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2.3&2.4用频率估计概率以及概率的简单应用五大题型（一课一讲）
【浙教版】
题型一：关于频率和概率的关系说法的正误
【经典例题1】下列说法正确的是（ ）
A．“汽车累计行驶，从未出现故障”是不可能事件
B．“买中奖率为的奖券张，中奖”是必然事件
C．投掷一枚图钉，“钉尖朝上”的概率可以用列举法求得
D．通过大量重复试验，可以用频率估计概率
【答案】D
【分析】本题考查了随机事件，利用频率估计概率等知识点，正确理解随机事件的概念是解题的关键．
根据随机事件的概念，利用频率估计概率的原理分别对每一项进行分析，即可得出答案．
【详解】解：A. “汽车累计行驶，从未出现故障”是随机事件，不是不可能事件，故选项不符合题意；
B. “买中奖率为的奖券张，中奖”是随机事件，不是必然事件，故选项不符合题意；
C. 投掷一枚图钉，由于“钉尖朝上”和“钉尖朝下”的可能性不是均等的，因此要获得“钉尖朝上”的概率不可以用列举法求得，可以利用实验的方法，故选项不符合题意；
D. 通过大量重复试验，可以用频率估计概率，此说法正确，故选项符合题意；
故选：．
【变式训练1-1】下列说法中正确的是（ ）
A．小明在装有红绿灯的十字路口，“遇到红灯”是随机事件
B．确定事件发生的概率是1
C．抛掷一枚质地均匀的正方体骰子600次，点数为1与点数为6的频率相同
D．从某校1000名男生中随机抽取2名进行引体向上测试，其中有一名成绩不及格，说明该校的男生引体向上成绩不及格
【答案】A
【分析】根据事件的分类，频率和概率分别判断即可．
【详解】解：A. 小明在装有红绿灯的十字路口，“遇到红灯”是随机事件,故正确，符合题意；
B. 确定事件发生的概率是1或0，故错误，不合题意；
C. 抛掷一枚质地均匀的正方体骰子600次，点数为1与点数为6的频率不一定相同，故错误，不合题意；
D. 从某校1000名男生中随机抽取2名进行引体向上测试，其中有一名成绩不及格，但抽取的人数太少，不能说明该校的男生引体向上成绩不及格，故错误，不合题意；
故选：A．
【变式训练1-2】下列说法错误的是（ ）
A．了解一批灯泡的使用寿命应采用抽样调查
B．随着试验次数的增加，频率一般会越来越接近概率
C．一组数据，，，的平均数是3，方差是2，则新数据，，，的平均数是5，方差是4
D．“367人中至少有2人的生日是同一天”是必然事件
【答案】C
【分析】根据调查方式的选择判定A；根据频率估计算概率判定B；根据平均与方差计算公式判定C；根据事件发生的可能性判定D．
【详解】解：A、了解一批灯泡的使用寿命应采用抽样调查，正确，故此选项不符合题意；
B、随着试验次数的增加，频率一般会越来越接近概率，正确，故此选项不符合题意；
C、一组数据，，，的平均数是3，方差是2，则新数据，，，的平均数是5，方差是2，原说法错误，故此选项符合题意；
D、“367人中至少有2人的生日是同一天”是必然事件，正确，故此选项不符合题意；
故选：C．
【变式训练1-3】下列说法正确的是（ ）．
A．不可能事件发生的概率为1 B．随机事件发生的概率为
C．概率很小的事件不可能发生 D．随着试验次数的增加，频率一般会越来越接近概率
【答案】D
【分析】利用概率的意义、随机事件的判定等知识分别判断，即可确定正确的选项．
【详解】解：A.不可能事件发生的概率为0，故该选项错误，不符合题意；
B.随机事件发生的概率大于0，小于1，，故该选项错误，不符合题意；
C.概率很小的事件也可能发生，故该选项错误，不符合题意；
D.随着试验次数的增加，频率一般会越来越接近概率，故该选项正确，符合题意；
故选：D．
【变式训练1-4】下列语句中，关于频率与概率的关系表示正确的有 ．
①频率就是概率
②频率是客观存在的，与试验次数无关
③随着试验次数的增加，频率一般会越来越接近概率
④概率是随机的，在实验前不能确定
【答案】③
【分析】由概率和频率的有关概念逐个分析．
【详解】解：①：频率不是概率，频率会随着重复试验的次数变化而变化，而概率是固定的，故①错误；
②：频率是客观存在的，与试验次数有关，试验次数越多，频率越稳定，故②错误
③：由频率的性质知：随着试验次数的增加，事件发生的频率一般会稳定于概率，故③正确；
④：概率是客观的，在试验前能确定，故④错误．
故答案为：③．
【变式训练1-5】一般地，当试验的可能结果有很多且各种可能结果发生的可能性相等时，则用列举法，利用概率公式 的方式得出概率．
当试验的所有可能结果不是有限个，或各种可能结果发生的可能性不相等时，常常是通过 来估计概率，即在同样条件下，大量重复试验所得到的随机事件发生的频率的稳定值来估计这个事件发生的 ．
【答案】 P（A）＝ 统计频率 概率
【解析】略
题型二：求某件事的频率
【经典例题2】调查某班 名同学的跳高成绩时，在收集到的数据中，不足 米的数出现的频率是 ，则达到或超过 米的数出现的频率是 （ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查求频率，根据频率之和为1，进行求解即可．
【详解】解：在收集到的数据中，不足 米的数出现的频率是 ，
则达到或超过 米的数出现的频率是：
故选B．
【变式训练2-1】近日，甘肃天水这座历史悠久的文化古城，因一碗麻辣烫而迅速走红网络，成为旅游新热点．自天水火爆“出圈”以来，各级团组织迅速行动起来，全面承担起志愿服务工作，同时带领一大批青年志愿者积极响应团组织号召投入志愿服务工作．根据实际需要，志愿者被陆续分配到四合院美味城网红麻辣烫店、机场、火车站等区域开展志愿服务工作．某段时间内经过抽样调查，发现志愿者服务的区域主要有A，B，C，D，E五个．抽样调查的统计结果如下表， 则下列说法不正确的是（ ）
区域 A B C D E
人数
A．去区域服务的人数最少
B．去区域服务的人数的频率是
C．若有名志愿者参与服务，则约有人被分配到C区域服务
D．这次抽样调查的样本容量是
【答案】C
【分析】本题考查了样本容量，频率，用样本估计总体．熟练掌握样本容量，频率，用样本估计总体是解题的关键．
由表格可知，去区域服务的人数最少，可判断A的正误；样本容量为，可判断D的正误；去区域服务的人数的频率是，可判断B的正误；若有名志愿者参与服务，则约有人被分配到C区域服务，可判断C的正误．
【详解】解：由表格可知，去区域服务的人数最少，正确，故A不符合要求；
样本容量为，正确，故D不符合要求；
去区域服务的人数的频率是，正确，故B不符合要求；
若有名志愿者参与服务，则约有人被分配到C区域服务，错误，故C符合要求；
