浙教版数学九上章末重难点专训 二次函数的与不等式（组）、一元二次方程、一次函数的综合运用
一、选择题
1．（2023九上·黄山期中）如下表中列出了二次函数的一些对应值，则一元二次方程的其中一个近似解的范围是（ ）
x … 0 1 …
y … 1 1 …
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】利用二次函数图象求一元二次方程的近似根；二次函数与一元二次方程的综合应用
【解析】【解答】解：当时，；当时，，
∴方程的一个近似根的范围是，
故答案为：C.
【分析】根据一元二次方程的解的定义，结合表格中的数据求解。观察表格可得出“当时，；当时，”，由此即可得出结论．
2．（2022九上·霍邱月考）一次函数y1=mx+n(m≠0)与二次函数y2=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图所示，则不等式ax2+bx+c>mx+n的解集为（ ）
A．-43或x<-4
【答案】A
【知识点】二次函数与不等式（组）的综合应用；二次函数与一次函数的综合应用
【解析】【解答】解：由一次函数y1=mx+n(m≠0)与二次函数y2=ax2+bx+c(a≠0)的图象可知：
不等式ax2+bx+c>mx+n的解集为： -4故答案为：A.
【分析】利用一次函数和二次函数的图象与性质求解集即可。
3．（2022九上·晋安月考）如图，抛物线y1＝ax2+bx+c与直线y2＝mx+n相交于点（3，0）和（0，3），若ax2+bx+c＞mx+n，则x的取值范围是（ ）
A．0＜x＜3 B．1＜x＜3 C．x＜0或x＞3 D．x＜1减x＞3
【答案】C
【知识点】二次函数与不等式（组）的综合应用
【解析】【解答】解：根据函数图象，
当x＜0或x＞3时，y1＞y2，
所以ax2+bx+c＞mx+n的解集为x＜0或x＞3.
故答案为：C.
【分析】根据图象，找出抛物线在直线上方部分所对应的x的范围即可.
4．（2024九下·河源月考）如图，抛物线的对称轴为直线，与x轴的一个交点坐标为，其部分图象如图所示，其中结论不正确的是（ ）．
A．
B．方程的两个根是，
C．
D．当时，y随x增大而增大
【答案】C
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）；二次函数图象与系数的关系；二次函数图象与坐标轴的交点问题；二次函数y=ax²+bx+c的性质；二次函数与一元二次方程的综合应用
【解析】【解答】解：A、由图象及条件可知，抛物线与x轴有两个交点，即ax2+bx+c=0有两个不同实数解，因此b2-4ac＞0，即b2＞4ac，故此选项正确，不符合题意；
B、对称轴为x=1，与x轴的一个交点为（-1，0），则ax2+bx+c=0的两个根满足，其中代入x1=-1，则解得x2=3，故此选项正确，不符合题意；
C、由B可知x1=-1，x2=3，则x1x2==-3，则c=-3a，即3a+c=0，故此选项错误，符合题意；
D、由图象可知，当x＜0时，y随x的增大而增大，故此选项正确，不符合题意.
故答案为：C.
【分析】由抛物线与x轴的交点个数可判断A选项；由抛物线的对称性及与x轴交点的横坐标可判断B选项；根据一元二次方程根与系数的关系可判断C选项；根据抛物线的增减性可判断D选项.
5．（2023·衡阳）已知，若关于x的方程的解为．关于x的方程的解为．则下列结论正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】二次函数与一元二次方程的综合应用
【解析】【解答】解：如图所示：设直线y=m与抛物线 交于A、B两点，直线y=n与抛物线 交于C、D两点，
∵，关于x的方程的解为．关于x的方程的解为，
∴，
故答案为：B.
【分析】先作图，再结合题意，比较大小即可。
6．（2024·宁波模拟）已知ac≠0，若二次函数y1＝ax2+bx+c的图象与x轴交于两个不同的点A（x1，0），B（x2，0），二次函数y2＝cx2+bx+a的图象与x轴交于两个不同的点C（x3，0），D（x4，0），则（ ）
A．x1+x2+x3+x4＝1 B．x1x2x3x4＝1
C． D．
【答案】B
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）；二次函数与一元二次方程的综合应用
【解析】【解答】解：∵ac≠0，二次函数y1=ax2+bx+c的图象与x轴交于两个不同的点A（x1，0），B（x2，0），
∴关于x的方程ax2+bx+c=0的根分别是：x1、x2，
∴，；
∵ac≠0，二次函数y2=cx2+bx+a的图象与x轴交于两个不同的点C（x3，0），D（x4，0），
∴关于x的方程cx2+bx+a=0的根分别是：x3、x4，
∴，；
，A不符合题意；
，B符合题意；
，C不符合题意；
，D不符合题意；
故答案为：B.
【分析】根据一元二次方程与二次函数的关系可得关于x的方程ax2+bx+c=0的根分别是：x1、x2，关于x的方程cx2+bx+a=0的根分别是：x3、x4，结合根与系数的关系可得，，，，逐项计算即可求解.
7．（2024·蒸湘模拟）如图是二次函数和一次函数的图象，当时，x的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．或
【答案】D
【知识点】二次函数与不等式（组）的综合应用；二次函数与一次函数的综合应用
【解析】【解答】解：根据图像，函数和的图像的两交点的横坐标为2和，
∵当或时，二次函数图象在直线的下方，
∴当时，x的取值范围是或，
故答案为：D．
【分析】先确定二次函数图象在直线下方部分，再确定这部分图象对应的x的取值范围即可。
8．（2024九下·余杭月考）设函数的图象与轴交点的横坐标分别为，，函数的图象与轴交点的横坐标分别为，.当和时，函数的值分别为，；当和时，函数的值分别为，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】二次函数图象与坐标轴的交点问题；二次函数与一元二次方程的综合应用
【解析】【解答】解：∵a1、β1是方程x2+bx+c=0的两根，α2、β2是方程x2+dx+e=0的两根，
∴α1+β1=-b，α1·β1=c，α2+β2=-d，α2·β2=e.
∵当x=α2和β2时，函数y的值分别为A1，B1，
∴A1=α22+bα2+c=α22-(α1+β1)α2+α1β1=(α2-α1)(α2-β1)，
B1=β22+bβ2+c=β22-(α1+β1)β2+α1·β1=(β2-α1)(β2-β1).
∵当x=α1和β1时，函数y2的值分别为A2，B2，
A2=α12+bα1+c=α12-(α2+β2)α1+α2β2=(α1-α2)(α1-β2)，
B2=β12+bβ1+c=β12-(α2+β2)β1+α2·β2=(β1-α2)(β1-β2).
∴A1B1=(α2-α1)(α2-β1)(β2-α1)(β2-β1)，
A2B2=(α1-α2)(α1-β2)(β1-α2)(β1-β2)=(α2-α1)(α2-β1)(β2-α1)(β2-β1)，
∴A1B1=A2B2.
故答案为：A.
【分析】利用抛物线与x轴的交点的横坐标与一元二次方程的根的关系，根据一元二次方程的根与系数的关系得到α1+β1=-b，α1·β1=c，α2+β2=-d，α2·β2=e，分别求得A1，B1，A2，B2，利用因式分解的应用整理即可得出结论.
9．（2024九上·平山期末）如图，抛物线与x轴交于C、D两点（点C在点D的左侧），顶点在线段上运动，轴，，，则下列结论中正确的是（ ）
A．
B．当时，一定有y随x的增大而增大
C．
D．若点C的坐标为，则点D的坐标为
【答案】D
【知识点】二次函数图象与系数的关系；二次函数图象与坐标轴的交点问题；二次函数y=ax²+bx+c的图象；二次函数y=ax²+bx+c的性质；二次函数与一元二次方程的综合应用
【解析】【解答】解：由图可知，有两个不相等的实数根，
∴，A不符合题意；
取抛物线顶点横坐标为，由二次函数的性质可知，时，y随x的增大而减小，B不符合题意；
由题意知，，抛物线的顶点坐标为，
∴，，
即，，
∴，C不符合题意；
令，设点D的坐标为，则，
由根与系数的关系可得，，，
∴，
解得，即，
∴点D的坐标为，D符合题意；
故答案为：D
【分析】结合“抛物线与x轴交于C、D两点”可知有两个不相等的实数根，根据判别式得，据此可判断A；结合“顶点在线段上运动”，可令抛物线顶点横坐标为，根据二次函数图象可知，当时，y随x的增大而减小，据此可判断B；根据“，”可知，再根据抛物线解析式可知抛物线的顶点坐标为，由此可得，，计算得出c的取值范围，据此可判断C；令，设点D的坐标为，结合题意可知，根据根与系数关系可得，，，再根据计算即可得到的值，据此可判断D。
二、填空题
10．（2022九上·南昌期中）二次函数的图象如图，若一元二次方程有实数根，则的最小值为
【答案】-3
【知识点】二次函数与一元二次方程的综合应用
【解析】【解答】解：如图，画直线
当直线与函数的图像有交点时，
则方程有实数根，
由图像可得：当直线过的顶点时，有最小值，
此时：
故答案为：-3
【分析】根据一次函数与二次函数的关系，结合函数图象求解即可。
11．（江西省宜春市丰城市江西省丰城中学2023-2024学年九年级下学期期中数学试题） 如图，已知抛物线与直线交于两点，则关于x的不等式的解集是 ．
【答案】
【知识点】二次函数与不等式（组）的综合应用
【解析】【解答】解：由在A点右侧且在B点左侧，二次函数图象在直线的上方，此时.
答案：
【分析】由不等关系，在A、B左右两侧找到满足题意的范围，即可求出x的范围.
