浙教版数学九上章末重难点专训 二次函数综合-图形存在问题

浙教版数学九上章末重难点专训 二次函数综合-图形存在问题
一、解答题
1．（2024九下·双流月考）如图，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点．
（1）求抛物线解析式及点坐标；
（2）是平面直角坐标系内一点，以，，，为顶点的四边形是平行四边形，求点坐标；
（3）该抛物线对称轴上是否存在点，使得，若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）解：∵点，在抛物线上，
∴，解得：，
抛物线的解析式为，
令x=0，可得：点的坐标为；
（2）解：由题意知，以，，，为顶点的四边形是平行四边形，可分成以下三种情况求解；
当，为对角线时：
设的中点为，则，
设，
∴，
解得，，
∴；
当，为对角线时：
设的中点为，则，
设，
∴，
解得，，
∴；
当，为对角线时：
设的中点为，则，
设，
∴，
解得，，
∴；
综上可得：点的坐标为或或；
（3）解：存在，理由如下；
如图，作，使，连接，交对称轴于点，作轴于，
∵，，
∴，即，点即为所求；
∵，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴，
设直线的解析式为，
将，代入得，，
解得，，
∴直线的解析式为，
由题意知，的对称轴为直线，
将代入得，，
∴，
∴存在，．
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；待定系数法求二次函数解析式；等腰三角形的判定与性质；二次函数-特殊四边形存在性问题
【解析】【分析】（1）根据抛物线上的两点， ；利用待定系数法，即可求得抛物线的解析式，然后令x=0，即可求得抛物线y轴的交点C的坐标；
（2）分三种情况进行讨论：当，为对角线时： 设， 可得：， 解得，， 可得出：； ②当AB，CD为对角线时： 设， 则可得， 解得，， 可得出；③ 当，为对角线时： 设 ，则可得， 解得，，可得出； 故而得出点的坐标为或或；
（3）如图，作，使，连接，交对称轴于点，作轴于，即，点即为所求；证明，则，，待定系数法求直线的解析式为，将代入，计算求解，进而可得．
2．（2024·中山模拟）在平面直角坐标系中，已知抛物线与轴分别交于点A、B（点A在点B的左侧），与轴交于点，其对称轴为直线．
（1）求该抛物线的表达式；
（2）点F是上述抛物线上位于第一象限的一个动点，直线分别与轴、线段交于点，过点F作轴于点N，交于点．
①当时，求点F的坐标；
②试判断四边形的形状，并证明．
【答案】（1）解：由题意得：，
解得：，
则抛物线的表达式为：；
（2）解：①如图过点作轴于点，则轴
由，得
设点
解得
②四边形为矩形
轴
∴即，且
即
四边形为矩形
当，即时，
时，矩形为正方形
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；正方形的判定；二次函数-动态几何问题；二次函数-特殊四边形存在性问题
【解析】【分析】（1）利用抛物线的对称轴以及与y轴的交点求得a，c的值，即可求解；
（2）①如图过点作轴于点，则轴，得到，结合已知得得，再由三角函数求得，设点，用含m的式子表示CG，FG的长度，进而建立关于m的方程，解得m的值，从而求得点F的纵坐标，从而求解；
②根据正方形的判定即可求解.
3．（2023九上·武汉期中）如图，已知抛物线y＝αx2+bx+3经过点A（1，0）和点B（3，0），与y轴交于点C．
（1）求该抛物线的表达式；
（2）若P是直线BC下方的抛物线上一个动点，当点P到直线BC的距离最大时，求点P的坐标．
（3）设抛物线的对称轴与BC交于点E，点N在y轴上，在抛物线的对称轴上是否存在点M，使得以点C、E、M、N为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由。
【答案】（1）解：∵抛物线y＝ax2+bx+3经过A（1，0）和B（3，0），
∴．
解得：
∴抛物线的表达式为y＝x2﹣4x+3；
（2）解：∵线段BC为定长，
∴当点P到直线BC的距离最大时，即 PBC的面积最大。
如图，过点P作PD⊥x轴交BC于点D，设P（m，m2﹣4m+3）（0则D（m，﹣m+3）．
设直线BC的解析式为y＝kx+n，
∵点B（3，0），点C（0，3），
∴．
解得：．
∴直线BC的解析式为y＝﹣x+3
∴PD＝（﹣m+3）﹣（m2﹣4m+3）＝﹣m2+3m．
∵
∴
整理为顶点式得：．
∵，0∴当m＝时，S△PBC有最大值，
当m＝时，代入抛物线解析式得函数值．
∴P．
（3）解：存在，M点的坐标为（2，1+2）或（2，1﹣2）或（2，3）．
【知识点】菱形的判定；等腰直角三角形；二次函数与一次函数的综合应用；二次函数-特殊四边形存在性问题
【解析】【解答】解：（3）如图，
∵抛物线y＝x2﹣4x+3的对称轴为x=2，直线BC的解析式为y＝﹣x+3，
∴点E的坐标为
∵
∴
①以CE为边，
∴
∵点M在对称轴x=2上，
∴点M的坐标为（2，1+2）或（2，1﹣2），
②以CE为对角线，
∵CE与M3N3互相垂直平分，记CE与M3N3的交点为F，
∴为等腰直角三角形，
∴
∴点M的坐标为：
综上所述，点M的坐标为（2，1+2）或（2，1﹣2）或（2，3）．
【分析】（1）利用待定系数法将点A和点B的坐标代入抛物线y＝ax2+bx+3中，可得关于字母a、b的方程组，求解得出a、b的值，进而即可求解；
（2）过点P作PD⊥x轴交BC于点D，设P（m，m2﹣4m+3）（0（3）由题意知需分两种情况讨论，①以CE为边，②以CE为对角线，根据菱形的性质即可分别求出点M的坐标.
