浙教版数学九上章末重难点专训 二次函数综合-面积问题
一、解答题
1．（2024·福建）如图，已知二次函数的图象与轴交于两点，与轴交于点，其中．
（1）求二次函数的表达式；
（2）若是二次函数图象上的一点，且点在第二象限，线段交轴于点的面积是的面积的2倍，求点的坐标．
【答案】（1）解：（1）将A（-2，0），C（0，-2）代入 y=x2+bx+c ，
得，
解得，
所以，二次函数的表达式为 y=x2+x-2 .
（2）解：设 P（m，n）， 因为点在第二象限，所以m＜0，n＞0，
依题意，得，
即，
∴．
由已知，得，
所以，
由，
解得： m1=-3，m2=2 （舍去），
所以点坐标为.
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数-面积问题
【解析】【分析】（1）根据待定系数法求二次函数解析式即可；
（2）设P（m，n），根据同底边三角形的面积比就是对应底边上高的比求得n=4，代入二次函数解析式求得点P的横坐标，即可求解.
2．（2023九下·湘桥期末）如图，在平面直角坐标系中，将一等腰直角三角板放在第二象限，且斜靠在两坐标轴上，其中的坐标为，直角顶点的坐标为，点Ｂ在抛物线上．
（1）求抛物线的解析式；
（2）设抛物线的顶点为，连结、，求的面积；
（3）在抛物线上是否还存在点（点B除外），使仍然是以为直角边的等腰直角三角形 若存在，请直接写出所有点的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）；（2）；（3）或
【知识点】二次函数-面积问题
【解析】【分析】（1）作轴于，先证明，得出，，再求出，即可得出点的坐标；把点的坐标代入抛物线，求出的值，即可得出抛物线的解析式；
（2）运用配方法得出的坐标，先用待定系数法求出直线的解析式，求出点的坐标，即可求出；
（3）求出直线的解析式，联立方程组求出直线与抛物线另一交点的坐标，并计算的长度与比较，判断是否为等腰直角三角形，再过点作平行于的直线，求出解析式，求出交点并判断是否为等腰直角三角形即可．
【解答】
解：（1）如图1，作轴于，
则，
，
的坐标为，点的坐标为，
，，
是等腰直角三角形，
，，
，
，
在和中，
，
，
，，
，
点的坐标为；
把代入抛物线，
得：，
解得：，
抛物线的解析式为：；
（2）如图1，由抛物线解析式为，
可得抛物线的顶点，，
设直线的函数解析式为，将点、的坐标代入，
得：，
解得：，
直线的函数解析式为．
设直线和轴交点为，则点，，
．
；
（3）存在．
设直线的解析式为，将，代入，
得：，
解得：，
直线的解析式为，
联立方程组，
解得：，（舍去），
；
，，
，
，
是等腰直角三角形；
过点作直线交抛物线于点，
设直线的解析式为，将代入可得，
直线的解析式为，
联立方程组，
解得：，，
或，
当时，，
，
不是等腰直角三角形，舍去；
当时，，
且，
是等腰直角三角形，
；
综上所述，点的坐标为，．
【点睛】
本题是二次函数综合题目，考查了二次函数解析式的求法、等腰直角三角形的性质和判定、全等三角形的判定与性质、待定系数法求一次函数及二次函数解析式、勾股定理、三角形面积等知识；本题难度较大，综合性强，熟练掌握待定系数法、等腰直角三角形判定和性质等相关知识，灵活运用数形结合思想、方程思想把二次函数的图象与性质与三角形相结合是解题的关键．
3．（2024·扬州）本小题分
如图，已知二次函数的图像与轴交于，两点．
（1）求的值．
（2）若点在该二次函数的图象上，且的面积为，求点的坐标．
【答案】（1）解：二次函数的图像与轴交于，两点，
解得，
．
（2）解：由可知二次函数解析式为：，，，
，
设，
，
，
，
当时，，无解，不符合题意，舍去；
当时，，；
．
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数-面积问题
【解析】【分析】(1)把A，B两点代入，列出方程组求出b，c
(2)设，先由A，B两点，求出AB的值，再根据三角形的面积公式：，求出n，再代入二次函数，求出x值即可.
二、实践探究题
4．（2024·山西）综合与实践
问题情境：如图1，矩形MNKL是学校花园的示意图，其中一个花坛的轮廓可近似看成由抛物线的一部分与线段AB组成的封闭图形，点A，B在矩形的边MN上．现要对该花坛内种植区域进行划分，以种植不同花卉，学校面向全体同学征集设计方案．
方案设计：如图米，AB的垂直平分线与抛物线交于点，与AB交于点，点是抛物线的顶点，且米．欣欣设计的方案如下：
第一步：在线段OP上确定点，使．用篱笆沿线段AC，BC分隔出区域，种植串串红；
第二步：在线段CP上取点（不与C，P重合），过点F作AB的平行线，交抛物线于点D，E．用 笆沿DE，CF将线段AC，BC与抛物线围成的区域分隔成三部分，分别种植不同花色的月季．
方案实施：学校采用了欣欣的方案，在完成第一步区域的分隔后，发现仅剩6米蓠笆材料．若要在第二步分隔中恰好用完6米材料，需确定DE与CF的长．为此，欣欣在图2中以AB所在直线为轴，OP所在直线为轴建立平面直角坐标系，请按照她的方法解决问题：
（1）在图2中画出坐标系，并求抛物线的函数表达式；
（2）求6米材料恰好用完时DE与CF的长；
（3）种植区域分隔完成后，欣欣又想用灯带对该花坛进行装饰，计划将灯带围成一个矩形．她尝试借助图2设计矩形四个顶点的位置，其中两个顶点在抛物线上，另外两个顶点分别在AC，BC上．直接写出符合设计要求的矩形周长的最大值．
【答案】（1）解：建立如图所示的平面直角坐标系．
所在直线是AB的垂直平分线，且，
．
点的坐标为．
点的坐标为．
点是抛物线的顶点，
设抛物线的函数表达式为．
点在抛物线上，
．解，得．
抛物线的函数表达式为．
（2）解：点D，E在抛物线上，
设点的坐标为．
，交轴于点，
．
在Rt中，，
．
．
根据题意，得，
．
解，得（不符合题意，舍去），
．
答：DE的长为4米，CF的长为2米.