12．（2024·永修模拟）若抛物线与x轴只有一个交点，则m的值为 .
【答案】-1
【知识点】二次函数与一元二次方程的综合应用
【解析】【解答】解：∵抛物线与轴只有一个交点，
∴，
解得，
故答案为：
【分析】根据抛物线的解析式结合一元二次方程根的判别式即可求解。
13．（2024·耒阳模拟） 二次函数的图象如图所示，若关于x的一元二次方程有实数根，则m的值可以为 （写出一个值即可）
【答案】（答案不唯一）
【知识点】二次函数图象与系数的关系；二次函数y=ax²+bx+c的图象；二次函数y=ax²+bx+c的性质；二次函数与一元二次方程的综合应用
【解析】【解答】解： 二次函数的图象与x轴有两个交点，
关于x的一元二次方程 的判别式大于0，将方程化为一般式得，
即
二次函数图象开口向上，
a>0，
由图象可得最小值为-3，c=0，
m<3，
故答案为：（答案不唯一） .
【分析】先根据图象与x轴有两个交点求得再结合最小值为-3得到代入即可求解.
14．（2024九下·武汉月考） 抛物线的对称轴是直线，经过点，且．下列结论：
①；
②；
③若和是抛物线上的两点，则当时，；
④若抛物线的顶点坐标为，则关于的方程无实数根其中正确的结论是 （填写序号）．
【答案】①②④
【知识点】二次函数图象与系数的关系；二次函数y=ax²+bx+c的性质；二次函数与一元二次方程的综合应用
【解析】【解答】解：∵ 抛物线的对称轴是直线，
∴，即b=2a，
∵b>0，
∴a>0，即开口向上，
∵ 经过点，
∴与x轴的另一个交点为(1，0)，
∴抛物线与y的交点在x轴的下方，
∴c<0，故 ① 正确；
∵抛物线与x轴的另一个交点为(1，0)，
∴a+b+c=0，故②正确；
设点，
当时，
∴点P到直线x=-1的距离比点Q到直线x=-1的距离要大，
∴，故③错误；
∵抛物线的顶点坐标为(-1，m)，
即当x=-1，函数有最小值，最小值为m，
∴抛物线与直线y=m-1没有交点，
∴ 无实数根，故④正确；
综上所述，①②④正确.
故答案为：①②④.
【分析】根据抛物线的开口方向判断a与0的关系，得到a>0，即开口向上，根据抛物线与y轴的交点判断c与0的关系，得到c<0，即① 正确；根据抛物线与x轴的另一个交点为(1，0)，得到②正确；根据抛物线开口向上，距离对称轴距离越远的y值越大，得到③错误；由抛物线的顶点坐标为(-1，m)，可知当x=-1，函数有最小值，最小值为m，进而得到 无实数根，得到④正确.
15．（2024九下·岳阳月考）若关于x的方程恰有三个根，则t的值为 .
【答案】或
【知识点】二次函数与一次函数的综合应用；二次函数与一元二次方程的综合应用
【解析】【解答】解：的根的个数即函数与的图象的交点个数，
由题意作函数的图象如图：
结合图象可知，
当过点或与相切时，两函数图象有三个交点，
将代入得
联立和得：，
则，
解得：
或
故答案为：或．
【分析】作函数的图象，直线y=x+t与图象有三个交点，有两种情况：当y=x+t过点（1，0）或与相切时，把点（1，0）代入y=x+t，求出t的值；联立后整 理为一元二次方程，方程有两个相等的实数根，利用根的判别式的值为零求出t的值。
16．如图，直线y=x+2与y轴交于点A，与直线y=x交于点B．以AB为边向右作菱形ABCD，点C恰好与原点O重合．抛物线y=(x-h)2+k的顶点在直线y=x上移动．若抛物线与菱形的边AB，BC都有公共点，则h的取值范围是
【答案】-2≤h≤
【知识点】二次函数与一次函数的综合应用；二次函数与一元二次方程的综合应用
【解析】【解答】解：把x＝0代入y=x+2得：y＝2，
∴A（0，2）．
由得
解得：
∴B（-2，1）．
∵抛物线y＝（x-h）2+k的顶点在直线y=x上，
∴抛物线的顶点坐标为（h，k）且k=h．
∴抛物线的解析式为y＝（x-h）2h．
当抛物线经过点O时，抛物线恰好与BO、AB均有交点，
将点C（0，0）代入y＝（x-h）2h得：h2h＝0，解得h＝0（舍去）或h=．
当抛物线经过点B时，抛物线恰好与BO、AB均有交点，
此时点B恰好为抛物线的顶点，
∴h＝-2．
∴当-2≤h≤时，抛物线与线段AB、BO都有公共点．
故答案为：-2≤h≤.
【分析】 把x＝0代入y=x+2求得对应的y的值，从而可得到点A的坐标，然后将y=x+2与y=x联立求得方程组的解，从而可得到点B的坐标，接下来，根据抛物线的顶点在直线y=x上可得到h与k的关系，则抛物线的解析式可变形为y＝（x-h）2h，最后，求得当抛物线恰好与线段AB、BO都有公共点时h的值，从而可得到h的取值范围．
三、解答题
17．（2024·常德模拟）如图，二次函数y＝ax2的图象与x轴交于点A（3，0），与y轴交于点B（0，-2）.
（1）求二次函数的解析式；
（2）若点P为抛物线上一动点（直线AB上方），且S△PBA＝4，求点P的坐标.
【答案】（1）∵二次函数y＝ax2的图象经过A（3，0），B（0，-2）两点，
9a-4+c＝0，解得
c＝-2，
∴二次函数的解析式为x2；
（2）设直线AB的解析式为y＝kx+b（k≠0）， ∵y＝kx+b的图象经过A（3，0），B（0，-2）两点，
∴，解得
∴直线AB的解析式为，
在y轴上取一点C（0，m）（m＞-2），使△ABC的面积为4，
可得BC＝m+2，OA＝3，
则S△·OA，即（m+2）×3＝4，解得m ，
∴点C的坐标为（0，），……（6分）如解图① ，② ，过点C作CP∥AB，交抛物线于点P，则S（△ABC）＝S（△ABP）＝4，
设直线CP的解析式为，将点C的坐标（0，）代入，得
∴直线CP的解析式为
联立，解得或
∴点P的坐标为（4，）或（-1，0）.
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数与一次函数的综合应用
【解析】【分析】（1）将点A、B的坐标代入y＝ax2，再求出a、c的值，即可得到二次函数解析式；
（2）先求出直线AB的解析式和CP的解析式，再联立方程组求解即可.
18．（2024·玉溪模拟）已知抛物线.
（1）当时，求该抛物线的对称轴；
（2）当该抛物线与轴两交点的横坐标都为正整数时，求整数的值.
【答案】（1）当时，，
抛物线的对称轴是直线.
（2）当时，
解得：，，
抛物线与轴两交点的横坐标都为正整数，
为正整数，
或2或4，
解得：或4或6，
综上，该抛物线与轴两交点的横坐标都为正整数时，整数的值为3或4或6.
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数与一元二次方程的综合应用
【解析】【分析】（1）把m=1代入抛物线的解析式中，即可求解；
（2）当y=0时，得到关于x的一元二次方程，解方程可得两交点的横坐标，根据横坐标为正整数，结合分式的值为正整数求解即可．
19．（2024九下·枣阳期中） “五一”前夕，某超市销售一款商品，进价每件75元，售价每件140元，每天销售40件，每销售一件需支付给超市管理费5元．从五月一日开始，该超市对这款商品开展为期一个月“每天降价1元”的促销活动，即从第一天（5月1日）开始每天的售价均比前一天降低1元．通过市场调查发现，该商品的日销售量y（件）与第x天（，且x为整数）之间存在一次函数关系，x，y之间的部分数值对应关系如下表：
第x天 5 10 15 20
日销售量y（件） 50 60 70 80
（1）直接写出y与x的函数关系式 ；
（2）设第x天的利润为W元，试求出W与x之间的函数关系式，并求出哪一天的利润最大？最大利润是多少元？
（3）销售20天后，由于某种原因，该商品的进价从第21天开始每件下降4元，其他条件保持不变，求超市在这一个月中，该商品的日销售利润不低于3430元的共有多少天？
【答案】（1）
（2）解：根据题意可得，
，
∵，，
∴当时，W有最大值为3200元．
即第20天利润最大，最大利润为3200元．
（3）解：根据题意，当时，
，
当时，，
解得，，，
∵，且x为整数，∴时，，
即从第21天开始到第29天日销售利润不低于3430元．
由（2）知，当时，日销售利润均低于3430元，
∴这一个月中，超市该商品的日销售利润不低于3430元的共有9天．
【知识点】二次函数与一次函数的综合应用
【解析】【解答】解：（1）设y与x的函数关系式为y=kx+b，
将(5，50)，(10，60)代入得到，
，
解得：，
∴y与x的函数关系式为.
故答案为：.
【分析】（1）设y与x的函数关系式为y=kx+b，根据待定系数法即可求得y与x的函数关系式 ；
（2）根据“总利润=每件利润×销售量”，得到，根据二次函数的性质求得最值，即可得到答案；
（3）根据题意得到当时，，解得，，根据，且x为整数，得到当时，，即从第21天开始到第29天日销售利润不低于3430元，结合(2)可知当时，日销售利润均低于3430元，即可得到答案.
20．（2023九上·萧山月考）已知抛物线经过点.请解决下列问题：
（1）点分别落在抛物线上，且，求的值.
（2）当时，
①求的取值范围.
②若，求的值.
【答案】（1）对称轴，
抛物线经过点.
