2024-2025学年浙教版数学九上第1章 二次函数 二阶单元测试卷
一、选择题（本题有10小题，每小题3分，共30分）
1．（2024·包头）将抛物线y＝x2+2x向下平移2个单位后，所得新抛物线的顶点式为（ ）
A．y＝（x+1）2﹣3 B．y＝（x+1）2﹣2
C．y＝（x﹣1）2﹣3 D．y＝（x﹣1）2﹣2
2．（2024·南充模拟）若，，是抛物线上不同三点，则的值为( )
A． B． C． D．不确定
3．（2020九上·袁州期中）已知函数 ，下列结论正确的是（ ）
A．函数图象过点
B．函数图象与 轴无交点
C．当 时， 随 的增大而减小
D．当 时， 随 的增大而减小
4．（2024·嘉兴三模）在平面直角坐标系中，直线与抛物线相交于，，且，则下列说法正确的是（ ）
A．若a＝1－c，m有最大值 B．若a＝1－c，m有最小值
C．若，m有最大值 D．若，m有最小值
5．（2023九下·杭州月考）已知二次函数（a为实数，且），对于满足的任意一个x的值，都有，则的最大值为（ ）
A． B． C． D．
6．（2024·金华模拟）已知点在下列某一函数图象上，且，那么这个函数是（ ）
A． B． C． D．
7．（2024·杭州模拟）在平面直角坐标系中有与两点()，关于过两点的直线与二次函数图象的交点个数判定，哪项为真命题（ ）
A．只有b>0，才一定有两交点 B．只有b<0，才一定有两交点
C．只有a<0，才一定有两交点 D．只有a>0，才一定有两交点
8．（2024·路桥二模）已知二次函数（为常数，）的最小值分别为，（ ）
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则
9．（2021九上·郑州月考）一次函数与二次函数在同一坐标系中的图象大致为（ ）
A． B．
C． D．
10．（2024·宁波模拟）已知二次函数y＝x2﹣2mx+m2+2m﹣4，下列说法中正确的个数是（ ）
①当m＝0时，此抛物线图象关于y轴对称；
②若点A（m﹣2，y1），点B（m+1，y2）在此函数图象上，则y1＜y2；
③若此抛物线与直线y＝x﹣4有且只有一个交点，则；
④无论m为何值，此抛物线的顶点到直线y＝2x的距离都等于．
A．1 B．2 C．3 D．4
二、填空题（本题有6小题，每小题4分，共24分）
11．（2024九上·嘉兴期末）某车的刹车距离与开始刹车时的速度满足二次函数，若该车某次的刹车距离为，则开始刹车时的速度为 ．
12．（2024·浙江模拟）某农场拟建一个矩形养殖场，该矩形养殖场一面靠墙(墙的长度为10m，不超出墙)，另外三面用棚栏围成，中间再用棚栏把它分成两个面积为1：2的矩形.已知棚栏的总长度为10m，设较小矩形的宽为，则矩形养殖场总面积的最大值为 .
13．（2024·南昌模拟）如图，这是某市文化生态园中抛物线型拱桥及其示意图，已知抛物线型拱桥的函数表达式为，为了美化拱桥夜景，拟在该拱桥上距水面（AB）6m处安装夜景灯带EF，则夜景灯带EF的长是 m．
14．（2024九上·朝阳期末）已知函数（是常数，），（是常数，），在同一平面直角坐标系中，若无论为何值，函数和的图象总有公共点，则的取值范围是 ．
15．（2020·瑶海模拟）如果二次函数y＝x2+b（b为常数）与正比例函数y＝2x的图象在﹣1≤x≤2时有且只有一个公共交点，那么常数b的值应为 ．
16．（2023九上·昌平期中）二次函数的图象如图所示，有下列5个结论：
①；②；③；④；⑤（的实数）.
其中正确的结论有 （填序号）.
三、解答题（本题共8小题，第17题6分，第18题7分，第19题7分，第20题6分，第21题8分，第22题10分，第23题10分，第24题12分，共66分）
17．（2023九下·云岩月考） 已知二次函数的图象经过点和，求这个二次函数的表达式．
18．（2023九上·福州月考）一人一盔安全守规，一人一戴平安常在，某电动自行车配件店经市场调查，发现进价为40元的新款头盔每月的销售量y（件）与售价x（元）成一次函数关系y＝﹣2x+400．
（1）若物价局规定，该头盔最高售价不得超过100元，当售价为多少元时，利润达到5600元；
（2）若获利不得高于进价的80%，那么售价定为多少元时，月销售利润达到最大？最大利润是多少元？
19．（2024·路桥二模）有一台乒乓球桌和自动发球机如图1所示，其侧面示意图如图2，发球机出口P到球桌的距离．现以点M为原点，所在直线为x轴建立平面直角坐标系，x（）表示球与点M之间的水平距离，y（）表示球到桌面的高度．在“直发式”和“间发式”两种模式下，球的运动轨迹均近似为抛物线，“直发式”模式下，球从P处发出，落到桌面A处，其解析式为；“间发式”模式下，球从P处发出，先落在桌面B处，再从B处弹起落到桌面C处．两种模式皆在同一高度发球，段抛物线可以看作是由段抛物线向左平移得到．
（1）当时，
①求b的值；
②求点A，B之间的距离；
（2）已知段抛物线的最大高度为，且它的形状与段抛物线相同，若落点C恰好与落点A重合，求a的值．
20．（2024八下·海珠期中）阅读与应用：
阅读1：a、b为实数，且a＞0，b＞0，因为，所以从而（当a=b时取等号）．
阅读2：若函数；（m＞0，x＞0，m为常数），由阅读1结论可知：，所以当，即时，函数的最小值为．
阅读理解上述内容，解答下列问题：
问题1：已知一个矩形的面积为4，其中一边长为x，则另一边长为，周长为2（），求当x= 时，周长的最小值为 ；
问题2：已知函数（）与函数（），
当x= 时，的最小值为 ；
问题3：某民办学校每天的支出总费用包含以下三个部分：一是教职工工资4900元；二是学生生活费成本每人10元；三是其他费用．其中，其他费用与学生人数的平方成正比，比例系数为0.01．当学校学生人数为多少时，该校每天生均投入最低？最低费用是多少元？（生均投入=支出总费用÷学生人数）
21．（2024·葫芦岛模拟）跳台滑雪是冬季奥运会的比赛项目之一，运动员通过助滑道后在点处起跳经空中飞行后落在着陆坡上某处，他在空中飞行的路线可以看作抛物线的一部分．如图是跳台滑雪训练场横截面示意图，这里表示起跳点到地面的距离，，以为坐标原点，以地面的水平线为轴，所在的直线为轴，建立平面直角坐标系．某运动员在处起跳腾空后，在空中飞行过程中，运动员到轴的距离与水平方向移动的距离满足．在着陆坡上设置点作为基准点，点与相距，高度（与距离）为，着陆点在点或超过点视为成绩达标．
（1）若某运动员在一次试跳中飞行的水平距离为时，恰好达到最大高度，试判断他的这次试跳落地点能否达标，说明理由；
（2）研究发现，运动员的运动轨迹与清出速度的大小有关，下表是某运动员7次试跳的与的对应数据：
150 170 190 210 230 250 270
①猜想关于的函数类型，求函数解析式，并任选一对对应值验证；
②当滑出速度为多少时，运动员的成绩刚好能达标？
22．（2024·南海模拟）【定义】设抛物线与水平直线交于不重合的两点A、B，过抛物线上点（不同于A、B）作该水平线的垂线，垂足为C．我们把点与点间的距离称为点关于直线的铅垂高，垂足到点和点间的距离分别称为点关于直线的左水平宽和右水平宽，铅垂高与左、右水平宽的乘积的比称为点关于抛物线的“”系数．例如，如图1，抛物线与轴交于点A、B，P是抛物线上一点，轴于点，则PC的长为点关于轴的铅垂高，AC，BC的长为点关于轴的左水平宽与右水平宽，的值称为点关于的“"系数．
