【专题精练】浙教七年级上册 绝对值的几何意义（含详细解析）

浙教版七年级上册数学 绝对值的几何意义 专题训练
1．结合数轴与绝对值的知识回答下列问题：
（1）数轴上表示4和1的两点之间的距离是 　 　；表示﹣3和2两点之间的距离是 　 　；一般地，数轴上表示数m和数n的两点之间的距离等于|m﹣n|．
（2）如果|x+1|＝3，求数x；
（3）若数轴上表示数a的点位于﹣4与2之间，求|a+4|+|a﹣2|的值．
2．阅读：已知点A、B在数轴上分别表示有理数a、b，A、B两点之间的距离表示为|AB|＝|a﹣b|．
理解：（1）数轴上表示2和﹣3的两点之间的距离是 　 　；
（2）数轴上表示x和﹣5的两点A和B之间的距离是 　 　；
（3）当代数式|x﹣1|+|x+3|取最小值时，相应的x的取值范围是 　 　；最小值是 　 　．
3．点A、B在数轴上分别表示有理数a、b，A、B两点之间的距离表示为AB，在数轴上A、B两点之间的距离AB＝|a﹣b|．利用数形结合思想回答下列问题：
（1）数轴上表示1和3两点之间的距离 　 　．
（2）数轴上表示﹣12和﹣6的两点之间的距离是 　 　．
（3）数轴上表示x和1的两点之间的距离表示为 　 　．
（4）若x表示一个有理数，则|x﹣2|+|x+4|最小值为 　 　．
4．点A、B在数轴上分别表示有理数a、b，A、B两点之间的距离表示为AB，在数轴上A、B两点之间的距离AB＝|a﹣b|．
回答下列问题：
（1）数轴上表示1和﹣3的两点之间的距离是　 　；
（2）数轴上表示x和﹣3的两点之间的距离表示为　 　；
（3）若x表示一个有理数，请你化简|x﹣1|+|x+3|，并结合数轴求|x﹣1|+|x+3|的最小值．
5．阅读下面的材料：
我们知道，在数轴上，|a|表示有理数a对应的点到原点的距离，同样的道理，|a﹣2|表示有理数a对应的点到有理数2对应的点的距离，例如，|5﹣2|＝3，表示数轴上有理数5对应的点到有理数2对应的点的距离是3．
请根据上面的材料解答下列问题：
（1）数轴上有理数﹣9对应的点到有理数3对应的点的距离是 　 　；
（2）|a﹣5|表示有理数a对应的点与有理数 　 　对应的点的距离；如果|a﹣5|＝2，那么有理数a的值是 　 　；
（3）如果|a﹣1|+|a﹣6|＝7，那么有理数a的值是 　 　；
（4）代数式|a﹣1|+|a﹣6|的最小值是 　 　，此时有理数a可取的整数值有 　 　个．
6．【阅读】若点A，B在数轴上分别表示有理数a，b，A，B两点之间的距离表示为|AB|，则|AB|＝|a﹣b|．即|5﹣3|表示为5与3两数在数轴上所对应的两点之间的距离．
【探究】
（1）点A，B表示的数分别为﹣7，2，则|AB|＝　 　，|x+2|在数轴上可以理解为 　 　．
（2）若|x﹣3.1|＝4，则x＝　 　，若|y+4|＝|y﹣3|，则y＝　 　．
【应用】
（3）如图，数轴上表示点a的点位于﹣3和2之间，求|a+3|+|a﹣2|的值．
（4）由以上的探索猜想，对于任意有理数x，|x+6|+|x+3|+|x﹣1|是否有最小值？如果有，求出最小值，并写出此时x的值；如果没有，说明理由．
7．【阅读】已知m、n两个数在数轴上对应的点为M、N，其中m＞n，求M、N两点之间的距离MN．
小明利用绝对值的概念，结合数轴，进行探索：
解：因为m＞n，所以有以下情况：
情况1：若m＞0，n＞0，如图①，M、N两点之间的距离MN＝|m|﹣|n|＝m﹣n；
情况2：若m≥0，n＜0，如图②，M、N两点之间的距离MN＝|m|+|n|＝m﹣n；
情况3：若m＜0，n＜0，如图③，M、N两点之间的距离MN＝|n|﹣|m|＝m﹣n．
由此小明得出结论：若m、n两个数在数轴上对应的点为M、N，其中m＞n，则M、N两点之间的距离MN＝m﹣n．
【应用】
在数轴上，点A表示的数为a，点B表示的数为b，点C对应的数为c．
（1）若b＝1，AB＝2，则a＝　 　．
（2）若a＝﹣2，b＝4，点C到点A的距离是点C到点B距离的n（n＞0）倍．
①当n＝时，求c的值；
②对于任意一个n的值，满足条件的点C的个数始终有2个，请直接写出n取值范围 　 　．
（3）若a+b＝﹣5，且a、b为整数，当ab的值最大时，求A、B两点之间的距离AB．
8．借助下面的材料，
材料：在学习绝对值时，老师教过我们绝对值的几何含义，如|5﹣3|表示5、3在数轴上对应的两点之间的距离：|5+3|＝|5﹣（﹣3）|，所以|5+3|表示5、﹣3在数轴上对应的两点之间的距离：|5|＝|5﹣0|，所以|5|表示5在数轴上对应的点到原点的距离．一般地，点A点B在数轴上分别表示有理数a，b，那么点A、点B之间的距离可表示为|a﹣b|．
问题：如图，数轴上A，B两点对应的有理数分别为﹣8和12，点P从点O出发，以每秒1个单位长度的速度沿数轴负方向运动，点Q同时从点O出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴正方向运动，设运动时间为t秒．
（1）求经过2秒后，数轴点P、Q分别表示的数；
（2）当t＝3时，求PQ的值；
（3）在运动过程中是否存在时间t使AP＝AB，若存在，请求出此时t的值，若不存在，请说明理由．
9．先阅读下面的材料，然后回答问题．
在一条直线上有依次排列的n（n＞1）台机床在工作，我们要设置一个零件供应站P，使这n台机床到供应站P的距离总和最小，想解决这个问题，先“退”到比较简单的情形：
如图①所示，如果直线上有2台机床时，很明显设在A1和A2之间的任何地方都行，因为甲和乙所走的距离之和等A1到A2的距离．
如图②，如果直线上有3台机床时，不难判断，供应站设在中间一台机床A2处最合适，因为如果P放在A2处，甲和丙所走的距离之和恰好为A1到A3的距离，而如果把P放在别处，例如D处，那么甲和丙所走的距离之和仍是A1到A3的距离，可是乙还得走从A2到D的这一段，这是多出来的，因此P放在A2处是最佳选择．