（2）①当时，，
.
②当时，.
若，即时，
，
则，
解得(舍去).
若，即时，
，
则，
解得(舍去)，.
综上所述：或.
【知识点】二次函数的最值；二次函数与不等式（组）的综合应用；二次函数y=ax²+bx+c的性质
【解析】【分析】(1)利用二次函数的性质可得对称轴为直线，进而解得m=2，再将点P坐标代入解析式求得k的值.
（2） ① 将点P坐标代入二次函数解析式得到k关于m的表达式，再利用函数性质求得k的取值范围.
② 由二次函数的性质可得当时，，当时，，解得；当时，，解得.
四、实践探究题
21．（2024·赤峰）如图，是某公园的一种水上娱乐项目.数学兴趣小组对该项目中的数学问题进行了深入研究.下面是该小组绘制的水滑道截面图，如图1，人从点A处沿水滑道下滑至点B处腾空飞出后落入水池.以地面所在的水平线为x轴，过腾空点B与x轴垂直的直线为y轴，O为坐标原点，建立平面直角坐标系.他们把水滑道和人腾空飞出后经过的路径都近似看作是抛物线的一部分.根据测量和调查得到的数据和信息，设计了以下三个问题，请你解决.
（1）如图1，点B与地面的距离为2米，水滑道最低点C与地面的距离为米，点C到点B的水平距离为3米，则水滑道所在抛物线的解析式为 ；
（2）如图1，腾空点B与对面水池边缘的水平距离米，人腾空后的落点D与水池边缘的安全距离不少于3米.若某人腾空后的路径形成的抛物线恰好与抛物线关于点B成中心对称.
①请直接写出此人腾空后的最大高度和抛物线的解析式；
②此人腾空飞出后的落点D是否在安全范围内？请说明理由（水面与地面之间的高度差忽略不计）；
（3）为消除安全隐患，公园计划对水滑道进行加固.如图2，水滑道已经有两条加固钢架，一条是水滑道距地面4米的点M处竖直支撑的钢架，另一条是点M与点B之间连接支撑的钢架.现在需要在水滑道下方加固一条支撑钢架，为了美观，要求这条钢架与平行，且与水滑道有唯一公共点，一端固定在钢架上，另一端固定在地面上.请你计算出这条钢架的长度（结果保留根号）.
【答案】（1）
（2）①人腾空后的路径形成的抛物线恰好与抛物线关于点B成中心对称，
则设人腾空后的路径形成的抛物线的解析式为，
人腾空后的路径形成的抛物线的顶点坐标与抛物线的顶点坐标关于点成中心对称，
，
人腾空后的路径形成的抛物线的顶点坐标为，即，，
∴此人腾空后的最大高度是米，人腾空后的路径形成的抛物线的解析式为：；
由①知人腾空后的路径形成的抛物线的解析式为：，
令，则，即
或（舍去，不符合题意），
点，
，
，
，
此人腾空飞出后的落点D在安全范围内；
（3）根据题意可得M点的纵坐标为4，
令，即，
（舍去，不符合题意）或，
，
设所在直线的解析式为，
将代入得：，
解得：，
所在直线的解析式为，
如图，设这条钢架为，与交于点G，与地面交于H，
这条钢架与平行，
设该钢架所在直线的解析式为，
联立，即，
整理得：，
该钢架与水滑道有唯一公共点，
，
即该钢架所在直线的解析式为，
点H与点O重合，
，，，
，
这条钢架的长度为米.
【知识点】二次函数与一次函数的综合应用；二次函数的其他应用
【解析】【解答】解：（1）由题意得水滑道所在抛物线的顶点C（-3，），B（0，2），
可设y=a（x+3）2+，
把B（0，2）代入得2=a（0+3）2+，解得a=，
∴，
故答案为：.
【分析】（1）由题意得水滑道所在抛物线的顶点C（-3，），B（0，2），利用待定系数法（顶点式）求解析式即可；
（2）①由题意知：抛物线恰好与抛物线关于点B成中心对称，可得抛物线的顶点与抛物线的顶点C关于点B成中心对称，则B是它们的中点，由B、C的坐标可求出的顶点为（3，），即得此人腾空后的最大高度；再利用待定系数法（顶点式）求解析式即可；
②由①知抛物线的解析式为：，令求出x值，即得OD的长，继而求出DE，再比较即可判断；
（3）由所在抛物线可求出，再求的解析式为，再画出图形找出所求这条钢架为，由GH∥BM，可设所在直线的解析式为，联立，可得方程，由于该钢架与水滑道有唯一公共点，可得△=0，可求出n=0，即得，可知点H与点O重合，先求出GN，再利用勾股定理求出GH即可.
22．（2024九下·道县期中） 定义：在平面直角坐标系中，设直线的解析式为：(为常数且)，当直线与一条曲线有且只有一个公共点时，我们称直线与这条曲线“相切”，这个公共点叫做“切点”．根据定义，完成下列问题．
（1）求直线：与曲线的切点坐标；
（2）已知函数，函数，是否存在二次函数，其图象过点，使得直线与曲线都相切于同一点 若存在，求出的解析式若不存在，请说明理由；
（3）已知直线，直线是抛物线的两条切线，当与的交点的纵坐标为4时，试判断是否为定值，并说明理由．
【答案】（1）解：联立，得：，
解得：，切点坐标为；
（2）解：直线与二次函数相切，
联立，得：，
解得：，切点为，
与，都相切于同一点，
经过点，，
解得：，，
联立，得：，
解得：，
，，
的解析式为：；
（3）解：是定值，，
理由如下：
与的交点的纵坐标为4，
令，
直线，直线，
，，
直线，直线，
联立，得：，
直线是抛物线的切线，
，
同理可得：，
为的两根，
．
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）；一次函数与二元一次方程（组）的关系；二次函数与一次函数的综合应用
【解析】【分析】（1） 联立， 解方程组即可求出切点坐标；
（2）先联立，求出切点为（1，2），再根据三个函数都经过同一个切点可知经过点，，将点，代入y3函数关系式，解出， 进而得到，再联立，根据“相切”的定义得到方程只有1个解，再利用判别式求出a的值，即可得到y3的表达式；
（3）由与的交点的纵坐标为4 ，可令，分别代入与的表达式变形得到，，进而得到直线，直线，联立与得到，再由直线与都是抛物线的切线，得到，则，，进而得到为的两根，然后利用韦达定理即可得到是定值.
23．（2024·遵义会模拟）规定[n， n-3， --3](n为正整数)为二次函数 的“函系数”，
如： 当n=1时， 的“函系数”为[1， --2， --3]；
当n = 2 时， 的“函系数”为[2， --1， --3]；
设二次函数yn与x轴的交点分别为An，Bn(点An在Bn的左边) .
（1）当n=5时，对应的二次函数的解析式为 ；
（2） 求点An， Bn的坐标(用含 n的式子表示) .
（3）当n≥4时，二次函数 与直线y=-3的一个交点为( (点Cn不在y轴上).判断线段 和线段( 的数量关系，并说明理由.
【答案】（1）
（2）解：当 时，
解得：
点 的坐标分别为
（3）解：， 理由如下：
由 知 ， 则
解得：
点 不在 轴上
【知识点】二次函数与一次函数的综合应用；二次函数的其他应用
【解析】【解答】解：（1）由题意可得：
当n=5时，
故答案为：
【分析】（1）根据题意将n=5代入函数解析式即可求出答案.
（2）根据x轴上点的坐标特征列出方程，解方程即可求出答案.
（3）由 知 ， 则 ，，令解方程可得，由点 不在 轴上可得，，则，即可求出答案.
五、综合题
24．（2024·广州） 已知抛物线过点和点，直线过点，交线段于点，记的周长为，的周长为，且．
（1）求抛物线的对称轴；
（2）求的值；
（3）直线绕点以每秒的速度顺时针旋转秒后得到直线，当时，直线交抛物线于，两点．
①求的值；
②设的面积为，若对于任意的，均有成立，求的最大值及此时抛物线的解析式．
【答案】（1）解：由抛物线的表达式知，其对称轴为直线；
（2）解：直线：过点，则该直线的表达式为：，
当时，，
则，
，即，
其中，，上式变为：，
即，
而函数的对称轴为直线，由函数的对称性知，，
即，
则，
解得：；
（3）解：①当时，一次函数的表达式为：，
该直线和轴的夹角为，
则秒；
②由①知，为：，如下图：
则，
联立直线和抛物线的表达式得：，
即，
设点、的横坐标为，，
则，，
则，
则，
当时，等号成立，
即的最大值为：，，
则抛物线的表达式为：．
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）；二次函数与一次函数的综合应用
【解析】【分析】（1）由抛物线的对称轴直线公式“”可直接算出抛物线的对称轴直线；
（2）由题意可得直线l的解析式为y=m2(x-3)+1，由点的坐标与图形性质可得点D的纵坐标为2，故将y=2代入可得，由C1=C2+2，即AC+CD+AD=BC+CD+BD+2得到2xD=xA+xB+2，即可求解；
（3）①当m=±1时，一次函数的解析式为y=m2(x-3)+1=x-2，该直线和x轴的夹角为45°，即可求解；
②由①可得l为y=1，则，联立直线l与抛物线的解析式可得x2-6x-a2+2a=0，设E、F得横坐标为m、n，由根与系数的关系得m+n=6，mn=-a2+2a，根据两点间的距离公式得，从而代入即可求解.
25．（2024·广州模拟）已知：抛物线：.
（1）若顶点坐标为，求b和c的值（用含a的代数式表示）；
（2）当时，求函数的最大值；
（3）若不论m为任何实数，直线与抛物线有且只有一个公共点，求a，b，c的值；此时，若时，抛物线的最小值为k，求k的值.