（3）解：．
【知识点】二次函数与一次函数的综合应用；利用顶点式求二次函数解析式；二次函数-线段周长问题
【解析】【解答】（3）解：如图所示：矩形HGPK中，点K在直线AC上，点P与点K关于y轴对称
直线AC的解析式为y=kx+b（k≠0），把点A（-3，0），点C（0，3）代入得直线AC解析式：y=x+3
设点K（k，k+3），则P（-k，0），H（k，-k2+9）
∴KP=-2k，HK=-k2+9-（k+3）=-k2-k+6
∴ 矩形HGPK的周长=2（KP+HK）=2（-2k-k2-k+6）=-2k2-6k+12=-2（k+）2+
∴ k=-，矩形周长最大值为.
【分析】本题考查二次函数的综合应用，用待定系数法求二次函数解析式，二次函数的性质，待定系数法求一次函数解析式等知识，结合题目，建立合适的平面直角坐标系，熟练掌握二次函数的性质，求函数解析式是解题关键。（1）由平面直角坐标系得点B（3，0）顶点P（0，9），可得抛物线解析式．；（2）设点的坐标为．结合抛物线对称性得DE=2m，计算OC=3．得CF=-m2+6．结合得m=2，可得DE，CF；（3）求出直线AC解析式：y=x+3设点K（k，k+3），则P（-k，0），H（k，-k2+9）得KP=-2k，HK=-k2+9-（k+3）=-k2-k+6，则矩形HGPK周长=2（KP+HK）=-2（k+）2+，可得 k=-，矩形周长最大值为.
5．（2024·巴东模拟）如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线与轴相交于，两点，与轴相交于点为第四象限的抛物线上一动点．
（1）直接写出抛物线的函数表达式；
（2）连接和，当四边形的面积为9时，求点的坐标；
（3）请完成以下探究．
【动手操作】作直线，交抛物线于另一点，过点作轴的垂线，分别交直线，直线于点．
【猜想证明】随着点的运动，线段的长是否为定值？若是，请直接写出该定值并证明；若不是，请说明理由．
【答案】（1）解：由题意得：，
即抛物线的表达式为：
（2）解：如图1，连接，过点作轴交于点，
由点、的坐标得，直线的表达式为：，
设点，则点，
则四边形的面积，
解得：，
即点；
（3）该定值为2
证明：依据题意作图如图2，
设点、的坐标分别为：，
由点、的坐标得，直线的表达式为：，
将代入上式得：，
整理得：；
同理可得，直线的表达式为：，
当时，，
解得：，
同理可得：，
，
则
．
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数-动态几何问题；二次函数-面积问题
【解析】【分析】（1）利用待定系数法求出函数解析式即可；
（2）连接，过点作轴交于点，设点，则点，再利用“ 四边形的面积为9 ”列出方程求解即可；
（3）设点、的坐标分别为：，先求出直线MN和AM的解析式，再求出，，再求出即可．
6．（2024九下·丰城期中） 某数学兴趣小组运用《几何画板》软件探究型抛物线图象．发现：如图1所示，该类型图象上任意一点P到定点的距离PF，始终等于它到定直线1：的距离PN（该结论不需要证明）．他们称：定点F为图象的焦点，定直线l为图象的准线，叫做抛物线的准线的表达式．准线l与y轴的交点为H．其中原点O为FH的中点，．
例如，抛物线，其焦点坐标为，准线表达式为l：，其中，．
（1）【基础训练】请分别直接写出抛物线的焦点坐标和准线l的表达式；
（2）【技能训练】如图2，已知抛物线上一点到焦点F的距离是它到x轴距离的3倍，求点P的坐标；
（3）【能力提升】
如图3，已知抛物线的焦点为F，准线为l．直线m：交y轴于点C，抛物线上动点P到x轴的距离为，到直线m的距离为，请直接写出的最小值；
（4）【拓展延伸】把抛物线沿y轴向下平移2个单位得抛物线，如图4，点是第二象限内一定点，点P是抛物线上一动点．当取最小值时，请求出△POD的面积．
【答案】（1）抛物线中，
，，
抛物线焦点坐标为，准线的方程为，
故答案为：，；
（2）由（1）知抛物线焦点的坐标为，
点，到焦点的距离是它到轴距离的3倍，
，整理得：，
又，
，
解得：或（舍去），
（负值舍去），
点的坐标为
（3）过点作直线交于点，过点作准线交于点，结合题意和（1）中结论可知，，如图：
若使得取最小值，即的值最小，故当，，三点共线时，，即此刻的值最小；
直线m：交y轴于点C，
∴设的坐标为
过点作平行线交轴于一点，如图
即
∴
∵直线与直线垂直，
∴
∵当，，三点共线，
∴
解得
∴
∴点
．
即的最小值为．
（4）把抛物线沿y轴向下平移2个单位得抛物线，
∴
抛物线的焦点坐标为，准线的方程为，
过点作准线交于点，结合题意和（1）中结论可知，则，如图：
若使得取最小值，即的值最小，故当，，三点共线时，，即此刻的值最小；如图：
点的坐标为，准线，
点横坐标为，代入解得，
即，
∴，
则的面积为．
【知识点】二次函数的最值；二次函数-面积问题
【解析】【分析】(1)由题意直接求抛物线的焦点与准线；
(2)设点P的坐标，结合题中所给抛物线的性质得，求解方程即可；
(3)利用抛物线的性质，得=，当F、P、E共线时取最小值；
(4)抛物线向下平移2个单位，即焦点和抛物线也相应向下平移2个单位，求出PO+PD的最小值时的P点坐标，即可求出面积.
三、综合题
7．（2024·黑龙江）如图，抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，其中B（1，0），C（0，3）．
（1）求抛物线的解析式；
（2）在第二象限的抛物线上是否存在一点P，使得△APC的面积最大．若存在，请直接写出点P坐标和△APC的面积最大值；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）解：将B（1，0），C（0，3）代入抛物线y＝﹣x2+bx+c中，
，
解得：，
∴抛物线y＝﹣x2﹣2x+3．
（2）解：存在，P的坐标为（，）；△APC面积的最大值为.
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数-面积问题
【解析】【解答】（2）解：存在，P的坐标为（，）；△APC面积的最大值为.
令y＝0，则0＝﹣x2﹣2x+3，解得：x1＝﹣3，x2＝1，
∴A（﹣3，0），
∴OA＝3，
∵C（0，3），
∴OC＝3，
过点P作PE⊥x轴于点E，
设P（x，﹣x2﹣2x+3），且在第二象限内，
∴OE＝﹣x，AE＝3+x，
∴S△APC＝S△APE+S梯形PCOE﹣S△AOC
AE×PE（OC+PE）×OEOA×OC
（3+x）（﹣x2﹣2x+3）（3﹣x2﹣2x+3）（﹣x）3×3
（x）2
∵0，
∴S△APC有最大值，
∴当x时，S△APC有最大值，最大值为，
此时点P的坐标为（，）．
【分析】（1）利用待定系数法将已知点代入抛物线解析式中组成方程组，解之即可得抛物线解析式；
（2）利用（2）的抛物线解析式求出与x轴交点A坐标，设点P坐标进而利用铅锤法分割表示算法不规则的目标三角形面积，最后利用配方法(非负性结构)分析或二次函数最值分析得出目标三角形面积的最大值及点P的坐标即可.