不难知道，如果直线上有4台机床，P应设在第2台与第3台之向的任何地方；有5台机床，P应设在第3台位置．
（1）有69台机床时，P应设在何处？有82台机床时，P应设在何处？
（2）有n台机床时，P应设在何处？
（3）根据（2）的结论，求|x﹣1|+|x﹣2|+|x﹣3|+...|x﹣617|的最小值．
10．如图，已知数轴上点A表示的数为8，B是数轴上位于点A左侧一点，且AB＝20，
（1）写出数轴上点B表示的数　 　；
（2）|5﹣3|表示5与3之差的绝对值，实际上也可理解为5与3两数在数轴上所对的两点之间的距离．如|x﹣3|的几何意义是数轴上表示有理数x的点与表示有理数3的点之间的距离．试探索：
①：若|x﹣8|＝2，则x＝　 　．
②：|x+12|+|x﹣8|的最小值为　 　．
（3）动点P从O点出发，以每秒5个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，设运动时间为t（t＞0）秒．求当t为多少秒时？A，P两点之间的距离为2；
（4）动点P，Q分别从O，B两点，同时出发，点P以每秒5个单位长度沿数轴向右匀速运动，Q点以P点速度的两倍，沿数轴向右匀速运动，设运动时间为t（t＞0）秒．问当t为多少秒时？P，Q之间的距离为4．
11．已知点A，B在数轴上分别表示m，n，其中m＜n．
（1）填写下表；
m 3 ﹣6 ﹣5
n 5 4 ﹣4
A，B两点的距离 　 　 　 　 　 　
（2）若A，B两点的距离为d，则d与m，n的数量关系为　 　；
（3）若S＝|x﹣3|+|x﹣4|+|x﹣5|+…+|x﹣2018|，求S的最小值，并写出当S取最小值时x的取值范围．
12．阅读理解
数轴上线段的长度可以用线段端点表示的数进行减法运算得到，例如图，线段AB＝|0﹣（﹣1）|＝1；线段BC＝|2﹣0|﹣2；线段AC＝|2﹣（﹣1）|＝3．
问题
（1）数轴上点M、N代表的数分别为﹣8和1，则线段MN＝　 　；
（2）数轴上点E、F代表的数分别为﹣6和﹣2，则线段EF＝　 　；
（3）数轴上的两个点之间的距离为5，其中一个点表示的数为2，则另一个点表示的数为m，求m的值．
13．如图所示，一条直线上从左往右依次有A、B、C、D四个点．
（1）如果线段AC、BC、BD的长分别为3a﹣b、a+b、4a﹣2b，试求A、D两点间的距离；
（2）如果将这条直线看作是以点C为原点的数轴（向右为正方向）．
①直接写出数轴上与点B距离为a+2b的点所表示的数 　 　；
②设线段BD上一动点P所表示的数为x，求|x+a+b|+|x﹣3a+3b|的值（用含a、b的代数式表示）；
③线段BD上有两个动点P、M，点P所表示的数为x，点M所表示的数为y，直接写出式子|x﹣y|+|x+a+b|+|x﹣y﹣6a+4b|的最小值 　 　（用含a、b的代数式表示）．
14．结合数轴与绝对值的知识回答下列问题：
（1）探究：
①数轴上表示5和2的两点之间的距离是　 　；
②数轴上表示﹣2和﹣6的两点之间的距离是　 　；
③数轴上表示﹣4和3的两点之间的距离是　 　；
（2）归纳：
一般地，数轴上表示数m和数n的两点之间的距离等于|m﹣n|．
（3）应用：
①如果表示数a和3的两点之间的距离是7，则可记为：|a﹣3|＝7，那么a＝　 　；
②若数轴上表示数a的点位于0与1之间，求|1﹣a|+|a|的值；
③当a取何值时，|a+4|+|a﹣1|+|a﹣3|的值最小，最小值是多少？
15．先阅读下面的材料，然后解答问题．
在一条直线上有依次排列的n（n＞1）台机床在工作，我们需要设置零件供应站P，使这n台机床到供应站P的距离总和最小．要解决这个问题，先要分析比较简单的情形：如果直线上只有2台机床A1、A2时，很明显供应站P设在A1和A2之间的任何地方都行，距离之和等于A1到A2的距离．如果直线上有3台机床A1、A2、A3，供应站P应设在中间一台机床A2处最合适，距离之和恰好为A1到A3的距离；如果在直线上4台机床，供应站P应设在第2台与第3台之间的任何地方；如果直线上有5台机床，供应站P应设在第3台的地方．
（1）阅读递推：如果在直线上6台机床，供应站P应设在　 　的地方；如果直线上有7台机床，供应站P应设在　 　的地方．
（2）问题解决：在同一条直线上，如果有n台机床，供应站P应设在什么位置？
（3）联系拓广：根据以上阅读材料，回答
当x取什么值时，代数式|x﹣1|+|x﹣2|+|x﹣3|+…+|x﹣99|取到最小值，并求其最小值．
16．已知A、B在数轴上分别表示a、b
（1）对照数轴填写下表：
a 6 ﹣6 ﹣6 ﹣6 2 ﹣1.5
b 4 0 4 ﹣4 ﹣10 ﹣1.5
A、B两点的距离 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　
（2）若A、B两点间的距离记为d，则d和a、b数量关系为d＝　 　．
（3）若点C表示的数为x，|x+1|+|x﹣2|取得的最小值是　 　．
（4）应用：某环形道路上顺次排列有四家快递公司：A、B、C、D，它们顺次有快递车16辆，8辆，4辆，12辆，为使各快递公司的车辆数相同，允许一些快递公司向相邻公司调出，问共有多少种调配方案，使调动的车辆数最少？并求出调出的最少车辆数．
17．我们知道：|a|的几何意义可以理解为数轴上表示数a的点与原点之间的距离，请大家运用相关知识继续探索数轴上多个点之间的距离问题：
（1）数轴上点A、点B分别是数﹣1、3对应的点，则点A与点B之间的距离为　 　．
（2）再选几个点试试，猜想：若点A、点B分别是数a、b对应的点，则点A与点B之间的距离为　 　．
（3）若数轴上点A对应的数为a，且|a﹣2|+|a﹣1|＝12，且点A对应的数为　 　．
（4）继续利用绝对值的几何意义，探索|x﹣12|+|x+5|的最小值是　 　．
（5）已知数x，y满足|x+7|+|1﹣x|＝19﹣|y﹣10|﹣|1+y|，则x+y的最小值是　 　，最大值是　 　．
