=3，②正确．
由抛物线y=ax2+bx+c的开口向下可得a＜0，
∴b=-2a＞0，
∴abc＜0，③错误．
设抛物线y=ax2+bx+c的解析式为y=-a（x+1）（x-3），
代入（0，3）得：3=3a，
解得：a=1，
∴y=-（x+1）（x-3）=-x2+2x+3=-（x-1）2+4，
∴顶点坐标为（1，4），
∵点（1，4）向上平移2个单位后的坐标为（1，6），
∴将图象向上平移2个单位后与直线y=5有4个交点，故④错误.
故答案为：D.
【分析】根据函数图象与x轴交点的横坐标求出对称轴，进而可判断 ① ；根据图象可得抛物线y=ax2+bx+c与y轴交点在x轴下方可以确定c的值；根据抛物线y=ax2+bx+c的开口方向，对称轴位置和抛物线与y轴交点位置可确定abc的符号；求出二次函数y=ax2+bx+c的顶点式，可得图象向上平移1个单位后与直线y=5有3个交点．
3．（2024·澄海模拟）如图，抛物线与x轴交于A，B两点，与y轴交于点，点A在与之间（不包含这两点），抛物线的顶点为D，对称轴是直线．有下列结论：①；②若点；是抛物线上两点，则；③；④若，则是等边三角形．其中正确的个数是（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【知识点】二次函数图象与系数的关系；等边三角形的判定
【解析】【解答】解：∵图象的开口向下，
∴a＜0，
∵图象与y轴的交点为（0，-1），
∴c=-1，
∵抛物线的对称轴为-2，
∴b=4a＜0，
∴abc＜0，
∴①符合题意，
∵抛物线的对称轴为x=-2，
∴M关于对称轴的对称点为M'，
∵当x＜-2时，y随着x的增大而增大，
又∵
∴y1＞y2，
∴②符合题意，
由题意得：y=ax2+bx+c=ax2+4ax-1=a（x+2）2-4a-1，
∵当y=0时，较小的一个根为，
∴＜ 3，
解得a＜ ，
∴③不符合题意，
当a=-1时，抛物线的解析式为y=-（x+2）2+3，
∴D（-2，3），
取y=0，得-（x+2）2+3=0，
解得x1，x2，
∴A（，0），B（，0），
∴AD=BD=AB=，
∴△ABD是等边三角形，
∴④符合题意，
∴符合题意的有①②④，
故答案为：C.
【分析】 ① 根据图象的开口方向确定a的符号，根据图象与y轴的交点确定c的值，根据抛物线的对称轴确定b与的a的关系式，综合后确定的符号； ② 先根据对称性，将两点放到对称轴的同一侧，再结合增减性确定两个函数值的大小； ③根据函数与x的交点，来确定a的范围； ④ 分别求出A，B，D的坐标，再分别计算AB，AD，BD的长，再来判定三角形ABD是等边三角形.
4．（2024九上·耒阳期末）抛物线交轴于，，交轴的负半轴于，顶点为．下列结论：①；②；③当时，；④当是等腰直角三角形时，则；⑤若，是一元二次方程的两个根，且，则．其中正确的有（　　）个
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】A
【知识点】二次函数图象与系数的关系
【解析】【解答】解：∵图像开口向上，对称轴在y轴右侧，与y轴交于负半轴，
∴，
∴，故①正确，符合题意；
∵抛物线交轴于，，
∴抛物线对称轴为直线，
∴，
当时，，
整理得：，故②不正确，不符合题意；
当时，，
当时，，
由②可知，抛物线的对称轴为直线，
∴当时，该二次函数取最小值，
∵，
∴，即，故③不正确，不符合题意；
连接，令对称轴与y轴相交于点E，
∵，
∴，
∵是等腰直角三角形，
∴，
∴，
设该抛物线的解析式为，
把代入得：，
解得：，故④正确，符合题意；
∵，是一元二次方程的两个根，
∴抛物线与直线相交于，
∵抛物线交轴于，，
∴，故⑤不正确，不符合题意；
综上可知：正确的有①④，共2个，
故答案为：A．
【分析】根据抛物线开口向上，对称轴在y轴右侧，与y轴交于负半轴，可知，
∴，故①正确；把点A，C的坐标代入y=ax2+bx+c可得，解得c=-3a，b=-2a消去a得3b-2c=0，所以 ②不 正确；由②可知，抛物线的对称轴为直线，所以当时，该二次函数取最小值，当时，，即，故③不正确；根据等腰直角三角形的性质可求出，由②结合顶点式可求出，故④正确；由，是一元二次方程的两个根知，抛物线与直线相交于，因为抛物线交轴于，，所以，故⑤不正确.综上可求解.