8．（2024·眉山） 如图，抛物线与轴交于点和点，与轴交于点，点在抛物线上．
（1）求该抛物线的解析式；
（2）当点在第二象限内，且的面积为3时，求点的坐标；
（3）在直线上是否存在点，使是以为斜边的等腰直角三角形？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）解：把，代入得：
，
解得，
抛物线的解析式为；
（2）解：过作轴交于，如图：
由，得直线解析式为，
设，则，
，
的面积为3，
，即，
解得或，
的坐标为或；
（3）解：的坐标为或或或．
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数与一次函数的综合应用；二次函数-面积问题；二次函数-特殊三角形存在性问题
【解析】【解答】解：（3）在直线上存在点，使是以为斜边的等腰直角三角形，理由如下：
在中，令得，
解得或，
，，
由，得直线解析式为，
设，，
过作轴于，过作轴于，
①，
当与重合，与重合时，是等腰直角三角形，如图：
此时；
②当在第一象限，在第四象限时，
是以为斜边的等腰直角三角形，
，，
，
，
，
，，
，
解得（小于0，舍去）或，
，
的坐标为；
③当在第四象限，在第三象限时，如图：
是以为斜边的等腰直角三角形，
，，
，
，
，
，，
同理可得，
解得或（大于0，舍去），
，
的坐标为；
④当在第四象限，在第一象限，如图：
是以为斜边的等腰直角三角形，
，，
，
，
，
，，
，
解得（舍去）或，
，
的坐标为；
综上所述，的坐标为或或或．
【分析】（1）将点A、C的坐标代入抛物线的解析式，可得到关于b、c的方程组，解方程组求出b、c的值，可得到抛物线的解析式.
（2）过作轴交于，由点A、C的坐标，可求出直线AC的函数解析式，利用两函数解析式，设，则，可表示出DK的长，利用三角形的面积公式，根据△ACD的面积为3，可得到关于t的方程，解方程求出t的值，即可得到点D的坐标.
（3）利用二次函数解析式，由y=0可求出对应的x的值，可得到点A、B的坐标，利用待定系数法求出直线BC的函数解析式；设，，过作轴于，过作轴于，分情况讨论：OA=OC=3时，当与重合，与重合时，是等腰直角三角形，可得到点P的坐标；当在第一象限，在第四象限时，利用AAS证明△DOM≌△OPN，可推出PN=OM，ON=DM，由此可得到关于m，n的方程组，解方程组求出m，n的值，可得到符合题意的点P的坐标；当在第四象限，在第三象限时，如图：利用AAS证明△DOM≌△OPN，利用 全等三角形的性质可知PN=OM，ON=DM，可得到关于m、n的方程组，解方程组求出n、m的值，可得到符合题意的点P的坐标；当在第四象限，在第一象限，如图：同理可求出符合题意的点P的坐标；综上所述可得到符合题意的点P的坐标.
9．（2024·凉山州） 如图，抛物线y＝﹣x2+bx+c与直线y＝x+2相交于A（﹣2，0），B（3，m）两点，与x轴相交于另一点C．
（1）求抛物线的解析式；
（2）点P是直线AB上方抛物线上的一个动点（不与A、B重合），过点P作直线PD⊥x轴于点D，交直线AB于点E，当PE＝2ED时，求P点坐标；
（3）抛物线上是否存在点M使△ABM的面积等于△ABC面积的一半？若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）解：把B（3，m）代入y＝x+2得：m＝3+2＝5，
∴B（3，5），
把A（﹣2，0），B（3，5）代入y＝﹣x2+bx+c得：
∴抛物线的解析式为y＝﹣x2+2x+8；
（2）解：设P（t，﹣t2+2t+8），则E（t，t+2），D（t，0），
∵PE＝2DE，
∴﹣t2+2t+8﹣（t+2）＝2（t+2），
解得t＝1或t＝﹣2（此时P不在直线AB上方，舍去）；
∴P的坐标为（1，9）；
（3）M的坐标为（，）或（，）或（，）或（，）．
【知识点】二次函数-动态几何问题；利用一般式求二次函数解析式；二次函数-面积问题
【解析】【解答】解：（3）抛物线上存在点M，使△ABM的面积等于△ABC面积的一半，理由如下：
过M作MK∥y轴交直线AB于K，如图：
在y＝﹣x2+2x+8中，令y＝0得0＝﹣x2+2x+8，
解得x＝﹣2或x＝4，
∴A（﹣2，0），C（4，0），
∴AC＝6，
∵B（3，5），
∴S△ABC＝×6×5＝15，
设M（m，﹣m2+2m+8），则K（m，m+2），
∴MK＝|﹣m2+2m+8﹣（m+2）|＝|﹣m2+m+6|，
∴S△ABM＝MK |xB﹣xA|＝|﹣m2+m+6|×5＝|﹣m2+m+6|，
∵△ABM的面积等于△ABC面积的一半，
∴|﹣m2+m+6|＝×15，
∴|﹣m2+m+6|＝3，
∴﹣m2+m+6＝3或﹣m2+m+6＝﹣3，
解得m＝或m＝，
∴M的坐标为（，）或（，）或（，）或（，）．
【分析】（1）把点B坐标代入y=x+2求出m的值，再利用待定系数法，即可求得抛物线的解析式；
（2）设P(t，﹣t2+2t+8)，可得E(t，t+2)，D(t，0)，利用PE＝2DE建立关于t的方程并求解，根据点P的位置排除不满足条件的t值即可.
（3）过M作MK∥y轴交直线AB于K，计算出△ABC的面积，设点M（m，﹣m2+2m+8），得MK的长，于是可表示△ABM的面积为S△ABM＝MK |xB﹣xA|. 根据△ABM的面积等于△ABC面积的一半得△ABM的面积，得到关于m的方程，求解即可.
10．（2024·遂宁）二次函数的图象与x轴分别交于点，，与y轴交于点，P，Q为抛物线上的两点.
（1）求二次函数的表达式；
（2）当P，C两点关于抛物线对轴对称，是以点P为直角顶点的直角三角形时，求点Q的坐标；
（3）设P的横坐标为m，Q的横坐标为，试探究：的面积S是否存在最小值，若存在，请求出最小值，若不存在，请说明理由.