（1）【理解】如图2，已知扰物线与轴交于点A、B（点A在点左侧），点是挞物线上一点，轴于点；
①当点的坐标是时，点关于轴的铅垂高是 ，点关于轴的左水平宽是 ，点关于轴的右水平宽是 ；
②当点的横坐标是时，则点关于的“"系数是 ；
（2）【探究】经过探究可以发现，若抛物线与水平直线交于点A、B，点是拋物线上一点，于点，请求出点关于拋物线的“”系数（用含的代数式表示）；
（3）【应用】校门口的隔离栏通常会涂上呈拋物线形状的醒目颜色，如图3，是一个被12根栏杆等分成13等分的矩形隔离栏示意图，其中颜色的分界处（点C，D）以及点A，点落在同一抛物线上，若第4根栏杆涂色部分（CE）的长为，则第6根栏杆涂色部分的长为 ．
23．（2024九下·龙湖模拟）抛物线y＝ax2+bx﹣4（a≠0）与x轴交于点A（﹣2，0）和B（4，0），与y轴交于点C，连接BC．点P是线段BC下方抛物线上的一个动点（不与点B，C重合），过点P作y轴的平行线交BC于M，交x轴于N，设点P的横坐标为t．
（1）求该抛物线的解析式；
（2）用关于t的代数式表示线段PM，求PM的最大值及此时点M的坐标；
（3）过点C作CH⊥PN于点H，S△BMN＝9S△CHM，
①求点P的坐标；
②连接CP，在y轴上是否存在点Q，使得△CPQ为直角三角形，若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
24．（2024九下·谷城月考） 如图，抛物线与轴交于两点（A点在B点的左侧），与y轴交于点C，连接AC，BC，A点的坐标是（，0），点P是抛物线上的一个动点，其横坐标为m，且m>0．
（1）求此抛物线的解析式；
（2）若点Q是直线AC上的一个动点，且位于x轴的上方，当PQ∥y轴时，作PM⊥PQ，交抛物线于点M（点M在点P的右侧），以PQ，PM为邻边构造矩形PQNM，求该矩形周长的最小值；
（3）设抛物线在点C与点P之间的部分（含点C和P）最高点与最低点的纵坐标之差为h．
①求h关于m的函数解析式，并写出自变量m的取值范围；
②当h=16时，直接写出△BCP的面积．
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】二次函数图象的几何变换
【解析】【解答】解：∵y＝x2+2x=(x+1)2-1，
∴将抛物线y＝x2+2x向下平移2个单位后，所得新抛物线的顶点式为y=(x+1)2-1-2=(x+1)2-3.
故答案为：A.
【分析】首先利用配方法将抛物线的解析式配成顶点式，然后根据抛物线的平移规律“左加右减，上加下减”可直接得出答案.
2．【答案】A
【知识点】二次函数y=ax²+bx+c的性质
【解析】【解答】解：∵抛物线解析式为
∴抛物线的对称轴为直线x=-1
∵，关于直线x=-1对称
∴
∴a+b=-2
将x=2代入抛物线解析式可得：
解得：n=3
故答案为：A
【分析】求出抛物线对称轴，根据点A，B纵坐标相同，则横坐标关于x=-1对称，可求出a+b的值，再代入抛物线解析式即可求出答案.
3．【答案】D
【知识点】二次函数y=ax²+bx+c的图象；二次函数y=ax²+bx+c的性质
【解析】【解答】解：A、当x=-1时， =1+2﹣1=2，函数图象过点（-1，2），此选项不符合题意；
B、∵△=（﹣2）2﹣4×1×（﹣1）=8＞0，
∴函数图象与x轴有两个交点，
故此选项不符合题意；
C、∵ =（x﹣1）2﹣2，且1＞0，
∴当x≥1时，y随x的增大而增大，
故此选项不符合题意；
D、当x≤1，时，y随x的增大而减小，此选项符合题意，
故答案为：D．
【分析】将二次函数一般式换成顶点式，再根据二次函数的性质及草图逐项判定即可。
4．【答案】D
【知识点】二次函数与一次函数的综合应用；二次函数y=ax²+bx+c的性质
【解析】【解答】解：联立，可得x2-kx+m=0，
∵ 直线与抛物线相交于， ，
∴a、c是方程x2-kx+m=0的两根，
∴a+c=k，ac=-m，
当a＝1－c时，则1-c+c=k，
∴k=1，
则m=-ac=-(1-c)c=c2-c=（c-）2-，
∴当c=时，m得最小值为-，
由m=-ac，则-=-a，解得a=，
∴a=c，
∵， 故A、B错误，不符合题意；
当时，则1-c+c=k，
∴k=c+1，
则m=-ac=-(1-c)c=c2-c=（c-1）2-，
∴当c=时，m得最小值为-，故C错误，D正确.
故答案为：D.
【分析】 联立直线与抛物线为方程组，可得x2-kx+m=0，利用根与系数的关系可得a+c=k，ac=-m，分两种情况：当a＝1－c时和当时，分别得出m关于c的二次函数，利用二次函数的性质及进解答即可.
5．【答案】B
【知识点】二次函数的最值；二次函数图象与坐标轴的交点问题
【解析】【解答】解：对于二次函数，令，则，
∴该二次函数经过点.
∵该二次函数对称轴为直线，且，
∴，
∴对称轴在y轴右侧.
∴画出大致图象如图.
∵对于满足的任意一个x的值，都有，
∴当时，有最大值3，
∴，
解得：，
∴该二次函数解析式为.
由图可知当时，有最小值，
∴，
解得：或，
∵，
∴，即的最大值为.
故答案为：B.
【分析】令x=0，求出y的值，可得图象与y轴的交点坐标，根据二次函数解析式可得对称轴为直线x=，结合a<0可得>0，则对称轴在y轴右侧，画出函数的大致图象，由题意可得当x=时，y有最大值3，代入求解可得a的值，据此可得该二次函数的解析式，由图可知当x=x0时，y有最小值-3，代入求出x0的值，据此解答.
6．【答案】B
【知识点】反比例函数的图象；比较一次函数值的大小；二次函数y=ax²+bx+c的图象
【解析】【解答】易知-1<1<3，A为一次函数且y随x的增大而增大，y1B为反比例函数，且在x>0时，y随x的增大而减小且函数值大于0，0C为反比例函数，且x>0时，y随x的增大而增大，y3>y2，不符合题意；
D为二次函数，且关于y轴对称，当x=-1和x=1时，y1=y2，不符合题意；
答案：B.
【分析】分别根据各选项中一次函数、二次函数、反比例函数的性质比较大小，即可.
7．【答案】C
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；二次函数与一次函数的综合应用
【解析】【解答】解：设经过与两点的直线l的解析式为，
代入得，，解得k=-1，
∴直线l的解析式为y=-x+a+b，
与二次函数联立则有：，
整理得：，
∴，
∴当且仅当-8a>0时，，
即a<0时，，直线l与二次函数有两个交点.
故答案为：C.
【分析】根据已知条件用ab表示直线l的解析式，将交点个数问题转化为联立方程组后解的个数问题，即判别式正负问题，其中为判断判别式的正负故采用主元配方法进行配凑分析得出结果.
8．【答案】A
【知识点】二次函数的最值；二次函数y=ax²+bx+c的性质
【解析】【解答】解：由两函数表达式可知，
函数的对称轴 为，
函数的对称轴为，
∵两函数图象均有最小值，则二次函数开口向上，
∴，且两函数均在对称轴上取到最小值，
则有，，
A、若，则有，即，
解得：或（舍去），
当时，则，
，故符合题意；
B、若，则有，即，
解得：或，
当时，则，
，
当时，则，
，但不一定为0，故不符合题意；
C、若，则有，
当时，才有，才有，故不符合题意；
D、若，则有，
当且仅当时，才有，
此时，则，与题干矛盾，故不符合题意；
故答案为：A.