二、综合题
4．（2024·黑龙江）如图，在平面直角坐标系中，等边三角形OAB的边OB在x轴上，点A在第一象限，OA的长度是一元二次方程x2﹣5x﹣6＝0的根，动点P从点O出发以每秒2个单位长度的速度沿折线OA﹣AB运动，动点Q从点O出发以每秒3个单位长度的速度沿折线OB﹣BA运动，P、Q两点同时出发，相遇时停止运动．设运动时间为t秒（0＜t＜3.6），△OPQ的面积为S．
（1）求点A的坐标；
（2）求S与t的函数关系式；
（3）在（2）的条件下，当S＝6时，点M在y轴上，坐标平面内是否存在点N，使得以点O、P、M、N为顶点的四边形是菱形．若存在，直接写出点N的坐标；若不存在，说明理由．
【答案】（1）解：x2﹣5x﹣6＝0，解得x1＝6，x2＝﹣1，
∵OA的长度是x2﹣5x﹣6＝0的根，
∴OA＝6，
∵△OAB是等边三角形，
∴OA＝OB＝OC＝6，∠OAB＝∠AOB＝∠ABO＝60°，
过点A作AC⊥x轴，垂足为C，
在Rt△AOC中，∠AOC＝60°，
∴∠OAC＝30°，
∴OCOA6＝3，
∴AС3，
∴点A的坐标为A（3，3）；
（2）解：当0＜t≤2时，过P作PD⊥x轴，垂足为点D，
∴OP＝2t，OQ＝3t，∠OPD＝30°，
∴OD＝t，
∴PDt，
∴SOQ PD3ttt2，
当2＜t≤3时，过Q作QE⊥OA，垂足为点E，
∵∠A＝60°，
∴∠AQE＝30°，
又AQ＝12﹣3t，
∴AE＝6t，QE6t，
又OP＝2t，
∴S2t××（6t）t2+6t；
当3＜t＜3.6时，过O作OF⊥AB，垂足为F，
∴PO＝18﹣（2t+3t）＝18﹣5t，
同理可得，BFOB＝3，
∴OF3，
∴S3（18﹣5t）t+27；
综上所述S；
（3）解：点N的坐标为N（2，4+2），N（2，24），N（﹣2，2），N4（2，）．
【知识点】因式分解法解一元二次方程；等边三角形的性质；三角形-动点问题；解直角三角形—构造直角三角形；二次函数-特殊四边形存在性问题
【解析】【解答】解：（3）解：当t2＝60时，解得t＝2，
∴OP＝2×2＝4，
过点P作PG⊥x轴于点G，则OGOP＝2，
∴PG2，
∴点P的坐标为（2，2）；
当OP为边时，将OP沿轴向下平移4个单位得N（2，24），此时M（0，4），四边形POMN是菱形；将OP沿y轴向上平移4个单位得N（2，24），此时M（0，4），四边形POMN是菱形；如图，
作点P关于轴的对称点N（﹣2，2），当M（0，4）时，四边形PMNO是蒌形；
当OP为对角线时，设OP的中点为T，过点T作TM⊥y轴，交y轴于点M，延长MT到N，使TN＝TM，连接ON，过点N作NH⊥x轴于点H，
则∠MOT＝∠NOT＝∠HON＝30°，OT＝2，
∴ON＝2TN，
∴ON2＝OT2+TN2，
即ON2＝22+（ON）2，
解得，ON，
∴NH，OH＝2，
N（2，）；
当t2+6t＝6，
解得t＝2，不符合题意，此情况不存在；
当t+276时，
解得t＝23，
不符合题意，此情况不存在；
综上，点N的坐标为N（2，4+2），N（2，24），N（﹣2，2），N4（2，）．
【分析】（1）解一元二次方程得出OA的长度，利用特殊角及点的属性作垂解直角三角形得出其横纵坐标即可；
（2）根据P，Q在不同边上构成的目标△POQ面积的计算方式不同进行分类讨论，根据运动速度不同画出对应运动草图并结合特殊角分析作垂表示目标△POQ的底和高，从而得出目标面积与运动时间t的等量关系；
（3）在（2）的基础上代入S值得出t，并由已知点OP进行分类，即以OP为一边或一条对角线，结合菱形的性质进行草图分析并利用特殊角解三角形求出对应目标点N的坐标.
5．（2024·泰安）如图，抛物线的图象经过点，与轴交于点，点.
（1）求抛物线的表达式；
（2）将拋物线向右平移1个单位，再向上平移3个单位得到拋物线，求拋物线的表达式，并判断点是否在拋物线上；
（3）在轴上方的抛物线上，是否存在点，使是等腰直角三角形.若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由.
【答案】（1）解：∵ 抛物线的图象经过点
∴ a+-4=-1
解得a=
∴ 抛物线的表达式为
（2）解：点D在拋物线上；
=
将抛物线C1 向右平移1个单位，再向上平移3个单位得到拋物线，
∴ 拋物线的表达式为y=
∴ x=1，y==-1
∴ 点D（1，-1）在拋物线上.
（3）解：存在点P，使是等腰直角三角形
①当∠P1BD=90°，P1B=BD，如图所示，过点B作直线l∥y轴，过点P1作P1E⊥l于E，过点D作DF⊥l于F，则∠EP1B+∠EBP1=90°
∴ ∠P1EB=∠BFD=90°，∠EBP1+∠FDB=90°，
∴ ∠EP1B=∠FDB
∴
∴ EP1=FB=1，EB=FD=3
∴ 点P1的横坐标为-1，点P1的纵坐标为3，
∴ 把-1代入拋物线的表达式y=得y=3=EB，则P1在抛物线C2上
∴ 点P1存在，坐标为（-1，3）.
②当∠P2DB=90°，P2D=BD，如图所示，过点D作直线l∥x轴，过点P2作P1F⊥l于F，过点B作BE⊥l于E，
同理可证
∴ FD=EB=1，P2F=DE=3
∴ 点P1的横坐标为2，点P2的纵坐标为P2F-BE=3-1=2
∴ 把2代入拋物线的表达式y=得y=2，则P2在抛物线C2上
∴ 点P2存在，坐标为（2，2）.
③当∠BP3D=90°，P3D=P3B，如图所示，过点P3作直线l∥x轴，过点B作BE⊥l于E，过点D作DF⊥l于F，
同理可证
∴ BE=P3F=1，EP3=FD
设点P3（m，n）
∴ m+2=n+1，1-m=1
解得：m=0，n=1
∴ P3（0，1）
则m=0时，y=≠1
则P3不存在
综上，在轴上方的抛物线上，存在点， 使是等腰直角三角形，点P的坐标为 P1（-1，3）或P2（2，2） .
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；等腰直角三角形；同侧一线三垂直全等模型；二次函数图象的平移变换；二次函数-特殊三角形存在性问题
【解析】【分析】（1）把点D坐标代入抛物线可得表达式；
（2）先根据平移规律得出平移后拋物线的表达式为y=，再把点D坐标代入，可做判断；
（3）分∠PBD=90°，∠PDB=90°，∠BPD=90°三种情况讨论，结合等腰直角的性质，构造“一线三垂直”全等，得到点P坐标.
6．（2024·白银）如图1，抛物线y＝a（x﹣h）2+k交x轴于O，A（4，0）两点，顶点为B（2，2），点C为OB的中点．
（1）求抛物线y＝a（x﹣h）2+k的表达式；
（2）过点C作CH⊥OA，垂足为H，交抛物线于点E．求线段CE的长．
（3）点D为线段OA上一动点（O点除外），在OC右侧作平行四边形OCFD．
①如图2，当点F落在抛物线上时，求点F的坐标；
②如图3，连接BD，BF，求BD+BF的最小值．
【答案】（1）解：由题意得：，
将点A的坐标代入上式得：，
解得：，
抛物线y＝a（x-h）2+k的表达式为.
（2）解：由（1）知，，
由中点坐标公式得点，
当x＝1时，，
∴，
则.
（3）解：①由（2）知，，
当时，，
则（不合题意的值已舍去），
即点；
②设点D（m，0），则点，
过点B作直线l⊥y轴，作点F关于直线l的对称点，连接DF'，
则BD+BF＝BD+BF'≥DF'，当D、B、F'共线时，BD+BF＝DF'为最小，
设直线DF'的表达式为：，
将D（m，0），代入，
即，
解得：，
由定点F'、D的坐标得，直线DF'的表达式为：，
将点B的坐标代入上式得：，
解得：，
则点，点，
则BD+BF最小值为：．
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；轴对称的应用-最短距离问题；坐标系中的两点距离公式；利用顶点式求二次函数解析式；二次函数-特殊四边形存在性问题
【解析】【分析】（1）根据顶点坐标，设顶点坐标式，根据待定系数法求函数解析式即可；
（2）先求出点，将x=1代入函数解析式，求出点E的坐标，即可求解；
（3）①将点C的纵坐标代入抛物线解析式，算出对应的自变量的值，求出点F的坐标即可；
②设点D（m，0），则，过点B作直线l⊥y轴，作点F关于直线l的对称点F'，得出点F'的坐标，连接DF'，得出当D、B、F'共线时，BD+BF＝DF'为最小，待定系数法求出直线DF'的表达式，将点B的坐标代入，求出m的值，即可得出点F'和D的坐标，根据直角三角形中两直角边的平方和等于斜边的平方即可求解.
