【专题精练】浙教七年级上册 算术平方根和立方根的综合运用 （含详细解析）

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浙教版七年级上册数学 算术平方根和立方根的综合运用 专题训练
1．下列说法：①是的平方根；②的平方根是；③的立方根是；④的算术平方根是；⑤的立方根是；⑥的平方根是，其中正确的说法是（ ）
A．个 B．个 C．个 D．个
2．若一个正数的平方根是和n，n的立方根是，则的算术平方根（ ）
A．0 B．4 C． D．
3．已知a的算术平方根是12.3，b的立方根是，x的平方根是，y的立方根是456，则x和y分别是（ ）
A． B．
C． D．
4．下列说法中，正确的是（ ）
A．的立方根是 B．1的平方根是1
C．的平方根是 D．的算术平方根是2
5．已知的立方根是3，的算术平方根是4，c是的整数部分，则的平方根为___________．
6．a的算术平方根为8，则a的立方根是__________．
7．的算术平方根是_____，立方根是_____．
8．若x是64的平方根，则＝ ________．
9．的立方根是___________．
10．36的算术平方根是________；_______的立方根是．
11．－的立方根是______．
12．已知的平方根是±3，b+2 的立方根是2，则的算术平方根是___________
13．计算:_______.
14．已知的平方根是的立方根是是的整数部分，求的算术平方根．
15．若实数的一个平方根是，的立方根是，求的平方根．
16．已知一个数的两个平方根分别是和，求这个数的立方根．
17．计算
（1）计算：． （2）
18．计算：
(1) (2)
19．已知某正数的两个平方根分别是和，的算术平方根为，求的立方根.
20．已知的平方等于a，b立方等于，的算术平方根为3．
（1）写出a，b，c的值；
（2）求的平方根．
21．已知m＋n－5的算术平方根是3，m－n＋4的立方根是－2，试求 的值．
22．已知2的平方等于a，2b-1是27的立方根，±表示3的平方根．
（1）求a，b，c的值；
（2）化简关于x的多项式：|x-a|-2（x+b）-c，其中x＜4．
23．求下列各式中的x：
（1）16x2﹣25=0；
（2）（x﹣3）3=64．
24．(1)已知2a-1的平方根是±3,2是3a+b-1的立方根,求a+2b的值.
(2)设2+的整数部分和小数部分分别是x,y,试求x,y的值与x-1的算术平方根.
25．已知x+12平方根是±，2x+y﹣6的立方根是2，求3xy的算术平方根．
26．观察下列各式，并用所得出的规律解决问题：
（1），，，……
，，，……
由此可见，被开方数的小数点每向右移动______位，其算术平方根的小数点向______移动______位．
（2）已知，，则_____；______．
（3），，，……
小数点的变化规律是_______________________．
（4）已知，，则______．
参考答案
1．下列说法：①是的平方根；②的平方根是；③的立方根是；④的算术平方根是；⑤的立方根是；⑥的平方根是，其中正确的说法是（ ）
A．个B．个C．个D．个
【答案】B
【分析】根据平方根、算术平方根及立方根的定义即可依次判断．
【详解】是的平方根，正确;
的平方根是，故错误﹔
的立方根是，故错误;
的算术平方根是，正确﹔
的立方根是，故错误;
的平方根是，故错误;
其中正确的说法是:，共个，
故选:．
【点睛】此题主要考查实数的性质，解题的关键是熟知平方根、算术平方根及立方根的定义．
2．若一个正数的平方根是和n，n的立方根是，则的算术平方根（ ）
A．0B．4C．D．
【答案】B
【分析】首先根据平方根的定义，求出m值，再根据立方根的定义求出n，代入-n+2m，求出这个值的算术平方根即可．
【详解】解：∵一个正数的平方根是和n，
∴，
∵n的立方根是，
∴，
∴，，
∴，16的算术平方根为4，
故选：B．
【点睛】本题考查了平方根、算术平方根、立方根．解题的关键是掌握平方根、算术平方根、立方根的定义，能够利用定义求出m、n值．
3．已知a的算术平方根是12.3，b的立方根是，x的平方根是，y的立方根是456，则x和y分别是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】根据题意，x的算术平方根和-b的立方根，然后根据x的算术平方根和a的算术平方根即可求出x与a的关系，根据-b的立方根和y的立方根关系即可求出y与b的关系．
【详解】解：∵a的算术平方根是，b的立方根是，x的平方根是，y的立方根是456，
∴x的算术平方根是，-b的立方根是
∵=×，456=10×
∴=，y=103（-b）
即
故选C．
【点睛】此题考查的是平方根、算术平方根和立方根，根据两数算术平方根的关系推出这两数的关系和两数立方根的关系推出这两数的关系是解题关键．
4．下列说法中，正确的是（ ）
A．的立方根是B．1的平方根是1
C．的平方根是D．的算术平方根是2
【答案】C
【分析】根据立方根，平方根，以及算术平方根知识判断各选项即可.