【分析】依据二次函数的图象和性质得出，存在最小值，再利用二次函数的对称轴求出二次函数最小值，结合选项条件，列出方程求解逐一判断即可．
9．【答案】A
【知识点】二次函数图象与系数的关系；一次函数图象、性质与系数的关系
【解析】【解答】解：由二次函数的解析式可知，二次函数图象经过原点，则只有选项A，D符合，B，C不符合舍去；
A、由二次函数y=ax2+bx的图象得a＞0，再根据>0得到b＜0，则一次函数y=ax+b经过第一、三、四象限，所以A选项正确；
D、由二次函数y=ax2+bx的图象得a＜0，再根据<0得到b＜0，则一次函数y=ax+b经过第二、三、四象限，所以D选项错误.
故答案为：A.
【分析】二次函数y=ax2+bx，当a>0时，图象开口向上，当a<0时，图象开口向下，对称轴为直线x=，其图象过原点；y=ax+b（a≠0），当a>0，b>0时，图象过一、二、三象限；当a>0，b<0时，图象过一、三、四象限；当a<0，b>0时，图象过一、二、四象限；当a<0，b<0时，图象过二、三、四象限.
10．【答案】B
【知识点】二次函数与一次函数的综合应用；二次函数y=ax²+bx+c的图象；二次函数y=ax²+bx+c的性质；二次函数与一元二次方程的综合应用
【解析】【解答】解：①当时，，
∴抛物线的对称轴为y轴，
此抛物线图象关于y轴对称，①正确；
②∵，
∴抛物线开口向上，对称轴为直线，
∵点，点在此函数图象上，且，
∴，②错误；
）③则令，
整理得，
∴
解得，③错误；
④∵
∴顶点为，
∴抛物线的顶点在直线上，
∵直线与直线平行，
∴此抛物线的顶点到直线的距离都相等．
设直线交x轴于A，交y轴于B，点O到 的距离为，
则，
∴
∵
∴
∴，
∴两直线间的距离为，④正确；
故答案为：B
【分析】根据二次函数的图象结合题意求出其对称轴即可判断①；根据两个点到对称轴的距离结合题意即可判断②；令，进而根据二次函数与坐标轴的交点结合一元二次方程的判别式求出m即可判断③；根据二次函数的顶点坐标得到二次函数的顶点在直线上，进而即可得到直线与直线平行，再根据两个一次函数之间的距离结合题意即可判断④．
11．【答案】15
【知识点】二次函数的其他应用
【解析】【解答】解：把y=9代入 得
9=0.04x2，
解得x=±15（舍负）
故答案为：15.
【分析】把y=9代入 ，即可求出x的值，即速度.
12．【答案】
【知识点】列二次函数关系式；二次函数的实际应用-几何问题
【解析】【解答】解：由题意得：两个矩形同高，且面积比=1：2，故较大矩形的宽为2x.
所以两个矩形的长可以表示为：(m).
设养殖长总面积为y，则.
∵0∴.
∴时，有最大值，
最大养殖总面积为：m2.
故答案为：.
【分析】根据两个矩形的面积关系得到大矩形的宽以及两个矩形的长，从而可以表示出矩形养殖场总面积的函数表达式，根据二次函数的性质以及自变量的取值范围确定最大值即可.
13．【答案】
【知识点】二次函数的实际应用-拱桥问题
【解析】【解答】解：由题意得
，
解得：，，
．
故答案为：．
【分析】先根据题意得到，进而即可求出，，再相减即可求解。
14．【答案】或
【知识点】一次函数图象、性质与系数的关系；二次函数与一次函数的综合应用；二次函数y=ax²+bx+c的图象；二次函数y=ax²+bx+c的性质
【解析】【解答】且 ，
该函数过点（-4，-2），
且 ，
该函数过（-5，0），（1，0）
当a<0时，无论k为何值，函数和的图象总有公共点，
a<0符合题意；
当a>0时，无论k为何值，函数和的图象总有公共点，
x=-4时，可得
解得
符合题意；
无论为何值，函数和的图象总有公共点，则的取值范围为或 .
【分析】根据求得其过定点（-4，-2），根据求得其过定点（-5，0），（1，0），利用数形结合以及分两种情况进行讨论，从而求解.
15．【答案】﹣3≤b＜0或b＝1
【知识点】二次函数与一次函数的综合应用
【解析】【解答】解：①当b＞0时，
抛物线与y＝2x只有一个交点，则联立二次函数与y＝2x并整理得：x2﹣2x+b＝0，
△＝4﹣4b＝0，解得：b＝1；
②当b＝0时，
则抛物线与正比例函数交点为（0，0）和（2，0），即两个交点，不符合题意；
③当b＜0时，
当x＝﹣1时，y＝2x＝﹣2，
临界点为（﹣1，﹣2），
将（﹣1，﹣2）代入y＝x2+b得：﹣2＝1+b，解得：b＝3，
此时抛物线不过（2，4）点，
故﹣3≤b＜0；
【分析】分b＞0、b＝0、b＜0三种情况，确定临界点即可求解．
16．【答案】③④⑤
【知识点】二次函数图象与系数的关系；二次函数y=ax²+bx+c的性质
【解析】【解答】由题意可得：
函数图象开口朝下，则a<0
当x=0时，图象交y轴正半轴，则c>0
对称轴，即b=-2a>0
∴abc<0，①错误；
当x=-1时，函数图象在x轴下方，则y=a-b+c<0
∴b>a+c，②错误；
当x=2时，函数图象在x轴上方，则y=4a+2b+c>0，③正确
由①②可知b=-2a且b>a+c
∴2c<3b，④正确
当x=1时，
当x=m时，
∵m≠1
∴
∴，⑤正确
故答案为：③④⑤
【分析】根据二次函数的系数与图象的关系，结合二次函数的额性质逐项进行判断即可求出答案.
17．【答案】解：
【知识点】待定系数法求二次函数解析式
【解析】【解答】二次函数的图象经过点和，
解得
这个二次函数的表达式为 ，
【分析】利用待定系数法将点和，代入二次函数表达式求得a、c得值，从而求解.
18．【答案】（1）解：依题意得（x﹣40）（﹣2x+400）＝5600，
整理得：x2﹣240x+10800＝0，
解得x＝60或180，
∵物价局规定，该头盔最高售价不得超过100元，
∴x＝180不合题意舍去，
答：当售价为60元时，利润达到5600元．
（2）解：设利润为W元，则W＝（x﹣40）（﹣2x+400）＝﹣2（x﹣120）2+12800，
∵40×（1+80%）＝72，
x≤72，
∵﹣2＜0，
∴当x＝72时，W最大＝8192，
答：售价定为72元时，月销售利润最大为8192元．
【知识点】一元二次方程的实际应用-销售问题；二次函数的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1）根据利润=（售价-进价）×销售量，列一元二次方程，因式分解法解方程即可；
（2）根据获利不得高于进价的80% 列代数式，求出售价的取值范围；将二次函数化为顶点式，即可求出最值.
19．【答案】（1）解：①当时，则．
代入，
得，
解得；
②∵抛物线的对称轴为直线，
∴点关于直线对称的点为．
∵段抛物线可以看作是由段抛物线向左平移得到． ·
∴
∴点A，B之间的距离为；
（2）解：设点，
∵落点A和落点C重合，
∴．
根据题意，设段抛物线的解析式为，
抛物线在线段的中点时有最高点，此时该中点的横坐标为．
∴，
即，解得，
∴此时段抛物线的解析式为，
令，得，即．
∴当时，落点C恰好与落点A重合．
【知识点】二次函数y=ax²+bx+c的性质；二次函数的实际应用-抛球问题
【解析】【分析】（1）①由得到，代入即可求解；
②设出P点关于抛物线对称轴对称的点Q，根据题意可知，，即可求解.
