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浙教版2024-2025学年七年级上数学专题一：数与式的规律
考试时间：120分钟 满分：120分
一、选择题（本大题有10小题，每小题3分，共30分）
下面每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的.
1． 观察图1、图2、图3的运算过程并找出规律：
，求的值为（ ）
A．8 B．-8 C．-32 D．32
2．若2023个数、、、、满足下列条件：，，则（ ）
A． B． C． D．
3．如图，图1所示的数字规律表，已知图2是从图1中按未显示部分截取下来的一部分，则△处的数字不可能是（ ）
A．75 B．50 C．26 D．9
4．若是不为的有理数，则我们把称为的“奇特数”如：的“奇特数”是，的“奇特数”是已知，是的“奇特数”，是的“奇特数”，是的“奇特数”，，以此类推，则等于（ ）
A． B． C． D．
5．意大利数学家列昂纳多·斐波那契在1202年所著的《算盘书》中提出以下问题： 如果每对兔子每月能繁殖一对子兔，而子兔在出生后第二个月就有生殖能力，第三个月就生产一对兔子，以后每个月生产一对， 假设每对兔子都是一雌一雄. 试问一对兔子一年能繁殖多少对兔子？我们记第n个月兔子数为Fn ，则得到一系列斐波那契数F0=1， F1=1， F2=2， F3=3，F4=5， F5=8， F6=13， ，我们利用斐波那契数可以构造以下一系列连分数：（a、d为正整数，b、c为分数），则ｄ的值是（ ）
A．233 B．843 C．987 D．975
6．已知a1+a2＝1，a2+a3＝2，a3+a4＝，a4+a5＝，a5+a6＝5，a6+a7＝6，a7+a8＝，a8+a9＝，……，a99+a100＝，a100+a1＝，那么a1+a2+a3+……+a100的值为（ ）
A．﹣48 B．﹣50 C．﹣98 D．﹣100
7．观察下列等式：71＝7，72＝49，73＝343，74＝2401，75＝16087，…，那么71+72+73+74+75…+72023的末位数字是（ ）
A．1 B．3 C．7 D．9
8．正整数按如下图的规律排列，则2022位于哪一行，哪一列 （ ）
A．第45行 第4列 B．第4行 第45列
C．第46行 第3列 D．第3行 第46列
9．观察各式：1＝21－1，1＋2＝22－1，1＋2＋22＝23－1，…，则计算230＋231＋232＋…＋250的结果是（ ）
A．251－1 B．230－1 C．251－230－1 D．251－230
10．设S1＝1+，，，…，，则+…+的值为（ ）
A． B． C．35 D．34
二、填空题（本大题有6小题，每小题3分，共18分）
要注意认真看清题目的条件和要填写的内容，尽量完整地填写答案.
11．做一个数字游戏．第一步：取一个自然数，计算得；第二步：算出的各位数字之和得，计算得；第三步：算出的各位数字之和得，计算得；…则 ．依此类推，则 ．
12．任意大于1的正整数m的三次幂均可“分裂”成m个连续奇数的和．如：23＝3+5，33＝7+9+11，43＝13+15+17+19．……仿此，若m3的“分裂数”中有一个是2023，则m＝ 。
13．观察下列式子，并回答问题：
：
请计算：73+83+93+……+193= .
14．已知整数a1，a2，a3，a4……满足下列条件：a1=0，a2=-|a1+1|，a3=-|a2+2|，a4=-|a3+3|，依次类推，则a2023的值为 ．
15．一个容积为1升的空容器，按照如下要求加水：第1次加水升，第2次加入的水量是升的，第3次加入的水量是升的，第4次加入的水量是升的，…，按照这种方法连续加水10次后，至少还需加入 升水可以把该容器加满．
16．在草稿纸上计算：① ；② ；③ ；④ ，观察你计算的结果，用你发现的规律直接写出下面式子的值 = ．
三、解答题（本题有8小题，每题9分，共72分）
解答应写出文字说明，证明过程或推演步骤.