故选：C．
【变式训练2-2】都相同．将袋中小球摇匀，从中随机摸出一个小球记下颜色后放回，记作随机摸球一次．
(1)随机摸球10次，其中摸出黄球3次，则这10次摸球中，摸出黄球的频率是________．
(2)随机摸球2次，用画树状图或列表的方法，求这两次摸出的小球都是红球的概率．
【答案】(1)0.3
(2)
【分析】本题考查求频率、画树状图或列表法求概率、概率公式，熟练掌握画树状图或列表法求概率的方法是解题的关键．
（1）根据“频数除以总数等于频率”求解即可；
（2）画出树状图可得，共有25种等可能的结果，其中两次摸出的小球都是红球有9种结果，再利用概率公式求解即可．
【详解】（1）解：由题意得，摸出黄球的频率是，
故答案为：0.3；
（2）解：画树状图得，
共有25种等可能的结果，其中两次摸出的小球都是红球有9种结果，
∴两次摸出的小球都是红球的概率为．
【变式训练2-3】某网络约车公司近期推出了“520专享”服务计划，即要求公司员工做到“5星级服务、2分钟响应、0客户投诉”，为进一步提升服务品质，公司监管部门决定了解“单次营运里程”的分布情况，老王收集了本公司的5000个“单次营运里程”数据，这些里程数据均不超过25（公里），他从中随机抽取了200个数据作为一个样本，整理、统计结果如下表．
组别 “单次营运里程x”（公里） 频数
第一组 72
第二组 a
第三组 26
第四组 24
第五组 30
根据统计表提供的信息，解答下面的问题：
(1)①表中______：②样本中“单次营运单程”不超过15公里的频率为______；
(2)请估计该公司这5000个“单次营运里程”超过20公里的次数；
(3)为缓解城市交通压力，维护交通秩序，来自某市区的4名网约车司机（2男2女）成立交通秩序，请用列举法（画树状图或列表）求出至少有1名男司机的概率．
【答案】(1)①48；②0.73；
(2)超过20公里的次数是750次；
(3)图形见解析，（至少有1名男生．
【分析】本题考查了列表法与树状图法∶利用列表法或树状图法展示所有等可能的结果，再从中选出符合事件A或B的结果数目，然后利用概率公式求事件A或B的概率，也考查了统计图和统计表，要熟练从统计图表中得出解题所需数据．
(1)①用总数减去其他的频数就能直接得出a的值；②用第一、二、三组的频数和除以总数量可得；
(2)用总数量乘以样本中“单次营运里程”超过20公里的次数所占比例即可得；
(3)画列表法或树状图展示所有12种等可能的结果数，找出抽到至少有1名男司机的结果数，然后根据概率公式求解．
【详解】（1）解：①；
②，
故答案为①48；②0.73
（2）（次）
（3）列表法如下：
男1 男2 女1 女2
男1 男1，男2 男1，女1 男1，女2
男2 男2，男1 男2，女1 男2，女2
女1 女1，男1 女1，男2 女1，女2
女2 女2，男1 女2，男2 女2，女1
总共有12种等可能性结果，其中符合条件的有10种．
（至少有1名男生．
【变式训练2-4】在一个不透明的袋子里装有黑、白两种颜色的球共个，这些球除颜色外都相同，某学习小组做摸球试验，将球搅匀后从中随机摸出一个球记下颜色，再把它放回袋中，不断重复，如表是活动进行中的一组统计数据：
摸球的次数
摸到黑球的次数
摸到黑球的频率
(1)表中 ；
(2)请估计：当很大时，摸到黑球的频率将会接近 （精确到）；
(3)估计袋子中有白球 个；
(4)若学习小组通过试验结果，想使得这个不透明袋子中每次摸到黑球的可能性大小为，则可在袋子中增加相同的白球 个．
【答案】(1)
(2)
(3)
(4)
【分析】本题考查了利用频率估计概率：大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率．
（1）摸到黑球的频率为，故为．
（2）大量重复实验中事件的频率可以估计概率，当很大时，观察摸到黑球的频率，其数值将会接近．
（3）摸到黑球的频率约为，故摸到白球的频率约为，则估计袋子中有白球（个）．
（4）当想使得这个不透明袋子中每次摸到黑球的可能性大小为时，即黑球个数等于白球个数，故可在袋子中增加相同的白球数：（个），
【详解】（1）解：，
故答案为：．
（2）当很大时，观察摸到黑球的频率，其数值将会接近，
故答案为：．
（3）摸到黑球的频率约为，
故摸到白球的频率约为，
则估计袋子中有白球（个），
故答案为：．
（4）当想使得这个不透明袋子中每次摸到黑球的可能性大小为时，
即黑球个数等于白球个数，
故可在袋子中增加相同的白球数：（个），
此时黑白球均为个，摸到黑白球的可能性大小均为．
故答案为：．
【变式训练2-5】在一个不透明的口袋里装有只有颜色不同的黑、白两种颜色的球共20个，某学习小组做摸球试验，将球搅匀后从中随机摸出一个球记下颜色，再把它放回袋中，不断重复．下表是活动进行中的一组统计数据：
摸球的次数m 100 150 200 500 800 1000
摸到白球的次数n 58 96 116 295 484 601
摸到白球的概率 0.58 0.64 0.58 0.59 0.605 0.601
(1)请估计：当n很大时，摸到白球的频率将会接近_______；
(2)假如你去摸一次，你摸到白球的概率是_______；
(3)试估算口袋中黑、白两种颜色的球各有多少个？
【答案】(1)0.60
(2)0.60
(3)白球12个，黑球8个
【分析】本题主要考查了如何利用频率估计概率：
（1）根据表中的数据，估计出摸到白球的频率．
（2）本题根据摸到白球的频率即可求出摸到白球的概率．
（3）根据口袋中白色的球的概率即可求出口袋中白的球有多少只，即可．
【详解】（1）解：根据题意得：当n很大时，摸到白球的频率将会接近0.60．
故答案为：0.60
（2）解：∵当n很大时，摸到白球的频率将会接近0.60，
∴摸到白球的概率是0.60；
故答案为：0.60
（3）解：∵摸到白球的概率是0.60，
∴口袋中白球是：个，
黑球是个．
题型三：用频率估计概率
【经典例题3】一只不透明的袋中装有除颜色外都相同的红球、黄球、白球共50个．通过多次摸球试验后，发现摸到红球、黄球的频率分别是．则可估计袋中白球的个数是（ ）
A．10 B．15 C．25 D．20
【答案】D
【分析】本题主要考查了用频率估计概率，已知概率求数量，根据大量反复试验下频率的稳定值即为概率值得到摸到红球和摸到黄球的概率，进而求出黄球和红球的个数，据此可得白球的个数．
【详解】解：∵通过多次摸球试验后，发现摸到红球、黄球的频率分别是，
∴摸到红球、黄球的概率分别是，
∴红球和黄球各有个，个，