【答案】（1）解：(1)抛物线的解析式y=a(x-1)2+1，即y=ax2-2ax+a+1，于是b=-2a，c=a+1；
（2）（2）当c<0时，△=b2-4ac>0，故抛物线C1与x轴必有交点，故，故≤-1，故y的最小值为-1.
（3）(3)直线与抛物线联立得，即直线与抛物线有且仅有一个公共点，有△=0，即恒成立，得
1-a=0，-2(2a+b)=0，b2-4ac=0，解得a=1，b=-2，c=1，此时抛物线解析式为y=x2-2x=1
抛物线开口向上，且对称轴为直线x=1，而时，抛物线的最小值为k，则
①当k<0时，k+1<1，当时，y随x的增大而减少，当x=k+1时，取最小值k，即(k+1-1)2=k，解得k=0或k=1，均不符合题意，舍去；
②当0≤k≤1时，当x=1时，取最小值0，即k=0；
③当k>1时，y随x的增大而增大，当x=k时，y有最小值k，则(k-1)2=k，得k=或
而k>1，故k=
综上所述，k=0或.
【知识点】二次函数与一次函数的综合应用
【解析】【分析】(1)直接将抛物线写成顶点式，展开后对照即可；
(2)由题意知抛物线与x轴恒有交点，得，即可求出函数的最小值；
(3)先联立直线与抛物线，得a、b、c的值，从而确定抛物线的解析式，对称轴确定而x的范围不确定，分3类当k<0时，当0≤k≤1时，当k>1时进行讨论，即可得k的值.
26．（2023九下·武汉月考）春回大地，万物复苏，又是一年花季到.某花圃基地计划将如图所示的一块长40 m，宽20 m的矩形空地划分成五块小矩形区域.其中一块正方形空地为育苗区，另一块空地为活动区，其余空地为种植区，分别种植A，B，C三种花卉.活动区一边与育苗区等宽，另一边长是10 m.A，B，C三种花卉每平方米的产值分别是2百元、3百元、4百元.
（1）设育苗区的边长为x m，用含x的代数式表示下列各量：花卉A的种植面积是 ，花卉B的种植面积是 ，花卉C的种植面积是 .
（2）育苗区的边长为多少时，A，B两种花卉的总产值相等？
（3）若花卉A与B的种植面积之和不超过 ，求A，B，C三种花卉的总产值之和的最大值.
【答案】（1）；；
（2）解：∵A，B花卉每平方米的产值分别是2百元、3百元，
∴A，B两种花卉的总产值分别为百元和百元，
∵A，B两种花卉的总产值相等，
∴，
∴，
解方程得或，
∴当育苗区的边长为32m或10m时，A，B两种花卉的总产值相等；
（3）解：∵花卉A与B的种植面积之和为：，
∴，
∴，
∵设A，B，C三种花卉的总产值之和y百元，
∴，
∴，
∴，
∴当时，y随x的增加而减小，
∴当时，y最大，且（百元），
故A，B，C三种花卉的总产值之和的最大值168000元.
【知识点】一元二次方程的其他应用；二次函数与不等式（组）的综合应用
【解析】【解答】解：（1）∵育苗区的边长为x m，活动区的边长为10m，
∴花卉A的面积为：，
花卉B的面积为：，
花卉C的面积为：，
故答案为：；；；
【分析】（1）根据题意结合图形可得：花卉A部分的长为(40-x)，宽为(20-x)；花卉B部分的长为(40-x-10)，宽为x；花卉C部分的长为(20-x)，宽为x，然后根据矩形的面积公式进行解答；
（2）根据每平方米的产值乘以面积表示出A、B花卉的总产值，令其相等，求出x的值即可；
（3）根据（1）可得花卉A、B的种植面积，然后相加，结合题意可得关于x的不等式，求出x的范围，表示出A、B、C三种花卉的总产值，接下来利用二次函数的性质进行解答.
27．（2024九下·新疆维吾尔自治区开学考）如图，直线l：与反比例函数相交于A，B两点过点A作AC⊥x轴，垂足为点C，且AC =1．
（1）求反比例函数的解折式；
（2）求出B点的坐标，并直接写出不等式的解集．
【答案】（1）解：∵，
∴点A的纵坐标为1
则有：
解得：
∴
将代入，得，
∴反比例函数的解析式为：．
（2）解：联立得方程组
整理得
解得，
∴方程组的解为，
∴
解：∵
∴
由图象可知不等式的解集为：或．
【知识点】待定系数法求反比例函数解析式；反比例函数与一次函数的交点问题；二次函数与不等式（组）的综合应用
【解析】【分析】（1）由AC=1可得点A的纵坐标为1，代入直线解析式可得，再根据待定系数法将点A坐标代入反比例函数解析式即可求出答案.
（2）联立直线及反比例函数解析式可得，解方程得：，，可得，再解不等式即可求出答案.
28．（2024·宁波模拟）设一次函数y1＝a（x+m）的图象与x轴交于点A，二次函数 的图象与x轴交于A，B两个不同的点，设函数y=y1+y2．
（1）设点Q（0，q）在函数y的图象上，若q＞c，求证：am＞0．
（2）若函数y2，y的图象在x轴上截得的线段长分别为d1，d2，求d1，d2的数量关系式．
（3）若函数y1的图象分别与函数y2的图象、函数y的图象交于点E（x1，e），F（x2，f），且点E，F不同于点A，求x1-x2的值．
【答案】（1）解：∵y1＝a（x+m），y2＝ax2+bx+c，
∴y＝y1+y2＝a（x+m）+ax2+bx+c＝ax2+（a+b）x+am+c，
∵点Q（0，q）在函数y的图象上，
∴q＝am+c，
即q-c＝am，
∵q＞c，
∴am＞0.
（2）解：设A（t，0），代入y1=a（x+m）得：0=a（t+m），
∵a≠0，
∴t+m=0，
∴m=-t，
∴y1=a（x-t）；
设B（k，0），
∵二次函数y2与x轴交于点A和点B，
∴y2=a（x-t）（x-k）=ax2-（at+ak）x+atk，
∴y=a（x-t）+ax2-（at+ak）x+atk=ax2+（a-at-ak）x+atk-at，
设y2=ax2-（at+ak）x+atk与x轴的交点为p、q，
∴，，
∴，
即，
∴，
设y＝ax2+（a-at-ak）x+atk-at与x轴的交点为r、s，
∴，，
∴，
∴，
故d1，d2的数量关系式是：.
（3）解：由（2）知y1=a（x-t），y2=a（x-t）（x-k），
得a（x-t）=a（x-t）（x-k），
∴a（x-t）（x-k）-a（x-t）=0，
∴a（x-t）（x-k-1）=0，
解得：x=t或x=k+1，
则y1与y2的交点横坐标为：t，k+1，
即A（t，0），
∴点E的横坐标为k+1；
由y1=a（x-t），y=a（x-t）+ax2-（at+ak）x+atk，
得a（x-t）=a（x-t）+ax2-（at+ak）x+atk，
∴ax2-（at+ak）x+atk=0，
∴x2-（t+k）x+tk=0，
∴（x-t）（x-k）=0，
解得：x=t或x=k，
则y1与y的交点横坐标为：t，k，
即A（t，0），
∴点F的横坐标为k；
∴x1-x2=k+1-k=1.
【知识点】二次函数与一次函数的综合应用；二次函数与一元二次方程的综合应用
【解析】【分析】 （1）根据题意求出y=ax2+（a+b）x+am+c，把点Q的坐标代入解析式，即可求解；
（2）设A（t，0），代入y1求得y1=a（x-t），设B（k，0），求得y2=ax2-（at+ak）x+atk，
得出y=ax2+（a-at-ak）x+atk-at，设y2=ax2-（at+ak）x+atk与x轴的交点为p、q，y＝ax2+（a﹣at-ak）x+atk-at与x轴的交点为r、s，根据一元二次方程根与系数的关系计算即可；
（3）联立方程分别求出y1与y2的交点横坐标和y1与y的交点横坐标，即可求解.