5．（2023九上·江津期中）已知二次函数的图象如图所示，顶点为（﹣1，0），则下列结论：
①；②；③；④；⑤．
其中正确结论的个数是（　　）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
【答案】B
【知识点】二次函数图象与系数的关系
【解析】【解答】解：∵抛物线开口向上，
∴a>0，
∵抛物线与y轴交于正半轴，
∴c>0
∵对称轴在y轴的左侧，
∴＜0，
∴b>0，
∴abc>0，
故①错误；
∵抛物线的顶点坐标为(-1，0)，与x轴只有一个交点，
∴Δ=，
故②正确；
∵抛物线的顶点坐标为(-1，0)，
∴=-1，
∴b=2a，即2a-b=0，
故③正确；
∵对称轴x==-1，
∴b=2a，
∵，
∴，
∴a=c，
∵c>2，
∴a>2，
故④正确；
∵b=2a，c>0，
∴4a-2b+c=4a-4a+c=c>0，
故⑤错误.
故答案为：B.
【分析】根据二次函数的图象以及顶点坐标，分别找出a、b、c之间的关系，对照5条结论判断其正确与否，由此即可得出结论.
6．（2023九上·江油月考）如图，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的对称轴为直线x＝1，与x轴的一个交点坐标为（-1，0），其部分图象如图所示，下列结论：
①4ac＜b2；②方程ax2+bx+c＝0的两个根是x1＝-1，x2＝3；③3a+c＞0④当y＞0时，x的取值范围是-1≤x＜3⑤当x＜0时，y随x增大而增大
其中结论正确的个数是（　　）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
【答案】B
【知识点】二次函数图象与系数的关系；二次函数y=ax²+bx+c的图象
【解析】【解答】解：①∵抛物线与x轴有2个交点，
∴b2-4ac＞0，
∴4ac故①正确；
②∵抛物线的对称轴为直线x=1，抛物线与x轴的一个交点坐标为（-1，0），
∴抛物线与x轴的另一个交点为（3，0），
∴方程ax2+bx+c＝0的两个根是x1＝-1，x2＝3，
故②正确；
③∵抛物线的对称轴为，
∴b=-2a，
∵抛物线经过点（-1，0），
∴a-b+c=0，
∴a-（-2a）+c=0，
∴3a+c=0，
故③不正确；
④∵抛物线与x轴的两个交点为（-1，0）和（3，0），
∴当y＞0时，-1＜x＜3，
故④不正确；
⑤根据函数图象可得：当x＜0时，y随x增大而增大，
故⑤正确，
综上，正确的结论是①②⑤，共3个，
故答案为：B.
【分析】利用二次函数的图象与系数的关系可得a、b、c的正负，再利用二次函数的性质逐项判断即可。
7．（2023九上·禹城月考）抛物线的对称轴是直线，且过点，顶点位于第二象限，其部分图象如图所示，给出以下判断：（1）；（2）；（3）；（4）直线与抛物线两个交点的横坐标分别为，，则，其中正确的有（　　）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
【答案】C
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）；二次函数图象与系数的关系
【解析】【解答】解：∵抛物线的对称轴为x=-1，
∴点（-2，0）和点（0，0）关于x=-1对称，
∴4a-2b+c＞0，（1）错误；
抛物线的对称轴x=-1=-，即b=2a，
∵抛物线与x轴的一个交点为（1，0），
∴另外一个交点为（-3，0），
∴x=-4时，抛物线在x轴下方，即16a-4b+c＜0，即8a+c＜0，（2）错误；
∵抛物线与x轴的一个交点为（-3，0），b=2a，
∴c=3a-3b=3a-6a=-3a，（3）正确；
根据题意可得，ax2+（b-2）x+c-2=0的两个根分别为x1和x2，
∴x1+x2=-，x1×x2=，
∴x1+x2+x1×x2=-5，（4）正确；
故答案为：C.