∴可估计袋中白球的个数是个，
故选：D．
【变式训练3-1】在一次大量重复试验中，统计了某一结果出现的频率．绘制出的统计图如图所示，符合这一试验结果的可能是（ ）
A．掷一枚质地均匀的骰子，出现2点朝上
B．从一个装有大小相同的2个蓝球和1个白球的不透明袋子中随机取一球，取到白球
C．抛一枚1元钱的硬币，出现反面朝上
D．从标有数字1到10的十张大小相同的纸牌中随机抽取一张，是奇数
【答案】B
【分析】本题考查利用频率估计概率，利用概率公式求出各选项的概率，进行判断即可．
【详解】解：由图可知，某一结果的概率约为，
掷一枚质地均匀的骰子，出现2点朝上的概率为，故选项A不符合题意；
从一个装有大小相同的2个蓝球和1个白球的不透明袋子中随机取一球，取到白球的概率为；故选项B符合题意；
抛一枚1元钱的硬币，出现反面朝上的概率为，故选项B不符合题意；
从标有数字1到10的十张大小相同的纸牌中随机抽取一张，是奇数的概率为，故选项D不符合题意；
故选B．
【变式训练3-2】七（1）班同学设计用频率去估计概率的试验如下：在一个不透明的口袋中，装有6个球，它们除颜色外没有任何区别，摇匀后从中随机摸出一个球，记下颜色后再放回口袋中，通过大量重复摸球试验，统计了黄球出现的次数，绘出的统计图如图所示，则袋子中黄球的个数最可能是 个．
【答案】2
【分析】根据题意，得黄球的频率近似稳定在，故黄球的个数为个，解答即可．
本题考查了用频率估计概率，熟练掌握意义是解题的关键．
【详解】解：根据题意，得黄球的频率近似稳定在，故黄球的个数为个，
故答案为：2．
【变式训练3-3】在一个不透明的口袋中装有1个白球，1个红球和n个黄球（它们除了颜色以外都一样）．将袋子中的小球摇匀后，从中摸出一个小球，记下颜色后放回，在多次重复以上实验后，得到了如下的数据．
摸球次数 200 400 600 800 1000
摸到白球的次数 53 98 149 202 250
(1)袋子中一共有小球______个；
(2)求进行两次这样的实验后摸出的都是黄球的概率．
【答案】(1)4
(2)
【分析】本题考查的是用频率来估计概率，同时考查用列举法求概率，
（1）先用频率来估计概率，得出摸到白球的概率大约为，再根据概率公式计算出n的值，进一步即可得出答案．
（2）将2个黄球分别记作“黄1”、“黄2”用列举法求概率即可．
【详解】（1）解：根据多次重复以上实验数据，摸到白球的概率大约为，
即，
解得：，
∴袋子中一共有小球为：个，
故答案为：4．
（2）将2个黄球分别记作“黄1”、“黄2”．从袋中摸出一个小球，记下颜色后放回，摸两次后，可能出现的结果有16种，
即(白，白)，(白，红)，(白，黄1)，(白，黄2)，(红，白)，(红，红)，(红，黄1)，(红，黄2)，(黄1，白)，(黄1，红)，(黄1，黄1)，(黄1，黄2)，(黄2，白)，(黄2，红)，(黄2，黄1)，(黄2，黄2)，并且它们出现的可能性相同．
其中2个球都是黄球(记为事件 A)的结果有4种，
即(黄1，黄1)，(黄1，黄2)，(黄2，黄1)，(黄2，黄2)，
所以．
【变式训练3-4】一只不透明的袋子中装有若干个白球和其他颜色的球，这些球除颜色外都相同．每次从袋子中摸出一个球，然后放回摇匀再摸，在摸球实验中得到下列表中的部分数据：
摸球次数 40 80 400 600 800 1000 1200 1500
摸出白球的频数 14 26 128 198 267 399 500
摸出白球的频率
(1)请将表补充完整；
(2)画出“摸出白球”的频率折线统计图，得摸出白球的概率估计值是 ；（精确到到0.01）
(3)若袋中共有200个球，则袋中可能有 个白球．
【答案】(1)见解析
(2)见解析，
(3)66
【分析】本题考查了画折线统计图，频率估计概率，频数、频率与实验总次数的关系，掌握这些知识是关键．
（1）由频数、频率与摸球次数的关系可求得摸球40次，摸出白球14的概率；也可求得摸球1000次且频率为时摸出白球的频数，因而可补充完整表格；
（2）按折线统计图的画法画图即可；根据统计图即可估计出概率；
（3）根据（2）中概率的近似值，即可计算出袋中白球可能的个数．
【详解】（1）解：，；
补充完整表格如下：
摸球次数 40 80 400 600 800 1000 1200 1500
摸出白球的频数 14 26 128 198 267 332 399 500
摸出白球的频率
（2）解：折线统计图如下：
由图知，摸出白球的概率估计值是；
故答案为：．
（3）解：由（2）知，摸出白球的概率估计值是，
则袋中200个球，白球可能为：（个）
故答案为：66．
【变式训练3-5】某商场进行抽奖活动，抽奖箱中只有“中奖”和“谢谢恵顾”两种卡片（两种卡片形状大小相同、质地均匀），下表是活动进行中的一组数据：
抽奖总次数次 100 150 200 800 1000
抽到“中奖”卡片的次数次 33 48 240 299
中奖的频率 0.33 0.32 0.315 0.30
(1)填空：_________，________．
(2)根据“频率的稳定性”估计抽奖一次就抽到“中奖”的概率．（精确到0.1）
【答案】(1)63；
(2)估计抽奖一次就抽到“中奖”的概率是
【分析】本题考查了利用频率估计概率，频率的计算，利用频率估计概率求解即可．
（1）根据频率和总数求出a的值即可；根据频数和总数求出频率b即可；
（2）根据频率的稳定性，估计抽奖一次就中奖的概率即可．
【详解】（1）解：，
；
（2）解：根据“频率的稳定性”估计抽奖一次就抽到“中奖”的概率约是．
题型四：游戏的公平性
【经典例题4】有两个可以自由转动的均匀转盘A，B．转盘A被平均分成4等份，分别标上，2，6，8四个数字；转盘B被平均分成3等份，分别标上，，3三个数字．自由转动转盘A与B，转盘停止后，指针各指向一个数字（指向分界线时重新转），把A转盘指的数字作为被除数，B转盘指针指的数字作为除数，计算这两个数的商．小贝和小晶用以上两个转盘做游戏，规则是：若这两数的商为负整数，则小贝赢；若这两个数的商为正数，则小晶赢．你认为该游戏公平吗？请你用画树状图或列表的方法，说明是否公平；如果不公平，请你修改游戏规则，使游戏公平．
【答案】树状图或列表见解析，不公平．改成：若这两数的商为负整数，则小贝赢；否则小晶赢．（改的公平即可）．
【分析】本题考查的是游戏的公平性问题，利用列表法与画树状图的方法求解随机事件的概率，先列表得到所有的结果数与符合条件的结果数，再利用概率公式计算即可；
【详解】解：画树状图如下：
共有12种等可能事件，小贝赢即商是负整数的有6种等可能结果，小晶赢所即商为正数有5种等可能结果；