【答案】（1）解：把，，代入得，
，
解得，
二次函数的表达式为；
（2）解：如图：
∵y=x2-2x-3=(x-1)2-4，
∴抛物线对称轴为直线，
P，C两点关于抛物线对轴对称，，
，
设，
，
，
，
整理得，，
解得，（舍去），
，
；
（3）解：存在，理由如下：
设点，则点，设直线PQ交x轴于点H，
当点P、Q在x轴下方，且点Q在点P上方时，
设直线PQ表达式为：，
代入，，得：，
解得：，
直线PQ的表达式为：，
令，得，
∴，
∴，
∴
即S存在最小值为；
当点P、Q在x轴下方，且点P在点Q上方时，
同上可求直线PQ表达式为：，
令，得，
∴，
∴，
∴
即S存在最小值为；
当点P、Q都在x轴上方或者一个在x轴上方，一个在x轴下方，
同理可求，
即S存在最小值为，
综上所述，的面积S是否存在最小值，且为.
【知识点】勾股定理；二次函数与一次函数的综合应用；利用一般式求二次函数解析式；二次函数-面积问题
【解析】【分析】（1）将A、B、C三点的坐标分别代入y=ax2+bx+c可得关于字母a、b、c的方程组，求解可得a、b、c的值，从而得到抛物线的解析式；
（2）首先将抛物线的解析式配成顶点式可得抛物线的对称轴直线为x=1，则可得P（2，-3），根据抛物线上点的坐标特点设Q（m，m2-2m-3），在Rt△PQO中，利用勾股定理及平面内两点间距离建立出关于字母m的方程，求解可得m的值，从而得到点Q的坐标；
（3）存在，理由如下：根据抛物线上点的坐标特点设Q（m，m2-2m-3），则Q[m+1，(m+1)2-2(m+1)-3]，设直线PQ交x轴于点H，然后分类讨论：①当点P、Q在x轴下方，且点Q在点P上方时，②当点P、Q在x轴下方，且点P在点Q上方时，③当点P、Q都在x轴上方或者一个在x轴上方，一个在x轴下方，分别利用待定系数法求出直线PQ的解析式，然后令直线PQ解析式中的y=0算出对应的x的值得到OH的长度，进而再根据S=S△OHQ-S△OHP建立出函数关系式，将所得函数解析式配成顶点式即可求出其最小值.
11．（2024九下·吉安月考）如图，抛物线 与x 轴相交于点 A，点B，与y轴相交于点 C.
（1）请直接写出点 A，B，C 的坐标；
（2）点P(m，n)(0（3）F是抛物线上的动点，作 FE//AC 交x轴于点E，是否存在点 F，使得以A，C，E，F 为顶点的四边形是平行四边形 若存在，请直接写出所有符合条件的点F 的坐标；若不存在，请说明理由.
【答案】（1）
（2）如图1，过点 P 作. 轴交 BC 于点 Q.
设直线 BC 的解析式为： 将B(6，0)，C(0，-6)代入，得
解得
∴直线 BC 的解析式为
根据三角形的面积，当平行于直线 BC 且与抛物线只有一个交点时，点 P 到 BC 的距离最大，此时，的面积最大，
时，PQ 的最大值为
面积的最大值为 …
（3）点 F 的坐标为(4，或 或
【知识点】利用一般式求二次函数解析式；二次函数-面积问题；二次函数-特殊四边形存在性问题
【解析】【解答】解：(1)令x=0，则y=-6，故C坐标为(0，-6)，令y=0，即，解得x1=-2，x2=6，
故A(-2，0)、B(6，0)、C(0，-6)
(3)设点F(t，t2-2t-6)，E(n，0)
①AEFC为平行四边形时，由CF||AE知，A→E，C→F，
即n+2=t，t2-2t-6+6=0，得t=4或0(舍)，得F(4，-6)；
②ACEF为平行四边形时，AC||EF，A→C，F→E，CF的中点在x轴上，
即有t2-2t-6+(-6)=0，解得t=或
综上所述点F的坐标为 (4，或 或
【分析】(1)分别令x=0，求出点C的坐标，令y=0，即可求出A和B的坐标；
(2)先求出直线BC的解析式，设点(m，n)，求出△PBC的面积表达式，利用二次函数关系可求得面积的最大值；
(3)ACFE和ACEF为平行四边形进行讨论，结合平移的性质AEFC为平行四边形，A→E，C→F可得t的值，即得点F的坐标；ACEF为平行四边形时，AC||EF，A→C，F→E，CF的中点在x轴上，利用中点坐标公式得t2-2t-6+(-6)=0，解方程即可得t的值.