【分析】根据二次函数的图象和性质判断得到答案即可。
8．（2022·巴中）函数的图象是由函数的图象轴上方部分不变，下方部分沿轴向上翻折而成，如图所示，则下列结论正确的是（　　）
① ；②；③；④将图象向上平移1个单位后与直线有3个交点．
A．①② B．①③ C．②③④ D．①③④
【答案】D
【知识点】二次函数图象与系数的关系；二次函数图象的几何变换；二次函数y=ax²+bx+c的图象
【解析】【解答】解：由函数图象可得：与x轴交点的横坐标为－1和3，
∴对称轴为，即，
∴整理得：，故①正确；
∵与y轴的交点坐标为（0，3），
可知，开口向上，图中函数图象是由原函数下方部分沿轴向上翻折而成，
∴c＝-3，故②错误；
∵中a＞0，，
∴b＜0，
又∵c＝-3＜0，
∴，故③正确；
设抛物线的解析式为，
代入（0，3）得：，
解得：a＝－1，
∴，
∴顶点坐标为（1，4），
∵点（1，4）向上平移1个单位后的坐标为（1，5），
∴将图象向上平移1个单位后与直线y=5有3个交点，故④正确；
故答案为：D.
【分析】根据图象与x轴的交点的横坐标可得对称轴，结合对称轴方程可判断①；由图象可得y=ax2+bx+c（a>0）的开口向上，图中函数图象是由原函数下方部分沿x轴向上翻折而成，求出c的值，进而判断②；根据对称轴为直线x=1可得b<0，根据c=-3<0可判断③；设抛物线的解析式为y=a(x+1)(x-3)，将（0，3）代入求出a的值，得到抛物线的解析式以及顶点坐标，进而判断④.
9．（2024·叙州模拟）二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，对称轴是直线x＝1，下列结论：①abc＜0；②方程：ax2+bx+c＝0（3≠0）必有一个根大于2且小于3；③若，是抛物线上的两点，那么y1＜y2；④11a+2c＞0；⑤对于任意实数m，都有m（am+b）≥a+b，其中正确结论的是（　　）
A．②④ B．①②④ C．②④⑤ D．②③④
【答案】C
【知识点】二次函数图象与系数的关系；二次函数y=ax²+bx+c的图象；二次函数y=ax²+bx+c的性质
【解析】【解答】解：∵开口向上，∴a >0，
∵ 对称轴是直线x＝1，
∴，即b=-2a<0，
∵抛物线与y轴交于负半轴，∴c<0，
∴abc>0， ① 是错误的；
观察图象可得，抛物线与x轴交于负半轴的点的横坐标在0与-1之间，
∵1+（1-0）=2，1+[1-(-1)]=3，
∴抛物线与x轴交于正半轴的点的横坐标在2与3之间，因此 ② 是正确的；
∵1-0>，∴点离对称轴远一些，
∴y1>y2，因此 ③ 是错误的，
当x=-1时，y>0，即a-b+c>0，
∴a+2a+c>0，即c>-3a，
∴ 11a+2c >11a-6a=5a>0，
因此 ④ 是正确的；
∵x=1时，y有最大值，最小值为a+b+c，
所以，当x=m时，y=am2+bm+ca+b+c，
即m（am+b）≥a+b，
因此 ⑤ 是正确的；
综上分析可得，正确的有：②④⑤ ，
故答案为：C。
【分析】根据开口方向判定a的符号，根据对称轴判定a、b的关系，根据与y轴交点位置判定c的符号，根据离对称轴的远近判定函数值的大小，据此求解即可。
10．（2024九下·杭州月考） 如图，抛物线与轴交于、两点，与轴交于点，且，是抛物线的顶点，三角形的面积等于1，则以下结论：①；②；③；④，其中正确的结论是（　　）
