【专题精练】浙教七年级上册 数字类规律探索 （含详细解析）

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浙教版七年级上册数学 数字类规律探索 专题训练
一、单选题
1．计算：，，，，，……，归纳各计算结果中的个位数字的规律，猜测的个位数字是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
2．一列数1，2，2，3，3，3，4，4，4，4，…中的第35个数为（ ）
A．6 B．7 C．8 D．9
3．观察下列等式：，，，，，…，那么的末位数字是（ ）
A．1 B．3 C．7 D．0
4．我国古代《易经》一书中记载，远古时期，人们通过在绳子上打结来记录数量，即“结绳计数”．如图，一位母亲在从右到左依次排列的绳子上打结，满七进一，用来记录孩子自出生后的天数，由图可知，孩子自出生后的天数是_____天．
A．91 B．336 C．510 D．853
5．如图，小明在的方格纸上写了九个式子（其中的是正整数），每行的三个式子的和自上而下分别记为，，，每列的三个式子的和自左至右分别记为，，，其中值可以等于732的是（ ）
A． B． C． D．
6．在一列数：a1，a2，a3，…，an中，a1＝1，a2＝7，从第三个数开始，每一个数都等于它前两个数之积的个位数字，则这一列数中的第2022个数是（　 　）
A．1 B．3 C．7 D．9
7．观察下列按一定规律排列的个数：1，3，5，7，9，…，若最后三个数之和是99，则这列数中最大的数为（ ）
A．17 B．19 C．33 D．35
8．如图，圆上有五个点，这五个点将圆分成五等份（每一份称为一段弧长），把这五个点按顺时针方向依次编号为1，2，3，4，5，若从某一点开始，沿圆周顺时针方向行走，点的编号是数字几，就走几段弧长，我们把这种走法称为一次“移位”．如：小明在编号为3的点，那么他应走3段弧长，即从3→4→5→1为第1次“移位”，这时他到达编号为1的点，那么他应走1段弧长，即从1→2为第2次“移位”．若小明从编号为4的点开始，经过2020次“移位”后，他到达编号为（　　）
A．1 B．2 C．4 D．5
9．现有一列数：，，，，…，，（为正整数），规定，，，…，，的值为（ ）
A． B． C． D．
10．把一根起点为0的数轴弯折成如图所示的样子，虚线最下面第1个数字是0，往上第2个数字是6，第3个数字是21，…，则第5个数字是（ ）
A．78 B．80 C．82 D．89
第II卷（非选择题）
请点击修改第II卷的文字说明
二、填空题
11．将正整数按如图所示的规律排列下去，若有序实数对（n，m）表示第n排，从左到右第m个数，如（4，2）表示9，则表示58的有序数对是 ____
12．如图，阶梯图的每个台阶上都标着一个数，从下往上的第个和第个台阶上分别标着和，且任意相邻的个台阶的数的和都等于，则从下往上的第个台阶上的数字是_______．
13．意大利著名数学家斐波那契在研究兔子繁殖问题时，发现有这样一组数：1，1，2，3，5，8，…，请根据这组数的规律写出第10个数是____．
14．定义：a是不为1的有理数，我们把称为a的差倒数，如：2的差倒数是 =-1，-1的差倒数是．已知，a2是a1的差倒数，a3是a2的差倒数，a4是a3的差倒数，……，以此类推，则a2019=________.
15．观察下列等式：
12×231＝132×21，
13×341＝143×31，
23×352＝253×32，
34×473＝374×43，
62×286＝682×26，
……
以上每个等式中等号两边的数字是分别对称的，且每个等式中组成两位数与三位数的数字之间具有相同规律，我们称这类等式为“数字对称等式”．
根据上述各式反映的规律填空，使下列式子成为“数字对称等式”：
①52×____＝____×25.
