2024-2025学年浙教版数学九上第1章 二次函数 三阶单元测试卷
一、选择题（本题有10小题，每小题3分，共30分）
1．（2024·江汉模拟）已知点A（x1，y1）在抛物线y1＝nx2﹣2nx+n上，点B（x2，y2）在直线y2＝﹣nx+n，当n＞0时，下列判断正确的是（ ）
A．当x1＝x2＜1时，y1＜y2 B．当x1＝x2＞1时，y1＜y2
C．当y1＝y2＞n时，x1＞x2 D．当y1＝y2＜n时，x1＞x2
【答案】C
【知识点】二次函数与一次函数的综合应用
【解析】【解答】解：设n=1，则，图像如下：
A、当x1=x2＜1时，y1＜y2或y1＞y2，A错误；
B、当x1=x2＞1时，y1＞y2，B错误；
C、当y1=y2＞n时，x1＞x2，C正确；
D、当y1=y2＜n时，x1＜x2，D错误.
故答案为：C.
【分析】本题为选择题，采用特值法并画出草图分析能快速解答.
2．（2024·拱墅模拟）定义符号min{a，b}的含义为：当a≥b时min{a，b}＝b；当a＜b时min{a，b}＝a．如min{1，﹣3}＝﹣3，min{﹣4，﹣2}＝﹣4．则min（﹣x2+3，﹣2x}的最大值是（ ）
A．3 B．2 C．1 D．0
【答案】B
【知识点】二次函数的最值
【解析】【解答】解：联立，
解得，，
当，，，最大值是2；
当，，，最大值小于2；
当，，，最大值小于．
所以，的最大值是2．
故答案为：B.
【分析】先求出两个函数的交点坐标，再根据min的定义并结合函数的增减性解答即可．
3．（2024·南海模拟）据科学计算，运载“神十八”的“长征二号”火箭，在点火第一秒钟通过的路程为，第二秒时共通过了的路程，第三秒时共通过了的路程，在这一过程中路程与时间成二次函数关系，在达到离地面的高度时，火箭程序拐弯，则这一过程需要的时间大约是（ ）．
A．10秒钟 B．13秒钟 C．15秒钟 D．20秒钟
【答案】C
【知识点】二次函数的其他应用
【解析】【解答】解：设二次函数的解析式为，
由题可得二次函数图象过，，，
∴，
解得，
∴，
当时，，
解得（舍去），
∴这一过程需要的时间大约是15秒钟，
故答案为：C．
【分析】先根据题意确定图象上的三个点的坐标（1，2），（2，6），（3，12），利用待定系数法求出函数解析式，然后令y=240求出x的值即可．
4．（2020九下·金溪月考）反比例函数 的图象如图所示，则二次函数y＝2kx2﹣4x+k2的图象大致是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】反比例函数的图象；二次函数图象与系数的关系
【解析】【解答】解：∵函数 的图象经过二、四象限，
∴k＜0，
由图知当x＝﹣1时，y＝﹣k＜1，
∴0＞k＞﹣1，
∴抛物线y＝2kx2﹣4x+k2开口向下，
对称轴为x＝﹣ ＝ ， ＜-1，
∴对称轴在﹣1左侧，
∵当x＝0时，y＝k2＜1．
故答案为：B．
【分析】先根据反比例函数的图象求出k的取值范围，再根据一元二次函数与其系数的关系求解即可。
5．（2024·柳州三模）在平面直角坐标系中，二次函数（）的图象与x轴的一个交点的横坐标为，则另一个交点的横坐标为（ ）
A．5 B．3 C． D．
【答案】A
【知识点】二次函数图象与坐标轴的交点问题
【解析】【解答】解：二次函数（）的对称轴为，且图象与轴的一个交点的横坐标为，
由抛物线上点的对称性可知，图象与轴的另一个交点的横坐标为，
故答案为：A．
【分析】先求出抛物线对称轴，再由抛物线的对称性求解即可．
6．（2024·仪陇模拟）已知点，都在抛物线上，若当时，都有，则实数k的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．或
【答案】B
【知识点】二次函数y=ax²+bx+c的图象；二次函数y=ax²+bx+c的性质
【解析】【解答】解：∵， 都在抛物线上，
∴n=（8-m）2+（2-k）（8-m）+1，e=（m-4）2+（2-k）（m-4）+1，
∵当时，都有，
∴，
∴[（8-m）2-（2-k）（8-m）+1]-[（m-4）2+（2-k）（m-4）+1]>0，
整理可得：2（6-m）（6-k）>0，
∵m>6，
∴6-m<0，
∴6-k<0，
∴k>6，
故答案为：B.
【分析】将点A、B分别代入解析式可得n=（8-m）2+（2-k）（8-m）+1，e=（m-4）2+（2-k）（m-4）+1，再结合，可得2（6-m）（6-k）>0，再求出k>6即可.
7．（2023·台州）抛物线与直线交于，两点，若，则直线一定经过（ ）．
A．第一、二象限 B．第二、三象限
C．第三、四象限 D．第一、四象限
【答案】D
【知识点】一次函数图象、性质与系数的关系；二次函数与一次函数的综合应用
【解析】【解答】解：令抛物线y=ax2-a中的y=0，
得ax2-a=0，
∵a≠0，
∴x2-1=0，
解得x=±1，
∴抛物线y=ax2-a与x轴交点坐标为（1，0）与（-1，0），
令抛物线y=ax2-a中的x=0，得y=-a，
∴抛物线的顶点坐标为（0，-a），
当a＞0，k＞0时，其图象大致为
由图象可得x1＞1，-1＜x2＜0，∴x1+x2＞0，故此种情况不成立；
当a＞0，k＜0时，其图象大致为
由图象可得0＜x1＜1，x2＜-1，∴x1+x2＜0，此时直线y=ax+k过一、三、四象限；
当a＜0，k＞0时，其图象大致为：
由图象可得0＜x1＜1，x2＜-1，∴x1+x2＜0，此时直线y=ax+k过一、二、四象限；
当a＜0，k＜0时，其图象大致为：
由图象可得x1＞1，-1＜x2＜0，∴x1+x2＞0，故此种情况不成立；
综上直线y=ax+k的图象一定经过第一、四象限.
故答案为：D.
【分析】首先求出抛物线y=ax2-a与x轴两交点的坐标及顶点坐标，然后分当a＞0，k＞0时，当a＞0，k＜0时，当a＜0，k＞0时，当a＜0，k＜0时，四种情况画出大致图象，找出两交点横坐标的取值范围，进而根据x1+x2＜0进行一一验证，得出符合题意的a、k的取值，最后根据一次函数的图象与系数的关系可得直线y=ax+k所经过的象限，即可得出答案.
8．（2024·湖南模拟）如图，四边形为菱形，为上一点，的垂直平分线交于点F，若，记的面积最大值为S，周长最小值为l，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】线段垂直平分线的性质；菱形的性质；二次函数的实际应用-几何问题
【解析】【解答】解：如图，过点作于点，过点作，交延长线于点，连接，
∵四边形为菱形，，，
，
∴在中，，
设，则，
，
∵的垂直平分线交于点，
，
，
，
设，则，
，
在中，，即，
解得，
，，
则的面积为，
由二次函数的性质可知，当时，的面积最大，最大值为，
的周长为，
由二次函数的性质可知，当时，的周长最小，最小值为，
故答案为：A．
【分析过点C作CM⊥AD于点M，过点E作EN⊥AD，交DA延长线于点N，连接CF，设AF=x，用含x的代数式表示FM和EF的长，设AN=y，用含y的代数式表示AE和EN的长，分别利用含x的式子将的面积和周长表示出来，利用二次函数的性质求解即可．
9．关于一元二次方程有以下命题：①若a+b+c=0，则(≥0；②若方程(的两根为-1和2，则2a+c=0；③若方程(有两个不相等的实数根，则方程=0必有两个不相等的实数根；④若方程 有两个相等的实数根，则 无实数根.其中真命题是（ ）
A．①② B．①②③ C．②③④ D．①③④
【答案】B
【知识点】二次函数与一元二次方程的综合应用；真命题与假命题
【解析】【解答】解：①若，方程有一根为1，则，故①正确；
②由两根关系可知，，整理得：，故②正确；
③若方程有两个不相等的实根，则，得，故方程有两个不相等的实根，故③正确．
④若有两个相等的实数根，则，
化为一般形式：，，
当时，，方程有两个不相等的实数根，
当时，，方程无实数根，故④错误；
真命题有①②③.