A．②④ B．①②④ C．①③④ D．①②③④
【答案】D
【知识点】二次函数图象与系数的关系；二次函数y=ax²+bx+c的图象；二次函数y=ax²+bx+c的性质
【解析】【解答】解：①抛物线的顶点 在第一象限，
，，①正确；
②，
点坐标为，点坐标为，
将点A 代入得，
，②正确；
③∵，
，，
，
设，，
∵开口向下，对称轴在y轴右边，
∴，
∴
，
，
∴
，
，③正确；
④∵，，
，④正确；
故答案为：D．
【分析】①根据函数的抛物线顶点在第一象限和顶点坐标即可求得.②先求出点C坐标，进而得到点A坐标，将点A代入化简即可.③根据得出，，再利用三角形面积公式求出即可.④根据函数与坐标轴的交点坐标和系数间的关系求出即可.
11．（2024·成都模拟）如图是二次函数（a，b，c是常数，）图象的一部分，与x轴的交点在点和之间，对称轴是．对于下列说法：①；②；③当时，；④．其中正确的个数是（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】B
【知识点】二次函数图象与系数的关系；二次函数y=ax²+bx+c的性质
【解析】【解答】解：开口方向向下，
，
对称轴，
，
，
，
故①正确；
，
，
，
故②错误；
对称轴，抛物线与x轴的一个交点在2，3之间，
抛物线与x轴的另一个交点在，0之间，
观察图象可知，当时，不恒成立，可能等于0，也可能小于0，
故③错误；
抛物线与x轴的另一个交点在，0之间，对称轴，
当时，，
，
，
，
故④正确；
综上所述，正确的有2个，
故答案为：B．
【分析】根据抛物线的开口方各判定a的符号，根据对称轴可得a、b的关系，由此可判定 ①，直接把b=-2a代入即可判定 ② ，根据抛物线的对称性，结合二次函数的性质可判定 ③ ，先确定当x=-2时，y<0，于是有4a-2b+c<0，结合b=-2a可判定 ④ 。
12．（2024九下·岳池月考）如图，二次函数的图象经过点，对称轴为直线，下列结论：(1)0；(2)；(3)；(4)若两点在该二次函数的图象上，则．其中正确的有（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】B
【知识点】二次函数图象与系数的关系；二次函数y=ax²+bx+c的图象；二次函数y=ax²+bx+c的性质
【解析】【解答】解：根据图象可知：图象开口向上，函数与y轴交点在负半轴上，
，
对称轴为直线，即，
，
，故①正确；
二次函数的图象经过点，对称轴为直线，
该函数和轴的另一个交点为，即，
时，，故②错误；
该函数和轴的另一个交点为，
，
，
，
，即，
，
，
，故③错误；
，
，
两点在对称轴右侧的抛物线上，
在对称轴右侧的抛物线上，y随x的增大而增大，
，
，即，故④正确．
故答案为：B
【分析】根据二次函数与坐标轴的交点问题结合对称轴即可判断，进而即可判断①；由时，可判断②；根据对称轴结合二次函数的对称性即可判断③；先根据二次函数的开口方向得到，即，进而得到两点在对称轴右侧的抛物线上，再根据二次函数的图象即可判断④．
