【专题精练】浙教七年级上册 a除以a的绝对值 （含详细解析）

浙教版七年级上册数学 a除以a的绝对值 专题训练
1．若a，b都是非零的有理数，那么的值是多少？
2．已知：若a＞0，＝1；若a＜0，＝﹣1，根据所给信息．求的所有可能值．
3．已知a，b，c都是有理数，且满足++＝1．试判断a、b、c三个数中正数有几个．
4．若ab＜0，求，++的值．
5．①如果a，b，c是有理数且abc≠0，计算代数式的值；
②如果有理数a+b+c＝0且abc≠0，计算代数式的值．
6．如果a，b，c均是非零的有理数，且a+b+c＝0．求++﹣的值．
7．已知abc≠0，且a+b+c＝0，求++的值．
8．对于有理数a（a≠0）而言，显然有，那么请考虑：的值有多少种情况？（a≠0，b≠0，c≠0）
9．如果abc≠0，代数式++++++的最小值是n，则n11的值是多少？
10．已知有理数a、b、c、d满足＝﹣1，求+++的值．
11．若abc＜0，a+b+c＞0，化简：+++．
12．计算：++++++++．
13．若a，b，c是非零有理数，++＝﹣1，试求+++的值．
14．已知a、b、c是有理数．
（1）当ab＞0，a+b＜0，时，先判断a、b的正、负符号，再求+的值；
（2）当abc≠0时，直接写出++的值．
15．有理数a、b在数轴上的位置如图所示．
（1）试确定a、b、ab、a+b的符号；
（2）求的值．
16．（1）已知ab＜0，则+＝　 　；
（2）已知ab＞0，则+＝　 　；
（3）若a，b都是非零的有理数，那么+的值是多少？
17．设a，b，c是非零有理数．
（1）求++的值；
（2）求+++++的值．
18．已知，求×××的值．
19．已知a，b、c三数在数轴上的位置如图所示，化简．
20．已知a，b，c是均不等于0的有理数，化简．
21．已知+＝0，试求++的值．
22．已知a，b，c为有理数，且++＝﹣1，求的值．
23．在解决数学问题的过程中，我们常用到“分类讨论”的数学思想，下面是运用分类讨论的数学思想解决问题的过程，请仔细阅读，并解答题目后提出的（探究）．
（提出问题）两个有理数a、b满足a、b同号，求的值．
解：①若a、b都是正数，即a＞0，b＞0，|a|＝a，|b|＝b，则＝＝1+1＝2；
②若a、b都是负数，即a＜0，b＜0，有|a|＝﹣a，|b|＝﹣b，则＝＝（﹣1）+（﹣1）＝﹣2，
所以的值为2或﹣2．
（探究）请根据上面的解题思路解答下面的问题：
（1）两个有理数a、b满足a、b异号，求的值；
（2）已知|a|＝3，|b|＝2，|c|＝1，且a＜b＜c，求a+b+c的值．
24．在解决数学问题的过程中，我们常用到“分类讨论”的数学思想，下面是运用分类讨论的数学思想解决问题的过程，请仔细阅读，并解答题目后提出的“探究”．
[提出问题]
三个有理数a，b，c满足abc＞0，求+的值．
[解决问题]
解：由题意得：a，b，c三个有理数都为正数或其中一个为正数，另两个为负数．
①当a，b，c都是正数，即a＞0，b＞0，c＞0时，则++＝1+1+1＝3；
（备注：一个非零数除以它本身等于1，如：3÷3＝1，则＝1，（a≠0））
②当a，b，c有一个为正数，另两个为负数时，设a＞0，b＜0，c＜0，则++＝1﹣1﹣1＝﹣1，则+．（备注：一个非零数除以它的相反数等于﹣1，如：﹣3÷3＝﹣1，则＝﹣1（b≠0））
[探究]
请根据上面的解题思路解答下面的问题：
（1）三个有理数a，b，c满足abc＜0，求+；
（2）已知|a|＝3，|b|＝1，且a＜b，求a+b的值．
参考答案
1．若a，b都是非零的有理数，那么的值是多少？
【解答】解：当a＞0，b＞0时，
＝1+1+1＝3；
当a＞0，b＜0时，
＝1﹣1﹣1＝﹣1；
当a＜0，b＞0时，
＝﹣1+1﹣1＝﹣1；
当a＜0，b＜0时，
＝﹣1﹣1+1＝﹣1．