18．大家知道|5|＝|5﹣0|，它在数轴上的意义是表示5的点与原点（即表示0的点）之间的距离．又如式子|6﹣3|，它在数轴上的意义是表示6的点与表示3的点之间的距离．即点A、B在数轴上分别表示数a、b，则A、B两点的距离可表示为：|AB|＝|a﹣b|．根据以上信息，回答下列问题：
（1）数轴上表示2和5的两点之间的距离是　 　；数轴上表示﹣3和15的两点之间的距离是　 　；
（2）点A、B在数轴上分别表示数x和﹣1．
①用代数式表示A、B两点之间的距离；
②如果|AB|＝2，求x值．
19．结合数轴与绝对值的知识回答下列问题：
（1）数轴上表示4和1的两点之间的距离是　 　；表示﹣3和2两点之间的距离是　 　；一般地，数轴上表示数m和数n的两点之间的距离等于|m﹣n|．如果表示数a和﹣2的两点之间的距离是3，那么a＝　 　；
（2）若数轴上表示数a的点位于﹣4与2之间，求|a+4|+|a﹣2|的值．
20．有理数a，b在数轴上的位置如下图所示：
（1）请在数轴上分别标出表示﹣a和﹣b的点，并把a，b﹣a，﹣b和0这五个数用“＜”连接起来；
（2）如果表示a的点到原点的距离为2，|b|＝3，那么a＝　 　；b＝　 　；
（3）由（2）中求出的a，b值，根据代数式|x﹣a|+|x﹣b|的几何意义，写出它的最小值是　 　，相应的x的取值范围是　 　．
21．探究数轴上两点之间的距离与这两点的对应关系：
（1）观察数轴，填空：
点A与点B的距离是　 　；点C与点B的距离是　 　；
点E与点F的距离是　 　；点D与点G的距离是　 　．
我们发现：在数轴上，如果点M对应的数为m，点N对应的数为n，那么点M与点N之间的距离MN可表示为　 　（用m、n表示）．
（2）利用你发现的规律，解决下列问题：数轴上表示x和2的两点之间的距离是3，则x＝　 　．
（3）利用你发现的规律，逆向思维解决下列问题：
①|x﹣2|＝5，则x＝　 　．
②|x+3|＝2，则x＝　 　．
22．数学实验室：
点A、B在数轴上分别表示有理数a、b，A、B两点之间的距离表示为AB，在数轴上A、B两点之间的距离AB＝|a﹣b|．
利用数形结合思想回答下列问题：
①数轴上表示2和5两点之间的距离是　 　；
②数轴上表示x和﹣2的两点之间的距离表示为　 　；
③若x表示一个有理数，且﹣3＜x＜1，则＝　 　；
④若x表示一个有理数，且＞4，则有理数x的取值范围是　 　．
23．阅读下列材料：
点A、B在数轴上分别表示两个数a、b，A、B两点间的距离记为|AB|，O表示原点．当A、B两点中有一点在原点时，不妨设点A为原点，如图1，则|AB|＝|OB|＝|b|＝|a﹣b|；当A、B两点都不在原点时，
①如图2，若点A、B都在原点的右边时，|AB|＝|OB|﹣|OA|＝|b|﹣|a|＝b﹣a＝|a﹣b|；
②如图3，若点A、B都在原点的左边时，|AB|＝|OB|﹣|OA|＝|b|﹣|a|＝﹣b﹣（﹣a）＝|a﹣b|；
③如图4，若点A、B在原点的两边时，|AB|＝|OB|+|OA|＝|b|+|a|＝﹣b+a＝|a﹣b|．
回答下列问题：
（1）综上所述，数轴上A、B两点间的距离为|AB|＝　 　．
（2）若数轴上的点A表示的数为2，点B表示的数为﹣3，则A、B两点间的距离为　 　；
（3）若数轴上的点A表示的数为x，点B表示的数为﹣1，则|AB|＝　 　，若|AB|＝3，则x的值为　 　；
（4）代数式|x﹣2|+|x+3|的最小值为　 　，取得最小值时x的取值范围是　 　．
（5）满足|x+1|+|x+4|＞3的x的取值范围是　 　．
24．我们知道：点A、B在数轴上分别表示有理数a、b，A、B两点之间的距离表示为AB，在数轴上A、B两点之间的距离AB＝|a﹣b|
请回答下列问题：
（1）数轴上表示﹣2和3的两点之间的距离是　 　：
（2）数轴上表示x和﹣3的两点之间的距离为2，则有理数x是　 　；
（3）若x表示一个有理数，且﹣3＜x＜1，则|x﹣1|+|x+3|＝　 　；
（4）若x表示一个有理数，且|x﹣1|+|x+3|＞4，则有理数x的取值范围是　 　；
（5）不等式|x﹣1|+|x+3|≥8的解集是　 　．
参考答案
1．结合数轴与绝对值的知识回答下列问题：
（1）数轴上表示4和1的两点之间的距离是 　3　；表示﹣3和2两点之间的距离是 　5　；一般地，数轴上表示数m和数n的两点之间的距离等于|m﹣n|．
（2）如果|x+1|＝3，求数x；
（3）若数轴上表示数a的点位于﹣4与2之间，求|a+4|+|a﹣2|的值．
【解答】解：（1）观察数轴即可得出：4和1的两点之间的距离是3，﹣3和2两点之间的距离是5，
故答案为：3，5；
（2）由（1）结论知：|x+1|＝3，
解得x＝2或﹣4，
故x值为2或﹣4；
（3）|a+4|+|a﹣2|意思是表示数a的点到﹣4和2的距离和，
∵a的点位于﹣4与2之间，
∴表示数a的点到﹣4和2的距离和为6，
故|a+4|+|a﹣2|＝a+4+2﹣a＝6．
2．阅读：已知点A、B在数轴上分别表示有理数a、b，A、B两点之间的距离表示为|AB|＝|a﹣b|．
理解：（1）数轴上表示2和﹣3的两点之间的距离是 　5　；
（2）数轴上表示x和﹣5的两点A和B之间的距离是 　|x+5|　；
（3）当代数式|x﹣1|+|x+3|取最小值时，相应的x的取值范围是 　﹣3≤x≤1　；最小值是 　4　．
【解答】解：（1）数轴上表示2和﹣3的两点之间的距离是2﹣（﹣3）＝5，
故答案为：5；
（2）数轴上表示x和﹣5的两点A和B之间的距离是|x+5|．
故答案为：|x+5|；
（3）在数轴上，|x﹣1|+|x+3|表示数轴上x和1的两点之间与x和﹣3的两点之间距离和，当代数式|x﹣1|+|x+3|取最小值时，相应的x的取值范围是﹣3≤x≤1，最小值是4．
故答案为：﹣3≤x≤1，4．
3．点A、B在数轴上分别表示有理数a、b，A、B两点之间的距离表示为AB，在数轴上A、B两点之间的距离AB＝|a﹣b|．利用数形结合思想回答下列问题：