故答案为：①②③．
【分析】①，说明原方程有一根是1，一元二次方程有根，；②根据根与系数的关系可得出结论；③由题意得，则，可判断③正确；④由题意得，则化为一般形式，，即可判断④错误.
10．（2024九下·南山开学考）如图，是二次函数图象的一部分，图象过点，对称轴为直线，下列结论：①；②；③；④若，为函数图象上的两点，则．其中正确的结论有
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
【答案】C
【知识点】二次函数图象与系数的关系；二次函数图象与坐标轴的交点问题
【解析】【解答】根据图象可知：
函数与轴有两个交点，
，
，
故①正确；
，
，
，
故②错误；
根据图象和，对称轴为直线可知，
该函数和轴的另一个交点为；
当时，，
故③错误；
开口向上，
，
，
，
，
故④正确．
故选：C．
【分析】本题考查二次函数的图象与系数的关系，抛物线与x轴的交点问题.根据图象可知函数与轴有两个交点，据此可知对应方程有两个实数根，可判断①；由对称轴为直线，通过变形可判断②；由对称性可推断出函数和轴的另一个交点为，代入函数解析式可判断③；由图象开口向上，再根据点到对称轴的距离越大，函数值也越大，可判断④；
二、填空题（本题有6小题，每小题4分，共24分）
11．（2024·武威）如图1为一汽车停车棚，其棚顶的横截面可以看作是抛物线的一部分，如图2是棚顶的竖直高度y(单位：m)与距离停车棚支柱AO的水平距离x(单位：m)近似满足函数关系的图象，点在图象上.若一辆箱式货车需在停车棚下避雨，货车截面看作长，高的矩形，则可判定货车 完全停到车棚内（填“能”或“不能”）.
【答案】能
【知识点】二次函数的其他应用
【解析】【解答】解：CD=4m，点B（6，2.68），
OC=6-4=2m，
在中，当x=2时，
，
2.12>1.8，
可判定货车能完全停到车棚内.
故答案为：能.
【分析】先求出OC=2m，再根据函数表达式求出当x=2时，y的值，与1.8m作比较即可解答.
12．（2020九上·高淳期中）如图，平面直角坐标系中，桥孔抛物线对应的二次函数关系式是y＝﹣ x2，桥下的水面宽AB为6m，当水位上涨2m时，水面宽CD为 m（结果保留根号）.
【答案】2
【知识点】二次函数的实际应用-拱桥问题
【解析】【解答】解：由题意可得：当AB＝6m，则B点横坐标为3，
故此时y＝﹣ ×32＝﹣3，
当水位上涨2m时，此时D点纵坐标为：﹣3+2＝﹣1，
则﹣1＝﹣ x2，
解得：x＝± .
故当水位上涨2m时，水面宽CD为2 m.
故答案为：2 .
【分析】由题意可得：当AB＝6m时，B点横坐标为3，求出对应的y值，进而求出此时D点的纵坐标，代入函数解析式中求出x的值，据此解答.
13．（2024八下·百色期中）从地面竖直向上抛出一个小球，若小球的高度h（单位：m）与小球的运动时间t（单位：s）之间的关系满足，则小球从抛出到落地共用时 s．
【答案】6
【知识点】二次函数的实际应用-抛球问题
【解析】【解答】解：小球落地，即h=0，
则，
解得或0，
故答案为6．
【分析】小球落地，即小球的高度h=0，代入关系式，解方程即可得出结果．
14．（2024·义乌模拟）如图，抛物线的图象与x轴交于点A，与y轴交于点B，且．
（1） ．
（2）已知点P为该抛物线上一点且设其横坐标为，记该抛物线在点B与点P之间（包含点B和点P）这部分图象的最高点和最低点到x轴的距离分别为．若，则t的取值范围为 ．
【答案】（1）2
（2）或或
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数的三种形式；二次函数与不等式（组）的综合应用
【解析】【解答】解：(1)由OA=1知点A(1，0)代入抛物线解析得1+b-3=0，得b=2；
（2）P点横坐标为t，则纵坐标为y=t2+2t-3，点B坐标为(0，-3)抛物线的顶点为(-1，-4)，分以下三类情况进行讨论
①当点P在顶点与点B之间，注意到顶点(-1，-4)和点B(0，-3）纵坐标相差1，故此时P的位置不满足题意；
②点P在(-2，-3)和顶点(-1，-4)之间时，此时最高点为点B，最低点为顶点，且满足|d1-d2|=1，故此时t的范围是-2≤t≤-1
③点P在(-2，-3)左侧，即t<-2时，此时最高点为点P，d1=|t2+2t-3|，最低点为顶点(-1，-4)，d2=4，||t2+2t-3|-4|=1，即有|t2+2t-3-4|=1和|-t2-2t+3-4|=1，于是去绝对值得方程t2+2t-8=0，t2+2t-6=0，t2+2t=0，t2+2t+2=0(无解)，解方程得t=-4或t=0(舍去)或t=-1+(舍)或t=-1-，故t=-4或t=-1-
综上所述，当-2≤t≤-1或t=-4或t=-1-时，满足题意；
【分析】(1)由OA的长可直接得到点A坐标，直接代入即可求出b的值；
(2)由于点P位置不确定，无法确定最高点与最低点，对点P的位置进行分类讨论，对比的点为顶点、点B，还有与点B齐平的点(-2，-3)，当点P在顶点与点B之间，②点P在(-2，-3)和顶点(-1，-4)之间时，点P在(-2，-3)左侧以此为界点进行讨论即可得到结果.
15．（2023九上·龙湾期中）图1是一个瓷碗，图 2 是其截面图，碗体 DEC 呈抛物线状（碗体厚度不计），碗口宽CD＝12cm，此时面汤最大深度EG＝8cm．
（1）当面汤的深度ET为4cm时，汤面的直径PQ长为 ；
（2）如图3，把瓷碗绕点B缓缓倾斜倒出部分面汤，当∠ABM=45°时停止，此时碗中液面宽度CH= ．
【答案】（1）cm
（2）
【知识点】二次函数与一次函数的综合应用；二次函数的其他应用
【解析】【解答】解：（1）以点E为原点，建立直角坐标系，如图，
∵EG=8， CD=12，
∴C（6，8），D（-6，8），
∴抛物线为y=x2，
∵ET=4
∴P（，4），Q（，4），
∴PQ=cm；
故答案为：cm；
（2）建立直角坐标系，如图，
根据题意得：C（6，8），
∵∠ABM=45°，且CH∥CH，
∴直线CH的斜率为1，
∴直线CH：y=x+2，
∴直线CH与抛物线y=x2的交点H（，），
∴CH=.
故答案为：.
【分析】（1）根据题意建立合适的直角坐标系并找到关键点求得解析式即可求得；
（2）根据题意建立合适的直角坐标系得二次函数，再根据二次函数与一次函数的交点问题得H（，），再计算两点之间距离即可.
16．（2023·惠山模拟）抛物线（，是常数且，）经过点．下列四个结论：①该抛物线一定经过；②；③点，在抛物线上，且，则④若，是方程的两个根，其中，则．其中正确的结论是 （填写序号）．
【答案】①②
【知识点】二次函数图象与系数的关系；二次函数y=ax²+bx+c的图象；二次函数y=ax²+bx+c的性质；利用二次函数图象判断一元二次方程根的情况
【解析】【解答】解：①∵抛物线经过点A（3，0），
∴9a-6a+c=0，
∴3a+c=0，
当x=-1时，y=a+2a+c=3a+c=0，
∴该抛物线一定经过B（-1，0），
故①正确；
②由①得：3a+c=0，
∵c＞0，
∴a＜0，
∵3a+c=a+2a+c=0，
∴2a+c=-a＞0，
故②正确；
③抛物线的对称轴为直线x==1，
当t=-2021时，P1（1，y1），P2（2，y2），
∵a＜0，
∴当x≥1时，y随x的增大而减小，
∴y1＞y2，
∴当y1＞y2时，t≥-2021，
故③错误；
④∵m，n（m＜n）是方程ax2+2ax+c=p的两个根，
∴m，n是抛物线y1=ax2+2ax+c与直线y2=p交点的横坐标，
∴p＞0，
∴如图：
由图得：-1＜m＜n＜3，
故④错误.
