【专题精练】浙教七年级上册 利用算术平方根的非负性解题（含详细解析）

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浙教版七年级上册数学 利用算术平方根的非负性解题 专题训练
1．若与互为相反数，则的值为（ ）
A．3 B．6 C．9 D．1
2．已知，则的值是（ ）
A．3 B．13 C． D．23
3．已知，则的值为（ ）
A．10 B．不能确定 C． D．
4．若，则的平方根为（ ）
A．36 B． C． D．6
5．若，则的平方根为（ ）
A． B． C． D．
6．若+（b+2）2＝0，则a+b＝___．
7．已知，则的值为_______．
8．已知a，b满足．那么______．
9．若，则__________，_____________．
10．已知和互为相反数，那么等于_______．
11．若实数、满足，则________．
12．若，则的平方根为___________．
13．已知，则_____________．
14．已知a，b满足，则_________．
15．，则_________．
16．若、为实数，且，则的值为__________．
17．若，则=__________．
18．如果和互为相反数，那么________．
19．若a、b为实数，且满足，则的立方根为______．
20．若实数a，b，c满足关系式，则c的平方根为______．
21．已知实数，满足，则的平方根等于__________．
22．已知，则______
23．已知：与互为相反数，试求下面代数式的值．
24．在中任取两个数相乘，最大的积是a，最小的积是b．
（1）分别求出a和b的值；
（2）若，求的值．
25．已知有理数a，b满足，
（1）试求a，b的值.
（2）若对于有理数x、y，定义运算：，例如：，试求的值.
26．已知a，b，c满足，请回答下列问题：
（1）直接写出a，b，c的值．_______，_______，_______．并在数轴上表示．
（2）a，b，c所对应的点分别为A，B，C，若点A以每秒1个单位长度向右运动，点C以每秒3个单位长度向左运动；
①运动1.5秒后，A，C两点相距几个单位长度．
②几秒后，A，C两点之间的距离为4个单位长度．
参考答案
1．若与互为相反数，则的值为（ ）
A．3B．6C．9D．1
【答案】B
【分析】根据互为相反数的两个数的和等于0列出方程，再根据非负数的性质列式求出x、y的值，然后代入进行计算即可得解．
【详解】解：∵与互为相反数，
∴，
∴，，
∴x=-3，y=9，
∴x+y=-3+9=6，
故选B．
【点睛】本题考查了相反数的性质，非负数的性质：几个非负数的和为0时，这几个非负数都为0．
2．已知，则的值是（ ）
A．3B．13C．D．23
【答案】A
【分析】根据非负数的性质列出方程求出x、y的值，代入所求代数式计算即可．
【详解】解：∵，
∴x=-10、y=13，
则x+y=-10+13=3，
故选：A．
【点睛】本题考查了非负数的性质：几个非负数的和为0时，这几个非负数都为0．
3．已知，则的值为（ ）
A．10B．不能确定C．D．
【答案】C
【分析】根据算术平方根的非负性得到x和y的值，再代入计算．
【详解】解：∵，
∴x-2=0且y+8=0，
∴x=2，y=-8，
∴=-6，
故选C．
【点睛】本题考查了算术平方根的非负性，解题的关键是掌握被开方数是非负数．
4．若，则的平方根为（ ）
A．36B．C．D．6
【答案】C
【分析】先根据二次根式的被开方数的非负性求出x的值，从而可求出y的值，再将x、y的值代入求解，然后根据平方根的定义即可得．
【详解】由二次根式的被开方数的非负性得：
解得，即
再将代入得：
将代入得：
则的平方根为
故选：C．
【点睛】本题考查了二次根式的被开方数的非负性、有理数的幂运算、平方根的定义，依据二次根式的被开方数的非负性求出x的值是解题关键．
5．若，则的平方根为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根据非负数的性质得出x、y的值，再代入代数式进行计算，再根据平方根的定义进行求解．
【详解】解：∵
∴x+2=0， y-3=0，
∴x=-2，y=3，
∴-xy =2×3=6，
∴-xy的平方根为
故选：D
【点睛】本题考查了算术平方根和绝对值非负数的性质，根据几个非负数的和等于0，则每一个算式都等于0列式是解题的关键．
6．若+（b+2）2＝0，则a+b＝___．
【答案】3
【分析】根据非负性求解a、b，代入求解即可．
【详解】解：∵+（b+2）2＝0，
∴a﹣5=0，b+2=0，
∴a=5，b=﹣2，
∴a+b=5+（﹣2）=3，
故答案为：3．
【点睛】本题考查代数式求值，涉及算术平方根和偶次方的非负性、解一元一次方程、有理数加减运算，熟练掌握非负性是解答的关键．