（1）数轴上表示1和3两点之间的距离 　2　．
（2）数轴上表示﹣12和﹣6的两点之间的距离是 　6　．
（3）数轴上表示x和1的两点之间的距离表示为 　|x﹣1|　．
（4）若x表示一个有理数，则|x﹣2|+|x+4|最小值为 　6　．
【解答】解：（1）数轴上表示1和3两点之间的距离是|3﹣1|＝2，
故答案为：2；
（2）数轴上表示﹣12和﹣6的两点之间的距离表示为|﹣12﹣（﹣6）|＝6，
故答案为：6；
（3）数轴上表示x和1的两点之间的距离表示为|x﹣1|，
故答案为：|x﹣1|；
（4）根据绝对值的定义有：|x﹣2|+|x+4|可表示为点x到2与﹣4两点距离之和，根据几何意义分析可知：
当x在﹣4与2之间时，|x﹣2|+|x+4|的最小值＝6．
故答案为：6．
4．点A、B在数轴上分别表示有理数a、b，A、B两点之间的距离表示为AB，在数轴上A、B两点之间的距离AB＝|a﹣b|．
回答下列问题：
（1）数轴上表示1和﹣3的两点之间的距离是　4　；
（2）数轴上表示x和﹣3的两点之间的距离表示为　|x+3|　；
（3）若x表示一个有理数，请你化简|x﹣1|+|x+3|，并结合数轴求|x﹣1|+|x+3|的最小值．
【解答】解：（1）|1﹣（﹣3）|＝4；
故答案为：4；
（2）|x﹣（﹣3）|＝|x+3|；
故答案为：|x+3|；
（3）当x＜﹣3时，|x﹣1|+|x+3|＝1﹣x﹣x﹣3＝﹣2x﹣2，
当﹣3≤x≤1时，|x﹣1|+|x+3|＝1﹣x+x+3＝4，
当x＞1时，|x﹣1|+|x+3|＝x﹣1+x+3＝2x+2，
在数轴上|x﹣1|+|x+3|的几何意义是：表示有理数x的点到﹣3及到1的
距离之和，所以当﹣3≤x≤1时，它取得最小值为4．
5．阅读下面的材料：
我们知道，在数轴上，|a|表示有理数a对应的点到原点的距离，同样的道理，|a﹣2|表示有理数a对应的点到有理数2对应的点的距离，例如，|5﹣2|＝3，表示数轴上有理数5对应的点到有理数2对应的点的距离是3．
请根据上面的材料解答下列问题：
（1）数轴上有理数﹣9对应的点到有理数3对应的点的距离是 　12　；
（2）|a﹣5|表示有理数a对应的点与有理数 　5　对应的点的距离；如果|a﹣5|＝2，那么有理数a的值是 　7或3　；
（3）如果|a﹣1|+|a﹣6|＝7，那么有理数a的值是 　0或7　；
（4）代数式|a﹣1|+|a﹣6|的最小值是 　5　，此时有理数a可取的整数值有 　6　个．
【解答】解：（1）数轴上有理数﹣9对应的点到有理数3对应的点的距离为|﹣9﹣3|＝12；
故答案为：12；
（2）|a﹣5|表示与有理数a对应的点与有理数5对应的点的距离；
∵|a﹣5|＝2，
∴a﹣5＝±2，
解得a＝7或3．
故答案为：5，7或3；
（3）当a＜1时，
依题意有﹣a+1﹣a+6＝7，
解得a＝0；
当1≤a≤6时，
依题意有a﹣1﹣a+6＝7，
方程无解；
当a＞6时，
依题意有a﹣1+a﹣6＝7，
解得a＝7．
故答案为：0或7；
（4）此等式表示数轴上有理数a所在点到有理数1和6所在点的距离之和，距离之和最小为5，
此时有理数a可取的整数值有：1，2，3，4，5，6共6个数，
故答案为：5，6．
6．【阅读】若点A，B在数轴上分别表示有理数a，b，A，B两点之间的距离表示为|AB|，则|AB|＝|a﹣b|．即|5﹣3|表示为5与3两数在数轴上所对应的两点之间的距离．
【探究】
（1）点A，B表示的数分别为﹣7，2，则|AB|＝　9　，|x+2|在数轴上可以理解为 　x与﹣2两数的距离　．
（2）若|x﹣3.1|＝4，则x＝　﹣0.9或7.1　，若|y+4|＝|y﹣3|，则y＝　　．
【应用】
（3）如图，数轴上表示点a的点位于﹣3和2之间，求|a+3|+|a﹣2|的值．
（4）由以上的探索猜想，对于任意有理数x，|x+6|+|x+3|+|x﹣1|是否有最小值？如果有，求出最小值，并写出此时x的值；如果没有，说明理由．
【解答】解：（1）数轴上表示﹣7的点与表示2的点之间的距离为9，
|x+2|＝|x﹣（﹣2）|，即可表示为x到﹣2的距离，
故答案为：9；x与﹣2的距离．
（2）∵|x﹣3.1|＝4，
∴x到3.1的距离为4，
∴3.1﹣4＝﹣0.9，3.1+4＝7.1；
∵|y+4|＝|y﹣3|，
∴y到﹣4的距离和y到3的距离相同，
∴y＝﹣0.5．
故答案为：﹣0.9或7.1；﹣0.5．
（3）∵|a+3|+|a﹣2|可表示a到﹣3的距离加上a到2的距离且a位于﹣3和2之间，
∴原式可看作﹣3与2之间的距离，
∴|a+3|+|a﹣2|＝5．
（4）|x+6|+|x+3|+|x﹣1|可表示为x到﹣6的距离加上x到﹣3的距离加上x到1的距离，
∴当x＝﹣3时，该式取得最小值，此时|x+6|+|x+3|+|x﹣1|＝7．
7．【阅读】已知m、n两个数在数轴上对应的点为M、N，其中m＞n，求M、N两点之间的距离MN．
小明利用绝对值的概念，结合数轴，进行探索：
解：因为m＞n，所以有以下情况：
情况1：若m＞0，n＞0，如图①，M、N两点之间的距离MN＝|m|﹣|n|＝m﹣n；
情况2：若m≥0，n＜0，如图②，M、N两点之间的距离MN＝|m|+|n|＝m﹣n；
情况3：若m＜0，n＜0，如图③，M、N两点之间的距离MN＝|n|﹣|m|＝m﹣n．
由此小明得出结论：若m、n两个数在数轴上对应的点为M、N，其中m＞n，则M、N两点之间的距离MN＝m﹣n．
【应用】
在数轴上，点A表示的数为a，点B表示的数为b，点C对应的数为c．
（1）若b＝1，AB＝2，则a＝　3或﹣1　．
（2）若a＝﹣2，b＝4，点C到点A的距离是点C到点B距离的n（n＞0）倍．
①当n＝时，求c的值；
②对于任意一个n的值，满足条件的点C的个数始终有2个，请直接写出n取值范围 　n＞0且n≠1　．
（3）若a+b＝﹣5，且a、b为整数，当ab的值最大时，求A、B两点之间的距离AB．
【解答】解：（1）分两种情况：