7．（2024·泸州）如图，在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线经过点，与y轴交于点B，且关于直线对称．
（1）求该抛物线的解析式；
（2）当时，y的取值范围是，求t的值；
（3）点C是抛物线上位于第一象限的一个动点，过点C作x轴的垂线交直线AB于点D，在y轴上是否存在点E，使得以B，C，D，E为顶点的四边形是菱形？若存在，求出该菱形的边长；若不存在，说明理由．
【答案】（1）解：∵A（3，0），抛物线的对称轴直线直线为x=1，
∴，
解得，
∴抛物线的解析式为y=-x2+2x+3；
（2）解：∵当-1≤x≤t时，
∴当x=-1时，y=-x2+2x+3=0，取得最小值，
∴当x=t时（t＜3），y取得最大值，
∵抛物线开口向下，对称轴直线为x=1，
∴当x=1，y=-x2+2x+3=4，取得最大值，
即2t-1=4，
解得t=2.5；
（3）解：存在，理由如下：
令y=-x2+2x+3=0中的x=0，得y=3，
∴B（0，3），
设直线AB的解析式为y=kx+b，
将A（3，0），B（0，3）分别代入得
解得，
∴直线AB的解析式为y=-x+3，
设点C（x，-x2+2x+3=0），则点D（x，-x+3），
当BD为边时，对应菱形为BDCE'，则CD=BD，
∴CD=-x2+2x+3-(-x+3)=BD=，
解得，
，
当BC为边时，对应的菱形为BCDE，CD=BC，
∴(-x2+3x)2=x2+(-x2+2x)2
解得x=2（不符合题意的值已经舍去）
∴CD=-22+3×2=2，
综上，菱形的边长为2或.
【知识点】二次函数的最值；待定系数法求二次函数解析式；二次函数与一次函数的综合应用；二次函数-特殊四边形存在性问题
【解析】【分析】（1）将点A的坐标代入y=ax2+bx+3可得一个关于字母a、b的方程，根据抛物线的对称轴直线可得方程，联立两方程，求解得出a、b的值，从而即可得到抛物线的解析式；
（2）当1≤x≤t，由x=-1时，y取得最小值，当x=t时，y取得最大值，即可求解；
（3）令抛物线解析式中的x=0算出对应的函数值，可得点B的坐标，利用待定系数法求出直线AB的解析式；根据点的坐标与图形性质，设设点C（x，-x2+2x+3=0），则点D（x，-x+3），当BD为边时，对应菱形为BDCE'，则CD=BD，据此结合两点间的距离公式建立方程，可求出x的值，从而得到BD的长；当BC为边时，对应的菱形为BCDE，CD=BC，据此结合两点间的距离公式建立方程，可求出x的值，从而得到CD的长，综上即可得出答案.
8．（2024·达州） 如图1，抛物线y＝ax2+bx﹣3与x轴交于点A（﹣3，0）和点B（1，0），与y轴交于点C，点D是抛物线的顶点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）如图2，连接AC，DC，直线AC交抛物线的对称轴于点M，若点P是直线AC上方抛物线上一点，且S△PMC＝2S△DMC，求点P的坐标；
（3）若点N是抛物线对称轴上位于点D上方的一动点，是否存在以点N，A，C为顶点的三角形是等腰三角形，若存在，请直接写出满足条件的点N的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）解：由题意得：y＝a（x+3）（x﹣1）＝a（x2+2x﹣3）＝ax2+bx﹣3，
∴-3a=-3
解得：a＝1，
则抛物线的表达式为：y＝x2+2x﹣3；
（2）解：由抛物线的表达式知，点C（0，﹣3）、D（﹣1，﹣4），抛物线的对称轴为直线x＝﹣1，
过点D作直线DG∥AC交y轴于点G，在点C上方取点L使CL＝2CG，过点L作直线BP∥AC交抛物线于点P，则点P为所求点，
由点A、C坐标得，直线AC的表达式为：y＝﹣x﹣3，
∵DG∥AC，
则直线DG的表达式为：y＝﹣（x+1）﹣4，
则点G（0，﹣5），则CG＝﹣3-(-5)＝2，则CL＝4，
则点L（0，1），
则直线LP的表达式为：y＝﹣x+1，
联立上式和抛物线的表达式得：x2+2x﹣3＝﹣x+1，
解得：x＝1或﹣4，
即点P（1，0）或（﹣4，5）；
（3）解：N（﹣1，±）或（﹣1，﹣1）或（﹣1，﹣3+）．
【知识点】二次函数与一次函数的综合应用；二次函数-特殊三角形存在性问题
【解析】【解答】解：（3）存在，理由：
设点N（﹣1，m），
由点A、C、N的坐标得，AC2＝18，AN2＝4+m2，CN2＝1+（m+3）2，
当AC＝AN时，
则18＝4+m2，
解得：m＝±，
则点N（﹣1，±）；
当AC＝CN或AN＝CN时，
则18＝1+（m+3）2或4+m2＝1+（m+3）2，
解得：m＝﹣3+或﹣1（不合题意的值已舍去），
则点N（﹣1，﹣1）或（﹣1，﹣3+），
综上，N（﹣1，±）或（﹣1，﹣1）或（﹣1，﹣3+）．
【分析】（1）由题意，根据点A、B的坐标可将抛物线的解析式化为交点式即可求解；
（2）过点D作直线DG∥AC交y轴于点G，在点C上方取点L使CL＝2CG，过点L作直线BP∥AC交抛物线于点P，则点P为所求点，用待定系数法可求得直线AC、DG、LP的解析式，然后将直线LP与抛物线的解析式联立解方程组即可求解；
（3）存在，理由如下：设点N（﹣1，m），用勾股定理可将AC2、CN2、AN2用含m的代数式表示出来，然后根据等腰三角形的性质可分三种情况：当AC＝AN时，当AC＝CN时，当AN＝CN时，可得关于m的方程，解方程即可求解.
9．（江西省宜春市丰城市江西省丰城中学2023-2024学年九年级下学期期中数学试题） 如图1，在平面直角坐标系中，抛物线经过点、点，M是抛物线上第一象限内的点，过点M作直线轴于点N.
（1）求抛物线的表达式；
（2）当直线是抛物线的对称轴时，求四边形的面积
（3）求的最大值，并求此时点M的坐标；
（4）在（3）的条件下，若P是抛物线的对称轴上的一动点，Q是抛物线上的一动点，是否存点点P、Q，使以点A、M、P、Q为顶点的四边形是平行四边形，若存在，请求点Q的坐标，若不存在，请说明理由.
【答案】（1）由题意得：.解得：
∴抛物线的函数解析式是：.
（2）∵.
∴当MN是抛物线的对称轴时，抛物线的顶点是，点.
连接BN.
则；
（3）设点M的坐标是，则点.
∴，.
∴.
∴当时，有最大值，
这时点.
（4）存在，理由如下：
由（1）（3）抛物线的对称轴是直线，点.
设点，.
分三种情况讨论：
①当是对角线时，，解得：，这时点.
②当是对角线时，，解得：，这时点.
③当是对角线时，，解得：，这时点.
综上所述，存或或，使以点A、M、P、Q为顶点的四边形是平行四边形.
【知识点】二次函数的最值；利用一般式求二次函数解析式；二次函数-特殊四边形存在性问题
【解析】【分析】(1)将点和代入解析式即可求出b、c的值，即可得解析式；
(2)求出顶点M、N的坐标，分割成△ABN和△ABN，分别求出面积即可；
(3)求出AN和MN的长度表达式，得到AN+MN关于m的二次函数，即可求出最大值；
(4)设P和Q的坐标，分AM、AP、AQ为对角线3种情况进行讨论，利用平移分别得到点Q的坐标即可.