12．（2024·重庆市模拟）如图1，已知抛物线（a，b为常数，）经过点，，与y轴交于
点C．
（1）求该抛物线的解析式；
（2）如图2，若点P为第二象限内抛物线上一点，连接、、、，当与的面积和最大时，求点P的坐标及此时与的面积和；
（3）如图3，点Q是抛物线上一点，连接，当时，求点Q的坐标．
【答案】（1）∵抛物线点，，
∴，
解方程组得，
∴抛物线的解析式为；
（2）如图2，连接，，
由，
∴，而，，
∴，，
设，
∴，，
，
∴与的面积和
，
当时，面积和最大，
最大面积为：；
∴；
（3）如图3，连接，记，的交点为K，过K作于T，
∵，，，
∴，，，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
设为，
∴，
解得：，
∴直线为，
∴，
解得：或，
∴，
∵K关于x轴对称的点，
此时与抛物线的交点Q也符合题意；
同理可得：直线的解析式为：，
∴，
解得：或，
∴，
综上：或．
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；相似三角形的判定与性质；二次函数-面积问题；二次函数-角度的存在性问题
【解析】【分析】（1）直接利用待定系数法求解抛物线的解析式即可；
（2）连接OP和BP，设点P的横坐标为x，利用x的代数式表示点P的坐标，计算三角形BOC、POC、PAO和PBO的面积，再利用面积的关系构建二次函数，根据二次函数的性质求解。
（3）连接CB，记BQ，AC的交点为K，过K作KT⊥AB于T，证明求出AK的长，得出点K的坐标和直线BK的解析式，再联立求解函数交点坐标即可，同理求出K关于x轴对称的点的坐标，此时与抛物线的交点Q也符合题意；同理可求出直线的解析式，再联立求解函数交点坐标即可．
1 / 1浙教版数学九上章末重难点专训 二次函数综合-面积问题
一、解答题
1．（2024·福建）如图，已知二次函数的图象与轴交于两点，与轴交于点，其中．
（1）求二次函数的表达式；
（2）若是二次函数图象上的一点，且点在第二象限，线段交轴于点的面积是的面积的2倍，求点的坐标．
2．（2023九下·湘桥期末）如图，在平面直角坐标系中，将一等腰直角三角板放在第二象限，且斜靠在两坐标轴上，其中的坐标为，直角顶点的坐标为，点Ｂ在抛物线上．
（1）求抛物线的解析式；
（2）设抛物线的顶点为，连结、，求的面积；
（3）在抛物线上是否还存在点（点B除外），使仍然是以为直角边的等腰直角三角形 若存在，请直接写出所有点的坐标；若不存在，请说明理由．
3．（2024·扬州）本小题分
如图，已知二次函数的图像与轴交于，两点．
（1）求的值．
（2）若点在该二次函数的图象上，且的面积为，求点的坐标．
二、实践探究题
4．（2024·山西）综合与实践
问题情境：如图1，矩形MNKL是学校花园的示意图，其中一个花坛的轮廓可近似看成由抛物线的一部分与线段AB组成的封闭图形，点A，B在矩形的边MN上．现要对该花坛内种植区域进行划分，以种植不同花卉，学校面向全体同学征集设计方案．
方案设计：如图米，AB的垂直平分线与抛物线交于点，与AB交于点，点是抛物线的顶点，且米．欣欣设计的方案如下：
第一步：在线段OP上确定点，使．用篱笆沿线段AC，BC分隔出区域，种植串串红；
第二步：在线段CP上取点（不与C，P重合），过点F作AB的平行线，交抛物线于点D，E．用 笆沿DE，CF将线段AC，BC与抛物线围成的区域分隔成三部分，分别种植不同花色的月季．
方案实施：学校采用了欣欣的方案，在完成第一步区域的分隔后，发现仅剩6米蓠笆材料．若要在第二步分隔中恰好用完6米材料，需确定DE与CF的长．为此，欣欣在图2中以AB所在直线为轴，OP所在直线为轴建立平面直角坐标系，请按照她的方法解决问题：
（1）在图2中画出坐标系，并求抛物线的函数表达式；
（2）求6米材料恰好用完时DE与CF的长；
（3）种植区域分隔完成后，欣欣又想用灯带对该花坛进行装饰，计划将灯带围成一个矩形．她尝试借助图2设计矩形四个顶点的位置，其中两个顶点在抛物线上，另外两个顶点分别在AC，BC上．直接写出符合设计要求的矩形周长的最大值．
5．（2024·巴东模拟）如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线与轴相交于，两点，与轴相交于点为第四象限的抛物线上一动点．
（1）直接写出抛物线的函数表达式；
（2）连接和，当四边形的面积为9时，求点的坐标；
（3）请完成以下探究．
【动手操作】作直线，交抛物线于另一点，过点作轴的垂线，分别交直线，直线于点．
【猜想证明】随着点的运动，线段的长是否为定值？若是，请直接写出该定值并证明；若不是，请说明理由．
6．（2024九下·丰城期中） 某数学兴趣小组运用《几何画板》软件探究型抛物线图象．发现：如图1所示，该类型图象上任意一点P到定点的距离PF，始终等于它到定直线1：的距离PN（该结论不需要证明）．他们称：定点F为图象的焦点，定直线l为图象的准线，叫做抛物线的准线的表达式．准线l与y轴的交点为H．其中原点O为FH的中点，．
例如，抛物线，其焦点坐标为，准线表达式为l：，其中，．
（1）【基础训练】请分别直接写出抛物线的焦点坐标和准线l的表达式；
（2）【技能训练】如图2，已知抛物线上一点到焦点F的距离是它到x轴距离的3倍，求点P的坐标；
（3）【能力提升】
如图3，已知抛物线的焦点为F，准线为l．直线m：交y轴于点C，抛物线上动点P到x轴的距离为，到直线m的距离为，请直接写出的最小值；
（4）【拓展延伸】把抛物线沿y轴向下平移2个单位得抛物线，如图4，点是第二象限内一定点，点P是抛物线上一动点．当取最小值时，请求出△POD的面积．
三、综合题
7．（2024·黑龙江）如图，抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，其中B（1，0），C（0，3）．
（1）求抛物线的解析式；
（2）在第二象限的抛物线上是否存在一点P，使得△APC的面积最大．若存在，请直接写出点P坐标和△APC的面积最大值；若不存在，请说明理由．
8．（2024·眉山） 如图，抛物线与轴交于点和点，与轴交于点，点在抛物线上．
（1）求该抛物线的解析式；
（2）当点在第二象限内，且的面积为3时，求点的坐标；
（3）在直线上是否存在点，使是以为斜边的等腰直角三角形？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由．
9．（2024·凉山州） 如图，抛物线y＝﹣x2+bx+c与直线y＝x+2相交于A（﹣2，0），B（3，m）两点，与x轴相交于另一点C．
（1）求抛物线的解析式；
（2）点P是直线AB上方抛物线上的一个动点（不与A、B重合），过点P作直线PD⊥x轴于点D，交直线AB于点E，当PE＝2ED时，求P点坐标；
（3）抛物线上是否存在点M使△ABM的面积等于△ABC面积的一半？若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由．
10．（2024·遂宁）二次函数的图象与x轴分别交于点，，与y轴交于点，P，Q为抛物线上的两点.
（1）求二次函数的表达式；
（2）当P，C两点关于抛物线对轴对称，是以点P为直角顶点的直角三角形时，求点Q的坐标；
（3）设P的横坐标为m，Q的横坐标为，试探究：的面积S是否存在最小值，若存在，请求出最小值，若不存在，请说明理由.
11．（2024九下·吉安月考）如图，抛物线 与x 轴相交于点 A，点B，与y轴相交于点 C.
（1）请直接写出点 A，B，C 的坐标；
（2）点P(m，n)(0（3）F是抛物线上的动点，作 FE//AC 交x轴于点E，是否存在点 F，使得以A，C，E，F 为顶点的四边形是平行四边形 若存在，请直接写出所有符合条件的点F 的坐标；若不存在，请说明理由.
12．（2024·重庆市模拟）如图1，已知抛物线（a，b为常数，）经过点，，与y轴交于
点C．
（1）求该抛物线的解析式；
（2）如图2，若点P为第二象限内抛物线上一点，连接、、、，当与的面积和最大时，求点P的坐标及此时与的面积和；
（3）如图3，点Q是抛物线上一点，连接，当时，求点Q的坐标．
答案解析部分
1．【答案】（1）解：（1）将A（-2，0），C（0，-2）代入 y=x2+bx+c ，
得，
解得，
所以，二次函数的表达式为 y=x2+x-2 .