所以：，，
所以，
所以游戏不公平．
修改规则如下：若这两数的商为负整数，则小贝赢；否则小晶赢．
【变式训练4-1】2024贵阳马拉松比赛于6月16日上午7点30分在贵阳国际会展中心北广场正式鸣枪起跑，本届马拉松赛共设置四个项目，分别是马拉松、半程马拉松、迷你马拉松以及线上马拉松．经过大家积极的参与，报名人数共计93902人，由于场地人数限制，需要抽签决定是否能够参与比赛．小红和小星类比该方式进行抽签决定是否参加某场活动，在一个不透明的袋子中放入4个完全一样的小球，分别标有1、2、3、4四个数字，小红和小星轮流从袋中摸出一球，记下号码，然后放回．
(1)计算摸到小球数字为2的概率；
(2)如果摸到的球号码大于2，则小红参加活动，否则小星参加活动，你认为这个抽签方式公平吗？请说明理由．
【答案】(1)
(2)公平，理由见解析
【分析】本题考查求简单事件的概率、判断游戏的公平性，理解题意，正确求得概率是解答的关键．
（1）直接利用概率公式求解即可；
（2）先分别求得小红参加活动和小星参加活动的概率，若概率相等，该抽签方式公平，若概率不相等，该抽签方式不公平．
【详解】（1）解：所有等可能的结果有4种，其中摸到2的结果有1种，
∴P（摸到小球数字为2）；
（2）解：公平；
理由如下：所有等可能的结果有4种，其中摸到的球号码大于2的结果有2种，不大于2的结果有2种
∴P（小红参加活动），P（小星参加活动），
，
∴这个抽签方式公平．
【变式训练4-2】在数学实践活动课上，小明和小红玩转盘游戏，分别转动如下的两个转盘（每个转盘都被分成3等份）
(1)转动转盘①时，该转盘指针指向“3”的概率是______；
(2)若同时转动两个转盘，规定：转盘停止指针指向的两个数字之和为奇数时小明获胜；两个数字之和为偶数时小红胜，你觉得此游戏对双方是否公平？请说明理由．
【答案】(1)
(2)不公平，理由见解析
【分析】本题主要考查了概率公式及游戏的公平性，判断游戏公平性就要计算每个事件的概率，概率相等就公平，否则就不公平．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
（1）根据概率公式求解即可；
（2）画出树状图，分别求得两种情况的概率，比较后即可确定答案．
【详解】（1）①转盘被均分为3份，标有3的只有1份，
∴转动转盘①时，该转盘指针指向“3”的概率是，
故答案为：；
（2）解：该游戏对双方不公平，理由如下：
如图，
共有9种等可能的结果数，其中两次数字之和为奇数的结果数5，两次数字之和为偶数的结果数为4，
一共有9种情况：5、6、7；6、7、8；7、8、9；
∴P（和为奇数）；P（和为偶数），
∴不公平．
【变式训练4-3】如图，一个质地均匀的转盘被平均分成6等份，分别标有1，2，3，4，5，6这6个数字．转动转盘，当转盘停止后，指针指向的数字即为转出的数字（指针停在分界线上时重新转动转盘）．
(1)转出数字是1的概率是 ；
(2)小红和小星都想周末去看《头脑特工2》，但只有一张电影票，他们决定借助转盘确定谁去．规则是“转动转盘，如果转出的数字大于3，则小红去；如果转出的数字小于3，则小星去”．这个规则公平吗？为什么？
【答案】(1)
(2)不公平，理由见解析
【分析】本题主要考查随机事件及其概率的计算，列举出所有等可能出现的结果情况及所求事件包含的情况数是计算相应事件发生概率的关键．
（1）转盘被平均分成6等份，转到每个数字的可能性相等，共有6种可能结果，指针指向数字1的只有1种，由概率公式可得；
（2）分别计算出小红和小星去的概率，然后比较两概率的大小可判断这个游戏规则不公平．
【详解】（1）转出数字是1的概率是，
故答案为：；
（2）这个规则不公平．
理由如下：∵数字大于3的结果有3种，
∴小红去的概率；
∵数字小于3的结果有2种，
∴小星去的概率，
∵，
∴这个规则不公平．
【变式训练4-4】在一个不透明的盒子里装有红、黑两种颜色的球共只，这些球除颜色外其余完全相同．为了估计红球和黑球的个数，七（1）班的数学学习小组做了摸球试验．他们将球搅匀后，从盒子里随机摸出一个球记下颜色，再把球放回盒子中，多次重复上述过程，得到表中的一组统计数据：
摸球的次数
摸到红球的次数
摸到红球的频率
(1)补全表格中的数据：______，______．
(2)请估计：当次数足够大时，摸到红球频率将会接近______．（精确到）
(3)小明、小亮做游戏，游戏规则是：从盒子中任意摸出一个球，摸到红球小明胜，摸到黑球小亮胜．你认为这个游戏公平吗？若公平，说明理由：若不公平，怎样调整，使得游戏公平．
【答案】(1)，
(2)
(3)这个游戏不公平，调整见解析
【分析】考查利用频率估计概率．大量反复试验下频率稳定值即概率．用到的知识点为：部分的具体数目总体数目相应频率．
（1）根据频率、频数与总数之间的关系即可求解；
（2）由表中摸球次数逐渐增大后，摸到红球的概率逐渐靠近于，即可求解；
（3）根据摸到摸到红球和黑球的概率相等则游戏公平求解即可．
【详解】（1）解：，，
故答案为：，；
（2）当次数足够大时，摸到红球频率将会接近，
故答案为：；
（3）你认为这个游戏不公平，
调整：应该在盒子里分别装上个红球和黑球，这样摸到红球和黑球的概率相等都是，从而使得游戏公平．
【变式训练4-5】学校联欢会上有一个“转盘”游戏，用如图所示的两个均匀、可以自由转动的转盘做游戏，每个转盘被分成面积相等的几个扇形．游戏规则如下：甲乙两个人分别任意旋转两个转盘，用所指的两个数字相乘，如果积为正数，则甲获胜；如果积为负数，则乙获胜．（若指针压在扇形的边界上，则重新转到转盘）
(1)转动A盘一次，转出的数字是负数的概率是 ；
(2)请利用画树状图或列表的方法判断这个游戏对双方公平吗？请说明你的理由．
【答案】(1)
(2)不公平，见解析
【分析】本题考查了根据概率公式计算概率、利用列表或树状图求概率、游戏的公平性等知识点，熟练掌握画树状图或列表求概率是解题的关键．
（1）直接利用概率公式计算概率即可；
（2）先根据题意列出表格，再根据表中数据分别算出两人赢的概率，再比较概率得出答案即可．
【详解】（1）解：∵盘被分成面积相等的3个扇形，
∴小明转动一次A盘，转出的数字是负数的概率是．
故答案为：．
（2）解：列表如下：
2 3 4
1 （1，） （1，2） （1，3） （1，4）
（，） （，2） （，3） （，4）
3 （3，） （3，2） （3，3） （3，4）
由表可知：共有12种等可能的结果；
其中甲获胜（记为事件A）的结果共7种，分别为：
（1，2），（1，3），（1，4），（，），（3，2），（3，3），（3，4）,
