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第1章 三角形的初步认识 单元培优测试卷
一．选择题（共10小题）
1．（2024春 贵州期末）如图所示各组中的两个图形属于全等图形的是
A． B．
C． D．
2．（2023春 浦东新区校级月考）下列分类正确的是
A．三角形可分为等腰三角形、等边三角形
B．三角形可分为不等边三角形、等腰三角形以及等边三角形
C．三角形可分为不等边三角形和等边三角形
D．三角形可分为不等边三角形和等腰三角形
3．（2024春 崇川区期末）在中，作出边上的高，正确的是
A． B．
C． D．
4．（2023秋 殷都区期末）空调安装在墙上时，一般都会采用如图的方法固定，这种方法应用的几何原理是
A．三角形的稳定性 B．两点之间线段最短
C．两点确定一条直线 D．垂线段最短
5．（2024春 邢台期末）已知点是的重心，连接并延长交于点，过点作直线分别交、于点、点，则下列说法正确的是
A． B． C． D．
6．（2023秋 印江县期末）若实数，，分别表示的三条边，且，满足，则的第三条边的取值范围是
A． B． C． D．
7．（2024 立山区四模）三个全等三角形按如图的形式摆放，则的度数是
A． B． C． D．
8．（2024春 锦江区校级期中）如图，在中，已知点，，分别为边，，的中点，且，则阴影部分的面积等于
A． B． C． D．
9．（2024春 渝北区期末）一副三角板按如图放置，其中，，，若，则的度数是
A． B． C． D．
10．（2023秋 淮北期末）如图，已知，，，下列结论：①；②；③；④，其中正确的有
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
二．填空题（共6小题）
11．（2024春 泰兴市期末）命题“一个角的补角大于这个角”是 命题．（填“真”或“假”
12．（2024春 酒泉期末）如图，平分，是上一点，过点作于点，，是上任意一点，连接，则的最小值为 ．
13．（2024春 锦州期末）如图，点，在线段上（不与点，重合），，若，，则的长为 ．
14．（2023 岳麓区校级二模）4个人进行游泳比赛，赛前，，，等4名选手进行预测，说：“我肯定得第一名”， 说：“我绝对不会得最后一名”， 说：“我不可能得第一名，也不会得最后一名”， 说：“那只有我是最后一名！”，比赛揭晓后，发现他们之中只有一位预测错误，预测错误的人是 ．
15．（2024春 琼海校级期末）如图，中，，，，过点作，点，分别在线段和射线上移动．若，则当 时，和全等．
16．（2024春 辽阳期末）如图，在四边形中，，，于点，于点，、分别是、上的点，且，下列说法①；②平分；③平分；④．其中正确的是 ．（填写正确的序号）
三．解答题（共9小题）
17．（2024春 秦都区期末）如图，平分，，于，交的延长线于点．试判断与相等吗？请说明理由
18．（2024春 卢龙县期末）已知在中，，，且为奇数．
（1）求的周长；
（2）判断的形状．
19．（2024春 锦江区校级期中）如图，已知点在线段上，点在射线上．
（1）利用尺规作图在射线上方作，使得；
（2）连接，若，，求的度数．
20．（2024春 阳谷县期末）如图所示，在中，是角平分线，是高．
（1）若，，求：①的度数；②的度数．
（2）已知，用、表示．
21．（2024春 威县校级月考）已知命题“两直线平行，同旁内角互补”．
（1）写出该命题的题设和结论，并将其改写成“如果那么”的形式；
（2）嘉淇想证明该命题，下面是她的解题过程，请将其补全，并在括号内填上推理的根据．
如图，已知直线，直线截，于点，．
求证 ．
证明：（已知），
．
（平角的定义），
．
22．（2024春 本溪期末）综合实践
某学校综合实践活动小组要测池塘两端，的距离，小华同学设计出如下方案：
由如图，先在平地上取一个点，从点不经过池塘可以直接到达点和．连接并延长到点，使，连接并延长到点，使，连接，量出的长即为，的距离．你认为小华同学设计的方案是否可行？请说明理由．
23．（2024春 子洲县期末）如图，已知，点在边上，与交于点，，．
（1）求的度数；
（2）若，，求与的周长之和．
24．（2024 舟山三模）小聪自编一题：“如图，在四边形中，，，求证：”，并将自己的证明过程与小明交流．
小聪： 在和中 ，，． 小明： 你的想法不对，这组相等的角不是相等的两组边的夹角，不符合课本上的全等三角形判定定理，我认为这题可以适当添加辅助线来完成证明．
若赞同小聪的证法，请在第一个方框内打“”；若赞成小明的说法，请你完成证明．
25．（2024春 萧县期末）如图1，，，，，分别为线段，上任意一点．
（1）若为的中点，点与点重合，试说明与全等；