2．已知：若a＞0，＝1；若a＜0，＝﹣1，根据所给信息．求的所有可能值．
【解答】解：∵若a＞0，＝1；若a＜0，＝﹣1，
∴当a＞0，b＞0，
原式＝1+1＝2；
当a＞0，b＜0，
原式＝1﹣1＝0；
当a＜0，b＞0，
原式＝﹣1+1＝0；
当a＜0，b＜0，
原式＝﹣1﹣1＝﹣2，
综上所述：的所有可能值为：2，﹣2，0．
3．已知a，b，c都是有理数，且满足++＝1．试判断a、b、c三个数中正数有几个．
【解答】解：当a＞0，b＞0，c＞0时，++＝3，
当a＞0，b＞0，c＜0时，得++＝1，
当a＞0，b＜0，c＜0时，++＝﹣1，
当a＞0，b＜0，c＞0时，++＝1
当a＜0，b＜0，c＜0时，++＝﹣3，
当a＜0，b＞0，c＞0时，++＝1，
当a＜0，b＞0，c＜0时，++＝﹣1，
当a＜0，b＜0，c＞0时++＝﹣1
综上所述：a、b、c三个数中正数有2个时，++＝1．
4．若ab＜0，求，++的值．
【解答】解：∵ab＜0，
∴a与b异号，
则原式＝﹣1+1﹣1＝﹣1．
5．①如果a，b，c是有理数且abc≠0，计算代数式的值；
②如果有理数a+b+c＝0且abc≠0，计算代数式的值．
【解答】解：①当a、b、c中没有负数时，都是正数，则原式＝1+1+1+1＝4；
当a、b、c中只有一个负数时，不妨设a是负数，则原式＝﹣1+1+1﹣1＝0；
当a、b、c中有2个负数时，不妨设a、b是负数，则原式＝﹣1﹣1+1+1＝0；
当a、b、c都是负数时，则原式＝﹣1﹣1﹣1﹣1＝﹣4，
综上所述，代数式的值是4或﹣4或0；
②当有理数a+b+c＝0且abc≠0时，a、b、c中至少有1个正数，有1个负数．
则代数式的值是：0．
6．如果a，b，c均是非零的有理数，且a+b+c＝0．求++﹣的值．
【解答】解：由已知可得：a，b，c为两正一负或两负一正．
①当a，b，c为两正一负时：++＝1，＝﹣1，则++﹣＝2；
②当a，b，c为两负一正时：++＝﹣1，＝1，++﹣＝﹣2
由①②知++﹣的所有可能的值为±2．
7．已知abc≠0，且a+b+c＝0，求++的值．
【解答】解：∵abc≠0，且a+b+c＝0，
则a、b、c有两正一负或一正两负，
当a＞0，b＜0，c＜0时，
原式＝1+（﹣1）+（﹣1）+（﹣1）+1+（﹣1）+1＝﹣1；
同理，当b＞0，a＜0，c＜0或c＞0，a＜0，b＜0时，
原式＝﹣1，
当a＞0，b＞0，c＜0时，
原式＝1+1+（﹣1）+1+（﹣1）+（﹣1）+（﹣1）＝﹣1，
同理，当a＞0，c＞0，b＜0或b＞0，c＞0，a＜0时，
原式＝﹣1．
综上所述，++的值为﹣1．
8．对于有理数a（a≠0）而言，显然有，那么请考虑：的值有多少种情况？（a≠0，b≠0，c≠0）
【解答】解：当a，b，c都是正数时，原式＝1+1+1+1＝4；
当a．b，c中有一个是负数时，abc＜0，不妨设a是负数，原式＝﹣1+1+1+（﹣1）＝0；
当a．b，c中有两个是负数时，abc＞0，不妨设a，b是负数，原式＝﹣1﹣1+1+1＝0；
当a．b，c都是负数时，abc＜0，原式＝﹣1﹣1﹣1﹣1＝﹣4；
故代数式的值为4，0，﹣4三种情况．
9．如果abc≠0，代数式++++++的最小值是n，则n11的值是多少？
【解答】解：由题意可知代数式的最小值为﹣1，即n＝﹣1，
则n11＝（﹣1）11＝﹣1．
10．已知有理数a、b、c、d满足＝﹣1，求+++的值．
【解答】解：根据＝﹣1，得到a，b，c，d中负数个数为1个或3个，
则原式＝﹣1+1+1+1＝2或﹣1﹣1﹣1+1＝﹣2．
11．若abc＜0，a+b+c＞0，化简：+++．
【解答】解：∵abc＜0，a+b+c＞0，
∴a，b，c中只有一个小于0，不妨设a＜0，则b＞0，c＞0，
∴原式＝﹣1+1+1﹣1＝0．
12．计算：++++++++．
【解答】解：当a＞0，b＞0，c＞0，d＞0，e＞0，f＞0，++++++++＝9；