13．（2024·剑阁模拟） 如图，抛物线的对称轴为x=-1，且过点(，有下列结论：①abc>0； ②a-2b+4c>0； ③25a-10b+4c=0； ④3b+2c>0；其中正确的结论的个数是（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【知识点】二次函数图象与系数的关系；二次函数y=ax²+bx+c的图象；二次函数y=ax²+bx+c的性质
【解析】【解答】解：由图像可知a<0，b<0，c>0，
∴abc>0
故①正确．
当x=时，y=0，
即
∴
∴
∴
故②正确．
由对称轴为，与x轴一个交点为（，）可知与x轴另一个交点为（，0）
即
化简得
故③正确．
∵对称轴为
∴
∴，
将代入有
即
∴
故④错误．
综上所述①②③正确．
故答案为：C．
【分析】根据二次函数的图象与系数的关系可确定a，b，c的正负即可判断①；代入x=进行计算即可判断②；根据题意“对称轴为，且过点（，）”可求出对称点（，0），代入抛物线计算即可判断③；根据对称轴公式可得，将其代入可得，加以计算即可判断④。
14．（2024九下·荆门月考）如图，抛物线y=ax2+bx+c经过点A（-1，0），B（m，0），且10；③0y2其中，正确的结论有（　　）个
A．4 B．3 C．2 D．1
【答案】B
【知识点】二次函数图象与系数的关系；二次函数y=ax²+bx+c的性质
【解析】【解答】解：∵抛物线的图象开口向上，
∴，
∵抛物线经过点，且，
∴，
∴，故①正确；
∵，，
∴
∴，故②正确；
由图象可知，当时，，即，
∴
∵，，
∴，故③正确；
∵ C（，y1），D（，y2）在抛物线上
中点横坐标为在直线上，
，
∴，
根据抛物线的性质可得，故④错误．
∴正确的有①②③共3个，
故答案为：B．
【分析】抛物线经过点，且，可以得到，，从而可以得到 b<0 ，从而可以判断①；继而可得出，则，即可判断②；由图象可知，当时，，即，所以有，从而可得出，即可判断③； C（，y1），D（，y2）在抛物线上中点横坐标为在直线上，再根据，所以，利用二次函数的性质可得，即可判断④．
15．（2024·阳新模拟） 函数的图象是由函数的图象x轴上方部分不变，下方部分沿x轴向上翻折而成，如图所示，则下列结论正确的是（　　）
①；②；③；④将图象向上平移2个单位后与直线有3个交点．
A．①② B．①③④ C．②③④ D．①③
【答案】D
【知识点】二次函数图象与系数的关系；二次函数图象的几何变换；二次函数y=ax²+bx+c的图象；二次函数y=ax²+bx+c的性质
【解析】【解答】解：∵图象经过(-1，0)，(3，0)，
∴抛物线的对称轴为直线x=1，
∴，
∴b=-2a，即2a+b=0，故①正确；
根据图象可得抛物线与y轴交点在x轴下方，
∴c<0，故②错误；
根据抛物线的开口向上可得a>0，
∴b=-2a<0，
∴abc>0，故③正确；
设抛物线的解析式为y=a(x+1)(x-3)，
代入(0，3)得到a=-1，
∴，
∴顶点坐标为(1，4)，
∵点(1，4)向上平移2个单位后的坐标为(1，6)，
∴ 将图象向上平移2个单位后与直线有4个交点，故④错误；
综上所述，①③正确.
故答案为：D.
【分析】根据函数图象与x轴交点的横坐标求出对称轴为，即2a+b=0，故①正确；根据图象可得抛物线与y轴交点在x轴下方，得到c<0，故②错误；根据抛物线的开口向上可得a>0，得到abc>0，故③正确；求出抛物线的顶点式，得到将图象向上平移2个单位后与直线有4个交点，故④正确.