10．（2024·霞山模拟）如图1，在平面直角坐标系xOy中，抛物线C：y＝ax2+bx+c与x轴相交于A、B两点，顶点为D（0，4），AB＝，设点F（m，0）是x轴的正半轴上一点，将抛物线C绕点F旋转180°，得到新的抛物线C'．
（1）求抛物线C的函数表达式；
（2）若抛物线C'与抛物线C在y轴的右侧有两个不同的公共点．
①抛物线C'的解析式为 ▲（用含m的关系式表示）；
②求m的取值范围；
（3）如图2，P是第一象限内抛物线C上一点，它到两坐标轴的距离相等，点P在抛物线C'上的对应点为P'，设M是C上的动点，N是C'上的动点，试探究四边形PMP'N能否成为正方形，若能，求出m的值；若不能，请说明理由．
【答案】（1）解：由题意抛物线的顶点D（0，4），A（﹣2，0），设抛物线的解析式为y＝ax2+4，
把A（﹣2，0）代入可得，
∴抛物线C的函数表达式为．
（2）解：①y＝（x﹣2m）2﹣4．
②由，消去y得到x2﹣2mx+2m2﹣8＝0，
由题意，抛物线C'与抛物线C在y轴的右侧有两个不同的公共点，
则有，解得，
∴满足条件的m的取值范围为．
（3）解：结论：四边形PMP'N能成为正方形．
理由：情形1，如图，作PE⊥x轴于E，MH⊥x轴于H．
由题意易知P（2，2），当△PFM是等腰直角三角形时，
四边形PMP'N是正方形，
∴PF＝FM，∠PFM＝90°，
∴∠FPE＝∠MFH，
∴△PFE≌△FMH（AAS），
∴PE＝FH＝2，EF＝HM＝2﹣m，
∴M（m+2，m﹣2），
∵点M在y＝﹣x2+4上，
∴m﹣2＝﹣（m+2）2+4，解得m＝﹣3或﹣﹣3（舍弃），
∴m＝﹣3时，四边形PMP'N是正方形．
情形2，如图，四边形PMP'N是正方形，同法可得M（m﹣2，2﹣m），
把M（m﹣2，2﹣m）代入y＝﹣x2+4中，2﹣m＝﹣（m﹣2）2+4，
解得m＝6或0（舍弃），
∴m＝6时，四边形PMP'N是正方形．
综上，四边形PMP'N能成为正方形，m＝﹣3或6．
【知识点】二次函数-动态几何问题；二次函数-特殊四边形存在性问题
【解析】【解答】 (1)、 解：由题意抛物线的顶点D（0，4），A（﹣2，0），设抛物线的解析式为y＝ax2+4，把A（﹣2，0）代入可得，
∴抛物线C的函数表达式为．
(2)、 解：①∵将抛物线C绕点F旋转180°，得到新的抛物线C'，
∴抛物线C'的顶点坐标为（2m，-4），
∴抛物线C'的解析式为y＝（x﹣2m）2﹣4．
【分析】 (1)、设抛物线的解析式为y＝ax2+4，把顶点D（0，4），A（﹣2，0），代入即可求出.
(2)、联立2个二次函数消去y得到x2﹣2mx+2m2﹣8＝0，根据题意列出不等式求出m的取值范围.
(3)、 四边形PMP'N能成为正方形．理由：情形1，如图，作PE⊥x轴于E，MH⊥x轴于H．由题意易知P（2，2），当△PFM是等腰直角三角形时，证明△PFE≌△FMH（AAS），表示出M（m+2，m﹣2），点M在y＝﹣x2+4上，求出m的值.
情形2，如图，四边形PMP'N是正方形，同法可得M（m﹣2，2﹣m），把M（m﹣2，2﹣m）代入y＝﹣x2+4中，2﹣m＝﹣（m﹣2）2+4，综上求出m的值.
11．（2024·咸宁模拟）已知如图，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，，顶点为．
（1）求此抛物线的解析式；
（2）在直线下方的抛物线上，是否存在一点，使四边形的面积最大？最大面积是多少？
（3）点在轴上的一个动点，点是坐标平面上的一个动点，是否存在这样的点和点，使点，，，构成矩形，若存在，求出点，的坐标，若不存在，请说明理由．
【答案】（1）解：，
抛物线经过点，，
将其分别代入抛物线解析式，得，
解得．
故此抛物线的函数表达式为：；
（2）解：设直线的解析式为，
将，代入，
得，
解得，
直线的解析式为，
，令得，
解得或，
，
过点作直线轴，交于点，
设的坐标为，则，
，
∴S四边形ABCN，
把代入抛物线得：，
的坐标为，
存在一点，使四边形的面积最大，最大面积是；
（3）解：存在，理由如下：
，
，
设，
点，，，构成矩形，
是直角三角形，
，
，
，
①当以为斜边时，，
，解得或，
点的坐标为或，
点的坐标为或；
②当以为斜边时，，
，解得，
点的坐标为，
点的坐标为；
③当以为斜边时，，
，解得，
点的坐标为，
点的坐标为；
综上所述：存在，点的坐标为或或或，点的坐标为或或或
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；勾股定理；二次函数与一次函数的综合应用；二次函数-动态几何问题；坐标系中的两点距离公式
【解析】【分析】（1）由题意易得点A、C得坐标，然后将点A、C得坐标分别代入y=x2+bx+c中可得关于字母b、c的方程组，求解得出b、c的值，从而得到抛物线的解析式；
（2）用待定系数法求出直线AC的解析式，再由抛物线与x轴交点的坐标特点求出点B的坐标，过点N作直线MN∥y轴，交AC于点M，根据点的坐标与图形的性质，设出点M、N得坐标，再根据平面内两点间的距离公式表示出MN，进而根据S四边形ABCN=S△ABC+S△ACN建立出函数关系式，根据所得函数的最值问题即可解决此题；
（3）首先根据抛物线的解析式求出顶点D的坐标，设E（0，m），根据矩形的性质可得△ADE是直角三角形，根据平面内两点间的距离公式表示出AD2、AE2、DE2，然后分①当以AD为斜边时，②当以AE为斜边时，③当以DE为斜边时，三种情况，分别根据勾股定理建立方程求出m的值，从而得到点E的坐标，进而根据点的坐标与图形的性质得出点F的坐标，综上即可得出答案.