故答案为：①②．
【分析】①将点A（3，0）代入抛物线的解析式，可以得到3a+c=0，求出当x=-1时，y=0，所以抛物线一定经过B（-1，0）；
②由①得2a+c=-a，结合c＞0判断出a＜0，再得出2a+c＞0即可；
③特殊值法，取t=-2021时也符合题意，从而得出当y1＞y2时，t≥-2021，得到结论；
④将两个根转化为交点的横坐标，画出图象即可判断．
三、解答题（本题共8小题，第17题9分，第18题9分，第19题6分，第20题9分，第21题9分，第22题4分，第23题10分，第24题10分，共66分）
17．（2024·温岭二模）已知，关于的二次函数．
（1）若函数经过点，求拋物线的对称轴．
（2）若点P(t-2，p)，Q(t+3，q)均在抛物钱y=2x2-4tx-3上，则p q(填">"，“<"或"=”).
（3）记，当时，始终成立，求的取值范围．
【答案】（1）解：将点代入函数，解得，
，
拋物线的对称轴为直线．
（2）<
（3）解：.
I．对称轴
当时，，解得（舍去）
II．对称轴
此时，解得
III．对称轴
当时，，解得（舍去）
综上所述，-1.5＜t＜0.5.
【知识点】二次函数y=ax²+bx+c的图象；二次函数y=ax²+bx+c的性质
【解析】【解答】解：（2）抛物线的对称轴为：x=，
∵a=2＞0，
∴抛物线的开口向上，
∴抛物线上的点距离对称轴越近函数值越小，
而，，
∴，
∴p＜q.
【分析】（1）由题意把点A（4，-3）代入二次函数的解析式可得关于t的方程，解方程即可求解；
（2）由题意求出抛物线的对称轴，根据a的值可知抛物线上的点距离对称轴越近函数值越小，然后计算P、Q两点到对称轴的距离并比较大小即可判断求解；
（3）由题意计算y2-y1=2x2+(2+4t)x+2，根据抛物线的对称轴为直线：x=-t-，结合已知条件-2≤x≤2分类讨论即可求解.
18．（2024·新乐模拟）已知二次函数的图象L过点，顶点坐标为．
（1）求这个二次函数的表达式；
（2）L与x轴相交于A，B两点（点A在点B左侧），求A，B两点坐标；
（3）将L向上平移个单位长度，与x轴相交于，两点，若点在线段上，求k的取值范围．
【答案】（1）解：由题意可设这个二次函数的表达式为，
图像L过点得，，
解得：，
所以这个二次函数的表达式为
（2）解：令，得，
解得：，，
所以两点坐标分别为，
（3）解：将L向上平移个单位长度，得新函数的表达式为，
设点M为新函数图象上一点，其横坐标为k，则纵坐标为
若点在线段上，则点M的纵坐标大于或等于零，即，
令，由图像可知，当时，图像在横轴的下方，函数值小于零
因为，所以得
【知识点】二次函数图象的几何变换；待定系数法求二次函数解析式；二次函数y=ax²+bx+c的性质
【解析】【分析】(1)设抛物线的解析式为顶点式，利用待定系数法求出抛物线解析式即可；
(2)令y=0得到一个关于x的二次方程，解方程即可得到点A、B坐标；
(3) 根据平移的规律得到新的抛物线解析式，设点M为新函数图象上一点，其横坐标为k，则可得到M的纵坐标，根据纵坐标大于等于零即可求解．
19．（2024·官渡模拟）已知二次函数（为常数且）的顶点在轴上方，且到轴的距离为4．
（1）求二次函数的解析式；
（2）将二次函数的图象记为，将关于原点对称的图象记为与合起来得到的图象记为，完成以下问题：
①在网格中画出函数的图象；
②若对于函数上的两点，当时，总有，求出的取值范围．
【答案】（1）对称轴为：直线，
当，得
抛物线的顶点在轴上方，且到轴的距离为4．
解得，
抛物线的解析式为
（2）①画图如图所示：
②由题意，得的对称轴为：直线
的表达式为：，它的对称轴为：直线
情况一：当点在轴左侧和点之间时，总有，如下图：
此时，即：
情况二：当点在轴右侧时，如图：
当时，解得，或
由题意知，时，总有有
综上所述，或时，总有
【知识点】二次函数图象的几何变换；二次函数与不等式（组）的综合应用；二次函数与一元二次方程的综合应用
【解析】【分析】（1）根据对称轴的公式求得抛物线的对称轴，确定顶点纵坐标，由题意-4a=4，从而求得a的值，写出二次函数解析式即可；
（2）关于原点对称的点：横坐标和纵坐标都互为相反数，据此求出T2的解析式；分两种情况即可求解：点Q在y轴和点P之间，或点Q在yl轴右侧，分别画出图象求解即可．
20．（2024·利川模拟）某商品每件进价25元，在试销阶段该商品的日销售量y（件）与每件商品的日销售价x（元）之间的关系如图中的折线ABC所示（物价局规定，该商品每件的销售价不得低于进价且不得高于50元）．
（1）直接写出y与x的函数关系式；
（2）若日销售单价x（元）为整数，则当日销售单价x（元）为多少时，该商品每天的销售利润最大？最大利润是多少；
（3）若该商品每天的销售利润不低于1200元，求销售单价x的取值范围．
【答案】（1）解：．
（2）解：设销售利润为W元，则
①当时，，
∴时，元．
②当时，，
∵x为整数，
∴或43时，W取最大值，．
∵，
∴当日销售单价为42元或43元时，每天的销售利润最大，最大利润为1224元．
（3）解：由（2）知，当时，该商品每天的最大销售利润为1000元；
∴只有在时，每天的销售利润才可能不低于1200元；
∴，
∴，
∴．
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；二次函数的实际应用-销售问题
【解析】【解答】解：（1）当25≤x≤35时，当x=25时，y=200；x=35时，y=100.设y=kx+b(k≠0)，
可得：，
解得：
故y=-10x+450.
当35≤x≤50时，x=35时，y=100；当x=50时，y=50；设y=mx+n(m≠0)，
可得：，
解得：
故y=-4x+240.
综上：.
【分析】（1）利用待定系数法求解即可.
（2）利润=单位利润×销售量，分别表示出时和时的利润，并根据二次函数的性质求得最大值，比较即可得到最大利润以及取得最大利润时x的取值；
（3）由（2）得利润不低于1200元时x的范围以及对应的不等式，求解即可.