当点A在点B的右侧，即a＞b时，因为AB＝2，所以a﹣b＝2，a＝b+2＝3，
当点A在点B的左侧，即a＜b时，因为AB＝2，所以b﹣a＝2，a＝b﹣2＝﹣1；
（2）①分两种情况：
当点C在线段AB之间时，CA＝CB，即c﹣a＝（b﹣c），c＝0，
当点C在点A的左侧时，CA＝CB，即a﹣c＝（b﹣c），c＝﹣8，
所以c＝0或﹣8；
②分三种情况：
当点C在点A的左侧时，0＜n＜1，
当点C在点B的右侧时；n＞1，
当点C在线段AB之间时，0＜n＜1或n＞1，
又因为点C的个数始终有两个，n≠1，
所以n＞0且n≠1；
（3）因为a+b＝﹣5，ab的值最大，
所以a＜0，b＜0，
因为a、b为整数，
所以a＝﹣2，b＝﹣3或a＝﹣3，b＝﹣2，
所以AB＝1．
8．借助下面的材料，
材料：在学习绝对值时，老师教过我们绝对值的几何含义，如|5﹣3|表示5、3在数轴上对应的两点之间的距离：|5+3|＝|5﹣（﹣3）|，所以|5+3|表示5、﹣3在数轴上对应的两点之间的距离：|5|＝|5﹣0|，所以|5|表示5在数轴上对应的点到原点的距离．一般地，点A点B在数轴上分别表示有理数a，b，那么点A、点B之间的距离可表示为|a﹣b|．
问题：如图，数轴上A，B两点对应的有理数分别为﹣8和12，点P从点O出发，以每秒1个单位长度的速度沿数轴负方向运动，点Q同时从点O出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴正方向运动，设运动时间为t秒．
（1）求经过2秒后，数轴点P、Q分别表示的数；
（2）当t＝3时，求PQ的值；
（3）在运动过程中是否存在时间t使AP＝AB，若存在，请求出此时t的值，若不存在，请说明理由．
【解答】解：（1）1×2＝2，2×2＝4．
∵点P沿数轴负方向运动，点Q沿数轴正方向运动，
∴经过2秒后，点P表示的数为﹣2，点Q表示的数为4．
（2）1×3＝3，2×3＝6．
∵点P沿数轴负方向运动，点Q沿数轴正方向运动，
∴当t＝3时，点P表示的数为﹣3，点Q表示的数为6，
∴PQ＝|﹣3﹣6|＝9．
（3）当运动时间为t秒时，点P表示的数为﹣t，点Q表示的数为2t，点A表示的数为﹣8，点B表示的数为12，
∴AP＝|﹣8﹣（﹣t）|＝|t﹣8|，AB＝|﹣8﹣12|＝20．
∵AP＝AB，
∴|t﹣8|＝×20，
∴t＝18或t＝﹣2（不合题意，舍去）．
∴当t＝18时，AP＝AB．
9．先阅读下面的材料，然后回答问题．
在一条直线上有依次排列的n（n＞1）台机床在工作，我们要设置一个零件供应站P，使这n台机床到供应站P的距离总和最小，想解决这个问题，先“退”到比较简单的情形：
如图①所示，如果直线上有2台机床时，很明显设在A1和A2之间的任何地方都行，因为甲和乙所走的距离之和等A1到A2的距离．
如图②，如果直线上有3台机床时，不难判断，供应站设在中间一台机床A2处最合适，因为如果P放在A2处，甲和丙所走的距离之和恰好为A1到A3的距离，而如果把P放在别处，例如D处，那么甲和丙所走的距离之和仍是A1到A3的距离，可是乙还得走从A2到D的这一段，这是多出来的，因此P放在A2处是最佳选择．
不难知道，如果直线上有4台机床，P应设在第2台与第3台之向的任何地方；有5台机床，P应设在第3台位置．
（1）有69台机床时，P应设在何处？有82台机床时，P应设在何处？
（2）有n台机床时，P应设在何处？
（3）根据（2）的结论，求|x﹣1|+|x﹣2|+|x﹣3|+...|x﹣617|的最小值．
【解答】解：（1）根据题意，
直线上有3台机床，供应站P应设在最中间一台机床处，
直线上有4台机床，P应设在第2台与第3台之向的任何地方，
有5台机床，P应设在第3台位置…，
所以有69台机床时，P应设在第35台处，
有82台机床时，P应设在第41台和第42台之间的任何地方；
（2）当n为偶数时，P应设在第台和（+1）台之间的任何位置，
当n为奇数时，P应设在第台的位置；
（3）（1+617）÷2＝309，
所以当x＝309时，代数式|x﹣1|+|x﹣2|+|x﹣3|+…+|x﹣617|取到最小值
（1+308）×308＝95172．
所以最小值是95172．
10．如图，已知数轴上点A表示的数为8，B是数轴上位于点A左侧一点，且AB＝20，
（1）写出数轴上点B表示的数　﹣12　；
（2）|5﹣3|表示5与3之差的绝对值，实际上也可理解为5与3两数在数轴上所对的两点之间的距离．如|x﹣3|的几何意义是数轴上表示有理数x的点与表示有理数3的点之间的距离．试探索：
①：若|x﹣8|＝2，则x＝　6或10　．
②：|x+12|+|x﹣8|的最小值为　20　．
（3）动点P从O点出发，以每秒5个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，设运动时间为t（t＞0）秒．求当t为多少秒时？A，P两点之间的距离为2；
（4）动点P，Q分别从O，B两点，同时出发，点P以每秒5个单位长度沿数轴向右匀速运动，Q点以P点速度的两倍，沿数轴向右匀速运动，设运动时间为t（t＞0）秒．问当t为多少秒时？P，Q之间的距离为4．
【解答】解：（1）点B表示的数8﹣20＝﹣12．
故答案为：﹣12；
（2）①|x﹣8|＝2，
x﹣8＝±2，
则x＝6或10．
故答案为：6或10；
②|x+12|+|x﹣8|的最小值为8﹣（﹣12）＝20．
故答案为：20；
（3）设经过 t秒时，A，P之间的距离为2．此时P点表示的数是5t，
则|8﹣5t|＝2，
解得t＝2或t＝．
故当t为2或秒时，A，P两点之间的距离为2；
（4）设经过t秒时，P，Q之间的距离为4．
此时P点表示的数是5t，Q点表示的数﹣12+10t，
则|﹣12+10t﹣5t|＝4
解得t＝或t＝．
故当t为或秒时，P，Q之间的距离为4．
11．已知点A，B在数轴上分别表示m，n，其中m＜n．
（1）填写下表；
m 3 ﹣6 ﹣5
n 5 4 ﹣4
A，B两点的距离 　2　 　10　 　1　