17．七年级智远团成员自主开展数学微项目研究，结合最近所学内容，他们开展了立方数的性质研究．根据背景素材，探索解决问题：
探索立方数的性质
素材 古希腊数学家发现：一个正整数k的三次幂总能表示成k个连续奇数之和． 举例论证：13＝1 23＝3+5 33＝7+9+11 ①请按规律写出：43＝ ▲ ．
归纳数学规律 ②如果k3表示成k个连续奇数之和时，其中有一个奇数是35，k＝ ▲ ③当k＝10时，等号右边的式子的中间两个数（即第5个数和第6个数）是 ▲ ．
应用数学规律 ④利用这个结论计算：13+23+33+…+103+113
18．【阅读】求值：
解：设①
将等式①的两边同时乘以3得：②
由得：，即
所以
（1）【运用】仿照此法计算：
（2）【延伸】如图，将边长为1的正方形分成4个完全一样的小正方形，得到左上角一个小正方形为，选取右下角的小正方形进行第二次操作，又得到左上角更小的正方形，依次操作2023次，依次得到小正方形、、、…、，完成下列问题：
①小正方形的面积等于 ；
②求正方形、、、…、的面积和．
19．a是不为1的有理数，我们把称为a的差倒数．如：2的差倒数是，-1的差倒数是．
已知a1＝3，a2是a1的差倒数，a3是a2的差倒数，依此类推．
（1）分别求出a2、a3、a4的值；
（2）计算a1+a2+a3的值；
（3）请求出a1+a2+a3+…+a1837的值．
20．观察下列等式：
①42-22=6×2
②62-42=10×2
③82-62=14×2
④102-82=18×2
（1）计算182-162
（2）按上面的规律，我们发现第n个式子可以表示为 .
（3）简便计算： 20242-20222
21．对于正数x，规定，例如：，.
（1）求f(100)，的值．
（2）计算：
22．观察下列一组算式的特征及运算结果， 探索规律：
⑴ ⑵ 4，
⑶ ⑷
（1） 观察算式规律， 计算 ； .
（2） 用含正整的式子表示上述算式的规律： .
（3）计算：
23．观察下列等式：
第1个等式：；第2个等式：；
第3个等式：；第4个等式：．
请解答下列问题：
（1）按着以上的规律，可以写出第5个等式为： ；
（2）用含有n（n为正整数）代数式表示第n个等式： ；
（3）直接写出当时，n的值为 ；
（4）求的值．
24．先观察下列等式．再回答问题：
①；
②；
③．
（1）根据上面三个等式提供的信息，请你猜想 ．
（2）请按照上面各等式反映的规律，试写出用的式子表示的等式： ．
（3）对任何实数可表示不超过的最大整数，如，计算：
的值．
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浙教版2024-2025学年七年级上数学专题一：数与式的规律
解析版
一、选择题（本大题有10小题，每小题3分，共30分）
下面每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的.
1． 观察图1、图2、图3的运算过程并找出规律：
，求的值为（ ）
A．8 B．-8 C．-32 D．32
【答案】C
【解析】图1，图2，图3运算过程中呈现的规律为：
，，，
则的值为：.
故答案为：C．
2．若2023个数、、、、满足下列条件：，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】，
，
，
，
，
，
从第三个数开始，循环，
，
故答案为：A.
3．如图，图1所示的数字规律表，已知图2是从图1中按未显示部分截取下来的一部分，则△处的数字不可能是（ ）
A．75 B．50 C．26 D．9
【答案】B
【解析】根据题意，当-24在第6行时， △处的数字为14.
当-24在第8行时， △处的数字为9.
当-24在第12行时， △处的数字为26.
当-24在第24行时， △处的数字为75.
故答案为：B.
4．若是不为的有理数，则我们把称为的“奇特数”如：的“奇特数”是，的“奇特数”是已知，是的“奇特数”，是的“奇特数”，是的“奇特数”，，以此类推，则等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】∵，且是的“奇特数”
∴=，
，
，
，
······，
由此可知：4，-1，，四个数一循环，
2022÷4=505···2，
∴=-1.
故答案为：B.
5．意大利数学家列昂纳多·斐波那契在1202年所著的《算盘书》中提出以下问题： 如果每对兔子每月能繁殖一对子兔，而子兔在出生后第二个月就有生殖能力，第三个月就生产一对兔子，以后每个月生产一对， 假设每对兔子都是一雌一雄. 试问一对兔子一年能繁殖多少对兔子？我们记第n个月兔子数为Fn ，则得到一系列斐波那契数F0=1， F1=1， F2=2， F3=3，F4=5， F5=8， F6=13， ，我们利用斐波那契数可以构造以下一系列连分数：（a、d为正整数，b、c为分数），则ｄ的值是（ ）
A．233 B．843 C．987 D．975
【答案】C
【解析】∵
∵ 分子依次是1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，144，233，377，
∴
∴后面三个数是：、、
∴d=987.
故答案为：C.
6．已知a1+a2＝1，a2+a3＝2，a3+a4＝，a4+a5＝，a5+a6＝5，a6+a7＝6，a7+a8＝，a8+a9＝，……，a99+a100＝，a100+a1＝，那么a1+a2+a3+……+a100的值为（ ）
A．﹣48 B．﹣50 C．﹣98 D．﹣100
【答案】B
【解析】由题意可得：
则
故选 B.