21．（2024·罗湖模拟） 【项目式学习】
项目主题：如何拟定运动员拍照记录的方案？
项目背景：
（1）任务一：确定滑道的形状
图1是单板滑雪运动员从大跳台滑雪场地滑出的场景，图2是跳台滑雪场地的横截面示意图．AC垂直于水平底面BC，点D到A之间的滑道呈抛物线型，已知m，m，且点B处于跳台滑道的最低处，在图2中建立适当的平面直角坐标系，求滑道所在抛物线的函数表达式．
（2）任务二：确定运动员达到最高点的位置
如图3，某运动员从点A滑出后的路径满足以下条件：
①运动员滑出路径与D、A之间的抛物线形状相同，
②该运动员在底面BC上方竖直距离9.75m处达到最高点P
③落点Q在底面BC下方竖直距离2.25m．
在同一平面直角坐标系中，求运动员到达最高处时与点A的水平距离．
（3）任务三：确定拍摄俯角
高速摄像机能高度还原运动员的精彩瞬间，如图4，有一台摄像机M进行跟踪拍摄：
①它与点B位于同一高度，且与点B距离25.5m；
②运动过程需在摄像头视角范围内才能记录，记摄像头的俯角为；
③在平面直角坐标系中，设射线MN的解析式为，其比例系数k和俯角的函数关系如图5所示．
若要求运动员的落点Q必须在摄像机M的视角范围内，则俯角至少多少度（精确到个位）？
【答案】（1）解：如图，以B点为原点，以BC所在的直线为x轴建立平面直角坐标系，
则点A的坐标为，
设滑道所在抛物线的函数表达式为，
把代入得，
解得，
滑道所在抛物线的函数表达式为；
（2）解：如图，以点P所在的直线为y轴，BC所在的直线为x轴建立平面直角坐标系，
运动员滑出路径与D、A之间的抛物线形状相同，
运动员滑出路径抛物线的函数表达式为，
把代入得，
解得，
即
运动员到达最高处时与点A的水平距离6；
（3）解：与（2）所建平面直角坐标系一样，
点Q在底面BC下方竖直距离2.25m，
把代入得，
，
解得，
点，
，，
，
，
设与k的函数解析式为，
把代入得，，
解得，
，
，
射线MN的解析式可化为，
把，代入得，
，
解得，
俯角至少15度．
【知识点】二次函数的其他应用
【解析】【分析】（1）以B点为原点，以BC所在的直线为x轴建立平面直角坐标系，则点A的坐标为（4，3），设滑道所在抛物线的函数表达式为y=ax2，然后将点A的坐标代入可算出a的值，从而得到滑道所在抛物线的函数表达式 ；
（2）以点P所在的直线为y轴，BC所在的直线为x轴建立平面直角坐标系，则P（0，9.75），由运动员滑出路径与D、A之间的抛物线形状相同可得抛物线二次项系数绝对值相等，结合抛物线开口向下可得抛物线的解析式为，进而将y=3代入算出对应的自变量的取值，即可得出运动员到达最高处时与点A的水平距离；
（3）与（2）所建平面直角坐标系一样，把y=-2.25代入得x=±8，则Q（8，-2.25），得到M（15.5，0），设与k的函数解析式为a=mk，把（0.1，5）代入算出m的值，从而得到，则射线MN的解析式可化为，再把M、Q得坐标代入解方程组即可求出俯角的度数.
22．（2024·义乌模拟）
草莓种植大棚的设计
生活背景 草莓种植大棚是一种具有保温性能的框架结构．如图示，一般使用钢结构作为骨架，上面覆上一层或多层塑料膜，这样就形成了一个温室空间．大棚的设计要保证通风性且利于采光．
建立模型 如图1，已知某草莓园的种植大棚横截面可以看作抛物线，其中点P为抛物线的顶点，大棚高，宽．现以点O为坐标原点，所在直线为x轴，过点O且垂直于的直线为y轴建立平面直角坐标系．求此抛物线的解析式． 图1
解决问题 如图2，为方便进出，在大棚横截面中间开了两扇正方形的门，其中．求门高的值． 若在某一时刻，太阳光线（假设太阳光线为平行线）透过A点恰好照射到N点，此时大棚横截面在地面上的阴影为线段，求此时的长． 图2
【答案】解：设，
将代入得，
．
设，
则，
，
，
，
解得（舍去），，
答：门高为．
，
设直线，
则，
，…7分
设直线，
则，
整理得，，
，
，
直线，
令．则，即，
答：此时的长为．
【知识点】二次函数的实际应用-拱桥问题；二次函数的实际应用-喷水问题；二次函数的其他应用
【解析】【分析】(1)根据题意便可知抛物线的顶点坐标，设顶点式将点坐标代入求值即可；
(2)设正方形的边长为m，便可得点A的坐标，将点的坐标代入抛物线解析式，求解方程即可；
(3)光线由A射到点N，可知坐标系中PQ与AN平行，先求AN的解析式，再利用平行关系求直线PQ的解析式，再与抛物线联立，求出光线与抛物线相切时的OQ的长度.
23．（2023·济宁）如图，直线交轴于点，交轴于点，对称轴为的抛物线经过两点，交轴负半轴于点．为抛物线上一动点，点的横坐标为，过点作轴的平行线交抛物线于另一点，作轴的垂线，垂足为，直线交轴于点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）若，当为何值时，四边形是平行四边形？
（3）若，设直线交直线于点，是否存在这样的值，使？若存在，求出此时的值；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）解：在直线中，当时，，当时，，
∴点，点，
设抛物线的解析式为，
把点，点代入可得，
解得，
∴抛物线的解析式为；
（2）解：由题意，，
∴，
当四边形是平行四边形时，，
∴，
∴，，
设直线的解析式为，
把代入可得，
解得，
∴直线的解析式为，
又∵过点作轴的平行线交抛物线于另一点，且抛物线对称轴为，
∴
∴，
解得（不合题意，舍去），；
（3）解：存在，理由如下：
∵对称轴为x=，
设P点坐标为 （m，-m2+3m+4），
∴M点横坐标为： ×2-m=3-m，
∴N（m，0），M（3-m，-m2+3m+4），
①如图1，
∵MN=2ME，即E是MN的中点，点E在对称轴x=上，
∴E（，），
又点E在直线BC：y=-x+4，代入得：=+4，
解得：m=或（舍去），
故此时m的值为.
②如图2，设E点坐标为（n，-n+4），N（m，0），M（3-m，-m2+3m+4），
∵MN=2ME，
∴0-（-m2+3m+4）=2（-m2+3m+4+n-4）①，
∴3-m-m=2（n-3+m）②，
联立①②并解得：m =（舍去）或，
综上所述，m的值为或.
【知识点】平行四边形的判定与性质；一次函数图象与坐标轴交点问题；一次函数的性质；二次函数y=ax²+bx+c的图象；二次函数y=ax²+bx+c的性质
【解析】【分析】（1）先根据一次函数与坐标轴的交点问题即可得到点B和点C的坐标，进而设抛物线的解析式为，将点B和点C的坐标代入即可求出抛物线的解析式；
（2）先根据题意得到，进而得到，当四边形是平行四边形时，，进而得到，从而即可表示点D和点N的坐标，进而设直线的解析式为，将点N代入即可得到，进而得到直线的解析式为，再根据题意表示出点M的坐标，进而即可求出m；
（3） 根据 MN=2ME，分E在MN内部与外部两种情况讨论，从而利用一次函数图象上点的特征计算求解．
24．（2024·威远模拟）如图，抛物线经过、两点，为抛物线上第一象限内的一个动点．
（1）求抛物线所对应的函数表达式；
（2）当的面积最大时，求点的坐标；
（3）过点作，垂足为点，是否存在点，使，若存在，求点的横坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）解：设抛物线的表达式为：，
即，
则，
解得：，
则抛物线的解析式为；
（2）解：如图所示，过作轴，垂足为，与交于点，
，
在中，当时，，
，
设直线的解析式为，
将，代入解析式得，
解得：，
直线的解析式为，
，
∴，
∴，
∴
，
当的面积最时，，此时，点；
（3）解：存在，理由：
当时，取点，连接．
，
∵，
∴，
∴．
∵，
∴，
∴．
设直线的解析式为，
∵点，，
，
解得：，
∴直线的解析式为，
∴设直线的解析式为．
将代入直线的解析式得，
直线的解析式为，
联立直线及抛物线的解析式成方程组得：，
解得：（舍去）或，
即点．
【知识点】二次函数的最值；二次函数与一次函数的综合应用；二次函数y=ax²+bx+c的图象；二次函数y=ax²+bx+c的性质
【解析】【分析】（1）设抛物线的表达式为，进而代入点结合题意即可求出抛物线解析式；
（2）过作轴，垂足为，与交于点，先根据二次函数与坐标轴的交点问题得到点C的坐标，进而根据待定系数法求出直线BC的函数解析式，从而根据点D和点K的坐标即可得到DK，进而根据“”结合二次函数的最值即可求解；
（3）当时，取点，连接，进而根据题意结合平行线的判定证明，从而运用待定系数法求出直线BF的函数解析式，再根据二次函数与一次函数的交点问题结合题意即可求解。
1 / 12024-2025学年浙教版数学九上第1章 二次函数 三阶单元测试卷
一、选择题（本题有10小题，每小题3分，共30分）
1．（2024·江汉模拟）已知点A（x1，y1）在抛物线y1＝nx2﹣2nx+n上，点B（x2，y2）在直线y2＝﹣nx+n，当n＞0时，下列判断正确的是（ ）