29．（2024九上·剑阁期末）如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象与轴交于两点，与轴交于点，点A在原点的左侧，点的坐标为，点是抛物线上一个动点，且在直线的上方．
（1）求这个二次函数的解析式；
（2）当点运动到什么位置时，的面积最大？请求出点的坐标和面积的最大值．
（3）连接，并把沿翻折，得到四边形，那么是否存在点，使四边形为菱形？若存在，请求出此时点的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）解：将代入，
得，解得，
二次函数的解析式为．
（2）解：如图，过点作轴的平行线与交于点，
设，直线的解析式为，
则，解得，直线的解析式为，则，
，
当时，的面积最大，此时，点的坐标为（的面积的最大值为．
（3）解：存在．
如图，设点交于点，
若四边形是菱形，则，
连接，则，，
解得（不合题意，舍去），
【知识点】菱形的性质；二次函数y=ax²+bx+c的图象；二次函数y=ax²+bx+c的性质；二次函数与一元二次方程的综合应用
【解析】【分析】（1）根据题意代入点B和点C即可求解；
（2）过点作轴的平行线与交于点，进而设，再运用待定系数法即可求出直线BC的函数解析式，从而根据三角形的面积结合二次函数的最值即可求解；
（3）设点交于点，进而根据菱形的性质得到，连接，则，从而解一元二次方程即可求解。
1 / 1浙教版数学九上章末重难点专训 二次函数的与不等式（组）、一元二次方程、一次函数的综合运用
一、选择题
1．（2023九上·黄山期中）如下表中列出了二次函数的一些对应值，则一元二次方程的其中一个近似解的范围是（ ）
x … 0 1 …
y … 1 1 …
A． B．
C． D．
2．（2022九上·霍邱月考）一次函数y1=mx+n(m≠0)与二次函数y2=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图所示，则不等式ax2+bx+c>mx+n的解集为（ ）
A．-43或x<-4
3．（2022九上·晋安月考）如图，抛物线y1＝ax2+bx+c与直线y2＝mx+n相交于点（3，0）和（0，3），若ax2+bx+c＞mx+n，则x的取值范围是（ ）
A．0＜x＜3 B．1＜x＜3 C．x＜0或x＞3 D．x＜1减x＞3
4．（2024九下·河源月考）如图，抛物线的对称轴为直线，与x轴的一个交点坐标为，其部分图象如图所示，其中结论不正确的是（ ）．
A．
B．方程的两个根是，
C．
D．当时，y随x增大而增大
5．（2023·衡阳）已知，若关于x的方程的解为．关于x的方程的解为．则下列结论正确的是（ ）
A． B．
C． D．
6．（2024·宁波模拟）已知ac≠0，若二次函数y1＝ax2+bx+c的图象与x轴交于两个不同的点A（x1，0），B（x2，0），二次函数y2＝cx2+bx+a的图象与x轴交于两个不同的点C（x3，0），D（x4，0），则（ ）
A．x1+x2+x3+x4＝1 B．x1x2x3x4＝1
C． D．
7．（2024·蒸湘模拟）如图是二次函数和一次函数的图象，当时，x的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．或
8．（2024九下·余杭月考）设函数的图象与轴交点的横坐标分别为，，函数的图象与轴交点的横坐标分别为，.当和时，函数的值分别为，；当和时，函数的值分别为，，则（ ）
A． B． C． D．
9．（2024九上·平山期末）如图，抛物线与x轴交于C、D两点（点C在点D的左侧），顶点在线段上运动，轴，，，则下列结论中正确的是（ ）
A．
B．当时，一定有y随x的增大而增大
C．
D．若点C的坐标为，则点D的坐标为
二、填空题
10．（2022九上·南昌期中）二次函数的图象如图，若一元二次方程有实数根，则的最小值为
11．（江西省宜春市丰城市江西省丰城中学2023-2024学年九年级下学期期中数学试题） 如图，已知抛物线与直线交于两点，则关于x的不等式的解集是 ．
12．（2024·永修模拟）若抛物线与x轴只有一个交点，则m的值为 .
13．（2024·耒阳模拟） 二次函数的图象如图所示，若关于x的一元二次方程有实数根，则m的值可以为 （写出一个值即可）
14．（2024九下·武汉月考） 抛物线的对称轴是直线，经过点，且．下列结论：
①；
②；
③若和是抛物线上的两点，则当时，；
④若抛物线的顶点坐标为，则关于的方程无实数根其中正确的结论是 （填写序号）．
15．（2024九下·岳阳月考）若关于x的方程恰有三个根，则t的值为 .
16．如图，直线y=x+2与y轴交于点A，与直线y=x交于点B．以AB为边向右作菱形ABCD，点C恰好与原点O重合．抛物线y=(x-h)2+k的顶点在直线y=x上移动．若抛物线与菱形的边AB，BC都有公共点，则h的取值范围是
三、解答题
17．（2024·常德模拟）如图，二次函数y＝ax2的图象与x轴交于点A（3，0），与y轴交于点B（0，-2）.
（1）求二次函数的解析式；
（2）若点P为抛物线上一动点（直线AB上方），且S△PBA＝4，求点P的坐标.
18．（2024·玉溪模拟）已知抛物线.
（1）当时，求该抛物线的对称轴；
（2）当该抛物线与轴两交点的横坐标都为正整数时，求整数的值.
19．（2024九下·枣阳期中） “五一”前夕，某超市销售一款商品，进价每件75元，售价每件140元，每天销售40件，每销售一件需支付给超市管理费5元．从五月一日开始，该超市对这款商品开展为期一个月“每天降价1元”的促销活动，即从第一天（5月1日）开始每天的售价均比前一天降低1元．通过市场调查发现，该商品的日销售量y（件）与第x天（，且x为整数）之间存在一次函数关系，x，y之间的部分数值对应关系如下表：
第x天 5 10 15 20
日销售量y（件） 50 60 70 80
（1）直接写出y与x的函数关系式 ；
（2）设第x天的利润为W元，试求出W与x之间的函数关系式，并求出哪一天的利润最大？最大利润是多少元？
（3）销售20天后，由于某种原因，该商品的进价从第21天开始每件下降4元，其他条件保持不变，求超市在这一个月中，该商品的日销售利润不低于3430元的共有多少天？
20．（2023九上·萧山月考）已知抛物线经过点.请解决下列问题：
（1）点分别落在抛物线上，且，求的值.
（2）当时，
①求的取值范围.
②若，求的值.
四、实践探究题
21．（2024·赤峰）如图，是某公园的一种水上娱乐项目.数学兴趣小组对该项目中的数学问题进行了深入研究.下面是该小组绘制的水滑道截面图，如图1，人从点A处沿水滑道下滑至点B处腾空飞出后落入水池.以地面所在的水平线为x轴，过腾空点B与x轴垂直的直线为y轴，O为坐标原点，建立平面直角坐标系.他们把水滑道和人腾空飞出后经过的路径都近似看作是抛物线的一部分.根据测量和调查得到的数据和信息，设计了以下三个问题，请你解决.
（1）如图1，点B与地面的距离为2米，水滑道最低点C与地面的距离为米，点C到点B的水平距离为3米，则水滑道所在抛物线的解析式为 ；
（2）如图1，腾空点B与对面水池边缘的水平距离米，人腾空后的落点D与水池边缘的安全距离不少于3米.若某人腾空后的路径形成的抛物线恰好与抛物线关于点B成中心对称.
①请直接写出此人腾空后的最大高度和抛物线的解析式；
②此人腾空飞出后的落点D是否在安全范围内？请说明理由（水面与地面之间的高度差忽略不计）；
（3）为消除安全隐患，公园计划对水滑道进行加固.如图2，水滑道已经有两条加固钢架，一条是水滑道距地面4米的点M处竖直支撑的钢架，另一条是点M与点B之间连接支撑的钢架.现在需要在水滑道下方加固一条支撑钢架，为了美观，要求这条钢架与平行，且与水滑道有唯一公共点，一端固定在钢架上，另一端固定在地面上.请你计算出这条钢架的长度（结果保留根号）.
22．（2024九下·道县期中） 定义：在平面直角坐标系中，设直线的解析式为：(为常数且)，当直线与一条曲线有且只有一个公共点时，我们称直线与这条曲线“相切”，这个公共点叫做“切点”．根据定义，完成下列问题．
（1）求直线：与曲线的切点坐标；
（2）已知函数，函数，是否存在二次函数，其图象过点，使得直线与曲线都相切于同一点 若存在，求出的解析式若不存在，请说明理由；
（3）已知直线，直线是抛物线的两条切线，当与的交点的纵坐标为4时，试判断是否为定值，并说明理由．
23．（2024·遵义会模拟）规定[n， n-3， --3](n为正整数)为二次函数 的“函系数”，
如： 当n=1时， 的“函系数”为[1， --2， --3]；
当n = 2 时， 的“函系数”为[2， --1， --3]；
设二次函数yn与x轴的交点分别为An，Bn(点An在Bn的左边) .
（1）当n=5时，对应的二次函数的解析式为 ；
（2） 求点An， Bn的坐标(用含 n的式子表示) .
（3）当n≥4时，二次函数 与直线y=-3的一个交点为( (点Cn不在y轴上).判断线段 和线段( 的数量关系，并说明理由.
五、综合题
24．（2024·广州） 已知抛物线过点和点，直线过点，交线段于点，记的周长为，的周长为，且．
（1）求抛物线的对称轴；
（2）求的值；
（3）直线绕点以每秒的速度顺时针旋转秒后得到直线，当时，直线交抛物线于，两点．
①求的值；
②设的面积为，若对于任意的，均有成立，求的最大值及此时抛物线的解析式．
25．（2024·广州模拟）已知：抛物线：.
（1）若顶点坐标为，求b和c的值（用含a的代数式表示）；
（2）当时，求函数的最大值；
（3）若不论m为任何实数，直线与抛物线有且只有一个公共点，求a，b，c的值；此时，若时，抛物线的最小值为k，求k的值.
26．（2023九下·武汉月考）春回大地，万物复苏，又是一年花季到.某花圃基地计划将如图所示的一块长40 m，宽20 m的矩形空地划分成五块小矩形区域.其中一块正方形空地为育苗区，另一块空地为活动区，其余空地为种植区，分别种植A，B，C三种花卉.活动区一边与育苗区等宽，另一边长是10 m.A，B，C三种花卉每平方米的产值分别是2百元、3百元、4百元.
（1）设育苗区的边长为x m，用含x的代数式表示下列各量：花卉A的种植面积是 ，花卉B的种植面积是 ，花卉C的种植面积是 .
（2）育苗区的边长为多少时，A，B两种花卉的总产值相等？
（3）若花卉A与B的种植面积之和不超过 ，求A，B，C三种花卉的总产值之和的最大值.