12．（2024·云梦模拟） 如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点（点在点的左侧），与轴交于点，其对称轴为直线．
（1）求该抛物线的函数解析式；
（2）如图，已知点为第三象限抛物线上一点，连接，若，求点的坐标；
（3）和点分别是直线和抛物线上的动点，且点的横坐标比点的横坐标大个单位长度，分别过作坐标轴的平行线，得到矩形．设该抛物线在矩形内部（包括边界）的图象的最高点与最低点的纵坐标的差为．
如图，当时，请直接写出的值；
请直接写出关于的函数关系式．
【答案】（1）解：∵抛物线与轴交于点，其对称轴为，
∴，
解得，
∴抛物线的函数解析式为
（2）解：设交轴于，如图，
在中，令，得
解得或，
∴，，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
设直线的解析式为，把、代入得，
，
解得，
∴直线的解析式为，
联立函数式得，
解得或，
∴
（3）解：①；
②．
【知识点】二次函数与一次函数的综合应用；二次函数-动态几何问题
【解析】【解答】解：（3）①当时，，，
∴；
故答案为：；
②由题意得，，，
∵，
∴当时，，
解得，，
当时，如图，
；
当时，如图，
；
当时，如图，
；
综上所述，关于的函数关系式为
．
【分析】（1）由待定系数法，将点代入抛物线解析式，结合对称轴的表达式，可得到抛物线的解析式；
（2）由函数与坐标轴的交点坐标知OB=OC=3，根据角度关系推得相等的角，可得两个三角形全等的条件，利用全等的性质可得点D的坐标；
（3）①由题意可得P点坐标，再求出Q点坐标；
②根据设P点，再将Q点坐标表达出来，矩形内部的图像最高点与最低点的纵坐标之差即为P、Q纵坐标之差，用含m的代数式表达出来，根据在坐标系中的存在情形，根据m的取值范围进行分类讨论，、、
1 / 1浙教版数学九上章末重难点专训 二次函数综合-图形存在问题
一、解答题
1．（2024九下·双流月考）如图，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点．
（1）求抛物线解析式及点坐标；
（2）是平面直角坐标系内一点，以，，，为顶点的四边形是平行四边形，求点坐标；
（3）该抛物线对称轴上是否存在点，使得，若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．
2．（2024·中山模拟）在平面直角坐标系中，已知抛物线与轴分别交于点A、B（点A在点B的左侧），与轴交于点，其对称轴为直线．
（1）求该抛物线的表达式；
（2）点F是上述抛物线上位于第一象限的一个动点，直线分别与轴、线段交于点，过点F作轴于点N，交于点．
①当时，求点F的坐标；
②试判断四边形的形状，并证明．
3．（2023九上·武汉期中）如图，已知抛物线y＝αx2+bx+3经过点A（1，0）和点B（3，0），与y轴交于点C．
（1）求该抛物线的表达式；
（2）若P是直线BC下方的抛物线上一个动点，当点P到直线BC的距离最大时，求点P的坐标．
（3）设抛物线的对称轴与BC交于点E，点N在y轴上，在抛物线的对称轴上是否存在点M，使得以点C、E、M、N为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由。
二、综合题
4．（2024·黑龙江）如图，在平面直角坐标系中，等边三角形OAB的边OB在x轴上，点A在第一象限，OA的长度是一元二次方程x2﹣5x﹣6＝0的根，动点P从点O出发以每秒2个单位长度的速度沿折线OA﹣AB运动，动点Q从点O出发以每秒3个单位长度的速度沿折线OB﹣BA运动，P、Q两点同时出发，相遇时停止运动．设运动时间为t秒（0＜t＜3.6），△OPQ的面积为S．
（1）求点A的坐标；
（2）求S与t的函数关系式；
（3）在（2）的条件下，当S＝6时，点M在y轴上，坐标平面内是否存在点N，使得以点O、P、M、N为顶点的四边形是菱形．若存在，直接写出点N的坐标；若不存在，说明理由．
5．（2024·泰安）如图，抛物线的图象经过点，与轴交于点，点.
（1）求抛物线的表达式；
（2）将拋物线向右平移1个单位，再向上平移3个单位得到拋物线，求拋物线的表达式，并判断点是否在拋物线上；
（3）在轴上方的抛物线上，是否存在点，使是等腰直角三角形.若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由.
6．（2024·白银）如图1，抛物线y＝a（x﹣h）2+k交x轴于O，A（4，0）两点，顶点为B（2，2），点C为OB的中点．
（1）求抛物线y＝a（x﹣h）2+k的表达式；
（2）过点C作CH⊥OA，垂足为H，交抛物线于点E．求线段CE的长．
（3）点D为线段OA上一动点（O点除外），在OC右侧作平行四边形OCFD．
①如图2，当点F落在抛物线上时，求点F的坐标；
②如图3，连接BD，BF，求BD+BF的最小值．
7．（2024·泸州）如图，在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线经过点，与y轴交于点B，且关于直线对称．
（1）求该抛物线的解析式；
（2）当时，y的取值范围是，求t的值；
（3）点C是抛物线上位于第一象限的一个动点，过点C作x轴的垂线交直线AB于点D，在y轴上是否存在点E，使得以B，C，D，E为顶点的四边形是菱形？若存在，求出该菱形的边长；若不存在，说明理由．
8．（2024·达州） 如图1，抛物线y＝ax2+bx﹣3与x轴交于点A（﹣3，0）和点B（1，0），与y轴交于点C，点D是抛物线的顶点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）如图2，连接AC，DC，直线AC交抛物线的对称轴于点M，若点P是直线AC上方抛物线上一点，且S△PMC＝2S△DMC，求点P的坐标；
（3）若点N是抛物线对称轴上位于点D上方的一动点，是否存在以点N，A，C为顶点的三角形是等腰三角形，若存在，请直接写出满足条件的点N的坐标；若不存在，请说明理由．
9．（江西省宜春市丰城市江西省丰城中学2023-2024学年九年级下学期期中数学试题） 如图1，在平面直角坐标系中，抛物线经过点、点，M是抛物线上第一象限内的点，过点M作直线轴于点N.
（1）求抛物线的表达式；
（2）当直线是抛物线的对称轴时，求四边形的面积
（3）求的最大值，并求此时点M的坐标；
（4）在（3）的条件下，若P是抛物线的对称轴上的一动点，Q是抛物线上的一动点，是否存点点P、Q，使以点A、M、P、Q为顶点的四边形是平行四边形，若存在，请求点Q的坐标，若不存在，请说明理由.
10．（2024·霞山模拟）如图1，在平面直角坐标系xOy中，抛物线C：y＝ax2+bx+c与x轴相交于A、B两点，顶点为D（0，4），AB＝，设点F（m，0）是x轴的正半轴上一点，将抛物线C绕点F旋转180°，得到新的抛物线C'．
（1）求抛物线C的函数表达式；
（2）若抛物线C'与抛物线C在y轴的右侧有两个不同的公共点．
①抛物线C'的解析式为 ▲（用含m的关系式表示）；
②求m的取值范围；
（3）如图2，P是第一象限内抛物线C上一点，它到两坐标轴的距离相等，点P在抛物线C'上的对应点为P'，设M是C上的动点，N是C'上的动点，试探究四边形PMP'N能否成为正方形，若能，求出m的值；若不能，请说明理由．
11．（2024·咸宁模拟）已知如图，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，，顶点为．
（1）求此抛物线的解析式；
（2）在直线下方的抛物线上，是否存在一点，使四边形的面积最大？最大面积是多少？
（3）点在轴上的一个动点，点是坐标平面上的一个动点，是否存在这样的点和点，使点，，，构成矩形，若存在，求出点，的坐标，若不存在，请说明理由．
12．（2024·云梦模拟） 如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点（点在点的左侧），与轴交于点，其对称轴为直线．
（1）求该抛物线的函数解析式；
（2）如图，已知点为第三象限抛物线上一点，连接，若，求点的坐标；
（3）和点分别是直线和抛物线上的动点，且点的横坐标比点的横坐标大个单位长度，分别过作坐标轴的平行线，得到矩形．设该抛物线在矩形内部（包括边界）的图象的最高点与最低点的纵坐标的差为．
如图，当时，请直接写出的值；
请直接写出关于的函数关系式．
答案解析部分
1．【答案】（1）解：∵点，在抛物线上，
∴，解得：，
抛物线的解析式为，
令x=0，可得：点的坐标为；
（2）解：由题意知，以，，，为顶点的四边形是平行四边形，可分成以下三种情况求解；
当，为对角线时：
设的中点为，则，
设，
∴，
解得，，
∴；
当，为对角线时：
设的中点为，则，
设，
∴，
解得，，
∴；
当，为对角线时：
设的中点为，则，
设，
∴，
解得，，
∴；
综上可得：点的坐标为或或；
（3）解：存在，理由如下；
如图，作，使，连接，交对称轴于点，作轴于，
∵，，
∴，即，点即为所求；
∵，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴，
设直线的解析式为，
将，代入得，，
解得，，
∴直线的解析式为，
由题意知，的对称轴为直线，
将代入得，，
∴，
∴存在，．
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；待定系数法求二次函数解析式；等腰三角形的判定与性质；二次函数-特殊四边形存在性问题
【解析】【分析】（1）根据抛物线上的两点， ；利用待定系数法，即可求得抛物线的解析式，然后令x=0，即可求得抛物线y轴的交点C的坐标；
（2）分三种情况进行讨论：当，为对角线时： 设， 可得：， 解得，， 可得出：； ②当AB，CD为对角线时： 设， 则可得， 解得，， 可得出；③ 当，为对角线时： 设 ，则可得， 解得，，可得出； 故而得出点的坐标为或或；
（3）如图，作，使，连接，交对称轴于点，作轴于，即，点即为所求；证明，则，，待定系数法求直线的解析式为，将代入，计算求解，进而可得．
2．【答案】（1）解：由题意得：，
解得：，
则抛物线的表达式为：；
（2）解：①如图过点作轴于点，则轴
由，得
设点
解得
②四边形为矩形
轴
∴即，且
即
四边形为矩形
当，即时，
时，矩形为正方形
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；正方形的判定；二次函数-动态几何问题；二次函数-特殊四边形存在性问题
【解析】【分析】（1）利用抛物线的对称轴以及与y轴的交点求得a，c的值，即可求解；
（2）①如图过点作轴于点，则轴，得到，结合已知得得，再由三角函数求得，设点，用含m的式子表示CG，FG的长度，进而建立关于m的方程，解得m的值，从而求得点F的纵坐标，从而求解；
②根据正方形的判定即可求解.