（2）如图2，若，，求，，之间的数量关系；
（3）如图3，将“，”改为“为锐角）”，其他条件不变．若，，判断（2）中的数量关系是否会改变？并说明理由．
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第1章 三角形的初步认识 单元培优测试卷
一．选择题（共10小题）
1．（2024春 贵州期末）如图所示各组中的两个图形属于全等图形的是
A． B．
C． D．
【答案】
【解答】全等图形形状相同，大小相等，
、两个图形形状不同，故选项不符合题意；
、两个图形形状相同，大小相等，故选项符合题意；
、两个图形形状不同，故选项不符合题意；
、两个图形大小不等，故选项不符合题意．
故选．
2．（2023春 浦东新区校级月考）下列分类正确的是
A．三角形可分为等腰三角形、等边三角形
B．三角形可分为不等边三角形、等腰三角形以及等边三角形
C．三角形可分为不等边三角形和等边三角形
D．三角形可分为不等边三角形和等腰三角形
【答案】
【解答】三角形可分为不等边三角形和等腰三角形．
故选．
3．（2024春 崇川区期末）在中，作出边上的高，正确的是
A． B．
C． D．
【答案】
【解答】根据三角形高线的定义，边上的高是过点向作垂线垂足为，
纵观各图形，选项符合高线的定义，
故选．
4．（2023秋 殷都区期末）空调安装在墙上时，一般都会采用如图的方法固定，这种方法应用的几何原理是
A．三角形的稳定性 B．两点之间线段最短
C．两点确定一条直线 D．垂线段最短
【答案】
【解答】这种方法应用的数学知识是：三角形的稳定性，
故选．
5．（2024春 邢台期末）已知点是的重心，连接并延长交于点，过点作直线分别交、于点、点，则下列说法正确的是
A． B． C． D．
【答案】
【解答】点是的重心，
是的中线，
，
故选．
6．（2023秋 印江县期末）若实数，，分别表示的三条边，且，满足，则的第三条边的取值范围是
A． B． C． D．
【答案】
【解答】，满足，
，，
即，，
实数，，分别表示的三条边，
，
即，
故选．
7．（2024 立山区四模）三个全等三角形按如图的形式摆放，则的度数是
A． B． C． D．
【答案】
【解答】如图所示：
由图形可得：，
三个全等三角形，
，
又，
，
的度数是．
故选．
8．（2024春 锦江区校级期中）如图，在中，已知点，，分别为边，，的中点，且，则阴影部分的面积等于
A． B． C． D．
【答案】
【解答】如图，点是的中点，
的底是，的底是，即，而高相等，
，
是的中点，
，
，
，
，
，
即阴影部分的面积为．
故选．
9．（2024春 渝北区期末）一副三角板按如图放置，其中，，，若，则的度数是
A． B． C． D．
【答案】
【解答】，，，
，，
，
，
，
，
，
故选．
10．（2023秋 淮北期末）如图，已知，，，下列结论：①；②；③；④，其中正确的有
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】
【解答】，，，
，
，
，
故③符合题意；
，，，
，
，
故①符合题意；
由，得到，得不到，
故②不符合题意；
，
，
，，
，
故④符合题意，
正确的有3个．
故选．
二．填空题（共6小题）
11．（2024春 泰兴市期末）命题“一个角的补角大于这个角”是 假 命题．（填“真”或“假”
【答案】假．
【解答】角的补角是，而，
命题“一个角的补角大于这个角”是假命题，
故答案为：假．
12．（2024春 酒泉期末）如图，平分，是上一点，过点作于点，，是上任意一点，连接，则的最小值为 5 ．
【答案】5．
【解答】是上任意一点，
当时，的值最小，
又平分，是上一点，，
的最小值为5．
故答案为：5．
13．（2024春 锦州期末）如图，点，在线段上（不与点，重合），，若，，则的长为 3 ．
【答案】3．
【解答】，
，
，即，
，
，
故答案为：3．
14．（2023 岳麓区校级二模）4个人进行游泳比赛，赛前，，，等4名选手进行预测，说：“我肯定得第一名”， 说：“我绝对不会得最后一名”， 说：“我不可能得第一名，也不会得最后一名”， 说：“那只有我是最后一名！”，比赛揭晓后，发现他们之中只有一位预测错误，预测错误的人是 ．
【答案】．
【解答】如果错，则为第一，为第二，为最后一名，所以是错的．
如果错，则最后，也错，出现矛盾；
如果错，则是第一或最后一名，与第一、最后，矛盾；
如果错，其他都对的话，则没有最后一名；
故答案为：．
15．（2024春 琼海校级期末）如图，中，，，，过点作，点，分别在线段和射线上移动．若，则当 或 时，和全等．
【答案】或．
【解答】，
，
，，
当时，，
当时，，
综上所述，为或时，和全等．
故答案为：或．