当a＜0，b＞0，c＞0，d＞0，e＞0，f＞0，++++++++＝7；
当a＜0，b＜0，c＞0，d＞0，e＞0，f＞0，++++++++＝5；
当a＜0，b＜0，c＜0，d＞0，e＞0，f＞0，++++++++＝3；
当a＜0，b＜0，c＜0，d＜0，e＞0，f＞0，++++++++＝1；
当a＜0，b＜0，c＜0，d＜0，e＜0，f＞0，++++++++＝﹣1；
当a＜0，b＜0，c＜0，d＜0，e＜0，f＜0，++++++++＝﹣3．
13．若a，b，c是非零有理数，++＝﹣1，试求+++的值．
【解答】解：由++＝﹣1，得
a、b、c有两个是负数，一个是正数．
当a＞0，b＜0，c＜0时，+++＝﹣1+1﹣1+1＝0，
当a＜0，b＜0，c＞0时，+++＝1﹣1﹣1+1＝0，
当a＜0，b＞0，c＜0时，+++＝﹣1﹣1+1+1＝0．
综上所述：+++＝0．
14．已知a、b、c是有理数．
（1）当ab＞0，a+b＜0，时，先判断a、b的正、负符号，再求+的值；
（2）当abc≠0时，直接写出++的值．
【解答】解：（1）∵ab＞0，
∴a，b同号，
∵a+b＜0，
∴a＜0，b＜0，
∴原式＝；
（2）当a＞0，b＞0，c＞0时，原式＝1+1+1＝3；
当a＞0，b＜0，c＞0时，原式＝1﹣1+1＝1；
当a＞0，b＞0，c＜0时，原式＝1+1﹣1＝1；
当a＞0，b＜0，c＜0时，原式＝1﹣1﹣1＝﹣1；
当a＜0，b＞0，c＞0时，原式＝﹣1+1+1＝1；
当a＜0，b＜0，c＞0时，原式＝﹣1﹣1+1＝﹣1；
当a＜0，b＞0，c＜0时，原式＝﹣1+1﹣1＝﹣1；
当a＜0，b＜0，c＜0时，原式＝﹣1﹣1﹣1＝﹣3．
综上，的值为3；1；﹣1；﹣3．
15．有理数a、b在数轴上的位置如图所示．
（1）试确定a、b、ab、a+b的符号；
（2）求的值．
【解答】解：（1）根据数轴上点的位置可知：a＞0，b＜0，ab＜0，
∵|b|＞|a|，
∴a+b＜0．
（2）原式＝+++＝1﹣1﹣1﹣1＝﹣2．
16．（1）已知ab＜0，则+＝　0　；
（2）已知ab＞0，则+＝　±2　；
（3）若a，b都是非零的有理数，那么+的值是多少？
【解答】解：（1）已知ab＜0，
可得：a＜0，b＞0，则+＝0，
b＜0，a＞0，则+＝0；
（2）已知ab＞0，
可得a＞0，b＞0，则+＝2，
a＜0，b＜0，则+＝﹣2；
（3）当a＞0，b＞0时，
+＝1+1+1＝3；
当a＞0，b＜0时，
+＝1﹣1﹣1＝﹣1；
当a＜0，b＞0时，
+＝﹣1+1﹣1＝﹣1；
当a＜0，b＜0时，
+＝﹣1﹣1+1＝﹣1，
综上所述，3和﹣1；
故答案为：0；±2
17．设a，b，c是非零有理数．
（1）求++的值；
（2）求+++++的值．
【解答】解：（1）当abc＞0，即三正时，原式1+1+1＝3；一正两负时，原式＝﹣1﹣1+1＝﹣1；
当abc＜0，即三负时，原式＝﹣1﹣1﹣1＝﹣3；一负两正时，原式＝﹣1+1+1＝1；
（2）当abc＞0，即三正时，原式1+1+1+1+1+1＝6；一正两负时，原式＝1﹣1﹣1+1﹣1﹣1＝﹣2；
当abc＜0，即三负时，原式＝﹣1﹣1﹣1+1+1+1＝0；一负两正时，原式＝﹣1+1+1﹣1+1﹣1＝0．
18．已知，求×××的值．
【解答】解：，
①当a、b、c全是负数，
则原式＝++×
＝++
＝﹣1﹣1﹣1
＝﹣3；
②a、b、c两正一负，
则原式＝++×
＝++，一定是两个1与一个﹣1的和，
计算的结果是1+1﹣1＝1．
所以原式的值是1或﹣3．
19．已知a，b、c三数在数轴上的位置如图所示，化简．
【解答】解：由图可知，a＞0，b＞0，c＜0，
所以，++＝++＝1+1﹣1＝1．
20．已知a，b，c是均不等于0的有理数，化简．
【解答】解：①a、b、c三个数都是正数时，a＞0，b＞0，c＞0，ab＞0，ac＞0，bc＞0，abc＞0，