【详解】A、，-8的立方根是-2，故A选项错误；
B、1的平方根是±1，故B选项错误；
C、，4的平方根是，故C选项正确；
D、，2的算术平方根是；故D选项错误；
故选C.
【点睛】此题考查了立方根，平方根，以及算术平方根，熟练掌握各自的定义是解本题的关键．
5．已知的立方根是3，的算术平方根是4，c是的整数部分，则的平方根为___________．
【答案】±4
【分析】利用立方根的意义、算术平方根的意义、无理数的估算方法，求出a、b、c的值，代入代数式求出值后，进一步求得平方根即可．
【详解】∵5a＋2的立方根是3，3a＋b-1的算术平方根是4，
∴5a＋2＝27，3a＋b-1＝16，
∴a＝5，b＝2，
∵c是的整数部分，
∴c＝3，
∴
∴的平方根是±4．
故答案为：±4．
【点睛】本题主要考查的知识点是立方根的意义、算术平方根的意义、无理数的估算方法、平方根的意义、代数式求值，解题关键是读懂题意，掌握解答顺序，正确计算即可．
6．a的算术平方根为8，则a的立方根是__________．
【答案】4
【分析】先根据算术平方根的定义解出这个数，再根据立方根的定义解答即可．
【详解】解：的算术平方根是8，
的l立方根是4，
故答案为：4．
【点睛】本题考查立方根、算术平方根等知识，基础考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键．
7．的算术平方根是_____，立方根是_____．
【答案】 8 4
【分析】解答此题时先求出，再分别根据算术平方根和立方根的定义求出结果即可．
【详解】解：∵=64，
∴，．
故答案为：8；4．
【点睛】本题考查了算术根和立方根定义的应用，主要考查学生的理解能力和计算能力．
8．若x是64的平方根，则＝ ________．
【答案】
【分析】直接利用平方根的定义得出x的值，进而利用立方根的定义计算得出答案．
【详解】∵x是64的平方根，
∴x＝±8，
则＝2或 2．
故选C．
【点睛】此题主要考查了立方根和平方根，正确得出x的值是解题关键．
9．的立方根是___________．
【答案】2
【分析】的值为8，根据立方根的定义即可求解．
【详解】解：，8的立方根是2，
故答案为：2．
【点睛】本题考查算术平方根和立方根的定义，明确算术平方根和立方根的定义是解题的关键．
10．36的算术平方根是________；_______的立方根是．
【答案】 6 -8
【分析】利用算术平方根、立方根定义计算即可得到结果．
【详解】解：∵62=36，
∴36的算术平方根是6；
∵（-2）3=-8，
∴-8的立方根是-2．
故答案为：6；-8．
【点睛】此题考查了立方根，以及算术平方根，熟练掌握各自的定义是解本题的关键．
11．－的立方根是______．
【答案】-2
【分析】先化简，再根据立方根的定义求出即可．
【详解】解：－=-8
则-8的立方根是-2．
故答案为：-2
【点睛】本题考查了算术平方根和立方根的应用，解答关键是根据相关定义进行计算．
12．已知的平方根是±3，b+2 的立方根是2，则的算术平方根是___________
【答案】1
【分析】先根据平方根，立方根的定义列出关于a、b的方程，求出a、b后再代入进行计算求出的值，然后根据算术平方根的定义求解．
【详解】解：根据题意得，2a-1=（±3）2=9，b+2 =23,
∴a=5,b=6,
∴b-a=1，
∴的算术平方根是1，
故答案是：1.