∴．
其中乙获胜（记为事件B）的结果共5种，分别为：
（1，），（，2），（，3），（，4），（3，）
∴；
∵，
∴不公平．
题型五：概率的综合应用
【经典例题5】为鼓励学生积极加入中因共青团组织，某学校团委在八、九年级各抽取50名学生开展团知识竞赛，为便于统计成绩，制定了取整数的计分方式，满分10分．竞赛成绩如图所示：
平均数 众数 中位数 方差
八年级 8 7
九年级 8 8
(1)请根据图表中的信息，回答下列问题．
①表中的______，______，______；
②现要给成绩突出的年级颁奖，如果从方差的角度来分析，你认为应该给哪个年级颁奖？
(2)若规定成绩10分获一等奖，9分获二等奖，8分获三等奖，请通过计算说明哪个年级的获奖率高？
【答案】(1)①8；8；；②给九年级颁奖，分析见解析
(2)九年级的获奖率高，计算过程见解析
【分析】本题主要考查了中位数、众数、方差以及加权平均数，掌握各个概念和计算方法是解题的关键．
（1）①根据中位数、众数和方差的定义即可解答；②根据两个年级众数和方差解答即可；
（2）先根据概率列式计算，然后再比较即可解答．
【详解】（1）解：①九年级竞赛成绩中8分出现的次数最多，故众数分；
八年级竞赛成绩中第25、26位的分数都是8分，故中位数分；
九年级竞赛成绩的方差为：
，
故；
故答案为：8；8；；
②如果从方差角度看，八年级的方差为，九年级的方差为，又因为两个年级的平均数相同，九年级的成绩的波动小，所以应该给九年级颁奖，
故如果方差角度来分析，应该给九年级颁奖；
（2）解：八年级的获奖率为：，
九年级的获奖率为：，
，
九年级的获奖率高．
【变式训练5-1】某著名景区计划在西峰修建安装至多4条索道接送游客，过去10年景区游客统计资料显示，景区每年游客客流量都在160万人以上．过去10年的游客客流量的统计情况绘制成如下频数分布直方图（数据包括左端点，不含右端点，假设每年游客客流量不相互影响）．
以过去10年的游客客流量的统计情况为参考依据．
(1)求该景区今年游客客流量不低于240万人的概率；
(2)若该景区希望安装的索道尽可能运行，但每年索道最多可运行条数受游客客流量的限制，并有如下表关系：
年游客客流量（单位：万人）
索道最多可运行条数 1 2 3 4
若某条索道运行，则该条索道年利润为6000万元；若某条索道未运行，则该条索道年亏损2000万元，从平均获利的角度看，帮景区作出决策，应选择安装2条还是3条索道获利较多？请说明理由．
【答案】(1)
(2)选择2条索道，理由见解析
【分析】（1）以过去10年游客流量不低于240万的比率作为今年的概率；
（2）计算出不同游客流量出现的概率，再分别计算两种方案下各种游客流量概率下的平均获利进行比较．
【详解】（1）该景区地过去10年游客客流量不低于240万人的年数为（年），
占总年数的比率为，
因此该景区今年游客客流量不低于240万人的概率为；
（2）根据题意，
年游客客流量在的概率为，此时可维持1条索道支行；
年游客客流量在的概率为，此时可维持2条索道支行；
年游客客流量在的概率为，此时可维持3条索道支行；
年游客客流量在的概率为，此时可维持4条索道支行；
若安装2条索道，
则平均获利为（万元），
若安装3条索道，
则平均获利为（万元），
∵，
∴选择安装2条索道获利较多．
【变式训练5-2】为响应党中央关于打好精准扶贫攻坚战的号召，东部帮助西部进行扶贫产业开发，“食良品”是某市农产品商贸集团有限公司旗下的“消费扶贫”的电商平台，依托地理、集团专业等渠道的优势，基地直采，降低采购成本，全心全意为全市广大客户提供优质的食材，也解决了西部各地农副产品销售难的问题．目前，该平台为广大客户仅提供300元、500元、800元、1000元四种不同面额的提货券．随机抽查了其中100天的销售情况，整理统计后得到如下表一和表二：
表一
提货券每张面额（元） 300 500 800 1000
销售量（张）的百分比 30% m% 18% 12%
表二
日均销售量（张） 300 450 500 650
天数 25 30 35 10
(1)随机抽取一张提货券，面额不少于800元的概率是多少？
(2)哪种面额的提货券应多提供些？估计日均销售该面额的提货券多少张？
(3)估计月销售总额是多少元？（月以30天计算）
【答案】(1)面额不少于800元的概率为30%
(2)该面额的提货券约为180张
(3)月销售总额为7479000元
【分析】(1)从表一中读取数据即可得到答案．
(2)由销售量的百分比总和为1，可得m的值，对比各百分比大小可得答案；求出日均销售提货券的数量，按照该提货券占的百分比，可得答案．
(3)根据加权平均数可得平均每张提货券的销售金额，根据销售总额=平均每张提货券的销售金额×日均销售提货券的数量×时间，可得答案．
【详解】（1）解：面额不少于800元的概率为：18%+12%＝30%．
（2）解： m＝100﹣30﹣18﹣12＝40，
故500的提货券应多提供些．
平均每天销售提货券的数量为： （张）．
其中该面额的提货券约为：450×40%＝180（张）．
（3）解：平均每张提货券的销售金额为：300×30%+500×40%+800×18%+1000×12%＝554（元）．
故月销售总额为：30×450×554＝7479000（元）．
【变式训练5-3】如图，一转盘被等分成四个扇形，上面分别标有1、2、3、4，指针的位置固定不动，自由转动转盘，停止后，记下指针所指扇形上的数（若指针正好停在等分线上，属右边区域）下表是嘉琪转动转盘6次后记录的数据：
次数 1 2 3 4 5 6
数字 3 2 3 4 1 4
（1）求转动转盘6次后记录的数据的众数；
（2）求第7次转动转盘后记录的数字是4的概率；
（3）嘉琪打算继续转动转盘两次，判断是否可能发生这8次记录的数字的平均数不小于3的情况，若有可能，请求出发生此情况的概率，若不可能，请说明理由．
【答案】（1）3和4；（2）；（3）可能，．
【分析】（1）根据众数的概念求解即可；
（2）根据概率的计算公式求解即可；
（3）根据连续转动转盘两次，设第7，8次转动转盘后记录的数字之和为x，8次转动的平均数不小于3，得到，然后列表，得到第7，8次转动转盘后记录的数字之，判断和的结果的个数，从而求出概率．
【详解】解：（1）∵转动转盘6次记录的数据，3和4各出现两次，次数最多
∴6次记录的数据的众数是3和4
（2）第7次转动转盘后记录的数字共有4种等可能结果，其中是4的结果有1种，
∴P（是4）＝
（3）可能．
设第7，8次转动转盘后记录的数字之和为x
∵八次记录的数字的平均数不小于3.