（2）设点，由落点A和落点C重合，得到，得到段抛物线的解析式为，由BC段最大高度为，即可算出，得出段抛物线的解析式为后，求出图象与y轴交点坐标，即可解答．
20．【答案】问题1：2，8
问题2：2，6
解：问题3：设学校学生人数为x人，
则生均投入===，
由（），解得x=700，
所以x=700时，有最小值为=1400，
故当x=700时，生均投入的最小值为10+0.01×1400=24元．
【知识点】反比例函数的实际应用；二次函数的其他应用
【解析】【解答】解：问题1：（），解得x=2，x=2时，有最小值为=4，
故当x=2时，周长的最小值为2×4=8；
故答案为：2，8；
问题2：∵（），（），
∴=，
由，解得x=2，
∴x=2时，有最小值为=6；
故答案为：2，6；
【分析】问题1：由阅读2得到的范围，进一步得到周长的最小值；
问题2：把变形为，由阅读2得到的范围，进一步即可求解；
问题3：可设学校学生人数为x人，根据生均投入=支出总费用÷学生人数，列出代数式，再由阅读2得到范围，从而求解．
21．【答案】（1）解：此次试跳达标
理由如下：
由题意得：抛物线经过点，对称轴为
可得
解析式为
令，则
此运动员落地达标；
（2）解：由表格数据可知，与的乘积相等，所以与成反比例函数关系．
设
将代入得，解得，
．
将代入验证：当时，成立
能相当精确地反映与的关系，即为所求的函数表达式．
②由题意可知，当运动员刚好达标即是抛物线刚好经过基准点
将和分别代入
得，．
由得，
又．
答：当滑出速度为时，运动员的成绩恰好能达标．
【知识点】反比例函数的实际应用；二次函数图象与系数的关系；待定系数法求二次函数解析式；二次函数的其他应用
【解析】【分析】（1）根据二次函数上点的性质和对称轴与系数的关系，列方程组，即可求出二次函数的解析式；将x=30 代入函数，即可求出此时y的值；
（2）①根据待定系数法求解反比例函数，将已知点的坐标代入反比例函数，即可求出a和v2的函数关系；
②根据待定系数法求解二次函数，将点（30，5）和（0，45）代入二次函数，列二元一次方程组，即可求出此时二次函数的解析式，即可得a的值；将a代入反比例函数即可求出此时v的值.
22．【答案】4,2,4,,42
（1）4；2；4；
（2）解：设直线的解析式为，点P的坐标为，
∴，
令y相等，则，设两根为，，则，，
∴，
∴点关于抛物线的“”系数为；
（3）42
【知识点】二次函数y=ax²+bx+c的性质；二次函数的其他应用
【解析】【解答】解：【理解】①∵点的坐标是，
∴点关于轴的铅垂高是，
令，则，解得或，
∴点关于轴的左水平宽是2，点关于轴的右水平宽是4，
故答案为：，2，4；
②∵点的横坐标是时，
∴点关于轴的铅垂高是，点关于轴的左水平宽是，点关于轴的右水平宽是，
则“”系数是，
故答案为：；
【应用】设相邻栏杆的距离为，则点A的坐标为，点B的坐标为，
∴，
解得：，
故答案为：42．
【分析】【理解】①令y=0求出x的值，再根据新定义计算即可；②根据新定义直接计算即可；
【探究】设直线的解析式为y=m，设两根为，，根据根于系数的关系得到，，然后根据“”系数的定义计算即可；
【应用】设相邻栏杆的距离为m，确定点B的坐标，根据“探究”的结论计算即可．
23．【答案】（1）解：∵抛物线y＝ax2+bx﹣4（a≠0）与x轴交于点A（﹣2，0）和B（4，0），
∴，
解得：，
∴该抛物线的解析式为y＝x2﹣x﹣4；
（2）解：在y＝x2﹣x﹣4中，令x＝0，得y＝﹣4，
∴C（0，﹣4），
设直线BC的解析式为y＝kx+c，则.
解得：，
∴直线BC的解析式为y＝x﹣4，
设P（t，t2﹣t﹣4），则M（t，t﹣4），
∴PM＝t﹣4﹣（t2﹣t﹣4）＝﹣t2+2t，
∵PM＝﹣t2+2t＝-（t﹣2）2+2，﹣＜0，
∴当t＝2时，PM取得最大值2，此时点M的坐标为（2，﹣2）；
（3）解：①如图1，∵P（t，t2﹣t﹣4），M（t，t﹣4），N（t，0），B（4，0），C（0，﹣4），CH⊥PN，
∴BN＝4﹣t，MN＝4﹣t，CH＝t，MH＝t﹣4﹣（﹣4）＝t，
∵S△BMN＝9S△CHM，
∴×（4﹣t）2＝9×t2，
解得：t1＝1，t2＝﹣2，
∵点P是线段BC下方抛物线上的一个动点，
∴0＜t＜4，
∴t＝1，
∴P（1，﹣）；
②存在点Q使得△CPQ为直角三角形，设Q（0，m），
∵C（0，﹣4），P（1，﹣），
∴CP2＝（1﹣0）2+（﹣+4）2＝，CQ2＝（﹣4﹣m）2，PQ2＝12+（﹣﹣m）2，∠PCQ≠90°，
当∠CQP＝90°时，如图2，PQ⊥y轴，
∴Q（0，﹣）；
当∠CPQ＝90°时，如图3，
在Rt△CPQ中，CP2+PQ2＝CQ2，
∴+12+（﹣﹣m）2＝（﹣4﹣m）2，
解得：m＝﹣，
∴Q（0，﹣）；
综上所述，点Q的坐标为（0，﹣）或（0，﹣）．
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；三角形的面积；二次函数与一次函数的综合应用；直角三角形的性质；二次函数y=ax²+bx+c的图象；二次函数y=ax²+bx+c的性质
【解析】【分析】（1）把点A（﹣2，0）和B（4，0）代入y＝ax2+bx﹣4，利用待定系数法即可求得解析式；
（2）运用待定系数法求得直线的解析式为，设，则，可得，运用二次函数的性质求出最值，即可得到答案；
（3）①根据题意S△BMN＝9S△CHM，得×（4﹣t）2＝9×t2，求解即可得出答案；
②存在点Q使得△CPQ为直角三角形，设Q（0，m），根据，分两种情况：当时，当时，分别利用勾股定理求得点Q的坐标即可．
24．【答案】（1）解：∵抛物线与轴交于两点（A点在B点的左侧），与y轴交于点C，连接AC，BC，A点的坐标是（，0），
∴令，则，
将点代入得
解得
则抛物线的解析式为
（2）解：点P是抛物线上的一个动点，其横坐标为m，且m>0．
点Q是直线AC上的一个动点，且位于x轴的上方，PQ∥y轴
点在点上方，
，，设直线的解析式为
解得
直线的解析式为
设，则
抛物线的解析式为
对称轴为，顶点坐标为，
根据对称性可得
设矩形的周长为，
①当时，，不能构成矩形，
②当时，
则
当时，
③当时，
则
对称轴为
则当时，不存在最小值
综上所述，矩形的周长的最小值为
（3）解：①当0＜0m≤1时，h=-m2+2m+3-3=-m2+2m；
当1＜m≤2时，h=4-3=1；
当m＞2时，h=4-（-m2+2m+3）=m2-2m+1；
②当h=16时，m2-2m+1=16，
解得m=5或m=-3（舍），
∴P（5，-12），
过点P作PQ⊥x轴交直线BC与点Q，
令y=0，则-x2+2x+3=0，
解得x=-1或x=3，
∴B（3，0），
设直线BC的解析式为y=k'x+b'，
∴y=-x+3，
∴Q（5，-2），
∴PQ=10，
∴S△PCB=S△CPQ-S△BPQ=×5×10-×10×2=25-10=15．
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数与一次函数的综合应用；二次函数的实际应用-几何问题
【解析】【分析】（1）求出点C的坐标，根据待定系数法即可得到答案；
（2）求出直线的解析式为，设，则，求出，，设矩形的周长为，分情况讨论，得到当时， ，矩形的周长有最小值，即可得到答案；
（3）①分情况讨论，当0＜0m≤1，h=-m2+2m；当1＜m≤2时，h=4-3=1；当m＞2时，h=m2-2m+1，即可求解；
②求出点P的坐标为(5，-12)，过点P作PQ⊥x轴交直线BC与点Q，求出直线BC的解析式为y=-x+3，得到点Q的坐标为(5，-2)，得到PQ=10，根据S△PCB=S△CPQ-S△BPQ即可得到答案.