②____×396＝693×____．
16．观察下列各式：，，，……请你将发现的规律用含自然数n（n≥1）的等式表示出来_________．
17．若一个自然数能表示为两个相邻自然数的平方差，则这个自然数为“智慧数”，比如，3就是智慧数．从0开始，不大于2022的智慧数共有________个．
18．如图，某学校图书馆把Wifi密码做成了数学题．小红在图书馆看书时，思索了一会儿，输入密码，顺利地连接到了“图书馆”的网络．那么她输入的密码是________．
19．把有理数a代入得到，称为第一次操作，再将作为a的值代入得到，称为第二次操作，依此类推……，若，则经过第2022次操作后得到的是______．
20．伸出你的左手，如图，从大拇指开始，按食指，中指，无名指，小指，再回到大拇指的顺序，依次数正整数1，2，3，4，5，…．当第2021次数到中指时，这个数是______．
21．若是不为2的有理数，我们把称为的“哈利数”，如3的“哈利数”是，的“哈利数”是，已知，是的“哈利数”，是的“哈利数”，是的“哈利数”，…，依此类推，则等于__________．
22．有依次排列的3个数：3，5，9，对任相邻的两个数，都用右边的数减去左边的数，所得之差写在这两个数之间，可产生一个新数串：3，2，5，4，9，这称为第一次操作；做第二次同样的操作后也可产生一个新数串：3，﹣1，2，3，5，﹣1，4，5，9，继续依次操作下去，问：
（1）从数串3，5，9开始操作，则第2次操作以后所产生的那个新数串的所有数之和是_____．
（2）从数串2，10，7开始操作，请用含n的代数式表示第n次操作以后所产生的那个新数串的所有数之和_____．
23．阳阳和明明玩上楼梯游戏，规定一步只能上一级或二级台阶，玩着玩着两人发现：当楼梯的台阶数为一级、二级、三级…逐步增加时，楼梯的上法数依次为1，2，3，5，8，13，21，…（这就是著名的裴波那契数列），请你仔细观察这列数的规律后回答：
（1）上10级台阶共有__________种上法．
（2）这列数的前2020个数中共有________个偶数．
24．设，…是一列正整数，其中表示第一个数，表示第二个数，……，表示第n个数（n是正整数）．若，，则（1）_______（2）______．
25．根据下面“品”字行中各数之间的规律，根据规律得出a的值为_______．
1 2 5 12 … a
2 4 8 16 b
三、解答题
26．a是不为1的有理数，我们把称为a的差倒数．如：3的差倒数是，﹣1的差倒数是，已知a1＝2，a2是a1的差倒数，a3是a2的差倒数，…依次类推．
（1）分别求出a2，a3，a4的值；
（2）计算a1+a2+a3+a4+……+a2013的值．
27．观察下列一组算式的特征，并探索规律：
①；
②；
③；
④．
根据以上算式的规律，解答下列问题：
（1）13+23+33+43+53=( )2= ；
（3）简便计算：113+123+133+…+193+203．
参考答案
一、单选题
1．计算：，，，，，……，归纳各计算结果中的个位数字的规律，猜测的个位数字是（ ）
A．0B．1C．2D．3
【答案】D
【分析】根据已知得出末尾数字以2，8，6，0四个数字不断循环出现，由此用2021除以4看得出的余数确定的个位数字，即可确定的个位数字．
【详解】解：，，，，，……，
∴末尾数字以2，8，6，0四个数字不断循环出现，
∵2021÷4=505…1，
∴的个位数字是2，
∴的个位数字是3．
故选：D．
【点睛】本题考查数字的变化类、尾数特征，解答本题的关键是明确题意，发现个位数字的变化特点，求出所求式子的个位数字．
2．一列数1，2，2，3，3，3，4，4，4，4，…中的第35个数为（ ）
A．6B．7C．8D．9
【答案】C
【分析】从这组数可以得出规律，当数为n时，则共有n个n，依次算出数字5、6….所在的序数，由此可算出第35个数．
【详解】解：数字1是第1个数，
数字2是第2-3个数，
数字3是第4-6个数，
数字4是第7-10个数，
数字5是第11-15个数，
数字6是第16-21个数，
数字7是第22-28个数，
数字8是第29-36个数，
…..