∴
得
列表如下：
1 2 3 4
1 2 3 4 5
2 3 4 5 6
3 4 5 6 7
4 5 6 7 8
共有16种等可能结果，其中两个数字之和的结果有3种
P（8次平均数不小于3）．
【变式训练5-4】市种子培育基地用、、三种型号的甜玉米种子共1500粒进行发芽试验，从中选出发芽率高的种子进行推广，通过试验知道，型号种子的发芽率为80%，根据试验数据绘制了下面两个不完整的统计图（图1、图2）：
（1）型号种子的发芽数是_________粒：
（2）通过计算说明，应选哪种型号的种子进行推广（精确到1%）；
（3）如果将已发芽的种子放到一起，从中随机取出一粒，求取到型号发芽种子的概率．
【答案】（1）480；（2）应选A型号的种子进行推广，理由见解析；（3）从中随机取出一粒，求取到C型号发芽种子的概率为．
【分析】（1）由扇形图可知C型号种子百分比，再求出C型号种子，根据发芽率，即可求解；
（2）分别计算出三种种子的发芽率即可求解；
（3）用型号发芽种子的数量除以、、三种型号发芽数的总数即可．
【详解】解：（1）C型号种子百分比为：1-30%-30%=40%
C型号种子数为：150040%=600（粒）
型号种子的发芽数是：60080%=480（粒）
（2）分别计算三种种子的发芽率：
A型号：，B型号：，C型号：；
所以应选A型号的种子进行推广．
（3）在已发芽的种子中；有A型号的420粒，B型号的370粒，C型号的480粒；
故从中随机取出一粒，求取到C型号发芽种子的概率为．
【变式训练5-5】胜利中学从全校学生中随机选取一部分学生，对他们每周上网的时间t进行调查，调查情况分为:小时；小时小时；小时小时；小时四种，并将统计结果制成了如下两幅不完整的统计图，请根据图中信息解答下列问题:
求参加调查的学生的人数；
求扇形图中组扇形的圆心角度数，并通过计算补全条形统计图；
在所调查的学生中，随机选取一名学生，求他每周上网时间大于小时的概率．
【答案】（1）200；（2）108°，图详见解析；（3）
【分析】（1）根据上网时间为A的人数和所占的百分比即可求出总人数；
（2）用总人数减去A、B和D类的人数，求出C类的人数，从而补全统计图；
（3）用参加调查的学生中上网时间大于小时的人数除以参加调查的学生的人数即可求出答案．
【详解】（人）
答:参加调查的学生有名；
(人)
扇形图中组扇形的圆心角度数为：，
补全条形统计图如下：
．
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2.3&2.4用频率估计概率以及概率的简单应用五大题型（一课一讲）
【浙教版】
题型一：关于频率和概率的关系说法的正误
【经典例题1】下列说法正确的是（ ）
A．“汽车累计行驶，从未出现故障”是不可能事件
B．“买中奖率为的奖券张，中奖”是必然事件
C．投掷一枚图钉，“钉尖朝上”的概率可以用列举法求得
D．通过大量重复试验，可以用频率估计概率
【变式训练1-1】下列说法中正确的是（ ）
A．小明在装有红绿灯的十字路口，“遇到红灯”是随机事件
B．确定事件发生的概率是1
C．抛掷一枚质地均匀的正方体骰子600次，点数为1与点数为6的频率相同
D．从某校1000名男生中随机抽取2名进行引体向上测试，其中有一名成绩不及格，说明该校的男生引体向上成绩不及格
【变式训练1-2】下列说法错误的是（ ）
A．了解一批灯泡的使用寿命应采用抽样调查
B．随着试验次数的增加，频率一般会越来越接近概率
C．一组数据，，，的平均数是3，方差是2，则新数据，，，的平均数是5，方差是4
D．“367人中至少有2人的生日是同一天”是必然事件
【变式训练1-3】下列说法正确的是（ ）．
A．不可能事件发生的概率为1 B．随机事件发生的概率为
C．概率很小的事件不可能发生 D．随着试验次数的增加，频率一般会越来越接近概率
【变式训练1-4】下列语句中，关于频率与概率的关系表示正确的有 ．
①频率就是概率
②频率是客观存在的，与试验次数无关
③随着试验次数的增加，频率一般会越来越接近概率
④概率是随机的，在实验前不能确定
【变式训练1-5】一般地，当试验的可能结果有很多且各种可能结果发生的可能性相等时，则用列举法，利用概率公式 的方式得出概率．
当试验的所有可能结果不是有限个，或各种可能结果发生的可能性不相等时，常常是通过 来估计概率，即在同样条件下，大量重复试验所得到的随机事件发生的频率的稳定值来估计这个事件发生的 ．
题型二：求某件事的频率
【经典例题2】调查某班 名同学的跳高成绩时，在收集到的数据中，不足 米的数出现的频率是 ，则达到或超过 米的数出现的频率是 （ ）
A． B． C． D．
【变式训练2-1】近日，甘肃天水这座历史悠久的文化古城，因一碗麻辣烫而迅速走红网络，成为旅游新热点．自天水火爆“出圈”以来，各级团组织迅速行动起来，全面承担起志愿服务工作，同时带领一大批青年志愿者积极响应团组织号召投入志愿服务工作．根据实际需要，志愿者被陆续分配到四合院美味城网红麻辣烫店、机场、火车站等区域开展志愿服务工作．某段时间内经过抽样调查，发现志愿者服务的区域主要有A，B，C，D，E五个．抽样调查的统计结果如下表， 则下列说法不正确的是（ ）
区域 A B C D E
人数
A．去区域服务的人数最少
B．去区域服务的人数的频率是
C．若有名志愿者参与服务，则约有人被分配到C区域服务
D．这次抽样调查的样本容量是
【变式训练2-2】都相同．将袋中小球摇匀，从中随机摸出一个小球记下颜色后放回，记作随机摸球一次．
(1)随机摸球10次，其中摸出黄球3次，则这10次摸球中，摸出黄球的频率是________．
(2)随机摸球2次，用画树状图或列表的方法，求这两次摸出的小球都是红球的概率．
【变式训练2-3】某网络约车公司近期推出了“520专享”服务计划，即要求公司员工做到“5星级服务、2分钟响应、0客户投诉”，为进一步提升服务品质，公司监管部门决定了解“单次营运里程”的分布情况，老王收集了本公司的5000个“单次营运里程”数据，这些里程数据均不超过25（公里），他从中随机抽取了200个数据作为一个样本，整理、统计结果如下表．