1 / 12024-2025学年浙教版数学九上第1章 二次函数 二阶单元测试卷
一、选择题（本题有10小题，每小题3分，共30分）
1．（2024·包头）将抛物线y＝x2+2x向下平移2个单位后，所得新抛物线的顶点式为（ ）
A．y＝（x+1）2﹣3 B．y＝（x+1）2﹣2
C．y＝（x﹣1）2﹣3 D．y＝（x﹣1）2﹣2
【答案】A
【知识点】二次函数图象的几何变换
【解析】【解答】解：∵y＝x2+2x=(x+1)2-1，
∴将抛物线y＝x2+2x向下平移2个单位后，所得新抛物线的顶点式为y=(x+1)2-1-2=(x+1)2-3.
故答案为：A.
【分析】首先利用配方法将抛物线的解析式配成顶点式，然后根据抛物线的平移规律“左加右减，上加下减”可直接得出答案.
2．（2024·南充模拟）若，，是抛物线上不同三点，则的值为( )
A． B． C． D．不确定
【答案】A
【知识点】二次函数y=ax²+bx+c的性质
【解析】【解答】解：∵抛物线解析式为
∴抛物线的对称轴为直线x=-1
∵，关于直线x=-1对称
∴
∴a+b=-2
将x=2代入抛物线解析式可得：
解得：n=3
故答案为：A
【分析】求出抛物线对称轴，根据点A，B纵坐标相同，则横坐标关于x=-1对称，可求出a+b的值，再代入抛物线解析式即可求出答案.
3．（2020九上·袁州期中）已知函数 ，下列结论正确的是（ ）
A．函数图象过点
B．函数图象与 轴无交点
C．当 时， 随 的增大而减小
D．当 时， 随 的增大而减小
【答案】D
【知识点】二次函数y=ax²+bx+c的图象；二次函数y=ax²+bx+c的性质
【解析】【解答】解：A、当x=-1时， =1+2﹣1=2，函数图象过点（-1，2），此选项不符合题意；
B、∵△=（﹣2）2﹣4×1×（﹣1）=8＞0，
∴函数图象与x轴有两个交点，
故此选项不符合题意；
C、∵ =（x﹣1）2﹣2，且1＞0，
∴当x≥1时，y随x的增大而增大，
故此选项不符合题意；
D、当x≤1，时，y随x的增大而减小，此选项符合题意，
故答案为：D．
【分析】将二次函数一般式换成顶点式，再根据二次函数的性质及草图逐项判定即可。
4．（2024·嘉兴三模）在平面直角坐标系中，直线与抛物线相交于，，且，则下列说法正确的是（ ）
A．若a＝1－c，m有最大值 B．若a＝1－c，m有最小值
C．若，m有最大值 D．若，m有最小值
【答案】D
【知识点】二次函数与一次函数的综合应用；二次函数y=ax²+bx+c的性质
【解析】【解答】解：联立，可得x2-kx+m=0，
∵ 直线与抛物线相交于， ，
∴a、c是方程x2-kx+m=0的两根，
∴a+c=k，ac=-m，
当a＝1－c时，则1-c+c=k，
∴k=1，
则m=-ac=-(1-c)c=c2-c=（c-）2-，
∴当c=时，m得最小值为-，
由m=-ac，则-=-a，解得a=，
∴a=c，
∵， 故A、B错误，不符合题意；
当时，则1-c+c=k，
∴k=c+1，
则m=-ac=-(1-c)c=c2-c=（c-1）2-，
∴当c=时，m得最小值为-，故C错误，D正确.
故答案为：D.
【分析】 联立直线与抛物线为方程组，可得x2-kx+m=0，利用根与系数的关系可得a+c=k，ac=-m，分两种情况：当a＝1－c时和当时，分别得出m关于c的二次函数，利用二次函数的性质及进解答即可.
5．（2023九下·杭州月考）已知二次函数（a为实数，且），对于满足的任意一个x的值，都有，则的最大值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】二次函数的最值；二次函数图象与坐标轴的交点问题
【解析】【解答】解：对于二次函数，令，则，
∴该二次函数经过点.
∵该二次函数对称轴为直线，且，
∴，
∴对称轴在y轴右侧.
∴画出大致图象如图.
∵对于满足的任意一个x的值，都有，
∴当时，有最大值3，
∴，
解得：，
∴该二次函数解析式为.
由图可知当时，有最小值，
∴，
解得：或，
∵，
∴，即的最大值为.
故答案为：B.
【分析】令x=0，求出y的值，可得图象与y轴的交点坐标，根据二次函数解析式可得对称轴为直线x=，结合a<0可得>0，则对称轴在y轴右侧，画出函数的大致图象，由题意可得当x=时，y有最大值3，代入求解可得a的值，据此可得该二次函数的解析式，由图可知当x=x0时，y有最小值-3，代入求出x0的值，据此解答.
6．（2024·金华模拟）已知点在下列某一函数图象上，且，那么这个函数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】反比例函数的图象；比较一次函数值的大小；二次函数y=ax²+bx+c的图象
【解析】【解答】易知-1<1<3，A为一次函数且y随x的增大而增大，y1B为反比例函数，且在x>0时，y随x的增大而减小且函数值大于0，0C为反比例函数，且x>0时，y随x的增大而增大，y3>y2，不符合题意；
D为二次函数，且关于y轴对称，当x=-1和x=1时，y1=y2，不符合题意；
答案：B.
【分析】分别根据各选项中一次函数、二次函数、反比例函数的性质比较大小，即可.
7．（2024·杭州模拟）在平面直角坐标系中有与两点()，关于过两点的直线与二次函数图象的交点个数判定，哪项为真命题（ ）
A．只有b>0，才一定有两交点 B．只有b<0，才一定有两交点
C．只有a<0，才一定有两交点 D．只有a>0，才一定有两交点
【答案】C
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；二次函数与一次函数的综合应用
【解析】【解答】解：设经过与两点的直线l的解析式为，
代入得，，解得k=-1，
∴直线l的解析式为y=-x+a+b，
与二次函数联立则有：，
整理得：，
∴，
∴当且仅当-8a>0时，，
即a<0时，，直线l与二次函数有两个交点.
故答案为：C.
【分析】根据已知条件用ab表示直线l的解析式，将交点个数问题转化为联立方程组后解的个数问题，即判别式正负问题，其中为判断判别式的正负故采用主元配方法进行配凑分析得出结果.
8．（2024·路桥二模）已知二次函数（为常数，）的最小值分别为，（ ）
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则
【答案】A
【知识点】二次函数的最值；二次函数y=ax²+bx+c的性质
【解析】【解答】解：由两函数表达式可知，
函数的对称轴 为，
函数的对称轴为，
∵两函数图象均有最小值，则二次函数开口向上，
∴，且两函数均在对称轴上取到最小值，
则有，，
A、若，则有，即，
解得：或（舍去），
当时，则，
，故符合题意；
B、若，则有，即，
解得：或，
当时，则，
，
当时，则，
，但不一定为0，故不符合题意；
C、若，则有，
当时，才有，才有，故不符合题意；
D、若，则有，
当且仅当时，才有，
此时，则，与题干矛盾，故不符合题意；
故答案为：A.
【分析】依据二次函数的图象和性质得出，存在最小值，再利用二次函数的对称轴求出二次函数最小值，结合选项条件，列出方程求解逐一判断即可．
9．（2021九上·郑州月考）一次函数与二次函数在同一坐标系中的图象大致为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】二次函数图象与系数的关系；一次函数图象、性质与系数的关系
【解析】【解答】解：由二次函数的解析式可知，二次函数图象经过原点，则只有选项A，D符合，B，C不符合舍去；
A、由二次函数y=ax2+bx的图象得a＞0，再根据>0得到b＜0，则一次函数y=ax+b经过第一、三、四象限，所以A选项正确；
D、由二次函数y=ax2+bx的图象得a＜0，再根据<0得到b＜0，则一次函数y=ax+b经过第二、三、四象限，所以D选项错误.