（2）若A，B两点的距离为d，则d与m，n的数量关系为　d＝n﹣m　；
（3）若S＝|x﹣3|+|x﹣4|+|x﹣5|+…+|x﹣2018|，求S的最小值，并写出当S取最小值时x的取值范围．
【解答】解：（1）填写下表；
m 3 ﹣6 ﹣5
n 5 4 ﹣4
A，B两点的距离 2 10 1
故答案为：2，10，1；
（2）d＝n﹣m，
故答案为：d＝n﹣m；
（3）根据绝对值的几何意义，|x﹣a|的意义是数轴上表示数x的点到表示数a的点之间的距离．
s＝|x﹣3|
当x＝3时，s有最小值s＝0
s＝|x﹣3|+|x﹣4|
当3≤x≤4 时，s有最小值s＝4﹣3＝1
s＝|x﹣3|+|x﹣4|+|x﹣5|
当x＝4时，S有最小值S＝2
s＝|x﹣3|+|x﹣4|+|x﹣5|+|x﹣6|
当4≤x≤5 时，S有最小值S＝（6﹣3）+（5﹣4）＝3+1＝4
s＝|x﹣3|+|x﹣4+|x﹣5|+|x﹣6|+|x﹣7|
当x＝5时，S有最小值S＝（7﹣3）+（6﹣4）+0＝4+2＝6，
…
根据观察所得规律
|x﹣3|+|x﹣4|+|x﹣5|+…+|x﹣2018|共有（2018﹣3）+1＝2016项
（2018+3）÷2＝1010.5，
∴1010≤x≤1011，
当1010≤x≤1011时，S有最小值，
S＝（2018﹣3）+（2017﹣4）+（2016﹣5）+…（1011﹣1010）
＝2015+2013+2011+…+1
＝（2015+1）×1008
＝1016064．
12．阅读理解
数轴上线段的长度可以用线段端点表示的数进行减法运算得到，例如图，线段AB＝|0﹣（﹣1）|＝1；线段BC＝|2﹣0|﹣2；线段AC＝|2﹣（﹣1）|＝3．
问题
（1）数轴上点M、N代表的数分别为﹣8和1，则线段MN＝　9　；
（2）数轴上点E、F代表的数分别为﹣6和﹣2，则线段EF＝　4　；
（3）数轴上的两个点之间的距离为5，其中一个点表示的数为2，则另一个点表示的数为m，求m的值．
【解答】解：（1）∵点M、N代表的数分别为﹣8和1，
∴线段MN＝1﹣（﹣8）＝9；
故答案为：9；
（2）∵点E、F代表的数分别为﹣6和﹣2，
∴线段EF＝﹣2﹣（﹣6）＝4；
故答案为：4；
（3）由题可得，|m﹣2|＝5，
解得m＝﹣3或7，
∴m值为﹣3或7．
13．如图所示，一条直线上从左往右依次有A、B、C、D四个点．
（1）如果线段AC、BC、BD的长分别为3a﹣b、a+b、4a﹣2b，试求A、D两点间的距离；
（2）如果将这条直线看作是以点C为原点的数轴（向右为正方向）．
①直接写出数轴上与点B距离为a+2b的点所表示的数 　b或﹣2a﹣3b　；
②设线段BD上一动点P所表示的数为x，求|x+a+b|+|x﹣3a+3b|的值（用含a、b的代数式表示）；
③线段BD上有两个动点P、M，点P所表示的数为x，点M所表示的数为y，直接写出式子|x﹣y|+|x+a+b|+|x﹣y﹣6a+4b|的最小值 　6a﹣4b　（用含a、b的代数式表示）．
【解答】解：（1）AB＝AC﹣BC＝（3a﹣b）﹣（a+b）＝3a﹣b﹣a﹣b＝2a﹣2b；
∴AD＝AB+BD＝（2a﹣2b）+（4a﹣2b）＝2a﹣2b+4a﹣2b＝6a﹣4b；
（2）①∵点C为原点，BC＝a+b，
∴点B的坐标为：﹣a﹣b，
∴数轴上与点B距离为a+2b的点所表示的数为（﹣a﹣b）+（a+2b）＝b或﹣a﹣b﹣（a+2b）＝﹣2a﹣3b．
故答案b或﹣2a﹣3b；
②x＞﹣a﹣b即x+a+b＞0，x＜3a﹣3b，即x﹣3a+3b＜0，
所以|x+a+b|+|x﹣3a+3b|＝x+a+b﹣（x﹣3a+b）＝4a﹣2b；
③∵AD＝6a﹣4b，
∴|x﹣y|+|x+a+b|+|x﹣y﹣6a+4b|的最小值6a﹣4b．
故答案为6a﹣4b．
14．结合数轴与绝对值的知识回答下列问题：
（1）探究：
①数轴上表示5和2的两点之间的距离是　3　；
②数轴上表示﹣2和﹣6的两点之间的距离是　4　；
③数轴上表示﹣4和3的两点之间的距离是　7　；
（2）归纳：
一般地，数轴上表示数m和数n的两点之间的距离等于|m﹣n|．
（3）应用：
①如果表示数a和3的两点之间的距离是7，则可记为：|a﹣3|＝7，那么a＝　10或﹣4　；
②若数轴上表示数a的点位于0与1之间，求|1﹣a|+|a|的值；
③当a取何值时，|a+4|+|a﹣1|+|a﹣3|的值最小，最小值是多少？
【解答】解：（1）探究：①数轴上表示5和2的两点之间的距离是 3，②数轴上表示﹣2和﹣6的两点之间的距离是 4，③数轴上表示﹣4和3的两点之间的距离是 7，
（3）①如果表示数a和3的两点之间的距离是7，则可记为：|a﹣3|＝7，那么a＝10或﹣4，
故答案为：3，4，7，10或﹣4；
②若数轴上表示数a的点位于0与1之间，求|1﹣a|+|a|＝1﹣a+a＝1；
③当a＝1时，|a+4|+|a﹣1|+|a﹣3|取最小值，|a+4|+|a﹣1|+|a﹣3|最小＝5+0+2＝7，
理由是：a＝1时，正好是3与﹣4两点间的距离．
15．先阅读下面的材料，然后解答问题．
在一条直线上有依次排列的n（n＞1）台机床在工作，我们需要设置零件供应站P，使这n台机床到供应站P的距离总和最小．要解决这个问题，先要分析比较简单的情形：如果直线上只有2台机床A1、A2时，很明显供应站P设在A1和A2之间的任何地方都行，距离之和等于A1到A2的距离．如果直线上有3台机床A1、A2、A3，供应站P应设在中间一台机床A2处最合适，距离之和恰好为A1到A3的距离；如果在直线上4台机床，供应站P应设在第2台与第3台之间的任何地方；如果直线上有5台机床，供应站P应设在第3台的地方．
（1）阅读递推：如果在直线上6台机床，供应站P应设在　第3台与第4台之间的任何地方的地方　的地方；如果直线上有7台机床，供应站P应设在　第4台　的地方．
（2）问题解决：在同一条直线上，如果有n台机床，供应站P应设在什么位置？
（3）联系拓广：根据以上阅读材料，回答