7．观察下列等式：71＝7，72＝49，73＝343，74＝2401，75＝16087，…，那么71+72+73+74+75…+72023的末位数字是（ ）
A．1 B．3 C．7 D．9
【答案】D
【解析】∵ 71＝7，72＝49，73＝343，74＝2401，75＝16087，…，
∴底数为7的乘方的末位数字以7、9、3、1依次循环，
∵
∴
∴71+72+73+74+75…+72023的末位数字是9.
故答案为：D.
8．正整数按如下图的规律排列，则2022位于哪一行，哪一列 （ ）
A．第45行 第4列 B．第4行 第45列
C．第46行 第3列 D．第3行 第46列
【答案】B
【解析】观察由正整数按图中的规律排列可知，它排成的正方形是正整数的平方.
∵44×44=1936＜2022＜2025=45×45，
∴2022在第45列.
∵2025-2022=3，
∴2022在第4行.
∴2022位于第4行 第45列 .
故答案为：B.
9．观察各式：1＝21－1，1＋2＝22－1，1＋2＋22＝23－1，…，则计算230＋231＋232＋…＋250的结果是（ ）
A．251－1 B．230－1 C．251－230－1 D．251－230
【答案】D
【解析】由题意可得，
∴原式=.
故答案为：D.
10．设S1＝1+，，，…，，则+…+的值为（ ）
A． B． C．35 D．34
【答案】C
【解析】由题意得：，
∴，
∴+…+，
时， +…+ .
故答案为：C.
二、填空题（本大题有6小题，每小题3分，共18分）
要注意认真看清题目的条件和要填写的内容，尽量完整地填写答案.
11．做一个数字游戏．第一步：取一个自然数，计算得；第二步：算出的各位数字之和得，计算得；第三步：算出的各位数字之和得，计算得；…则 ．依此类推，则 ．
【答案】122；26
【解析】n1=5，a1=n12+1=26；
n2=8，a2=n22+1=65；
n3=11，a3=n32+1=122；
n4=5，a4=n42+1=26；
n5=8，a5=n52+1=65；
n6=11，a6=n62+1=122；
…
∵ 2023÷3=674…1，
∴ a2023=n1=26.
故答案为：122；26.
12．任意大于1的正整数m的三次幂均可“分裂”成m个连续奇数的和．如：23＝3+5，33＝7+9+11，43＝13+15+17+19．……仿此，若m3的“分裂数”中有一个是2023，则m＝ 。
【答案】45
【解析】，，，，
可以分解为个连续奇数的和，且第一个奇数为，
“分裂”后，其中有一个奇数是，当时，，当时，，
.
故答案为：45.
【分析】由题意得，可以分解为个连续奇数的和，且第一个奇数为，再根据“分裂”后，其中有一个奇数是，即可得到的值．
13．观察下列式子，并回答问题：
：
请计算：= .
【答案】35659
【解析】由题意得：，
当n=6时，，
当n=19时，，
∴.
故答案为：.
14．已知整数a1，a2，a3，a4……满足下列条件：a1=0，a2=-|a1+1|，a3=-|a2+2|，a4=-|a3+3|，依次类推，则a2023的值为 ．
【答案】-1011
【解析】 a1=0，
a2=-|a1+1|=-|0+1|=-1，
a3=-|a2+2|=-|-1+2|=-1，
a4=-|a3+3|=-|-1+3|=-2，
a5=-|a4+4|=-|-2+4|=-2，
…，
∴当n是奇数时，an=-，当n是偶数时，an=-，
∴a2023=-=-1011．
故答案为：-1011.
15．一个容积为1升的空容器，按照如下要求加水：第1次加水升，第2次加入的水量是升的，第3次加入的水量是升的，第4次加入的水量是升的，…，按照这种方法连续加水10次后，至少还需加入 升水可以把该容器加满．
【答案】
【解析】.
故答案为：.
16．在草稿纸上计算：① ；② ；③ ；④ ，观察你计算的结果，用你发现的规律直接写出下面式子的值 = ．
【答案】406
【解析】∵① =1；
② =3=1+2；
③ =6=1+2+3；
④ =10=1+2+3+4，
∴ =1+2+3+4+…+28=406．
故答案为：
三、解答题（本题有8小题，每题9分，共72分）
解答应写出文字说明，证明过程或推演步骤.