3．【答案】（1）解：∵抛物线y＝ax2+bx+3经过A（1，0）和B（3，0），
∴．
解得：
∴抛物线的表达式为y＝x2﹣4x+3；
（2）解：∵线段BC为定长，
∴当点P到直线BC的距离最大时，即 PBC的面积最大。
如图，过点P作PD⊥x轴交BC于点D，设P（m，m2﹣4m+3）（0则D（m，﹣m+3）．
设直线BC的解析式为y＝kx+n，
∵点B（3，0），点C（0，3），
∴．
解得：．
∴直线BC的解析式为y＝﹣x+3
∴PD＝（﹣m+3）﹣（m2﹣4m+3）＝﹣m2+3m．
∵
∴
整理为顶点式得：．
∵，0∴当m＝时，S△PBC有最大值，
当m＝时，代入抛物线解析式得函数值．
∴P．
（3）解：存在，M点的坐标为（2，1+2）或（2，1﹣2）或（2，3）．
【知识点】菱形的判定；等腰直角三角形；二次函数与一次函数的综合应用；二次函数-特殊四边形存在性问题
【解析】【解答】解：（3）如图，
∵抛物线y＝x2﹣4x+3的对称轴为x=2，直线BC的解析式为y＝﹣x+3，
∴点E的坐标为
∵
∴
①以CE为边，
∴
∵点M在对称轴x=2上，
∴点M的坐标为（2，1+2）或（2，1﹣2），
②以CE为对角线，
∵CE与M3N3互相垂直平分，记CE与M3N3的交点为F，
∴为等腰直角三角形，
∴
∴点M的坐标为：
综上所述，点M的坐标为（2，1+2）或（2，1﹣2）或（2，3）．
【分析】（1）利用待定系数法将点A和点B的坐标代入抛物线y＝ax2+bx+3中，可得关于字母a、b的方程组，求解得出a、b的值，进而即可求解；
（2）过点P作PD⊥x轴交BC于点D，设P（m，m2﹣4m+3）（0（3）由题意知需分两种情况讨论，①以CE为边，②以CE为对角线，根据菱形的性质即可分别求出点M的坐标.
4．【答案】（1）解：x2﹣5x﹣6＝0，解得x1＝6，x2＝﹣1，
∵OA的长度是x2﹣5x﹣6＝0的根，
∴OA＝6，
∵△OAB是等边三角形，
∴OA＝OB＝OC＝6，∠OAB＝∠AOB＝∠ABO＝60°，
过点A作AC⊥x轴，垂足为C，
在Rt△AOC中，∠AOC＝60°，
∴∠OAC＝30°，
∴OCOA6＝3，
∴AС3，
∴点A的坐标为A（3，3）；
（2）解：当0＜t≤2时，过P作PD⊥x轴，垂足为点D，
∴OP＝2t，OQ＝3t，∠OPD＝30°，
∴OD＝t，
∴PDt，
∴SOQ PD3ttt2，
当2＜t≤3时，过Q作QE⊥OA，垂足为点E，
∵∠A＝60°，
∴∠AQE＝30°，
又AQ＝12﹣3t，
∴AE＝6t，QE6t，
又OP＝2t，
∴S2t××（6t）t2+6t；
当3＜t＜3.6时，过O作OF⊥AB，垂足为F，
∴PO＝18﹣（2t+3t）＝18﹣5t，
同理可得，BFOB＝3，
∴OF3，
∴S3（18﹣5t）t+27；
综上所述S；
（3）解：点N的坐标为N（2，4+2），N（2，24），N（﹣2，2），N4（2，）．
【知识点】因式分解法解一元二次方程；等边三角形的性质；三角形-动点问题；解直角三角形—构造直角三角形；二次函数-特殊四边形存在性问题
【解析】【解答】解：（3）解：当t2＝60时，解得t＝2，
∴OP＝2×2＝4，
过点P作PG⊥x轴于点G，则OGOP＝2，
∴PG2，
∴点P的坐标为（2，2）；
当OP为边时，将OP沿轴向下平移4个单位得N（2，24），此时M（0，4），四边形POMN是菱形；将OP沿y轴向上平移4个单位得N（2，24），此时M（0，4），四边形POMN是菱形；如图，
作点P关于轴的对称点N（﹣2，2），当M（0，4）时，四边形PMNO是蒌形；
当OP为对角线时，设OP的中点为T，过点T作TM⊥y轴，交y轴于点M，延长MT到N，使TN＝TM，连接ON，过点N作NH⊥x轴于点H，
则∠MOT＝∠NOT＝∠HON＝30°，OT＝2，
∴ON＝2TN，
∴ON2＝OT2+TN2，
即ON2＝22+（ON）2，
解得，ON，
∴NH，OH＝2，
N（2，）；
当t2+6t＝6，
解得t＝2，不符合题意，此情况不存在；
当t+276时，
解得t＝23，
不符合题意，此情况不存在；
综上，点N的坐标为N（2，4+2），N（2，24），N（﹣2，2），N4（2，）．
【分析】（1）解一元二次方程得出OA的长度，利用特殊角及点的属性作垂解直角三角形得出其横纵坐标即可；
（2）根据P，Q在不同边上构成的目标△POQ面积的计算方式不同进行分类讨论，根据运动速度不同画出对应运动草图并结合特殊角分析作垂表示目标△POQ的底和高，从而得出目标面积与运动时间t的等量关系；
（3）在（2）的基础上代入S值得出t，并由已知点OP进行分类，即以OP为一边或一条对角线，结合菱形的性质进行草图分析并利用特殊角解三角形求出对应目标点N的坐标.
5．【答案】（1）解：∵ 抛物线的图象经过点
∴ a+-4=-1
解得a=
∴ 抛物线的表达式为
（2）解：点D在拋物线上；
=
将抛物线C1 向右平移1个单位，再向上平移3个单位得到拋物线，
∴ 拋物线的表达式为y=
∴ x=1，y==-1
∴ 点D（1，-1）在拋物线上.
（3）解：存在点P，使是等腰直角三角形
①当∠P1BD=90°，P1B=BD，如图所示，过点B作直线l∥y轴，过点P1作P1E⊥l于E，过点D作DF⊥l于F，则∠EP1B+∠EBP1=90°
∴ ∠P1EB=∠BFD=90°，∠EBP1+∠FDB=90°，
∴ ∠EP1B=∠FDB
∴
∴ EP1=FB=1，EB=FD=3
∴ 点P1的横坐标为-1，点P1的纵坐标为3，
∴ 把-1代入拋物线的表达式y=得y=3=EB，则P1在抛物线C2上
∴ 点P1存在，坐标为（-1，3）.