（2）解：设 P（m，n）， 因为点在第二象限，所以m＜0，n＞0，
依题意，得，
即，
∴．
由已知，得，
所以，
由，
解得： m1=-3，m2=2 （舍去），
所以点坐标为.
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数-面积问题
【解析】【分析】（1）根据待定系数法求二次函数解析式即可；
（2）设P（m，n），根据同底边三角形的面积比就是对应底边上高的比求得n=4，代入二次函数解析式求得点P的横坐标，即可求解.
2．【答案】（1）；（2）；（3）或
【知识点】二次函数-面积问题
【解析】【分析】（1）作轴于，先证明，得出，，再求出，即可得出点的坐标；把点的坐标代入抛物线，求出的值，即可得出抛物线的解析式；
（2）运用配方法得出的坐标，先用待定系数法求出直线的解析式，求出点的坐标，即可求出；
（3）求出直线的解析式，联立方程组求出直线与抛物线另一交点的坐标，并计算的长度与比较，判断是否为等腰直角三角形，再过点作平行于的直线，求出解析式，求出交点并判断是否为等腰直角三角形即可．
【解答】
解：（1）如图1，作轴于，
则，
，
的坐标为，点的坐标为，
，，
是等腰直角三角形，
，，
，
，
在和中，
，
，
，，
，
点的坐标为；
把代入抛物线，
得：，
解得：，
抛物线的解析式为：；
（2）如图1，由抛物线解析式为，
可得抛物线的顶点，，
设直线的函数解析式为，将点、的坐标代入，
得：，
解得：，
直线的函数解析式为．
设直线和轴交点为，则点，，
．
；
（3）存在．
设直线的解析式为，将，代入，
得：，
解得：，
直线的解析式为，
联立方程组，
解得：，（舍去），
；
，，
，
，
是等腰直角三角形；
过点作直线交抛物线于点，
设直线的解析式为，将代入可得，
直线的解析式为，
联立方程组，
解得：，，
或，
当时，，
，
不是等腰直角三角形，舍去；
当时，，
且，
是等腰直角三角形，
；
综上所述，点的坐标为，．
【点睛】
本题是二次函数综合题目，考查了二次函数解析式的求法、等腰直角三角形的性质和判定、全等三角形的判定与性质、待定系数法求一次函数及二次函数解析式、勾股定理、三角形面积等知识；本题难度较大，综合性强，熟练掌握待定系数法、等腰直角三角形判定和性质等相关知识，灵活运用数形结合思想、方程思想把二次函数的图象与性质与三角形相结合是解题的关键．
3．【答案】（1）解：二次函数的图像与轴交于，两点，
解得，
．
（2）解：由可知二次函数解析式为：，，，
，
设，
，
，
，
当时，，无解，不符合题意，舍去；
当时，，；
．
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数-面积问题
【解析】【分析】(1)把A，B两点代入，列出方程组求出b，c
(2)设，先由A，B两点，求出AB的值，再根据三角形的面积公式：，求出n，再代入二次函数，求出x值即可.
4．【答案】（1）解：建立如图所示的平面直角坐标系．
所在直线是AB的垂直平分线，且，
．
点的坐标为．
点的坐标为．
点是抛物线的顶点，
设抛物线的函数表达式为．
点在抛物线上，
．解，得．
抛物线的函数表达式为．
（2）解：点D，E在抛物线上，
设点的坐标为．
，交轴于点，
．
在Rt中，，
．
．
根据题意，得，
．
解，得（不符合题意，舍去），
．
答：DE的长为4米，CF的长为2米.
（3）解：．
【知识点】二次函数与一次函数的综合应用；利用顶点式求二次函数解析式；二次函数-线段周长问题
【解析】【解答】（3）解：如图所示：矩形HGPK中，点K在直线AC上，点P与点K关于y轴对称
直线AC的解析式为y=kx+b（k≠0），把点A（-3，0），点C（0，3）代入得直线AC解析式：y=x+3
设点K（k，k+3），则P（-k，0），H（k，-k2+9）
∴KP=-2k，HK=-k2+9-（k+3）=-k2-k+6
∴ 矩形HGPK的周长=2（KP+HK）=2（-2k-k2-k+6）=-2k2-6k+12=-2（k+）2+
∴ k=-，矩形周长最大值为.
【分析】本题考查二次函数的综合应用，用待定系数法求二次函数解析式，二次函数的性质，待定系数法求一次函数解析式等知识，结合题目，建立合适的平面直角坐标系，熟练掌握二次函数的性质，求函数解析式是解题关键。（1）由平面直角坐标系得点B（3，0）顶点P（0，9），可得抛物线解析式．；（2）设点的坐标为．结合抛物线对称性得DE=2m，计算OC=3．得CF=-m2+6．结合得m=2，可得DE，CF；（3）求出直线AC解析式：y=x+3设点K（k，k+3），则P（-k，0），H（k，-k2+9）得KP=-2k，HK=-k2+9-（k+3）=-k2-k+6，则矩形HGPK周长=2（KP+HK）=-2（k+）2+，可得 k=-，矩形周长最大值为.
5．【答案】（1）解：由题意得：，
即抛物线的表达式为：
（2）解：如图1，连接，过点作轴交于点，
由点、的坐标得，直线的表达式为：，
设点，则点，
则四边形的面积，
解得：，
即点；
（3）该定值为2
证明：依据题意作图如图2，
设点、的坐标分别为：，
由点、的坐标得，直线的表达式为：，
将代入上式得：，
整理得：；
同理可得，直线的表达式为：，
当时，，
解得：，
同理可得：，
，
则
．
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数-动态几何问题；二次函数-面积问题
【解析】【分析】（1）利用待定系数法求出函数解析式即可；
（2）连接，过点作轴交于点，设点，则点，再利用“ 四边形的面积为9 ”列出方程求解即可；
（3）设点、的坐标分别为：，先求出直线MN和AM的解析式，再求出，，再求出即可．
6．【答案】（1）抛物线中，
，，
抛物线焦点坐标为，准线的方程为，
故答案为：，；
（2）由（1）知抛物线焦点的坐标为，
点，到焦点的距离是它到轴距离的3倍，
，整理得：，
又，
，
解得：或（舍去），
（负值舍去），
点的坐标为
（3）过点作直线交于点，过点作准线交于点，结合题意和（1）中结论可知，，如图：
若使得取最小值，即的值最小，故当，，三点共线时，，即此刻的值最小；
直线m：交y轴于点C，
∴设的坐标为
过点作平行线交轴于一点，如图
即
∴
∵直线与直线垂直，
∴
∵当，，三点共线，
∴
解得
∴
∴点
．
即的最小值为．
（4）把抛物线沿y轴向下平移2个单位得抛物线，
∴
抛物线的焦点坐标为，准线的方程为，
过点作准线交于点，结合题意和（1）中结论可知，则，如图：
若使得取最小值，即的值最小，故当，，三点共线时，，即此刻的值最小；如图：
点的坐标为，准线，
点横坐标为，代入解得，
即，
∴，
则的面积为．
【知识点】二次函数的最值；二次函数-面积问题
【解析】【分析】(1)由题意直接求抛物线的焦点与准线；
(2)设点P的坐标，结合题中所给抛物线的性质得，求解方程即可；
(3)利用抛物线的性质，得=，当F、P、E共线时取最小值；
(4)抛物线向下平移2个单位，即焦点和抛物线也相应向下平移2个单位，求出PO+PD的最小值时的P点坐标，即可求出面积.