27．（2024九下·新疆维吾尔自治区开学考）如图，直线l：与反比例函数相交于A，B两点过点A作AC⊥x轴，垂足为点C，且AC =1．
（1）求反比例函数的解折式；
（2）求出B点的坐标，并直接写出不等式的解集．
28．（2024·宁波模拟）设一次函数y1＝a（x+m）的图象与x轴交于点A，二次函数 的图象与x轴交于A，B两个不同的点，设函数y=y1+y2．
（1）设点Q（0，q）在函数y的图象上，若q＞c，求证：am＞0．
（2）若函数y2，y的图象在x轴上截得的线段长分别为d1，d2，求d1，d2的数量关系式．
（3）若函数y1的图象分别与函数y2的图象、函数y的图象交于点E（x1，e），F（x2，f），且点E，F不同于点A，求x1-x2的值．
29．（2024九上·剑阁期末）如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象与轴交于两点，与轴交于点，点A在原点的左侧，点的坐标为，点是抛物线上一个动点，且在直线的上方．
（1）求这个二次函数的解析式；
（2）当点运动到什么位置时，的面积最大？请求出点的坐标和面积的最大值．
（3）连接，并把沿翻折，得到四边形，那么是否存在点，使四边形为菱形？若存在，请求出此时点的坐标；若不存在，请说明理由．
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】利用二次函数图象求一元二次方程的近似根；二次函数与一元二次方程的综合应用
【解析】【解答】解：当时，；当时，，
∴方程的一个近似根的范围是，
故答案为：C.
【分析】根据一元二次方程的解的定义，结合表格中的数据求解。观察表格可得出“当时，；当时，”，由此即可得出结论．
2．【答案】A
【知识点】二次函数与不等式（组）的综合应用；二次函数与一次函数的综合应用
【解析】【解答】解：由一次函数y1=mx+n(m≠0)与二次函数y2=ax2+bx+c(a≠0)的图象可知：
不等式ax2+bx+c>mx+n的解集为： -4故答案为：A.
【分析】利用一次函数和二次函数的图象与性质求解集即可。
3．【答案】C
【知识点】二次函数与不等式（组）的综合应用
【解析】【解答】解：根据函数图象，
当x＜0或x＞3时，y1＞y2，
所以ax2+bx+c＞mx+n的解集为x＜0或x＞3.
故答案为：C.
【分析】根据图象，找出抛物线在直线上方部分所对应的x的范围即可.
4．【答案】C
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）；二次函数图象与系数的关系；二次函数图象与坐标轴的交点问题；二次函数y=ax²+bx+c的性质；二次函数与一元二次方程的综合应用
【解析】【解答】解：A、由图象及条件可知，抛物线与x轴有两个交点，即ax2+bx+c=0有两个不同实数解，因此b2-4ac＞0，即b2＞4ac，故此选项正确，不符合题意；
B、对称轴为x=1，与x轴的一个交点为（-1，0），则ax2+bx+c=0的两个根满足，其中代入x1=-1，则解得x2=3，故此选项正确，不符合题意；
C、由B可知x1=-1，x2=3，则x1x2==-3，则c=-3a，即3a+c=0，故此选项错误，符合题意；
D、由图象可知，当x＜0时，y随x的增大而增大，故此选项正确，不符合题意.
故答案为：C.
【分析】由抛物线与x轴的交点个数可判断A选项；由抛物线的对称性及与x轴交点的横坐标可判断B选项；根据一元二次方程根与系数的关系可判断C选项；根据抛物线的增减性可判断D选项.
5．【答案】B
【知识点】二次函数与一元二次方程的综合应用
【解析】【解答】解：如图所示：设直线y=m与抛物线 交于A、B两点，直线y=n与抛物线 交于C、D两点，
∵，关于x的方程的解为．关于x的方程的解为，
∴，
故答案为：B.
【分析】先作图，再结合题意，比较大小即可。
6．【答案】B
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）；二次函数与一元二次方程的综合应用
【解析】【解答】解：∵ac≠0，二次函数y1=ax2+bx+c的图象与x轴交于两个不同的点A（x1，0），B（x2，0），
∴关于x的方程ax2+bx+c=0的根分别是：x1、x2，
∴，；
∵ac≠0，二次函数y2=cx2+bx+a的图象与x轴交于两个不同的点C（x3，0），D（x4，0），
∴关于x的方程cx2+bx+a=0的根分别是：x3、x4，
∴，；
，A不符合题意；
，B符合题意；
，C不符合题意；
，D不符合题意；
故答案为：B.
【分析】根据一元二次方程与二次函数的关系可得关于x的方程ax2+bx+c=0的根分别是：x1、x2，关于x的方程cx2+bx+a=0的根分别是：x3、x4，结合根与系数的关系可得，，，，逐项计算即可求解.
7．【答案】D
【知识点】二次函数与不等式（组）的综合应用；二次函数与一次函数的综合应用
【解析】【解答】解：根据图像，函数和的图像的两交点的横坐标为2和，
∵当或时，二次函数图象在直线的下方，
∴当时，x的取值范围是或，
故答案为：D．
【分析】先确定二次函数图象在直线下方部分，再确定这部分图象对应的x的取值范围即可。
8．【答案】A
【知识点】二次函数图象与坐标轴的交点问题；二次函数与一元二次方程的综合应用
【解析】【解答】解：∵a1、β1是方程x2+bx+c=0的两根，α2、β2是方程x2+dx+e=0的两根，
∴α1+β1=-b，α1·β1=c，α2+β2=-d，α2·β2=e.
∵当x=α2和β2时，函数y的值分别为A1，B1，
∴A1=α22+bα2+c=α22-(α1+β1)α2+α1β1=(α2-α1)(α2-β1)，
B1=β22+bβ2+c=β22-(α1+β1)β2+α1·β1=(β2-α1)(β2-β1).
∵当x=α1和β1时，函数y2的值分别为A2，B2，
A2=α12+bα1+c=α12-(α2+β2)α1+α2β2=(α1-α2)(α1-β2)，
B2=β12+bβ1+c=β12-(α2+β2)β1+α2·β2=(β1-α2)(β1-β2).
∴A1B1=(α2-α1)(α2-β1)(β2-α1)(β2-β1)，
A2B2=(α1-α2)(α1-β2)(β1-α2)(β1-β2)=(α2-α1)(α2-β1)(β2-α1)(β2-β1)，
∴A1B1=A2B2.
故答案为：A.
【分析】利用抛物线与x轴的交点的横坐标与一元二次方程的根的关系，根据一元二次方程的根与系数的关系得到α1+β1=-b，α1·β1=c，α2+β2=-d，α2·β2=e，分别求得A1，B1，A2，B2，利用因式分解的应用整理即可得出结论.
9．【答案】D
【知识点】二次函数图象与系数的关系；二次函数图象与坐标轴的交点问题；二次函数y=ax²+bx+c的图象；二次函数y=ax²+bx+c的性质；二次函数与一元二次方程的综合应用
【解析】【解答】解：由图可知，有两个不相等的实数根，
∴，A不符合题意；
取抛物线顶点横坐标为，由二次函数的性质可知，时，y随x的增大而减小，B不符合题意；
由题意知，，抛物线的顶点坐标为，
∴，，
即，，
∴，C不符合题意；
令，设点D的坐标为，则，
由根与系数的关系可得，，，
∴，
解得，即，
∴点D的坐标为，D符合题意；
故答案为：D
【分析】结合“抛物线与x轴交于C、D两点”可知有两个不相等的实数根，根据判别式得，据此可判断A；结合“顶点在线段上运动”，可令抛物线顶点横坐标为，根据二次函数图象可知，当时，y随x的增大而减小，据此可判断B；根据“，”可知，再根据抛物线解析式可知抛物线的顶点坐标为，由此可得，，计算得出c的取值范围，据此可判断C；令，设点D的坐标为，结合题意可知，根据根与系数关系可得，，，再根据计算即可得到的值，据此可判断D。
10．【答案】-3
【知识点】二次函数与一元二次方程的综合应用
【解析】【解答】解：如图，画直线
当直线与函数的图像有交点时，
则方程有实数根，
由图像可得：当直线过的顶点时，有最小值，
此时：
故答案为：-3
【分析】根据一次函数与二次函数的关系，结合函数图象求解即可。
11．【答案】
【知识点】二次函数与不等式（组）的综合应用
【解析】【解答】解：由在A点右侧且在B点左侧，二次函数图象在直线的上方，此时.
答案：
【分析】由不等关系，在A、B左右两侧找到满足题意的范围，即可求出x的范围.
12．【答案】-1
【知识点】二次函数与一元二次方程的综合应用
【解析】【解答】解：∵抛物线与轴只有一个交点，
∴，
解得，
故答案为：
【分析】根据抛物线的解析式结合一元二次方程根的判别式即可求解。
13．【答案】（答案不唯一）
【知识点】二次函数图象与系数的关系；二次函数y=ax²+bx+c的图象；二次函数y=ax²+bx+c的性质；二次函数与一元二次方程的综合应用
【解析】【解答】解： 二次函数的图象与x轴有两个交点，
关于x的一元二次方程 的判别式大于0，将方程化为一般式得，
即
二次函数图象开口向上，
a>0，
由图象可得最小值为-3，c=0，
m<3，
故答案为：（答案不唯一） .
【分析】先根据图象与x轴有两个交点求得再结合最小值为-3得到代入即可求解.
14．【答案】①②④
【知识点】二次函数图象与系数的关系；二次函数y=ax²+bx+c的性质；二次函数与一元二次方程的综合应用
【解析】【解答】解：∵ 抛物线的对称轴是直线，
∴，即b=2a，
∵b>0，
∴a>0，即开口向上，
∵ 经过点，
∴与x轴的另一个交点为(1，0)，
∴抛物线与y的交点在x轴的下方，
∴c<0，故 ① 正确；
∵抛物线与x轴的另一个交点为(1，0)，
∴a+b+c=0，故②正确；
设点，
当时，
∴点P到直线x=-1的距离比点Q到直线x=-1的距离要大，
∴，故③错误；
∵抛物线的顶点坐标为(-1，m)，
即当x=-1，函数有最小值，最小值为m，
∴抛物线与直线y=m-1没有交点，
∴ 无实数根，故④正确；
综上所述，①②④正确.