故答案为：A.
【分析】二次函数y=ax2+bx，当a>0时，图象开口向上，当a<0时，图象开口向下，对称轴为直线x=，其图象过原点；y=ax+b（a≠0），当a>0，b>0时，图象过一、二、三象限；当a>0，b<0时，图象过一、三、四象限；当a<0，b>0时，图象过一、二、四象限；当a<0，b<0时，图象过二、三、四象限.
10．（2024·宁波模拟）已知二次函数y＝x2﹣2mx+m2+2m﹣4，下列说法中正确的个数是（ ）
①当m＝0时，此抛物线图象关于y轴对称；
②若点A（m﹣2，y1），点B（m+1，y2）在此函数图象上，则y1＜y2；
③若此抛物线与直线y＝x﹣4有且只有一个交点，则；
④无论m为何值，此抛物线的顶点到直线y＝2x的距离都等于．
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【知识点】二次函数与一次函数的综合应用；二次函数y=ax²+bx+c的图象；二次函数y=ax²+bx+c的性质；二次函数与一元二次方程的综合应用
【解析】【解答】解：①当时，，
∴抛物线的对称轴为y轴，
此抛物线图象关于y轴对称，①正确；
②∵，
∴抛物线开口向上，对称轴为直线，
∵点，点在此函数图象上，且，
∴，②错误；
）③则令，
整理得，
∴
解得，③错误；
④∵
∴顶点为，
∴抛物线的顶点在直线上，
∵直线与直线平行，
∴此抛物线的顶点到直线的距离都相等．
设直线交x轴于A，交y轴于B，点O到 的距离为，
则，
∴
∵
∴
∴，
∴两直线间的距离为，④正确；
故答案为：B
【分析】根据二次函数的图象结合题意求出其对称轴即可判断①；根据两个点到对称轴的距离结合题意即可判断②；令，进而根据二次函数与坐标轴的交点结合一元二次方程的判别式求出m即可判断③；根据二次函数的顶点坐标得到二次函数的顶点在直线上，进而即可得到直线与直线平行，再根据两个一次函数之间的距离结合题意即可判断④．
二、填空题（本题有6小题，每小题4分，共24分）
11．（2024九上·嘉兴期末）某车的刹车距离与开始刹车时的速度满足二次函数，若该车某次的刹车距离为，则开始刹车时的速度为 ．
【答案】15
【知识点】二次函数的其他应用
【解析】【解答】解：把y=9代入 得
9=0.04x2，
解得x=±15（舍负）
故答案为：15.
【分析】把y=9代入 ，即可求出x的值，即速度.
12．（2024·浙江模拟）某农场拟建一个矩形养殖场，该矩形养殖场一面靠墙(墙的长度为10m，不超出墙)，另外三面用棚栏围成，中间再用棚栏把它分成两个面积为1：2的矩形.已知棚栏的总长度为10m，设较小矩形的宽为，则矩形养殖场总面积的最大值为 .
【答案】
【知识点】列二次函数关系式；二次函数的实际应用-几何问题
【解析】【解答】解：由题意得：两个矩形同高，且面积比=1：2，故较大矩形的宽为2x.
所以两个矩形的长可以表示为：(m).
设养殖长总面积为y，则.
∵0∴.
∴时，有最大值，
最大养殖总面积为：m2.
故答案为：.
【分析】根据两个矩形的面积关系得到大矩形的宽以及两个矩形的长，从而可以表示出矩形养殖场总面积的函数表达式，根据二次函数的性质以及自变量的取值范围确定最大值即可.
13．（2024·南昌模拟）如图，这是某市文化生态园中抛物线型拱桥及其示意图，已知抛物线型拱桥的函数表达式为，为了美化拱桥夜景，拟在该拱桥上距水面（AB）6m处安装夜景灯带EF，则夜景灯带EF的长是 m．
【答案】
【知识点】二次函数的实际应用-拱桥问题
【解析】【解答】解：由题意得
，
解得：，，
．
故答案为：．
【分析】先根据题意得到，进而即可求出，，再相减即可求解。
14．（2024九上·朝阳期末）已知函数（是常数，），（是常数，），在同一平面直角坐标系中，若无论为何值，函数和的图象总有公共点，则的取值范围是 ．
【答案】或
【知识点】一次函数图象、性质与系数的关系；二次函数与一次函数的综合应用；二次函数y=ax²+bx+c的图象；二次函数y=ax²+bx+c的性质
【解析】【解答】且 ，
该函数过点（-4，-2），
且 ，
该函数过（-5，0），（1，0）
当a<0时，无论k为何值，函数和的图象总有公共点，
a<0符合题意；
当a>0时，无论k为何值，函数和的图象总有公共点，
x=-4时，可得
解得
符合题意；
无论为何值，函数和的图象总有公共点，则的取值范围为或 .
【分析】根据求得其过定点（-4，-2），根据求得其过定点（-5，0），（1，0），利用数形结合以及分两种情况进行讨论，从而求解.
15．（2020·瑶海模拟）如果二次函数y＝x2+b（b为常数）与正比例函数y＝2x的图象在﹣1≤x≤2时有且只有一个公共交点，那么常数b的值应为 ．
【答案】﹣3≤b＜0或b＝1
【知识点】二次函数与一次函数的综合应用
【解析】【解答】解：①当b＞0时，
抛物线与y＝2x只有一个交点，则联立二次函数与y＝2x并整理得：x2﹣2x+b＝0，
△＝4﹣4b＝0，解得：b＝1；
②当b＝0时，
则抛物线与正比例函数交点为（0，0）和（2，0），即两个交点，不符合题意；
③当b＜0时，
当x＝﹣1时，y＝2x＝﹣2，
临界点为（﹣1，﹣2），
将（﹣1，﹣2）代入y＝x2+b得：﹣2＝1+b，解得：b＝3，
此时抛物线不过（2，4）点，
故﹣3≤b＜0；
【分析】分b＞0、b＝0、b＜0三种情况，确定临界点即可求解．
16．（2023九上·昌平期中）二次函数的图象如图所示，有下列5个结论：
①；②；③；④；⑤（的实数）.
其中正确的结论有 （填序号）.
【答案】③④⑤
【知识点】二次函数图象与系数的关系；二次函数y=ax²+bx+c的性质
【解析】【解答】由题意可得：
函数图象开口朝下，则a<0
当x=0时，图象交y轴正半轴，则c>0
对称轴，即b=-2a>0
∴abc<0，①错误；
当x=-1时，函数图象在x轴下方，则y=a-b+c<0
∴b>a+c，②错误；
当x=2时，函数图象在x轴上方，则y=4a+2b+c>0，③正确
由①②可知b=-2a且b>a+c
∴2c<3b，④正确
当x=1时，
当x=m时，
∵m≠1
∴
∴，⑤正确
故答案为：③④⑤
【分析】根据二次函数的系数与图象的关系，结合二次函数的额性质逐项进行判断即可求出答案.
三、解答题（本题共8小题，第17题6分，第18题7分，第19题7分，第20题6分，第21题8分，第22题10分，第23题10分，第24题12分，共66分）
17．（2023九下·云岩月考） 已知二次函数的图象经过点和，求这个二次函数的表达式．
【答案】解：
【知识点】待定系数法求二次函数解析式
【解析】【解答】二次函数的图象经过点和，
解得
这个二次函数的表达式为 ，
【分析】利用待定系数法将点和，代入二次函数表达式求得a、c得值，从而求解.