组别 “单次营运里程x”（公里） 频数
第一组 72
第二组 a
第三组 26
第四组 24
第五组 30
根据统计表提供的信息，解答下面的问题：
(1)①表中______：②样本中“单次营运单程”不超过15公里的频率为______；
(2)请估计该公司这5000个“单次营运里程”超过20公里的次数；
(3)为缓解城市交通压力，维护交通秩序，来自某市区的4名网约车司机（2男2女）成立交通秩序，请用列举法（画树状图或列表）求出至少有1名男司机的概率．
【变式训练2-4】在一个不透明的袋子里装有黑、白两种颜色的球共个，这些球除颜色外都相同，某学习小组做摸球试验，将球搅匀后从中随机摸出一个球记下颜色，再把它放回袋中，不断重复，如表是活动进行中的一组统计数据：
摸球的次数
摸到黑球的次数
摸到黑球的频率
(1)表中 ；
(2)请估计：当很大时，摸到黑球的频率将会接近 （精确到）；
(3)估计袋子中有白球 个；
(4)若学习小组通过试验结果，想使得这个不透明袋子中每次摸到黑球的可能性大小为，则可在袋子中增加相同的白球 个．
【变式训练2-5】在一个不透明的口袋里装有只有颜色不同的黑、白两种颜色的球共20个，某学习小组做摸球试验，将球搅匀后从中随机摸出一个球记下颜色，再把它放回袋中，不断重复．下表是活动进行中的一组统计数据：
摸球的次数m 100 150 200 500 800 1000
摸到白球的次数n 58 96 116 295 484 601
摸到白球的概率 0.58 0.64 0.58 0.59 0.605 0.601
(1)请估计：当n很大时，摸到白球的频率将会接近_______；
(2)假如你去摸一次，你摸到白球的概率是_______；
(3)试估算口袋中黑、白两种颜色的球各有多少个？
题型三：用频率估计概率
【经典例题3】一只不透明的袋中装有除颜色外都相同的红球、黄球、白球共50个．通过多次摸球试验后，发现摸到红球、黄球的频率分别是．则可估计袋中白球的个数是（ ）
A．10 B．15 C．25 D．20
【变式训练3-1】在一次大量重复试验中，统计了某一结果出现的频率．绘制出的统计图如图所示，符合这一试验结果的可能是（ ）
A．掷一枚质地均匀的骰子，出现2点朝上
B．从一个装有大小相同的2个蓝球和1个白球的不透明袋子中随机取一球，取到白球
C．抛一枚1元钱的硬币，出现反面朝上
D．从标有数字1到10的十张大小相同的纸牌中随机抽取一张，是奇数
【变式训练3-2】七（1）班同学设计用频率去估计概率的试验如下：在一个不透明的口袋中，装有6个球，它们除颜色外没有任何区别，摇匀后从中随机摸出一个球，记下颜色后再放回口袋中，通过大量重复摸球试验，统计了黄球出现的次数，绘出的统计图如图所示，则袋子中黄球的个数最可能是 个．
【变式训练3-3】在一个不透明的口袋中装有1个白球，1个红球和n个黄球（它们除了颜色以外都一样）．将袋子中的小球摇匀后，从中摸出一个小球，记下颜色后放回，在多次重复以上实验后，得到了如下的数据．
摸球次数 200 400 600 800 1000
摸到白球的次数 53 98 149 202 250
(1)袋子中一共有小球______个；
(2)求进行两次这样的实验后摸出的都是黄球的概率．
【变式训练3-4】一只不透明的袋子中装有若干个白球和其他颜色的球，这些球除颜色外都相同．每次从袋子中摸出一个球，然后放回摇匀再摸，在摸球实验中得到下列表中的部分数据：
摸球次数 40 80 400 600 800 1000 1200 1500
摸出白球的频数 14 26 128 198 267 399 500
摸出白球的频率
(1)请将表补充完整；
(2)画出“摸出白球”的频率折线统计图，得摸出白球的概率估计值是 ；（精确到到0.01）
(3)若袋中共有200个球，则袋中可能有 个白球．
【变式训练3-5】某商场进行抽奖活动，抽奖箱中只有“中奖”和“谢谢恵顾”两种卡片（两种卡片形状大小相同、质地均匀），下表是活动进行中的一组数据：
抽奖总次数次 100 150 200 800 1000
抽到“中奖”卡片的次数次 33 48 240 299
中奖的频率 0.33 0.32 0.315 0.30
(1)填空：_________，________．
(2)根据“频率的稳定性”估计抽奖一次就抽到“中奖”的概率．（精确到0.1）
题型四：游戏的公平性
【经典例题4】有两个可以自由转动的均匀转盘A，B．转盘A被平均分成4等份，分别标上，2，6，8四个数字；转盘B被平均分成3等份，分别标上，，3三个数字．自由转动转盘A与B，转盘停止后，指针各指向一个数字（指向分界线时重新转），把A转盘指的数字作为被除数，B转盘指针指的数字作为除数，计算这两个数的商．小贝和小晶用以上两个转盘做游戏，规则是：若这两数的商为负整数，则小贝赢；若这两个数的商为正数，则小晶赢．你认为该游戏公平吗？请你用画树状图或列表的方法，说明是否公平；如果不公平，请你修改游戏规则，使游戏公平．
【变式训练4-1】2024贵阳马拉松比赛于6月16日上午7点30分在贵阳国际会展中心北广场正式鸣枪起跑，本届马拉松赛共设置四个项目，分别是马拉松、半程马拉松、迷你马拉松以及线上马拉松．经过大家积极的参与，报名人数共计93902人，由于场地人数限制，需要抽签决定是否能够参与比赛．小红和小星类比该方式进行抽签决定是否参加某场活动，在一个不透明的袋子中放入4个完全一样的小球，分别标有1、2、3、4四个数字，小红和小星轮流从袋中摸出一球，记下号码，然后放回．
(1)计算摸到小球数字为2的概率；
(2)如果摸到的球号码大于2，则小红参加活动，否则小星参加活动，你认为这个抽签方式公平吗？请说明理由．
【变式训练4-2】在数学实践活动课上，小明和小红玩转盘游戏，分别转动如下的两个转盘（每个转盘都被分成3等份）