16．（2024春 辽阳期末）如图，在四边形中，，，于点，于点，、分别是、上的点，且，下列说法①；②平分；③平分；④．其中正确的是 ②④ ．（填写正确的序号）
【答案】②④．
【解答】、分别是、上的任意点，
与不一定相等，
故①错误；
延长到点，使，连接，则，
，
在和中，
，
，
，，，
，，
，
，
在和中，
，
，
，，，，
，，，
故②正确，③错误；
，，
，
故④正确，
故答案为：②④．
三．解答题（共9小题）
17．（2024春 秦都区期末）如图，平分，，于，交的延长线于点．试判断与相等吗？请说明理由
【答案】相等，理由见解析．
【解答】相等．理由：
因为平分，，，
所以，，
因为，，
所以，
在与中，，，，
所以
所以．
18．（2024春 卢龙县期末）已知在中，，，且为奇数．
（1）求的周长；
（2）判断的形状．
【解答】（1）由题意得：，
即：，
为奇数，
，
的周长为；
（2），
是等腰三角形．
19．（2024春 锦江区校级期中）如图，已知点在线段上，点在射线上．
（1）利用尺规作图在射线上方作，使得；
（2）连接，若，，求的度数．
【答案】（1）见解答．
（2）．
【解答】（1）如图，以点为圆心，的长为半径画弧，交射线于点，再以点为圆心，的长为半径画弧，以点为圆心，的长为半径画弧，两弧交于点，连接，，
则即为所求．
（2），
，
，
，
．
20．（2024春 阳谷县期末）如图所示，在中，是角平分线，是高．
（1）若，，求：①的度数；②的度数．
（2）已知，用、表示．
【答案】（1）①；②；
（2）
【解答】（1）①是高，
，
，
；
②，，
，
是角平分线，
，
；
（2）由题意得：，
是角平分线，
，
是的外角，
，
是高，是的外角，
．
21．（2024春 威县校级月考）已知命题“两直线平行，同旁内角互补”．
（1）写出该命题的题设和结论，并将其改写成“如果那么”的形式；
（2）嘉淇想证明该命题，下面是她的解题过程，请将其补全，并在括号内填上推理的根据．
如图，已知直线，直线截，于点，．
求证 ．
证明：（已知），
．
（平角的定义），
．
【答案】（1）该命题的题设是“两直线平行”，结论是“同旁内角互补”，改成“如果那么”的形式是：如果两直线平行，那么同旁内角互补；
（2）；两直线平行，同位角相等；；；等量代换．
【解答】（1）该命题的题设是“两直线平行”，结论是“同旁内角互补”，改成“如果那么”的形式是：如果两直线平行，那么同旁内角互补；
（2）如图，已知直线，直线截，于点，．
求证．
证明：（已知），
（两直线平行，同位角相等）．
（平角的定义），
（等量代换）．
故答案为：；两直线平行，同位角相等；；；等量代换．
22．（2024春 本溪期末）综合实践
某学校综合实践活动小组要测池塘两端，的距离，小华同学设计出如下方案：
由如图，先在平地上取一个点，从点不经过池塘可以直接到达点和．连接并延长到点，使，连接并延长到点，使，连接，量出的长即为，的距离．你认为小华同学设计的方案是否可行？请说明理由．
【答案】小华同学的方案可行，理由见解析．
【解答】小华同学的方案可行．
证明：在和中，
，
，
，
小华同学的方案可行．
23．（2024春 子洲县期末）如图，已知，点在边上，与交于点，，．
（1）求的度数；
（2）若，，求与的周长之和．
【答案】（1）；
（2）31．
【解答】（1），，
．
，
，
，
即，
．
（2），
，，
与的周长和，
．
24．（2024 舟山三模）小聪自编一题：“如图，在四边形中，，，求证：”，并将自己的证明过程与小明交流．
小聪： 在和中 ，，． 小明： 你的想法不对，这组相等的角不是相等的两组边的夹角，不符合课本上的全等三角形判定定理，我认为这题可以适当添加辅助线来完成证明．
若赞同小聪的证法，请在第一个方框内打“”；若赞成小明的说法，请你完成证明．
【答案】赞成小明的说法．证明见解答．
【解答】赞成小明的说法．
证明如下：连接，如图，
，
，
，
，
即，
，
在和中
．
25．（2024春 萧县期末）如图1，，，，，分别为线段，上任意一点．
（1）若为的中点，点与点重合，试说明与全等；
（2）如图2，若，，求，，之间的数量关系；
（3）如图3，将“，”改为“为锐角）”，其他条件不变．若，，判断（2）中的数量关系是否会改变？并说明理由．
【答案】（1）证明见解析；
（2）；
（3）不会改变，理由见解析．
【解答】（1）由题意可知．
，，
，，
．
又为的中点，
，
，
；
（2）由（1）可知．
，
，
．
又，
，
，，
，
即，，之间的数量关系为；
（3）不会改变；
理由：，
，
．
又，，
，
，，
，
即（2）中的数量关系不会改变．
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