二、填空题
16．（2024·东兴模拟）已知二次函数图象如图所示，有下列4个结论：①；②；③；④；其中正确的结论　 　．
【答案】①④
【知识点】二次函数图象与系数的关系
【解析】【解答】解抛物线开口向下，与y轴交于y轴正半轴，
，
物线的对称轴为，
，
，
，
故正确，
抛物线与x轴的一个交点在0和之间，物线的对称轴为，
图像与x轴的另一个交点在2和3之间，
时，即，
故错误，
图像与x轴有两个交点，
一元二次方程有两个不相等的实数根，
，
，
故③错误，
由图形可知，时，
，
，
，
，
，
故④正确；
综上所述，正确的结论有①④．
故答案为：①④．
【分析】根据抛物线的图象得到，，可判断正确；根据抛物线与x轴的一个交点在0和之间，物线的对称轴为，可判断错误；根据图像与x轴有两个交点，可判断，③错误；根据图象取特殊值的时，利用不等式的性质以及对称轴可判断④正确；从而得出结论.
17．（2023九上·吴兴期中）二次函数y=ax +bx+c的图象如图所示，对称轴是直线x=1.下列结论：①abc﹤0；②3a+c﹥0；③(a+c)2-b2﹤0；④a+b≤m(am+b)(m为实数).其中正确的结论有　 　.
【答案】②③④
【知识点】二次函数图象与系数的关系；二次函数y=ax²+bx+c的图象
【解析】【解答】解：根据函数图象知道，开口向上，则对称轴直线方程：则与
y轴的交点在负半轴，则所以故①错误，当时故②正确；因为，由②知又当时所以则③正确；根据函数图象知：当当时函数有最小值则对任意实数m都有：即故④正确，综上所述： 正确的结论有②③④.
故答案为：②③④.
【分析】本题主要考查二次图像与系数的关系；二次项系数a决定开口方向，开口向上开口向下，一次项系数b由对称轴及a共同决定，当对称轴在y轴左侧时，b的正负与a相同，当对称轴在y轴右侧时，b的正负与a相反，简称“左同右异”；常数c，由二次函数图象与y轴交点的位置决定，与y轴正半轴相交，则，与y轴负半轴相交则根据上述判定①，根据对称轴可得：对称轴直线方程：则结合时的函数值即可判定②，结合x=1和x=-1时的函数值即可判定③，根函数x=1时的最小值即可判定④.
18．（2024·邵阳模拟）如图是二次函数的图象，下列结论：
①二次三项式的最大值为4；
②4a＋2b＋c＜0；
③一元二次方程的两根之和为－1；
④使y≤3成立的x的取值范围是x≥0．
其中正确的有　 　（填序号）．
【答案】①②
【知识点】二次函数的最值；二次函数与不等式（组）的综合应用；二次函数y=ax²+bx+c的性质；二次函数与一元二次方程的综合应用
【解析】【解答】解：∵抛物线的顶点坐标为（ 1，4），∴二次三项式ax2＋bx＋c的最大值为4，故①正确；
∵x＝2时，y＜0，∴4a＋2b＋c＜0，故②正确；
根据抛物线的对称性可知，一元二次方程ax2＋bx＋c＝1的两根之和为 2，故③错误；
使y≤3成立的x的取值范围是x≥0或x≤ 2，故④错误．
故答案为：①，②．
【分析】①根据抛物线的顶点坐标确定二次三项式ax2＋bx＋c的最大值；②根据x＝2时，y＜0确定4a＋2b＋c的符号；③根据抛物线的对称性确定一元二次方程ax2＋bx＋c＝1的两根之和；④根据函数图象确定使y≤3成立的x的取值范围．
19．（2024·攀枝花模拟）如图，已知二次函数的图象与轴交于点，与轴的交点在和之间不包括这两点，对称轴为直线下列结论：；；；；其中正确结论有　 　填写所有正确结论的序号．
【答案】
【知识点】二次函数的最值；二次函数图象与坐标轴的交点问题；二次函数y=ax²+bx+c的图象；二次函数y=ax²+bx+c的性质
【解析】【解答】解：函数开口方向向上，
；
对称轴在轴右侧
异号，
抛物线与轴交点在轴负半轴，
，
，
故正确；
图象与轴交于点，对称轴为直线，