【点睛】本题考查了平方根，立方根，算术平方根的定义，列式求出a、b的值是解题的关键．
13．计算:_______.
【答案】0
【分析】先去根号，然后进行加减运算即可.
【详解】解：原式=﹣4+4=0.
故答案为0.
【点睛】本题主要考查平方根与立方根.解此题的关键在于熟练掌握其知识点.
14．已知的平方根是的立方根是是的整数部分，求的算术平方根．
【答案】
【分析】首先根据平方根与立方根的概念可得2a 1与a＋3b 1的值，进而可得a、b的值；接着估计的大小，可得c的值；进而可得a＋2b＋c，根据算术平方根的求法可得答案．
【详解】解：根据题意，可得2a 1＝9， a＋3b 1＝-8；
解得：a＝5，b＝-4；
又∵6＜＜7，
可得c＝6；
∴a＋2b＋c＝3；
∴a＋2b＋c的算术平方根为．
【点睛】此题主要考查了平方根、立方根、算术平方根的定义及无理数的估算能力，“夹逼法”是估算的一般方法，也是常用方法．
15．若实数的一个平方根是，的立方根是，求的平方根．
【答案】
【分析】先根据平方根的定义得到a+9=25，解得a=16，再利用立方根的定义得到2b-a=-8，则可求出b=4，接着计算出=6，然后根据平方根的定义求解．
【详解】解：∵的一个平方根为，
∴，
，
又∵立方根为，
∴，
∴，
∴，，
∴，
∴6的平方根为．
【点睛】本题考查了立方根：如果一个数的立方等于a，那么这个数叫做a的立方根或三次方根．这就是说，如果x3=a，那么x叫做a的立方根．记作： ．也考查了平方根．
16．已知一个数的两个平方根分别是和，求这个数的立方根．
【答案】4
【分析】一个数的两个平方根互为相反数，则可由此求出这个数，进而求其立方根.
【详解】一个数的两个平方根互为相反数，
，解得：，
这个数为，
这个数的立方根为.
【点睛】本题考查的是平方根与立方根的计算，一个数的两个平方根互为相反数是本题的突破口，而一个数的立方根只有一个，注意与平方根进行区分.
17．计算
（1）计算：． （2）
【答案】（1）5；（2）0
【分析】（1）根据绝对值的代数意义、算术平方根的性质和乘方定义计算即可；
（2）根据立方根的性质、算术平方根的性质和绝对值的代数意义计算即可．
【详解】解：（1）原式
；
（2）原式
．
【点睛】本题考查了实数的混合运算，熟练掌握算术平方根和立方根的性质是解决本题的关键．
18．计算：
(1) (2)
【答案】（1）1；（2）
【分析】(1)根据算术平方根的定义即可求解；
(2)根据绝对值、算术平方根、立方根的定义即可求解．
【详解】(1)；
(2)
．
【点睛】本题考查了绝对值、算术平方根、立方根的定义，熟练掌握相关的性质定理是解题的关键．
19．已知某正数的两个平方根分别是和，的算术平方根为，求的立方根.
【答案】-2
【分析】根据平方根的性质即可得到m,n，再求出代数式的值，根据立方根的定义即可求解.
【详解】一正数的两个平方根分别是和，
，
解得.
的算术平方根为，
，解得，
.
【点睛】此题主要考查平方根、立方根，解题的关键是熟知实数的性质特点.
20．已知的平方等于a，b立方等于，的算术平方根为3．
（1）写出a，b，c的值；
（2）求的平方根．
【答案】（1）；（2）.
【分析】（1）根据乘方、开方以及算术平方根的概念即可求得a、b、c的值；
（2）将（1）中求得的a、b、c的值代入，再求平方根即可.
【详解】（1）
（2）当时，
=
=49
的平方根为
【点睛】本题考查乘方和开平方的概念以及求一个数的平方根，难度不大，熟练掌握各个知识点是解题关键.
21．已知m＋n－5的算术平方根是3，m－n＋4的立方根是－2，试求 的值．
【答案】－2
【分析】先由m＋n－5的算术平方根是3，m－n＋4的立方根是－2得到m＋n－5=9，m－n＋4=-8，则m=1，n=13,再代入计算即可得到答案.
【详解】解： 由题意得：m＋n－5=9，m－n＋4=-8，解得：m=1，n=13,
则
=
=
=-2.