7．【答案】（1）解：将B（1，0），C（0，3）代入抛物线y＝﹣x2+bx+c中，
，
解得：，
∴抛物线y＝﹣x2﹣2x+3．
（2）解：存在，P的坐标为（，）；△APC面积的最大值为.
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数-面积问题
【解析】【解答】（2）解：存在，P的坐标为（，）；△APC面积的最大值为.
令y＝0，则0＝﹣x2﹣2x+3，解得：x1＝﹣3，x2＝1，
∴A（﹣3，0），
∴OA＝3，
∵C（0，3），
∴OC＝3，
过点P作PE⊥x轴于点E，
设P（x，﹣x2﹣2x+3），且在第二象限内，
∴OE＝﹣x，AE＝3+x，
∴S△APC＝S△APE+S梯形PCOE﹣S△AOC
AE×PE（OC+PE）×OEOA×OC
（3+x）（﹣x2﹣2x+3）（3﹣x2﹣2x+3）（﹣x）3×3
（x）2
∵0，
∴S△APC有最大值，
∴当x时，S△APC有最大值，最大值为，
此时点P的坐标为（，）．
【分析】（1）利用待定系数法将已知点代入抛物线解析式中组成方程组，解之即可得抛物线解析式；
（2）利用（2）的抛物线解析式求出与x轴交点A坐标，设点P坐标进而利用铅锤法分割表示算法不规则的目标三角形面积，最后利用配方法(非负性结构)分析或二次函数最值分析得出目标三角形面积的最大值及点P的坐标即可.
8．【答案】（1）解：把，代入得：
，
解得，
抛物线的解析式为；
（2）解：过作轴交于，如图：
由，得直线解析式为，
设，则，
，
的面积为3，
，即，
解得或，
的坐标为或；
（3）解：的坐标为或或或．
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数与一次函数的综合应用；二次函数-面积问题；二次函数-特殊三角形存在性问题
【解析】【解答】解：（3）在直线上存在点，使是以为斜边的等腰直角三角形，理由如下：
在中，令得，
解得或，
，，
由，得直线解析式为，
设，，
过作轴于，过作轴于，
①，
当与重合，与重合时，是等腰直角三角形，如图：
此时；
②当在第一象限，在第四象限时，
是以为斜边的等腰直角三角形，
，，
，
，
，
，，
，
解得（小于0，舍去）或，
，
的坐标为；
③当在第四象限，在第三象限时，如图：
是以为斜边的等腰直角三角形，
，，
，
，
，
，，
同理可得，
解得或（大于0，舍去），
，
的坐标为；
④当在第四象限，在第一象限，如图：
是以为斜边的等腰直角三角形，
，，
，
，
，
，，
，
解得（舍去）或，
，
的坐标为；
综上所述，的坐标为或或或．
【分析】（1）将点A、C的坐标代入抛物线的解析式，可得到关于b、c的方程组，解方程组求出b、c的值，可得到抛物线的解析式.
（2）过作轴交于，由点A、C的坐标，可求出直线AC的函数解析式，利用两函数解析式，设，则，可表示出DK的长，利用三角形的面积公式，根据△ACD的面积为3，可得到关于t的方程，解方程求出t的值，即可得到点D的坐标.
（3）利用二次函数解析式，由y=0可求出对应的x的值，可得到点A、B的坐标，利用待定系数法求出直线BC的函数解析式；设，，过作轴于，过作轴于，分情况讨论：OA=OC=3时，当与重合，与重合时，是等腰直角三角形，可得到点P的坐标；当在第一象限，在第四象限时，利用AAS证明△DOM≌△OPN，可推出PN=OM，ON=DM，由此可得到关于m，n的方程组，解方程组求出m，n的值，可得到符合题意的点P的坐标；当在第四象限，在第三象限时，如图：利用AAS证明△DOM≌△OPN，利用 全等三角形的性质可知PN=OM，ON=DM，可得到关于m、n的方程组，解方程组求出n、m的值，可得到符合题意的点P的坐标；当在第四象限，在第一象限，如图：同理可求出符合题意的点P的坐标；综上所述可得到符合题意的点P的坐标.
9．【答案】（1）解：把B（3，m）代入y＝x+2得：m＝3+2＝5，
∴B（3，5），
把A（﹣2，0），B（3，5）代入y＝﹣x2+bx+c得：
∴抛物线的解析式为y＝﹣x2+2x+8；
（2）解：设P（t，﹣t2+2t+8），则E（t，t+2），D（t，0），
∵PE＝2DE，
∴﹣t2+2t+8﹣（t+2）＝2（t+2），
解得t＝1或t＝﹣2（此时P不在直线AB上方，舍去）；
∴P的坐标为（1，9）；
（3）M的坐标为（，）或（，）或（，）或（，）．
【知识点】二次函数-动态几何问题；利用一般式求二次函数解析式；二次函数-面积问题
【解析】【解答】解：（3）抛物线上存在点M，使△ABM的面积等于△ABC面积的一半，理由如下：
过M作MK∥y轴交直线AB于K，如图：
在y＝﹣x2+2x+8中，令y＝0得0＝﹣x2+2x+8，
解得x＝﹣2或x＝4，
∴A（﹣2，0），C（4，0），
∴AC＝6，
∵B（3，5），
∴S△ABC＝×6×5＝15，
设M（m，﹣m2+2m+8），则K（m，m+2），
∴MK＝|﹣m2+2m+8﹣（m+2）|＝|﹣m2+m+6|，
∴S△ABM＝MK |xB﹣xA|＝|﹣m2+m+6|×5＝|﹣m2+m+6|，
∵△ABM的面积等于△ABC面积的一半，
∴|﹣m2+m+6|＝×15，
∴|﹣m2+m+6|＝3，
∴﹣m2+m+6＝3或﹣m2+m+6＝﹣3，
解得m＝或m＝，
∴M的坐标为（，）或（，）或（，）或（，）．
【分析】（1）把点B坐标代入y=x+2求出m的值，再利用待定系数法，即可求得抛物线的解析式；
（2）设P(t，﹣t2+2t+8)，可得E(t，t+2)，D(t，0)，利用PE＝2DE建立关于t的方程并求解，根据点P的位置排除不满足条件的t值即可.