所以，第35个数为8，
故选：C．
【点睛】本题考查探索与表达规律，通过观察，分析、归纳并发现其中的规律，并应用发现的规律解决问题是应该具备的基本能力．
3．观察下列等式：，，，，，…，那么的末位数字是（ ）
A．1B．3C．7D．0
【答案】D
【分析】从运算的结果可以看出位数以7、9、3、1四个数字一循环，用2020除以4，然后根据已知算式得出规律，再求出即可．
【详解】解：∵71=7，72=49，73=343，74=2401，75=16807，76=117649，…，
2020÷4=505，
∴505×（7+9+3+1）=10100，
∴71+72+73+…+72020的末位数字是0，
故选：D．
【点睛】本题考查探索与表达规律——数字变化类．能根据已知算式得出规律是解此题的关键．
4．我国古代《易经》一书中记载，远古时期，人们通过在绳子上打结来记录数量，即“结绳计数”．如图，一位母亲在从右到左依次排列的绳子上打结，满七进一，用来记录孩子自出生后的天数，由图可知，孩子自出生后的天数是_____天．
A．91B．336C．510D．853
【答案】C
【分析】类比于现在我们的十进制“满十进一”，可以表示满七进一的数为：千位上的数×73+百位上的数×72+十位上的数×7+个位上的数．
【详解】∵满七进一，
∴1×73+3×72+2×7+6=510，
故答案为C.
【点睛】本题考查数字类规律，理解题意并根据图中的数字列出算式是解题关键.
5．如图，小明在的方格纸上写了九个式子（其中的是正整数），每行的三个式子的和自上而下分别记为，，，每列的三个式子的和自左至右分别记为，，，其中值可以等于732的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】将的式子表示出来，使其等于732，求出相应的n的数值即可判断答案．
【详解】解：A、，
整理得：，
∴n不为整数，故本选项不符合题意；
B、，
整理得：，
∴n不为整数，故本选项不符合题意；
C、，
整理得：，
∴n不为整数，故本选项不符合题意；
D、，
整理得：，
解得：，故本选项符合题意；
故选：D
【点睛】本题主要考查规律型的数字变化问题，有理数的乘方运算，解答本题的关键是能够理解题意，写出相对应的式子并进行求解．
6．在一列数：a1，a2，a3，…，an中，a1＝1，a2＝7，从第三个数开始，每一个数都等于它前两个数之积的个位数字，则这一列数中的第2022个数是（　 　）
A．1B．3C．7D．9
【答案】C
【分析】根据题意，可以写出这列数的前几个数，从而可以发现数字的变化特点，进而可以得到这一列数中的第2022个数．
【详解】a1＝1，a2＝7，a3＝7，a4＝9，a5＝3，a6＝7，
a7＝1，a8＝7…
可以发现每6个数字为一次循环
2022÷6＝337
∴这一列数中的第2022个数是7．
故选C
【点睛】本题考查数字的变化类，尾数特征．解答本题的关键是明确题意，发现数字的变化规律，求出相应的数据．
7．观察下列按一定规律排列的个数：1，3，5，7，9，…，若最后三个数之和是99，则这列数中最大的数为（ ）
A．17B．19C．33D．35
【答案】D
【分析】找出第n个数表示为2n-1，然后列出后三项求解．
【详解】解：根据题意可得第n个数为2n-1，
则后三个数分别为2n-5，2n-3，2n-1，
∴2n-5+2n-3+2n-1=99，
解得n=18．
则2n-1=35，
故选：D．
【点睛】本题考查数字的变化规律，解题关键是熟练掌握常用的寻找数字规律的方法．
8．如图，圆上有五个点，这五个点将圆分成五等份（每一份称为一段弧长），把这五个点按顺时针方向依次编号为1，2，3，4，5，若从某一点开始，沿圆周顺时针方向行走，点的编号是数字几，就走几段弧长，我们把这种走法称为一次“移位”．如：小明在编号为3的点，那么他应走3段弧长，即从3→4→5→1为第1次“移位”，这时他到达编号为1的点，那么他应走1段弧长，即从1→2为第2次“移位”．若小明从编号为4的点开始，经过2020次“移位”后，他到达编号为（　　）
A．1B．2C．4D．5
【答案】C
【分析】从编号为4的点开始走4段弧：4→5→1→2→3，即可得出结论；依次求出第2，3，4，5次的结合寻找规律，根据规律分析第2020次的编号即可．