A．当x1＝x2＜1时，y1＜y2 B．当x1＝x2＞1时，y1＜y2
C．当y1＝y2＞n时，x1＞x2 D．当y1＝y2＜n时，x1＞x2
2．（2024·拱墅模拟）定义符号min{a，b}的含义为：当a≥b时min{a，b}＝b；当a＜b时min{a，b}＝a．如min{1，﹣3}＝﹣3，min{﹣4，﹣2}＝﹣4．则min（﹣x2+3，﹣2x}的最大值是（ ）
A．3 B．2 C．1 D．0
3．（2024·南海模拟）据科学计算，运载“神十八”的“长征二号”火箭，在点火第一秒钟通过的路程为，第二秒时共通过了的路程，第三秒时共通过了的路程，在这一过程中路程与时间成二次函数关系，在达到离地面的高度时，火箭程序拐弯，则这一过程需要的时间大约是（ ）．
A．10秒钟 B．13秒钟 C．15秒钟 D．20秒钟
4．（2020九下·金溪月考）反比例函数 的图象如图所示，则二次函数y＝2kx2﹣4x+k2的图象大致是（ ）
A． B．
C． D．
5．（2024·柳州三模）在平面直角坐标系中，二次函数（）的图象与x轴的一个交点的横坐标为，则另一个交点的横坐标为（ ）
A．5 B．3 C． D．
6．（2024·仪陇模拟）已知点，都在抛物线上，若当时，都有，则实数k的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．或
7．（2023·台州）抛物线与直线交于，两点，若，则直线一定经过（ ）．
A．第一、二象限 B．第二、三象限
C．第三、四象限 D．第一、四象限
8．（2024·湖南模拟）如图，四边形为菱形，为上一点，的垂直平分线交于点F，若，记的面积最大值为S，周长最小值为l，则（ ）
A． B． C． D．
9．关于一元二次方程有以下命题：①若a+b+c=0，则(≥0；②若方程(的两根为-1和2，则2a+c=0；③若方程(有两个不相等的实数根，则方程=0必有两个不相等的实数根；④若方程 有两个相等的实数根，则 无实数根.其中真命题是（ ）
A．①② B．①②③ C．②③④ D．①③④
10．（2024九下·南山开学考）如图，是二次函数图象的一部分，图象过点，对称轴为直线，下列结论：①；②；③；④若，为函数图象上的两点，则．其中正确的结论有
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
二、填空题（本题有6小题，每小题4分，共24分）
11．（2024·武威）如图1为一汽车停车棚，其棚顶的横截面可以看作是抛物线的一部分，如图2是棚顶的竖直高度y(单位：m)与距离停车棚支柱AO的水平距离x(单位：m)近似满足函数关系的图象，点在图象上.若一辆箱式货车需在停车棚下避雨，货车截面看作长，高的矩形，则可判定货车 完全停到车棚内（填“能”或“不能”）.
12．（2020九上·高淳期中）如图，平面直角坐标系中，桥孔抛物线对应的二次函数关系式是y＝﹣ x2，桥下的水面宽AB为6m，当水位上涨2m时，水面宽CD为 m（结果保留根号）.
13．（2024八下·百色期中）从地面竖直向上抛出一个小球，若小球的高度h（单位：m）与小球的运动时间t（单位：s）之间的关系满足，则小球从抛出到落地共用时 s．
14．（2024·义乌模拟）如图，抛物线的图象与x轴交于点A，与y轴交于点B，且．
（1） ．
（2）已知点P为该抛物线上一点且设其横坐标为，记该抛物线在点B与点P之间（包含点B和点P）这部分图象的最高点和最低点到x轴的距离分别为．若，则t的取值范围为 ．
15．（2023九上·龙湾期中）图1是一个瓷碗，图 2 是其截面图，碗体 DEC 呈抛物线状（碗体厚度不计），碗口宽CD＝12cm，此时面汤最大深度EG＝8cm．
（1）当面汤的深度ET为4cm时，汤面的直径PQ长为 ；
（2）如图3，把瓷碗绕点B缓缓倾斜倒出部分面汤，当∠ABM=45°时停止，此时碗中液面宽度CH= ．
16．（2023·惠山模拟）抛物线（，是常数且，）经过点．下列四个结论：①该抛物线一定经过；②；③点，在抛物线上，且，则④若，是方程的两个根，其中，则．其中正确的结论是 （填写序号）．
三、解答题（本题共8小题，第17题9分，第18题9分，第19题6分，第20题9分，第21题9分，第22题4分，第23题10分，第24题10分，共66分）
17．（2024·温岭二模）已知，关于的二次函数．
（1）若函数经过点，求拋物线的对称轴．
（2）若点P(t-2，p)，Q(t+3，q)均在抛物钱y=2x2-4tx-3上，则p q(填">"，“<"或"=”).
（3）记，当时，始终成立，求的取值范围．
18．（2024·新乐模拟）已知二次函数的图象L过点，顶点坐标为．
（1）求这个二次函数的表达式；
（2）L与x轴相交于A，B两点（点A在点B左侧），求A，B两点坐标；
（3）将L向上平移个单位长度，与x轴相交于，两点，若点在线段上，求k的取值范围．
19．（2024·官渡模拟）已知二次函数（为常数且）的顶点在轴上方，且到轴的距离为4．
（1）求二次函数的解析式；
（2）将二次函数的图象记为，将关于原点对称的图象记为与合起来得到的图象记为，完成以下问题：
①在网格中画出函数的图象；
②若对于函数上的两点，当时，总有，求出的取值范围．
20．（2024·利川模拟）某商品每件进价25元，在试销阶段该商品的日销售量y（件）与每件商品的日销售价x（元）之间的关系如图中的折线ABC所示（物价局规定，该商品每件的销售价不得低于进价且不得高于50元）．
（1）直接写出y与x的函数关系式；
（2）若日销售单价x（元）为整数，则当日销售单价x（元）为多少时，该商品每天的销售利润最大？最大利润是多少；
（3）若该商品每天的销售利润不低于1200元，求销售单价x的取值范围．
21．（2024·罗湖模拟） 【项目式学习】
项目主题：如何拟定运动员拍照记录的方案？
项目背景：
（1）任务一：确定滑道的形状
图1是单板滑雪运动员从大跳台滑雪场地滑出的场景，图2是跳台滑雪场地的横截面示意图．AC垂直于水平底面BC，点D到A之间的滑道呈抛物线型，已知m，m，且点B处于跳台滑道的最低处，在图2中建立适当的平面直角坐标系，求滑道所在抛物线的函数表达式．
（2）任务二：确定运动员达到最高点的位置
如图3，某运动员从点A滑出后的路径满足以下条件：
①运动员滑出路径与D、A之间的抛物线形状相同，
②该运动员在底面BC上方竖直距离9.75m处达到最高点P
③落点Q在底面BC下方竖直距离2.25m．
在同一平面直角坐标系中，求运动员到达最高处时与点A的水平距离．
（3）任务三：确定拍摄俯角
高速摄像机能高度还原运动员的精彩瞬间，如图4，有一台摄像机M进行跟踪拍摄：
①它与点B位于同一高度，且与点B距离25.5m；
②运动过程需在摄像头视角范围内才能记录，记摄像头的俯角为；
③在平面直角坐标系中，设射线MN的解析式为，其比例系数k和俯角的函数关系如图5所示．
若要求运动员的落点Q必须在摄像机M的视角范围内，则俯角至少多少度（精确到个位）？
22．（2024·义乌模拟）
草莓种植大棚的设计
生活背景 草莓种植大棚是一种具有保温性能的框架结构．如图示，一般使用钢结构作为骨架，上面覆上一层或多层塑料膜，这样就形成了一个温室空间．大棚的设计要保证通风性且利于采光．
建立模型 如图1，已知某草莓园的种植大棚横截面可以看作抛物线，其中点P为抛物线的顶点，大棚高，宽．现以点O为坐标原点，所在直线为x轴，过点O且垂直于的直线为y轴建立平面直角坐标系．求此抛物线的解析式． 图1
解决问题 如图2，为方便进出，在大棚横截面中间开了两扇正方形的门，其中．求门高的值． 若在某一时刻，太阳光线（假设太阳光线为平行线）透过A点恰好照射到N点，此时大棚横截面在地面上的阴影为线段，求此时的长． 图2
23．（2023·济宁）如图，直线交轴于点，交轴于点，对称轴为的抛物线经过两点，交轴负半轴于点．为抛物线上一动点，点的横坐标为，过点作轴的平行线交抛物线于另一点，作轴的垂线，垂足为，直线交轴于点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）若，当为何值时，四边形是平行四边形？
（3）若，设直线交直线于点，是否存在这样的值，使？若存在，求出此时的值；若不存在，请说明理由．
24．（2024·威远模拟）如图，抛物线经过、两点，为抛物线上第一象限内的一个动点．
（1）求抛物线所对应的函数表达式；
（2）当的面积最大时，求点的坐标；
（3）过点作，垂足为点，是否存在点，使，若存在，求点的横坐标；若不存在，请说明理由．
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】二次函数与一次函数的综合应用
【解析】【解答】解：设n=1，则，图像如下：
A、当x1=x2＜1时，y1＜y2或y1＞y2，A错误；
B、当x1=x2＞1时，y1＞y2，B错误；
C、当y1=y2＞n时，x1＞x2，C正确；
D、当y1=y2＜n时，x1＜x2，D错误.