故答案为：①②④.
【分析】根据抛物线的开口方向判断a与0的关系，得到a>0，即开口向上，根据抛物线与y轴的交点判断c与0的关系，得到c<0，即① 正确；根据抛物线与x轴的另一个交点为(1，0)，得到②正确；根据抛物线开口向上，距离对称轴距离越远的y值越大，得到③错误；由抛物线的顶点坐标为(-1，m)，可知当x=-1，函数有最小值，最小值为m，进而得到 无实数根，得到④正确.
15．【答案】或
【知识点】二次函数与一次函数的综合应用；二次函数与一元二次方程的综合应用
【解析】【解答】解：的根的个数即函数与的图象的交点个数，
由题意作函数的图象如图：
结合图象可知，
当过点或与相切时，两函数图象有三个交点，
将代入得
联立和得：，
则，
解得：
或
故答案为：或．
【分析】作函数的图象，直线y=x+t与图象有三个交点，有两种情况：当y=x+t过点（1，0）或与相切时，把点（1，0）代入y=x+t，求出t的值；联立后整 理为一元二次方程，方程有两个相等的实数根，利用根的判别式的值为零求出t的值。
16．【答案】-2≤h≤
【知识点】二次函数与一次函数的综合应用；二次函数与一元二次方程的综合应用
【解析】【解答】解：把x＝0代入y=x+2得：y＝2，
∴A（0，2）．
由得
解得：
∴B（-2，1）．
∵抛物线y＝（x-h）2+k的顶点在直线y=x上，
∴抛物线的顶点坐标为（h，k）且k=h．
∴抛物线的解析式为y＝（x-h）2h．
当抛物线经过点O时，抛物线恰好与BO、AB均有交点，
将点C（0，0）代入y＝（x-h）2h得：h2h＝0，解得h＝0（舍去）或h=．
当抛物线经过点B时，抛物线恰好与BO、AB均有交点，
此时点B恰好为抛物线的顶点，
∴h＝-2．
∴当-2≤h≤时，抛物线与线段AB、BO都有公共点．
故答案为：-2≤h≤.
【分析】 把x＝0代入y=x+2求得对应的y的值，从而可得到点A的坐标，然后将y=x+2与y=x联立求得方程组的解，从而可得到点B的坐标，接下来，根据抛物线的顶点在直线y=x上可得到h与k的关系，则抛物线的解析式可变形为y＝（x-h）2h，最后，求得当抛物线恰好与线段AB、BO都有公共点时h的值，从而可得到h的取值范围．
17．【答案】（1）∵二次函数y＝ax2的图象经过A（3，0），B（0，-2）两点，
9a-4+c＝0，解得
c＝-2，
∴二次函数的解析式为x2；
（2）设直线AB的解析式为y＝kx+b（k≠0）， ∵y＝kx+b的图象经过A（3，0），B（0，-2）两点，
∴，解得
∴直线AB的解析式为，
在y轴上取一点C（0，m）（m＞-2），使△ABC的面积为4，
可得BC＝m+2，OA＝3，
则S△·OA，即（m+2）×3＝4，解得m ，
∴点C的坐标为（0，），……（6分）如解图① ，② ，过点C作CP∥AB，交抛物线于点P，则S（△ABC）＝S（△ABP）＝4，
设直线CP的解析式为，将点C的坐标（0，）代入，得
∴直线CP的解析式为
联立，解得或
∴点P的坐标为（4，）或（-1，0）.
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数与一次函数的综合应用
【解析】【分析】（1）将点A、B的坐标代入y＝ax2，再求出a、c的值，即可得到二次函数解析式；
（2）先求出直线AB的解析式和CP的解析式，再联立方程组求解即可.
18．【答案】（1）当时，，
抛物线的对称轴是直线.
（2）当时，
解得：，，
抛物线与轴两交点的横坐标都为正整数，
为正整数，
或2或4，
解得：或4或6，
综上，该抛物线与轴两交点的横坐标都为正整数时，整数的值为3或4或6.
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数与一元二次方程的综合应用
【解析】【分析】（1）把m=1代入抛物线的解析式中，即可求解；
（2）当y=0时，得到关于x的一元二次方程，解方程可得两交点的横坐标，根据横坐标为正整数，结合分式的值为正整数求解即可．
19．【答案】（1）
（2）解：根据题意可得，
，
∵，，
∴当时，W有最大值为3200元．
即第20天利润最大，最大利润为3200元．
（3）解：根据题意，当时，
，
当时，，
解得，，，
∵，且x为整数，∴时，，
即从第21天开始到第29天日销售利润不低于3430元．
由（2）知，当时，日销售利润均低于3430元，
∴这一个月中，超市该商品的日销售利润不低于3430元的共有9天．
【知识点】二次函数与一次函数的综合应用
【解析】【解答】解：（1）设y与x的函数关系式为y=kx+b，
将(5，50)，(10，60)代入得到，
，
解得：，
∴y与x的函数关系式为.
故答案为：.
【分析】（1）设y与x的函数关系式为y=kx+b，根据待定系数法即可求得y与x的函数关系式 ；
（2）根据“总利润=每件利润×销售量”，得到，根据二次函数的性质求得最值，即可得到答案；
（3）根据题意得到当时，，解得，，根据，且x为整数，得到当时，，即从第21天开始到第29天日销售利润不低于3430元，结合(2)可知当时，日销售利润均低于3430元，即可得到答案.
20．【答案】（1）对称轴，
抛物线经过点.
（2）①当时，，
.
②当时，.
若，即时，
，
则，
解得(舍去).
若，即时，
，
则，
解得(舍去)，.
综上所述：或.
【知识点】二次函数的最值；二次函数与不等式（组）的综合应用；二次函数y=ax²+bx+c的性质
【解析】【分析】(1)利用二次函数的性质可得对称轴为直线，进而解得m=2，再将点P坐标代入解析式求得k的值.
（2） ① 将点P坐标代入二次函数解析式得到k关于m的表达式，再利用函数性质求得k的取值范围.
② 由二次函数的性质可得当时，，当时，，解得；当时，，解得.
21．【答案】（1）
（2）①人腾空后的路径形成的抛物线恰好与抛物线关于点B成中心对称，
则设人腾空后的路径形成的抛物线的解析式为，
人腾空后的路径形成的抛物线的顶点坐标与抛物线的顶点坐标关于点成中心对称，
，
人腾空后的路径形成的抛物线的顶点坐标为，即，，
∴此人腾空后的最大高度是米，人腾空后的路径形成的抛物线的解析式为：；
由①知人腾空后的路径形成的抛物线的解析式为：，
令，则，即
或（舍去，不符合题意），
点，
，
，
，
此人腾空飞出后的落点D在安全范围内；
（3）根据题意可得M点的纵坐标为4，
令，即，
（舍去，不符合题意）或，
，
设所在直线的解析式为，
将代入得：，
解得：，
所在直线的解析式为，
如图，设这条钢架为，与交于点G，与地面交于H，
这条钢架与平行，
设该钢架所在直线的解析式为，
联立，即，
整理得：，
该钢架与水滑道有唯一公共点，
，
即该钢架所在直线的解析式为，
点H与点O重合，
，，，
，
这条钢架的长度为米.
【知识点】二次函数与一次函数的综合应用；二次函数的其他应用
【解析】【解答】解：（1）由题意得水滑道所在抛物线的顶点C（-3，），B（0，2），
可设y=a（x+3）2+，
把B（0，2）代入得2=a（0+3）2+，解得a=，
∴，
故答案为：.
【分析】（1）由题意得水滑道所在抛物线的顶点C（-3，），B（0，2），利用待定系数法（顶点式）求解析式即可；
（2）①由题意知：抛物线恰好与抛物线关于点B成中心对称，可得抛物线的顶点与抛物线的顶点C关于点B成中心对称，则B是它们的中点，由B、C的坐标可求出的顶点为（3，），即得此人腾空后的最大高度；再利用待定系数法（顶点式）求解析式即可；
②由①知抛物线的解析式为：，令求出x值，即得OD的长，继而求出DE，再比较即可判断；
（3）由所在抛物线可求出，再求的解析式为，再画出图形找出所求这条钢架为，由GH∥BM，可设所在直线的解析式为，联立，可得方程，由于该钢架与水滑道有唯一公共点，可得△=0，可求出n=0，即得，可知点H与点O重合，先求出GN，再利用勾股定理求出GH即可.
22．【答案】（1）解：联立，得：，
解得：，切点坐标为；
（2）解：直线与二次函数相切，
联立，得：，
解得：，切点为，
与，都相切于同一点，
经过点，，
解得：，，
联立，得：，
解得：，
，，
的解析式为：；
（3）解：是定值，，
理由如下：
与的交点的纵坐标为4，
令，
直线，直线，
，，
直线，直线，
联立，得：，
直线是抛物线的切线，
，
同理可得：，
为的两根，
．
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）；一次函数与二元一次方程（组）的关系；二次函数与一次函数的综合应用
【解析】【分析】（1） 联立， 解方程组即可求出切点坐标；
（2）先联立，求出切点为（1，2），再根据三个函数都经过同一个切点可知经过点，，将点，代入y3函数关系式，解出， 进而得到，再联立，根据“相切”的定义得到方程只有1个解，再利用判别式求出a的值，即可得到y3的表达式；
（3）由与的交点的纵坐标为4 ，可令，分别代入与的表达式变形得到，，进而得到直线，直线，联立与得到，再由直线与都是抛物线的切线，得到，则，，进而得到为的两根，然后利用韦达定理即可得到是定值.