②当∠P2DB=90°，P2D=BD，如图所示，过点D作直线l∥x轴，过点P2作P1F⊥l于F，过点B作BE⊥l于E，
同理可证
∴ FD=EB=1，P2F=DE=3
∴ 点P1的横坐标为2，点P2的纵坐标为P2F-BE=3-1=2
∴ 把2代入拋物线的表达式y=得y=2，则P2在抛物线C2上
∴ 点P2存在，坐标为（2，2）.
③当∠BP3D=90°，P3D=P3B，如图所示，过点P3作直线l∥x轴，过点B作BE⊥l于E，过点D作DF⊥l于F，
同理可证
∴ BE=P3F=1，EP3=FD
设点P3（m，n）
∴ m+2=n+1，1-m=1
解得：m=0，n=1
∴ P3（0，1）
则m=0时，y=≠1
则P3不存在
综上，在轴上方的抛物线上，存在点， 使是等腰直角三角形，点P的坐标为 P1（-1，3）或P2（2，2） .
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；等腰直角三角形；同侧一线三垂直全等模型；二次函数图象的平移变换；二次函数-特殊三角形存在性问题
【解析】【分析】（1）把点D坐标代入抛物线可得表达式；
（2）先根据平移规律得出平移后拋物线的表达式为y=，再把点D坐标代入，可做判断；
（3）分∠PBD=90°，∠PDB=90°，∠BPD=90°三种情况讨论，结合等腰直角的性质，构造“一线三垂直”全等，得到点P坐标.
6．【答案】（1）解：由题意得：，
将点A的坐标代入上式得：，
解得：，
抛物线y＝a（x-h）2+k的表达式为.
（2）解：由（1）知，，
由中点坐标公式得点，
当x＝1时，，
∴，
则.
（3）解：①由（2）知，，
当时，，
则（不合题意的值已舍去），
即点；
②设点D（m，0），则点，
过点B作直线l⊥y轴，作点F关于直线l的对称点，连接DF'，
则BD+BF＝BD+BF'≥DF'，当D、B、F'共线时，BD+BF＝DF'为最小，
设直线DF'的表达式为：，
将D（m，0），代入，
即，
解得：，
由定点F'、D的坐标得，直线DF'的表达式为：，
将点B的坐标代入上式得：，
解得：，
则点，点，
则BD+BF最小值为：．
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；轴对称的应用-最短距离问题；坐标系中的两点距离公式；利用顶点式求二次函数解析式；二次函数-特殊四边形存在性问题
【解析】【分析】（1）根据顶点坐标，设顶点坐标式，根据待定系数法求函数解析式即可；
（2）先求出点，将x=1代入函数解析式，求出点E的坐标，即可求解；
（3）①将点C的纵坐标代入抛物线解析式，算出对应的自变量的值，求出点F的坐标即可；
②设点D（m，0），则，过点B作直线l⊥y轴，作点F关于直线l的对称点F'，得出点F'的坐标，连接DF'，得出当D、B、F'共线时，BD+BF＝DF'为最小，待定系数法求出直线DF'的表达式，将点B的坐标代入，求出m的值，即可得出点F'和D的坐标，根据直角三角形中两直角边的平方和等于斜边的平方即可求解.
7．【答案】（1）解：∵A（3，0），抛物线的对称轴直线直线为x=1，
∴，
解得，
∴抛物线的解析式为y=-x2+2x+3；
（2）解：∵当-1≤x≤t时，
∴当x=-1时，y=-x2+2x+3=0，取得最小值，
∴当x=t时（t＜3），y取得最大值，
∵抛物线开口向下，对称轴直线为x=1，
∴当x=1，y=-x2+2x+3=4，取得最大值，
即2t-1=4，
解得t=2.5；
（3）解：存在，理由如下：
令y=-x2+2x+3=0中的x=0，得y=3，
∴B（0，3），
设直线AB的解析式为y=kx+b，
将A（3，0），B（0，3）分别代入得
解得，
∴直线AB的解析式为y=-x+3，
设点C（x，-x2+2x+3=0），则点D（x，-x+3），
当BD为边时，对应菱形为BDCE'，则CD=BD，
∴CD=-x2+2x+3-(-x+3)=BD=，
解得，
，
当BC为边时，对应的菱形为BCDE，CD=BC，
∴(-x2+3x)2=x2+(-x2+2x)2
解得x=2（不符合题意的值已经舍去）
∴CD=-22+3×2=2，
综上，菱形的边长为2或.
【知识点】二次函数的最值；待定系数法求二次函数解析式；二次函数与一次函数的综合应用；二次函数-特殊四边形存在性问题
【解析】【分析】（1）将点A的坐标代入y=ax2+bx+3可得一个关于字母a、b的方程，根据抛物线的对称轴直线可得方程，联立两方程，求解得出a、b的值，从而即可得到抛物线的解析式；
（2）当1≤x≤t，由x=-1时，y取得最小值，当x=t时，y取得最大值，即可求解；
（3）令抛物线解析式中的x=0算出对应的函数值，可得点B的坐标，利用待定系数法求出直线AB的解析式；根据点的坐标与图形性质，设设点C（x，-x2+2x+3=0），则点D（x，-x+3），当BD为边时，对应菱形为BDCE'，则CD=BD，据此结合两点间的距离公式建立方程，可求出x的值，从而得到BD的长；当BC为边时，对应的菱形为BCDE，CD=BC，据此结合两点间的距离公式建立方程，可求出x的值，从而得到CD的长，综上即可得出答案.
8．【答案】（1）解：由题意得：y＝a（x+3）（x﹣1）＝a（x2+2x﹣3）＝ax2+bx﹣3，
∴-3a=-3
解得：a＝1，
则抛物线的表达式为：y＝x2+2x﹣3；
（2）解：由抛物线的表达式知，点C（0，﹣3）、D（﹣1，﹣4），抛物线的对称轴为直线x＝﹣1，
过点D作直线DG∥AC交y轴于点G，在点C上方取点L使CL＝2CG，过点L作直线BP∥AC交抛物线于点P，则点P为所求点，
由点A、C坐标得，直线AC的表达式为：y＝﹣x﹣3，
∵DG∥AC，
则直线DG的表达式为：y＝﹣（x+1）﹣4，
则点G（0，﹣5），则CG＝﹣3-(-5)＝2，则CL＝4，
则点L（0，1），
则直线LP的表达式为：y＝﹣x+1，
联立上式和抛物线的表达式得：x2+2x﹣3＝﹣x+1，
解得：x＝1或﹣4，
即点P（1，0）或（﹣4，5）；
（3）解：N（﹣1，±）或（﹣1，﹣1）或（﹣1，﹣3+）．
【知识点】二次函数与一次函数的综合应用；二次函数-特殊三角形存在性问题
【解析】【解答】解：（3）存在，理由：
设点N（﹣1，m），
由点A、C、N的坐标得，AC2＝18，AN2＝4+m2，CN2＝1+（m+3）2，
当AC＝AN时，
则18＝4+m2，
解得：m＝±，
则点N（﹣1，±）；
当AC＝CN或AN＝CN时，
则18＝1+（m+3）2或4+m2＝1+（m+3）2，
解得：m＝﹣3+或﹣1（不合题意的值已舍去），
则点N（﹣1，﹣1）或（﹣1，﹣3+），
综上，N（﹣1，±）或（﹣1，﹣1）或（﹣1，﹣3+）．
【分析】（1）由题意，根据点A、B的坐标可将抛物线的解析式化为交点式即可求解；
（2）过点D作直线DG∥AC交y轴于点G，在点C上方取点L使CL＝2CG，过点L作直线BP∥AC交抛物线于点P，则点P为所求点，用待定系数法可求得直线AC、DG、LP的解析式，然后将直线LP与抛物线的解析式联立解方程组即可求解；
（3）存在，理由如下：设点N（﹣1，m），用勾股定理可将AC2、CN2、AN2用含m的代数式表示出来，然后根据等腰三角形的性质可分三种情况：当AC＝AN时，当AC＝CN时，当AN＝CN时，可得关于m的方程，解方程即可求解.