当x取什么值时，代数式|x﹣1|+|x﹣2|+|x﹣3|+…+|x﹣99|取到最小值，并求其最小值．
【解答】解：（1）如果在直线上6台机床，供应站P应设在第3台与第4台之间的任何地方的地方；如果直线上有7台机床，供应站P应设在第4台的地方；
故答案为：第3台与第4台之间的任何地方的地方；
（2）当n为偶数时，P应设在第台和（+1）台之间的任何地方，
当n为奇数时，P应设在第台的位置；
（3）根据绝对值的几何意义，求|x﹣1|+|x﹣2|+|x﹣3|+|x﹣99|的最小值，
就是在数轴上找出表示x的点，使它到表示1，2，3，4…99各点的距离之和最小，根据问题（2）的结论，当x＝＝50，
即当x＝50时，原式的值最小，
∴最小值为（49+48+47+…+2+1）+0+（1+2+…+49）
＝（49+48+47+…+2+1）×2
＝（49+1）×49÷2×2
＝2450．
16．已知A、B在数轴上分别表示a、b
（1）对照数轴填写下表：
a 6 ﹣6 ﹣6 ﹣6 2 ﹣1.5
b 4 0 4 ﹣4 ﹣10 ﹣1.5
A、B两点的距离 　2　 　6　 　10　 　2　 　12　 　，0　
（2）若A、B两点间的距离记为d，则d和a、b数量关系为d＝　|a﹣b|　．
（3）若点C表示的数为x，|x+1|+|x﹣2|取得的最小值是　3　．
（4）应用：某环形道路上顺次排列有四家快递公司：A、B、C、D，它们顺次有快递车16辆，8辆，4辆，12辆，为使各快递公司的车辆数相同，允许一些快递公司向相邻公司调出，问共有多少种调配方案，使调动的车辆数最少？并求出调出的最少车辆数．
【解答】解：（1）6﹣4＝2，0﹣（﹣6）＝6，4﹣（﹣6）＝10，﹣4﹣（﹣6）＝2，2﹣（﹣10）＝12，﹣1.5﹣（﹣1.5）＝0，
故答案为：2，6，10，2，12，0；
（2）A和B之间的距离d＝|a﹣b|，
故答案为：|a﹣b|；
（3）∵﹣1到2的距离是2﹣（﹣1）＝2+1＝3，
∴点C在﹣1到2之间时，|x+1|+|x﹣2|取得的值最小，最小值是3；
故答案为：3；
（4）应用：根据题意，共有5种调配方案，如下图所示：
由上可知，调出的最小车辆数为：4+2+6＝12辆．
17．我们知道：|a|的几何意义可以理解为数轴上表示数a的点与原点之间的距离，请大家运用相关知识继续探索数轴上多个点之间的距离问题：
（1）数轴上点A、点B分别是数﹣1、3对应的点，则点A与点B之间的距离为　4　．
（2）再选几个点试试，猜想：若点A、点B分别是数a、b对应的点，则点A与点B之间的距离为　|b﹣a|　．
（3）若数轴上点A对应的数为a，且|a﹣2|+|a﹣1|＝12，且点A对应的数为　﹣4.5或7.5　．
（4）继续利用绝对值的几何意义，探索|x﹣12|+|x+5|的最小值是　17　．
（5）已知数x，y满足|x+7|+|1﹣x|＝19﹣|y﹣10|﹣|1+y|，则x+y的最小值是　﹣8　，最大值是　11　．
【解答】解：（1）点A、点B间的距离＝3﹣（﹣1）＝4；
（2）若点A、点B分别是有理数a、b对应的点，则点A、点B间的距离为a﹣b（a＞b）或b﹣a（a＜b），即|b﹣a|；
（3）|a﹣2|+|a﹣1|＝12表示点A到2对应点和1对应的点的距离之和为12，而1与2对应的点表示的距离为12，则点A对应的实数为﹣4.5或7.5；
（4）说出|x﹣12|+|x+5|表示的几何意义 数轴上点x与12的距离与点x与﹣5距离的和，利用数轴及绝对值的几何意义写出该式能取得的最小值是17，
（5）原式变形为：|x+7|+|1﹣x|+|y﹣10|+|1+y|＝19，
所以，要使等式满足，可得：﹣7≤x≤1，﹣1≤y≤10，
所以x+y的最小值是﹣8，最大值是11；
故答案为：4；|b﹣a|；﹣4.5或7.5；17；﹣8；11
18．大家知道|5|＝|5﹣0|，它在数轴上的意义是表示5的点与原点（即表示0的点）之间的距离．又如式子|6﹣3|，它在数轴上的意义是表示6的点与表示3的点之间的距离．即点A、B在数轴上分别表示数a、b，则A、B两点的距离可表示为：|AB|＝|a﹣b|．根据以上信息，回答下列问题：
（1）数轴上表示2和5的两点之间的距离是　3　；数轴上表示﹣3和15的两点之间的距离是　18　；
（2）点A、B在数轴上分别表示数x和﹣1．
①用代数式表示A、B两点之间的距离；
②如果|AB|＝2，求x值．
【解答】解：（1）数轴上表示2和5的两点之间的距离是：|5﹣2|＝3；
数轴上表示﹣3和15的两点之间的距离是：|15﹣（﹣3）|＝18．
故答案为：3，18．
（2）①|AB|＝|x﹣（﹣1）|＝|x+1|．
②如果|AB|＝2，
则|x+1|＝2，
x+1＝2或x+1＝﹣2，
解得x＝1或x＝﹣3．
19．结合数轴与绝对值的知识回答下列问题：
（1）数轴上表示4和1的两点之间的距离是　3　；表示﹣3和2两点之间的距离是　5　；一般地，数轴上表示数m和数n的两点之间的距离等于|m﹣n|．如果表示数a和﹣2的两点之间的距离是3，那么a＝　1或﹣5　；
（2）若数轴上表示数a的点位于﹣4与2之间，求|a+4|+|a﹣2|的值．
【解答】解：（1）数轴上表示4和1的两点之间的距离是4﹣1＝3；表示﹣3和2两点之间的距离是2﹣（﹣3）＝5；如果表示数a和﹣2的两点之间的距离是3，那么a＝1或﹣5；
（2）若数轴上表示数a的点位于﹣4与2之间，
|a+4|+|a﹣2|＝（a+4）+（2﹣a）＝6．
故答案为：3，5，1或﹣5．
20．有理数a，b在数轴上的位置如下图所示：
（1）请在数轴上分别标出表示﹣a和﹣b的点，并把a，b﹣a，﹣b和0这五个数用“＜”连接起来；
（2）如果表示a的点到原点的距离为2，|b|＝3，那么a＝　﹣2　；b＝　3　；
（3）由（2）中求出的a，b值，根据代数式|x﹣a|+|x﹣b|的几何意义，写出它的最小值是　5　，相应的x的取值范围是　﹣2≤x≤3　．
【解答】解：（1）在数轴上表示﹣a，﹣b如下图：