【详解】解：从编号为4的点开始走4段弧：4→5→1→2→3，所以第一次“移位”他到达编号为3的点；
第二次移位后：3→4→5→1，到编号为1的点；
第三次移位后：1→2，到编号为2的点；
第四次移位后：2→3→4，回到起点；
可以发现：他的位置以“3，1，2，4，“循环出现，
2020÷4=505，
所以第2020次移位后他的编号回到起点，即4点；
故选：C．
【点睛】本题主要考查了数字类规律的探索与应用，根据已知求出部分数据找到循环周期是解题的关键．
9．现有一列数：，，，，…，，（为正整数），规定，，，…，，的值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据条件规定，，，…，，求出a2=a1+4=6=2×3，a3=a2+6=12=3×4，a4=a3+8=20=4×5，由此得出an=n（n+1），根据化简即可求解．
【详解】∵，，，…，，
∴a2=a1+4=6=2×3，a3=a2+6=12=3×4，a4=a3+8=20=4×5，
∴an=n（n+1），
∴，
∴
，
故选C．
【点睛】本题考查了规律型：数字的变化类，要求学生通过观察，分析、归纳发现其中的规律，并应用发现的规律解决问题．解决本题的难点在于得出an=n（n+1）．
10．把一根起点为0的数轴弯折成如图所示的样子，虚线最下面第1个数字是0，往上第2个数字是6，第3个数字是21，…，则第5个数字是（ ）
A．78B．80C．82D．89
【答案】A
【分析】观察根据排列的规律得到第1个数字为0，第2个数字为0加6个数即为6，第3个数字为从6开始加15个数得到21，第4个数字为从21开始加24个数即45，…，由此得到后面加的数比前一个加的数多9，由此得到第5个数字为0+6+（6+9×1）+（6+9×2）+（6+9×3）．
【详解】解：∵第一个数字为0，
第二个数字为0+6=6，
第三个数字为0+6+15=21，
第四个数字为0+6+15+24=45，
第五个数字为0+6+15+24+33=78，
故选：A．
【点睛】此题主要考查了数字变化规律，发现数在变化过程中各边上点的数字的排列规律是解题关键．
二、填空题
11．将正整数按如图所示的规律排列下去，若有序实数对（n，m）表示第n排，从左到右第m个数，如（4，2）表示9，则表示58的有序数对是 ____
【答案】（11，3）
【分析】根据图中的数据，可知第几排有几个数，每排的数据奇数排从左到右是由小变大，每排的数据偶数排从左到右是由大变小，由此可以判断58所在的位置．
【详解】解：由题意可得，
∵58＝（1+2+3+…+10）+3，
∴58所对应的有序数对是（11，3），
故答案为：（11，3）．
【点睛】本题考查数字的变化类，解题的关键是明确题意，发现数字的变化规律．
12．如图，阶梯图的每个台阶上都标着一个数，从下往上的第个和第个台阶上分别标着和，且任意相邻的个台阶的数的和都等于，则从下往上的第个台阶上的数字是_______．
【答案】
【分析】由相邻4个台阶上数的和都等于3，得出台阶上的数字是4个一循环，即可求解．
【详解】解：∵第1个至和3个台阶上依次标着-5，1，且任意相邻4个台阶上数的和都等于3，
∴台阶上的数字是4个一循环，
∴2021÷4=505…1，
∴从下到上第2021个台阶上的数是-5
故答案为：-5．
【点睛】本题考查了规律型：数字的变化类，解题的关键是根据相邻4个台阶上数的和都等于3得出台阶上的数字是每4个一循环．
13．意大利著名数学家斐波那契在研究兔子繁殖问题时，发现有这样一组数：1，1，2，3，5，8，…，请根据这组数的规律写出第10个数是____．
【答案】55
【分析】通过观察，可得斐波那契数列的规律是：前两个数的和等于后一个数，进而即可求解．
【详解】∵斐波那契数列的规律是：前两个数的和等于后一个数，
∴1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，…，
故答案是：55．
【点睛】本题主要考查数列的变换规律，通过观察，发现数列的规律是：前两个数的和等于后一个数，是解题的关键．
14．定义：a是不为1的有理数，我们把称为a的差倒数，如：2的差倒数是 =-1，-1的差倒数是．已知，a2是a1的差倒数，a3是a2的差倒数，a4是a3的差倒数，……，以此类推，则a2019=________.