++++++，
＝++++++，
＝1+1+1+1+1+1+1，
＝7；
②a、b、c中有两个正数时，不妨设为a＞0，b＞0，c＜0，
则ab＞0，ac＜0，bc＜0，abc＜0，
所以，++++++，
＝+﹣+﹣﹣﹣，
＝1+1﹣1+1﹣1﹣1﹣1，
＝﹣1；
③a、b、c有一个正数时，不妨设为a＞0，b＜0，c＜0，
则ab＜0，ac＜0，bc＞0，abc＞0，
++++++，
＝﹣﹣﹣﹣++，
＝1﹣1﹣1﹣1﹣1+1+1，
＝﹣1；
④a、b、c三个数都是负数时，即a＜0，b＜0，c＜0，
则ab＞0，ac＞0，bc＞0，abc＜0，
++++++，
＝﹣﹣﹣+++﹣，
＝﹣1﹣1﹣1+1+1+1+1﹣1，
＝﹣1；
综上所述，原式的值为7或﹣1．
21．已知+＝0，试求++的值．
【解答】解：原式＝0+
＝0+（﹣1）
＝﹣1．
22．已知a，b，c为有理数，且++＝﹣1，求的值．
【解答】解：∵a，b，c为有理数，且++＝﹣1，
∴a，b，c中有两个为负数，一个为正数，即abc＞0，
则原式＝1．
23．在解决数学问题的过程中，我们常用到“分类讨论”的数学思想，下面是运用分类讨论的数学思想解决问题的过程，请仔细阅读，并解答题目后提出的（探究）．
（提出问题）两个有理数a、b满足a、b同号，求的值．
解：①若a、b都是正数，即a＞0，b＞0，|a|＝a，|b|＝b，则＝＝1+1＝2；
②若a、b都是负数，即a＜0，b＜0，有|a|＝﹣a，|b|＝﹣b，则＝＝（﹣1）+（﹣1）＝﹣2，
所以的值为2或﹣2．
（探究）请根据上面的解题思路解答下面的问题：
（1）两个有理数a、b满足a、b异号，求的值；
（2）已知|a|＝3，|b|＝2，|c|＝1，且a＜b＜c，求a+b+c的值．
【解答】解：（1）由a、b异号，可知：①a＞0，b＜0；②a＜0，b＞0，
当a＞0，b＜0时，＝1﹣1＝0；
当a＜0，b＞0时，＝﹣1+1＝0．
综上，的值为0；
（2）∵|a|＝3、|b|＝2、|c|＝1，
∴a＝±3，b＝±2，c＝±1．
∵a＜b＜c，
∴a＝﹣3，b＝﹣2，c＝﹣1或a＝﹣3，b＝﹣2，c＝1．
当a＝﹣3，b＝﹣2，c＝﹣1时，
a+b+c＝﹣3+（﹣2）+（﹣1）＝﹣6；
当a＝﹣3，b＝﹣2，c＝1时，
a+b+c＝﹣3+（﹣2）+1＝﹣4
综上，a+b+c的值为﹣6或﹣4．
24．在解决数学问题的过程中，我们常用到“分类讨论”的数学思想，下面是运用分类讨论的数学思想解决问题的过程，请仔细阅读，并解答题目后提出的“探究”．
[提出问题]
三个有理数a，b，c满足abc＞0，求+的值．
[解决问题]
解：由题意得：a，b，c三个有理数都为正数或其中一个为正数，另两个为负数．
①当a，b，c都是正数，即a＞0，b＞0，c＞0时，则++＝1+1+1＝3；
（备注：一个非零数除以它本身等于1，如：3÷3＝1，则＝1，（a≠0））
②当a，b，c有一个为正数，另两个为负数时，设a＞0，b＜0，c＜0，则++＝1﹣1﹣1＝﹣1，则+．（备注：一个非零数除以它的相反数等于﹣1，如：﹣3÷3＝﹣1，则＝﹣1（b≠0））
[探究]
请根据上面的解题思路解答下面的问题：
（1）三个有理数a，b，c满足abc＜0，求+；
（2）已知|a|＝3，|b|＝1，且a＜b，求a+b的值．
【解答】解：由题意得：abc＜0，
∴①a、b、c三数均为负，即a＜0，b＜0，c＜0，
，
②当a、b、c只有一个负数，另两个为正数时，
即a＜0，b＞0，c＞0，
∴++＝﹣1+1+1＝1，
∴的值为﹣3或1；
（2）∵|a|＝3，|b|＝1，
∴a＝±3，b＝±1，
又∵a＜b，
∴①a＝﹣3，b＝1，则a+b＝﹣3+1＝﹣2，
②a＝﹣3，b＝﹣1，则a+b＝﹣3+（﹣1）＝﹣4，
③a＝3，b＝±1，则a＞b（不合题意，舍去）．