﹣b＜a＜0＜﹣a＜b…（4分）
（2）﹣2，3 …（7分）
（3）5，﹣2≤x≤3…（10分）
21．探究数轴上两点之间的距离与这两点的对应关系：
（1）观察数轴，填空：
点A与点B的距离是　2　；点C与点B的距离是　5　；
点E与点F的距离是　1　；点D与点G的距离是　5　．
我们发现：在数轴上，如果点M对应的数为m，点N对应的数为n，那么点M与点N之间的距离MN可表示为　|m﹣n|　（用m、n表示）．
（2）利用你发现的规律，解决下列问题：数轴上表示x和2的两点之间的距离是3，则x＝　5或﹣1　．
（3）利用你发现的规律，逆向思维解决下列问题：
①|x﹣2|＝5，则x＝　7或﹣3　．
②|x+3|＝2，则x＝　﹣5或﹣1　．
【解答】解：（1）由数轴可得：点A与点B的距离是2，点C与点B的距离是5，点E与点F的距离是1，点D与点G的距离是5．
点M与点N之间的距离MN可表示为|m﹣n|．
故答案为：2，5，1，5，|m﹣n|．
（2）若数轴上表示x和2的两点之间的距离是3，则|x﹣2|＝3，
即x﹣2＝3或x﹣2＝﹣3，
解得x＝5或﹣1．
故答案为：5或﹣1．
（3）①|x﹣2|＝5，即x﹣2＝5或x﹣2＝﹣5，
解得x＝7或﹣3，
故答案为：7或﹣3．
②|x+3|＝2，即x+3＝2或x+3＝﹣2，
解得x＝﹣1或﹣5，
故答案为：﹣5或﹣1．
22．数学实验室：
点A、B在数轴上分别表示有理数a、b，A、B两点之间的距离表示为AB，在数轴上A、B两点之间的距离AB＝|a﹣b|．
利用数形结合思想回答下列问题：
①数轴上表示2和5两点之间的距离是　3　；
②数轴上表示x和﹣2的两点之间的距离表示为　|x+2|　；
③若x表示一个有理数，且﹣3＜x＜1，则＝　4　；
④若x表示一个有理数，且＞4，则有理数x的取值范围是　x＜﹣3或x＞1　．
【解答】解：①数轴上表示2和5两点之间的距离是|5﹣2|＝3；
②根据绝对值的定义有：数轴上表示x和﹣2的两点之间的距离表示为|x﹣（﹣2）|＝|x+2|或|﹣2﹣x|＝|x+2|；
③∵﹣3＜x＜﹣1
∴x+（﹣1）＝x﹣1＜0，x﹣（﹣3）＝x+3＞0
∴＝1﹣x+x+3＝4；
④∵当x＜﹣3时，|x﹣1|+|x+3|＝1﹣x﹣x﹣3＝﹣2x﹣2，
当﹣3≤x≤1时，|x﹣1|+|x+3|＝1﹣x+x+3＝4，
当x＞1时，|x﹣1|+|x+3|＝x﹣1+x+3＝2x+2
∴＞4，则有理数x的取值范围是：x＜﹣3或x＞1．
故答案为：①3；②|x+2|；③4；④x＜﹣3或x＞1．
23．阅读下列材料：
点A、B在数轴上分别表示两个数a、b，A、B两点间的距离记为|AB|，O表示原点．当A、B两点中有一点在原点时，不妨设点A为原点，如图1，则|AB|＝|OB|＝|b|＝|a﹣b|；当A、B两点都不在原点时，
①如图2，若点A、B都在原点的右边时，|AB|＝|OB|﹣|OA|＝|b|﹣|a|＝b﹣a＝|a﹣b|；
②如图3，若点A、B都在原点的左边时，|AB|＝|OB|﹣|OA|＝|b|﹣|a|＝﹣b﹣（﹣a）＝|a﹣b|；
③如图4，若点A、B在原点的两边时，|AB|＝|OB|+|OA|＝|b|+|a|＝﹣b+a＝|a﹣b|．
回答下列问题：
（1）综上所述，数轴上A、B两点间的距离为|AB|＝　|a﹣b|　．
（2）若数轴上的点A表示的数为2，点B表示的数为﹣3，则A、B两点间的距离为　5　；
（3）若数轴上的点A表示的数为x，点B表示的数为﹣1，则|AB|＝　|x+1|　，若|AB|＝3，则x的值为　2或﹣4　；
（4）代数式|x﹣2|+|x+3|的最小值为　5　，取得最小值时x的取值范围是　﹣3≤x≤2　．
（5）满足|x+1|+|x+4|＞3的x的取值范围是　x＜﹣4或x＞﹣1　．
【解答】解：（1）|a﹣b|；
（2）|AB|＝|2﹣（﹣3）|＝5；
（3）|AB|＝|x﹣（﹣1）|＝|x+1|，
∵|AB|＝3，
∴|x+1|＝3，
∴x+1＝±3，解得x＝2或﹣4；
（4）∵|x﹣2|+|x+3|表示数轴上某点到﹣3表示的点与2表示的点的距离之和，
∴当这个点在﹣3表示的点与2表示的点之间时，|x﹣2|+|x+3|最小，等于|2﹣（﹣3）|＝5，
即取得最小值时x的取值范围﹣3≤x≤2；
（5）x＜﹣4或x＞﹣1．
故答案为|a﹣b|；5；|x+1|，2或﹣4；5，﹣3≤x≤2；x＜﹣4或x＞﹣1．
24．我们知道：点A、B在数轴上分别表示有理数a、b，A、B两点之间的距离表示为AB，在数轴上A、B两点之间的距离AB＝|a﹣b|
请回答下列问题：
（1）数轴上表示﹣2和3的两点之间的距离是　5　：
（2）数轴上表示x和﹣3的两点之间的距离为2，则有理数x是　﹣5或﹣1　；
（3）若x表示一个有理数，且﹣3＜x＜1，则|x﹣1|+|x+3|＝　4　；
（4）若x表示一个有理数，且|x﹣1|+|x+3|＞4，则有理数x的取值范围是　x＞1或x＜﹣3　；
（5）不等式|x﹣1|+|x+3|≥8的解集是　x≥3或x≤﹣5　．
【解答】解：（1）∵﹣2和3两点之间的距离是：|﹣2﹣3|＝5，
（2）∵x和﹣3的两点之间的距离为：|x﹣（﹣3）|＝|x+3|＝2，
∴数轴上表示x和﹣3的两点之间的距离表示为：|x+3|＝2．
∴x+3＝±2，
解得：x＝﹣5或﹣1
（3）∵﹣3＜x＜1，
∴|x﹣1|+|x+3|＝1﹣x+x+3＝4．
（4）当x＞1时，原式＝x﹣1+x+3＝2x+2＞4，解得，x＞1；
当x＜﹣3时，原式＝﹣x+1﹣x﹣3＝﹣2x﹣2＞4，解得，x＜﹣3；
当﹣3＜x＜1时，原式＝﹣x+1+x+3＝4，不符合题意，故舍去；
∴有理数x的取值范围是：x＞1或x＜﹣3．
（5）当x＞1时，原式＝x﹣1+x+3＝2x+2≥8，解得，x≥3；
当x＜﹣3时，原式＝﹣x+1﹣x﹣3＝﹣2x﹣2≥8，解得，x≤﹣5；
当﹣3＜x＜1时，原式＝﹣x+1+x+3＝4，
∴不等式|x﹣1|+|x+3|≥8的解集是：x≥3或x≤﹣5