17．七年级智远团成员自主开展数学微项目研究，结合最近所学内容，他们开展了立方数的性质研究．根据背景素材，探索解决问题：
探索立方数的性质
素材 古希腊数学家发现：一个正整数k的三次幂总能表示成k个连续奇数之和． 举例论证：13＝1 23＝3+5 33＝7+9+11 ①请按规律写出：43＝ ▲ ．
归纳数学规律 ②如果k3表示成k个连续奇数之和时，其中有一个奇数是35，k＝ ▲ ③当k＝10时，等号右边的式子的中间两个数（即第5个数和第6个数）是 ▲ ．
应用数学规律 ④利用这个结论计算：13+23+33+…+103+113
【答案】解：①13+15+17+19；
②6；
③99，101；
④13+23+33+…+93+103+113
＝1+（3+5）+（7+9+11）+……+（111+113+115+117+119+121+123+125+127+129+131）
＝×66×（1+131）
＝4356；
【解析】 ①，
解得：a=15，
∴
故答案为：
②k3 表示成k个连续奇数之和时的第一个数是：，且共有k个连续的奇数，
∵，，
∴35 是 63分裂成连续奇数和中的一个. 即k的值是6.
故答案为：6.
③当k＝10时，， 右边的式子的中间两个数是99，101.
故答案为：99，101；
18．【阅读】求值：
解：设①
将等式①的两边同时乘以3得：②
由得：，即
所以
（1）【运用】仿照此法计算：
（2）【延伸】如图，将边长为1的正方形分成4个完全一样的小正方形，得到左上角一个小正方形为，选取右下角的小正方形进行第二次操作，又得到左上角更小的正方形，依次操作2023次，依次得到小正方形、、、…、，完成下列问题：
①小正方形的面积等于 ▲ ；
②求正方形、、、…、的面积和．
【答案】（1）解：设，将等式（1）的两边同时乘以4，得：，
由（2）-（1），得；
∴ =
（2）解：①
②
【解析】（2）根据题意可知：，由此可得：∴；
故答案为：
令，
由（2）-（1）得：
故答案为：，.
19．a是不为1的有理数，我们把称为a的差倒数．如：2的差倒数是，-1的差倒数是．
已知a1＝3，a2是a1的差倒数，a3是a2的差倒数，依此类推．
（1）分别求出a2、a3、a4的值；
（2）计算a1+a2+a3的值；
（3）请求出a1+a2+a3+…+a1837的值．
【答案】（1）解：∵a1＝3，
∴；
；
；
（2）解：a1+a2+a3＝；
（3）解：∵1837÷3＝612余1，
∴a1+a2+a3+…+a1837＝.
20．观察下列等式：
①42-22=6×2
②62-42=10×2
③82-62=14×2
④102-82=18×2
（1）计算182-162
（2）按上面的规律，我们发现第n个式子可以表示为 .
（3）简便计算： 20242-20222
【答案】（1）解：182-162=34×2=68；
（2）（2n+2+2n)×2
（3）解： 20242-20222=（2024+2022）×2=8092.
【解析】（2）第n个式子可以表示为（2n+2）2-（2n）2=（2n+2+2n)×2，
故答案为：（2n+2）2-（2n）2=（2n+2+2n)×2；
21．对于正数x，规定，例如：，.
（1）求f(100)，的值．
（2）计算：
【答案】（1）解： ，
；
（2）解：∵，
，
∴同理可得，，…，.
又∵，
∴原式=
22．观察下列一组算式的特征及运算结果， 探索规律：
⑴ ⑵ 4，
⑶ ⑷
（1） 观察算式规律， 计算 ； .
（2） 用含正整的式子表示上述算式的规律： .
（3）计算：
【答案】（1）7；21
（2）
（3）解：
=
【解析】（1），
，
故答案为：7；21；
（2），
故答案为：；
23．观察下列等式：
第1个等式：；第2个等式：；
第3个等式：；第4个等式：．
请解答下列问题：
（1）按着以上的规律，可以写出第5个等式为： ；
（2）用含有n（n为正整数）代数式表示第n个等式： ；
（3）直接写出当时，n的值为 ；
（4）求的值．
【答案】（1）
（2）
（3）6
（4）∵，
∴==
时， .
【解析】（1）由题意得第5个等式为：
故答案为：；
（2）第个等式为：
故答案为：；
（3）当时，，即，
解得，
故答案为：6.
24．先观察下列等式．再回答问题：
①；
②；
③．
（1）根据上面三个等式提供的信息，请你猜想 ．
（2）请按照上面各等式反映的规律，试写出用的式子表示的等式： ．
（3）对任何实数可表示不超过的最大整数，如，计算：
的值．
【答案】（1）
（2）
（3）解：
=
=
=
=
由题意得：，即原式的值为49.
【解析】（1）；
故答案为：.
（2）；
故答案为：.
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