(1)转动转盘①时，该转盘指针指向“3”的概率是______；
(2)若同时转动两个转盘，规定：转盘停止指针指向的两个数字之和为奇数时小明获胜；两个数字之和为偶数时小红胜，你觉得此游戏对双方是否公平？请说明理由．
【变式训练4-3】如图，一个质地均匀的转盘被平均分成6等份，分别标有1，2，3，4，5，6这6个数字．转动转盘，当转盘停止后，指针指向的数字即为转出的数字（指针停在分界线上时重新转动转盘）．
(1)转出数字是1的概率是 ；
(2)小红和小星都想周末去看《头脑特工2》，但只有一张电影票，他们决定借助转盘确定谁去．规则是“转动转盘，如果转出的数字大于3，则小红去；如果转出的数字小于3，则小星去”．这个规则公平吗？为什么？
【变式训练4-4】在一个不透明的盒子里装有红、黑两种颜色的球共只，这些球除颜色外其余完全相同．为了估计红球和黑球的个数，七（1）班的数学学习小组做了摸球试验．他们将球搅匀后，从盒子里随机摸出一个球记下颜色，再把球放回盒子中，多次重复上述过程，得到表中的一组统计数据：
摸球的次数
摸到红球的次数
摸到红球的频率
(1)补全表格中的数据：______，______．
(2)请估计：当次数足够大时，摸到红球频率将会接近______．（精确到）
(3)小明、小亮做游戏，游戏规则是：从盒子中任意摸出一个球，摸到红球小明胜，摸到黑球小亮胜．你认为这个游戏公平吗？若公平，说明理由：若不公平，怎样调整，使得游戏公平．
【变式训练4-5】学校联欢会上有一个“转盘”游戏，用如图所示的两个均匀、可以自由转动的转盘做游戏，每个转盘被分成面积相等的几个扇形．游戏规则如下：甲乙两个人分别任意旋转两个转盘，用所指的两个数字相乘，如果积为正数，则甲获胜；如果积为负数，则乙获胜．（若指针压在扇形的边界上，则重新转到转盘）
(1)转动A盘一次，转出的数字是负数的概率是 ；
(2)请利用画树状图或列表的方法判断这个游戏对双方公平吗？请说明你的理由．
题型五：概率的综合应用
【经典例题5】为鼓励学生积极加入中因共青团组织，某学校团委在八、九年级各抽取50名学生开展团知识竞赛，为便于统计成绩，制定了取整数的计分方式，满分10分．竞赛成绩如图所示：
平均数 众数 中位数 方差
八年级 8 7
九年级 8 8
(1)请根据图表中的信息，回答下列问题．
①表中的______，______，______；
②现要给成绩突出的年级颁奖，如果从方差的角度来分析，你认为应该给哪个年级颁奖？
(2)若规定成绩10分获一等奖，9分获二等奖，8分获三等奖，请通过计算说明哪个年级的获奖率高？
【变式训练5-1】某著名景区计划在西峰修建安装至多4条索道接送游客，过去10年景区游客统计资料显示，景区每年游客客流量都在160万人以上．过去10年的游客客流量的统计情况绘制成如下频数分布直方图（数据包括左端点，不含右端点，假设每年游客客流量不相互影响）．
以过去10年的游客客流量的统计情况为参考依据．
(1)求该景区今年游客客流量不低于240万人的概率；
(2)若该景区希望安装的索道尽可能运行，但每年索道最多可运行条数受游客客流量的限制，并有如下表关系：
年游客客流量（单位：万人）
索道最多可运行条数 1 2 3 4
若某条索道运行，则该条索道年利润为6000万元；若某条索道未运行，则该条索道年亏损2000万元，从平均获利的角度看，帮景区作出决策，应选择安装2条还是3条索道获利较多？请说明理由．
【变式训练5-2】为响应党中央关于打好精准扶贫攻坚战的号召，东部帮助西部进行扶贫产业开发，“食良品”是某市农产品商贸集团有限公司旗下的“消费扶贫”的电商平台，依托地理、集团专业等渠道的优势，基地直采，降低采购成本，全心全意为全市广大客户提供优质的食材，也解决了西部各地农副产品销售难的问题．目前，该平台为广大客户仅提供300元、500元、800元、1000元四种不同面额的提货券．随机抽查了其中100天的销售情况，整理统计后得到如下表一和表二：
表一
提货券每张面额（元） 300 500 800 1000
销售量（张）的百分比 30% m% 18% 12%
表二
日均销售量（张） 300 450 500 650
天数 25 30 35 10
(1)随机抽取一张提货券，面额不少于800元的概率是多少？
(2)哪种面额的提货券应多提供些？估计日均销售该面额的提货券多少张？
(3)估计月销售总额是多少元？（月以30天计算）
【变式训练5-3】如图，一转盘被等分成四个扇形，上面分别标有1、2、3、4，指针的位置固定不动，自由转动转盘，停止后，记下指针所指扇形上的数（若指针正好停在等分线上，属右边区域）下表是嘉琪转动转盘6次后记录的数据：
次数 1 2 3 4 5 6
数字 3 2 3 4 1 4
（1）求转动转盘6次后记录的数据的众数；
（2）求第7次转动转盘后记录的数字是4的概率；
（3）嘉琪打算继续转动转盘两次，判断是否可能发生这8次记录的数字的平均数不小于3的情况，若有可能，请求出发生此情况的概率，若不可能，请说明理由．
【变式训练5-4】市种子培育基地用、、三种型号的甜玉米种子共1500粒进行发芽试验，从中选出发芽率高的种子进行推广，通过试验知道，型号种子的发芽率为80%，根据试验数据绘制了下面两个不完整的统计图（图1、图2）：
（1）型号种子的发芽数是_________粒：
（2）通过计算说明，应选哪种型号的种子进行推广（精确到1%）；
（3）如果将已发芽的种子放到一起，从中随机取出一粒，求取到型号发芽种子的概率．
【变式训练5-5】胜利中学从全校学生中随机选取一部分学生，对他们每周上网的时间t进行调查，调查情况分为:小时；小时小时；小时小时；小时四种，并将统计结果制成了如下两幅不完整的统计图，请根据图中信息解答下列问题:
求参加调查的学生的人数；
求扇形图中组扇形的圆心角度数，并通过计算补全条形统计图；
在所调查的学生中，随机选取一名学生，求他每周上网时间大于小时的概率．
21世纪教育网(www.21cnjy.com) 同舟共理工作室