故答案为：C.
【分析】本题为选择题，采用特值法并画出草图分析能快速解答.
2．【答案】B
【知识点】二次函数的最值
【解析】【解答】解：联立，
解得，，
当，，，最大值是2；
当，，，最大值小于2；
当，，，最大值小于．
所以，的最大值是2．
故答案为：B.
【分析】先求出两个函数的交点坐标，再根据min的定义并结合函数的增减性解答即可．
3．【答案】C
【知识点】二次函数的其他应用
【解析】【解答】解：设二次函数的解析式为，
由题可得二次函数图象过，，，
∴，
解得，
∴，
当时，，
解得（舍去），
∴这一过程需要的时间大约是15秒钟，
故答案为：C．
【分析】先根据题意确定图象上的三个点的坐标（1，2），（2，6），（3，12），利用待定系数法求出函数解析式，然后令y=240求出x的值即可．
4．【答案】B
【知识点】反比例函数的图象；二次函数图象与系数的关系
【解析】【解答】解：∵函数 的图象经过二、四象限，
∴k＜0，
由图知当x＝﹣1时，y＝﹣k＜1，
∴0＞k＞﹣1，
∴抛物线y＝2kx2﹣4x+k2开口向下，
对称轴为x＝﹣ ＝ ， ＜-1，
∴对称轴在﹣1左侧，
∵当x＝0时，y＝k2＜1．
故答案为：B．
【分析】先根据反比例函数的图象求出k的取值范围，再根据一元二次函数与其系数的关系求解即可。
5．【答案】A
【知识点】二次函数图象与坐标轴的交点问题
【解析】【解答】解：二次函数（）的对称轴为，且图象与轴的一个交点的横坐标为，
由抛物线上点的对称性可知，图象与轴的另一个交点的横坐标为，
故答案为：A．
【分析】先求出抛物线对称轴，再由抛物线的对称性求解即可．
6．【答案】B
【知识点】二次函数y=ax²+bx+c的图象；二次函数y=ax²+bx+c的性质
【解析】【解答】解：∵， 都在抛物线上，
∴n=（8-m）2+（2-k）（8-m）+1，e=（m-4）2+（2-k）（m-4）+1，
∵当时，都有，
∴，
∴[（8-m）2-（2-k）（8-m）+1]-[（m-4）2+（2-k）（m-4）+1]>0，
整理可得：2（6-m）（6-k）>0，
∵m>6，
∴6-m<0，
∴6-k<0，
∴k>6，
故答案为：B.
【分析】将点A、B分别代入解析式可得n=（8-m）2+（2-k）（8-m）+1，e=（m-4）2+（2-k）（m-4）+1，再结合，可得2（6-m）（6-k）>0，再求出k>6即可.
7．【答案】D
【知识点】一次函数图象、性质与系数的关系；二次函数与一次函数的综合应用
【解析】【解答】解：令抛物线y=ax2-a中的y=0，
得ax2-a=0，
∵a≠0，
∴x2-1=0，
解得x=±1，
∴抛物线y=ax2-a与x轴交点坐标为（1，0）与（-1，0），
令抛物线y=ax2-a中的x=0，得y=-a，
∴抛物线的顶点坐标为（0，-a），
当a＞0，k＞0时，其图象大致为
由图象可得x1＞1，-1＜x2＜0，∴x1+x2＞0，故此种情况不成立；
当a＞0，k＜0时，其图象大致为
由图象可得0＜x1＜1，x2＜-1，∴x1+x2＜0，此时直线y=ax+k过一、三、四象限；
当a＜0，k＞0时，其图象大致为：
由图象可得0＜x1＜1，x2＜-1，∴x1+x2＜0，此时直线y=ax+k过一、二、四象限；
当a＜0，k＜0时，其图象大致为：
由图象可得x1＞1，-1＜x2＜0，∴x1+x2＞0，故此种情况不成立；
综上直线y=ax+k的图象一定经过第一、四象限.
故答案为：D.
【分析】首先求出抛物线y=ax2-a与x轴两交点的坐标及顶点坐标，然后分当a＞0，k＞0时，当a＞0，k＜0时，当a＜0，k＞0时，当a＜0，k＜0时，四种情况画出大致图象，找出两交点横坐标的取值范围，进而根据x1+x2＜0进行一一验证，得出符合题意的a、k的取值，最后根据一次函数的图象与系数的关系可得直线y=ax+k所经过的象限，即可得出答案.
8．【答案】A
【知识点】线段垂直平分线的性质；菱形的性质；二次函数的实际应用-几何问题
【解析】【解答】解：如图，过点作于点，过点作，交延长线于点，连接，
∵四边形为菱形，，，
，
∴在中，，
设，则，
，
∵的垂直平分线交于点，
，
，
，
设，则，
，
在中，，即，
解得，
，，
则的面积为，
由二次函数的性质可知，当时，的面积最大，最大值为，
的周长为，
由二次函数的性质可知，当时，的周长最小，最小值为，
故答案为：A．
【分析过点C作CM⊥AD于点M，过点E作EN⊥AD，交DA延长线于点N，连接CF，设AF=x，用含x的代数式表示FM和EF的长，设AN=y，用含y的代数式表示AE和EN的长，分别利用含x的式子将的面积和周长表示出来，利用二次函数的性质求解即可．
9．【答案】B
【知识点】二次函数与一元二次方程的综合应用；真命题与假命题
【解析】【解答】解：①若，方程有一根为1，则，故①正确；
②由两根关系可知，，整理得：，故②正确；
③若方程有两个不相等的实根，则，得，故方程有两个不相等的实根，故③正确．
④若有两个相等的实数根，则，
化为一般形式：，，
当时，，方程有两个不相等的实数根，
当时，，方程无实数根，故④错误；
真命题有①②③.
故答案为：①②③．
【分析】①，说明原方程有一根是1，一元二次方程有根，；②根据根与系数的关系可得出结论；③由题意得，则，可判断③正确；④由题意得，则化为一般形式，，即可判断④错误.
10．【答案】C
【知识点】二次函数图象与系数的关系；二次函数图象与坐标轴的交点问题
【解析】【解答】根据图象可知：
函数与轴有两个交点，
，
，
故①正确；
，
，
，
故②错误；
根据图象和，对称轴为直线可知，
该函数和轴的另一个交点为；
当时，，
故③错误；
开口向上，
，
，
，
，
故④正确．
故选：C．
【分析】本题考查二次函数的图象与系数的关系，抛物线与x轴的交点问题.根据图象可知函数与轴有两个交点，据此可知对应方程有两个实数根，可判断①；由对称轴为直线，通过变形可判断②；由对称性可推断出函数和轴的另一个交点为，代入函数解析式可判断③；由图象开口向上，再根据点到对称轴的距离越大，函数值也越大，可判断④；
11．【答案】能
【知识点】二次函数的其他应用
【解析】【解答】解：CD=4m，点B（6，2.68），
OC=6-4=2m，
在中，当x=2时，
，
2.12>1.8，
可判定货车能完全停到车棚内.