9．【答案】（1）由题意得：.解得：
∴抛物线的函数解析式是：.
（2）∵.
∴当MN是抛物线的对称轴时，抛物线的顶点是，点.
连接BN.
则；
（3）设点M的坐标是，则点.
∴，.
∴.
∴当时，有最大值，
这时点.
（4）存在，理由如下：
由（1）（3）抛物线的对称轴是直线，点.
设点，.
分三种情况讨论：
①当是对角线时，，解得：，这时点.
②当是对角线时，，解得：，这时点.
③当是对角线时，，解得：，这时点.
综上所述，存或或，使以点A、M、P、Q为顶点的四边形是平行四边形.
【知识点】二次函数的最值；利用一般式求二次函数解析式；二次函数-特殊四边形存在性问题
【解析】【分析】(1)将点和代入解析式即可求出b、c的值，即可得解析式；
(2)求出顶点M、N的坐标，分割成△ABN和△ABN，分别求出面积即可；
(3)求出AN和MN的长度表达式，得到AN+MN关于m的二次函数，即可求出最大值；
(4)设P和Q的坐标，分AM、AP、AQ为对角线3种情况进行讨论，利用平移分别得到点Q的坐标即可.
10．【答案】（1）解：由题意抛物线的顶点D（0，4），A（﹣2，0），设抛物线的解析式为y＝ax2+4，
把A（﹣2，0）代入可得，
∴抛物线C的函数表达式为．
（2）解：①y＝（x﹣2m）2﹣4．
②由，消去y得到x2﹣2mx+2m2﹣8＝0，
由题意，抛物线C'与抛物线C在y轴的右侧有两个不同的公共点，
则有，解得，
∴满足条件的m的取值范围为．
（3）解：结论：四边形PMP'N能成为正方形．
理由：情形1，如图，作PE⊥x轴于E，MH⊥x轴于H．
由题意易知P（2，2），当△PFM是等腰直角三角形时，
四边形PMP'N是正方形，
∴PF＝FM，∠PFM＝90°，
∴∠FPE＝∠MFH，
∴△PFE≌△FMH（AAS），
∴PE＝FH＝2，EF＝HM＝2﹣m，
∴M（m+2，m﹣2），
∵点M在y＝﹣x2+4上，
∴m﹣2＝﹣（m+2）2+4，解得m＝﹣3或﹣﹣3（舍弃），
∴m＝﹣3时，四边形PMP'N是正方形．
情形2，如图，四边形PMP'N是正方形，同法可得M（m﹣2，2﹣m），
把M（m﹣2，2﹣m）代入y＝﹣x2+4中，2﹣m＝﹣（m﹣2）2+4，
解得m＝6或0（舍弃），
∴m＝6时，四边形PMP'N是正方形．
综上，四边形PMP'N能成为正方形，m＝﹣3或6．
【知识点】二次函数-动态几何问题；二次函数-特殊四边形存在性问题
【解析】【解答】 (1)、 解：由题意抛物线的顶点D（0，4），A（﹣2，0），设抛物线的解析式为y＝ax2+4，把A（﹣2，0）代入可得，
∴抛物线C的函数表达式为．
(2)、 解：①∵将抛物线C绕点F旋转180°，得到新的抛物线C'，
∴抛物线C'的顶点坐标为（2m，-4），
∴抛物线C'的解析式为y＝（x﹣2m）2﹣4．
【分析】 (1)、设抛物线的解析式为y＝ax2+4，把顶点D（0，4），A（﹣2，0），代入即可求出.
(2)、联立2个二次函数消去y得到x2﹣2mx+2m2﹣8＝0，根据题意列出不等式求出m的取值范围.
(3)、 四边形PMP'N能成为正方形．理由：情形1，如图，作PE⊥x轴于E，MH⊥x轴于H．由题意易知P（2，2），当△PFM是等腰直角三角形时，证明△PFE≌△FMH（AAS），表示出M（m+2，m﹣2），点M在y＝﹣x2+4上，求出m的值.
情形2，如图，四边形PMP'N是正方形，同法可得M（m﹣2，2﹣m），把M（m﹣2，2﹣m）代入y＝﹣x2+4中，2﹣m＝﹣（m﹣2）2+4，综上求出m的值.
11．【答案】（1）解：，
抛物线经过点，，
将其分别代入抛物线解析式，得，
解得．
故此抛物线的函数表达式为：；
（2）解：设直线的解析式为，
将，代入，
得，
解得，
直线的解析式为，
，令得，
解得或，
，
过点作直线轴，交于点，
设的坐标为，则，
，
∴S四边形ABCN，
把代入抛物线得：，
的坐标为，
存在一点，使四边形的面积最大，最大面积是；
（3）解：存在，理由如下：
，
，
设，
点，，，构成矩形，
是直角三角形，
，
，
，
①当以为斜边时，，
，解得或，
点的坐标为或，
点的坐标为或；
②当以为斜边时，，
，解得，
点的坐标为，
点的坐标为；
③当以为斜边时，，
，解得，
点的坐标为，
点的坐标为；
综上所述：存在，点的坐标为或或或，点的坐标为或或或
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；勾股定理；二次函数与一次函数的综合应用；二次函数-动态几何问题；坐标系中的两点距离公式
【解析】【分析】（1）由题意易得点A、C得坐标，然后将点A、C得坐标分别代入y=x2+bx+c中可得关于字母b、c的方程组，求解得出b、c的值，从而得到抛物线的解析式；
（2）用待定系数法求出直线AC的解析式，再由抛物线与x轴交点的坐标特点求出点B的坐标，过点N作直线MN∥y轴，交AC于点M，根据点的坐标与图形的性质，设出点M、N得坐标，再根据平面内两点间的距离公式表示出MN，进而根据S四边形ABCN=S△ABC+S△ACN建立出函数关系式，根据所得函数的最值问题即可解决此题；
（3）首先根据抛物线的解析式求出顶点D的坐标，设E（0，m），根据矩形的性质可得△ADE是直角三角形，根据平面内两点间的距离公式表示出AD2、AE2、DE2，然后分①当以AD为斜边时，②当以AE为斜边时，③当以DE为斜边时，三种情况，分别根据勾股定理建立方程求出m的值，从而得到点E的坐标，进而根据点的坐标与图形的性质得出点F的坐标，综上即可得出答案.
12．【答案】（1）解：∵抛物线与轴交于点，其对称轴为，
∴，
解得，
∴抛物线的函数解析式为
（2）解：设交轴于，如图，
在中，令，得
解得或，
∴，，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
设直线的解析式为，把、代入得，
，
解得，
∴直线的解析式为，
联立函数式得，
解得或，
∴
（3）解：①；
②．
【知识点】二次函数与一次函数的综合应用；二次函数-动态几何问题
【解析】【解答】解：（3）①当时，，，
∴；
故答案为：；
②由题意得，，，
∵，
∴当时，，
解得，，
当时，如图，
；
当时，如图，
；
当时，如图，
；
综上所述，关于的函数关系式为
．
【分析】（1）由待定系数法，将点代入抛物线解析式，结合对称轴的表达式，可得到抛物线的解析式；
（2）由函数与坐标轴的交点坐标知OB=OC=3，根据角度关系推得相等的角，可得两个三角形全等的条件，利用全等的性质可得点D的坐标；
（3）①由题意可得P点坐标，再求出Q点坐标；
②根据设P点，再将Q点坐标表达出来，矩形内部的图像最高点与最低点的纵坐标之差即为P、Q纵坐标之差，用含m的代数式表达出来，根据在坐标系中的存在情形，根据m的取值范围进行分类讨论，、、
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