18．（2023九上·福州月考）一人一盔安全守规，一人一戴平安常在，某电动自行车配件店经市场调查，发现进价为40元的新款头盔每月的销售量y（件）与售价x（元）成一次函数关系y＝﹣2x+400．
（1）若物价局规定，该头盔最高售价不得超过100元，当售价为多少元时，利润达到5600元；
（2）若获利不得高于进价的80%，那么售价定为多少元时，月销售利润达到最大？最大利润是多少元？
【答案】（1）解：依题意得（x﹣40）（﹣2x+400）＝5600，
整理得：x2﹣240x+10800＝0，
解得x＝60或180，
∵物价局规定，该头盔最高售价不得超过100元，
∴x＝180不合题意舍去，
答：当售价为60元时，利润达到5600元．
（2）解：设利润为W元，则W＝（x﹣40）（﹣2x+400）＝﹣2（x﹣120）2+12800，
∵40×（1+80%）＝72，
x≤72，
∵﹣2＜0，
∴当x＝72时，W最大＝8192，
答：售价定为72元时，月销售利润最大为8192元．
【知识点】一元二次方程的实际应用-销售问题；二次函数的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1）根据利润=（售价-进价）×销售量，列一元二次方程，因式分解法解方程即可；
（2）根据获利不得高于进价的80% 列代数式，求出售价的取值范围；将二次函数化为顶点式，即可求出最值.
19．（2024·路桥二模）有一台乒乓球桌和自动发球机如图1所示，其侧面示意图如图2，发球机出口P到球桌的距离．现以点M为原点，所在直线为x轴建立平面直角坐标系，x（）表示球与点M之间的水平距离，y（）表示球到桌面的高度．在“直发式”和“间发式”两种模式下，球的运动轨迹均近似为抛物线，“直发式”模式下，球从P处发出，落到桌面A处，其解析式为；“间发式”模式下，球从P处发出，先落在桌面B处，再从B处弹起落到桌面C处．两种模式皆在同一高度发球，段抛物线可以看作是由段抛物线向左平移得到．
（1）当时，
①求b的值；
②求点A，B之间的距离；
（2）已知段抛物线的最大高度为，且它的形状与段抛物线相同，若落点C恰好与落点A重合，求a的值．
【答案】（1）解：①当时，则．
代入，
得，
解得；
②∵抛物线的对称轴为直线，
∴点关于直线对称的点为．
∵段抛物线可以看作是由段抛物线向左平移得到． ·
∴
∴点A，B之间的距离为；
（2）解：设点，
∵落点A和落点C重合，
∴．
根据题意，设段抛物线的解析式为，
抛物线在线段的中点时有最高点，此时该中点的横坐标为．
∴，
即，解得，
∴此时段抛物线的解析式为，
令，得，即．
∴当时，落点C恰好与落点A重合．
【知识点】二次函数y=ax²+bx+c的性质；二次函数的实际应用-抛球问题
【解析】【分析】（1）①由得到，代入即可求解；
②设出P点关于抛物线对称轴对称的点Q，根据题意可知，，即可求解.
（2）设点，由落点A和落点C重合，得到，得到段抛物线的解析式为，由BC段最大高度为，即可算出，得出段抛物线的解析式为后，求出图象与y轴交点坐标，即可解答．
20．（2024八下·海珠期中）阅读与应用：
阅读1：a、b为实数，且a＞0，b＞0，因为，所以从而（当a=b时取等号）．
阅读2：若函数；（m＞0，x＞0，m为常数），由阅读1结论可知：，所以当，即时，函数的最小值为．
阅读理解上述内容，解答下列问题：
问题1：已知一个矩形的面积为4，其中一边长为x，则另一边长为，周长为2（），求当x= 时，周长的最小值为 ；
问题2：已知函数（）与函数（），
当x= 时，的最小值为 ；
问题3：某民办学校每天的支出总费用包含以下三个部分：一是教职工工资4900元；二是学生生活费成本每人10元；三是其他费用．其中，其他费用与学生人数的平方成正比，比例系数为0.01．当学校学生人数为多少时，该校每天生均投入最低？最低费用是多少元？（生均投入=支出总费用÷学生人数）
【答案】问题1：2，8
问题2：2，6
解：问题3：设学校学生人数为x人，
则生均投入===，
由（），解得x=700，
所以x=700时，有最小值为=1400，
故当x=700时，生均投入的最小值为10+0.01×1400=24元．
【知识点】反比例函数的实际应用；二次函数的其他应用
【解析】【解答】解：问题1：（），解得x=2，x=2时，有最小值为=4，
故当x=2时，周长的最小值为2×4=8；
故答案为：2，8；
问题2：∵（），（），
∴=，
由，解得x=2，
∴x=2时，有最小值为=6；
故答案为：2，6；
【分析】问题1：由阅读2得到的范围，进一步得到周长的最小值；
问题2：把变形为，由阅读2得到的范围，进一步即可求解；
问题3：可设学校学生人数为x人，根据生均投入=支出总费用÷学生人数，列出代数式，再由阅读2得到范围，从而求解．
21．（2024·葫芦岛模拟）跳台滑雪是冬季奥运会的比赛项目之一，运动员通过助滑道后在点处起跳经空中飞行后落在着陆坡上某处，他在空中飞行的路线可以看作抛物线的一部分．如图是跳台滑雪训练场横截面示意图，这里表示起跳点到地面的距离，，以为坐标原点，以地面的水平线为轴，所在的直线为轴，建立平面直角坐标系．某运动员在处起跳腾空后，在空中飞行过程中，运动员到轴的距离与水平方向移动的距离满足．在着陆坡上设置点作为基准点，点与相距，高度（与距离）为，着陆点在点或超过点视为成绩达标．
（1）若某运动员在一次试跳中飞行的水平距离为时，恰好达到最大高度，试判断他的这次试跳落地点能否达标，说明理由；
（2）研究发现，运动员的运动轨迹与清出速度的大小有关，下表是某运动员7次试跳的与的对应数据：
150 170 190 210 230 250 270
①猜想关于的函数类型，求函数解析式，并任选一对对应值验证；
②当滑出速度为多少时，运动员的成绩刚好能达标？
【答案】（1）解：此次试跳达标
理由如下：
由题意得：抛物线经过点，对称轴为
可得
解析式为
令，则
此运动员落地达标；
（2）解：由表格数据可知，与的乘积相等，所以与成反比例函数关系．
设
将代入得，解得，
．
将代入验证：当时，成立
能相当精确地反映与的关系，即为所求的函数表达式．
②由题意可知，当运动员刚好达标即是抛物线刚好经过基准点
将和分别代入
得，．
由得，
又．
答：当滑出速度为时，运动员的成绩恰好能达标．
【知识点】反比例函数的实际应用；二次函数图象与系数的关系；待定系数法求二次函数解析式；二次函数的其他应用
【解析】【分析】（1）根据二次函数上点的性质和对称轴与系数的关系，列方程组，即可求出二次函数的解析式；将x=30 代入函数，即可求出此时y的值；
（2）①根据待定系数法求解反比例函数，将已知点的坐标代入反比例函数，即可求出a和v2的函数关系；
②根据待定系数法求解二次函数，将点（30，5）和（0，45）代入二次函数，列二元一次方程组，即可求出此时二次函数的解析式，即可得a的值；将a代入反比例函数即可求出此时v的值.