图象与轴的另一个交点为，
当时，，
，
故错误；
二次函数的图象与轴的交点在的下方，对称轴在轴右侧，，
最小值：，
，
；
正确；
图象与轴的交点在和之间，
，
；
故错误
，
，即；
故正确．
综上所述，正确的有，
故答案为：
【分析】先根据二次函数图象与性质即可判断出a、b、c的符号，从而判断①；根据二次函数与坐标轴的交点问题结合题意求出图象与轴的另一个交点为，进而即可判断②；根据二次函数的最值得到函数的最小值为，从而即可判断③；根据方程的两根为，可得，进而即可判断④⑤。
20．（2024九上·长沙期末）如图，二次函数的图象与轴交于，两点，与轴交于点，且对称轴为，点坐标为则下面的四个结论：；；；当时，或其中正确的是　 　．
【答案】
【知识点】二次函数图象与系数的关系；二次函数图象与坐标轴的交点问题；二次函数y=ax²+bx+c的图象；二次函数y=ax²+bx+c的性质
【解析】【解答】解：∵对称轴为，
∴，
∴，
∴．故结论①正确，符合题意．
∵点B坐标为，
∴当时，，
故结论②正确，符合题意．
∵图象开口向下，
∴．
∵，
∴，
∵图象与y轴交于正半轴上，
∴．
∴，故结论③错误，不符合题意．
∵对称轴为，点B坐标为，
∴A点坐标为．
∴当时或．故结论④错误，不符合题意．
综上可知，正确的是①②，
故答案为：①②
【分析】根据二次函数的图象与性质结合题意对①②③④分析，进而即可求解。
21．（2024九上·昌平期末）已知抛物线（a，b，c为常数，）的对称轴是直线，其部分图象如图，则以下四个结论中：①；②；③；④．其中，正确结论的序号是　 　．
【答案】②③④
【知识点】二次函数图象与系数的关系；二次函数y=ax²+bx+c的图象；二次函数y=ax²+bx+c的性质
【解析】【解答】解：①根据抛物线开口向下可知：，
∵对称轴在y轴右侧，即：，
∴，
∵抛物线与y轴正半轴相交，
∴，
∴，
∴①错误；
②∵抛物线对称轴是直线，即，
∴
∴，故②正确；
③由图象知，与关于对称轴对称，
当时，，
即，
∵，
∴，故③正确；
④∵，
∴，
如果，
那么，
∵，
∴，
根据抛物线与y轴的交点，可知，
∴结论④正确．
故答案为：②③④．
【分析】根据抛物线的性质，系数与图象的关系可判断①错误；再根据抛物线对称轴性质可判断②正确，根据抛物线的对称性可判断③正确，再根据抛物线与y轴的交点坐标即可求出答案.
22．（2023九上·乌鲁木齐月考）二次函数的部分图象如图所示，对称轴为，图象过点A，且，以下结论：①；②关于x的不等式的解集为：；③；④（m为任意实数）；⑤若点，在此函数图象上，则.其中错误的结论是　 　.
【答案】②③④
【知识点】二次函数图象与系数的关系；二次函数图象与坐标轴的交点问题；二次函数y=ax²+bx+c的图象；二次函数y=ax²+bx+c的性质
【解析】【解答】解：∵，
∴图象过点，
∵对称轴为直线，
∴，抛物线与坐标轴的另一个交点为，
∴，
∴当时：，故①正确；
∵，，
∴，
由图象可知：当时，，
∴当时，，故②错误；
当时：，
∴，故③错误；
当，函数有最大值为，当时，，
∴，
∴，故④错误；
∵点，在此函数图象上，，
∴点关于对称轴对称，
∴，故⑤正确；
故答案为：②③④
【分析】先根据题意得到图象过点，进而根据对称轴即可得到，抛物线与坐标轴的另一个交点为，从而得到，进而即可得到当时：；再结合题意得到函数解析式，由图象可知：当时，，进而结合题意即可判断②；从而将x=-1代入即可判断③；再根据对称轴结合题意即可得到当，函数有最大值为，当时，，故得到，进而即可判断④；根据二次函数的性质结合题意即可得到点关于对称轴对称，从而即可得到。
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