故答案为：能.
【分析】先求出OC=2m，再根据函数表达式求出当x=2时，y的值，与1.8m作比较即可解答.
12．【答案】2
【知识点】二次函数的实际应用-拱桥问题
【解析】【解答】解：由题意可得：当AB＝6m，则B点横坐标为3，
故此时y＝﹣ ×32＝﹣3，
当水位上涨2m时，此时D点纵坐标为：﹣3+2＝﹣1，
则﹣1＝﹣ x2，
解得：x＝± .
故当水位上涨2m时，水面宽CD为2 m.
故答案为：2 .
【分析】由题意可得：当AB＝6m时，B点横坐标为3，求出对应的y值，进而求出此时D点的纵坐标，代入函数解析式中求出x的值，据此解答.
13．【答案】6
【知识点】二次函数的实际应用-抛球问题
【解析】【解答】解：小球落地，即h=0，
则，
解得或0，
故答案为6．
【分析】小球落地，即小球的高度h=0，代入关系式，解方程即可得出结果．
14．【答案】（1）2
（2）或或
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数的三种形式；二次函数与不等式（组）的综合应用
【解析】【解答】解：(1)由OA=1知点A(1，0)代入抛物线解析得1+b-3=0，得b=2；
（2）P点横坐标为t，则纵坐标为y=t2+2t-3，点B坐标为(0，-3)抛物线的顶点为(-1，-4)，分以下三类情况进行讨论
①当点P在顶点与点B之间，注意到顶点(-1，-4)和点B(0，-3）纵坐标相差1，故此时P的位置不满足题意；
②点P在(-2，-3)和顶点(-1，-4)之间时，此时最高点为点B，最低点为顶点，且满足|d1-d2|=1，故此时t的范围是-2≤t≤-1
③点P在(-2，-3)左侧，即t<-2时，此时最高点为点P，d1=|t2+2t-3|，最低点为顶点(-1，-4)，d2=4，||t2+2t-3|-4|=1，即有|t2+2t-3-4|=1和|-t2-2t+3-4|=1，于是去绝对值得方程t2+2t-8=0，t2+2t-6=0，t2+2t=0，t2+2t+2=0(无解)，解方程得t=-4或t=0(舍去)或t=-1+(舍)或t=-1-，故t=-4或t=-1-
综上所述，当-2≤t≤-1或t=-4或t=-1-时，满足题意；
【分析】(1)由OA的长可直接得到点A坐标，直接代入即可求出b的值；
(2)由于点P位置不确定，无法确定最高点与最低点，对点P的位置进行分类讨论，对比的点为顶点、点B，还有与点B齐平的点(-2，-3)，当点P在顶点与点B之间，②点P在(-2，-3)和顶点(-1，-4)之间时，点P在(-2，-3)左侧以此为界点进行讨论即可得到结果.
15．【答案】（1）cm
（2）
【知识点】二次函数与一次函数的综合应用；二次函数的其他应用
【解析】【解答】解：（1）以点E为原点，建立直角坐标系，如图，
∵EG=8， CD=12，
∴C（6，8），D（-6，8），
∴抛物线为y=x2，
∵ET=4
∴P（，4），Q（，4），
∴PQ=cm；
故答案为：cm；
（2）建立直角坐标系，如图，
根据题意得：C（6，8），
∵∠ABM=45°，且CH∥CH，
∴直线CH的斜率为1，
∴直线CH：y=x+2，
∴直线CH与抛物线y=x2的交点H（，），
∴CH=.
故答案为：.
【分析】（1）根据题意建立合适的直角坐标系并找到关键点求得解析式即可求得；
（2）根据题意建立合适的直角坐标系得二次函数，再根据二次函数与一次函数的交点问题得H（，），再计算两点之间距离即可.
16．【答案】①②
【知识点】二次函数图象与系数的关系；二次函数y=ax²+bx+c的图象；二次函数y=ax²+bx+c的性质；利用二次函数图象判断一元二次方程根的情况
【解析】【解答】解：①∵抛物线经过点A（3，0），
∴9a-6a+c=0，
∴3a+c=0，
当x=-1时，y=a+2a+c=3a+c=0，
∴该抛物线一定经过B（-1，0），
故①正确；
②由①得：3a+c=0，
∵c＞0，
∴a＜0，
∵3a+c=a+2a+c=0，
∴2a+c=-a＞0，
故②正确；
③抛物线的对称轴为直线x==1，
当t=-2021时，P1（1，y1），P2（2，y2），
∵a＜0，
∴当x≥1时，y随x的增大而减小，
∴y1＞y2，
∴当y1＞y2时，t≥-2021，
故③错误；
④∵m，n（m＜n）是方程ax2+2ax+c=p的两个根，
∴m，n是抛物线y1=ax2+2ax+c与直线y2=p交点的横坐标，
∴p＞0，
∴如图：
由图得：-1＜m＜n＜3，
故④错误.
故答案为：①②．
【分析】①将点A（3，0）代入抛物线的解析式，可以得到3a+c=0，求出当x=-1时，y=0，所以抛物线一定经过B（-1，0）；
②由①得2a+c=-a，结合c＞0判断出a＜0，再得出2a+c＞0即可；
③特殊值法，取t=-2021时也符合题意，从而得出当y1＞y2时，t≥-2021，得到结论；
④将两个根转化为交点的横坐标，画出图象即可判断．
17．【答案】（1）解：将点代入函数，解得，
，
拋物线的对称轴为直线．
（2）<
（3）解：.
I．对称轴
当时，，解得（舍去）
II．对称轴
此时，解得
III．对称轴
当时，，解得（舍去）
综上所述，-1.5＜t＜0.5.
【知识点】二次函数y=ax²+bx+c的图象；二次函数y=ax²+bx+c的性质
【解析】【解答】解：（2）抛物线的对称轴为：x=，
∵a=2＞0，
∴抛物线的开口向上，
∴抛物线上的点距离对称轴越近函数值越小，
而，，
∴，
∴p＜q.
【分析】（1）由题意把点A（4，-3）代入二次函数的解析式可得关于t的方程，解方程即可求解；
（2）由题意求出抛物线的对称轴，根据a的值可知抛物线上的点距离对称轴越近函数值越小，然后计算P、Q两点到对称轴的距离并比较大小即可判断求解；
（3）由题意计算y2-y1=2x2+(2+4t)x+2，根据抛物线的对称轴为直线：x=-t-，结合已知条件-2≤x≤2分类讨论即可求解.