（3）过M作MK∥y轴交直线AB于K，计算出△ABC的面积，设点M（m，﹣m2+2m+8），得MK的长，于是可表示△ABM的面积为S△ABM＝MK |xB﹣xA|. 根据△ABM的面积等于△ABC面积的一半得△ABM的面积，得到关于m的方程，求解即可.
10．【答案】（1）解：把，，代入得，
，
解得，
二次函数的表达式为；
（2）解：如图：
∵y=x2-2x-3=(x-1)2-4，
∴抛物线对称轴为直线，
P，C两点关于抛物线对轴对称，，
，
设，
，
，
，
整理得，，
解得，（舍去），
，
；
（3）解：存在，理由如下：
设点，则点，设直线PQ交x轴于点H，
当点P、Q在x轴下方，且点Q在点P上方时，
设直线PQ表达式为：，
代入，，得：，
解得：，
直线PQ的表达式为：，
令，得，
∴，
∴，
∴
即S存在最小值为；
当点P、Q在x轴下方，且点P在点Q上方时，
同上可求直线PQ表达式为：，
令，得，
∴，
∴，
∴
即S存在最小值为；
当点P、Q都在x轴上方或者一个在x轴上方，一个在x轴下方，
同理可求，
即S存在最小值为，
综上所述，的面积S是否存在最小值，且为.
【知识点】勾股定理；二次函数与一次函数的综合应用；利用一般式求二次函数解析式；二次函数-面积问题
【解析】【分析】（1）将A、B、C三点的坐标分别代入y=ax2+bx+c可得关于字母a、b、c的方程组，求解可得a、b、c的值，从而得到抛物线的解析式；
（2）首先将抛物线的解析式配成顶点式可得抛物线的对称轴直线为x=1，则可得P（2，-3），根据抛物线上点的坐标特点设Q（m，m2-2m-3），在Rt△PQO中，利用勾股定理及平面内两点间距离建立出关于字母m的方程，求解可得m的值，从而得到点Q的坐标；
（3）存在，理由如下：根据抛物线上点的坐标特点设Q（m，m2-2m-3），则Q[m+1，(m+1)2-2(m+1)-3]，设直线PQ交x轴于点H，然后分类讨论：①当点P、Q在x轴下方，且点Q在点P上方时，②当点P、Q在x轴下方，且点P在点Q上方时，③当点P、Q都在x轴上方或者一个在x轴上方，一个在x轴下方，分别利用待定系数法求出直线PQ的解析式，然后令直线PQ解析式中的y=0算出对应的x的值得到OH的长度，进而再根据S=S△OHQ-S△OHP建立出函数关系式，将所得函数解析式配成顶点式即可求出其最小值.
11．【答案】（1）
（2）如图1，过点 P 作. 轴交 BC 于点 Q.
设直线 BC 的解析式为： 将B(6，0)，C(0，-6)代入，得
解得
∴直线 BC 的解析式为
根据三角形的面积，当平行于直线 BC 且与抛物线只有一个交点时，点 P 到 BC 的距离最大，此时，的面积最大，
时，PQ 的最大值为
面积的最大值为 …
（3）点 F 的坐标为(4，或 或
【知识点】利用一般式求二次函数解析式；二次函数-面积问题；二次函数-特殊四边形存在性问题
【解析】【解答】解：(1)令x=0，则y=-6，故C坐标为(0，-6)，令y=0，即，解得x1=-2，x2=6，
故A(-2，0)、B(6，0)、C(0，-6)
(3)设点F(t，t2-2t-6)，E(n，0)
①AEFC为平行四边形时，由CF||AE知，A→E，C→F，
即n+2=t，t2-2t-6+6=0，得t=4或0(舍)，得F(4，-6)；
②ACEF为平行四边形时，AC||EF，A→C，F→E，CF的中点在x轴上，
即有t2-2t-6+(-6)=0，解得t=或
综上所述点F的坐标为 (4，或 或
【分析】(1)分别令x=0，求出点C的坐标，令y=0，即可求出A和B的坐标；
(2)先求出直线BC的解析式，设点(m，n)，求出△PBC的面积表达式，利用二次函数关系可求得面积的最大值；
(3)ACFE和ACEF为平行四边形进行讨论，结合平移的性质AEFC为平行四边形，A→E，C→F可得t的值，即得点F的坐标；ACEF为平行四边形时，AC||EF，A→C，F→E，CF的中点在x轴上，利用中点坐标公式得t2-2t-6+(-6)=0，解方程即可得t的值.
12．【答案】（1）∵抛物线点，，
∴，
解方程组得，
∴抛物线的解析式为；
（2）如图2，连接，，
由，
∴，而，，
∴，，
设，
∴，，
，
∴与的面积和
，
当时，面积和最大，
最大面积为：；
∴；
（3）如图3，连接，记，的交点为K，过K作于T，
∵，，，
∴，，，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
设为，
∴，
解得：，
∴直线为，
∴，
解得：或，
∴，
∵K关于x轴对称的点，
此时与抛物线的交点Q也符合题意；
同理可得：直线的解析式为：，
∴，
解得：或，
∴，
综上：或．
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；相似三角形的判定与性质；二次函数-面积问题；二次函数-角度的存在性问题
【解析】【分析】（1）直接利用待定系数法求解抛物线的解析式即可；
（2）连接OP和BP，设点P的横坐标为x，利用x的代数式表示点P的坐标，计算三角形BOC、POC、PAO和PBO的面积，再利用面积的关系构建二次函数，根据二次函数的性质求解。
（3）连接CB，记BQ，AC的交点为K，过K作KT⊥AB于T，证明求出AK的长，得出点K的坐标和直线BK的解析式，再联立求解函数交点坐标即可，同理求出K关于x轴对称的点的坐标，此时与抛物线的交点Q也符合题意；同理可求出直线的解析式，再联立求解函数交点坐标即可．
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