【答案】3
【分析】根据题中所给的差倒数定义，由a1= -分别求出a2 ， a3 ， a4的值，从而得出周期为3，因为2019=3×673，所以a2019=a3.
【详解】依题可得：∵a1= -，
∴，a3= =3，a4= = -，
∴周期为3，
∴ = =a3=3.
故答案为3.
【点睛】本题考查数字的变化规律，解题的关键是找出数字之间的运算规律，利用规律解决问题．
15．观察下列等式：
12×231＝132×21，
13×341＝143×31，
23×352＝253×32，
34×473＝374×43，
62×286＝682×26，
……
以上每个等式中等号两边的数字是分别对称的，且每个等式中组成两位数与三位数的数字之间具有相同规律，我们称这类等式为“数字对称等式”．
根据上述各式反映的规律填空，使下列式子成为“数字对称等式”：
①52×____＝____×25.
②____×396＝693×____．
【答案】 275， 572， 63， 36
【分析】①根据排列规律，个位与十位数字分别放到百位与个位上，它们的和作为十位数字，写出即可；
②观察排列规律，百位与个位数字分别作为两位数的个位和十位上的数字即可．
【详解】①52×275=572×25；
②63×396=693×36.
故答案为275，572；63，36.
【点睛】本题考查规律型：数字的变化类.
16．观察下列各式：，，，……请你将发现的规律用含自然数n（n≥1）的等式表示出来_________．
【答案】
【分析】根据等式的左边根号内整数部分为自然数加上，右边为，据此即可求解．
【详解】解：∵第1个式子为：，
第2个式子为：，
第3个式子为：，
……
∴第个式子为：．
故答案为：．
【点睛】本题考查了二次根式的规律题，找到规律是解题的关键．
17．若一个自然数能表示为两个相邻自然数的平方差，则这个自然数为“智慧数”，比如，3就是智慧数．从0开始，不大于2022的智慧数共有________个．
【答案】1011．
【分析】根据“智慧数”的定义得出智慧数的分布规律，进而得出答案．
【详解】解：∵（n+1）2-n2=2n+1，
∴所有的奇数都是智慧数，
∵2022÷2=1011，
∴不大于2022的智慧数共有1011个．
故答案为：1011．
【点睛】此题考查了新定义，平方差公式，理解“智慧数”的定义是解题关键．
18．如图，某学校图书馆把Wifi密码做成了数学题．小红在图书馆看书时，思索了一会儿，输入密码，顺利地连接到了“图书馆”的网络．那么她输入的密码是________．
【答案】404888
【分析】通过观察发现：密码第一个两位数是5×8＝40，第二个两位数是6×8＝48，第三个两位数是40＋48＝88，由此可求密码．
【详解】解：∵5*2 6＝301242，2*6 9＝185472，8*3 4＝321244，
∴5*6 8＝404888，
故答案为：404888．
【点睛】本题考查数字的变化规律，能够根据所给的式子，探索出数字之间的联系是解题的关键．
19．把有理数a代入得到，称为第一次操作，再将作为a的值代入得到，称为第二次操作，依此类推……，若，则经过第2022次操作后得到的是______．
【答案】－10
【分析】先确定第1次操作，；第2次操作，；第3次操作，；第4次操作，；第5次操作，；第6次操作，；…，观察得到第4次操作后，偶数次操作结果为；奇数次操作结果为，据此解答即可．
【详解】第1次操作，；
第2次操作，；
第3次操作，；
第4次操作，；
第5次操作，；
第6次操作，；
第7次操作，；
…
第2020次操作，．
故答案为：．
【点睛】本题考查了绝对值和探索规律．含绝对值的有理数减法，解题的关键是先计算，再观察结果是按照什么规律变化的探寻规律要认真观察、仔细思考，善用联想来解决这类问题．