7．已知，则的值为_______．
【答案】3
【分析】直接利用非负数的性质分析得出答案．
【详解】解：∵，
∴x-1=0，5x-y+4=0，
解得：x=1，y=9，
故=3，
故答案为：3．
【点睛】此题主要考查了非负数的性质，正确得出x的值是解题关键．
8．已知a，b满足．那么______．
【答案】-1
【分析】根据绝对值及算术平方根的非负性可求出a、b的值，然后代入求解即可．
【详解】解：∵，，
∴，
∴，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查绝对值及算术平方根的非负性，熟练掌握绝对值及算术平方根的非负性是解题的关键．
9．若，则__________，_____________．
【答案】 -1 2
【分析】根据非负数的性质可得x和y值．
【详解】解：∵，
∴x+1=0，y-2=0，
∴x=-1，y=2，
故答案为：-1，2．
【点睛】本题考查了非负数的性质，解题的关键是掌握绝对值和算术平方根的非负性．
10．已知和互为相反数，那么等于_______．
【答案】5
【分析】先依据相反数的性质得到等式，再依据非负数的性质求得a、b的值，然后再求代数式的值即可．
【详解】解：∵和互为相反数，
∴+=0，
∴a=-4，b=3．
∴a+3b=-4+3×3=-4+9=5．
故答案为：5．
【点睛】本题主要考查的是相反数和非负数的性质，由非负数的性质求得a、b的值是解题的关键．
11．若实数、满足，则________．
【答案】
【分析】根据非负数的性质得到a，b，c的值，再代入计算．
【详解】解：∵，
∴a+2=0，b-4=0，c-5=0，
∴a=-2，b=4，c=5，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题考查了非负数的性质，解题的关键是根据绝对值、算术平方根和偶次幂的性质得到各字母的值．
12．若，则的平方根为___________．
【答案】±3
【分析】根据绝对值得性质以及二次根式的性质进而得出二元一次方程组，进而求出x，y的值，即可得出答案．
【详解】解：∵，
∴，解得：，
∴xy=32=9，故9的平方根为：±3．
故答案为：±3．
【点睛】此题主要考查了绝对值的性质以及二次根式的性质和二元一次方程组的解法，正确得出二元一次方程组是解题关键．
13．已知，则_____________．
【答案】20
【分析】根据非负数的性质列式求出x、y、z的值，然后代入代数式进行计算即可得解．
【详解】解：根据题意得，x-12=0，y+5=0，z-3=0，
解得x=12，y=-5，z=3，
所以，x-y+z=12-（-5）+3，
=12+5+3，
=20．
故答案为：20．
【点睛】本题考查了非负数的性质：几个非负数的和为0时，这几个非负数都为0．
14．已知a，b满足，则_________．
【答案】-2
【分析】根据绝对值及算术平方根的非负性可求出a、b的值，然后代入求解即可．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
∴，
故答案为．
【点睛】本题主要考查绝对值及算术平方根的非负性，熟练掌握绝对值及算术平方根的非负性是解题的关键．
15．，则_________．
【答案】3
【分析】先根据非负数的性质得出关于x、y的方程，求出x、y的值，代入x-y进行计算即可．
【详解】，
，，
解得，，
．
故答案为：3
【点睛】本题考查的是非负数的性质．解题的关键是掌握非负数的性质，即几个非负数的和为0时，这几个非负数都为0．
16．若、为实数，且，则的值为__________．
【答案】5
【分析】根据被开方数的非负性可先求出a、b的值，然后代入求解即可．
【详解】解：由可得：
∴，
∴，即，
∴，
∴，
故答案为5．
【点睛】本题主要考查被开方数的非负性，关键是熟练掌握算术平方根的性质．
17．若，则=__________．
【答案】
【分析】先根据绝对值、算术平方根、偶次方的非负性求出a、b、c的值，再代入即可得．
【详解】由题意得：，解得，
则，
故答案为：．
【点睛】本题考查了绝对值、算术平方根、偶次方的非负性的应用等知识点，熟练掌握绝对值、算术平方根、偶次方的非负性是解题关键．
18．如果和互为相反数，那么________．
【答案】-2
【分析】利用相反数的性质列出方程，求出方程的解即可得到x与y的值，进而得出答案．
【详解】解：∵和|y-2|互为相反数，
∴，
∴x+1=0，y-2=0，
解得：x=-1，y=2，
∴xy=-1×2=-2
故答案为：-2．
【点睛】本题考查了绝对值和平方数的非负性．互为相反数的两个数相加等于0，和|y-2|都是非负数，所以这个数都是0．
19．若a、b为实数，且满足，则的立方根为______．
【答案】
【分析】根据非负数的性质可求出a、b、c的值，再求的立方根.