【点睛】本题考查代数式、算术平方根和立方根，解题的关键是掌握代数式、算术平方根和立方根的计算.
22．已知2的平方等于a，2b-1是27的立方根，±表示3的平方根．
（1）求a，b，c的值；
（2）化简关于x的多项式：|x-a|-2（x+b）-c，其中x＜4．
【答案】（1）a=4，b=2，c=5；（2）-3x-5．
【分析】（1）由平方根和立方根的概念求解可得；（2）由所求a、b、c的值知原式=|x-4|-2（x+2）-5，根据x<4，去绝对值符号、去括号、合并同类项即可得解．
【详解】（1）由题意知a=22=4，
∵2b-1==3，
∴b=2，
∵±表示3的平方根，
∴c-2=3，
∴c=5；
（2）∵x＜4，
∴|x-a|-2（x+b）-c
=|x-4|-2（x+2）-5
=4-x-2x-4-5
=-3x-5．
【点睛】本题主要考查平方根、立方根，解题的关键是掌握平方根和立方根的概念及绝对值的性质．
23．求下列各式中的x：
（1）16x2﹣25=0；
（2）（x﹣3）3=64．
【答案】（1）x=±；（2）x=7.
【分析】（1）方程整理后，利用平方根定义开方即可求出解；
（2）方程利用立方根定义开方即可求出解．
【详解】（1）方程整理得：x2=，
开方得：x=±；
（2）开立方得：x-3=4，
解得：x=7．
【点睛】此题考查了立方根，以及平方根，熟练掌握各自的定义是解本题的关键．
24．(1)已知2a-1的平方根是±3,2是3a+b-1的立方根,求a+2b的值.
(2)设2+的整数部分和小数部分分别是x,y,试求x,y的值与x-1的算术平方根.
【答案】(1)-7；（2）.
【分析】（1）根据平方根、算术平方根、立方根的定义进行运算即可；
（2）先找到介于哪两个整数之间，从而找到整数部分，小数部分让原数减去整数部分，然后代入求值即可．
【详解】解:(1)依题意得2a-1=9,3a+b-1=8,
解得a=5,b=-6.
所以a+2b=-7.　
(2)因为<<,即2<<3,
所以2+的整数部分是4.
由题意知x=4,y=2+-4=-2,
则x-1=3,
所以x-1的算术平方根为.
【点睛】本题考查了实数的运算，涉及了平方根、立方根、倒数及相反数的知识，无理数的估算能力，解题关键是估算出整数部分后，然后即可得到小数部分．
25．已知x+12平方根是±，2x+y﹣6的立方根是2，求3xy的算术平方根．
【答案】6
【分析】由题意可知：x+12=13，2x+y﹣6=8，分别求出x，y的值即可求出3xy的值．
【详解】由题意可知：x+12=13，2x+y﹣6=8，
∴x=1，y=12，
∴3xy=3×1×12=36，
∴36的算术平方根为6
【点睛】本题考查了平方根和立方根的综合.
26．观察下列各式，并用所得出的规律解决问题：
（1），，，……
，，，……
由此可见，被开方数的小数点每向右移动______位，其算术平方根的小数点向______移动______位．
（2）已知，，则_____；______．
（3），，，……
小数点的变化规律是_______________________．
（4）已知，，则______．
【答案】（1）两；右；一；（2）12.25；0.3873；（3）被开方数的小数点向右（左）移三位，其立方根的小数点向右（左）移动一位；（4）-0.01
【分析】（1）观察已知等式，得到一般性规律，写出即可；
（2）利用得出的规律计算即可得到结果；
（3）归纳总结得到规律，写出即可；
（4）利用得出的规律计算即可得到结果．
【详解】解：（1），，，……
，，，……
由此可见，被开方数的小数点每向右移动两位，其算术平方根的小数点向右移动一位．
故答案为：两；右；一；
（2）已知，，则；；
故答案为：12.25；0.3873；
（3），，，……
小数点的变化规律是：被开方数的小数点向右（左）移三位，其立方根的小数点向右（左）移动一位；
（4）∵，，
∴，
∴，
∴y=-0.01．
【点睛】此题考查了立方根，以及算术平方根，弄清题中的规律是解本题的关键．
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