20．伸出你的左手，如图，从大拇指开始，按食指，中指，无名指，小指，再回到大拇指的顺序，依次数正整数1，2，3，4，5，…．当第2021次数到中指时，这个数是______．
【答案】8083
【分析】先探究规律，发现规律后利用规律即可解决问题．
【详解】解：第一次数到中指时是3，
第二次时是7=3+4×1，
第三次是11=3+4×2，
第四次是15=3+4×3，
…，
第n次是3+4（n-1），
则第2021次是8083．
故答案为：8083．
【点睛】本题考查了规律型数字的变化类问题，解题的关键是从一般到特殊探究规律、发现规律、利用规律解决问题．
21．若是不为2的有理数，我们把称为的“哈利数”，如3的“哈利数”是，的“哈利数”是，已知，是的“哈利数”，是的“哈利数”，是的“哈利数”，…，依此类推，则等于__________．
【答案】3
【分析】分别求出数列的前5个数得出该数列每4个数为一周期循环，据此可得答案．
【详解】解：∵a1＝3，
∴a2＝，
∴a3＝，
∴a4＝，
∴a5＝
∴该数列每4个数为1周期循环，
∵2021÷4＝505余1，
∴a2021＝a1＝3．
故答案为：3．
【点睛】本题考查了数字的规律变化，通过观察数字，分析、归纳并发现其中的规律，并应用规律解决问题是解题的关键．
22．有依次排列的3个数：3，5，9，对任相邻的两个数，都用右边的数减去左边的数，所得之差写在这两个数之间，可产生一个新数串：3，2，5，4，9，这称为第一次操作；做第二次同样的操作后也可产生一个新数串：3，﹣1，2，3，5，﹣1，4，5，9，继续依次操作下去，问：
（1）从数串3，5，9开始操作，则第2次操作以后所产生的那个新数串的所有数之和是_____．
（2）从数串2，10，7开始操作，请用含n的代数式表示第n次操作以后所产生的那个新数串的所有数之和_____．
【答案】 （1）29； （2）19+5n
【分析】（1）根据“相邻的两个数，都用右边的数减去左边的数，所得之差写在这两个数之间”解答可得；
（2）分别计算出第1次、第2次及第3次操作后所得数串的和发现：每一次操作后所得新数串所有数的和比上一次增加5，据此可得．
【详解】解：（1）数串3，5，9进行第2次操作后所得的新数串为3，﹣1，2，3，5，﹣1，4，5，9，
它们的和为3﹣1+2+3+5﹣1+4+5+9＝29．
故答案为：29；
（2）原数串为3个数：2，10，7，所有数之和为19；
第1次操作后所得数串为：2，8，10，﹣3，7，所有数之和为24；
第2次操作后所得数串为：2，6，8，2，10，﹣13，﹣3，10，7，所有数之和为29；
第3次操作后所得数串为：2，4，6，2，8，﹣6，2，8，10，﹣23，﹣13，10，﹣3，13，10，﹣3，7，所有数之和为34；
由上面可以看出，每一次操作后所得新数串所有数的和比上一次增加5，
操作第n次操作以后所产生的那个新数串的所有数之和是19+5n．
故答案为：19+5n．
【点睛】此题主要考查了列代数式-数字规律型，本题中理解每一次操作的方法是前提，得出每一次操作以后所产生的那个新数串的所有数之和的规律是关键．
23．阳阳和明明玩上楼梯游戏，规定一步只能上一级或二级台阶，玩着玩着两人发现：当楼梯的台阶数为一级、二级、三级…逐步增加时，楼梯的上法数依次为1，2，3，5，8，13，21，…（这就是著名的裴波那契数列），请你仔细观察这列数的规律后回答：
（1）上10级台阶共有__________种上法．
（2）这列数的前2020个数中共有________个偶数．
【答案】 89 673
【分析】（1）认真观察不难发现，这列数中，任意相邻两个数的和都等于相邻的后一个数，也就是第10个数应该是第8个、9个的和；
（2）观察发现，每3个数中必有一个偶数，且偶数在3个数中间，依此规律可求出问题答案．
【详解】解：（1）∵1+2=3，2+3=5，3+5=8，5+8=13，8+13=21，13+21=34，21+34=55，34+55=89，