18．【答案】（1）解：由题意可设这个二次函数的表达式为，
图像L过点得，，
解得：，
所以这个二次函数的表达式为
（2）解：令，得，
解得：，，
所以两点坐标分别为，
（3）解：将L向上平移个单位长度，得新函数的表达式为，
设点M为新函数图象上一点，其横坐标为k，则纵坐标为
若点在线段上，则点M的纵坐标大于或等于零，即，
令，由图像可知，当时，图像在横轴的下方，函数值小于零
因为，所以得
【知识点】二次函数图象的几何变换；待定系数法求二次函数解析式；二次函数y=ax²+bx+c的性质
【解析】【分析】(1)设抛物线的解析式为顶点式，利用待定系数法求出抛物线解析式即可；
(2)令y=0得到一个关于x的二次方程，解方程即可得到点A、B坐标；
(3) 根据平移的规律得到新的抛物线解析式，设点M为新函数图象上一点，其横坐标为k，则可得到M的纵坐标，根据纵坐标大于等于零即可求解．
19．【答案】（1）对称轴为：直线，
当，得
抛物线的顶点在轴上方，且到轴的距离为4．
解得，
抛物线的解析式为
（2）①画图如图所示：
②由题意，得的对称轴为：直线
的表达式为：，它的对称轴为：直线
情况一：当点在轴左侧和点之间时，总有，如下图：
此时，即：
情况二：当点在轴右侧时，如图：
当时，解得，或
由题意知，时，总有有
综上所述，或时，总有
【知识点】二次函数图象的几何变换；二次函数与不等式（组）的综合应用；二次函数与一元二次方程的综合应用
【解析】【分析】（1）根据对称轴的公式求得抛物线的对称轴，确定顶点纵坐标，由题意-4a=4，从而求得a的值，写出二次函数解析式即可；
（2）关于原点对称的点：横坐标和纵坐标都互为相反数，据此求出T2的解析式；分两种情况即可求解：点Q在y轴和点P之间，或点Q在yl轴右侧，分别画出图象求解即可．
20．【答案】（1）解：．
（2）解：设销售利润为W元，则
①当时，，
∴时，元．
②当时，，
∵x为整数，
∴或43时，W取最大值，．
∵，
∴当日销售单价为42元或43元时，每天的销售利润最大，最大利润为1224元．
（3）解：由（2）知，当时，该商品每天的最大销售利润为1000元；
∴只有在时，每天的销售利润才可能不低于1200元；
∴，
∴，
∴．
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；二次函数的实际应用-销售问题
【解析】【解答】解：（1）当25≤x≤35时，当x=25时，y=200；x=35时，y=100.设y=kx+b(k≠0)，
可得：，
解得：
故y=-10x+450.
当35≤x≤50时，x=35时，y=100；当x=50时，y=50；设y=mx+n(m≠0)，
可得：，
解得：
故y=-4x+240.
综上：.
【分析】（1）利用待定系数法求解即可.
（2）利润=单位利润×销售量，分别表示出时和时的利润，并根据二次函数的性质求得最大值，比较即可得到最大利润以及取得最大利润时x的取值；
（3）由（2）得利润不低于1200元时x的范围以及对应的不等式，求解即可.
21．【答案】（1）解：如图，以B点为原点，以BC所在的直线为x轴建立平面直角坐标系，
则点A的坐标为，
设滑道所在抛物线的函数表达式为，
把代入得，
解得，
滑道所在抛物线的函数表达式为；
（2）解：如图，以点P所在的直线为y轴，BC所在的直线为x轴建立平面直角坐标系，
运动员滑出路径与D、A之间的抛物线形状相同，
运动员滑出路径抛物线的函数表达式为，
把代入得，
解得，
即
运动员到达最高处时与点A的水平距离6；
（3）解：与（2）所建平面直角坐标系一样，
点Q在底面BC下方竖直距离2.25m，
把代入得，
，
解得，
点，
，，
，
，
设与k的函数解析式为，
把代入得，，
解得，
，
，
射线MN的解析式可化为，
把，代入得，
，
解得，
俯角至少15度．
【知识点】二次函数的其他应用
【解析】【分析】（1）以B点为原点，以BC所在的直线为x轴建立平面直角坐标系，则点A的坐标为（4，3），设滑道所在抛物线的函数表达式为y=ax2，然后将点A的坐标代入可算出a的值，从而得到滑道所在抛物线的函数表达式 ；
（2）以点P所在的直线为y轴，BC所在的直线为x轴建立平面直角坐标系，则P（0，9.75），由运动员滑出路径与D、A之间的抛物线形状相同可得抛物线二次项系数绝对值相等，结合抛物线开口向下可得抛物线的解析式为，进而将y=3代入算出对应的自变量的取值，即可得出运动员到达最高处时与点A的水平距离；
（3）与（2）所建平面直角坐标系一样，把y=-2.25代入得x=±8，则Q（8，-2.25），得到M（15.5，0），设与k的函数解析式为a=mk，把（0.1，5）代入算出m的值，从而得到，则射线MN的解析式可化为，再把M、Q得坐标代入解方程组即可求出俯角的度数.
22．【答案】解：设，
将代入得，
．
设，
则，
，
，
，
解得（舍去），，
答：门高为．
，
设直线，
则，
，…7分
设直线，
则，
整理得，，
，
，
直线，
令．则，即，
答：此时的长为．
【知识点】二次函数的实际应用-拱桥问题；二次函数的实际应用-喷水问题；二次函数的其他应用
【解析】【分析】(1)根据题意便可知抛物线的顶点坐标，设顶点式将点坐标代入求值即可；
(2)设正方形的边长为m，便可得点A的坐标，将点的坐标代入抛物线解析式，求解方程即可；
(3)光线由A射到点N，可知坐标系中PQ与AN平行，先求AN的解析式，再利用平行关系求直线PQ的解析式，再与抛物线联立，求出光线与抛物线相切时的OQ的长度.
23．【答案】（1）解：在直线中，当时，，当时，，
∴点，点，
设抛物线的解析式为，
把点，点代入可得，
解得，
∴抛物线的解析式为；
（2）解：由题意，，
∴，
当四边形是平行四边形时，，
∴，
∴，，
设直线的解析式为，
把代入可得，
解得，
∴直线的解析式为，
又∵过点作轴的平行线交抛物线于另一点，且抛物线对称轴为，
∴
∴，
解得（不合题意，舍去），；
（3）解：存在，理由如下：
∵对称轴为x=，
设P点坐标为 （m，-m2+3m+4），
∴M点横坐标为： ×2-m=3-m，
∴N（m，0），M（3-m，-m2+3m+4），
①如图1，
∵MN=2ME，即E是MN的中点，点E在对称轴x=上，
∴E（，），
又点E在直线BC：y=-x+4，代入得：=+4，
解得：m=或（舍去），
故此时m的值为.
②如图2，设E点坐标为（n，-n+4），N（m，0），M（3-m，-m2+3m+4），
∵MN=2ME，
∴0-（-m2+3m+4）=2（-m2+3m+4+n-4）①，
∴3-m-m=2（n-3+m）②，
联立①②并解得：m =（舍去）或，
综上所述，m的值为或.
【知识点】平行四边形的判定与性质；一次函数图象与坐标轴交点问题；一次函数的性质；二次函数y=ax²+bx+c的图象；二次函数y=ax²+bx+c的性质
【解析】【分析】（1）先根据一次函数与坐标轴的交点问题即可得到点B和点C的坐标，进而设抛物线的解析式为，将点B和点C的坐标代入即可求出抛物线的解析式；
（2）先根据题意得到，进而得到，当四边形是平行四边形时，，进而得到，从而即可表示点D和点N的坐标，进而设直线的解析式为，将点N代入即可得到，进而得到直线的解析式为，再根据题意表示出点M的坐标，进而即可求出m；
（3） 根据 MN=2ME，分E在MN内部与外部两种情况讨论，从而利用一次函数图象上点的特征计算求解．
24．【答案】（1）解：设抛物线的表达式为：，
即，
则，
解得：，
则抛物线的解析式为；
（2）解：如图所示，过作轴，垂足为，与交于点，
，
在中，当时，，
，
设直线的解析式为，
将，代入解析式得，
解得：，
直线的解析式为，
，
∴，
∴，
∴
，
当的面积最时，，此时，点；
（3）解：存在，理由：
当时，取点，连接．
，
∵，
∴，
∴．
∵，
∴，
∴．
设直线的解析式为，
∵点，，
，
解得：，
∴直线的解析式为，
∴设直线的解析式为．
将代入直线的解析式得，
直线的解析式为，
联立直线及抛物线的解析式成方程组得：，
解得：（舍去）或，
即点．
【知识点】二次函数的最值；二次函数与一次函数的综合应用；二次函数y=ax²+bx+c的图象；二次函数y=ax²+bx+c的性质
【解析】【分析】（1）设抛物线的表达式为，进而代入点结合题意即可求出抛物线解析式；
（2）过作轴，垂足为，与交于点，先根据二次函数与坐标轴的交点问题得到点C的坐标，进而根据待定系数法求出直线BC的函数解析式，从而根据点D和点K的坐标即可得到DK，进而根据“”结合二次函数的最值即可求解；
（3）当时，取点，连接，进而根据题意结合平行线的判定证明，从而运用待定系数法求出直线BF的函数解析式，再根据二次函数与一次函数的交点问题结合题意即可求解。
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