23．【答案】（1）
（2）解：当 时，
解得：
点 的坐标分别为
（3）解：， 理由如下：
由 知 ， 则
解得：
点 不在 轴上
【知识点】二次函数与一次函数的综合应用；二次函数的其他应用
【解析】【解答】解：（1）由题意可得：
当n=5时，
故答案为：
【分析】（1）根据题意将n=5代入函数解析式即可求出答案.
（2）根据x轴上点的坐标特征列出方程，解方程即可求出答案.
（3）由 知 ， 则 ，，令解方程可得，由点 不在 轴上可得，，则，即可求出答案.
24．【答案】（1）解：由抛物线的表达式知，其对称轴为直线；
（2）解：直线：过点，则该直线的表达式为：，
当时，，
则，
，即，
其中，，上式变为：，
即，
而函数的对称轴为直线，由函数的对称性知，，
即，
则，
解得：；
（3）解：①当时，一次函数的表达式为：，
该直线和轴的夹角为，
则秒；
②由①知，为：，如下图：
则，
联立直线和抛物线的表达式得：，
即，
设点、的横坐标为，，
则，，
则，
则，
当时，等号成立，
即的最大值为：，，
则抛物线的表达式为：．
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）；二次函数与一次函数的综合应用
【解析】【分析】（1）由抛物线的对称轴直线公式“”可直接算出抛物线的对称轴直线；
（2）由题意可得直线l的解析式为y=m2(x-3)+1，由点的坐标与图形性质可得点D的纵坐标为2，故将y=2代入可得，由C1=C2+2，即AC+CD+AD=BC+CD+BD+2得到2xD=xA+xB+2，即可求解；
（3）①当m=±1时，一次函数的解析式为y=m2(x-3)+1=x-2，该直线和x轴的夹角为45°，即可求解；
②由①可得l为y=1，则，联立直线l与抛物线的解析式可得x2-6x-a2+2a=0，设E、F得横坐标为m、n，由根与系数的关系得m+n=6，mn=-a2+2a，根据两点间的距离公式得，从而代入即可求解.
25．【答案】（1）解：(1)抛物线的解析式y=a(x-1)2+1，即y=ax2-2ax+a+1，于是b=-2a，c=a+1；
（2）（2）当c<0时，△=b2-4ac>0，故抛物线C1与x轴必有交点，故，故≤-1，故y的最小值为-1.
（3）(3)直线与抛物线联立得，即直线与抛物线有且仅有一个公共点，有△=0，即恒成立，得
1-a=0，-2(2a+b)=0，b2-4ac=0，解得a=1，b=-2，c=1，此时抛物线解析式为y=x2-2x=1
抛物线开口向上，且对称轴为直线x=1，而时，抛物线的最小值为k，则
①当k<0时，k+1<1，当时，y随x的增大而减少，当x=k+1时，取最小值k，即(k+1-1)2=k，解得k=0或k=1，均不符合题意，舍去；
②当0≤k≤1时，当x=1时，取最小值0，即k=0；
③当k>1时，y随x的增大而增大，当x=k时，y有最小值k，则(k-1)2=k，得k=或
而k>1，故k=
综上所述，k=0或.
【知识点】二次函数与一次函数的综合应用
【解析】【分析】(1)直接将抛物线写成顶点式，展开后对照即可；
(2)由题意知抛物线与x轴恒有交点，得，即可求出函数的最小值；
(3)先联立直线与抛物线，得a、b、c的值，从而确定抛物线的解析式，对称轴确定而x的范围不确定，分3类当k<0时，当0≤k≤1时，当k>1时进行讨论，即可得k的值.
26．【答案】（1）；；
（2）解：∵A，B花卉每平方米的产值分别是2百元、3百元，
∴A，B两种花卉的总产值分别为百元和百元，
∵A，B两种花卉的总产值相等，
∴，
∴，
解方程得或，
∴当育苗区的边长为32m或10m时，A，B两种花卉的总产值相等；
（3）解：∵花卉A与B的种植面积之和为：，
∴，
∴，
∵设A，B，C三种花卉的总产值之和y百元，
∴，
∴，
∴，
∴当时，y随x的增加而减小，
∴当时，y最大，且（百元），
故A，B，C三种花卉的总产值之和的最大值168000元.
【知识点】一元二次方程的其他应用；二次函数与不等式（组）的综合应用
【解析】【解答】解：（1）∵育苗区的边长为x m，活动区的边长为10m，
∴花卉A的面积为：，
花卉B的面积为：，
花卉C的面积为：，
故答案为：；；；
【分析】（1）根据题意结合图形可得：花卉A部分的长为(40-x)，宽为(20-x)；花卉B部分的长为(40-x-10)，宽为x；花卉C部分的长为(20-x)，宽为x，然后根据矩形的面积公式进行解答；
（2）根据每平方米的产值乘以面积表示出A、B花卉的总产值，令其相等，求出x的值即可；
（3）根据（1）可得花卉A、B的种植面积，然后相加，结合题意可得关于x的不等式，求出x的范围，表示出A、B、C三种花卉的总产值，接下来利用二次函数的性质进行解答.
27．【答案】（1）解：∵，
∴点A的纵坐标为1
则有：
解得：
∴
将代入，得，
∴反比例函数的解析式为：．
（2）解：联立得方程组
整理得
解得，
∴方程组的解为，
∴
解：∵
∴
由图象可知不等式的解集为：或．
【知识点】待定系数法求反比例函数解析式；反比例函数与一次函数的交点问题；二次函数与不等式（组）的综合应用
【解析】【分析】（1）由AC=1可得点A的纵坐标为1，代入直线解析式可得，再根据待定系数法将点A坐标代入反比例函数解析式即可求出答案.
（2）联立直线及反比例函数解析式可得，解方程得：，，可得，再解不等式即可求出答案.
28．【答案】（1）解：∵y1＝a（x+m），y2＝ax2+bx+c，
∴y＝y1+y2＝a（x+m）+ax2+bx+c＝ax2+（a+b）x+am+c，
∵点Q（0，q）在函数y的图象上，
∴q＝am+c，
即q-c＝am，
∵q＞c，
∴am＞0.
（2）解：设A（t，0），代入y1=a（x+m）得：0=a（t+m），
∵a≠0，
∴t+m=0，
∴m=-t，
∴y1=a（x-t）；
设B（k，0），
∵二次函数y2与x轴交于点A和点B，
∴y2=a（x-t）（x-k）=ax2-（at+ak）x+atk，
∴y=a（x-t）+ax2-（at+ak）x+atk=ax2+（a-at-ak）x+atk-at，
设y2=ax2-（at+ak）x+atk与x轴的交点为p、q，
∴，，
∴，
即，
∴，
设y＝ax2+（a-at-ak）x+atk-at与x轴的交点为r、s，
∴，，
∴，
∴，
故d1，d2的数量关系式是：.
（3）解：由（2）知y1=a（x-t），y2=a（x-t）（x-k），
得a（x-t）=a（x-t）（x-k），
∴a（x-t）（x-k）-a（x-t）=0，
∴a（x-t）（x-k-1）=0，
解得：x=t或x=k+1，
则y1与y2的交点横坐标为：t，k+1，
即A（t，0），
∴点E的横坐标为k+1；
由y1=a（x-t），y=a（x-t）+ax2-（at+ak）x+atk，
得a（x-t）=a（x-t）+ax2-（at+ak）x+atk，
∴ax2-（at+ak）x+atk=0，
∴x2-（t+k）x+tk=0，
∴（x-t）（x-k）=0，
解得：x=t或x=k，
则y1与y的交点横坐标为：t，k，
即A（t，0），
∴点F的横坐标为k；
∴x1-x2=k+1-k=1.
【知识点】二次函数与一次函数的综合应用；二次函数与一元二次方程的综合应用
【解析】【分析】 （1）根据题意求出y=ax2+（a+b）x+am+c，把点Q的坐标代入解析式，即可求解；
（2）设A（t，0），代入y1求得y1=a（x-t），设B（k，0），求得y2=ax2-（at+ak）x+atk，
得出y=ax2+（a-at-ak）x+atk-at，设y2=ax2-（at+ak）x+atk与x轴的交点为p、q，y＝ax2+（a﹣at-ak）x+atk-at与x轴的交点为r、s，根据一元二次方程根与系数的关系计算即可；
（3）联立方程分别求出y1与y2的交点横坐标和y1与y的交点横坐标，即可求解.
29．【答案】（1）解：将代入，
得，解得，
二次函数的解析式为．
（2）解：如图，过点作轴的平行线与交于点，
设，直线的解析式为，
则，解得，直线的解析式为，则，
，
当时，的面积最大，此时，点的坐标为（的面积的最大值为．
（3）解：存在．
如图，设点交于点，
若四边形是菱形，则，
连接，则，，
解得（不合题意，舍去），
【知识点】菱形的性质；二次函数y=ax²+bx+c的图象；二次函数y=ax²+bx+c的性质；二次函数与一元二次方程的综合应用
【解析】【分析】（1）根据题意代入点B和点C即可求解；
（2）过点作轴的平行线与交于点，进而设，再运用待定系数法即可求出直线BC的函数解析式，从而根据三角形的面积结合二次函数的最值即可求解；
（3）设点交于点，进而根据菱形的性质得到，连接，则，从而解一元二次方程即可求解。
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