22．（2024·南海模拟）【定义】设抛物线与水平直线交于不重合的两点A、B，过抛物线上点（不同于A、B）作该水平线的垂线，垂足为C．我们把点与点间的距离称为点关于直线的铅垂高，垂足到点和点间的距离分别称为点关于直线的左水平宽和右水平宽，铅垂高与左、右水平宽的乘积的比称为点关于抛物线的“”系数．例如，如图1，抛物线与轴交于点A、B，P是抛物线上一点，轴于点，则PC的长为点关于轴的铅垂高，AC，BC的长为点关于轴的左水平宽与右水平宽，的值称为点关于的“"系数．
（1）【理解】如图2，已知扰物线与轴交于点A、B（点A在点左侧），点是挞物线上一点，轴于点；
①当点的坐标是时，点关于轴的铅垂高是 ，点关于轴的左水平宽是 ，点关于轴的右水平宽是 ；
②当点的横坐标是时，则点关于的“"系数是 ；
（2）【探究】经过探究可以发现，若抛物线与水平直线交于点A、B，点是拋物线上一点，于点，请求出点关于拋物线的“”系数（用含的代数式表示）；
（3）【应用】校门口的隔离栏通常会涂上呈拋物线形状的醒目颜色，如图3，是一个被12根栏杆等分成13等分的矩形隔离栏示意图，其中颜色的分界处（点C，D）以及点A，点落在同一抛物线上，若第4根栏杆涂色部分（CE）的长为，则第6根栏杆涂色部分的长为 ．
【答案】4,2,4,,42
（1）4；2；4；
（2）解：设直线的解析式为，点P的坐标为，
∴，
令y相等，则，设两根为，，则，，
∴，
∴点关于抛物线的“”系数为；
（3）42
【知识点】二次函数y=ax²+bx+c的性质；二次函数的其他应用
【解析】【解答】解：【理解】①∵点的坐标是，
∴点关于轴的铅垂高是，
令，则，解得或，
∴点关于轴的左水平宽是2，点关于轴的右水平宽是4，
故答案为：，2，4；
②∵点的横坐标是时，
∴点关于轴的铅垂高是，点关于轴的左水平宽是，点关于轴的右水平宽是，
则“”系数是，
故答案为：；
【应用】设相邻栏杆的距离为，则点A的坐标为，点B的坐标为，
∴，
解得：，
故答案为：42．
【分析】【理解】①令y=0求出x的值，再根据新定义计算即可；②根据新定义直接计算即可；
【探究】设直线的解析式为y=m，设两根为，，根据根于系数的关系得到，，然后根据“”系数的定义计算即可；
【应用】设相邻栏杆的距离为m，确定点B的坐标，根据“探究”的结论计算即可．
23．（2024九下·龙湖模拟）抛物线y＝ax2+bx﹣4（a≠0）与x轴交于点A（﹣2，0）和B（4，0），与y轴交于点C，连接BC．点P是线段BC下方抛物线上的一个动点（不与点B，C重合），过点P作y轴的平行线交BC于M，交x轴于N，设点P的横坐标为t．
（1）求该抛物线的解析式；
（2）用关于t的代数式表示线段PM，求PM的最大值及此时点M的坐标；
（3）过点C作CH⊥PN于点H，S△BMN＝9S△CHM，
①求点P的坐标；
②连接CP，在y轴上是否存在点Q，使得△CPQ为直角三角形，若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）解：∵抛物线y＝ax2+bx﹣4（a≠0）与x轴交于点A（﹣2，0）和B（4，0），
∴，
解得：，
∴该抛物线的解析式为y＝x2﹣x﹣4；
（2）解：在y＝x2﹣x﹣4中，令x＝0，得y＝﹣4，
∴C（0，﹣4），
设直线BC的解析式为y＝kx+c，则.
解得：，
∴直线BC的解析式为y＝x﹣4，
设P（t，t2﹣t﹣4），则M（t，t﹣4），
∴PM＝t﹣4﹣（t2﹣t﹣4）＝﹣t2+2t，
∵PM＝﹣t2+2t＝-（t﹣2）2+2，﹣＜0，
∴当t＝2时，PM取得最大值2，此时点M的坐标为（2，﹣2）；
（3）解：①如图1，∵P（t，t2﹣t﹣4），M（t，t﹣4），N（t，0），B（4，0），C（0，﹣4），CH⊥PN，
∴BN＝4﹣t，MN＝4﹣t，CH＝t，MH＝t﹣4﹣（﹣4）＝t，
∵S△BMN＝9S△CHM，
∴×（4﹣t）2＝9×t2，
解得：t1＝1，t2＝﹣2，
∵点P是线段BC下方抛物线上的一个动点，
∴0＜t＜4，
∴t＝1，
∴P（1，﹣）；
②存在点Q使得△CPQ为直角三角形，设Q（0，m），
∵C（0，﹣4），P（1，﹣），
∴CP2＝（1﹣0）2+（﹣+4）2＝，CQ2＝（﹣4﹣m）2，PQ2＝12+（﹣﹣m）2，∠PCQ≠90°，
当∠CQP＝90°时，如图2，PQ⊥y轴，
∴Q（0，﹣）；
当∠CPQ＝90°时，如图3，
在Rt△CPQ中，CP2+PQ2＝CQ2，
∴+12+（﹣﹣m）2＝（﹣4﹣m）2，
解得：m＝﹣，
∴Q（0，﹣）；
综上所述，点Q的坐标为（0，﹣）或（0，﹣）．
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；三角形的面积；二次函数与一次函数的综合应用；直角三角形的性质；二次函数y=ax²+bx+c的图象；二次函数y=ax²+bx+c的性质
【解析】【分析】（1）把点A（﹣2，0）和B（4，0）代入y＝ax2+bx﹣4，利用待定系数法即可求得解析式；
（2）运用待定系数法求得直线的解析式为，设，则，可得，运用二次函数的性质求出最值，即可得到答案；
（3）①根据题意S△BMN＝9S△CHM，得×（4﹣t）2＝9×t2，求解即可得出答案；
②存在点Q使得△CPQ为直角三角形，设Q（0，m），根据，分两种情况：当时，当时，分别利用勾股定理求得点Q的坐标即可．
24．（2024九下·谷城月考） 如图，抛物线与轴交于两点（A点在B点的左侧），与y轴交于点C，连接AC，BC，A点的坐标是（，0），点P是抛物线上的一个动点，其横坐标为m，且m>0．
（1）求此抛物线的解析式；
（2）若点Q是直线AC上的一个动点，且位于x轴的上方，当PQ∥y轴时，作PM⊥PQ，交抛物线于点M（点M在点P的右侧），以PQ，PM为邻边构造矩形PQNM，求该矩形周长的最小值；
（3）设抛物线在点C与点P之间的部分（含点C和P）最高点与最低点的纵坐标之差为h．
①求h关于m的函数解析式，并写出自变量m的取值范围；
②当h=16时，直接写出△BCP的面积．
【答案】（1）解：∵抛物线与轴交于两点（A点在B点的左侧），与y轴交于点C，连接AC，BC，A点的坐标是（，0），
∴令，则，
将点代入得
解得
则抛物线的解析式为
（2）解：点P是抛物线上的一个动点，其横坐标为m，且m>0．
点Q是直线AC上的一个动点，且位于x轴的上方，PQ∥y轴
点在点上方，
，，设直线的解析式为
解得
直线的解析式为
设，则
抛物线的解析式为
对称轴为，顶点坐标为，
根据对称性可得
设矩形的周长为，
①当时，，不能构成矩形，
②当时，
则
当时，
③当时，
则
对称轴为
则当时，不存在最小值
综上所述，矩形的周长的最小值为
（3）解：①当0＜0m≤1时，h=-m2+2m+3-3=-m2+2m；
当1＜m≤2时，h=4-3=1；
当m＞2时，h=4-（-m2+2m+3）=m2-2m+1；
②当h=16时，m2-2m+1=16，
解得m=5或m=-3（舍），
∴P（5，-12），
过点P作PQ⊥x轴交直线BC与点Q，
令y=0，则-x2+2x+3=0，
解得x=-1或x=3，
∴B（3，0），
设直线BC的解析式为y=k'x+b'，
∴y=-x+3，
∴Q（5，-2），
∴PQ=10，
∴S△PCB=S△CPQ-S△BPQ=×5×10-×10×2=25-10=15．
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数与一次函数的综合应用；二次函数的实际应用-几何问题
【解析】【分析】（1）求出点C的坐标，根据待定系数法即可得到答案；
（2）求出直线的解析式为，设，则，求出，，设矩形的周长为，分情况讨论，得到当时， ，矩形的周长有最小值，即可得到答案；
（3）①分情况讨论，当0＜0m≤1，h=-m2+2m；当1＜m≤2时，h=4-3=1；当m＞2时，h=m2-2m+1，即可求解；
②求出点P的坐标为(5，-12)，过点P作PQ⊥x轴交直线BC与点Q，求出直线BC的解析式为y=-x+3，得到点Q的坐标为(5，-2)，得到PQ=10，根据S△PCB=S△CPQ-S△BPQ即可得到答案.
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