∴上10级台阶共有89种上法；
（2）∵2020÷3=673…1，
∴偶数个数为673个．
【点睛】本题考查了数字型规律，根据已知条件找寻数列中的规律是解题的关键．
24．设，…是一列正整数，其中表示第一个数，表示第二个数，……，表示第n个数（n是正整数）．若，，则（1）_______（2）______．
【答案】 4 4042
【分析】先将4an=（an+1-1）2-（an-1）2，变形，结合a1=2，a1，a2，a3……是一列正整数，得出递推公式an+1=an+2，进而可得an=2n，将n=2021代入即可求得答案．
【详解】解：∵a1=2，4an=（an+1-1）2-（an-1）2，a1，a2，a3……是一列正整数，
∴an-1≥0，（an+1-1）2=（an-1）2+4an=（an+1）2，
∴an+1-1=an+1，
∴an+1=an+2，
∵a1=2，
∴a2=4，a3=6，a4=8，a5=10，
…
∴an=2n，
∴a2021=2×2021=4042．
故答案为：4；4042．
【点睛】本题考查了数字的变化规律，由已知条件推出递推关系式，进而得出含n字母的各项的表达式，是解题的关键．
25．根据下面“品”字行中各数之间的规律，根据规律得出a的值为_______．
1 2 5 12 … a
2 4 8 16 b
【答案】248
【分析】根据题目中的图形，可以发现数字的变化特点，从而可以得到a的值．
【详解】解：由图可知，每个“品”字上面的数字减去左下的数字可得右下的数字，
左下的数字依次为：-1，-2，-3，-4，…，-8，
则右下的数字依次为：2，22，23，24，…，28，
∴a=-8+28=248，
故答案位：248．
【点睛】本题考查数字的变化类，解答本题的关键是明确题意，发现题目中数字的变化特点，求出a的值．
三、解答题
26．a是不为1的有理数，我们把称为a的差倒数．如：3的差倒数是，﹣1的差倒数是，已知a1＝2，a2是a1的差倒数，a3是a2的差倒数，…依次类推．
（1）分别求出a2，a3，a4的值；
（2）计算a1+a2+a3+a4+……+a2013的值．
【答案】(1) -1；；2；(2) 1006.5
【分析】(1)根据题意，可以分别计算出a2，a3，a4的值；
(2) 根据（1）的规律进行计算即可；
【详解】解：（1）∵a1＝2，
∴ ，，.
（2）∵a1+a2+a3 =2+(-1)+=
∴a1+a2+a3+a4+……+a2013=671×(a1+a2+a3)=671×=1006.5.
【点睛】此题考查数字的变化规律，找出数字之间的联系，得出数字之间的运算规律，利用规律解决问题．
27．观察下列一组算式的特征，并探索规律：
①；
②；
③；
④．
根据以上算式的规律，解答下列问题：
（1）13+23+33+43+53=( )2= ；
（2）= ；（用含n的代数式表示）
（3）简便计算：113+123+133+…+193+203．
【答案】（1）1+2+3+4+5（或15）；225；（2）；（3）41 075
【分析】（1）根据题干中已知等式知从1开始的连续n个整数的立方和等于这n个数的和的平方，据此可得；
（2）根据所给的各式，得到规律，即可求解；
（3）先根据规律，可求出3+23+33+…+193+203和13+23+33+…+93+103，即可求解．
【详解】解：（1）根据题意得：；
（2）；
（3）由（2）得，
113+123+133+…+193+203
=13+23+33+…+193+203－(13+23+33+…+93+103)
=
=44 100－3 025
=41 075．
【点睛】本题主要考查数字的变化规律，解题的关键是根据已知得出从1开始的连续n个整数的立方和等于这n个数的和的平方．
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