【详解】∵，，，
又∵，
∴，，
解得，，．
∴．
所以．
故答案为-1.
【点睛】本题考查非负数的性质和求立方根，熟练掌握非负数之和为0，则每个非负数都等于0是关键.
20．若实数a，b，c满足关系式，则c的平方根为______．
【答案】
【分析】由二次根式被开方数为非负数可得，，，从而得出，代入原等式即可求解．
【详解】由题意可得
，，
，
∴
，
，
的平方根为，
故答案为．
【点睛】本题考查了二次根式的意义，明确二次根式被开方数为非负数是解题的关键
21．已知实数，满足，则的平方根等于__________．
【答案】
【详解】因为,,所以,解得,所以,因为16的平方根等于,所以答案为:.
22．已知，则______
【答案】1
【详解】试题分析：根据非负数的性质即可求得x、y的值，从而求得结果.
由题意得，则
考点：本题考查的是非负数的性质
点评：解答本题的关键是熟练掌握非负数的性质：若两个非负数的和为0，这两个数均为0.
三、解答题
23．已知：与互为相反数，试求下面代数式的值．
【答案】
【分析】由条件可得|ab-2|+=0，所以可求得ab=2，b=1，代入可求得a=2，再利用裂项抵消法可求得．
【详解】解：由条件可得，
∴，，
∴，
∴
．
【点睛】本题主要考查非负数的性质，解题的关键是由条件求得a=2，b=1．
24．在中任取两个数相乘，最大的积是a，最小的积是b．
（1）分别求出a和b的值；
（2）若，求的值．
【答案】（1）a=15，b=-20；（2）90
【分析】（1）根据有理数的乘法法则和大小比较得出a，b的值；
（2）根据（1）中的结果和非负数的性质，可以求得x、y的值，从而可以求得所求式子的值．
【详解】解：（1）由题意可得，
a=3×5=15，
b=-4×5=-20；
（2）∵，
∴x-a=0，y+b=0，
∴x=a=15，y=-b=20，
∴==90．
【点睛】本题考查整式的化简求值、非负数数性质，解答本题的关键是明确题意，求出a、b、x、y的值．
25．已知有理数a，b满足，
（1）试求a，b的值.
（2）若对于有理数x、y，定义运算：，例如：，试求的值.
【答案】（1）a=-1，b=2（2）a△b=-3，（-3）△a=
【分析】（1）根据绝对值和算术平方根的非负性解题;
（2）根据定义的运算列式计算;
【详解】(1)∵,|a+1|≥0,≥0,
∴a+1=0,=0,
∴a=-1,b=2;
(2)把a=-1,b=2代入
＝
＝.
【点睛】考查了实数的运算，解题关键是运用了绝对值和算术平方根的非负性得出a、b的值.
26．已知a，b，c满足，请回答下列问题：
（1）直接写出a，b，c的值．_______，_______，_______．并在数轴上表示．
（2）a，b，c所对应的点分别为A，B，C，若点A以每秒1个单位长度向右运动，点C以每秒3个单位长度向左运动；
①运动1.5秒后，A，C两点相距几个单位长度．
②几秒后，A，C两点之间的距离为4个单位长度．
【答案】（1）-3，1，5，数轴见解析；（2）①2；②1秒或3秒
【分析】（1）根据非负数的性质可得a，b，c，再在数轴上表示；
（2）①分别求出1.5秒后点A和点C所表示的数，再计算距离；
②分点A在点C左侧，点A在点C右侧两种情况，列方程求解．
【详解】解：（1）∵，
∴a+3=0，b-1=0，c-5=0，
∴a=-3，b=1，c=5，
数轴表示如下：
（2）①由题意可得：1.5秒后，
点A表示的数为：-3+1.5×1=-1.5，
点C表示的数为：5-3×1.5=0.5，
0.5-（-1.5）=2，
∴A，C两点相距2个单位长度；
②设t秒后，A，C两点之间的距离为4个单位长度，
若点A在点C左侧，
则-3+t+4=5-3t，
解得：t=1；
若点A在点C右侧，
则-3+t=5-3t+4，
解得：t=3，
综上：1秒或3秒后，A，C两点之间的距离为4个单位长度．
【点睛】本题考查了数轴，一元一次方程，非负数的性质，解题的关键是理解运动过程，掌握数轴上两点间距离的表示方法．
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